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Criteri di convergenza per
una serie geometrica a
termini positivi
LICEO STATALE “V. Emanuele III”
 Sezione scientifica
 Classe VA ordinamento
Percorso didattico
 Modulo: Successioni e Serie
numeriche
 U.D.1: Successioni
 U.D.2: Limite di una successione
 U.D.3...
PREREQUISITI
 Definizione di successione numerica
 Limiti di successioni
 Operazioni con i limiti
 Teoremi sulle succe...
OBIETTIVI SPECIFICI DI
APPRENDIMENTO
CONOSCENZE ABILITA’
Conoscere il concetto di
successione
Saper riconoscere il caratte...
COMPETENZE
Quadro di riferimento PISA 2012
 “La competenza matematica è la capacità
dell’individuo di formulare, applicar...
STRUMENTI METODOLOGIA DIDATTICA
 Libro di testo
 Mappe concettuali
 Utilizzo di Excel/Calc
attraverso l’uso della LIM
...
SPAZI TEMPI
 AULA
 LABORATORIO DI
INFORMATICA
 1 h di lavoro di gruppo
 1 h di lezione frontale
 1 h esercitazione
 ...
Verifiche e valutazione Attività di recupero
 Verifiche in itinere:
verifiche orali
simultanee durante la
lezione
 Verif...
Didattica individualizzata e
personalizzata
Alunni con DSA
(legge 170/2010)
 Strumenti
dispensativi
 Misure
compensative...
Il paradosso di Zenone: Achille e
la tartaruga
Quando Achille si trova in Ao, la tartaruga è in To.
Achille corre per ragg...
Serie geometrica
1+q+q2
+q3
+……+qn
+…
𝑞 𝑛
∞
𝑛=0
Il rapporto tra un generico termine della
serie e il precedente è q (ragio...
La successione dei termini della serie, cioè
q, q1, q2, …,qn,…
è detta progressione geometrica di ragione q
per q=1 la ser...
utilizzando il principio di induzione si arriva all’uguaglianza
1+q+q2
+…+qn
=
𝟏−𝒒 𝒏+𝟏
𝟏−𝒒
nϵN, qϵR- 1
e si può quindi scr...
Successioni monotone- serie a
termini positivi
 Se una successione è crescente o
decrescente si può dimostrare che
lim
𝑛→...
Caso A Caso B
Se 𝑞 < 1, ossia -1< 𝑞 < 1,
allora è 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒒 𝒏+𝟏
=0
pertanto
𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝒔 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦
𝒏→∞
𝟏 − 𝒒 𝒏+𝟏
𝟏 − 𝒒
=
𝟏
𝟏 − ...
Soluzione paradosso
Svolgiamo per. il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velo cità di Achille
...
APPLICAZIONI INFORMATICHE
serie di Mengoli
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1 0,5 0,5
2 0,166666667 0,666666667
3 0,083333333 0,75
4 0,05 0,8
5 0,0...
Interdisciplinarietà
 L’infinito (filosofia, italiano, disegno,
storia…)
 L’origine dell’universo (fisica,
geografia ast...
Spunti di attualità
 Il principio di indeterminazione
Inmeccanicaquantistical’indeterminazioneindicaillivellodiimprecisio...
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Criteri di convergenza per una serie geometrica a termini positivi

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lezione sui criteri di convergenza, matematica, V anno liceo

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Criteri di convergenza per una serie geometrica a termini positivi

  1. 1. Criteri di convergenza per una serie geometrica a termini positivi
  2. 2. LICEO STATALE “V. Emanuele III”  Sezione scientifica  Classe VA ordinamento
  3. 3. Percorso didattico  Modulo: Successioni e Serie numeriche  U.D.1: Successioni  U.D.2: Limite di una successione  U.D.3: Serie numeriche  U.D.4: Serie geometrica e criteri di convergenza.  U.D.5: Proprietà delle serie  U.D.6: Criteri di convergenza delle serie a termini positivi
  4. 4. PREREQUISITI  Definizione di successione numerica  Limiti di successioni  Operazioni con i limiti  Teoremi sulle successioni monotone  Serie convergenti, divergenti e indeterminate
  5. 5. OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO CONOSCENZE ABILITA’ Conoscere il concetto di successione Saper riconoscere il carattere di una successione Conoscere la definizione di limite Saper operare con i limiti Conoscere la definizione di serie Saper calcolare la somma di una serie Conoscere i criteri di convergenza Saper applicare i criteri di convergenza Conoscere la definizione di serie geometrica
  6. 6. COMPETENZE Quadro di riferimento PISA 2012  “La competenza matematica è la capacità dell’individuo di formulare, applicare ed interpretare la matematica in una varietà di contesti. Essa include il ragionamento matematico e l’utilizzo di concetti, procedure asserti e strumenti matematici per descrivere, spiegare e prevedere i fenomeni”.
  7. 7. STRUMENTI METODOLOGIA DIDATTICA  Libro di testo  Mappe concettuali  Utilizzo di Excel/Calc attraverso l’uso della LIM  Apprendimento collaborativo  Lezione frontale  Attività di ricerca multimediale
  8. 8. SPAZI TEMPI  AULA  LABORATORIO DI INFORMATICA  1 h di lavoro di gruppo  1 h di lezione frontale  1 h esercitazione  1 h correzione esercizi  2 h per la verifica finale
  9. 9. Verifiche e valutazione Attività di recupero  Verifiche in itinere: verifiche orali simultanee durante la lezione  Verifica finale: compito scritto con quesiti aperti e test a scelta multipla  Valutazione: valenza docimologica delle singole prove di verifica (rif Pof)  Pausa didattica  Recupero in itinere  Eventuali corsi di recupero organizzati in orario extracurriculare dalla scuola
  10. 10. Didattica individualizzata e personalizzata Alunni con DSA (legge 170/2010)  Strumenti dispensativi  Misure compensative Alunni con BES (DM del 27/12/2012)  Recupero individuale  Potenziare abilità  Acquisire specifiche competenze  Calibrazione dell’offerta didattica  Calibrazione delle modalità relazionali
  11. 11. Il paradosso di Zenone: Achille e la tartaruga Quando Achille si trova in Ao, la tartaruga è in To. Achille corre per raggiungerla ed arriva in A1. La tartaruga nel frattempo si è spostata in T1, avendo percorso metà della distanza di Achille, ma restando sempre in vantaggio. Il processo si ripete, apparentemente fino all'infinito e sembra proprio che Achille non raggiunga mai la tartaruga.
  12. 12. Serie geometrica 1+q+q2 +q3 +……+qn +… 𝑞 𝑛 ∞ 𝑛=0 Il rapporto tra un generico termine della serie e il precedente è q (ragione della serie) Nota. Se q=0, la serie converge e ha per somma 1, supponiamo quindi q≠0
  13. 13. La successione dei termini della serie, cioè q, q1, q2, …,qn,… è detta progressione geometrica di ragione q per q=1 la serie diverge per q=-1 la serie è indeterminata
  14. 14. utilizzando il principio di induzione si arriva all’uguaglianza 1+q+q2 +…+qn = 𝟏−𝒒 𝒏+𝟏 𝟏−𝒒 nϵN, qϵR- 1 e si può quindi scrivere sn= 𝟏−𝒒 𝒏+𝟏 𝟏−𝒒
  15. 15. Successioni monotone- serie a termini positivi  Se una successione è crescente o decrescente si può dimostrare che lim 𝑛→∞ 𝑎 𝑛 = 𝑠𝑢𝑝𝑎 𝑛 Quindi se in una serie tutti i termini sono positivi, la successione delle somme parziali sarà crescente 𝑠 𝑛+1 = 𝑠 𝑛 + 𝑎 𝑛+1 ≥ 𝑠 𝑛 E quindi la serie non può essere indeterminata
  16. 16. Caso A Caso B Se 𝑞 < 1, ossia -1< 𝑞 < 1, allora è 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒒 𝒏+𝟏 =0 pertanto 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒔 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝟏 − 𝒒 𝒏+𝟏 𝟏 − 𝒒 = 𝟏 𝟏 − 𝒒 La serie converge è ha per somma 𝟏 𝟏−𝒒 : 𝑞 𝑛 ∞ 𝑛=0 = 1 + 𝑞 + 𝑞2 + ⋯+ 𝑞 𝑛 + ⋯ = 1 1 − 𝑞 Se 𝑞 > 1, ossia 𝑞 < −1, 𝑞 > 1 allora è 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒒 𝒏+𝟏 =∞ pertanto 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝒔 𝒏 = 𝐥𝐢𝐦 𝒏→∞ 𝟏 − 𝒒 𝒏+𝟏 𝟏 − 𝒒 = ∞ La serie diverge
  17. 17. Soluzione paradosso Svolgiamo per. il calcolo delle distanze, cosi come dei tempi, supponendo che la velo cità di Achille sia v =1 m/s e ricordando che la distanza AoA1 è di dieci metri. Achille percorre una distanza pari a Da = 10+5+2.5+... metri, in un tempo t = 10+5+2.5+... secondi. La tartaruga percorre una distanza Dt = 5+2.5+1.25+... metri in un tempo uguale. Si tratta di tre serie geometriche convergenti, p.es. Da = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 metri. Dt è la metà di tale valore mentre il tempo impiegato . t = 10(1+1/2+1/4+...) = 10(1/(1-1/2)) = 10(2) = 20 secondi. Dunque dopo venti secondi, dopo aver percorso venti metri in tutto, Achille raggiunge la tartaruga e un attimo dopo la supera definitivamente. La vittoria dell'uno o dell'altra dipende da dove viene posto il traguardo. L'errore nel ragionamento è quello di ritenere che una somma di infiniti termini debba dare sempre un risultato infinito.
  18. 18. APPLICAZIONI INFORMATICHE serie di Mengoli n an sn 1 0,5 0,5 2 0,166666667 0,666666667 3 0,083333333 0,75 4 0,05 0,8 5 0,033333333 0,833333333 6 0,023809524 0,857142857 7 0,017857143 0,875 8 0,013888889 0,888888889 9 0,011111111 0,9 10 0,009090909 0,909090909 11 0,007575758 0,916666667 12 0,006410256 0,923076923 13 0,005494505 0,928571429 14 0,004761905 0,933333333 15 0,004166667 0,9375 16 0,003676471 0,941176471 17 0,003267974 0,944444444 18 0,002923977 0,947368421 19 0,002631579 0,95 20 0,002380952 0,952380952
  19. 19. Interdisciplinarietà  L’infinito (filosofia, italiano, disegno, storia…)  L’origine dell’universo (fisica, geografia astronomica, storia dell’arte)  De rerum natura di Lucrezio (Latino- ‘infinità di mondi formati da infiniti atomi’)
  20. 20. Spunti di attualità  Il principio di indeterminazione Inmeccanicaquantistical’indeterminazioneindicaillivellodiimprecisionediunamisuraesi applicanonadunasingolagrandezza(comelaposizione),maacoppiedigrandezze "complementari".Sonocomplementari,adesempio,laposizioneelaquantitàdimoto(che corrispondeallamassaperlavelocità).Tantopiùprecisaèlamisuradiunagrandezza,tantomeno losaràlamisuradellagrandezzacomplementare. Dopo breve tempo la distanza tra Achille e la tartaruga non esiste più, nè ha senso considerare l’intervallo temporale che corrisponde a questa distanza: si può affermare che alla fine l’inseguitore ha raggiunto il suo obbiettivo.

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