1. ÁLGEBRA LINEARÁLGEBRA LINEAR
APLICAÇÕES À ÓPTICAAPLICAÇÕES À ÓPTICA
Luis Felipe de Araújo e SousaLuis Felipe de Araújo e Sousa
Elton Ribeiro da CruzElton Ribeiro da Cruz

2. Leis da ReflexãoLeis da Reflexão
 Espelhos PlanosEspelhos Planos
 Comportamento da LuzComportamento da Luz
 Incidência e ReflexãoIncidência e Reflexão
 Como descrever matematicamente?Como descrever matematicamente?

3. Situação simplesSituação simples
 Seja um feixe de raios paralelos (direçãoSeja um feixe de raios paralelos (direção
dada por um vetor) que se reflete emdada por um vetor) que se reflete em
espelhos planosespelhos planos — a propagação se dá— a propagação se dá
no Rno R²²
 Em que direção o raio está sendoEm que direção o raio está sendo
refletidorefletido??

4. Leis da ReflexãoLeis da Reflexão

5. Transformações LinearesTransformações Lineares
 Interpretação geométrica da luzInterpretação geométrica da luz
 Espaços Vetoriais – propriedadesEspaços Vetoriais – propriedades
 Aplicações à ópticaAplicações à óptica

6. Transformações LinearesTransformações Lineares
 Transformações Lineares F:Transformações Lineares F: RR²² RR²²
 Reflexão em torno do eixo-xReflexão em torno do eixo-x
F:F: RR²² RR² ; (x,y) (x,-y)² ; (x,y) (x,-y)
x x 1 0 xx x 1 0 x
y -y 0 -1 yy -y 0 -1 y
=

7. Transformações LinearesTransformações Lineares
v
F
F(v)

8. AplicaçõesAplicações
(c,d)
(a,b)
Espelho
Assim: a=c e d= -b

9. AplicaçõesAplicações
 Sendo assim, podemos aplicar aSendo assim, podemos aplicar a
transformação linear de reflexão em tornotransformação linear de reflexão em torno
do eixo X para verificar a direção da luzdo eixo X para verificar a direção da luz
após a reflexão no espelho.após a reflexão no espelho.
c 1 0 ac 1 0 a
d 0 -1 bd 0 -1 b
=

10. Caso Geral ReflexãoCaso Geral Reflexão
y’
x’
y
x
φ
φ
θ
(c,d)
(a,b)
Espelho

11. AplicaçõesAplicações
 Qual a matriz associada ao um espelhoQual a matriz associada ao um espelho
numa posição mais geral?numa posição mais geral?
 Pode-se usar a transformação linear daPode-se usar a transformação linear da
rotação de um espelhorotação de um espelho, formando um, formando um
ânguloângulo θθ com o eixo x!com o eixo x!

12. AplicaçõesAplicações
 Tomemos a baseTomemos a base ββ = {= {ee11,, ee22}, onde}, onde ee11 ==
(cos(cos θθ, sen, sen θθ) e) e ee22 = (-sen= (-sen θθ, cos, cos θθ))
 Em relação à esta base, a transformaçãoEm relação à esta base, a transformação
E é dada por:E é dada por:
[E][E]ββ
ββ==
1 01 0
0 -10 -1
 Portanto, em relação à base canônica temos:Portanto, em relação à base canônica temos:

13. [E][E]cancan
cancan = [I]= [I]ββ
cancan [E][E]ββ
ββ [I][I]cancan
ββ ==
cos 2cos 2θθ sen 2sen 2θθ
sen 2sen 2θθ -cos 2-cos 2θθ
=cc
dd
aa
bb
cos 2cos 2θθ sensen 22θθ
sen 2sen 2θθ -cos 2-cos 2θθ
E, portanto:

14. Obrigado!!!Obrigado!!!
Boas FériasBoas Férias