Un Ambiente Virtual de Aprendizaje es también un espacio de experimentación mental...

1. TEORIA DE LAS HILERAS
1. INTRODUCCIÓN
Existe un juego llamado “Dominó”. El
juego consiste en colocar una secuencia
de fichas siguiendo un órden. Cada
jugador coloca una ficha en su turno
dependiendo de los valores que se
encuentran en los extremos de la hilera
que se va formando. Así, si en un
extremo se encuentra la ficha (1, 5) con
el extremo (5) libre y en el otro extremo
se encuentra la ficha (0,6) con el
extremo (6) libre, el siguiente jugador
podra colocar una ficha que comience
por cinco (5) o por (6), como se vé en la
figura 1.
FIGURA 1
El juego tiene la particularidad de poseer
fichas cuyos extremos o caras tienen el
mismo valor numérico. En la figura 1, se
observa que la ficha central es (4,4).
Estas fichas usualmente se ubican
cruzadas tocando ambas caras de las
fichas contigüas a lado y lado. con
Fichas contigüas continuando con la dirección de la hilera
respecto a las fichas de la hilera. Las
demás fichas deben ubicarse de manera
consecutiva a la última ficha, continuando
la hilera u ortogonalmente (formando un
ángulo recto), cambiándole la dirección a
la hilera.
Las hileras serpentean generando
caprichosas formas.
Fichas ubicadas ortogonalmente, cambiando la dirección
de la hilera.
El dominó es fuente de innumerables juegos y propuestas tanto pedagógicas como de desarrollo
de la creatividad por su simplicidad estructural. Para el presente trabajo se ha diseñado una
propuesta metodológica para enseñar al niño a verbalizar la imagen, adquirir la habilidad de
reconocer patrones y estructuras; representar imágenes a partir de cadenas verbales y comprender
los procesos de construcción de algunas figuras a partir de un conjunto de unidades base.
2. LAS HILERAS DE DOMINÓS
2.1 BREVE PRÓLOGO
Todo el mundo ha hecho fila alguna vez en su vida, por ejemplo para pagar las compras en una
caja de un supermercado, retirar dinero de un cajero automático, pagar los servicios públicos en un
banco autorizado. El común denominador es que hay un primer elemento y un último elemento:
una cabeza y una cola. Entre el primer y último elementos puede haber ninguno o muchos. Esto es
que puede haber una única persona haciendo fila ante una ventanilla para ser atendido, esto
significa que esa persona es el primero y último de la fila a la vez. Puede haber dos personas, en
cuyo caso una será primera y la otra la última. Si la fila posee tres elementos o más significa que
tiene elementos intermedios únicos; es decir que no puede haber dos terceros o cinco elementos
en el séptimo lugar. Tampoco puede suceder que un elemento ocupe simultáneamente dos
posiciones distintas en la fila. Esto da carácter único a la filas; así se entendería como fila a un
agrupamiento consecutivo de elementos en el que se encuentra un primer y último elemento y los
elementos intermedios poseen una única posición en la fila.
Puesto que en la vida cotidiana ocurren cosas que transgreden estos conceptos, por ejemplo en
una fila para atender el pago de un servicio y que se atiende por fichas numeradas es posible que
un mismo individuo posea dos turnos para ser atendido. Puede ocurrir, como ocurre en los bancos,
que hayan dos o más filas que finalmente son atendidas por un único servidor por lo que las filas
terminan siendo trenzadas en la cabeza. Ocurre también el efecto cremallera: dos filas se van
fusionando alternadamente para formar una tercera fila: por ejemplo en las evacuaciones de los
teatros cuando hay una única puerta de salida. Todos estos casos los consideramos como

2. Teoría de las Hileras (Documento de Trabajo) Enrique Araújo Oviedo
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situaciones aberrantes de las filas y no las denominaremos filas, de acuerdo con nuestra definición
enunciada en el párrafo anterior sino que las llamaremos simplemente colas. Tenemos entonces
que existe una diferencia sustantiva entre filas y colas: incluso algunas colas no necesitan
“enfilarse” como es el caso de lugares donde la atención se va realizando de acuerdo como vayan
llegando los clientes y éstos se encuentran sentados en una sala de espera.
En el presente trabajo se ha redefinido la noción de fila arriba enunciada utilizándola con fichas del
dominó, de tal modo que en lugar de decir una fila de fichas de dominó diremos una hilera.
Como se vió en el primer apartado, las filas de dominó pueden tener elementos al través o
cruzados respecto a la fila. En las hileras consideraremos que esto no es posible; de hecho
descartaremos las fichas pares para evitar estos insucesos. Luego en las hileras debe pensarse
que sólo pueden tenerse dominós con numeros distintos en cada una de sus caras, por tanto el
contacto entre dos fichas sólo puede hacerse a través de una sola de sus caras.
2.2 DefinIción: Una hilera de fichas de dominó es aquella en la que se presenta una secuencia de
ellas en contacto únicamente por una de sus caras en las que coincidan los
valores numéricos correspondientes. La secuencia admite que dos fichas sean
ortogonales (formen un ángulo recto), pero no admite que dos fichas estén unidas
doblemente por sus caras, pues no coincidirían sus valores.
Una clásica hilera es como la siguinete:
FIGURA 4
Se observa que en la secuencia cada par de fichas se contactan únicamente por una de sus
caras, independiente sin son consecutivas u ortoganales. En la figura 4 se puede ver que las
fichas (5,1) y (1,4) son ortogonales (parte central) , mientras que las fichas (4,3) y (3,5) son
consecutivas linealmente (abajo a la derecha). Las fichas que son consecutivas linealmente para
abreviar se dicen lineales. Una hilera lineal es aquella en la que no hay ningún par de fichas
ortogonales.
Las hileras de dominós que poseen fichas ortogonales pueden generar muchos quebraderos de
cabeza. Analizaremos algunos porque son de interés para nuestro trabajo posterior. Por ejemplo,
la hilera de la figura 5:
Conviene, entonces establecer una
regla de vecindad: dos fichas de
dominó son vecinas en una hilera si
están en contacto lineal u ortogonal;
no son vecinas aquellas que están en
contacto todo el cuerpo lateral de la
ficha, salvo que estén en contacto con
una tercera de la son vecinas dos a
dos. Por ejemplo:
FIGURA 5
La hilera de la figura de la izquerda presenta un conjunto
de fichas que pareciera romper la secuencia (un nudo).
La secuencia correcta es: [(0,2),(2,5),(5,1),(1,4),(4,3)].
La forma de montículo en la que se encuentran las dos
fichas verticales una junto a la otra dan la impresión que
fueran contigüas, pero no lo son.
FIGURA 6
Esto da buena cuenta de la cantidad de problemas curiosos en los que podríamos incurrir. Veamos
una situación más:
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En la figura de la derecha es
prácticamente imposible
establecer si existe una
única secuencia correcta o
dos. En el “nudo de unos” de
la parte central todas las
fichas pueden ser vecinas
FIGURA 7
La Hilera de la figura 8 crea una
“involuta” en la secuencia
central, dado que hay lo que
podríamos llamar una situación
recurrente. La secuencia
[ ... (5,6),(6,1),(1,3),(3,6)]
pareciera querer continuar
nuevamente con la ficha (6,1)
de abajo y luego nuevamente
con (1,3) y (3,6) generandose
FIGURA 8 una situación cíclica. Nótese el
efecto visual en el centro en
que pareciera tenerse repetida
la ficha (1,3).
Pareciera, entonces que trabajar con hileras de fichas de dominó trae muchos inconvenientes; pero
precisamente de eso se trata, de sacarle partido a éste tipo de dificultades pára establecer
procedimientos para elaborar gráficas. La riqueza visual que ofrecen las hileras está aunada a la
riqueza estructural de las reglas que convengamos para establecer la vecindad de dos dominós
para que a través de éste criterio podamos verbalizar imágenes.
EJERCICIOS PROPUESTOS
1. Considere las fichas de dominó del recuadro izquierdo. Establezca un diseño de hilera de
fichas de dominó utilizando como mínimo 4 fichas.
FIGURA
2. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós
utilizando todas las fichas. Tome como primer elemento de los diseños la ficha del recuadro
derecho.
3. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós
utilizando todas las fichas. Tome como último elemento de los diseños la ficha del recuadro
derecho.
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4. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós
utilizando todas las fichas. Tome como: a) tercer elemento en la hilera la ficha del recuadro
derecho. b) quinto elemento en la hilera la ficha del recuadro derecho.
5. Considere las fichas del recuadro izquierdo. Construya dos diseños de hileras de dominós
utilizando todas las las fichas- Tome como: a) segundo elemento en la hilera la ficha del
recuadro derecho. b) séptimo elemento en la hilera la ficha del recuadro derecho.
6. Establezca la secuencia numérica de las siguientes hileras de fichas de dominó:
Escriba aquí la secuencia numérica de la
hilera de dominós:
[ (1,5),
Escriba aquí la secuencia numérica de la
hilera de dominós:
[ (1,5),
7. Señale la secuencia correcta en las siguientes hileras
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a) [ (1,5), (5,3), (3,6), (6,4),(4,2), (2,1), (1,3) ]
b) [ (1,5), (5,3), (3,6), (6,4),(4,2), (2,1), (1,3) ]
c) [ (6,3), (5,6), (6,4), (4,2),(2,1), (1,3), (5,4) ]
d) [ (3,6), (6,5), (5,2), (2,4),(4,1), (1,5), (5,4) ]
e) [ (3,6), (5,6), (5,2), (2,4),(4,2), (2,5), (5,4) ]
8. Construya un diseño de hilera para cada una de las secuencias numéricas:
a) [ (1,5), (5,3), (3,6), (6,4),(4,2), (2,1), (1,3) ] (ubique aquí el diseño)
b) [ (3,6), (6,5), (5,2), (2,4),(4,1), (1,5), (5,4) ] (ubique aquí el diseño)
9. Diga si los siguientes diseños son equivalentes. Justifique su respuesta.
a) b)
Justificación: Justificación:
PROBLEMAS
1. Qué alteraría el hecho que considerásemos las fichas pares?
2. Puede un diseño de fichas de dominó tener más de una secuencia numérica?
3. Puede una secuencia numérica tener más un diseño de fichas de dominó?
4. Por qué debe considerarse que la secuencia [ (1,5), (5,4), (4,3) ] sea equivalente a, por ejemplo,
la secuencia [ (5,1), (5,4), (4,3) ] ?
2.3 ESTRUCTURA DE LAS HILERAS
2.3.1 ESTRUCTURA DE LOS DOMINÓS
Un dominó es una figura compuesta de dos cuadrados unidad. Para el presente trabajo
consideraremos que el dominó vertical y el dominó horizontal son dos entidades distintas.
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FIGURA 9
En la figura 9 se observa cómo se obtuvieron los dos dominós a partir de una unidad base,
llamada cuadrado unidad.
Los dominós poseen dos dimensiones: altura y base. Como los dominós son en sí rectángulos, se
sabe que éstos poseen altura y base, en consecuencia los dominós heredan éstas propiedades.
En la base el dominó posee sólo un lado del cuadrado unidad mientras que en su altura posee dos
segmentos unidad consecutivos.
FIGURA 9
FIGURA 10
Las hileras se construyen entonces a partir de éstos dos dominós siguiendo una regla de
formación y asociación.
2.3.2 REGLA DE FORMACIÓN DE LAS HILERAS
Los dominós se pueden asociar para formar hileras sin bifurcación siguiendo uno de los dos
siguientes criterios:
a) estableciendo una secuencia lineal.
Dos dominós se pueden asociar linealmente, uniendo únicamente las caras de su base.
FIGURA 11 FIGURA 12
b) estableciendo una secuencia ortogonal
Dos dominós se pueden asociar ortogonalmente, uniendo únicamente una de las caras de
la altura de un dominó con la cara base del otro dominó.
FIGURA 13
Respecto a las secuencias ortogonales se observa que existen varias posibilidades:
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FIGURA 14 FIGURA 15 FIGURA 16 FIGURA 17
FIGURA 18 FIGURA 19 FIGURA 20 FIGURA 21
Cada una de las hileras ortogonales de la figura 14 a la 21 son distintas entre sí y todas ellas
válidas. Las siguientes, por el contrario son asociaciones no válidas:
FIGURA 22 FIGURA 23 FIGURA 24 FIGURA 25
2.3.3 Definición: Dos dominós se dicen vecinos, en una hilera, si están en contacto según una
de las reglas de formación (a) secuencia lineal o (b) secuencia ortogonal.
Un dominó posee estrictamente un vecino por cada cuadrado unidad, por
tanto puede tener a lo más dos vecinos, salvo el primer y último elemento de
la hilera que poseen solamente un vecino.
Esta definición nos permite fortalecer las dos restricciones arriba enunciadas: la primera relativa a las
bifurcaciones, al no poder tener sino un vecino como máximo en cada cuadrado unidad se evita que rompa
la secuencia. Y la segunda relativa a precisar quien es vecino o no a pesar de poder estar en contacto por
efecto, por ejemplo, que una misma hilera forme un bucle y se devuelva hacia sí misma y entre en contacto
con dominós que se encontraban en la hilera con anterioridad. También evita, por supuesto las
autointersecciones (tema a profundizar un poco más) y que la hilera se cierre sobre sí misma al realizar un
bucle y coincidir el primer elemento con el último.
2.3.4 Definición: Dos dominós se dicen vecinos relativos o que están juntos (v.g. uno al lado
del otro), en una hilera, si sin estar en contacto según una de las reglas de
formación (a) secuencia lineal o (b) secuencia ortogonal, una o dos de sus
caras entran en contacto aparente.
Las siguientes hileras ilustran la definición de contacto aparente:
FIGURA 26 FIGURA 27 FIGURA 28
Como se observa las hileras poseen necesariamente un primer elemento y un último elemento,
independientemente de si entran en contacto el primero con el último dominó. De las hileras de las figuras
27 y 28 se sigue que es conveniente determinar cuál es el primer elemento y cuál el último. Al primer
elemento de una hilera lo llamaremos “cabeza” y al último “cola”.
La cabeza será pues, el primer elemento de la hilera. La cabeza es única de acuerdo con la definición de
vecindad mientras que cada elemento asociado en una hilera ocupa en su momento la cola. Esto es que
cada dominó asociado a la hilera se convierte en la cola. Establecer la cabeza de una hilera puede ser un
asunto sencillo si la hilera no tiene convoluciones o rizos que le pongan en contacto aparente consigo
misma; pero puede ser complicado en una hilera que posea rizos y además el primer y último elemento no
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se distingan por estar en contacto aparente como es el caso de las figuras 27 y 28. La cabeza puede ser
cualquier elemento de siempre y cuando garantice que a partir de él se puede establecer una secuencia
bien formada de toda la hilera.
Veamos dos ejemplos, que nos ilustren las dos situaciones (en línea punteada se considerará el siguiente
elemento a aparecer en la secuencia):
Ejemplo1: consideremos la hilera:
Es claro que para establecer Al establecer la secuencia de la hilera a partir de la cabeza,
la cabeza de la hilera, basta tenemos:
tomar el dominó vertical de la
parte izquierda, pues es una
entidad que no tiene sino un
vecino:
FIGURA 30 FIGURA 31 FIGURA 32
FIGURA 29
FIGURA 33 FIGURA 34 FIGURA 35 FIGURA 36
Las figuras 35 y 36 nos muestran cómo se presenta la vecindad aparente y cuál es el último elemento de
la hilera, es decir la cola.
Ejemplo2:
consideremos la hilera: Desarrollo de la secuencia de construcción de la hilera:
FIGURA 38 FIGURA 39 FIGURA 40
FIGURA 37
FIGURA 41 FIGURA 42 FIGURA 43
Establecer el primer elemento no es tan evidente en la hilera de la figura 37. Después de una breve
observación se toma un dominó horizontal que se encuentra en la parte media de la figura. Sin embargo
existen varios candidatos:
FIGURA 44 FIGURA 45 FIGURA 46 FIGURA 47
En particular, en ésta hilera por tener carácter cíclico (el primer elemento es vecino aparente del último
elemento), cualquier dominó de la hilera puede ser la cabeza.
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Dado que la intención del presente trabajo es enseñar a los niños a verbalizar imágenes, se hace necesario
poder representar las hileras mediante una cadena de letras, que a su vez nos permitirá reconstruir o
construir hileras a partir de palabras.
2.3.5 Nomenclatura Nomenclamos por la letra a al dominó horizontal y por la letra b al dominó
vertical, de tal modo que una hilera puede ser representada por una
secuencia de letras a y b, que denominamos la cadena asociada.
FIGURA 29 FIGURA 30
Y la hilera
queda representada por la
cadena asociada:
pues,
FIGURA 31
FIGURA 32
Nótese que una hilera tiene asociada una única cadena, no así lo contrario. Una cadena o palabra puede
representar muchas hileras distintas.
La cadena representa cualquiera de todas las siguientes hileras entre otras:
FIGURA 33 FIGURA 34
FIGURA 35 FIGURA 36
EJERCICIOS RESUELTOS
(Falta elaborar los e-book)
EJERCICIOS PROPUESTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
2.3.6 DIRECCIONALIDAD DE LAS HILERAS Y LOS DOMINÓS
Las hileras como tal (como conjunto) no tienen una orientación o direccción específica y por tanto
pueden formar figuras bastante caprichosas y raras. Sin embargo podemos asociar una dirección y
una orientación ( ver cómo actúan los peces: la cola del pez da la orientación y la cabeza la
dirección) considerando que la cabeza o primer elemento establece una dirección y que la cola o
último elemento establece la orientación. Esto es que si uno recorriera la hilera de atrás para
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adelante cada dominó que alguna vez fue último elemento al asociarse según una de las reglas de
formación, conservó o cambió la orientación de la hilera. Si la hilera tiene un único elemento, por
supuesto, tanto la dirección como la orientación coinciden. (Si pensaramos que las hileras se
movieran como lo hacen las serpientes, por supuesto avanzaría según la dirección del primer
elemento, aunque se retorcieran atrás para avanzar). [ Pregunta: exactamente cuál es la diferencia
entre orientación y dirección?]
2.3.7 Definición: Vector director.
EJERCICIOS RESUELTOS
(Falta elaborar los e-book)
EJERCICIOS PROPUESTOS
PROBLEMAS PROPUESTOS
10. LAS HILERAS DE DOMINÓS Y EL LENGUAJE LOGO
Ya está revisado. Transcribirlo.
11. VALOR PEDAGOGICO DE LAS HILERAS
El valor pedagógico de las hileras es que nos permite promover y fortalecer las operaciones
mentales de reversibilidad en los niños; la capacidad de representación e imaginación.
Poder representar una hilera mediante una palabra asociada promueve tanto la capacidad
asociativa propia de los niños, la significación e induce a la abstracción. La reversibilidad en las
hileras presenta una estructura “A es a B” en un sentido y en el sentido contrario “B es A como a
A1, a A2, ..., a An”, lo que da mayor libertad al niño al comenzar a utilizar operaciones mentales de
reversibilidad; lo que es positivo dado que el estadio mental a esa edad es el concreto.
Durante el desarrollo del trabajo se observó una tendencia inicial en los niños a realizar cadenas
en forma estrictamente lineal, descedente y a derecha, al pedirseles que elaboraran una hilera
para una cadena dada. La linealidad a derecha se observó cuando al comenzar a elaborar una
hilera colocaban la segunda ficha siempre a la derecha (en el caso de los dominós horizontales) o
hacia la derecha (en el caso de los dominós verticales), posteriormente cuando se les pidió
ubicaran la cabeza y la cola de una serie de ejercicios de hileras, señalaban la cabeza de la ficha
que estaba más a la izquierda o la de arriba.
El máximo de dominós utilizados fue doce, pero se observó que presentaban dificultades en
hileras con más de siete dominós. Presentaban cansancio o astío (casi fastidio) cuando debían
construir una hilera demasido larga (más de nueve letras en la cadena).
Al final de los ejercicios propuestos, en los talleres finales se observó que los niños ya elaboraban
hileras utilizando distintas ortogonalidades, las hileras realizaban serpentinas en distintas
direcciones y por tanto cada vez eran más complejas de analizar.
Las hileras inducen al análisis en cuanto que debe verificarse inicialmente que los contactos se
realizaron de acuerdo con una de las opciones de la regla de formación, que se mantiene una
secuencia sin incurrir en bifurcaciones ni en autointersecciones.
De otro motiva a encontrar no una sino varias soluciones, lo que en grupo motiva a comparar los
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resultados y por tanto a realizar una análisis de cada una de las hileras obtenidas por cada niño
del grupo. Genera seguridad personal porque al descubrir que su respuesta a pesar de ser distinta
a la los demás, es correcta por cuanto se siguieron las reglas. Induce al niño a trabajar con reglas
y por tanto a seguir procedimientos.
12. COMPLEJIDAD COGNITIVA
La complejidad cognitiva, en las hileras se evidencia de la siguiente manera:
1. Capacidad de construcción de imágenes (Hileras) a partir de reglas (regla de formación de
las hileras).
2. Construcción de objetos complejos a partir de unidades base simples
(obtener hileras bien formadas a partir de las entidades DH (dominó horizontal) y DV
(dominó vertical).
3. Comprensión de la construcción del objeto (hilera bien formada) por comprensión de la
regla de formación del objeto (regla de asociación con restricciones de bifurcación y
autointersección).
4. Capacidad de representar simbólicamente un objeto (asociación de una cadena a una
hilera y viceversa)
5. Manejo de especificaciones (verificar que el objeto formado cumple con las condiciones y
restricciones)
6. Capacidad de deconstruir un objeto
o Identificar en el objeto (la Hilera) los componentes básicos (señalar cuáles son los
dominós DH y DV)
o Simbolizar el objeto (Escribir la palabra asociada a la hilera)
o
o verificar que la palabra asociada a una hilera corresponde efectivamente a la hilera
en cuestión
7. Ruptura de la linealidad descendente (utilización de la ortogonalidad múltiple)
8. Identificación de módulos y periodicidad (una secuencia de letras en una cadena que se
repite varias veces, un módulo de ortogonalidad repetido periódicamente, identificación de
cadenas capicúas, ...)
9. Predictibilidad y prospección basada en reglas (anticipar de acuerdo con las reglas qué
dominó debe aparecer o continuar en una secuencia)
10. Capacidad de análisis
o Verificación de cumplimiento de las reglas
o Comparar si
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