1. Unidad 2 | Potencias y raíces 27
Radicales
2.55. (TIC) Calcula cada raíz con una aproximación de una cifra decimal, por exceso y por
defecto.
a) 3
35 b) 4
300 c) 3
100
3
35 4
300 3
100
Por exceso 3,23
= 32,8 4,14
= 282,6 4,63
= 97,3
Por defecto 3,33
= 35,9 4,24
= 311,2 4,73
= 103,8
2.56. (TIC) Indica el número de raíces de estos radicales.
a) 5
243 c) 4
16− e) 121−
b) 3
125− d) 64 f) 3
216
a) Una, porque tiene índice impar.
b) Una, porque tiene índice impar.
c) Ninguna, porque tiene índice par y radicando negativo.
d) Dos, porque tiene índice par y radicando positivo.
e) Ninguna, porque tiene índice par y radicando negativo.
f) Una, porque tiene índice impar.
2.57. Calcula estas raíces.
a) 4 8
3 c) 12
2 e) 100 200
7
b) 3 9
7 d) 5 20
3 f) 3 12
2
a) 4
8
4 8
33 = = 32
= 9 c) 2
12
12
22 = = 26
= 64 e)
200
100 200 2100
7 7 7 49= = =
b) 3
9
3 9
77 = = 73
= 343 d) 5
20
5 20
33 = = 34
= 81 f)
12
3 12 43
2 2 2 16= = =
2.58. Comprueba si los siguientes radicales son equivalentes.
a)
63 4
4 y 2 c) 1 4
7 y 49−
−
b) 5 7
5 y 7 d) 3
8 4
y
125 25
a) 3
2
3 23
224 == y 3
2
6
4
6 4
222 == . Sí son equivalentes.
b) No son equivalentes.
c) No son equivalentes.
d)
5
2
5
2
125
8 3
3
3
3 ==

2. 28 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.59. Expresa los siguientes radicales con el mismo índice.
a) 84
3 y 5 c) 3 5
2 y 5 e) 33 4
7 y 7
b) 7 3
5 y 2 d) 3 4
2 y 7 f) 3 5
5 y 3
a) 824 24
933 == ⋅
; 8
5
b) 2 7 7 14
5 5 78125⋅
= = ; ( )
27 143 3 6 147 2
2 2 2 64⋅
= = =
c) ( )
5 103 3 152 5
2 2 2⋅
= = ;
10 225 25
555 ==
⋅
d)
12 443 43
222 ==
⋅
;
12 334 34
777 ==
⋅
e)
3 2 63 9 9
7 7 7⋅
= = ;
3 3 2 64 8 8
7 7 7⋅
= =
f) 3 5 155 53
5 5 5⋅
= = ; 5·3 153 35
3 3 3= =
2.60. Realiza estas operaciones.
a) 216 : 6 c) 33
729 : 27 e) 512 : 2
b) 3 3
25 5⋅ d) ( )
2
4
16 f) ( )
2
3
216 : 6
a) 636
6
216
6:216 === d) ( ) 42216 2
2
4 424
===
b) 55525
3 333
==⋅ e) 9 8 4
512 : 2 2 : 2 2 2 16= = = =
c) 3=27=
27
729
=27:729 3333 f) ( ) ( )
22
33 3 3 2 2
216 : 6 2 ·3 : 6 (2 ·3 ) : (2·3) 6= = =
2.61. Efectúa las siguientes operaciones.
a) ( )
2
3 2⋅ c) ( )
4
5 3⋅ e) ( )
2
2 2 2⋅ ⋅
b)
24
8
d)
4
2
5
f)
2
20
10
a) ( ) 182323 22
=⋅=⋅ d)
4 4
2
2 2 16
1555
= =
b) 3
8
24
8
24
== e) ( ) ( ) ( )
22 2
3
2 2 2 2 2 2 4·2 8⋅ ⋅ = = = =
c) ( ) 2253535 224
=⋅=⋅ f)
( )
( )
2
2
2
2020 20
2
1010 10
= = =
2.62. Introduce dentro de la raíz los números que aparecen fuera de ella.
a) 5 3 c) 4
2 5 e) 77 2
b) 3
3 2 d) 4 7 f) 3
5 5
a) 5 3 25 3 75⋅ = ⋅ = c) 44 44
805252 =⋅=⋅ e) 2
77 2 77 ·2 11858= =
b) 33 33
542323 =⋅=⋅ d) 1127474 2
=⋅=⋅ f)
3 33 3 4 3
5 5 5 ·5 5 625= = =

3. Unidad 2 | Potencias y raíces 29
2.63. (TIC) Simplifica las siguientes expresiones.
a) 3 5 3 20+ c) 45 2 20 80+ −
b) 27 3 12− d) 8 4 18 50+ −
a) 59565320353 =+=+⋅
b) 33363312327 −=−=⋅−
c) 535454538020245 =−+=−⋅+
d) 292521222501848 =−+=−+
2.64. Efectúa estas operaciones.
a) ( ) ( )2 3 3 2⋅ c) ( )3 6 6⋅
b) ( )125 : 3 5 d) ( )5 18 : 50
a) ( ) ( ) 662332 =⋅⋅ c) ( ) 186363663 2
=⋅=⋅=⋅⋅
b) ( ) 3
5
53
55
53:125 ==⋅ d) ( ) 3
25
215
50:185 ==
2.65. Expresa los siguientes radicales con el mismo índice.
a) 4
2 y 3 c) 3 2
2 y 7
b) 4 3
5 y 3 d) 3 4
5 y 6
a) 44 2
3y22 = c)
6 36 43 2
77y22 ==
b) 4 34 2
3y55 = d) 12 3412 43
66y55 ==
2.66. (TIC) Factoriza los radicandos para obtener cada raíz.
a) 129600 c) 3
9261 e) 65536
b) 6
15625 d) 5
537824 f) 3
117649
a) 32642
235235600129 ⋅⋅== = 360 d)
5 5 55
537824 2 7= = 2 · 7 = 14
b) 6
15625 = 55
6 6
= e) 16 8
65536 2 2 256= = =
c) 3 3 33
9261 3 7= = 3 · 7 = 21 f)
3 6 23
117649 7 7 49= = =
2.67. Expresa cada número como un radical.
a) 5 5 c) 4
3 2 e) 3
9 3
b) 3
7 7 d) 32
2 · 2 f) 5
7 3−
a) 125555 3
== d) 33 732
128222 ==⋅
b) 80716777 53
== e)
33 7 3
9 3 3 2187= =
c) 44 44
1622323 =⋅= f) 5 5 55
7 3 7 ·( 3) 50421− = − = −

4. 30 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.68. (TIC) Realiza las siguientes operaciones con radicales.
a) 32 2− c) 5 18 8 2 72− +
b) 50 2 200− d) 3 3
3 24 375+
a) 23224232 =−=−
b) 50 2 200 5 2 20 2 15 2− = − = −
c) 225212222157228185 =+−=+−
d) 3 3 3 3 3
3 24 375 6 3 5 3 11 3+ = + =
2.69. ¿Es siempre la raíz cuadrada de un número menor que dicho número?
Analiza la respuesta buscando ejemplos.
No, para los números tales que 0 < x < 1, xx > ; por ejemplo, x = 0,25; entonces,
x = 0,5.
2.70. ¿Cuántas raíces cuartas tiene el número 81?
Por ser la raíz de un radicando positivo con índice par, existen dos soluciones: 3 y –3.
Operaciones con potencias y raíces
2.71. Escribe estas potencias de exponente fraccionario como radicales.
a)
5
3
2 c)
3
23
−
e)
2
77
b)
3
236 d)
2
74
−
f)
9
73
−
a)
3 53
5
22 = c) 32
3
33 −
−
= e)
2
7 277 7=
b) 32
3
3636 = d)
7 27
2
44 −
−
= f)
9
7 973 3
−
−
=
2.72. Expresa los siguientes radicales en forma de potencia con exponente fraccionario.
a)
4 5
7 c) 3
81− e) 9
2−
b)
3
5
1
2
d) 3
1
2
f) 11
1024
a) 4
5
4 5
77 = c) 3
4
3
381 −=− e)
9
9 22 2
−
−
=
b) 5
3
5
3
2
2
1
−
= d) 3
1
3
2
2
1
−
= f)
10
11 1011 111024 2 2= =

5. Unidad 2 | Potencias y raíces 31
2.73. Calcula estas raíces expresándolas primero como potencias de exponente fraccionario.
a) 5 10
8 c)
8 16
2 e) 4
256
b) 3
3
1
4
d)
6
1
10
f) 3
6
125
7
a) 64888 25
10
5 10
=== d) 001,01010
10
1 32
6
6
=== −
−
b)
4
1
44
4
1 13
3
3
3
=== −
−
e)
8
4 8 24 4256 2 2 2 4= = = =
c) 4222 28
16
8 16
=== f)
3 3
3
6 23 6
125 5 5 5
497 77
= = =
2.74. Calcula el valor de estas potencias.
a)
1
3
8 c)
3
481 e)
3
29
b)
1
5
32 d)
7
40 f)
1
3
343
a) ( ) 228 3
1
33
1
== c) ( )
3 3
4 34 481 3 3 27= = = e) ( )
3 3
2 32 29 3 3 27= = =
b) ( )5
1
55
1
232
−−
= = 2–1
d) 4
7
0 = 0 f) ( )
1 1
33 3343 7 7= =
2.75. Escribe estas expresiones en forma de potencia, pero con un solo exponente.
a) ( )
41
3
2 c) ( )
21
225
−
−
e) ( )
3
3
16
−
b) ( )
4
3
5 d)
4
1
2
f) ( )
7
7
7
a) 3
4
4
3
1
22 = c)
21 2
22 225 25 5
−
−
= = e) ( )
( )
3
3 4
3 4
3
1 1
16 2
216
−
−
= = =
b) ( ) 3
4
43
55 = d) 2
4
2
14
22
2
1 −
−
== f) ( )
71
7
7 7
7 7 7= =
2.76. Indica si cada igualdad es verdadera o falsa. Justifica la respuesta.
a) ( )
2 2 2
a b a b⋅ = ⋅ c) ( )
2 2 2
a b a b+ = +
b) ( ) ( )
q pp q
a a= d)
1
a b
b a
−
=
a) Verdadera por las propiedades de las potencias.
b) Verdadera, ( ) ( )pqpqqpqp
aaaa === ⋅⋅
c) Falsa, ya que ( ) abbaba 2222
++=+
d) Verdadera,
a
b
b
a
b
a
== −
−−
1
11

6. 32 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.77. Justifica si estas igualdades son verdaderas.
a) 16 4− = − c) 3
8 2− = −
b) 8
0 0= d) 4 2
5 5− −
=
a) Falsa. Una raíz con índice par y radicando negativo no tiene ninguna solución.
b) Verdadera. Si el radicando de una raíz es 0, independientemente del índice, la solución va a
ser cero.
c) Verdadera, (–2)3
= –8
d) Verdadera, 22
4
4
555 −
−
−
==
2.78. Aplicando las propiedades de las potencias, simplifica estas expresiones.
a)
( )
( )
32 2 4
20 5 2
5 5 5
5 5 5
−
−
⋅ ⋅
⋅ ⋅
b)
( )
2 3
23 2
3
3 3
3
⋅
c)
( )
31 5
7
2 2 2
2
−−
−
⋅ ⋅
d)
( )
3 1 4
25
7 7 7
7 7
− −
⋅ ⋅
⋅
a)
( )
( )
3
2 2 4 2 6 4
2 5 4
0 5 2
5 · 5 ·5 5 ·5 ·5
5
1·5 ·55 ·5 · 5
− −
−
−
= = c)
-1 5 -3
7
2 ·(2 ) ·2
2−
=
-1 -15
-8
7
2 ·2 ·2
2
2−
=
b)
( )
2 3 2
23 2 233
3
3 3
3 · 3 3 ·3
3
3 3
= = d) 25
4-1-3
)7·7(
7·7·7
= 12-
210
4-1-3
7=
7·7
7·7·7
2.79. Calcula el valor de x en cada igualdad.
a) 2 121
81
x = b) 4 2
16 9x = ⋅ c) 2 1
4
x−
= d) 5 15
3 3 3x
⋅ =
a) 2 121 121 11
81 81 9
x x= = = ± c) 2 21
2 2
4
x x− −
= = = ±
b) 4 2 4
16 9 (2 3) 6x x= ⋅ = ⋅ = ± d) 5 15 5 15
3 3 3 3 3 10x x
x+
⋅ = = =
2.80. Opera y expresa el resultado como una potencia.
a)
4 3
3 5
:
5 3
b)
3
31
3
3
− ⋅
a)
4 3 74 3
4 3
3 5 3 ·3 3
:
5 3 55 ·5
= = b) 13
3
1
3
3
1 3
3
3
3
−=⋅
−
=⋅−
2.81. Realiza estas operaciones y expresa el resultado en forma de raíz.
a)
3 1
5 22 7
:
7 2
b)
3
2
4
3
1
5
5
⋅
a)
10
11
2
1
5
3
2
1
5
3
2
1
5
3
7
2
77
22
2
7
:
7
2
=
⋅
⋅
= b) 12
1
3
2
4
3
3
2
4
3
55
5
1
5
5
1 −
=⋅=⋅

7. Unidad 2 | Potencias y raíces 33
2.82. (TIC) Efectúa las siguientes operaciones.
a) 84
3 3 3⋅ ⋅ b) 64 3 43
3 3 : 3⋅ c)
3 105 2 7
2 : 2 2⋅ d) ( )
2
5 3⋅
a) 8 78 2488 28 484
3333333333 ==⋅⋅=⋅⋅
b) 12 512 89412 812 912 46 44 33
33:333:333:33 =⋅=⋅=⋅
c)
30 730 2120630 2120610 73 25
2222:222:2 ==⋅=⋅ +−
d) ( ) 42
5335 =⋅
2.83. Escribe en forma de potencia estas expresiones.
a) 3x
· 5x
· 6x
b)
x
x
c) ( )
2
3
x d)
3
x
a) 3x
· 5x
· 6x
= (3 · 5 · 6)x
c) ( ) 3
2
23
xx =
b)
1
2
1
2
x x
x
x
x
= = d) 12
1
3
xx =
2.84. (TIC) Realiza las siguientes operaciones.
a)
1 3
3 2 45 3 5⋅ ⋅ b) ( )
12
2 633 2 5⋅ ⋅ c)
1
3 425 2 7⋅ ⋅ d) ( )
1
1 2 2
5 10
7 6 8⋅ ⋅
a)
1 3
3 2 45 ·3 ·5 = 4 6 9 612 12
5 ·3 ·5 5 5·3=
b) ( )
12
2 633 · 2 ·5 =
4 11
3 643 ·2 ·5 = 16 3 212
3 ·2 ·5 = 3 4 3 212
3 ·2 ·5
c)
1
3 425 ·2· 7 = 2 3 86
5 ·7
d)
1 2 1
5 10 27 ·(6 · 8) =
1 2 3 1
5 10 2 27 ·((3·2) ·2 ) =
1 2 2 3
5 20 20 47 ·3 ·2 ·2 = 4 2 1720
7 ·3 ·2
2.85. Explica si son verdaderas estas igualdades.
a)
6 5
3 2
x x
x x
= b) 4 3 6 2
x x x x⋅ = ⋅
a) Verdadera, porque
6 5
3
3 2
x x
x
x x
= = b) Falsa, porque 4 3 7 8 6 2
x x x x x x⋅ = ≠ = ⋅
2.86. (TIC) ¿Son verdaderas las siguientes igualdades?
a) ( ) 3 3
3 3
− −
− = − b) ( )22
2 2−
= − c) ( ) 22
7 2 7 2
−−
⋅ = ⋅ d) ( ) 1
1 1
−
− = −
a) Verdadera, porque (–3)–3
= (–1)–3
· 3–3
= (–1) · 3–3
= – 3–3
b) Falsa, porque 2–2
= 2
1 1
42
= ≠ (–2)2
= 4
c) Falsa, porque 7 · 2–2
= 2
7 1
4 14
≠ = (7 · 2)–2
d) Verdadera, porque (–1)–1
=
1
1
−
= –1

8. 34 Unidad 2 | Potencias y raíces
2.87. Si 2 2
a b> , ¿se puede deducir que a > b? Analiza la respuesta buscando ejemplos.
No necesariamente. Si a < 0, por ejemplo, a = –1, b < 1, por ejemplo, b = 0,5.
Se cumple que: a2
> b2
(1 > 0,25), pero a < b (–1 < 0,5).
2.88. ¿Qué valores puede tomar un número a para que se cumpla que 2
a a= ?
Cero o uno.
2.89. Indica si las siguientes igualdades son verdaderas o falsas.
a) a b a b+ = + c) 2
4 2a a= e) (4 3) 2 7 2+ =
b) (4 3) 2 4 3 2+ = + d) a b a b⋅ = ⋅ f) 2
5 5 5 5 5=
a) Falsa. Contraejemplo: 5 = 2,236 y 41415 +≠+= = 1 + 2 = 3
b) Falsa, porque (4 + 3) 2 = 7 2 = 9,9 ≠ 4 + 3 2 = 8,2
c) Falsa, porque 2 2
4 2 2 2a a a a= = ≠
d) Verdadera, porque ba ⋅ = ( ) bababa ⋅=⋅=⋅ 2
1
2
1
2
1
e) Verdadera, porque 4 + 3 = 7
f) Falsa, porque ( )
2
2
5 5 5 5 5 5·5 25 5 5= = = ≠
2.90. (TIC) Realiza estas operaciones.
a) ( )
11 2
3 3
−− −
+ c) 30 30
2 2+ e) 1 1 1
2 3 5− − −
+ +
b)
( )
1
1
3 5 5
33 5
−
−
⋅
+
⋅
d)
4
2 3
2
2 2+
f) 7 7
2 2−
⋅
a) ( ) 4
9
9
4
9
1
3
1
33
11
121
==+=+
−−
−−−
d)
3
4
12
16
84
16
22
2
32
4
==
+
=
+
b)
( ) 3
32
3
5
3
3
5
53
53 2
1
1
=+=+
⋅
⋅
−
−
e)
30
31
5
1
3
1
2
1
532 111
=++=++ −−−
c) 31303030
22222 =⋅=+ f) 1222 077
==⋅−
2.91. Se tiene un cubo y se duplica su lado. El volumen del nuevo cubo es de 216 metros
cúbicos. ¿Cuál era el volumen del cubo inicial?
( )
3 3 3
2 216 8 216 27a a V a= = = = m3
2.92. (TIC) Las siguientes raíces son exactas. Calcula en cada caso el menor valor de n que
hace que se cumpla esta condición.
a) 2 3
2 3 n⋅ ⋅ b) 3 2 6
7 3 n⋅ ⋅ c) 5 3
3 5n⋅ ⋅ d) 4 3 2
2 3n ⋅ ⋅
a) 2 3 2 4
3 , 2 ·3 ·3 2 ·3 18n = = = c) 5 3 6 4
15 3·5 , 3 ·3·5·5 3 ·5 675n = = = =
b) 3 32 6 3 6
7 , 7 ·3 ·7 7 ·3 63n = = = d) 4 42 2 3 2 4 4
18 2·3 , 2·3 ·2 ·3 2 ·3 6n = = = =

9. Unidad 2 | Potencias y raíces 39
AUTOEVALUACIÓN
2.1. Efectúa estas operaciones y expresa el resultado en forma de raíz.
a)
3
2 43 3⋅ b)
3 1
4 22 : 4 c) ( )
2
2 5( 3)−
−
a)
3 3 11
2
42 114 4 43 3 3 3 3
+
⋅ = = =
b) ( )
3 1 3 3 3 11
1
42 14 2 4 4 4 42 4
1
2 : 4 2 : 2 2 : 2 2 2 2
2
− −
−
= = = = = =
c) ( ) ( )
2 4
2 455 55
4
1
( 3) 3 ( 3)
3
−
− −
− = − = − =
2.2. Calcula las siguientes raíces.
a) 3
27 b) 11
1 c) 4
16 d) 3
27
8
a) 3327
3 33
== c) 4 44
16 2 2= =
b) 1111
= d)
3
33
3
27 3 3
8 22
= =
2.3. Indica el número de raíces de estos radicales.
a) 3 b) 3
5 c) 4
7− d) 5
10−
a) Dos raíces reales.
b) Una raíz real.
c) No tiene raíces reales.
d) Una raíz real.
2.4. Realiza estas operaciones.
a) 5 8 32 3 18− + b) 3 4
5 3 7⋅ ⋅
a) 21529242103232251833285 253
=+−=⋅+−=+−
b) 43
7·3·5 = 12 364
7·3·5
2.5. Escribe en notación científica:
a) Cuatro milésimas c) 0,000 000 006
b) 51 423 000 d) 29 millones
a) 3
104 −
⋅ c) 9
6 10−
⋅
b) 7
101423,5 ⋅ d) 7
2,9 10⋅