Se muestran datos de las máquinas eléctricas presentes en el problema de flujo de potencia. Además se plantea el problema de flujo de potencia y sus variantes y el problema de flujo de potencia óptimo.

1. Flujo de Potencia y Flujo de Potencia
Óptimo
Prof.: Fabricio Salgado Díaz

2. Datos máquina sincrónica

3. Datos máquina sincrónica (curva de capacidad de carga)

4. Datos máquina sincrónica (curva de capacidad de carga)

5. Datos máquina sincrónica (curva de capacidad de carga)

6. Datos Máquina de inducción

7. Datos Máquina
de inducción

8. Transformador
de poder

9. Datos máquinas
Reactancias
C37.010-1999

10. Datos Máquinas Resistencias C37.010 1999

11. Clases en transformadores
TIPO OA
Sumergido en aceite, con enfriamiento natural. Este es el enfriamiento más comúnmente usado y el que
frecuentemente resulta el más económico y adaptable a la generalidad de las aplicaciones. En estos
transformadores, el aceite aislante circula por convección natural dentro de un tanque con paredes lisas,
corrugadas o bien previstos de enfriadores tubulares o radiadores separables.
TIPO OA/FA
Sumergido en aceite con enfriamiento propio y con enfriamiento de aire forzado.
Este tipo de transformadores es básicamente una unidad OA a la cual se le han agregado ventiladores para
aumentar la disipación del calor en las superficies de enfriamiento y por lo tanto, aumentar los KVA de
salida.
TIPO OA/FOA/FOA
Sumergido en aceite con enfriamiento propio, con enfriamiento de aceite forzado-aire forzado, con
enfriamiento aceite forzado-aire forzado.
El régimen del transformador tipo OA, sumergido en aceite puede ser aumentado por el empleo
combinado de bombas y ventiladores. En la construcción se usan los radiadores desprendibles normales
con la adición de ventiladores montados sobre dichos radiadores y bombas de aceite conectados a los
cabezales de los radiadores.
El aumento de capacidad se hace en dos pasos: en el primero se usan la mitad de los radiadores y la mitad
de las bombas para lograr un aumento de 1.333 veces sobre diseño OA; en el segundo se hace trabajar a la
totalidad de los radiadores y bombas con lo que se consigue un aumento de 1.667 veces el régimen OA.

12. Clases en transformadores
TIPO FOA
Sumergidos en aceite, con enfriamiento por aceite forzado con enfriadores de aire forzado.
El aceite de estos transformadores es enfriado al hacerlo pasar por cambiadores de calor o radiadores de
aire y aceite colocados fuera del tanque. Su diseño está destinado a usarse únicamente con los ventiladores
y las bombas de aceite trabajando continuamente.
TIPO OW
Sumergidos en aceite, con enfriamiento por agua. Este tipo de transformador esta equipado con un
cambiador de calor tubular colocado fuera del tanque, el agua de enfriamiento circula en el interior de los
tubos y se drena por gravedad o por medio de una bomba independiente. El aceite fluye, estando en
contacto con la superficie exterior de los tubos.
TIPO FOW
Sumergido en aceite, con enfriamiento de aceite forzado con enfriadores de agua forzada.
El transformador es prácticamente igual que el FOA, excepto que el cambiador de calor es del modelo
agua-aceite y por lo tanto el enfriamiento del aceite se hace por medio de agua sin tener ventiladores.
TIPO AA
Tipo seco, con enfriamiento propio. La característica primordial es que no contienen aceite u otro líquido
para efectuar las funciones de aislamiento y enfriamiento, y es el aire el único medio aislante que rodea el
núcleo y las bobinas menos de 15KV y hasta 2 000 KVA.

13. TIPO AFA
Tipo seco, con enfriamiento por aire forzado. Para aumentar la potencia del
transformador AA, se usa el enfriamiento con aire forzado. El diseño comprende
un ventilador que empuja el aire en un ducto colocado en la parte inferior del
transformador.
TIPO AA/AFA
Tipo sedo, con enfriamiento natural con enfriamiento por aire forzado.
La denominación de estos transformadores indica que tienen dos régimen, uno
por enfriamiento natural y el otro contando con la circulación forzada por medio
de ventiladores, cuyo control es automático y opera mediante un relevador
térmico
Clases en transformadores

14. Datos Máquinas C37.010 1999

15. Datos Máquinas C37.010 1999

16. Métodos para solución de la ecuación de flujo de potencia
𝐼 =
𝑌11 ⋯ 𝑌1𝑛
⋮ ⋱ ⋮
𝑌𝑛1 ⋯ 𝑌𝑛𝑛
𝑉1
⋮
𝑉𝑛
𝑆𝑝 = 𝑉𝑝𝐼𝑝∗
𝐼𝑝∗
=
𝑆𝑝
𝑉𝑝
𝐼𝑝∗
=
𝑞=1
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞
∗
𝑆𝑝 = 𝑃𝑝 + 𝑗𝑄𝑝 = 𝑆𝑝 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
− 𝑆𝑝 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
𝑆𝑝∗
= 𝑉𝑝∗
𝐼𝑝 = 𝑉𝑝∗
𝑞=1
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞
𝑆𝑝
𝑉𝑝
∗
=
𝑞=1
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞 =
𝑞=1
𝑝−1
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞 + 𝑌𝑝𝑝𝑉𝑝 +
𝑞=𝑝+1
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞
𝑆𝑝
𝑉𝑝
∗
= 𝑌𝑝𝑝𝑉𝑝 +
𝑞=1
𝑞≠𝑝
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞

17. Método de Gauss
𝑉𝑝 𝑘+1
=
1
𝑌𝑝𝑝
𝑆𝑝
𝑉𝑝 𝑘
∗
−
𝑞=1
𝑞≠𝑝
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞 𝑘
Método de Gauss Seidel
𝑉𝑝 𝑘+1
=
1
𝑌𝑝𝑝
𝑆𝑝
𝑉𝑝 𝑘
∗
−
𝑞=1
𝑝−1
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞 𝑘+1
−
𝑞=𝑝+1
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞 𝑘
𝑆𝑝∗
= 𝑉𝑝∗
𝐼𝑝 = 𝑉𝑝∗
𝑞=1
𝑛
𝑌𝑝𝑞𝑉𝑞
Método de Newton
𝑃𝑝 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑌𝑝𝑞 𝑉𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑝𝑞 − 𝛿𝑝 + 𝛿𝑞
𝑄𝑝 = −
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑌𝑝𝑞 𝑉𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑝𝑞 − 𝛿𝑝 + 𝛿𝑞

18. Método de Newton
Considerando: 𝑠𝑒𝑛 ∝ ±𝛽 = 𝑠𝑒𝑛𝛼 cos 𝛽 ± 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑐𝑜𝑠 ∝ ±𝛽 = 𝑐𝑜𝑠𝛼 cos 𝛽 ∓ 𝑠𝑒𝑛𝛼 𝑠𝑒𝑛𝛽
𝑃𝑝 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑌𝑝𝑞 𝑉𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝 − 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑝𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝
𝑃𝑝 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑉𝑞 𝐺𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝 − 𝐵𝑝𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝
𝑄𝑝 = −
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑌𝑝𝑞 𝑉𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑝𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝
𝑄𝑝 = −
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑉𝑞 𝐵𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝 + 𝐺𝑝𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑞 − 𝛿𝑝

19. Descomposición en serie de Taylor de una función alrededor de Xo:
𝑓 𝑥 =
𝑛=0
∞
𝑓 𝑛
𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 𝑛
𝑛!
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓′
𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 +
1
2
𝑓′′
𝑥𝑜 𝑥 − 𝑥𝑜 2
+ ⋯
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓′
𝑥𝑜 ∆𝑥 +
1
2
𝑓′′
𝑥𝑜 ∆𝑥2
+ ⋯ 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝑓′
𝑥𝑜 ∆𝑥 +
1
2
𝑓′′
𝑥𝑜 ∆𝑥2
+ ⋯
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥𝑜 + 𝐽 𝑥𝑜 ∆𝑥 +
1
2
𝐻 𝑥𝑜 ∆𝑥2
+ ⋯
𝑓 𝑥 ≈ 𝑓 𝑥𝑜 + 𝐽 𝑥𝑜 ∆𝑥
f(x) =0 𝑓 𝑥𝑜 + 𝐽 𝑥𝑜 ∆𝑥 = 0 ∆𝑥 = −𝐽 𝑥𝑜 −1
𝑓(𝑥𝑜)
𝑓 𝑥𝑜 + 𝐽 𝑥𝑜 (𝑥 − 𝑥𝑜) = 0 𝑥 = −
𝑓 𝑥𝑜
𝐽 𝑥𝑜
+ 𝑥𝑜
∆𝑃𝑝
∆𝑄𝑝
=
𝑃 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
− 𝑃 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜
𝑄 𝐸𝑠𝑝𝑒𝑐𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜
− 𝑄 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜 =
0
0
, 𝑥 =
𝛿𝑝
𝑉𝑝
∆𝛿𝑝
∆ 𝑉𝑝
= −𝐽(𝑥𝑜)−1 ∆𝑃𝑝(𝑥𝑜)
∆𝑄𝑝(𝑥𝑜)
∆𝛿𝑝
∆ 𝑉𝑝
= −
𝜕∆𝑃𝑝
𝜕𝛿𝑞
𝜕∆𝑃𝑝
𝜕 𝑉𝑞
𝜕∆𝑄𝑝
𝜕𝛿𝑞
𝜕∆𝑄𝑝
𝜕 𝑉𝑞
−1
∆𝑃𝑝
∆𝑄𝑝
𝐽 =
𝐻 𝑁
𝑀 𝐿

20. Si “J” cambia iteración a iteración: método de Newton (1952), sino cambia iteración a
iteración el método recibe el nombre de Newton Kantorovich (1952). En caso de que
se utilicen solo H y L con N y M nulas, el método recibe el nombre de desacoplado de
Carpentier (1962).
∆𝑃𝑝
∆𝑄𝑝
= −
𝐻 𝑁
𝑀 𝐿
∆𝛿𝑝
∆ 𝑉𝑝
𝑉𝑝
∆𝑃𝑝
∆𝑄𝑝
=
𝜕𝑃𝑝
𝜕𝛿𝑞
𝑉𝑞
𝜕𝑃𝑝
𝜕 𝑉𝑞
𝜕𝑄𝑝
𝜕𝛿𝑞
𝑉𝑞
𝜕𝑄𝑝
𝜕 𝑉𝑞
∆𝛿𝑝
∆ 𝑉𝑝
𝑉𝑝

21. También existe el método desacoplado rápido de Stott (1974), el que se deduce a
continuación.
𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑝 − 𝛿𝑞 ≈ 1 𝑄𝑝 ≤ 𝑉𝑝2
𝐵𝑝𝑝 𝐺𝑝𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑝 − 𝛿𝑞 ≤ 𝐵𝑝𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑝 − 𝛿𝑞
𝐻𝑝𝑝 = −𝑉𝑝2
𝐵𝑝𝑝 𝐿𝑝𝑝 = −𝑉𝑝2
𝐵𝑝𝑝 𝐿𝑝𝑞 = 𝑀𝑝𝑞 = −𝐵𝑝𝑞 𝑉𝑝 𝑉𝑞 𝑝 ≠ 𝑞
∆𝑃𝑝 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑉𝑞 (−𝐵𝑝𝑞)∆𝛿𝑞
∆𝑄𝑝 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑝 𝑉𝑞 (−𝐵𝑝𝑞)
∆ 𝑉𝑞
𝑉𝑞
∆𝑃𝑝 = 𝑉𝑝
𝑞=1
𝑛
−𝐵𝑝𝑞 ∆𝛿𝑞 , 𝑉𝑞 ≈ 1
∆𝑄𝑝 = 𝑉𝑝
𝑞=1
𝑛
(−𝐵𝑝𝑞)∆ 𝑉𝑞
∆𝑃𝑝
𝑉𝑝
≈
𝑞=1
𝑛
−𝐵𝑝𝑞 ∆𝛿𝑞
∆𝑄𝑝
𝑉𝑝
≈
𝑞=1
𝑛
(−𝐵𝑝𝑞)∆ 𝑉𝑞
∆𝑃𝑝
𝑉𝑝
∆𝑄𝑝
𝑉𝑝
= 𝐵´
0
0 𝐵´´
∆𝛿
∆𝑉
𝐵´
: −𝐼𝑚𝑎𝑔 𝑌𝑝𝑞 ∶ Negativo de la parte imaginaria
del 𝑌𝑏𝑢𝑠sin considerar la fila y columna de la barra
de oscilación.
𝐵´´
: −𝐼𝑚𝑎𝑔 𝑌𝑝𝑞 ∶Negativo de la parte
imaginaria del 𝑌𝑏𝑢𝑠sin considerar las filas y
columnas de la barra de oscilación y barras PV.

22. Barra Tipo Tensi
ón
Pg Qg Pc Qc
1 Osc 1.05 - - 1.0 1.0
2 PV 1.0 2 - 0.5 0.5
3 PQ - 0 0 1.5 3.0
Se tiene:
∆𝑃
𝑉
= 𝐵´
∆𝛿 para barras PQ y PV
∆𝑄
𝑉
= 𝐵´´
∆𝑉 para barras PV
La matriz de admitancias de barra:
𝑌𝑏𝑢𝑠 = 𝑗
−20 10 10
10 −20 10
10 10 −20
𝐵´
=
20 −10
−10 20
𝐵´´
= 20
∆𝑃2
𝑉2
∆𝑃3
𝑉3
=
20 −10
−10 20
∆𝛿2
∆𝛿3
→
∆𝛿2
∆𝛿3
=
0.0667 0.0333
0.0333 0.0667
∆𝑃2
𝑉2
∆𝑃3
𝑉3
∆𝑄3
𝑉3
= 20 ∆𝑉3 → ∆𝑉3 = 0.05
∆𝑄3
𝑉3
Ejemplo:

23. Primera iteración:
∆𝑃2 = 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
− 𝑃2
𝑐𝑎𝑙𝑐
= 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
−
𝑞=1
3
𝑉2 𝑉𝑞 𝐵2𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿2𝑞
∆𝑃3 = 𝑃3
𝑒𝑠𝑝
− 𝑃3
𝑐𝑎𝑙𝑐
= 𝑃3
𝑒𝑠𝑝
−
𝑞=1
3
𝑉3 𝑉𝑞 𝐵3𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿3𝑞
∆𝑄3 = 𝑄3
𝑒𝑠𝑝
− 𝑄3
𝑐𝑎𝑙𝑐
= 𝑄3
𝑒𝑠𝑝
−
𝑞=1
3
𝑉3 𝑉𝑞 −𝐵3𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿3𝑞
Como:
𝑃2
𝑒𝑠𝑝
= 𝑃2
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
− 𝑃2
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
= 2 − 0.5 = 1.5
𝑃3
𝑒𝑠𝑝
= 𝑃3
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
− 𝑃3
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
= 0 − 1.5 = −1.5
𝑄3
𝑒𝑠𝑝
= 𝑄3
𝑔𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
− 𝑄3
𝑐𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
= 0 − 3.0 = −3.0
Para 𝑉1 = 1.05 0°, 𝑉2 = 1.0 0° 𝑦 𝑉3 = 1.0 0°, se tiene:
∆𝑃2
𝑉2
= 1.5,
∆𝑃3
𝑉3
= −1.5,
∆𝑄3
𝑉3
= −2.5

24. Luego:
∆𝛿2
∆𝛿3
=
0.0667 0.0333
0.0333 0.0667
1.5
−1.5
=
0.05 𝑟𝑎𝑑
−0.05 𝑟𝑎𝑑
=
2.86°
−2.86°
∆𝑉3 = 0.05 −2.5 = −0.125
Por lo tanto:
𝛿2
(1)
= 𝛿2
(0)
+ ∆𝛿2 = 2.86°
𝛿3
(1)
= 𝛿3
(0)
+ ∆𝛿3 = −2.86°
𝑉3
(1)
= 𝑉3
(0)
+ ∆𝑉3 = −0.875 𝑝𝑢
𝑉1 = 1.05 0°, 𝑉2 = 1.0 2.86° 𝑦 𝑉3 = 0.875 −2.86°

25. Segunda iteración:
∆𝑃2 = 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
− 𝑃2
𝑐𝑎𝑙𝑐
= 1.5 − 1.396 = 0.10401 →
∆𝑃2
𝑉2
= 0.104
∆𝑃3 = 𝑃3
𝑒𝑠𝑝
− 𝑃3
𝑐𝑎𝑙𝑐
= −1.5 + 1.341 = −0.159 →
∆𝑃3
𝑉3
= −0.1816
∆𝑄3 = 𝑄3
𝑒𝑠𝑝
− 𝑄3
𝑐𝑎𝑙𝑐
= −3 + 2.57 = −0.43 →
∆𝑄3
𝑉3
= −0.491
Luego:
∆𝛿2
∆𝛿3
=
0.0667 0.0333
0.0333 0.0667
0.00089
−0.18155
=
0.00089 𝑟𝑎𝑑
−0.00865 𝑟𝑎𝑑
=
0.05°
−0.5°
∆𝑉3 = 0.05 −0.491 = −0.02457
Por lo tanto:
𝑉1 = 1.05 0°, 𝑉2 = 1.0 2.91° 𝑦 𝑉3 = 0.85 −3.36°

26. Flujo de potencia de segundo grado (método de Iwamoto)
Ejemplo de aplicación
𝑆2 = 𝑉2 𝐼2
∗
, 𝐼2 = 𝑉1 𝑌12 + 𝑉2 𝑌22
𝑆2 = 𝑉2 𝑉1
∗
𝑌12
∗
+ 𝑉2 𝑉2
∗
𝑌22
∗
𝑉1 = 𝑒1 + 𝑗𝑓1 𝑉2 = 𝑒2 + 𝑗𝑓2
𝑆2 = 𝑒2 + 𝑗𝑓2 𝑒1 − 𝑗𝑓1 𝐺12 − 𝑗𝐵12 + 𝑒2 + 𝑗𝑓2 𝑒2 − 𝑗𝑓2 𝐺22 − 𝑗𝐵22
Separando parte real e imaginaria:
𝑃2 = 𝑒1 𝑒2 + 𝑓1 𝑓2 𝐺12 + 𝑒1 𝑓2 − 𝑓1 𝑒2 𝐵12 + 𝑒2 𝑒2 + 𝑓2 𝑓2 𝐺22
𝑄2 = − 𝑒1 𝑒2 + 𝑓1 𝑓2 𝐵12 + 𝑒1 𝑓2 − 𝑓1 𝑒2 𝐺12 − 𝑒2 𝑒2 + 𝑓2 𝑓2 𝐵22
En términos matriciales se puede expresar de la forma:
𝑥𝐴𝑥 𝑡
+ 𝐵𝑥 + 𝐶
Donde 𝑥, es el vector incógnita. Sin embargo, para la aplicación del método no tiene
importancia la representación anteriormente mencionada.

27. 𝑃2 = 𝑃2
(0)
+
𝜕𝑃2
𝜕𝑒2(0)
𝑒2 − 𝑒2
(0)
+
𝜕𝑃2
𝜕𝑓2 (0)
𝑓2 − 𝑓2
(0)
+
1
2
𝜕2
𝑃2
𝜕𝑒2
2
(0)
𝑒2 − 𝑒2
(0) 2
+
1
2
𝜕2
𝑃2
𝜕𝑓2
2
(0)
𝑓2 − 𝑓2
(0) 2
Realizando una aproximación en serie de Taylor de segundo orden en torno a: 𝑒2
(0)
=
1, 𝑓2
(0)
= 0
𝑄2 = 𝑄2
(0)
+
𝜕𝑄2
𝜕𝑒2 (0)
𝑒2 − 𝑒2
(0)
+
𝜕𝑄2
𝜕𝑓2 (0)
𝑓2 − 𝑓2
(0)
+
1
2
𝜕2
𝑄2
𝜕𝑒2
2
(0)
𝑒2 − 𝑒2
(0) 2
+
1
2
𝜕2
𝑄2
𝜕𝑓2
2
(0)
𝑓2 − 𝑓2
(0) 2
Dónde:
𝜕𝑃2
𝜕𝑒2
= 𝑒1 𝐺12 − 𝑓1 𝐵12 + 2𝑒2 𝐺22
𝜕𝑃2
𝜕𝑓2
= 𝑓1 𝐺12 + 𝑒1 𝐵12 + 2𝑓2 𝐺22
𝜕𝑄2
𝜕𝑒2
= −𝑒1 𝐵12 − 𝑓1 𝐺12 − 2𝑒2 𝐵22
𝜕𝑄2
𝜕𝑓2
= 𝑓1 𝐵12 + 𝑒1 𝐺12 − 2𝑓2 𝐵22
𝜕2
𝑃2
𝜕𝑒2
2 = 2𝐺22,
𝜕2
𝑃2
𝜕𝑓2
2 = 2𝐺22,
𝜕2
𝑄2
𝜕𝑒2
2 = −2𝐵22,
𝜕2
𝑄2
𝜕𝑓2
2 = −2𝐵22

28. Reemplazando para 𝑃2:
1
2
𝜕2
𝑃2
𝜕𝑒2
2
(0)
𝑒2 − 𝑒2
(0) 2
=
1
2
2𝐺22 ∆𝑒2
2
= 𝐺22∆𝑒2
2
1
2
𝜕2
𝑃2
𝜕𝑓2
2
(0)
𝑓2 − 𝑓2
(0) 2
=
1
2
2𝐺22 ∆𝑓2
2
= 𝐺22∆𝑓2
2
La suma de ambas expresiones anteriores es denominado residuo de segundo orden para
𝑃2:
𝑆𝑃2 = 𝐺22∆𝑒2
2
+ 𝐺22∆𝑓2
2
= 𝑃2 ∆𝑒, ∆𝑓
Del mismo modo reemplazando para 𝑄2:
1
2
𝜕2
𝑄2
𝜕𝑒2
2
(0)
𝑒2 − 𝑒2
(0) 2
=
1
2
−2𝐵22 ∆𝑒2
2
= −𝐵22∆𝑒2
2
1
2
𝜕2
𝑄2
𝜕𝑓2
2
(0)
𝑓2 − 𝑓2
(0) 2
=
1
2
−2𝐵22 ∆𝑓2
2
= −𝐵22∆𝑓2
2
La suma de ambas expresiones anteriores es denominado residuo de segundo orden para 𝑄2

29. 𝑆𝑄2 = −𝐵22∆𝑒2
2
− 𝐵22∆𝑓2
2
= 𝑄2 ∆𝑒, ∆𝑓
Entonces de las expresiones para 𝑃2y 𝑄2 podemos escribir:
𝑃2 − 𝑃2 0 + 𝑃2 ∆𝑒, ∆𝑓 =
𝜕𝑃2
𝜕𝑒2 0
𝑒2 − 𝑒2
0
+
𝜕𝑃2
𝜕𝑓2 (0)
𝑓2 − 𝑓2
(0)
Ordenando, obtenemos un sistema de ecuaciones lineales:
∆𝑃2
∆𝑄2
=
𝜕𝑃2
𝜕𝑒2 0
𝜕𝑃2
𝜕𝑓2 (0)
𝜕𝑄2
𝜕𝑒2 (0)
𝜕𝑄2
𝜕𝑓2 (0)
∆𝑒2
∆𝑓2
Las ecuaciones recursivas para la solución:
∆𝑃2
(𝑖)
= 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
− 𝑃2 0 − 𝑆𝑃2
𝑖
=
𝜕𝑃2
𝜕𝑒2 0
∆𝑒2
(𝑖+1)
+
𝜕𝑃2
𝜕𝑓2(0)
∆𝑓2
𝑖+1
∆𝑄2
(𝑖)
= 𝑄2
𝑒𝑠𝑝
− 𝑄2 0 − 𝑆𝑄2
𝑖
=
𝜕𝑄2
𝜕𝑒2 0
∆𝑒2
(𝑖+1)
+
𝜕𝑄2
𝜕𝑓2 (0)
∆𝑓2
𝑖+1
Resolución:
∆𝑃2
∆𝑄2
(𝑖)
=
𝐷 𝐹
𝐾 𝐿
∆𝑒2
∆𝑓2
𝑖+1

30. ∆𝑃2
∆𝑄2
(𝑖)
=
𝐷 𝐹
𝐾 𝐿
∆𝑒2
∆𝑓2
𝑖+1
𝐷 =
𝜕𝑃2
𝜕𝑒2 0
= 𝑒1 𝐺12 − 𝑓1 𝐵12 + 2𝑒2 𝐺22 (0) = 0
𝐹 =
𝜕𝑃2
𝜕𝑓2(0)
= 𝑓1 𝐺12 + 𝑒1 𝐵12 + 2𝑓2 𝐺22 (0) = 1
𝐾 =
𝜕𝑄2
𝜕𝑒2 0
= −𝑒1 𝐵12 − 𝑓1 𝐺12 − 2𝑒2 𝐵22 (0) = 1
𝐿 =
𝜕𝑄2
𝜕𝑓2 (0)
= 𝑓1 𝐵12 + 𝑒1 𝐺12 − 2𝑓2 𝐵22 (0) = 0
𝐷 𝐹
𝐾 𝐿
=
0 1
1 0
, 𝑌 𝑏𝑢𝑠 =
−𝑗 𝑗
𝑗 −𝑗
, 𝐵 𝑏𝑢𝑠 =
−1 1
1 −1
𝑒1 = 1, 𝑓1 = 0
𝑃2
𝑒𝑠𝑝
= 𝑃2
𝑔𝑒𝑛
− 𝑃2
𝑑𝑒𝑚
= −0.256 (°/1)
𝑄2
𝑒𝑠𝑝
= 𝑄2
𝑔𝑒𝑛
− 𝑄2
𝑑𝑒𝑚
= 0.0341 (°/1)
Finalmente:
∆𝑒2
∆𝑓2
(𝑖+1)
=
𝐷 𝐹
𝐾 𝐿
−1 ∆𝑃2
∆𝑄2
(𝑖)

31. 1eraiteración: i=0, 𝑒2
(0)
=1, 𝑓2
(0)
= 0
𝑃2
(0)
= 𝑒1 𝑒2 + 𝑓1 𝑓2 𝐺12 + 𝑒1 𝑓2 − 𝑓1 𝑒2 𝐵12 + 𝑒2 𝑒2 + 𝑓2 𝑓2 𝐺22 = 0
𝑄2
(0)
= − 𝑒1 𝑒2 + 𝑓1 𝑓2 𝐵12 + 𝑒1 𝑓2 − 𝑓1 𝑒2 𝐺12 − 𝑒2 𝑒2 + 𝑓2 𝑓2 𝐵22 = 0
∆𝑃2
(0)
= 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
− 𝑃2
0
− 𝑆𝑃2
0
, 𝑐𝑜𝑛 𝑃2
0
= 0, 𝑆𝑃2
0
= 0
∆𝑄2
(0)
= 𝑄2
𝑒𝑠𝑝
− 𝑄2
0
− 𝑆𝑄2
0
, 𝑐𝑜𝑛 𝑄2
0
= 0, 𝑆𝑄2
0
= 0
∆𝑃2
(0)
= −0.256 (°/1)
∆𝑄2
(0)
= 0.0341 (°/1)
∆𝑒2
∆𝑓2
(1)
=
0 1
1 0
−0.256
0.0341
=
0.0341
−0.256
𝑒2
𝑓2
(1)
=
𝑒2
𝑓2
(0)
+
∆𝑒2
∆𝑓2
(1)
=
1.0341
−0.256

32. 2daiteración: i=1,
𝑃2
(1)
= 𝑒1 𝑓2 − 𝑓1 𝑒2 = 𝑒1 𝑓2 = 𝑓2 = −0.256
𝑄2
(1)
= −𝑒2 + 𝑒2
2
+ 𝑓2
2
= −1.0341 + 1.03412
+ 0.2562
= 0.1008
𝑆𝑃2
(1)
= 0, 𝑆𝑄2
(1)
= ∆𝑒2
2
+ ∆𝑓2
2
= 0.03412
+ 0.2562
= 0.0667
∆𝑒2
∆𝑓2
(2)
=
0 1
1 0
∆𝑃2
∆𝑄2
(1)
Donde:
∆𝑃2
(1)
= −0.256 − 0 − 0 = −0.256
∆𝑄2
(1)
= 0.0341 − 0 − 0.0667 = −0.0326
Luego:
∆𝑒2
(2)
= −0.0326, 𝑒2
2
= 𝑒2
0
+ ∆𝑒2
2
= 1 − 0.0326 = 0.9674
∆𝑓2
(2)
= −0.256, 𝑓2
2
= 𝑓2
0
+ ∆𝑓2
2
= −0.256

33. 3raiteración, i=2,
𝑃2
(2)
= 𝑓2 = −0.256
𝑄2
(2)
= −𝑒2 + 𝑒2
2
+ 𝑓2
2
= −0.9674 + 0.96742
+ 0.2562
= 0.034
𝑆𝑃2
(2)
= 0, 𝑆𝑄2
(2)
= ∆𝑒2
2
+ ∆𝑓2
2
= 0.03262
+ 0.2562
= 0.066599
∆𝑃2
(2)
= −0.256 − 0 − 0 = −0.256
∆𝑄2
(2)
= 0.0341 − 0 − 0.066599 = −0.0325
∆𝑒2
∆𝑓2
(3)
=
0 1
1 0
−0.256
−0.0325
(2)
∆𝑒2
(3)
= −0.0325, 𝑒2
3
= 𝑒2
0
+ ∆𝑒2
3
= 1 − 0.0325 = 0.9675
∆𝑓2
(3)
= −0.256, 𝑓2
3
= −0.256
𝑉2 = 𝑒2
2 + 𝑓2
2
= 1.0008
∅ 𝑉2
= −14.82°

34. Pantalla principal

35. 1. Análisis de flujo de carga
2. Análisis de flujo de carga desbalanceado
3. Análisis de corto circuito
4. Análisis de aceleración de motores
5. Análisis de armónicos
6. Análisis de transitorios
7. Coordinación de dispositivos de protección
8. Análisis de flujo de carga óptimo
9. Evaluación de confiabilidad
10. Ubicación óptima de capacitores
11. Análisis de flujo de potencia en DC
12. Análisis de corto circuito en DC
13. Baterías
Barra de herramientas en modo simulación

36. Barra de Herramientas en modo de edición Instrumentos
de medición
Análisis de Corriente Continua (DC)
Análisis de Corriente Alterna (AC)

37. Editor de Proyecto – Casos de estudio

38. Barra de análisis en flujo de Potencia
Vista de alertas
Opciones

39. Reportes

40. Flujo de potencia óptimo

41. 𝑀á𝑥
𝑢
ó
𝑀𝑖𝑛
𝑢
𝑓(𝑥, 𝑢) máximo o mínimo de una función objetivo.
s/a 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝) = 0 Restricciones del flujo de potencia.
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 =
𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
− 𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝
− 𝑄𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
− 𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃, 𝑄
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃𝑉
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 =
∆𝑃𝑘
∆𝑄𝑘
∆𝑃𝑘
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃, 𝑄
𝐵𝑎𝑟𝑟𝑎𝑠 𝑃𝑉
𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
=
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑞 𝑉𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝜃𝑘𝑞 − 𝛿𝑘 + 𝛿𝑞
𝑄𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
= −
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑘 𝑌𝑘𝑞 𝑉𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝜃𝑘𝑞 − 𝛿𝑘 + 𝛿𝑞

42. 𝑃𝑘 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑘 𝑉𝑞 𝐺𝑘𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑘 − 𝛿𝑞 + 𝐵𝑘𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑘 − 𝛿𝑞
𝑄𝑘 =
𝑞=1
𝑛
𝑉𝑘 𝑉𝑞 −𝐵𝑘𝑞 𝑐𝑜𝑠 𝛿𝑘 − 𝛿𝑞 + 𝐺𝑘𝑞 𝑠𝑒𝑛 𝛿𝑘 − 𝛿𝑞
𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
= 𝑃𝑘 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
− 𝑃𝑘 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝
= 𝑄𝑘 𝐺𝑒𝑛𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜
− 𝑄𝑘 𝐶𝑜𝑛𝑠𝑢𝑚𝑖𝑑𝑜
Sean las siguientes variables de estado o desconocidas o variables dependientes:
𝑥 =
𝑉𝑘
𝛿𝑘
𝛿𝑘
𝐸𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃𝑄
𝐸𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃𝑉
𝑦 =
𝑉1
𝛿1
𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝
𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
𝑉𝑘 𝑒𝑠𝑝
𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐸𝑛 𝑢𝑛𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑑𝑒 𝑜𝑠𝑐𝑖𝑙𝑎𝑐𝑖ó𝑛
𝐸𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃𝑄
𝐸𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃𝑄
𝐸𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃𝑉
𝐸𝑛 𝑐𝑎𝑑𝑎 𝑏𝑎𝑟𝑟𝑎 𝑃𝑉
𝑉𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠
𝑦 =
𝑢
𝑝
,
𝑢 : 𝑝𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙 𝑜 𝑎𝑗𝑢𝑠𝑡𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠.
𝑝 : 𝑃𝑎𝑟á𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜𝑠 𝑓𝑖𝑗𝑜𝑠 𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠.

43. Estudiaremos:
min
𝑢
𝑓 𝑥, 𝑢
s/a, 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0
Solución por el método de multiplicador de lagrange:
𝐿 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 𝑓 𝑥, 𝑢 + 𝛾 𝑇
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝
Necesitamos un multiplicador de lagrange por cada ecuación de flujo de potencia
Por tanto la minimización de la función objetivo requiere igualar las siguientes derivadas a cero:
𝐴)
𝜕𝐿
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑔
𝑑𝑥
𝑇
𝛾 = 0
𝜕𝑔
𝜕𝑥
: 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛.
𝐵)
𝜕𝐿
𝜕𝑢
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑔
𝑑𝑢
𝑇
𝛾 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝑢
: 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓 ó 𝛻𝑓, 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶)
𝜕𝐿
𝜕𝛾
= 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0

44. Por tanto la minimización de la función objetivo requiere igualar las siguientes derivadas a cero:
𝐴)
𝜕𝐿
𝜕𝑥
=
𝜕𝑓
𝜕𝑥
+
𝜕𝑔
𝑑𝑥
𝑇
𝛾 = 0
𝜕𝑔
𝜕𝑥
: 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝐽𝑎𝑐𝑜𝑏𝑖𝑎𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑓𝑙𝑢𝑗𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑛𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛.
𝐵)
𝜕𝐿
𝜕𝑢
=
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑔
𝑑𝑢
𝑇
𝛾 = 0
𝜕𝐿
𝜕𝑢
: 𝐷𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎 𝐺𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑑𝑒 𝑓 ó 𝛻𝑓, 𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑔𝑟𝑎𝑑𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒
𝐶)
𝜕𝐿
𝜕𝛾
= 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0
Nótese que:
Si 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 =
𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
− 𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝
− 𝑄𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐 →
𝜕𝑔
𝑑𝑥
= −
𝜕
𝑑𝑥
𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑄𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
Si 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 =
𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
− 𝑃𝑘 𝑒𝑠𝑝
𝑄𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
− 𝑄𝑘 𝑒𝑠𝑝 →
𝜕𝑔
𝑑𝑥
=
𝜕
𝑑𝑥
𝑃𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐
𝑄𝑘 𝑐𝑎𝑙𝑐

45. Proceso iterativo de solución:
(1) Se asume un set de parámetros de control 𝑢
(2) Buscar una solución al flujo de potencia por Newton 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0
(3) Resolver A para 𝛾 , 𝛾 = −
𝜕𝑔
𝜕𝑥
𝑇 −1
𝜕𝑓
𝑑𝑥
(4) Reemplazar 𝛾 , en B y calcular el gradiente de 𝑓, 𝛻𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑔
𝜕𝑢
𝑇
𝛾
El 𝛻𝑓 mide la sensibilidad de la función objetivo con respecto al cambio en 𝑢 sujeto a las
restricciones de igualdad
(5) si 𝛻𝑓 ≈ 0, se ha alcanzado el óptimo de la función objetivo.
(6) si (5) no se cumple se busca un nuevo set de parámetros de control:
𝑢 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜
= 𝑢 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
+ ∆𝑢 , con ∆𝑢 = −𝑐 𝛻𝑓
El Gradiente da la dirección del máximo aumento de la función objetivo en función de los ajustes de
cada variable de 𝑢 , luego como se desea minimizar la función objetivo, hay que moverse en la
dirección negativa del gradiente.
Si C es pequeño, se asegura convergencia, pero con una gran cantidad de ajustes en 𝑢 .
Si C es grande, se producen oscilaciones alrededor del óptimo.
(7) Retornan a (2)

46. Recordar:
Para la solución del flujo de potencia por Newton:
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0
Descomponiendo 𝑔(𝑥, 𝑢, 𝑝) en serie de Taylor alrededor de 𝑥(0)
:
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 𝑔 𝑥(0)
, 𝑢, 𝑝 +
𝜕𝑔
𝜕𝑥 𝑥(0)
∆𝑥 + ⋯ = 0 , ∆𝑥 = 𝑥 − 𝑥(0)
Eliminando todos los términos excepto el constante y lineal:
𝜕𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝
𝑑𝑥 𝑥(0)
∆𝑥 ≈ −𝑔 𝑥(0)
, 𝑢, 𝑝
Luego en el proceso iterativo de cálculo de Newton:
𝜕𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝
𝑑𝑥 𝑥(𝑘)
∆𝑥 = −𝑔 𝑥 𝑘
, 𝑢, 𝑝 , ∆𝑥 = 𝑥 𝑘+1
− 𝑥 𝑘
𝑥 𝑘+1
= 𝑥(𝑘)
+ ∆𝑥

47. Ejemplo Flujo de potencia óptimo para mínimas pérdidas
(sin restricciones de desigualdad)
Asuma V1 y V2 controlables (parámetros de control)
𝑥 =
𝛿2
𝛿3
𝑉3
𝑦 =
𝑉1
𝑉2
𝛿1
𝑃2
𝑒𝑠𝑝
𝑃3
𝑒𝑠𝑝
𝑄3
𝑒𝑠𝑝
𝑢 =
𝑉1
𝑉2
𝑝 =
𝛿1
𝑃2
𝑒𝑠𝑝
𝑃3
𝑒𝑠𝑝
𝑄3
𝑒𝑠𝑝
min
𝑢
𝑃𝑝𝑒𝑟𝑑𝑖𝑑𝑎
s/a: 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0
min
𝑢
𝑃1(𝑉, 𝛿)
s/a : 𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0
(1) asumiendo: 𝑢0
=
1.1
0.9

48. (2) flujo de potencia:
𝑃2 𝑉, 𝛿
= 𝑉2 𝑉1 𝐺21 𝑐𝑜𝑠 𝛿21 + 𝐵21 𝑠𝑒𝑛 𝛿21 + 𝑉2 𝑉2 𝐺22 𝑐𝑜𝑠 𝛿22 + 𝐵22 𝑠𝑒𝑛 𝛿22 + 𝑉2 𝑉3 𝐺23 𝑐𝑜𝑠 𝛿23 + 𝐵23 𝑠𝑒𝑛 𝛿23
𝑃3 𝑉, 𝛿
= 𝑉3 𝑉1 𝐺31 𝑐𝑜𝑠 𝛿31 + 𝐵31 𝑠𝑒𝑛 𝛿31 + 𝑉3 𝑉2 𝐺32 𝑐𝑜𝑠 𝛿32 + 𝐵32 𝑠𝑒𝑛 𝛿32 + 𝑉3 𝑉3 𝐺33 𝑐𝑜𝑠 𝛿33 + 𝐵33 𝑠𝑒𝑛 𝛿33
𝑄3 𝑉, 𝛿
= 𝑉3 𝑉1 𝐺31 𝑠𝑒𝑛 𝛿31 − 𝐵31 𝑐𝑜𝑠 𝛿31 + 𝑉3 𝑉2 𝐺32 𝑠𝑒𝑛 𝛿32 − 𝐵32 𝑐𝑜𝑠 𝛿32 + 𝑉3 𝑉3 𝐺33 𝑠𝑒𝑛 𝛿33 − 𝐵33 𝑐𝑜𝑠 𝛿33
𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝 = 0,
𝑃2 𝑉, 𝛿 − 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
𝑃3 𝑉, 𝛿 − 𝑃3
𝑒𝑠𝑝
𝑄3 𝑉, 𝛿 − 𝑄3
𝑒𝑠𝑝
=
0
0
0
𝜕𝑔
𝜕𝑥
=
𝜕
𝜕𝑥
∆𝑃2 𝑉, 𝛿
∆𝑃3 𝑉, 𝛿
∆𝑄3 𝑉, 𝛿
=
𝜕𝑃2
𝜕𝛿2
𝜕𝑃2
𝜕𝛿3
𝜕𝑃2
𝜕𝑉3
𝜕𝑃3
𝜕𝛿2
𝜕𝑃3
𝜕𝛿3
𝜕𝑃3
𝜕𝑉3
𝜕𝑄3
𝜕𝛿2
𝜕𝑄3
𝜕𝛿3
𝜕𝑄3
𝜕𝑉3
= 𝐽

49. Con: 𝑉1 = 1.1 0 𝑜
, 𝑉2 = 0.9 0 𝑜
, 𝑉3 = 1 0 𝑜
, condiciones iniciales para Newton.
∆𝑥 = −
𝜕𝑔 𝑥, 𝑢, 𝑝
𝜕𝑥 𝑥 𝑘
−1
𝑔 𝑥 𝑘
, 𝑢, 𝑝 𝑘 = 0, 1, …
∆𝑥 = − 𝐽 𝑥 𝑘
−1
𝑔 𝑥 𝑘
, 𝑢, 𝑝 , 𝑥 𝑘+1
= 𝑥 𝑘
+ ∆𝑥
∆𝑥 = − 𝐽 𝑥 𝑘
−1
∆𝑃2 𝑉, 𝛿
∆𝑃3 𝑉, 𝛿
∆𝑄3 𝑉, 𝛿 𝑥 𝑘
, 𝑥 =
𝛿2
𝛿3
𝑉3
Con: 𝑃2
𝑒𝑠𝑝
= 1.7 °/1 , 𝑃3
𝑒𝑠𝑝
= −2 °/1 , 𝑄3
𝑒𝑠𝑝
= −1 °/1
Luego de 6 iteraciones: 𝐽 =
4.69 −4.69 1.7975
−2.53 12 4.5173
4.238 −7.87 11.67
𝑉1 = 1.1 0 𝑜
, 𝑉2 = 0.9 21.31 𝑜
, 𝑉3 = 0.8567 0.8256 𝑜
(3) 𝛾 = −
𝜕𝑔
𝜕𝑥
𝑇 −1
𝜕𝑓
𝜕𝑥
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝑥
=
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝛿2
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝛿3
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝑉3
𝑃1 𝑉, 𝛿
= 𝑉1 𝑉1 𝐺11 𝑐𝑜𝑠 𝛿11 + 𝐵11 𝑠𝑒𝑛 𝛿11 + 𝑉1 𝑉2 𝐺12 𝑐𝑜𝑠 𝛿12 + 𝐵12 𝑠𝑒𝑛 𝛿12
+ 𝑉1 𝑉3 𝐺13 𝑐𝑜𝑠 𝛿13 + 𝐵13 𝑠𝑒𝑛 𝛿13

50. Tomando derivada y reemplazando los valores del flujo de potencia asignados a las variables de control se
obtiene:
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
0
−9.3684
−4.558
Con lo anterior resulta:
𝛾 = − 𝐽 𝑇 −1
𝜕𝑓
𝜕𝑥
=
0.483814
1.01671
0.07154
(4) 𝛻𝑓 =
𝜕𝑓
𝜕𝑢
+
𝜕𝑔
𝜕𝑢
𝑇
𝛾
𝜕𝑓
𝜕𝑢
=
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝑢
=
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝑉1
𝜕𝑃1 𝑉, 𝛿
𝜕𝑉2
=
5.25
0
𝜕𝑔
𝜕𝑢
𝑇
=
𝜕𝑃2
𝜕𝑉1
𝜕𝑃3
𝜕𝑉1
𝜕𝑄3
𝜕𝑉1
𝜕𝑃2
𝜕𝑉2
𝜕𝑃3
𝜕𝑉2
𝜕𝑄3
𝜕𝑉2
=
0 −3.303 −8.6154
5.4889 −4.7091 −2.8134
Luego:
𝛻𝑓 =
1.27546
−2.33345

51. (5) 𝛻𝑓 ≠ 0
(6) 𝑢 𝑛𝑢𝑒𝑣𝑜
= 𝑢 𝑎𝑛𝑡𝑖𝑔𝑢𝑜
+ ∆𝑢, ∆𝑢 = −𝑐𝛻𝑓
𝑢 1
= 𝑢 0
+ −𝑐𝛻𝑓 , 𝑐 = 0.03 (𝑝𝑜𝑟 𝑎ℎ𝑜𝑟𝑎 𝑢𝑛 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑎𝑑𝑒𝑐𝑢𝑎𝑑𝑜)
𝑢 1
=
1.1
0.9
− 0.03
1.27546
−2.33345
=
1.061736
0.9700035
(7) volver a (2) con 𝑢 1
y condiciones iniciales para el flujo de potencia.
¿Qué sucede cuando existen restricciones de desigualdad?
¿Cuál es el valor óptimo para c? ¿Cómo se puede determinar en forma adecuada?