Conjunto dos Números Naturais (N) - Operações

Caderno
Caderno
educacional
educacional
Material do professor


MATEMÁTICA
Ciências
ciências
Material de apoio
Material de apoio

9

o

ano

Expediente
Marconi Ferreira Perillo Júnior
Governador do Estado de Goiás
Thiago Mello Peixoto da Silveira
Secretário de Estado da Educação
Erick Jacques Pires
Superintendente de Acompanhamento de Programas Institucionais
Raph Gomes Alves
Chefe do Núcleo de Orientação Pedagógica
Valéria Marques de Oliveira
Gerente de Desenvolvimento Curricular
Gerência de Desenvolvimento Curricular
Elaboradores
Abadia de Lourdes da Cunha
Alexsander Costa Sampaio
Aline Márcia dos Santos
Carlos Roberto Brandão
Deusite Pereira dos Santos
Inácio de Araújo Machado
Júnior Marques Carneiro
Lidiane Rodrigues da Mata
Márcio Dias de Lima
Marlene Aparecida Faria
Mônica Martins Pires
Regina Alves Costa Fernandes
Silma Pereira do Nascimento Vieira

Sumário
Apresentação...............................................................................................................................................5
Aula 01 Conjunto dos Números Naturais (N )........................................................................7
Aula 02 Conjunto dos números inteiros (Z ) – Operações............................................10
Aula 03 Conjunto dos Números Racionais (Q ) – Frações..............................................14
Aula 04 Conjunto dos números racionais (Q ) Números

Decimais – Operações..................................................................................................19
Aula 05 Conjunto dos números racionais (Q ): Equivalência de frações..................23
Aula 06 Conjunto dos números racionais (Q ) – Conversão..........................................27
Aula 07 Conjunto dos Números Irracionais.........................................................................30
Aula 08 Conjunto dos Números Reais (R ) ..........................................................................32
Aula 09 Os números racionais na reta numérica...............................................................35
Aula 10 Potenciação: Definição................................................................................................37
Aula 11 Potenciação: Propriedades........................................................................................41
Aula 12 Potência com expoente negativo...........................................................................43
Aula 13 Potenciação: expressões numéricas.......................................................................46
Aula 14 Decomposição em fatores primos..........................................................................48
Aula 15 Radiciação: Definição / Extração de raiz...............................................................50
Aula 16 Radiciação (propriedades).........................................................................................55
Aula 17 Radiciação inexata .......................................................................................................58
Aula 18 Relacionando potências e radicais..........................................................................60
Aula 19 Resolução de situações problema envolvendo números R .........................62
Aula 20 Exercícios – números Reais........................................................................................64
Aula 21 Rotação de polígonos – Propriedades..................................................................66
Aula 22 Reflexão de polígonos – Propriedades..................................................................70
Aula 23 Translação de polígonos – Propriedades.............................................................75
Aula 24 Plano Cartesiano Ortogonal......................................................................................79
Aula 25 Construção de polígonos no plano cartesiano..................................................83
Aula 26 Exercícios envolvendo polígonos............................................................................88
Aula 27 Circunferência e círculo: Definição e diferenças...............................................90
Aula 28 Razão I................................................................................................................................94
Aula 29 Razão II (situações problema envolvendo razões em porcentagens) ��100
Aula 30 Proporção ......................................................................................................................104

Aula 31
Aula 32
Aula 33
Aula 34
Aula 35
Aula 36
Aula 37
Aula 38
Aula 39

Aula 40

Aula 41
Aula 42
Aula 43
Aula 44
Aula 45

Aula 46
Aula 47
Aula 48
Aula 49

Proporção – Propriedade..........................................................................................111
Exercícios envolvendo razão e proporção.........................................................117
Perímetro de polígonos diversos...........................................................................118
Área de polígonos: quadrados e retângulos....................................................123
Área de polígonos – Triângulos.............................................................................126
Área de polígonos: paralelogramo.......................................................................131
Área de polígonos: trapézio....................................................................................135
Área de polígonos: pentágono e hexágono.....................................................138
Área de superfície de figuras não planas: cubo, cilindro
e paralelepípedo..........................................................................................................142
Exercícios envolvendo a área de superfície de figuras não planas:
cubo, cilindro e paralelepípedo, aplicados em avaliações externas........146
Leitura de gráficos e tabelas...................................................................................150
Construir tabelas de dados estatísticos..............................................................155
Construir gráficos de frequência de dados estatísticos – coluna.............161
Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos – barra ��166
Construção de gráficos de frequência de dados estatísticos
– setores..........................................................................................................................172
Conclusões com base na leitura de gráficos.....................................................177
Relacionar gráficos com tabelas............................................................................181
Relacionar tabelas com gráficos............................................................................187
Conclusões com base na leitura de tabelas......................................................195

Apresentação
O Governo do Estado de Goiás, por meio da Secretaria de Estado da Educação (SEDUC), criou o “Pacto pela Educação com o objetivo de avançar na
”
oferta de um ensino qualitativo às crianças, jovens e adultos do nosso Estado.
Assim, busca-se adotar práticas pedagógicas de alta aprendizagem.
Dessa forma, estamos desenvolvendo, conjuntamente, várias ações, dentre
elas, a produção deste material de apoio e suporte. Ele foi concebido tendo por
finalidade contribuir com você, professor, nas suas atividades diárias e, também, buscando melhorar o desempenho de nossos alunos. Com isso, espera-se
amenizar o impacto causado pela mudança do Ensino Fundamental para o
Médio, reduzindo assim a evasão, sobretudo na 1ª série do Ensino Médio.
Lembramos que a proposta de criação de um material de apoio e suporte
sempre foi uma reivindicação coletiva de professores da rede. Proposta esta
que não pode ser viabilizada antes em função da diversidade de Currículos que
eram utilizados. A decisão da Secretaria pela unificação do Currículo para
todo o Estado de Goiás abriu caminho para a realização de tal proposta.
Trata-se do primeiro material, deste tipo, produzido por esta Secretaria,
sendo, dessa forma, necessários alguns ajustes posteriores. Por isso, contamos
com a sua colaboração para ampliá-lo, reforçá-lo e melhorá-lo naquilo que for
preciso. Estamos abertos às suas contribuições.
Sugerimos que este caderno seja utilizado para realização de atividades dentro e fora da sala de aula. Esperamos, com sua ajuda, fazer deste um objeto de
estudo do aluno, levando-o ao interesse de participar ativamente das aulas.
Somando esforços, este material será o primeiro de muitos e, com certeza,
poderá ser uma importante ferramenta para fortalecer sua prática em sala de
aula. Assim, nós o convidamos para, juntos, buscarmos o aperfeiçoamento de
ações educacionais, com vistas à melhoria dos nossos indicadores, proporcionando uma educação mais justa e de qualidade.
A proposta de elaboração de outros materiais de apoio continua e a sua
participação é muito importante. Caso haja interesse para participar dessas elaborações, entre em contato com o Núcleo da Escola de Formação pelo e-mail
cadernoeducacional@seduc.go.gov.br
Bom trabalho!

5

Matemática
Aula 01

Conjunto dos Números Naturais (N)
Objetivo geral
Relembrar as quatro operações (adição, subtração,
multiplicação, divisão) do conjunto dos números naturais.

O que devo aprender
nesta aula

Conceito básico

u Reconhecer a aplicação

Os números naturais surgiram da necessidade de fazer
contagens, portanto, fica claro que tal conjunto é formado
pelos números que utilizamos para contar. Representa-se
o conjunto dos números naturais por N :
N = "0, 1, 2, 3, ... ,

u

A seguir faremos uma pequena revisão acerca das
operações de adição, subtração, multiplicação e divisão
trabalhadas no conjunto N .
Adição: É a operação matemática que permite juntar e/
ou acrescentar quantidades. Tais quantidades são chama
das termos ou parcelas. A operação 2 936 + 4 652 = 7 588
indica uma adição.

dos números naturais e suas
diferentes formas de utilização
no cotidiano.
Reconhecer e aplicar as
propriedades das operações
com números naturais e
percebê-las como facilitadoras
na compreensão das técnicas
operatórias.

u Analisar, interpretar, formular

e resolver situações problema
em diferentes contextos sociais
e culturais.

Subtração: É a operação matemática que permite retirar certa quantidade de outra. Tais
quantidades, também, são chamadas termos ou parcelas. A operação 1527 – 1354 = 173 indica
uma subtração.
Multiplicação: É a operação matemática que permite adicionar quantidades iguais. O
resultado de uma multiplicação é chamado de produto. A operação 12 . 46 = 552 indica uma
multiplicação.
Divisão: É a operação matemática que permite repartir um número em quantidades iguais. A
operação 1554 ' 37 = 42 indica uma divisão.

Propriedades importantes da adição e da multiplicação
Quando trabalhamos com a adição ou a multiplicação de números naturais existem algumas
propriedades comuns que devem ser relembradas. São elas:
Comutativa: A ordem das parcelas não altera o resultado final da operação.
Adição: a + b = b + a
Exemplo: 5 + 7 = 12 e 7 + 5 = 12, portanto, 5 + 7 = 7 + 5.

7

Matemática
Multiplicação: a . b = b . a
Exemplo: 5 . 7 = 35 e 7 . 5 = 35, portanto, 5 . 7 = 7 . 5 = 35.
Associativa: O agrupamento das parcelas não altera o resultado.
Adição: (a + b) + c = a + (b + c)
Exemplo: (2 + 3) + 5 = 5 + 5 = 10 e 2 + (3 + 5) = 2 + 8 = 10, portanto, (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)
Multiplicação: (a . b) . c = a . (b . c)
Exemplo: (3 . 4) . 2 = 12 . 2 = 24 e 3 . (4 . 2) = 3 . 8 = 24, portanto, (3 . 4) . 2 = 3 . (4 . 2)
Observação: Quando temos uma expressão envolvendo parênteses, devemos realizar primei
ramente as operações contidas em seu interior.

Expressão Numérica
Na expressão numérica, os sinais de associação devem seguir a ordem: os parênteses ( ) devem
ficar dentro dos colchetes [ ], e estes, dentro das chaves { }.
Nesse caso, deve-se efetuar primeiro as operações que estão entre parênteses, em seguida as
operações que estão nos colchetes e, finalmente, as que estiverem entre chaves.
Em relação as operações matemáticas devemos obedecer a seguinte ordem: multiplicação e/
ou divisão e, em seguida, adição e/ou subtração. Por exemplo:

8+5.3=

(I)

8 + 15 =
23
( II )
15 + [(3 . 6 - 2) - (10 - 6 : 2) + 1] =
15 + [(18 - 2) - (10 - 3) + 1] =
15 + [16 - 7 + 1] =
15 + [9 + 1] =
15 + 10 =
25

Atividades
01 Efetue cada uma das operações a seguir:

a) 487 + 965
b) 1238 – 649

8

Matemática
c) 35 . 126
d) 9114 : 62
Sugestão de solução:
a) 1452; b) 589; c) 4410; d) 147.

02 Calcule o valor das seguintes expressões numéricas:

a) 50 – {15 + [16 : (10 – 2) + 5 . 2]} =
b) 70 – [5 . (4 : 4) + 9] =
c) 25 + {27 : 9 + [9 . 5 – 3 . (8 – 5)]} =
d) 25 – [27 – (4 – 1 + 6 – 4)] =
a) 23; b) 56; c) 64; d) 3.

03 Resolva os probleminhas a seguir:
a) Um pai deixou de herança para seus 3 filhos uma coleção com 3.216 selos de diversos países. Supondo uma divisão equilibrada, quantos selos caberão a cada filho?
(Desenvolva o algoritmo da divisão).
b) Antônio recebe R$ 35,00 de mesada de seu pai. Quanto ele terá recebido depois de 1 ano e meio?
c) Maria levou R$ 20, 00 para fazer compras no supermercado. Ela gastou R$ 5,00 com bolachas e chocolates e R$
9,00 com produtos de limpeza. Quantos reais sobraram para Maria?
d) Um funcionário precisa colocar 336 latas de refrigerantes em caixas de papelão. Se em cada caixa cabem 16 latas,
quantas caixas serão necessárias para armazenar todas as latas de refrigerante?
a) 1 072 selos; b) R$ 630,00; c) R$ 6,00; d) 21 caixas.

Desafio
Sabendo que Tiago tem uma coleção composta por 396 figurinhas, responda:
a) Se Tiago dividir suas figurinhas com seu primo Mateus em duas partes exatamente iguais, quantas
figurinhas terá cada um?
b) Se Tiago triplicar sua coleção a nova quantidade corresponderá a que valor?
c) Caso o pai de Tiago lhe dê mais 89 figurinhas qual será a nova quantidade obtida por ele?
d) Se Tiago der 129 figurinhas a Lucas, quantas figurinhas lhe sobrarão?
a) 198; b) 1 188; c) 485; d) 267.

9

Matemática
AULA 02

Conjunto dos números
inteiros (Z) – Operações
Objetivo Geral
Interpretar e resolver situações problema envolvendo
operações com números inteiros.

Conceitos Básicos

u Reconhecer a importância

O conjunto dos números inteiros ( Z ) encontra-se
presente em diversas situações do dia-a-dia, principalmente
quando apresentam o envolvimento de números negativos.
É formado pela união do conjunto dos números naturais
com os seus simétricos em relação ao zero. Portanto, é
formado por números positivos e negativos:
Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}

Dois números são ditos simétricos quando sua soma
for igual a zero. Portanto, dizemos que os números
negativos (-1, -2, -3, ...) são simétricos dos números
naturais, uma vez que:
1 + (-1) = 0,

O que devo aprender
nesta aula

2 + (-2) = 0,

3 + (-3) = 0

das operações que envolvem
números reais, inclusive
potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos
mais variados contextos sociais
e culturais.
u Utilizar as propriedades das

operações com números reais
como facilitadoras da resolução
de situações problema.
u Criar e resolver situações

problema que envolvem
números reais ampliando e
consolidando os significados
das operações adição,
subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e
radiciação.

Operações com Números Inteiros
As operações que envolvem os números inteiros requerem a utilização de regras matemáticas
envolvendo os sinais positivos (+) e negativos (–). Para isso é necessário que fique claro que
operação matemática está sendo desenvolvida: adição ou multiplicação.

Adição de números inteiros
É importante perceber que a expressão adição de números inteiros é utilizada quando há a
sequenciação de números positivos e negativos sem que haja as operações de multiplicação e/ou
divisão. Para isso é importante observar se as parcelas à serem operadas possuem sinais iguais ou
diferentes. Assim:

10

Matemática
 as parcelas possuírem sinais iguais o resultado final terá o mesmo sinal das parcelas e
Se
será obtido a partir da adição das mesmas, não importando se ambas forem positivas ou
negativas. Observe:
a) - 20 - 25 =- 45
b) 32 + 17 =+ 32 + 17 =+ 49 = 49
 as parcelas possuírem sinais diferentes o resultado final terá o sinal da parcela que
Se
possuir o maior valor absoluto e será obtido a partir da subtração das mesmas. Observe:
a) - 25 + 45 =+^ 45 - 25h =+ 20
b) 38 - 51 =- (51 - 38) =- 13

Multiplicação e ou divisão de números inteiros
Para operarmos a multiplicação ou a divisão de dois números inteiros assim como na adição de
números inteiros inicialmente é necessário perceber o sinal das parcelas à serem operadas. Assim:
 produto ou o quociente de duas parcelas que possuem o mesmo sinal é um número
O
positivo.
a) (- 6) $ (- 18) =+ 108 = 108
b) (5) $ (9) = (+ 5) $ (+ 9) =+ 45 = 45
c) (- 90) ' (- 15) =+ 6 = 6
d) (170) ' (17) = (+ 170) ' (+ 17) =+ 10 = 10
 produto ou quociente de dois números de sinais diferentes é um número negativo.
O
a) (- 8) $ (+ 9) =- 72
b) (+ 7) $ (- 13) =- 91
c) (- 45) ' (+ 5) =- 9
d) (+ 100) ' (- 10) =- 10

Atividades
01 Uma microempresa representou em um gráfico seus resultados do segundo semestre do ano.

11

Matemática
Atenção: Os números positivos indicam o lucro da empresa e os negativos indicam o prejuízo da empresa.

Analisando os dados do gráfico responda:
a) Em quais meses a microempresa teve lucro?
b) Em quais meses a microempresa teve prejuízo?
c) Em qual mês a microempresa apresentou o pior resultado? Porque?
d) Qual foi o lucro médio nesses semestre?
e) Contabilizando o lucro e o prejuízo total desta empresa nos seis meses apresentadas determine se a
empresa terminou com saldo positivo ou negativo? Qual foi o montante deste saldo?
a) Nos meses de agosto, outubro e dezembro.
b) Nos meses de julho, setembro e novembro.
c) No mês de novembro.
d) Lucro. 12 milhões.
e) 2 milhões.

12

Matemática
02 Observe o saldo bancário de Gabriel relativo aos meses de março a junho.
Mês
Março
Abril
Maio
Junho

Saldo
+ R$ 800,00
+ R$ 250,00
- R$ 150,00
- R$ 950,00

Qual é o saldo do Gabriel ao final desses quatro meses?
- 50 reais

03 Imagine uma sequência numérica onde o primeiro termo é o número (–8). Então:
a) Determine o segundo termo desta sequência sabendo que ele é o dobro do primeiro mais quatro.
b) Determine o terceiro termo desta sequência sabendo que ele é igual ao triplo do primeiro termo menos dez.
c) Determine o quarto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quádruplo do primeiro menos cinco.
d) Determine o sexto termo desta sequência sabendo que ele é igual ao quíntuplo do primeiro dividido por
menos quatro (-4).
a) -12; b) -34; c) -37; d) 10.

04 Em uma operação onde o resto é 0 e o dividendo é + 72 , o quociente é - 8. Qual é o divisor?
9

Desafio
Em um campeonato de damas ficou estabelecido o seguinte critério de pontuação:
Vitória
Empate
Derrota

+ 5 pontos
+ 3 pontos
- 2 pontos

Paulo terminou a primeira fase do campeonato com 30 pontos e, na segunda fase atingiu 3 vitórias, 1
empate e 2 derrotas.
Marcos, por sua vez, terminou a primeira fase do campeonato com 32 pontos e, na segunda fase atingiu
1 vitória, 2 empates e 3 derrota.

13

Matemática
Responda:
a) Quantos pontos Paulo e Marcos alcançaram, respectivamente, ao final da 2ª fase do campeonato?
b) Quem foi o ganhador?
a) Paulo 44 pontos e Marcos 37 pontos.
b) Paulo.

Aula 03

Conjunto dos Números Racionais (Q )
Frações
Objetivo Geral
Compreender a ideia de fração (parte-todo), razão e
divisão;
Efetuar cálculos e resolver situações problema que
envolvam as operações com números racionais na forma
fracionária.

O que devo aprender
nesta aula
u Compreender as frações

e utilizá-las em situações
diversas.
u Formular e resolver situações

Conceito básico
Os números racionais são os que podem ser escritos na
forma de fração a , em que a e b são números inteiros e b
b
! zero.

problema que envolva a
ideia de fração (parte-todo) e
também de razão e divisão.

O conjunto dos números racionais (representado por
Q ) é definido por:
a
a ! Z;b ! Zeb
Q=$
b

! 0.

Em outras palavras, o conjunto dos números racionais é formado por todos os quocientes de
números inteiros a e b, em que b é não nulo. Exemplos:
3 (lê-se: três décimos)
10

14

0 (é o mesmo que 0 )
1

Matemática
4 (lê-se: quatro quintos)
5

- 3 (é o mesmo que - 3 )
1

13 (lê-se: treze vinte avos)
20

- 8 (é o mesmo que 8 )
5
5

Fração
Fração é a parte de um todo. Em sua representação há o numerador e o denominador.

Significado
Numerador
Número colocado acima do traço que indica quantas partes da
unidade foram tomadas.

Denominador
Número colocado abaixo do traço que indica em quantas partes
iguais a unidade foi dividida.
Exemplo 1:
Observe a figura:
Ela representa uma pizza dividida em 8 pedaços iguais.
Cada pedaço representa uma fração da pizza, que é indicado
por 1 .
8
Como foram colocados em destaque dois pedaços, podemos
repre entá-los pela fração 2 .
s
8

Exemplo 2:
João pegou na biblioteca da escola um livro de 34 páginas para ler. Até o momento João leu
22 paginas.
Qual a fração que representa o número de páginas que João leu?
Para a resolução do problema, temos que identificar o conjunto universo, que neste caso é o
total de páginas do livro, ou seja, 34.
O total de páginas lidas por João é 22.
Logo a fração correspondente às páginas lida será: 22 .
34

15

Matemática
Operações com frações
Adiçao e subtração
Dividiu-se um hexágono em 6 partes iguais e pintou-se de vermelho 2 dessas partes, e de rosa,
outras 3, conforme figura abaixo.

Nesta condição podemos dizer que 2 do hexágono está pintado de vermelho e 3 está pintado
6
6
de rosa.
Assim, observando a figura temos que das 6 partes do hexágono, 5 estão pintadas.
Logo podemos dizer que no total, 5 do hexágono está pintado.
6
2 +3 = 5
Concluímos que:
6 6 6
Na soma ou subtração de frações com denominadores iguais, basta conservar o denominador
e operar os numeradores (somar ou subtrair).
Exemplos:
a) 3 + 8 = 11 (ou seja, 1 inteiro) b) 2 + 7 = 9
11 11 11
17 17 17
c) - 2 + 3 = 1 d) 5 - 3 = 2
6 6 6
9 9 9
e) 3 - 4 =- 1
5 5
5

Multiplicação e divisão
Observe a figura a seguir:

16

Matemática
Considerando o triplo da área pintada da figura acima teremos:

2 6
Assim, a parte pintada corresponde a 6 do retângulo. Logo, 3 $ = .
8 8
8
3
Lembre-se que todo numero inteiro pode ser escrito na forma de fração, assim 3 = .
1
Logo, 3 $ 2 = 6 , pois, 3 $ 2 = 6 .
1 8 8
1$8
8

O resultado de uma multiplicação entre duas frações é uma fração cujo numerador é o
produto dos numeradores e cujo denominador é o produto dos denominadores.
Para dividir duas frações, temos que:
O quociente de uma fração por outra é igual ao produto da primeira fração pelo inverso
da segunda fração.
Exemplos:
3 '5
2 4

&

3 ' 4 = 12
2 5 10

2 '1
5 3

&

2 '3 = 6
5 1
5

Atividades
01 Observe as figuras abaixo
Que fração a parte pintada representa em cada figura? Escreva por extenso.

Sugestão de soluçao:

17

Matemática
02 A mãe de Fabrício fez um delicioso bolo. Ela tinha uma dúzia de ovos, e, para fazer o bolo utilizou 4 ovos. Que

fração representa os ovos que sobraram? Qual o denominador dessa fração? E o numerador?
Sugestão de solução
12 – 4 = 8
A fração que representa os ovos que sobraram é:
O denominador é 12, e o numerador é 8.

8
12

.

03 Calcule
a)

1 2 = b) 2 3 = c) 3
5 =
'
$
$
5 4
3 5
2
6

a)

1 2 = 2
$
5 4
20

b)

2 3 = 6
$
3 5
15

c)

04 Amanda tem 15 anos. A idade de sua prima é
Quantos anos tem a prima de Amanda?

2
5

3 6 = 18
$
2 5
10

de sua idade.

2
5

de 15 = 15 : 5 = 3, 2 partes equivale a 6.

A prima de Amanda tem 6 anos.

05 Maurício leu 15 páginas de uma revista. Desse modo, Maurício leu

ta de Maurício?

A revista tem 25 páginas.

06 Efetue a seguinte operação:
a)

2
1
6
2 3
' $ $ 8 - ` + jB. =
3
2 7
7 7

2
1
6 5
' $ $ 8 - B. =
3
2 7 7
2
1 1
'$ $ . =
3
2 7
2
1
'
3 14

18

=

2 14
$
3 1

=

28
3

3
5

da revista. Quantas páginas tem a revis-

Matemática

Desafio
Marina ganhou certa quantia de dinheiro de sua mãe, dessa quantia ela gastou
tes. Do que sobrou, ela gastou 1 com pirulitos.

2
5

comprando chocola-

2

Que fração do dinheiro que Marina ganhou foi gasto com pirulitos?

3
10

Aula 04

Conjunto dos números racionais (Q )
Números Decimais – Operações
Objetivo Geral
Operar com números decimais e resolver situações
problema do cotidiano envolvendo as operações com
números decimais.

Conceito básico
Um número é dito decimal quando apresentar uma
vírgula em sua escrita. Por exemplo 3,7 .
Para ler o número escrito na forma decimal
primeiramente faz-se a leitura do número como se
não existe vírgula. Assim, no número 14,2 lê-se cento e
quarenta e dois.
O passo seguinte é especificação da parte decimal. Para
isso basta seguir as seguintes orientações:
 Se houver apenas um número após a vírgula será
usada a expressão décimos.
u 1,4 (lê-se: quatorze décimos)
 Se houverem dois números após a vírgula será
usada a expressão centésimos.
u 1,13 (lê-se: cento e treze centésimos)

O que devo aprender
nesta aula

e culturais.


radiciação.

19

Matemática
 Se houverem três números após a vírgula será usada a expressão milésimos.
u 2,075 (lê-se: dois mil e setenta e cinco milésimos).
É válido salientar que todo número escrito na forma de fração pode ser escrito como decimal.
Para isso basta dividir o numerador pelo denominador. Veja os exemplos:
3 =
0, 3
10

- 11 =- 1, 22222.......
9

4 =
0, 8
5

71 =
0, 71
100

13 =
0, 65
20

8 =
1, 6
5

Este processo é extremamente importante para auxiliar na localização de um número racional
na reta numérica.
Para transformar um número decimal em uma fração decimal, escreve-se uma fração cujo
numerador é o numero decimal sem vírgula, o denominador será o algarismo um (1) seguido de
tantos zeros quanto forem as casas decimais do número decimal dado.
Exemplos:
1, 22
duas casas

=

122
13
0, 013 =

100
1000

3
0, 3 =
10

dois zeros

Comparando dois números decimais
Para comparar dois números decimais é necessário, primeiramente, igualar as casas decimais
dos dois, acrescentando zeros á direita do número que possuir menor quantidade de algarismos.
Em seguida, é preciso eliminar a vírgula de ambos. Após o desenvolvimento destas duas etapas
faz-se a comparação dos produtos finais.
Exemplos:
Vamos comparar os números 0,197 e 0,0987, usando os sinais: < (menor), > (maior) ou =
(igual).
0, 0987

S

4 casas

0, 1970

S

acrescenta-se um zero para igualar as casas decimais com o outro número

Elimina-se a vírgula dos dois números e os compara:
987 e 1970 " 987 < 1970.
Logo, 0,0987 < 0,197

20

Matemática
Operações com números decimais
Adição e subtração
Para somar ou subtrair dois números decimais, primeiramente, é preciso acrescentar quantos
zeros forem precisos para igualar o número de casas decimais de ambos:
2, 7 + 3, 0456
2, 7 + 3, 0456

" 2, 7 + 3, 0 456
S

"

3 casas a mais

2, 7 000

S

+ 3, 0456

3 casas completadas com o 0

Mesma quantidade de casas decimais

6 44 ?
4
4
? 7 44 8

2, 7000 + 3, 0456

O passo seguinte será a organização do algoritmo de forma que ambos fiquem com suas
respectivas vírgulas uma embaixo da outra.
Vírgula debaixo
de vírgula

.
2, 7000
+ 3, 0456

Desta forma realiza-se a operação identificada (adição ou subtração) colocando o resultado
com sua respectiva vírgula alinhada com as anteriores.
Vírgula debaixo
de vírgula

.
2, 7000
+ 3, 0456
5, 7456

Multiplicação
Para multiplicar dois números decimais primeiramente multiplica-se ambos omitindo a
vírgula do processo.
3, 21
# 2, 4
1284
642 +
7704

No resultado obtido coloca-se a vírgula na casa decimal correspondente ao resultado da soma
das casas decimais das parcelas da multiplicação.

21

Matemática
3, 21
# 2, 4

"
"

Duas casas após a vírgula

Total de três casas decimais

Uma casa após a vírgula

1284
642 +
7 704

3, 21
# 2, 4
1284
642 +
7, 704

Divisão
O procedimento inicial para dividir dois números decimais assemelha-se ao utilizado na adição
e subtração de números decimais uma vez que é necessário igualar as casas decimais das parcelas.
Assim, para dividir o número 4,7 pelo número 2,35 será necessário igualar a quantidade de
casas decimais do primeiro número com a quantidade de casas decimais do segundo.
Portanto,
Uma casa
decimal

4, 7 2, 35

"

?

Duas casas
decimais

?

4, 7 2, 35

"

Mesma quantidade
de casas decimais

?

?

4, 70 2, 35

"

4, 70 2, 35

A etapa seguinte consiste em eliminar as vírgulas de ambas as parcelas (dividendo e divisor) e
desenvolver o algoritmo da divisão.
4, 70 2, 35

"

470 235

Atividades
01 Efetue as operações a seguir:
a) 2,47 + 0,0165
b) 3 – 1,276
c) 4 x 2,195
d) 66 : 2,2

e) 32,51 + 0,4
f) 13,31 – 2,3
g) 5,2 x 2,3
h) 4,50 : 1,5

a) 2,4865; b) 1,724; c) 8,78; d) 30; e) 32,91; f) 11,01; g) 11,96; h) 3.

22

Matemática
02 Dona Ângela foi ao supermercado fazer compras e levou consigo R$ 50,00. Comprou 3 latas de milho que custam

R$ 1,15 cada uma, 1 pacote de macarrão que custa R$ 2,10 e 2 kg de carne que custam R$ 9,80 cada quilo.
a) Quanto ela gastou no supermercado?
b) Com o total do troco dona Ângela comprou 3,5 metros de tecido par fazer cortinas. Quanto custa o metro
desse tecido?
a) R$ 25,15; b) R$ 7,10.

03 Uma fábrica de refrigerantes produz 55 litros de refrigerante por hora e deseja encher garrafas com 2,5 litros
cada uma. Quantas garrafas serão utilizadas em uma hora?
22 garrafas

Desafio
(UFRJ) Em uma viagem ao exterior o carro de um turista brasileiro consumiu, em uma semana, 50 galões
de gasolina, a um custo total de 152 dólares. Considere que um dólar, durante a semana da viagem, valia
1,60 reais e que a capacidade do galão é de 3,8 L.
Durante essa semana, o valor, em reais, de 1 L de gasolina era de:
a) 1,28
b) 1,40
c) 1,75
d) 1,90
Letra a

Aula 05

Conjunto dos números racionais (Q ):
Equivalência de frações
Objetivo geral
Relembrar o conceito de frações equivalentes.

23

Matemática
Conceito básico
Pode-se falar que duas ou mais frações são equivalentes
se estas representam a mesma quantidade de uma grandeza.

O que devo aprender
nesta aula

e culturais.


Observe que nas duas figuras a parte pintada é a mesma.
Daí, conclui-se que as frações 2 e
4

1 representam a
2

radiciação.

mesma quantidade, logo, são frações equivalentes, e podem
ser indicadas como: 2 = 1 , ou, 2 + 1 .
4
2
4
2
Portanto, dizemos que duas ou mais frações são equivalentes quando corresponderem à
mesma quantidade.
Exemplo:
Ana e Maria ganharam duas pizzas do mesmo tamanho. Ana dividiu sua pizza em 8 partes
iguais e comeu 4 delas. Maria dividiu a sua em 4 partes iguais e comeu duas partes. Quem comeu
mais pizza?

24

Matemática
A partir das ilustrações fica perceptível que 2 e 4 representam a mesma quantidade, logo,
4
8
as frações são equivalentes. Podemos concluir, então, que ambas comeram a mesma quantidade
de pizza.
Para saber se duas frações são equivalentes, há um método extremamente simples: basta
multiplicar o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda fração e multiplicar
o denominador da primeira fração pelo numerador da segunda fração. Se os resultados obtidos
forem iguais conclui-se que as frações são equivalentes.
Exemplos:
Verifique se cada um dos pares de frações a seguir são equivalentes:
a) 2 e 4 .
4
8
2
4

4
8

2$8 = 4$4

"

16 = 16

Como os resultados foram iguais (16 = 16) temos que as frações são equivalentes.
Logo, 2 + 4 .
4
8
b) 9 e 6 .
12
8
9
12

6
8

9 $ 8 = 6 $ 12

"

72 = 72

Como os resultados foram iguais (72 = 72) temos que as frações são equivalentes.
Logo, 9 + 6 .
12
8
c) 1 e 4 .
2
6
1
2

4
6

1$6 = 2$8

"

6=8

Como os resultados foram diferentes ( 6 ! 8 ) temos que as frações não são equivalentes.

25

Matemática
Simplificação de frações
Simplificar uma fração implica em dividir seus termos (numerador e denominador) por um
mesmo número diferente de zero. É importante perceber que haverá situações em que os termos
terão mais de um divisor comum. Por exemplo, a fração 18 onde tanto numerador como o
24
denominador são múltiplos de 2, 3 e 6.
Por conta disso é importante simplificar a fração até que ela fique na sua forma irredutível,
ou seja, até que não seja mais possível encontrar um número que divida seus termos ao mesmo
tempo.
Exemplos:
Simplifique as frações a seguir até sua forma irredutível:
a) 60 ' 2 = 30 ' 3 = 10 ' 5 = 2
90 ' 2
45 ' 3 15 ' 5 3
b)

84 ' 2 = 42 ' 3 = 14 ' 7 = 2
126 ' 2
63 ' 3
21 ' 7 3

Atividades
01 Simplifique cada uma das frações a seguir até torná-las irredutíveis.
a)

54
81

c)

512
600

b)
d)

150
180
125
175

a) a)

2
5
64
5
; b)
; c)
; d) .
3
6
75
7

02 Verifique quais dos pares de frações são equivalentes:
a)

36
36
e
24
24

c)

100
400
e
125
500

b)
d)

36
50
e
60
70
7
84
e
5
60

a) não; b) não; c) sim; d) sim.

03 Marque V se a afirmativa for verdadeira e F se a afirmativa for falsa.
a) ( ) A fração

26

30
35

encontra-se em sua forma irredutível.

Matemática
b) ( ) As frações

86
56
e
93
63

c) ( ) Se simplificar a fração

são equivalentes.
84
108

por 2 e o resultado obtido por 3, a nova fração será igual a

d) ( ) A forma irredutível da fração

136
140

é igual a

34
35

.

.

7
9

14
18

.

a) F; b) F; c) V; d) V.

Desafio
Determine três frações equivalentes à forma irredutível

14 21 35
;
;
18 27 45

AULA 06

Conjunto dos números racionais (Q ) –
Conversão
Objetivo geral
Compreender e transformar fração em números
decimais e vice-versa.

Conceito básico
Em nosso dia a dia nos deparamos com números
escritos na forma de fração e precisamos transformá-los
em números decimais para facilitar a resolução de diversas
situações problema.
Exemplo 1:
Márcio passou R$10,00 para que seus 20 sobrinhos
dividissem em partes iguais. Quanto cada um ganhou?

O que devo aprender
nesta aula


radiciação.

27

Matemática
Total em dinheiro: R$ 10,00
Quantidade de sobrinhos: 20
100

20

100

0, 5

0

Portanto, cada sobrinho ganhará R$ 0,50.
Exemplo 2:
Efetue a divisão e escreva na forma decimal
a)

32 =
125 =
3, 2 b)
1, 25
10
100

c)

5 =
0, 005
1000

e)

5 =
0, 005
1000

d)

28 =
0, 028
1000

Atividades
01 Represente a fração decimal
1,21

121
100

na forma decimal.

02 Represente cada uma das frações na forma decimal.
a)

2
10

d)

3 148
10

e)

68
100

g)

2 634
100

h)

538
1 000

j)

8 356
1 000

b)

l)

35
10

518
10

c)

448
100

f)

4 761
10 000

i)

5 114
1 000

m)

15 832
10 000

a) 0,2; b) 3,5; c) 51,8; d) 314,8; e) 0,68; f) 4,48; g) 26,34; h) 0,538; i) 5,114; j) 8,356; l) 0,4761; m) 1,5832.

28

Matemática
03 Represente os números decimais em frações:
a) 0,3 =

b) 5,3 =

d) 0,654 =

c) 6,99 =

e) 4,336 =

a)

3
10

d)

654
1 000

b)
e)

53
10

c)

699
100

4 336
1 000

Desafio
Observe as frações e suas respectivas representações decimais.
I.

3 =
0, 003
1000

II.

2 367 =
23, 67
100

III.

129 =
0, 0129
10 000

IV.

267 =
2, 67
10

Analisando as igualdades apresentadas, escolha a alternativa que expressa as representações corretas.
a) I e II
b) I e IV
c) I, II e III
d) I, II, III e IV
Letra c.

29

Matemática
AULA 07

Conjunto dos Números Irracionais
Objetivo Geral
Ampliar os conceitos sobre o conjunto dos números
irracionais bem como suas operações.

O que devo aprender
nesta aula
u Reconhecer que a união dos

Conceito Básico
Os números irracionais são os números que não podem
ser representados pela divisão de dois inteiros; ou seja, são
números reais, mas não são racionais. O conjunto dos
números irracionais é representado por alguns autores
pelo símbolo I .
Sendo assim, representando a ideia expressa ante ior
r
mente em forma de diagrama temos:

números Racionais e Irracionais
constitui o conjunto dos
números Reais.
u Reconhecer um número

irracional.

problema que envolve
números irracionais.

Exemplos de números irracionais.
r , { , p , onde p é um número primo.
Observação: a raiz quadrada de qualquer número primo é um número irracional.

Atividades
01 Observe os números escritos no quadro a seguir

30

Matemática

4

3600

3

36

17

Quais desses números são racionais e quais são irracionais?
Racionais: 4 = 2 ; 36 = 6 ; 3600 = 60 ;
Irracionais: 3 ; 17 , pois 3 e 17 são primos.

02 O número irracional r está compreendido entre os números:
a) 0 e 1
c) 2 e 3

b) 1 e 2
d) 3 e 4

d.

03 Considere a expressão: 3

2 -4 2 +

2 -3 3

Qual das alternativas corresponde ao resultado simplificado desta expressão?
a) 0
b) 4 4 - 4 2 - 3 3
c) - 3 3
d) não tem como simplificar esta expressão

Letra c.

Desafio
Escreva quatro números irracionais que estejam compreendidos entre 1 e 10
Existem infinitos números irracionais entre 1 e 10, como exemplo, podemos citar um número bem famoso:
r , 3, 14 ;

3 ;

5 ;

7 ; e

8.

31

Matemática
AULA 08

Conjunto dos Números Reais (R )
Objetivo Geral
Conhecer a definição conceitual de números reais

Conceito Básico
O conjunto dos números reais R é determinado
pela união do conjunto dos números racionais com o
conjunto dos números irracionais.
Como já estudamos nas aulas anteriores:

O que devo aprender
nesta aula

constitui o conjunto dos números
Reais.
u Identificar cada número real

N " simboliza o conjunto dos Números Naturais

com um ponto da reta e viceversa.

N = "0, 1, 2, 3, 4, 5 ... ,


Z " simboliza o conjunto dos Números Inteiros
Z = "... , - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3... ,
Q " simboliza o conjunto dos Números Racionais
5
3
Q = '... , - 3, - , - 2, - 1, 0, , 1, 2, 3 ... 1
2
5


problema que envolvem números
reais ampliando e consolidando
os significados das operações
adição, subtração, multiplicação,
divisão, potenciação e radiciação.

Observação: usaremos o símbolo I para representar o
conjunto dos Números Irracionais
Assim, I é o conjunto formado pelos números que
não podem ser representados na forma de uma fração, ou seja, não podem ser obtidos pela divisão
de dois números inteiros. Então podemos falar que os irracionais são números decimais infinitos
e não periódicos.
Exemplos:
2 , 3 , e r.
R " simboliza o conjunto dos Números Reais
R = Q,I

Representando os conjuntos na forma
de diagrama temos:

32

Matemática
Na reta numérica o conjunto dos números reais pode ser representado da seguinte forma:

Quando trabalhamos com operações no campo dos números reais nos retratamos das operações
revisadas anteriormente no conjunto N, Z, I, Q e R .
Veja o seguinte exemplo que retrata operações no campo dos números reais:
Calcule e descubra o valor do resultado das seguintes operações:
a) 3 3 + 2 3 = b)
c)

3 $ 3 = d)

a) 5 3

b) 1

c)

9 =3

d)

18 =
2

0 + 1 =
18 =

2
9 =3

Atividades
01 Seja o conjunto B = "

3 , 13 , 16 ,

25 ,

30 ,

64 , .

a) Quais desses números são naturais?
b) Quais desses números são racionais?
c) Quais desses números são irracionais?
d) Quais desses números são reais?
a) 16 , 25 ,
b)

16 ,

c)

3 , 13 ,

d) 3 ,
reais.

25 ,

64 ,

pois são raízes quadradas exatas.

64 ,

pois todo número natural também é um número racional.

30 ,

13 , 16 ,

são irracionais, pois se trata de raiz quadrada não exata.
25 ,

30 ,

64 ,

todo número racional ou irracional faz parte do conjunto dos números

02 O valor numérico da expressão x2 – 3x + y + 9 para x = 6 e y = 5 indica a idade da professora Rita.
Faça os cálculos e descubra quantos anos a professora Rita tem.

Substituindo os valores de x e y na expressão temos:

33

Matemática
x2 – 3x + y + 9 = 62 – 3.6 + 5 + 9 = 36 – 18 + 5 + 9 = 32.
Portanto, a professora Rita tem 32 anos.

03 Indique corretamente a localização dos números reais a seguir na reta númérica:

3

r

-3,4

- 1
5

-3
2

Distribuindo esses números na reta numérica temos:

04 O número

51

é um número pertencente ao conjunto dos números

a) naturais
b) inteiros
c) racionais
d) reais
Como já sabemos o número 51 não possui raiz quadrada exata, logo é um número irracional e todo número
irracional pertence ao conjunto dos números reais. Alternativa d.

Desafio
Determine o que se pede na tabela a seguir:
01 Escreva cinco números naturais ( N )
02 Escreva cinco números inteiros positivos ( Z+)
03 Escreva cinco números inteiros negativos ( Z- )
04 Escreva cinco números Racionais ( Q )
05 Escreva cinco números irracionais ( I )
06 Escreva cinco números Reais ( R )

34

Matemática
AULA 09

Os números racionais na reta numérica
Objetivo geral
Possibilitar ao estudante a ampliação sobre o conjunto dos números racionais, relacionandoos com outros conjuntos e representando-os na reta numérica.

Conceito básico
Um número é dito racional quando puder ser escrito na
forma fracionária a , sendo a (numerador) e b (denominador)
b
números inteiros e o b ser, obrigatoriamente, diferente de
zero. Sendo assim, o quociente dessa divisão também será
denominado número racional.
Portanto,

O que devo aprender
nesta aula
u Identificar cada número real

com um ponto da reta e viceversa.

 Todo número natural ( N ) é um número racional uma vez que qualquer natural n é escrito
na forma n .
1
3
Ex: 3 = 1 e 15 = 15 .
1

 Todo número inteiro ( Z ) é um número racional uma vez que qualquer inteiro n é escrito
na forma n .
1
-7
- 26
7
Ex: - 7 = 1 =- 1 e - 26 = 1 =- 26 .
1

 Todo número escrito na forma decimal, também, é um número racional, uma vez que todo
número decimal pode ser escrito na forma ` a , com a e b ! Z, com b ! 0j .
b

2
Ex: 1, 8 = 18 e 0, 6 = 3 .
10

O conjunto dos números racionais é formado pelos números racionais positivos e negativos,
juntamente com o zero. Este conjunto é representado pela letra ( Q ), por ser a letra inicial da
palavra quociente.

35

Matemática

Atividades
01 A professora Raquel escreveu os seguintes alguns números no quadro, conforme mostra a figura a seguir.

Quais dos números escritos pela professora Raquel são racionais:
a) inteiros?
b) escritos na forma decimal?
c) escritos na forma fracionária?
a) 1, +4, +6 e 12 b) -2,1; 0,11 e +3,5 c) - 1
5

e+

3
5

02 Escreva a quais conjuntos (IN, Z ou Q) pertencem os números:
a) – 6

b) + 8

d) – 5,9

c) + 3
5

a) Z e Q b) IN, Z e Q c) Q d) Q

e) 32
e) IN, Z e Q

03 Observe a reta numérica a seguir e indique:

a) O ponto que corresponde ao número + 3 .
4

b) O número racional que corresponde ao ponto N.
c) O número racional que corresponde ao ponto X.
d) O ponto que corresponde ao número - 1 2 .
4

e) O ponto que corresponde ao número – 3.
a) Z b)

36

7
3
ou 1
4
4

c) - 11
4

3
ou - 2
4

d) T

e) X

Matemática

Desafio
Se necessário, troque ideias com seus colegas e complete a tabela com números racionais, substituindo o
símbolo
por números que tornam as igualdades verdadeiras.


AULA 10

Potenciação: Definição
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro não negativo e base real diferente de zero.

Conceito básico
a n = a $ a $ a $ ... $ a,
1 44 2 44 3
4
4
n - vezes

a!R e n!Z

a ) base

u Reconhecer a importância das

operações que envolvem números
reais, inclusive potenciação e
radiciação, para a resolução de
problemas dos mais variados
contextos sociais e culturais.

A potenciação é a operação matemática que envolve o
produto de fatores iguais. Denominaremos por
a n ) potência

O que devo aprender
nesta aula

como facilitadoras da resolução de
situações problema.

n)

expoente.
Numa potenciação, o expoente indica quantas vezes a
base será multiplicada.

reais ampliando e consolidando os
significados das operações adição,
subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.

37

Matemática
Note que o expoente n é um número inteiro. Iremos trabalhar inicialmente com valores
positivos para n.
Exemplo:
Calcular o valor de 54.
5 4 = 5 $ 5 $ 5 $ 5 = 625

Expoente maior que 1.
Vejamos o exemplo:
a) Calcular 25.
2 ) base

5 ) expoente

25 ) potência

2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 ) fatores

25 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 32

Perceba que o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada.
b) Calcular ^- 5h3
^- 5h ) base

3 ) expoente

^- 5h3 ) potência

^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h ) fatores

^- 5h $ ^- 5h $ ^- 5h = - 125

Observação: Professor, lembre-se nesse momento da importância de relembrar as
operações com sinais.

Expoente igual a 1.
Como o expoente indica quantas vezes a base será multiplicada, então se o expoente é igual a
1, a potência será igual à base.
Vejamos os exemplos:
71 = 7
7 ) base

1 ) expoente

71 ) potência

^- 12h1 =- 12
^- 12h ) base

1 ) expoente

^- 12h1 ) potência

Deste modo, podemos afirmar que todo número elevado a é igual ao próprio número.

Expoente igual a 0
Todo número não nulo elevado a zero é igual a 1.

38

Matemática
Exemplo: 20 = 1, 30 = 1 e 50 = 1.
Vejamos como isso acontece:
26 = 64
25 = 32
24 = 16
23 = 8
22 = 4

36 = 729

53 = 125

32 = 9

'2

54 = 625

33 = 27

'2

55 = 3 125

34 = 81

'2

56 = 15 625

35 = 243

'2

52 = 25

Observe que quando o expoente é igual a 1, o resultado é a própria base, que pode ser obtido
utilizando a mesma estratégia acima.
21 = 2

31 = 3

51 = 5

Seguindo o processo de divisão, concluímos que todo número não nulo elevado a zero é igual
a 1. Não podemos esquecer que a base tem que ser diferente de zero uma vez que 00 gera uma
indeterminação.
20 = 1

30 = 1

50 = 1

Atividades
01 Calcule as seguintes potências:
a) 24

b) (-3)2

c) (-5)1

d) 70

e) (-12)3

f) ` 3 j2

g)

4
`- 2 j
5

h)

4

5
`- 3 j
10

i) 1,24

j) -(-0,2)2
a) 16; b) 9; c) -5; d) 1; e) -1 728; f)

9
16

; g)

16
625

; h) -

243
100 000

; i) 1,44 j) -0,04

02 Uma das maneiras de obter a medida da área do quadrado é através da fórmula l2, onde l indica a medida do

seu lado. Nessas condições, qual é a medida da área do quadrado, quando o lado mede
a) 3 cm. b) 2,5 m.
c) 3 km. d) 7 m.
e) 9,3 m.

39

Matemática
a) A = 9 cm2.
d) A = 49 m2.

b) A = 6,25 m2. c) A = 9 km2.
e) A = 86,49 m2.

03 Responda:

a) Se a base tem sinal positivo e expoente par, qual será o sinal da potência?
b) Se a base tem sinal positivo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?
c) Se a base tem sinal negativo e expoente par, qual será o sinal da potência?
d) Se a base tem sinal negativo e expoente ímpar, qual será o sinal da potência?

Base
+
+
–
–

Expoente
Par
Ímpar
Par
Ímpar

Potência
+
+
+
–

Desafio
Márcio fez a seguinte proposta a seu filho Gustavo. Daria R$ 1,00 no primeiro mês e iria dobrando esse
valor a cada mês, enquanto isso Gustavo daria a seu pai R$ 50,00, por mês. Ao final de 9 meses, quem terá
recebido mais dinheiro? Quanto?
Pagamentos feitos a Gustavo por Márcio
1 mês 2 mês 3 mês 4o mês 5o mês
6o mês
7o mês
8o mês
9o mês
R$ 1,00 R$ 2,00 R$ 4,00 R$ 8,00 R$ 16,00 R$ 32,00 R$ 64,00 R$ 128,00 R$ 256,00
o

o

o

Portanto, Márcio pagou R$ 511,00 para Gustavo.
Pagamentos feitos a Márcio por Gustavo
1 mês 2 mês 3 mês 4o mês 5o mês
6o mês 7o mês
8o mês
R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00 R$ 50,00
o

o

o

Portanto, Gustavo pagou R$ 450,00 para Márcio.
Logo, Gustavo recebeu mais que Márcio R$ 61,00.

40

9o mês
R$ 50,00

Matemática
AULA 11

Potenciação: Propriedades
Objetivo geral
Recordar as propriedades de potenciação com expoente inteiro não negativo e base real
diferente de zero.

Conceito básico
Como podemos resolver 5 $ 5 $ 5 e apresentar o resulta o
d
em forma de potência?
3

2

4

O que devo aprender
nesta aula

e culturais.

Vamos lá.
53 = 5 $ 5 $ 5
52 = 5 $ 5
54 = 5 $ 5 $ 5 $ 5

Sabendo que o expoente indica quantas vezes a base será
multiplicada, então



Portanto teremos nove vezes o valor 5, assim 5 $ 5 $ 5 = 5 .
3

2

4

9

1ª propriedade:
Em um produto de potência de mesma base, devemos
conservar a base e somar os expoentes.

radiciação.

Dado a ! R e n, m ! N , então a n $ a m = a n + m .
Observe o seguinte quociente: 5 4 ' 5 2
54 ' 52 =

5$5$5$5
5$5

Simplificando os fatores comuns,
54 ' 52 =

5 $5 $5$5
5 $5

Assim,
54 ' 52 = 54 - 2 = 52

41

Matemática
2ª propriedade:
Em uma divisão de potência de mesma base, devemos conservar a base e subtrair os expoentes.
n
Dado a ! R* e n, m ! N , então a n ' a m = a n + m ou am = a n - m .
a

Uma outra situação é apresentada na propriedade a seguir:
Calcule (23)4
^23h4 = 23 $ 23 $ 23 $ 23 = 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 $ 2 = 212

SSSS
2

3

2

3

2

3

2

3

Assim, ^23h4 = 23 $ 4 = 212

3ª propriedade:
Em uma potência, onde a base é uma potência, devemos conservar a base e multiplicar os
expoentes.
Dado a ! R* e n, m ! N , então ^a nhm = a n - m .

Exercícios
01 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
a) 95 $ 93 b) ^- 4h2 $ ^- 4h $ ^- 4h3
c) 0, 5 $ 0, 52 $ 0, 53 d) `- 3 j3 $ `- 3 j2 $ `- 3 j5 $ `- 3 j1
5

5

5

5

a) 98 b) ^- 4h6
c) 0, 56 d) `- 3 j11
5

02 Aplicando as propriedades, escreva o resultado na forma de uma só potência.
a)

3
9 5 b) ^- 3h
2
9
^- 3h2

`- 2 j

7

c)

6
5 d) 10
2 4
10 5
`- j
5

b) -3
a) 93

42

c) `- 2 j3
5

d) 10

Matemática
03 Resolva as seguintes expressões:
a) ^35h2 b) ^42h6 c) ^53h3 d) `` 2 j j
3

6 3

a) 310

c) 59 d) ` 2 j
3

18

b) 412

Desafio
Simplificando a expressão

;

^0, 0001h4 $ 1027 $ ^0, 01h5
E
6
100 3 $ ^0, 1h

Obtemos como resultado:
a) 10-6
b) 10-3
d) 10
e) 103

c) 10-2

Alternativa d.

AULA 12

Potência com expoente negativo
Objetivo geral
Recordar os conceitos de potenciação com expoente
inteiro e base real diferente de zero.

O que devo aprender nesta aula

Conceito básico
A professora Marina pediu para que seus alunos
resolvessem o seguinte quociente: 53 ' 5 4 .
Julieth resolveu de duas maneiras e perguntou a
professora qual era a maneira correta.

operações que envolvem números reais,
inclusive potenciação e radiciação, para
a resolução de problemas dos mais
variados contextos sociais e culturais.

Vejamos suas respostas.

operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações
problema.

1º maneira:

u Criar e resolver situações problema

5 $5 $5
53
=1
5 '5 = 4 =
5
5 $5 $5 $5 5
3

4

2ª maneira:
53 ' 5 4 =

53 = -1
5
54

que envolvem números reais ampliando
e consolidando os significados
das operações adição, subtração,
multiplicação, divisão, potenciação e
radiciação.

43

Matemática
A resposta da professora surpreendeu Julieth pois as duas estavam corretas.
No estudo de potências, nos deparamos com expoente negativo. Vejamos como proceder
nesse caso:
23 = 8
22 = 4
21 = 2
20 = 1
2-1 =

1 = -1
2
2

2-2 =

1 = -2
2
2-2

1
2 = -3 = 2-3
2

33 = 27
32 = 9

'2
'2

51 = 5

30 = 1

'2

52 = 25

31 = 3

'2

53 = 125

50 = 1

1
3

5-1 =

1
5

3-2 =

1
32

5-2 =

1
52

3-3 =

1
33

5-3 =

1
53

31 =

'2
'2

-3

Assim quando o expoente é negativo e a base é um número real diferente de zero, então:
a- n =

1 = ` 1 jn
a
an

Exemplo:
1) Calcule cada uma das potências a seguir:
a) 3-3

2 -4
b) c 3 m

c) -^- 4h 2

-2
d) `- 10 j
12

2
-2
4
2
2 -4
81
1
1
a) 3-3 = 13 = 27 ; b) c 3 m = ` 3 j = 16 ; c) -^- 4h 2 = c- 1 m =- 16 ; d) `- 10 j = `- 12 j = 144
12
10
100
2
4
3

Atividades
01 Calcule as potências a seguir:
a) - 4-2

b) `- 5 j c) 7-3
2
-2

1
d) ` 10 j e) -^0, 3h-5
-5

a) -

44

1 b) 4
16
25

c)

1
343

Matemática
d) 1000 000

e) -`

3 -5 = - 10 5 = - 100 000
j
` j
10
3
243

02 Determine o valor da expressão:
^- 2h-3 - `- 2 j

-3

5

124
8

03 Calcule o valor de ^5

-1

+ 3 -2h-2

2 025
196

Desafio
Os círculos a seguir estão empilhados formando um triângulo. Utilizando as propriedades da potenciação,
calcule os valores de x, y e z, sabendo que o produto de cada lado é igual .


45

Matemática
AULA 13

Potenciação: expressões numéricas
Objetivo geral
Trabalhar as propriedades da potenciação com expoente
inteiro e base real diferente de zero em expressões numéricas.


Conceito básico
Em muitos casos as operações matemáticas se misturam.
Quando nos deparamos com tais situações devemos tomar
cuidado com a ordem de resolução dessas operações. Assim,
primeiramente levamos em conta a ordem de resolução de
parênteses, colchetes e chaves, respectivamente. Em paralelo,
devemos respeitar a seguinte ordem:
1o resolvemos as potenciações e/ou radiciações;
2o resolvemos as multiplicações e/ou divisões;
3 resolvemos as adições e/ou subtrações.
o

Exemplo: Calcule o valor da expressão numérica:
"5 2 + 6^- 3h5 ' ^- 3h4 @3 + ^10 - 4 2h2 ,


"25 + 6^- 3h5 - 4 @3 + ^10 - 16h2 ,
"25 + 6^- 3h1 @3 + ^- 6h2 ,
"25 + ^- 3h3 + 36 ,
"25 - 27 + 36 ,
"- 2 + 36 ,

34

Atividades
01 Resolva as expressões numéricas a seguir:
a) 32 - 25 ' 23
b) 28 $ 23 - 53 $ 32
c) ^10-3 $ 105h ' 52

46

O que devo aprender
nesta aula
e culturais.


radiciação.

Matemática
a) 5
b) 923
c) 4

02 Gustavo resolveu corretamente a expressão a seguir
;c

5 2 -1 -2
m E
2 -3
2

Qual foi o resultado encontrado por ele?
a) 1
b) 25
c) 625
d) 1
25

e)

1
625

Alternativa C.

03 Simplifique a expressão x

a-2

$ x - a + 3 $ x a + 1 $ x 2a - 5

x 3a - 3

Desafio
Qual é o resultado da expressão E =

-3
4
3
2 +5 '5

32

.

E=

41
.
72

47

Matemática
AULA 14

Decomposição
em fatores primos

O que devo aprender
nesta aula

Objetivo Geral


Relembrar como decompor um número natural em
fatores primos.

Conceito Básico
A princípio é válido ressaltar que todo número natural
maior que 1 pode ser escrito como produto de dois ou
mais fatores primos. Por exemplo, o número 50 pode ser
escrito como o produto 2 x 5 x 5.
Assim, para se determinar os fatores primos de um
número natural, maior que 1, uma opção é proceder da
seguinte forma:
I) Divida o número especificado pelo menor número
primo que resulte em uma divisão exata. Escreva o valor
obtido da divisão imediatamente abaixo do número a ser
decomposto.

e culturais.


radiciação.

II) Repita o procedimento adotado no tópico anterior de forma iterativa (repetida) até chegar
ao resultado igual a 1(quociente igual a 1). Assim:

48

Matemática
III) Os valores (resultados) encontrados na coluna da direita serão os fatores primos do número
em questão (300).

Assim, o número 300 pode ser escrito como produto dos fatores obtidos:
300 = 2 . 2 . 3 . 5 . 5 = 22 . 3 . 52

Atividades
01 Quais desses números abaixo são divisíveis por 2, 3, 4, 5 ou 6?
a) 116
d) 60

b) 30
e) 210

c) 111
f) 405

116 (2 e 4); 30 (2, 3, 5 e 6); 111 (3); 60 (2, 3, 4, 5 e 6); 210 (2, 3, 5 e 6); 405 (3 e 5).

02 Determine os fatores primos dos números naturais a seguir:
a) 150
c) 62

b) 93
d) 768

a) 2 . 3 . 52; b) 3 . 31; c) 2 . 31; d) 28 . 3

03 Qual é o número cuja fatoração é:
a) 2 . 33 . 5 . 7
b) 11 . 13
c) 23 . 5 . 7 . 31
d) 2 . 3 . 5 . 7 . 11

a) 1 890; b) 143; c) 8 680; d) 2 310.

49

Matemática

Desafio
No 8º ano da escola BOA NOTA há 35 alunos, e no 9º ano há 42 alunos. Para realizar uma gincana, os estudantes serão organizados em grupos, todos com o mesmo número de alunos e com a condição de que
não se misturem (estudantes de anos diferentes).
A) Qual é o número máximo de alunos que podem haver em cada grupo?
B) Nesse caso, quantos grupos serão formados em cada ano?
A) 7
B) 5 e 6 respectivamente

AULA 15

Radiciação: Definição / Extração de raiz
Objetivo Geral
Extrair a raiz de números reais apresentados na forma
de radical.

O que devo aprender
nesta aula

Conceito Básico


O termo radiciação define a operação inversa da potenciação. O símbolo utilizado na radiciação é o radix ( ).
Ele possui a seguinte estrutura:
9 512 = 2

e culturais.

" radical
512 " radicando
9 " índice
2 " raiz



É válido ressaltar que o radical que possui índice igual
a 2 omite tal índice de sua simbologia. Veja:
a)

"

lê-se: raiz quadrada (índice igual a 2);

b)

3

" lê-se: raiz cúbica (índice igual a 3);

c)

4

" lê-se: raiz quarta (índice igual a 4).

50

radiciação.

Matemática
Extração de raízes por meio da decomposição em fatores primos.
Para extrair uma raiz por meio da decomposição em fatores primos basta seguir os seguintes
passos:
1º passo: Identifique o índice da raiz solicitada. Veja os exemplos:

2º passo: Faça a decomposição em fatores primos do radicando da raiz solicitada:

3º passo: O índice de cada radical determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Portanto,
 Em um radical de índice igual 2 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados
de dois em dois.
 Em um radical de índice igual 3 os fatores “iguais” da decomposição deverão ser agrupados
de três em três
 E assim sucessivamente.

51

Matemática
4º passo: Substitua o radicando pelo produto dos fatores agrupados de acordo com o índice do
radical e simplifique aqueles fatores cujo expoente são iguais ao seu respectivo índice. O produto
do resultado obtido será a raiz procurada.
I) 144 = 2 2 $ 2 2 $ 3 2 = 2 2 $ 2 2 $ 3 2 = 2 $ 2 $ 3 = 12
II)

125 = 3 53 = 5

3

III)

4

81 = 4 3 4 = 3

IV)

5

1024 = 5 25 $ 25 = 5 25 $ 5 25 = 2 $ 2 = 4

V)

6

64 = 6 26 = 2

Observação: Os exemplos I e IV apresentam em seus desenvolvimentos o produto de
radicandos. Neste caso há uma propriedade de radiciação que diz que a raiz do produto é igual
ao produto das raízes.
Veja a seguinte situação:
Adão e Adriana receberam de herança dois terrenos, ambos com a mesma medida de área.
Adriana ficou com o terreno que possuía 16 m de largura por 36 de comprimento. Sabendo que o
terreno de Adão possuía dimensões iguais de largura e comprimento (terreno no formato de um
quadrado), determine as dimensões do terreno dele.
Inicialmente será necessário determinarmos a medida da área dos terrenos.
As dimensões do terreno de Adriana (16 m de largura x 36 de comprimento) implica em uma
área de medida igual a 576 m2.
Como o terreno de Adão tem o formato de um quadrado e possui 576 m2, temos que:
x $ x = 576 m2 , onde x corresponde à medida do lado do terreno de Adão. Portanto,
x2 = 576

"

x = 576

576 = 2 2 $ 2 2 $ 2 2 $ 3 2 = 2 $ 2 $ 2 $ 3 = 24

52

Matemática

Atividades
01 Determine a solução de cada uma das raízes a seguir utilizando método de extração de raízes por meio da

decomposição de fatores primos:
a) 3 27
b) 4

625

c) 7

1258

d) 3

343


a) 3

27 = 3 3 3 = 3

b) 4

625 = 4 5 4 = 5

c) 7

128 = 7 27 = 2

d) 3

343 = 3 7 3 = 7

02 Encontre o valor de cada uma das expressões numéricas:
a)

169 - 3 216 =

b)

2 4 + 3 2 - 3 10 2 + 5 2 =

c)

36 + 6 729 - 3 64 =

a)

169 - 3 216 = 13 - 6 = 7

b)

2 4 + 3 2 - 3 10 2 + 5 2 =

c)

36 + 6 729 - 3 64 = 6 + 3 - 4 = 5

16 + 9 - 3 100 + 25 =

25 - 3 125 = 5 - 5 = 0

53

Matemática
03 Qual o comprimento da aresta de uma caixa que possui todas as suas dimensões iguais e medida de volume

igual a 729 dm3?

Temos que o volume (V) de um paralelepípedo é dado pelo produto de suas três dimensões:
V = altura x comprimento x largura
Como o paralelepípedo em questão em um cubo, suas três dimensões serão todas iguais. Portanto,
V = a $ a $ a = a3

O enunciado do problema diz que o volume desta caixa corresponde a 729 dm3, então,
V = a $ a $ a = a3 = 729 dm3
a3 = 729
a = 3 729
a = 9 dm3

Desafio
Obtenha os valores de A, B, C, D, E e F nos quadros a seguir percebendo as relações expressas pelas setas
direcionais.

A = 484; B = 31; C = 8; D = 4; E = 10; F = 4 096.

54

Matemática
Aula 16

Radiciação (propriedades)
Objetivo geral
Compreender e aplicar as propriedades da radiciação.

Conceito básico
Nesta aula estudaremos as propriedades da radiciação
que são muito importantes não só para o estudo dos
radicais mas também para outros temas da Matemática.
Lembrando,

O que devo aprender
nesta aula

e culturais.


Ao se trabalhar com radicais surgirão uma série de situações nas quais será necessário a
utilização de algumas propriedades. Vejamos algumas delas:
1ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente, também, n é o próprio
radicando.
n

r n = r , onde r ! R+ , n ! N e n 2 1

Exemplo:
5

32 = 5 25 = 2

2ª propriedade: a raiz de índice n de um radicando r de expoente m pode ser escrita como
uma potência de expoente fracionário onde a base é o radicando r, o numerador do expoente é o
expoente inicial m e o denominador será o índice n do radical.
n

r m = r n , onde r ! R+ , n, m ! N e n 2 1
m

Exemplo:
5

20

2 20 = 2 5 = 2 4 = 16

55

Matemática
3ª propriedade: O radical de outro radical pode ser escrito como um radical único onde o índice
deste é igual ao produto dos índices dos radicais anteriores.
n

m

r = n.m r , onde r ! R+ , n, m ! N e n 2 1 e m 2 1

Exemplo:
3

5 = 2.3 5 = 6 5

4ª propriedade: O radical de um produto de radicandos pode ser escrito como o produto dos
radicais de cada radicando.
n

r $ s = n r $ n s , onde r, s ! R+ , n ! N e n 2 1

Exemplo:
4 $ 25 = 4 $ 25 = 2 $ 5 = 10

5ª propriedade: O radical de um quociente de radicandos pode ser escrito como o quociente
dos radicais de cada radicando.
n

r =
s

n
n

r
*
, onde r ! R+, s ! R+, n ! N e n 2 1
s

Exemplo:
25 = 5
3
9

25 =
9

Importante:
n

0 =0

n

1 =1

n

r =r

Atividades
01 Aplicando as propriedades de radiciação, determine o valor de cada radical:
a) 4
b) 3

8

c) 5

3 125

d)

56

16

49

Matemática
a) 4 16 = 2, sendo que 2 4 = 16
b) 3 8 = 2, sendo que 23 = 8
c) 5 3 125 = 5, sendo que 55 = 3 125
d) 49 = 7

02 Encontre o valor de cada uma das expressões:
a) 100 + 3 64 - 4 16
b) 5 8 256 + 3 5 243 - 625
c) 4 3 125 - 8 64 + 400
a) 12; b) -6; c) -24

03 Aplique a propriedade adequada para cada questão a seguir:
a) 2 $ 7
b) 5 a $ b
c)
d) 4
e) 8

36
16
4$y
37

a) 2 $ 7 = 2 $ 7
b) 5 a $ b = 5 a $ 5 b
c)
d) 4
7
e) 3 8

36 =
16

36
= 6
4
16

4 $ y = 8 4y

Desafio
Os números a e b são números reais positivos. Nessas condições simplifique os radicais
calculando em seguida a expressão que representa o produto dos radicais obtidos.

6

a3

e 12 b6 ,

ab

57

Matemática
AULA 17

Radiciação inexata
Objetivo geral
Compreender e extrair a raiz de números reais.

Conceito básico

O que devo aprender
nesta aula

Como já estudamos na aula 15, o índice de cada radical
determinará o agrupamento dos fatores obtidos. Quando
não for possível agrupar todos os termos iguais obtidos na
decomposição de acordo com o índice indicado no radical,
temos um caso de radiciação inexata. Por exemplo, a 18 .

problema que envolve
radiciação.

Observe que na fatoração acima obtivemos o produto 2.3²; assim, o número 2 ficou fora do
agrupamento, resultando em 3 2 . Portanto, o número 18 possui raiz inexata, sendo assim um
radical irracional já que a raiz quadrada de todo número primo é irracional.
Veja também os exemplos a seguir:
1. Calcule o valor do radical


3

3

135

135 = 3 33 $ 5 = 3 3 5

2. Qual o resultado da expressão


48 + 27 ?

48 + 27 = 2 4 $ 3 + 3 2 $ 3 = 4 3 + 3 3 = 12 3

Atividades
01 Calcule o valor das raízes inexatas, usando a decomposição em fatores.
a) 12
b) 20
c) 45
d) 3 54
e) 288

58

Matemática
a)

12 =

2$2$3 =

b)

20 =

22 $ 5 = 2 5

c)

45 =

32 $ 5 = 3 5

d) 3

54 = 3 2 $ 3 3 = 3 3 2

e)

288 =

22 $ 3 = 2 3

2 2 $ 2 2 $ 3 2 2 = 4 $ 3 2 = 12 2

02 Determine o resultado das expressões numéricas a seguir.
a) 3

24 + 3 81

b)

80 + 20

a) 3
b)

24 + 3 81 = 3 2 3 $ 3 + 3 3 3 $ 3 = 2 3 3 + 3 3 3 = 5 3 3
80 + 20 =

22 $ 22 $ 5 + 22 $ 5 = 4 5 + 2 5 = 6 5

03 Identifique como racional ou irracional cada um dos números a seguir.
a)
b)
c) 3

30
36
27

a)
b)
c) 3

irracional
36 racional
27 racional

30

Desafio
Determine a solução da expressão

3

54 + 3 250
3
128

.

8 2
3 2 +5 2
=
=2
4 2
4 2

59

Matemática
AULA 18

Relacionando potências e radicais.
Objetivo geral
Identificar e relacionar a potenciação com sua operação
inversa, a radiciação.

Conceito básico


Até o momento já vimos que potenciação e radiciação
são operações inversas. Assim:
 Se 9 2 = 81 , então, 81 = 9 ;
 Se 33 = 27 , então,

3

27 = 3 .

Analisemos, agora, os casos que se seguem:
32 = 9

9 = 32 = 3

"

5 2 = 25

"

25 = 5 2 = 5

7 2 = 49

"

49 = 7 2 = 7

103 = 1 000
63 = 216
210 = 1 024

O que devo aprender
nesta aula

"
3

"
"

3

1 000 = 3 103 = 10

216 = 3 23 $ 33 = 2 $ 3 = 6
10

1 024 = 10 210 = 2

e culturais.


radiciação.

Observando cada uma das situações acima descritas surge uma dúvida: é possível indicar uma
raiz sem o uso do radical?
Para isso, basta trocarmos o índice do radical e o expoente do radicando por um expoente
fracionário de modo que o expoente do radicando se transforme em numerador e o índice do
radical em denominador.

60

Matemática
É importante ressaltar que no conjunto dos números reais não existem soluções para os radicais
cujo radicando é negativo e o índice é par. Veja as situações que se seguem:
 - 4 não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-2) quanto o (+2) ao quadrado não
chegaremos ao valor do radicando (-4).
 4 - 81 não possui raiz real, pois se elevarmos tanto o (-3) quanto o (+3) à quarta potência
não chegaremos ao valor do radicando (-81).
Exemplo:
Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes:
a)

5,

33 ,

4

23 e

3

75

1

5 = 52 .

5 : Note que o expoente do radicando é 1 e o índice da raiz é 2, então

3

b) 33 : Note que o expoente do radicando é 3 e o índice da raiz é 2, então 33 = 3 2
3

c)

4


4

23 = 2 4

d)

3


3

75 = 7 3

5

Atividades
01 Escreva na forma de potência com expoente fracionário as raízes a seguir:
3 3 b)

a) 5

5 4 c)

7

x7

10

3

7

a) 3 5 b) 5 7 c) x 10
4

02 Escreva na forma de raiz as seguintes potências com expoente fracionário:
1

2

a) 2 7 b) 3 9

7

c) 5 4

a) 7

2 b)

03 O valor da expressão
a) 1
d) 4

2

3

125 3 $ 9 2
225

3 2 c)

9

4

57

é

b) 2
e) 5

c) 3

Alternativa C

61

Matemática

Desafio
Determine o valor da expressão
432

3

2

4

4 6 $ 8 3 ' 27 12
5
3
92
729 2

AULA 19

Resolução de
situações problema
envolvendo
números R
Objetivo geral
Resolver situações problema diversas envolvendo números reais, particularmente a potenciação e
a radiciação.
A maioria da população tem acesso à internet
e dentre os muitos sites visitados o facebook é um
dos líderes. A proliferação de uma notícia nesse site
se alastra facilmente. Imagine que Mateus tenha
100 amigos em sua lista. Agora se cada amigo tiver
mais 100 outros amigos, uma notícia publicada por
Mateus pode ser vista por 10 000 pessoas facilmente.


constitui o conjunto dos números Reais.

operações que envolvem números
reais, inclusive potenciação e
radiciação, para a resolução de
problemas dos mais variados contextos
sociais e culturais.

operações com números reais como
facilitadoras da resolução de situações
problema.

reais ampliando e consolidando os
significados das operações adição,
subtração, multiplicação, divisão,
potenciação e radiciação.

Atividades
01 Em uma brincadeira de amigo secreto, Marina resolveu surpreender seu amigo. Comprou 5 caixas e, dentro

de cada caixa colocou 5 pacotes. Em cada pacote colocou 5 cartões. Quantos cartões Marina precisou comprar para
surpreender seu amigo secreto?
53 = 125

62

Matemática
02 Observe as figuras a seguir

Com base nessas figuras, podemos realizar a operação matemática (potenciação) para determinar a quantidade de triângulos em casa estágio, veja o quadro.
ESTÁGIO

QUANTIDADE DE TRIÂNGULOS

1

40 = 1

2

41 = 4

3

42 = 16

Continuando com esse processo, quantos triângulos teremos no estágio 5?
a) 32
b) 64
c) 128
d) 256
e) 512
Alternativa d.

03 Márcio comprou uma caixa em formato de cubo, conforme a ilustração a seguir

A medida do volume dessa caixa é igual 216 cm3. Determine a medida da sua lado, sabendo que a fórmula da
área do cubo é A = a3, onde a corresponde a medida da aresta do cubo.
a = 6 cm

63

Matemática

Desafio
O colégio MJ passará por reformas. Dentre elas, a quadra de esporte será modificada em 10 ambientes
em forma de quadrado de mesma medida de área.

Sabendo que A1 = 36 m2, determine as dimensões da quadra.

Aula 20

Exercícios – números Reais
Objetivo geral
Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a conjuntos numéricos.

Atividades
01 Identifique a alternativa que corresponde à sequencia crescente dos números 2,83; 2,8; 2,75 e 2,6458.
a) 2,6458; 2,8; 2,75; 2,83.
c) 2,6458; 2,83; 2,75; 2,6458.

b) 2,8; 2,75; 2,83; 2,6458.
d) 2,6458; 2,75; 2,8; 2,83.

Sugestão de solução: Letra d.

02 Identifique na reta numérica, a seguir, os números:

64

3
;
10

5

32 ; 2, 5;

3
; 3;
2

4

256 .

Matemática


03 A solução da expressão
a) 1

50 + 32 - 18
72

b) 2

é igual a:

c) 3

d) 4

Sugestão de solução: Letra a.

04 O número decimal correspondente a fração
a) 7,5

b) 1,4

7
5

c) 5,7

é o:
d) 0,75

Sugestão de solução: Letra b.

05 Carlos comprou os produtos relacionados na tabela a seguir:
Produto

Valor

Arroz (5kg)

R$ 8,90

Feijão (1kg)

R$ 3,35

1 lata de óleo

R$ 2,00

O valor total que Carlos pagou foi de:
a) 14,25
b) 14,35
c) 14,45

d) 14,55

Sugestão de solução: Letra a.

06 Identifique entre os números abaixo o único que não é irracional.
a)

8

c)

121

b)

90

d)

200

07 O resultado correto da expressão

2+
3
3
5
3

Sugestão de solução: Letra c.

a)

55
9

c)

é:

5
d) 11
11
5

b) 1


65

Matemática
AULA 21

Rotação de polígonos – Propriedades
Objetivo Geral
Reconhecer a simetria de rotação de um
polígono e perceber quais medidas e propriedades
são preservadas.


Conceito Básico

de reflexão e de translação e perceber
que em cada uma delas se preservam
medidas e propriedades.

Rotação é o movimento de girar uma figura ou
objeto ao redor de um ponto chamado centro de
rotação. A medida do giro é chamada ângulo de
rotação.

u Identificar as simetrias de rotação,

Exemplos:
1º) Rotação em torno de um ponto que pertence a figura ou forma:

2º) Rotação em torno de um ponto fora da figura ou forma:

66

Matemática

Atividades
01 A figura a seguir mostra duas semicircunferências.

a) Em torno de que ponto deve-se fazer a rotação de uma das semicircunferência para obter uma circunferência?
b) A rotação deve ser no sentido horário ou anti-horário?
c) De quantos graus deve ser esta rotação?
a) B.
b) Em qualquer sentido.
c) 180º

02 Observe a figura a seguir e responda os itens

a) Em qual dos quadrados deve-se fazer uma rotação para se obter um triângulo de lados 3, 4 e 5 unidades?
b) Em qual dos pontos deve-se fazer a rotação para obter o triângulo do item a?
c) Em qual sentido deve-se fazer a rotação (no sentido horário ou anti-horário)?

67

Matemática
a) No quadrado de lado 5.
b) No ponto C.
c) Anti-horário.

03 Observe a figura a seguir:

Qual dos itens abaixo se refere a rotação de 90º em torno do ponto E no sentido horário da figura?

Letra b.

68

Matemática

Desafio
Deseja-se encaixar a peça vermelha na peça branca conforme a figura a seguir

Para que isto aconteça deve-se realizar uma única rotação na peça vermelha em que ponto? É
possível determinar o ângulo de rotação? Qual?
Deve-se realizar uma rotação no ponto A no sentido anti-horário. Quanto ao ângulo observe o
desenho a seguir

Este ângulo mede 45o, pois se trata da diagonal de um quadrado.

69

Matemática
AULA 22

Reflexão de polígonos – Propriedades
Objetivo Geral
Identificar a simetria de reflexão e perceber
quais medidas e propriedades são preservadas.

Conceito Básico
Como exemplo pode-se citar que qualquer
imagem ou forma refletida no espelho é uma
reflexão. A reflexão ocorre através de uma reta
chamada eixo de reflexão.



Exemplos:

Sobre a reflexão é válido destacar as seguintes propriedades:
• A figura original e a sua reflexão são geometricamente iguais.

70

Matemática
• Dado um ponto e sua reflexão, os mesmos são equidistantes em relação ao eixo de reflexão a
partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.

• Um ponto sobre o eixo de reflexão é sua própria reflexão.

Atividades
01 Assinale o item a seguir que representa uma reflexão:

71

Matemática

Letra C

02 Quais das alternativas a seguir não representam uma reflexão? Por quê?

72

Matemática
As alternativas que não representam uma reflexão são:
Letra b) Pois, não satisfaz as seguintes propriedades: A figura original e a sua reflexão são geometricamente
iguais; Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo de reflexão a partir de uma reta que os
une perpendicularmente ao eixo de reflexão.
Letra d) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: A figura original e a sua reflexão são geometricamente
iguais.
Letra e) Pois, não satisfaz a seguinte propriedade: Um ponto e a sua reflexão estão à mesma distância do eixo
de reflexão a partir de uma reta que os une perpendicularmente ao eixo de reflexão.

03 Observe as figuras a seguir na malha quadriculada:

Represente por meio de desenhos todas as reflexões dessas figuras segundo o eixo especificado.

73

Matemática

Desafio
Represente por meio de desenhos duas reflexões seguidas, sendo uma no sentido do eixo y e
outra, a partir da primeira solução, na direção do eixo x respectivamente.


74

Matemática
AULA 23

Translação de polígonos –
Propriedades
Objetivo Geral
Identificar a simetria de translação e perceber
quais medidas e propriedades são preservadas.


Conceito Básico
A translação é o termo usado para “mover”
formas, sendo necessárias duas especificações:
a direção (que pode ser medida em graus) e o
deslocamento (que pode ser medida em alguma
unidade de comprimento: cm, m, km, ...).


Exemplos:
1o) Translação na horizontal (0º ou 180º):

2o) Translação na vertical (90º ou 270º):

75

Matemática
3o) Translação na diagonal (diferente de: 0º, 90º , 180º ou 270º):

Atividades
01 Observe a figura a seguir.

Em quantos centímetros, na vertical, deve-se transladar o retângulo ABCD para que ele fique centralizado no
retângulo EFHG?
Deve-se transladar o retângulo ABCD em 7cm na vertical.

76

Matemática
02 Observe as translações 1, 2 e 3.

a) Existe translação na vertical? Qual?
b) Existe translação na horizontal? Qual?
c) Existe translação na diagonal? Qual?
Letra a) Sim, a 3
Letra b) Sim, a 1
Letra c) Sim, a 2

03 A figura a seguir representa um telhado, que na sua construção utilizou a propriedade da translação.

77

Matemática
a) Qual é a medida da translação AA”?
b) Qual é a medida da translação CC’?
c) Quantas translações foram feitas? Quais?
d) As translações ocorreram em quais sentidos? (vertical, horizontal ou diagonal)
Letra a) 4 m + 3 m = 7 m
Letra b) 4 m
Letra c) duas: ABC para A’B’C’ para A”B”C”
Letra d) as duas translações ocorreram no sentido horizontal.

Desafio
Observe a figura a seguir

Realize apenas três translações indicando o deslocamento em cm e a direção de cada uma delas
para construir um retângulo. Indique também a largura e o comprimento do retângulo.

78

Matemática
Ficando assim:

As dimensões são: Largura 12cm; Comprimento: 12cm.

AULA 24

Plano Cartesiano Ortogonal
Objetivo Geral
Identificar e representar o plano cartesiano e as coordenadas cartesianas.

Conceito Básico
O plano cartesiano ou espaço cartesiano é um esquema semelhante a uma rede quadriculada (reticulada) necessário para especificar pontos num determinado “espaço” com dimensões. Ele é composto de
duas retas perpendiculares e orientadas, uma horizontal denominada de eixo x ou eixo das abscissas e outra
vertical chamada de eixo y ou eixo das ordenadas. Elas
se interceptam no ponto (0,0), denominado origem
do sistema.
A orientação positiva das retas é representada por
uma seta conforme a figura a seguir.

O que devo aprender
nesta aula
u Construir figuras no plano com

base em informações relevantes,
como: construir pontos dadas suas
coordenadas, construir polígonos
dadas as coordenadas de seus
vértices e circunferência dadas as
coordenadas do centro e a medida
de seu raio etc.

79

Matemática

Um ponto no plano cartesiano é definido por meio de dois valores, um para o eixo x e outro
para o eixo y, respectivamente nesta ordem, que são denominados “par ordenado”. Esses valores
correspondem as coordenadas do ponto. Por exemplo, o ponto A apresentado no plano cartesiano
anterior corresponde ao par ordenado x = -2 e y = 3, ou seja, às coordendas A(-2, 3).

Atividades
01 Relacione algumas situações onde utilizamos a orientação de linhas e colunas.
Localizar uma peça no tabuleiro; localizar uma cidade ou estado em mapas; localizar um endereço na planta
baixa; entre outros.

02 No Teatro Palco Iluminado as poltronas são dispostas conforme a figura a seguir.

Sabendo que o primeiro número do par indica a coluna e o segundo indica a linha, escreva as coordenadas
que indicam a posição das poltronas A, B e C.

80

Matemática
A(4,3); B(1,2) e C(3,5).

03 Observe os pontos A, R, G, M, H e P marcados no mapa de uma cidade.

Encontre as coordenadas em que eles se localizam.
Ponto A = (-1,1); Ponto R = (2,1); Ponto G = (4,1); Ponto M = (-2,-1); Ponto H = (-3,-3) e Ponto P = (2,-2).

04 Observe o plano cartesiano representado a seguir. Escreva os pares ordenados (x, y) que correspondem aos
pontos: A, B, C, D, E e F:

A = (1, -2); B = (-2, 1); C = (2, 2); D = (-3, -2); E = (0,0); F = (2, 3).

81

Matemática

Desafio
Marque no plano cartesiano os pontos a seguir:
A = (-1 , 2), B = (4 , -2), C = (-1 , -2), D = (1 , 2) e F = (-2 , 0).


82

Matemática
AULA 25

Construção de polígonos no plano
cartesiano
Objetivo Geral
Representar, identificar e construir no plano
cartesiano polígono e circunferência.

O que devo aprender
nesta aula

Conceito Básico
Inicialmente é necessário relembrar um polígono
é uma superfície plana limitada por segmentos de reta
(ou linhas poligonais) fechadas onde cada um de seus
vértices é formado pela sucesão de dois segmentos de
retas seguidos.

de seu raio etc.

O polígono divide o plano em duas regiões: a região interior ao polígono e a região exterior
a ele.
À região interior ao polígono damos o nome de região poligonal.
Os polígonos são classificados de acordo com o número de lados e ângulos, conforme a tabela
a seguir:
Números de lados ou
ângulos
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
15
20

Nome do Polígono
Em função do número de ângulos
Em função do número de lados
Triângulo
Trilátero
Quadrângulo
Quadrilátero
Pentágono
Pentalátero
Hexágono
hexalátero
Heptágono
Heptalátero
Octógono
Octolátero
Eneágono
Enealátero
Decágono
Decalátero
Undecágono
Undecalátero
Dodecágono
Dodecalátero
Pentadecágono
Pentadecalátero
Icoságono
Icosalátero

83

Matemática

Atividades
01 Observe alguns polígonos presentes em sua sala de aula e represente-os na malha quadricula a seguir.

Classifique os polígonos construídos quanto ao número de lados e ângulos.

02 Observe o plano cartesiano representado a seguir e escreva as coordenadas dos vértices dos triângulos BCF e

ADE. Desenhe os triângulos.

84

Matemática

Triângulo BCF = (-2 , 1); (2 , 2); (2 , 3)
Triângulo ADE = (1 , -2); (-3 . -2); (0 , 0)

03 Quais são as coordenadas do retângulo ABCD?

A = (1 , 4); B = (4 , 4); C = (4 , 0); D = (1 , 0).

85

Matemática
04 Marque os pontos a seguir no plano cartesiano e depois ligue-os de maneira que formem um único polígono.
A = (-2 , 3), B = (2 , 3), C = (4 , 1), D = (-4 , -1), E = (-4 , -2) F = (4 , -2), G = (2 , -4) e H = (-2 , -4).


86

Matemática

Desafio
Represente no plano cartesiano:
a) uma circunferência de centro A = (1 , 2) e raio 2.
b) um triângulo cujos vértices são: A = (0 , 0), B = (-4 , 2) e C = (3 , 4).


87

Matemática
Aula 26

Exercícios envolvendo polígonos
Objetivo geral
Revisar por meio de itens e questões o conteúdo relativo a polígonos.

Atividades
01 Para determinar a quantidade de diagonais que partem de um único vértice de um polígono devemos utilizar

a fórmula d = n - 3, onde d representa a quantidade de diagonais que partem de um único vértice e n a quantidade
de lados deste polígono.
A quantidade de diagonais que partem do vértice A de um eneágono é igual a:
a) 6
b) 7
c) 8
d) 9

02 Para determinar a quantidade de diagonais de um polígono devemos utilizar a fórmula D =

D representa a quantidade de diagonais e n a quantidade de lados deste polígono.
A quantidade de diagonais de um icoságono corresponde a:
a) 340
b) 170
c) 34
d) 17
Sugestão de solução: Letra b.

03 Observe o polígono a seguir.

88

^ n - 3h $ n
2

, onde

Matemática
Quantas diagonais faltam para que sejam traçadas todas as diagonais deste octógono?
a) 5
c) 36

b) 20
d) 40

Sugestão de solução: c.

04 Observe o polígono:

A medida do perímetro 2P deste polígono é igual a:
a) 17,11 cm
b) 17,9 cm
c) 18 cm
d) 18,1 cm
Sugestão de solução: d.

05 Construa no plano cartesiano ortogonal a seguir um pentágono e determine as coordenadas de cada um de

seus vértices.

06 Determine a medida do lado de um hexágono regular cujo perímetro (2P) mede 17,4 cm.

89

Matemática
AULA 27

Circunferência e círculo:
Definição e diferenças
Objetivo geral
Compreender os conceitos e os elementos de
circunferência e círculo.

Conceito básico
Uma das principais características que podemos
notar na circunferência sobrecai ao fato dela ser a
única figura plana que pode ser girada em torno de
um ponto (centro) sem modificar sua posição.
Assim, podemos dizer que circunferência é o lugar
geométrico de todos os pontos de um plano que estão
localizados a uma mesma distância r, denominado
raio, de um ponto fixo O, denominado o centro da
circunferência.

O que devo aprender
nesta aula

de seu raio etc.

Círculo é a reunião da circunferência com todos os pontos que estão em seu interior.

90

Matemática
Observe a circunferência a seguir

Vamos identificar seus elementos:
Centro
Raios
O

A0 , B0 , E0 e G0

Cordas

Diâmetro

AE , BG , CH e DF

AE e BG

OBS: denominaremos por r o raio da circunferência e por d o seu diâmetro.
INFORMAÇÕES IMPORTANTES
1) o diâmetro é a maior corda de uma circunferência;
2) o diâmetro é igual a duas vezes o raio (d = 2r);
3) a medida do comprimento C de uma circunferência é obtida pela fórmula C = 2rr .
Exemplo:
Identifique os elementos na circunferência a seguir

Quais dos segmentos indicados são cordas?
R: O segmento AB e AC.
Quais dos segmentos indicados são raios?
R: O segmento A0, B0 e C0.
Qual do segmento indicado é diâmetro?
R: O segmento AB.

91

Matemática

Atividades
01 Sabendo que a medida do raio de uma circunferência é 8 cm. Responda:
a) Qual a medida do seu diâmetro?
b) Qual a medida do seu comprimento?

a) d = 2r = 2 $ 8 = 16 cm
b) C = 2rr = 2 $ r $ 8 = 16r cm

02 Observe a figura a seguir

Responda:
a) Qual a medida do seu diâmetro?
b) Qual a medida do seu comprimento?
a) d = 2r = 2 $ 4 = 8 cm .
b) C = 2rr = 2 $ r $ 4 = 8r cm .

03 As circunferências a seguir tem a mesma medida do raio

92

Matemática
Determine:
a) Perímetro do triângulo ABC.
b) Soma das medidas do comprimento das circunferências.
a) perímetro = 24 cm.
b) Soma dos comprimentos = 24r cm .

Desafio
Sabendo que a medida do lado do quadrado é 10 cm, R é o raio da circunferência C2 e r o raio
de C1.

Determine a medida do comprimento da circunferência C1.
C = 2rr = 2 $ r $ 2, 5 = 5r

93

Matemática
Aula 28

Razão I
Objetivo geral
Compreender e aplicar as relações lógicas das
razões matemáticas em situações problema.

Conceito básico
Em matemática a comparação entre dois números
racionais, através de uma divisão, chama-se razão.
Assim, na razão temos uma divisão ou o quociente
entre dois números racionais a e b, representada por
a:b ou a/b ou a , com b ! 0 .
b

O que devo aprender
nesta aula
u Formular e resolver situações-

problema que envolva a ideia de
fração (parte-todo) e também de
razão e divisão.

Lê-se a para b, ou a está para b.
Exemplo:
3: 5 ou 3/5 ou

3
, lê-se 3 para 5, ou 3 está para 5.
5

Os termos de uma razão recebem nomes específicos: o número a é denominado antecedente e
o número b é denominado consequente.
Exemplo:
3 " antecedente
5 " consequente

Razões inversas
Dizemos que duas razões são inversas quando elas têm o produto igual a 1.
Importante: verifique que nas razões inversas o antecedente de uma é o consequente da outra,
e vice-versa.
Exemplo:
5
5
i) 3 e 3 são razões inversas, pois: 3 $ 3 = 1
5
5
4
4
ii) 7 e 7 são razões inversas, pois: 7 $ 7 = 1
4
4

94

Matemática
Razões equivalentes
Dada uma razão entre dois números, obtemos uma razão equivalente multiplicando-se ou
dividindo-se os termos de uma razão por um mesmo número racional (diferente de zero).
Obs.: o símbolo + significa equivalente.
Exemplos:

x2

i) 5 + 10 são razões equivalentes, pois: 5 $$ 2 = 10 ou 5 = 10
6 12
6 2 12
6 12
x2
:3

'
5
5
5
ii) 15 + 3 são razões equivalentes, pois: 15' 3 = 3 ou 15 = 3
9
9
9 3
:3

Exercícios resolvidos
01) Em uma avaliação do Enem com 180 questões, Michael acertou 156. Que razão você
poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de questões
da avaliação?

Do enunciado temos que Michael acertou 156 das 180 questões do Enem. Como queremos
a razão entre o número de acertos e o total de questões, basta escrevermos a seguinte razão,
simplificando-a, o máximo possível.
:2

número de acertos
=
número de questões

:2

:3

156 = 78 = 39 = 13
180
90
45
15
:2

:2

:3

Portanto, a razão é 13 .
15
02) Isabelle recortou dois pedaços de cartolina, conforme as figuras a seguir, nas seguintes
medidas:

95

Matemática
De acordo, com as figuras, determine qual a razão entre a medida do lado do
e a medida do lado do quadrado

quadrado

.

Do enunciado com a figura temos as seguintes medidas:
seu lado mede 20 cm e quadrado

quadrado

seu lado mede 30 cm.

Como queremos determinar a razão entre a medida do lado do quadrado
lado do quadrado

e a medida do

, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:
:10

lado do quadrado
lado do quadrado

=

20 = 2
30 3
:10

3
03) O time de futebol do Goiás obteve, durante o ano de 2012, 23 vitórias, 9 empates e 6
derrotas. Qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?

Do enunciado temos que o time de futebol do Goiás obteve 23 vitórias, 9 empates e 6 derrotas
no ano de 2012.
Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas
disputadas, primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:
23 + 9 + 6 = 38
Então, basta escrevermos a seguinte razão:
número de vitórias
número total de partidas disputadas

= 23 , neste caso não dá para simplificar a razão.
38

38

Atividades
01 Marcos Vinícius acertou 16 das 20 questões propostas pela professora em uma atividade na aula de matemática.
a) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o total de
questões da atividade?
b) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de erros e o total de questões da atividade?

96

Matemática
c) Que razão você poderia escrever para representar a comparação entre o número de acertos e o número de
erros da atividade?
Do enunciado temos que Marcos Vinícius acertou 16 questões, como a avaliação tinha 20 questões, ele errou
4 questões.
:4

a)

número de acertos
número total de questões

Portanto, a razão é

= 16 = 4
20
5
:4

4.
5

:4

b)

número de erros
número total de questões

= 4 =1
20 5
:4

5

:4

c)

número de erros
número de acertos

= 4 = 1
16
4
:4


1.
4

02 O time de futebol do Flamengo obteve, durante o ano de 2012, 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas. Qual é a
razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas?
Do enunciado temos que o time de futebol do Flamengo obteve 12 vitórias, 14 empates e 12 derrotas no ano
de 2012.
Como queremos saber qual é a razão do número de vitórias para o número total de partidas disputadas,
primeiro vamos somar a quantidade de vitórias, empates e derrotas:
12 + 14 + 12 = 38
Então, basta escrevermos a seguinte razão, simplificando-a, o máximo possível:
:2

número de vitórias
número total de partidas disputadas

= 12 = 6
38 19
:2


6
19

.

97

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