SlideShare une entreprise Scribd logo
1  sur  22
Télécharger pour lire hors ligne
Moto:
                 “ Matematica este limba cu care
    Dumnezeu a scris universul. ” Galileo Galilei




 APLICAŢII ALE MATEMATICII
ABORDĂRI INTERDISCIPLINARE

       Profesor : Bidileci Laura Ofelia


          Scoala Gimnaziala Tormac


             An scolar 2012-2013
SUMAR
   EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN PRACTICA
   APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR
   FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII
      NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE
      NOTELE CU PUNCT
   MODELUL DE CULORI RGB
      DEFINITIE SI SEMNIFICATII
      REPREZENTAREA CULORILOR
      REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL BINAR
      REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI
      REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA
   SIRUL LUI FIBONACCI
      SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE AUR
      SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA
      CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI FIBONACCI
      PROPORTIA DE AUR
      COCHILIA MELCULUI, SPIRALA LOGARITMICA SI SERIA LUI
       FIBONACCI
   GEOGRAFIA SI MATEMATICA
      COORDONATE GEOGRAFICE
      LATITUDINEA
      LONGITUDINEA
EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN
                 PRACTICA
              Raport                                Exemplu
1.   Raport procentual = un raport 17% = 17/100
     de forma p% (p∈Q, p≥0)
2. Scara unei harti = raportul         Pe o harta, unui segment ce are
dintre distanta pe harta si distanta   lungimea de 1 mm ii corespunde o
pe teren                               distanta de teren egala cu 5 km.
                                       Scara hartii este 1: 5 000 000.
3. Concentratia unei solutii =         In 190 g de apa de dizolva 10 g de
raportul dintre masa substantei        sare. Concentratia solutiei este 0,05
care se dizolva si masa solutiei
4. Titlul unui aliaj = raportul        Un aliaj contine 240 g aur si 940 g
dintre masa metalului pretios si       cupru. Titlul aliajului este 0,2
masa aliajului
5. Probabilitatea realizarii unui      Intr-o cutie sunt 5 bile albe si 2
eveniment A = raportul dintre          negre. Probabilitatea de a extrage la
numarul cazurilor favorabile           intamplare o bila neagra este 2/7
realizarii evenimentului si numarul
cazurilor egal posibile ale
experientei.
APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII
                        MEDIILOR
    Este foarte important sa ştim sa punem cunoştinţele de fizică în strânsă legătură cu matematica,
     în viata de zi cu zi, sa privim evoluţia acestora prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor.
    Una dintre cele mai cunoscute inegalităţi în matematică este inegalitatea dintre media aritmetică
     şi media armonica a două sau mai multe numere reale pozitive.

               ,
    Aplicaţie în fizică: Două mobile parcurg acelaşi drum, primul cu viteză constantă v, cel de-al
     doilea parcurgând 2 porţiuni egale cu vitezele v1, v2, a căror medie aritmetică este v. Care mobil
     parcurge drumul mai repede?
    Notăm distanţa cu D=2·d, iar timpii de parcurgere cu t1 (pentru primul mobil) şi t2 (pentru al
     doilea mobil)
                    D    2⋅d          4                    d d         1 1
               t1 = =          =d⋅                     t2 = +     = d ⋅ + 
                    v v1 + v 2     v1 + v 2                v1 v 2      v v 
                                                                        1  2 
                           2
    Aplicăm inegalitatea dintre media aritmetica si media armonica pentru v1 si v2:
                                                2         v1 + v 2
                                                      ≤
                                             1 1             2
                                               +
                                             v1 v 2

                            4     1 1       4           1 1
                                 ≤ + ⇒d⋅          ≤ d ⋅  +  ⇒ t1 ≤ t 2
                                                        v v 
                         v1 + v 2 v1 v 2 v1 + v 2        1 2 




    În concluzie, mobilul care merge cu viteză constantă ajunge la destinaţie în cel mai
    scurt timp
FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII
NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE

  Nota corespunzatoare   Numele notei               Durata

                          Nota intreaga           Doua doimi

                                                 Doua patrimi
                             Doime                    sau
                                           jumatate din nota intreaga
                                                  Doua optimi
                            Patrime                   sau
                                               jumatate din doime
                                               Doua saisprezecimi
                            Optime                    sau
                                              jumatate din patrime
                                               Doua treizecidoimi
                         Saisprezecime                sau
                                               jumate din optime
                                              Doua saizecipatrimi
                         Treizecidoimea                sau
                                           jumatate din saisprezecime

                         Saizecipatrimea   Jumatate din treizecidoimea
FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII
                   NOTELE CU PUNCT
          Adaugand un punct la o nota valoarea acesteia se mareste cu jumatate din
valoarea initiala a notei.
Exemple:
          • O nota intreaga = 4 timpi. O nota intreaga cu punct = 6 timpi. De ce?



                  Raspuns: Deoarece, ½ din 4 este 2, si 4+2=6
 
         • O doime = 2 timpi. O doime cu punct = 3 timpi. De ce?




                  Raspuns: Deoarece ½ din 2 este 1, si 2+1=3.
 
         •O patrime = 1 timp. O patrime cu punct = 1 ½ timpi. De ce?




                  Deoarece ½ din 1 este ½ , si 1+ ½ = 1 ½ .
MODELUL DE CULORI RGB
                   DEFINITIE SI SEMNIFICATII


   Modelul de culori RGB este un model prin care orice culoare poate fi
    exprimata ca o combinatie de rosu (R), verde (G) si albastru (B). Dupa
    cum se observa, numele acestui model provine de la culorile sale de
    baza:
      rosu = red = R
      verde = green = G
      albastru = blue = B


   Modelul a fost inspirat din realitate, intrucat cele 3 tipuri de conuri din
    retina ochiului uman contin cate un pigment fotosenzitiv pentru aceste 3
    culori: rosu, verde si albastru. Orice alta culoare pe care omul o percepe
    este de fapt o combinatie din aceste 3 culori 

   Scopul principal al modelului de culori RGB este de a reprezenta imaginile in
    sistemele electronice, cum ar fi televizoarele sau calculatoarele.
MODELUL DE CULORI RGB
              REPREZENTAREA CULORILOR
   In memoria calculatorului imaginile se reprezinta intr-
    un mod foarte similar.
   Fiecare pixel, adica fiecare punct vizibil din imagine este
    stocat in memoria calculatorului astfel:
       O valoare intre 0 si 255 pentru rosu
    O  valoare intre 0 si 255 pentru verde
     O valoare intre 0 si 255 pentru albastru


   Astfel:
       0 reprezinta minimul culorii (sau lipsa ei)
       255 reprezinta maximul culorii (sau prezenta 100% a ei).

   In exemplul de mai jos se poate vedea reprezentarea
    culorilor prin RGB la televizor.
MODELUL DE CULORI RGB
     REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL BINAR
   Se stie ca in memoria calculatorului orice informatie este
    reprezentata ca siruri de 0 si 1, adica in sistem binar.
   Unitatea de baza de masura pentru memorie este bitul,
    adica o pozitie din memorie pe care poate fi 0 sau 1.
   Orice valoare intre 0 si 255 poate fi exprimata pe 8 pozitii,
    deci pe 8 biti:
                         0(10) = 00000000(2)
                         1(10) = 00000001(2)
                        10(10) = 00001010(2)
                                  ….
                        255(10) = 11111111(2)
   Unitatea de masura folosita pentru o colectie de 8 biti se
    numeste octet (sau byte).
   Putem concluziona astfel ca orice culoare pe care o
    reprezinta calculatorul este reprezentata in memoria
    acestuia pe 3 octeti = 24 de biti, cate un octet = 8 biti
    pentru fiecare culoare: rosu, verde si albastru. 
MODELUL DE CULORI RGB
               REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI
    Astfel, dintr-o imagine precum este cea de jos, se pot extrage 3 imagini, luand din
    fiecare pixel doar valoarea corespunzatoare cate unei culori, pe rand:
      Prima imagine este imaginea initiala, fotografiata din realitate
      A doua imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru rosu, iar valorile pentru
       albastru si verde sunt considerate 0
      A treia imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru verde, iar valorile
       pentru rosu si albastru sunt considerate 0
      A patra este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru albastru, iar valorile pentru
       rosu si verde sunt considerate 0.




   Din imaginile prezentate se observa ca:
        albul este combinatia de maxim rosu, maxim verde si maxim albastru
        negru reprezinta combinatia de minim rosu, minim verde si minim albastru
        maro este combinatia de mult rosu si verde, dar putin albastru
        verdele inchis este combinatie de mult verde cu putin rosu sau albastru
        albastrul cerului este o combinative de mult albastru si moderat rosu si verde.
MODELUL DE CULORI RGB
             REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA
   Deoarece orice culoare poate fi reprezentata ca o combinatie de rosu, verde, albastru,
    atunci modelul RGB este un model cu 3 dimensiuni. Spatiul RGB este reprezentat prin 3
    dimensiuni independente (rosu, verde si albastru).
   Astfel, putem considera spatiul RGB ca un cub, pe fiecare axa fiind o culoare din cele trei
    (rosu, verde si albastru), cu valori de la 0 la 255.
   Dupa cum se observa in imaginea de mai jos, orice punct din interiorul cubului poate fi
    exprimat in functie de cele 3 axe, adica cele 3 culori.




       Toate aceste lucruri pot fi verificate foarte
        simplu cu ajutorul unui calculator, deschizand
        aplicatia Paint.
SIRUL LUI FIBONACCI
   In anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematica in Pisa. Problema propusa
    concurentilor a fost celebra “Problema a iepurasilor” lui Fibonacci.
   Plecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri
    produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine “productiva” la
    varsta de 1 luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (de asemenea se
    considera ca iepurii nu mor in decursul respectivei perioade de n luni)
   Sa notam Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa
    n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-nascuti.
    Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi F n-1 perechi
    de iepuri nou-nascuti.
   Obtinem astfel o relatie de recurenta: (reprezentata si prin diagrama de mai jos )

        Fn+1 = Fn + Fn-1;
        F1=1;
        F0=0.




   Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui Fibonacci :
    1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.....
   Sirul lui Fibonacci este un sir de numere in care fiecare, incepand cu al treilea,
    este suma celor doua dinaintea sa.
SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL
                     DE AUR
   Dacă luăm în considerare raportul dintre două numere succesive, în sirul lui Fibonacci si vom
    imparti fiecare la predecesorul sau vom găsi următoarele serii de numere:
    1
     / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1·5, 5 / 3 = 1·666..., 8 / 5 = 1·6, 13 / 8 = 1·625, 21 / 13 = 1·61538... 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 =
    1,5, 5 / 3 = 1.666 ..., 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.61538 ...
   Raportul aproximeaza o anumită valoare, pe care o numim raportul de aur sau numărul de
    aur:
                                                        φ (fi) = 1.618034


   Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice
    din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o
    masura a armoniei si echilibrului.( ex. Partenonul )




   Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole
    o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale π sau е, pare a face parte
    din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie.
SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA
•   Numarul de aur se regaseste in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau
    semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc,
    etc…

•   La multe plante, numărul de petale este un numar Fibonacci
     • 3 petale: crin, iris
     • 5 petale: trandafir salbatic, viorele, lalele
     • 8 petale: delphiniums
     • 13 petale: gălbenele, porumb, cineraria, unele margarete
     • 21 petale: margarete, cicoare
     • 34 petale: patlagina


•   Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci,
    si de asemenea la floarea soarelui.




      Con de pin           Crin              Garofita          Fuchsia Fucsie
SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA
•   La floarea soarelui se pot observa doua randuri de
    spirale in sens invers. Numarul de spirale nu este
    acelasi in fiecare sens. Potrivit soiului, acest numar
    poate fi 21 si 34 sau 34 si 55, uneori 58 si 89.

•   Multe plante au aranjamentul frunzelor dispus intr-
    o secventa Fibonacci in jurul tulpinei.

•   Ideea dispunerii frunzelor in acest sens pleaca de la
    considerarea unghiului de aur de 222,5 grade, unghi
    care impartit la intregul 360 de grade va da ca
    rezultat numarul 0.61803398..., cunoscuta ca ratia
    sirului lui Fibonacci.
CORPUL OMENESC SI NUMERELE
                LUI FIBONACCI
   Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange, separate prin 2 incheieturi. Media
    lungimilor falangelor este de 2, 3 si respectiv 5 cm. In continuarea lor este un os al palmei care
    are in medie 8 cm.
   Catul dintre lungimea partii de jos a corpului omenesc, masurata de la ombilic pana la talpi, si
    partea de sus, masurata din crestet pana la ombilic este numarul de aur.
   Ritmul ciclic al batailor inimii apare în electrocardiograma unui om sanatos ca o linie curba, cu
    suisuri si coborâsuri. Reprezentarea grafica a "sirului lui Fibonacci" seamana izbitor cu cea de-a
    doua parte a amintitei EKG.
   Molecula de ADN are si ea la baza sectiunea de aur. Ea masoara 34 angströmi (A) în lungime si
    21 A latime, pentru fiecare ciclu complet al elicei duble a spiralei sale. 21 si 34 fac parte din "sirul
    lui Fibonacci“.
PROPORTIA DE AUR
   O paralelă cu baza de la mijlocul unei laturi într-un
    triunghi echilateral înscris într-un cerc generează
    proporţia de aur.(fig.1)
   Pătratul maxim înscris într-un semicerc generează
    proporţia de aur. (fig.2)
   Intersecţia diagonalelor unui pentagon generează
    proporţia de aur. (fig.3)
   Bisectoarele (de ex.: DB) unui "triunghi isoscel de aur"
    (adică unul în care baza reprezintă 0,618... faţă de
    laturi) generează, la rîndul lor, proporţia de aur, iar
    arcele de cerc trasate din punctele unde ele
    intersectează laturile "triunghiurilor de aur" ce se
    formează succesiv generează spirala logaritmică. (fig.4)
COCHILIA MELCULUI, SPIRALA
                    LOGARITMICA SI SERIA LUI

                                        FIBONACCI
    Cati dintre voi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesiti "la plimbare" dupa o ploaie de vara.
    Designul ei urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam
    trasand-o cu pixul. Aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci:
        pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13, samd...
        pe axa negativa: 0, 1, 3, 8, samd..
   Dupa cum puteti observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci.
   Motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in interior
    un maxim de spatiu si de siguranta.
   Spirala logaritmică - unicul tip de spirală care nu-şi modifică forma pe măsură ce creşte. Aceasta
    se gaseste:
     o   In forma cochiliei de melc
     o   In forma urechii umane.
     o   In interiorul aparatului auditiv
GEOGRAFIA SI MATEMATICA
             COORDONATE GEOGRAFICE
   Harta Pământului arătând liniile de latitudine (orizontal) şi longitudine
    (vertical).
   Un sistem de coordonate geografice defineşte orice locaţii de pe Pământ
    prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este
    aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile
    vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au
    asigurat 360°.
GEOGRAFIA SI MATEMATICA
            LATITUDINEA
   Latitudinea este una
    dintre cele două
    coordonate geografice care
    descriu poziţia unui punct
    de pe suprafaţa
    Pământului

   Latitudinea unui punct
    este unghiul dintre
    direcţia de la centrul
    Pământului spre acel
    punct şi planul
    ecuatorului.
GEOGRAFIA SI MATEMATICA
            LONGITUDINEA
   Longitudinea descrie poziţia
    unui punct de pe suprafaţa
    Pământului.
   Longitudinea unui punct este
    unghiul dintre proiecţiile pe
    planul ecuatorului ale
    direcţiilor de la centrul
    Pământului către punctul dat
    şi, respectiv, către un punct de
    pe Pământ ales convenţional ca
    origine a longitudinii.
   Echivalent, longitudinea unui
    punct este unghiul diedru
    dintre semiplanele sprijinite pe
    axa Pământului şi conţinând
    punctul dat şi, respectiv,
    punctul ales ca origine a
    longitudinii.
IMPORTANTA
INTERDISCIPLINARITATII

Contenu connexe

Tendances (20)

Factorii geoecologici
Factorii geoecologiciFactorii geoecologici
Factorii geoecologici
 
Functii aplicatii practice
Functii aplicatii practiceFunctii aplicatii practice
Functii aplicatii practice
 
Dumitru Doinita www.power point.ro 7761-hazarduri naturale si antropice
Dumitru Doinita www.power point.ro 7761-hazarduri naturale si antropiceDumitru Doinita www.power point.ro 7761-hazarduri naturale si antropice
Dumitru Doinita www.power point.ro 7761-hazarduri naturale si antropice
 
Rolul plantelor in natura
Rolul plantelor in naturaRolul plantelor in natura
Rolul plantelor in natura
 
Protectia mediului material didactic
Protectia mediului  material didacticProtectia mediului  material didactic
Protectia mediului material didactic
 
Igiena
IgienaIgiena
Igiena
 
Compoziția decorativă ppt
Compoziția decorativă pptCompoziția decorativă ppt
Compoziția decorativă ppt
 
Rebusuri rezolvate
Rebusuri rezolvateRebusuri rezolvate
Rebusuri rezolvate
 
Cunoaşte te-pe-tine
Cunoaşte te-pe-tineCunoaşte te-pe-tine
Cunoaşte te-pe-tine
 
Elemente de statistica
Elemente de statisticaElemente de statistica
Elemente de statistica
 
Curiozitati matematice
Curiozitati matematiceCuriozitati matematice
Curiozitati matematice
 
Grigore Vieru
Grigore  VieruGrigore  Vieru
Grigore Vieru
 
Parameciul
ParameciulParameciul
Parameciul
 
tabel derivate si integrale
tabel derivate si integraletabel derivate si integrale
tabel derivate si integrale
 
Parinte copil
Parinte copilParinte copil
Parinte copil
 
Ce este igiena personala
Ce este igiena personalaCe este igiena personala
Ce este igiena personala
 
Ion Druță viața și activitatea
Ion Druță viața și activitateaIon Druță viața și activitatea
Ion Druță viața și activitatea
 
Geometrie VI
Geometrie VIGeometrie VI
Geometrie VI
 
Efectele fumatului Prezentare Powerpoint
Efectele fumatului Prezentare PowerpointEfectele fumatului Prezentare Powerpoint
Efectele fumatului Prezentare Powerpoint
 
Sfaturi pentru părinţi
Sfaturi pentru părinţiSfaturi pentru părinţi
Sfaturi pentru părinţi
 

En vedette

Concursul celor veseli si isteti
Concursul celor veseli si istetiConcursul celor veseli si isteti
Concursul celor veseli si istetiAlianta INFONET
 
Frumusetea matematicii
Frumusetea matematiciiFrumusetea matematicii
Frumusetea matematiciipetrucodric
 
Matematicieni de seama
Matematicieni de seamaMatematicieni de seama
Matematicieni de seamaIzabela Corlan
 
Metoda cubul aplicatii in lectiile de matematica bun
Metoda cubul  aplicatii in lectiile de matematica bunMetoda cubul  aplicatii in lectiile de matematica bun
Metoda cubul aplicatii in lectiile de matematica bundoinaceuca
 

En vedette (6)

Concursul celor veseli si isteti
Concursul celor veseli si istetiConcursul celor veseli si isteti
Concursul celor veseli si isteti
 
Curiozitati Matematice
Curiozitati MatematiceCuriozitati Matematice
Curiozitati Matematice
 
Frumusetea matematicii
Frumusetea matematiciiFrumusetea matematicii
Frumusetea matematicii
 
Matematicieni de seama
Matematicieni de seamaMatematicieni de seama
Matematicieni de seama
 
Trucuri matematice
Trucuri matematiceTrucuri matematice
Trucuri matematice
 
Metoda cubul aplicatii in lectiile de matematica bun
Metoda cubul  aplicatii in lectiile de matematica bunMetoda cubul  aplicatii in lectiile de matematica bun
Metoda cubul aplicatii in lectiile de matematica bun
 

Similaire à Aplicatii ale matematicii

Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinareAplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinareCarmen Delcea
 
Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1
Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1
Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1Fraguta Dobrescu
 
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneagMagda Pop
 
Barem Culegere evaluare nationala 2012
Barem Culegere evaluare nationala 2012Barem Culegere evaluare nationala 2012
Barem Culegere evaluare nationala 2012Nicoleta Serban
 
Sinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii aSinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii aGherghescu Gabriel
 
Sinteza geometriei
Sinteza geometrieiSinteza geometriei
Sinteza geometrieiClimenteAlin
 

Similaire à Aplicatii ale matematicii (6)

Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinareAplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
Aplicatii ale matematicii abordari interdisciplinare
 
Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1
Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1
Aplicatiialematematicii abordariinterdisciplinare 1
 
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
6207247 probleme-de-algebra-liniara-dumitru-busneag
 
Barem Culegere evaluare nationala 2012
Barem Culegere evaluare nationala 2012Barem Culegere evaluare nationala 2012
Barem Culegere evaluare nationala 2012
 
Sinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii aSinteza geometriei cls. a vii a
Sinteza geometriei cls. a vii a
 
Sinteza geometriei
Sinteza geometrieiSinteza geometriei
Sinteza geometriei
 

Plus de Scoala cu clasele I-VIII Tormac (8)

Secrets
SecretsSecrets
Secrets
 
Numere rationale VII
Numere rationale VIINumere rationale VII
Numere rationale VII
 
Simetrii in viata cotidiana
Simetrii in viata cotidianaSimetrii in viata cotidiana
Simetrii in viata cotidiana
 
Formule calcul prescurtat VII-VIII
Formule calcul prescurtat VII-VIIIFormule calcul prescurtat VII-VIII
Formule calcul prescurtat VII-VIII
 
Patrulatere VII
Patrulatere VIIPatrulatere VII
Patrulatere VII
 
Constructia piramidei VIII
Constructia piramidei VIIIConstructia piramidei VIII
Constructia piramidei VIII
 
Inventii care au revolutionat lumea
Inventii care au revolutionat lumea Inventii care au revolutionat lumea
Inventii care au revolutionat lumea
 
Energia verde - viitorul omenirii
Energia verde - viitorul omeniriiEnergia verde - viitorul omenirii
Energia verde - viitorul omenirii
 

Aplicatii ale matematicii

  • 1. Moto: “ Matematica este limba cu care Dumnezeu a scris universul. ” Galileo Galilei APLICAŢII ALE MATEMATICII ABORDĂRI INTERDISCIPLINARE Profesor : Bidileci Laura Ofelia Scoala Gimnaziala Tormac An scolar 2012-2013
  • 2. SUMAR  EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN PRACTICA  APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR  FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII  NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE  NOTELE CU PUNCT  MODELUL DE CULORI RGB  DEFINITIE SI SEMNIFICATII  REPREZENTAREA CULORILOR  REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL BINAR  REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI  REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA  SIRUL LUI FIBONACCI  SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE AUR  SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA  CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI FIBONACCI  PROPORTIA DE AUR  COCHILIA MELCULUI, SPIRALA LOGARITMICA SI SERIA LUI FIBONACCI  GEOGRAFIA SI MATEMATICA  COORDONATE GEOGRAFICE  LATITUDINEA  LONGITUDINEA
  • 3. EXEMPLE DE RAPOARTE UTILIZATE IN PRACTICA Raport Exemplu 1. Raport procentual = un raport 17% = 17/100 de forma p% (p∈Q, p≥0) 2. Scara unei harti = raportul Pe o harta, unui segment ce are dintre distanta pe harta si distanta lungimea de 1 mm ii corespunde o pe teren distanta de teren egala cu 5 km. Scara hartii este 1: 5 000 000. 3. Concentratia unei solutii = In 190 g de apa de dizolva 10 g de raportul dintre masa substantei sare. Concentratia solutiei este 0,05 care se dizolva si masa solutiei 4. Titlul unui aliaj = raportul Un aliaj contine 240 g aur si 940 g dintre masa metalului pretios si cupru. Titlul aliajului este 0,2 masa aliajului 5. Probabilitatea realizarii unui Intr-o cutie sunt 5 bile albe si 2 eveniment A = raportul dintre negre. Probabilitatea de a extrage la numarul cazurilor favorabile intamplare o bila neagra este 2/7 realizarii evenimentului si numarul cazurilor egal posibile ale experientei.
  • 4. APLICAŢIE ÎN FIZICĂ A INEGALITĂŢII MEDIILOR  Este foarte important sa ştim sa punem cunoştinţele de fizică în strânsă legătură cu matematica, în viata de zi cu zi, sa privim evoluţia acestora prin prisma aplicaţiilor lor şi a vieţii oamenilor.  Una dintre cele mai cunoscute inegalităţi în matematică este inegalitatea dintre media aritmetică şi media armonica a două sau mai multe numere reale pozitive. ,  Aplicaţie în fizică: Două mobile parcurg acelaşi drum, primul cu viteză constantă v, cel de-al doilea parcurgând 2 porţiuni egale cu vitezele v1, v2, a căror medie aritmetică este v. Care mobil parcurge drumul mai repede?  Notăm distanţa cu D=2·d, iar timpii de parcurgere cu t1 (pentru primul mobil) şi t2 (pentru al doilea mobil) D 2⋅d 4 d d 1 1 t1 = = =d⋅ t2 = + = d ⋅ +  v v1 + v 2 v1 + v 2 v1 v 2 v v   1 2  2 Aplicăm inegalitatea dintre media aritmetica si media armonica pentru v1 si v2: 2 v1 + v 2 ≤ 1 1 2 + v1 v 2 4 1 1 4 1 1 ≤ + ⇒d⋅ ≤ d ⋅  +  ⇒ t1 ≤ t 2 v v  v1 + v 2 v1 v 2 v1 + v 2  1 2  În concluzie, mobilul care merge cu viteză constantă ajunge la destinaţie în cel mai scurt timp
  • 5. FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII NOTELE UNEI OCTAVE SI FRACTIILE ORDINARE Nota corespunzatoare Numele notei Durata Nota intreaga Doua doimi Doua patrimi Doime sau jumatate din nota intreaga Doua optimi Patrime sau jumatate din doime Doua saisprezecimi Optime sau jumatate din patrime Doua treizecidoimi Saisprezecime sau jumate din optime Doua saizecipatrimi Treizecidoimea sau jumatate din saisprezecime Saizecipatrimea Jumatate din treizecidoimea
  • 6. FORMELE MATEMATICE ALE MUZICII NOTELE CU PUNCT Adaugand un punct la o nota valoarea acesteia se mareste cu jumatate din valoarea initiala a notei. Exemple: • O nota intreaga = 4 timpi. O nota intreaga cu punct = 6 timpi. De ce? Raspuns: Deoarece, ½ din 4 este 2, si 4+2=6   • O doime = 2 timpi. O doime cu punct = 3 timpi. De ce? Raspuns: Deoarece ½ din 2 este 1, si 2+1=3.   •O patrime = 1 timp. O patrime cu punct = 1 ½ timpi. De ce? Deoarece ½ din 1 este ½ , si 1+ ½ = 1 ½ .
  • 7. MODELUL DE CULORI RGB DEFINITIE SI SEMNIFICATII  Modelul de culori RGB este un model prin care orice culoare poate fi exprimata ca o combinatie de rosu (R), verde (G) si albastru (B). Dupa cum se observa, numele acestui model provine de la culorile sale de baza:  rosu = red = R  verde = green = G  albastru = blue = B  Modelul a fost inspirat din realitate, intrucat cele 3 tipuri de conuri din retina ochiului uman contin cate un pigment fotosenzitiv pentru aceste 3 culori: rosu, verde si albastru. Orice alta culoare pe care omul o percepe este de fapt o combinatie din aceste 3 culori   Scopul principal al modelului de culori RGB este de a reprezenta imaginile in sistemele electronice, cum ar fi televizoarele sau calculatoarele.
  • 8. MODELUL DE CULORI RGB REPREZENTAREA CULORILOR  In memoria calculatorului imaginile se reprezinta intr- un mod foarte similar.  Fiecare pixel, adica fiecare punct vizibil din imagine este stocat in memoria calculatorului astfel:  O valoare intre 0 si 255 pentru rosu O valoare intre 0 si 255 pentru verde  O valoare intre 0 si 255 pentru albastru  Astfel:  0 reprezinta minimul culorii (sau lipsa ei)  255 reprezinta maximul culorii (sau prezenta 100% a ei).  In exemplul de mai jos se poate vedea reprezentarea culorilor prin RGB la televizor.
  • 9. MODELUL DE CULORI RGB REPREZENTAREA CULORILOR SI SITEMUL BINAR  Se stie ca in memoria calculatorului orice informatie este reprezentata ca siruri de 0 si 1, adica in sistem binar.  Unitatea de baza de masura pentru memorie este bitul, adica o pozitie din memorie pe care poate fi 0 sau 1.  Orice valoare intre 0 si 255 poate fi exprimata pe 8 pozitii, deci pe 8 biti: 0(10) = 00000000(2) 1(10) = 00000001(2) 10(10) = 00001010(2) …. 255(10) = 11111111(2)  Unitatea de masura folosita pentru o colectie de 8 biti se numeste octet (sau byte).  Putem concluziona astfel ca orice culoare pe care o reprezinta calculatorul este reprezentata in memoria acestuia pe 3 octeti = 24 de biti, cate un octet = 8 biti pentru fiecare culoare: rosu, verde si albastru. 
  • 10. MODELUL DE CULORI RGB REPREZENTAREA CULORILOR IN IMAGINI   Astfel, dintr-o imagine precum este cea de jos, se pot extrage 3 imagini, luand din fiecare pixel doar valoarea corespunzatoare cate unei culori, pe rand:  Prima imagine este imaginea initiala, fotografiata din realitate  A doua imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru rosu, iar valorile pentru albastru si verde sunt considerate 0  A treia imagine este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru verde, iar valorile pentru rosu si albastru sunt considerate 0  A patra este o imagine in care s-au considerat doar valorile pentru albastru, iar valorile pentru rosu si verde sunt considerate 0.  Din imaginile prezentate se observa ca:  albul este combinatia de maxim rosu, maxim verde si maxim albastru  negru reprezinta combinatia de minim rosu, minim verde si minim albastru  maro este combinatia de mult rosu si verde, dar putin albastru  verdele inchis este combinatie de mult verde cu putin rosu sau albastru  albastrul cerului este o combinative de mult albastru si moderat rosu si verde.
  • 11. MODELUL DE CULORI RGB REPREZENTAREA TRIDIMENSIONALA  Deoarece orice culoare poate fi reprezentata ca o combinatie de rosu, verde, albastru, atunci modelul RGB este un model cu 3 dimensiuni. Spatiul RGB este reprezentat prin 3 dimensiuni independente (rosu, verde si albastru).  Astfel, putem considera spatiul RGB ca un cub, pe fiecare axa fiind o culoare din cele trei (rosu, verde si albastru), cu valori de la 0 la 255.  Dupa cum se observa in imaginea de mai jos, orice punct din interiorul cubului poate fi exprimat in functie de cele 3 axe, adica cele 3 culori.  Toate aceste lucruri pot fi verificate foarte simplu cu ajutorul unui calculator, deschizand aplicatia Paint.
  • 12. SIRUL LUI FIBONACCI  In anul 1202, Fibonacci a participat la un concurs de matematica in Pisa. Problema propusa concurentilor a fost celebra “Problema a iepurasilor” lui Fibonacci.  Plecand de la o singura pereche de iepuri si stiind ca fiecare pereche de iepuri produce in fiecare luna o noua pereche de iepuri, care devine “productiva” la varsta de 1 luna, calculati cate perechi de iepuri vor fi dupa n luni. (de asemenea se considera ca iepurii nu mor in decursul respectivei perioade de n luni)  Sa notam Fn numarul de perechi de iepuri dupa n luni. Numarul de perechi de iepuri dupa n+1 luni, notat Fn+1, va fi Fn (iepurii nu mor niciodata!), la care se adauga iepurii nou-nascuti. Dar iepurasii se nasc doar din perechi de iepuri care au cel putin o luna, deci vor fi F n-1 perechi de iepuri nou-nascuti.  Obtinem astfel o relatie de recurenta: (reprezentata si prin diagrama de mai jos )  Fn+1 = Fn + Fn-1;  F1=1;  F0=0.  Aceasta relatie de recurenta reprezinta regula care genereaza termenii sirului lui Fibonacci : 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,.....  Sirul lui Fibonacci este un sir de numere in care fiecare, incepand cu al treilea, este suma celor doua dinaintea sa.
  • 13. SIRUL LUI FIBONACCI SI NUMARUL DE AUR  Dacă luăm în considerare raportul dintre două numere succesive, în sirul lui Fibonacci si vom imparti fiecare la predecesorul sau vom găsi următoarele serii de numere: 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1·5, 5 / 3 = 1·666..., 8 / 5 = 1·6, 13 / 8 = 1·625, 21 / 13 = 1·61538... 1 / 1 = 1, 2 / 1 = 2, 3 / 2 = 1,5, 5 / 3 = 1.666 ..., 8 / 5 = 1.6, 13 / 8 = 1.625, 21 / 13 = 1.61538 ...  Raportul aproximeaza o anumită valoare, pe care o numim raportul de aur sau numărul de aur: φ (fi) = 1.618034  Acest numar a fost cunoscut si studiat inca din antichitate, sculptura si arhitectura Greciei antice din secolul lui Pericle respectand cu rigurozitate sectiunea de aur, aceasta fiind considerata o masura a armoniei si echilibrului.( ex. Partenonul )  Sectiunea de aur este probabil unul dintre cele mai misterioase numere, constituind de secole o fascinatie pentru matematicieni si artisti. Ca si numerele irationale π sau е, pare a face parte din “constitutia” Universului, sectiunea de aur regasindu-se sistematic in lumea vie.
  • 14. SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA • Numarul de aur se regaseste in modul de dispunere a frunzelor, petalelor sau semintelor la plante, in raportul dintre diferite parti ale corpului omenesc, etc… • La multe plante, numărul de petale este un numar Fibonacci • 3 petale: crin, iris • 5 petale: trandafir salbatic, viorele, lalele • 8 petale: delphiniums • 13 petale: gălbenele, porumb, cineraria, unele margarete • 21 petale: margarete, cicoare • 34 petale: patlagina • Anumite conuri de pin respecta o dispunere data de numerele lui Fibonacci, si de asemenea la floarea soarelui. Con de pin Crin Garofita Fuchsia Fucsie
  • 15. SIRUL LUI FIBONACCI IN NATURA • La floarea soarelui se pot observa doua randuri de spirale in sens invers. Numarul de spirale nu este acelasi in fiecare sens. Potrivit soiului, acest numar poate fi 21 si 34 sau 34 si 55, uneori 58 si 89. • Multe plante au aranjamentul frunzelor dispus intr- o secventa Fibonacci in jurul tulpinei. • Ideea dispunerii frunzelor in acest sens pleaca de la considerarea unghiului de aur de 222,5 grade, unghi care impartit la intregul 360 de grade va da ca rezultat numarul 0.61803398..., cunoscuta ca ratia sirului lui Fibonacci.
  • 16. CORPUL OMENESC SI NUMERELE LUI FIBONACCI  Mana umana are 5 degete, fiecare deget avand 3 falange, separate prin 2 incheieturi. Media lungimilor falangelor este de 2, 3 si respectiv 5 cm. In continuarea lor este un os al palmei care are in medie 8 cm.  Catul dintre lungimea partii de jos a corpului omenesc, masurata de la ombilic pana la talpi, si partea de sus, masurata din crestet pana la ombilic este numarul de aur.  Ritmul ciclic al batailor inimii apare în electrocardiograma unui om sanatos ca o linie curba, cu suisuri si coborâsuri. Reprezentarea grafica a "sirului lui Fibonacci" seamana izbitor cu cea de-a doua parte a amintitei EKG.  Molecula de ADN are si ea la baza sectiunea de aur. Ea masoara 34 angströmi (A) în lungime si 21 A latime, pentru fiecare ciclu complet al elicei duble a spiralei sale. 21 si 34 fac parte din "sirul lui Fibonacci“.
  • 17. PROPORTIA DE AUR  O paralelă cu baza de la mijlocul unei laturi într-un triunghi echilateral înscris într-un cerc generează proporţia de aur.(fig.1)  Pătratul maxim înscris într-un semicerc generează proporţia de aur. (fig.2)  Intersecţia diagonalelor unui pentagon generează proporţia de aur. (fig.3)  Bisectoarele (de ex.: DB) unui "triunghi isoscel de aur" (adică unul în care baza reprezintă 0,618... faţă de laturi) generează, la rîndul lor, proporţia de aur, iar arcele de cerc trasate din punctele unde ele intersectează laturile "triunghiurilor de aur" ce se formează succesiv generează spirala logaritmică. (fig.4)
  • 18. COCHILIA MELCULUI, SPIRALA LOGARITMICA SI SERIA LUI  FIBONACCI Cati dintre voi nu au studiat un pic cochilia melcilor iesiti "la plimbare" dupa o ploaie de vara. Designul ei urmeaza o spirala extrem de reusita, o spirala pe care noua ne-ar fi greu sa o realizam trasand-o cu pixul. Aceasta spirala urmareste dimensiunile date de secventa lui Fibonacci:  pe axa pozitiva: 1, 2, 5, 13, samd...  pe axa negativa: 0, 1, 3, 8, samd..  Dupa cum puteti observa, aceste 2 subsiruri combinate, vor da chiar numerele lui Fibonacci.  Motivatia pentru aceasta dispunere este simpla: in acest fel cochilia ii creaza melcului, in interior un maxim de spatiu si de siguranta.  Spirala logaritmică - unicul tip de spirală care nu-şi modifică forma pe măsură ce creşte. Aceasta se gaseste: o In forma cochiliei de melc o In forma urechii umane. o In interiorul aparatului auditiv
  • 19. GEOGRAFIA SI MATEMATICA COORDONATE GEOGRAFICE  Harta Pământului arătând liniile de latitudine (orizontal) şi longitudine (vertical).  Un sistem de coordonate geografice defineşte orice locaţii de pe Pământ prin 2 sau 3 coordonate ale unui sistem de coordonate sferice care este aliniat la axa în jurul căreia se învârte Pământul. Pornind de la teoriile vechilor babilonieni, extinse ulterior de Ptolemeu, unui cerc întreg i s-au asigurat 360°.
  • 20. GEOGRAFIA SI MATEMATICA LATITUDINEA  Latitudinea este una dintre cele două coordonate geografice care descriu poziţia unui punct de pe suprafaţa Pământului  Latitudinea unui punct este unghiul dintre direcţia de la centrul Pământului spre acel punct şi planul ecuatorului.
  • 21. GEOGRAFIA SI MATEMATICA LONGITUDINEA  Longitudinea descrie poziţia unui punct de pe suprafaţa Pământului.  Longitudinea unui punct este unghiul dintre proiecţiile pe planul ecuatorului ale direcţiilor de la centrul Pământului către punctul dat şi, respectiv, către un punct de pe Pământ ales convenţional ca origine a longitudinii.  Echivalent, longitudinea unui punct este unghiul diedru dintre semiplanele sprijinite pe axa Pământului şi conţinând punctul dat şi, respectiv, punctul ales ca origine a longitudinii.

Notes de l'éditeur

  1. Sesiune de comunicări științifice la disciplina Matematică
  2. Sesiune de comunicări științifice la disciplina Matematică
  3. Sesiune de comunicări științifice la disciplina Matematică