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DESCRIPTIVE
CHAPITRE 1 : LES TABLEAUX
ET REPRÉSENTATIONS
GRAPHIQUES
Faire par : fallatte
abdelhakim
facebook: abdlhakim fallatte
Statistiques descriptives à une variable : représentations

OBJECTIFS DE CE MODULE
 Savoir

décrire et
représenter une série
statistique par un
tableau et un ou
plusieurs graphiques
adaptés.
 On fera des choix des
représentations
différents selon la nature
du caractère.
INTRODUCTION








La représentation tabulaire est préalable à toute
analyse statistique.
Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des
données.
La représentation graphique d’un seul caractère
repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs
ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences).
Le choix d’un type de graphique dépendra de la nature
du caractère étudié.
PLAN DU CHAPITRE 1
Voici les parties que nous allons aborder :

I.
II.

III.

Caractères qualitatifs.
Caractères
quantitatifs discrets.
Caractères
quantitatifs continus.
Ⅰ. Caractères qualitatifs

PLAN DE LA PARTIE
Voici les chapitres que nous allons aborder :

1.
2.
3.

Représentation tabulaire.
Diagramme à bande.
Diagramme circulaire.
Ⅰ. Caractères qualitatifs

1. REPRÉSENTATION
TABULAIRE






Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si
le caractère est ordinal).
La première colonne renseigne les modalités et
les deux suivantes les effectifs et fréquences.
Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une
dernière colonne avec les fréquences cumulées.
Ⅰ. Caractères qualitatifs

1. Représentation tabulaire


Exemple: On a noté la
situation familiale des
150 employés d'une
entreprise.

Noms

Situation de famille

M.Azim

Marié

MFarid

Veuf

Mme Latifi

Mariée

Melle Fatiha

Célibataire

M. Ahmed

Divorcé

M. Salih

Marié

M. Berrada

Divorcé

Mme Réda

Divorcée

Melle Fatiha

Célibataire

M. Halim

Marié

M. Chadi

Veuf

Mme Faouzi

Mariée

...

...
 On

ne s'intéresse pas à la situation personnelle
de M. Azim ou de M. Farid, mais à la
répartition du caractère "situation familiale"
dans la population des 150 employés.
 Pour cela il faut, pour chacune des modalités de
la variable, déterminer l'effectif correspondant,
c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette
modalité : il faut dénombrer le nombre de
célibataires, le nombre de mariés, etc..
Cela peut se résumer par :

Modalités

Effectifs

Marié

80

Célibataire

30

Veuf

20

Divorcé

20
On notera x1, x2, ..., xk les différentes modalités, et
n1, n2, ... , nk les effectifs associés.
Dans le tableau ci-dessus, x1 = "marié",
n1 =
k=
La somme des effectifs vaut :
La variable que nous venons de voir
est…
On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la
forme ci-dessus, par exemple.

Modalité

Effectif

Célibataire

30

Marié

80

Divorcé

20

Veuf

20
Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités
sont toujours présentées dans l'ordre :
x1 < x2 < .... < xk , comme dans l'exemple ci-dessous.
Modalités = tailles

Effectifs = Nombre de personnes de
cette taille

XS

10

S

25

M

40

L

32

XL

23

XXL

20
L'ensemble des couples
{ (xi , ni ), i = 1, ... , k }
est une série statistique (ordonnée), ou
distribution observée de la variable.
La somme de tous les ni est-elle toujours égale à
n, nombre des observations ?
On notera ceci :
effectif total
On appellera fréquence relative la valeur

que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par fi x
100, c'est le pourcentage d'individus pour lesquels la
variable a pris la valeur xi.
COMPLÉTEZ LE TABLEAU :

Modalités xi

Effectif ni

Fréquence relative fi

%

Célibataire

30

0.2

20

Marié

80

Divorcé

20

Veuf

20

Effectif total :

150

A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ?
Et celui de la colonne "pourcentage" ?
Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.
Ⅰ. Caractères qualitatifs

2. DIAGRAMME À BANDES
Aussi appelé représentation par « tuyaux d’orgue ».
 Les modalités sont placées sur un axe horizontal.
 Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un
axe vertical.
 La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à
l’effectif correspondant.
 Permet de comparer d’un « coup d’œil » les
différentes modalités.
CSP
Cadres
Agents de maîtrise
Employés
Ouvriers

ni
10
40
60
90

fi
0,05
0,2
0,3
0,45

90
80
70
60
50
Série1

40
30
20
10
0

cadres

ouvriers employés ouvriers
Ⅰ. Caractères qualitatifs

3. DIAGRAMME CIRCULAIRE


L’aire, et donc l’angle au centre d’un secteur, est
proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de la
modalité considérée (d’où un angle de fi x 360°
pour la modalité i).



Permet de bien visualiser la part relative de
chaque modalité.
Statistiques descriptives à une variable : représentations

Ⅱ. CARACTÈRES
QUANTITATIFS DISCRETS
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets

PLAN DE LA PARTIE
Voici les chapitres que nous allons aborder :

1.
2.
3.

Représentation tabulaire.
Diagramme bâton.
Courbe des fréquences
cumulées.
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets

1. REPRÉSENTATION
TABULAIRE


Tableau à simple entrée, où les données sont
classées par ordre croissant.



La première colonne renseigne les différentes
valeurs du caractère, et les trois suivantes les
effectifs, fréquences et fréquences cumulées.
De même, pour une variable discrète, on notera x1
, x2 , ... , xk les valeurs rangées par ordre
croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs
correspondants.
Noms

Nombre d'enfants

M.Azim

2

MFarid

3

Mme Latifi

0

Melle Fatiha

0

M. Ahmed

1

M. Salih

0

M. Berrada

1

Mme Réda

0

Melle Fatiha

2

M. Halim

4

M. Chadi

1

Mme Faouzi

3

M. Ali

2

Melle Loubna

0

M Fatih

0

M. Said

1

M. Radi

2

Mme Faraj

2


Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus,
construisez le tableau :

Nombre d'enfants xi

Effectifs ni

0

6
Nombre d'enfants xi

Effectif ni

Fréquence relative fi

0

6

0.33

1

4

0.22

2

5

0.28

3

2

0.11

4

1

0.06

Total :

18

1
Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels
téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur
96 jours comparables, le nombre d'appels reçus
entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés
dans ce tableau :
QUELLE EST LA PROPORTION DE
JOURS OÙ LE NOMBRE D'APPELS A
ÉTÉ DE 2 ?

Nombre
d'appels xi

Nombre de
jours ni

Fréquence
relative fi

% fi × 100

0

2

0.0208

2.08

1

14

0.1458

14.58

2

23

0.2396

23.96

3

24

0.2500

25.00

4

18

0.1875

18.75

5

9

0.0938

9.38

6

6

0.0625

6.25

Total :

96

1

100
QUELLE EST LA PROPORTION DE JOURS OÙ LE
NOMBRE D'APPELS A ÉTÉ SUPÉRIEUR OU ÉGALE
À 3?
Nombre
d'appels xi

Nombre de
jours ni

Fréquence
relative fi

% fi × 100

0

2

0.0208

2.08

1

14

0.1458

14.58

2

23

0.2396

23.96

3

24

0.2500

25.00

4

18

0.1875

18.75

5

9

0.0938

9.38

6

6

0.0625

6.25

Total :

96

1

100
COMBIEN Y-A-T-IL EU DE JOURS OÙ LE NOMBRE
D'APPELS A ÉTÉ INFÉRIEUR OU ÉGAL À 2 ?

Nombre
d'appels xi

Nombre de
jours ni

Fréquence
relative fi

% fi × 100

0

2

0.0208

2.08

1

14

0.1458

14.58

2

23

0.2396

23.96

3

24

0.2500

25.00

4

18

0.1875

18.75

5

9

0.0938

9.38

6

6

0.0625

6.25

Total :

96

1

100
Plus généralement, si
{ (xi , ni ), i = 1, ..., K }
est la distribution observée d'une variable discrète, n 1
+ n2 + ... + ni = Ni est le nombre d'individus pour
lesquels la variable a été inférieure ou égale à xi..
On peut calculer Ni de proche en proche :
N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, etc ...
Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.


De même ni + ni+1 + ... + nk = N'i est le nombre
d'individus pour lesquels la variable a été
supérieure ou égale à xi.



Il peut se calculer de proche en proche :
N'k = nk , N'k-1 = nk + nk-1 ,



Les N'i sont les effectifs cumulés décroissants.
On peut définir de même :
Fi = f1 + f2 + ... + fi , fréquences relative
cumulées croissantes obtenues de proche en
proche par Fi+1 = fi+1 + Fi
F'i = fi + fi+1 + ... + fk , fréquences relative
cumulées décroissantes obtenues de proche
en proche par F'i = F'i+1 + fi
F

et F'i peuvent s'exprimer aussi en
pourcentage (en multipliant tout par 100).
i
COMPLÉTEZ LE TABLEAU :
Nombre
d'appels

Fréquence
relative en %

Fréquences relative
cumulées croissantes

0

2.08

2.08

1

14.58

16.66

2

23.96

3

25.00

65.62

4

18.75

84.37

5

9.38

93.75

6

6.25

Fréquences relative cumulées
décroissantes

97.92
83.34
59.38

15.63
6.25
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets

2. DIAGRAMME BÂTON
Diagramme bâton des effectifs


A chaque valeur du caractère portée en abscisse,
on associe un « bâton » vertical dont la hauteur
est proportionnelle à l’effectif.



Cette représentation permet de comparer les
effectifs de chaque valeur du caractère.
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets

3. COURBE DES FRÉQUENCES
CUMULÉES


Représente l’évolution des fréquences cumulées.



Le caractère étant discret, la courbe est en
« escalier ».



En effet, les valeurs étant séparées, entre
chacune d’elle la fréquence cumulée est
inchangée, d’où ces paliers.
Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets

3. COURBE DES FRÉQUENCES
CUMULÉES
Diagramme en Escalier
120

Fréquence relative cumulée

100
80

60
40

20
0
0

1

2

3

4

5

6

7
Statistiques descriptives à une variable : représentations

Ⅲ. CARACTÈRES
QUANTITATIFS CONTINUS
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus

PLAN DE LA PARTIE
Voici les chapitres que nous allons aborder :

1.
2.
3.
4.

Représentation tabulaire.
Histogramme des densités de fréquence.
Polygone de fréquences
Courbe des fréquences cumulées.
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus

1. REPRÉSENTATION
TABULAIRE





Tableau à simple entrée, où les classes de données
sont triées par ordre croissant.
La première colonne renseigne les différentes classes
de valeurs du caractère, et les trois suivantes les
effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées.
Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude,
on rajoute une colonne contenant les densités de
fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son
amplitude.
1. REPRÉSENTATION TABULAIRE


Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre
un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une
variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes.



À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une
fréquence relative, et l’on obtient alors une distribution de
fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées.



Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence
relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées
on doit procéder de la manière suivante :
1.
2.
3.

Déterminer le nombre de classes
Déterminer l’amplitude des classes
Déterminer les différentes classes
1.

REPRÉSENTATION TABULAIRE
EXEMPLE 1
Voyons l'exemple d'une série brute de 60
valeurs du CA mensuelle d’une entreprise
(en 1000dh), et le tableau des effectifs
obtenus.

L'inconvénient est que, comme on aura toujours
un grand nombre de valeurs différentes, on
obtiendra un grand nombre de petits effectifs,
ne résumant finalement pas grande chose !
CA (1000dh)

Effectifs

CA (1000dh)

Effectifs

159

1

169

7

160

0

170

7

161

0

171

9

162

0

172

6

163

2

173

5

164

3

174

2

165

3

175

1

166

0

176

2

167

5

177

1

168

6

Total :

60


Une variable continue ne prend pas des valeurs
isolées, mais des valeurs appartenant à des
intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des
effectifs par valeurs, on définira des effectifs par
intervalles, appelés classes.
 Afin

de simplifier la présentation on peut,
quitte à perdre un peu d'information, regrouper
les effectifs proches, par exemple
175 d’ effectif 1
176 d’ effectif 2
177 d’ effectif 1
peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d’ effectif 4.
On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en
classes contiguës, de la forme :
[ e1 ; e2 [    [ e2 ; e3 [    [ e3 ; e4 [ ....
[ ek ; ek+1 [
et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs associés.
ni est le nombre d'individus appartenant à la classe
[ ei ; ei+1 [.
EXEMPLE 1
Classes de CA ( en 1000dh)

Effectifs

[159 - 165 [

6

[165 - 168 [

8

[168 - 171 [

20

[171 - 174 [

20

[174 - 177 [

5

[177 - 179 [

1
EXEMPLE 1
Classes de CA ( en 1000dh)

Effectifs

moins de 160

1

[160 - 165 [

5

[165 - 170 [

21

[170 - 175 [

29

175 et plus

4


Quel que soit le type de variable on a finalement,
pour toute modalité, valeur xi , ou classe [ ei , ei+1 [,
un effectif ni , tel que



Il est parfois utile, surtout pour faire des
comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner
plutôt avec des fréquences relatifs.
Les définitions d'effectifs et de
fréquences cumulés restent les
mêmes dans le cas d'une variable
continue.
1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
1.

Déterminer le nombre de classes :
1)
2)

(règle de Sturges)

N C = 1 + 3.3Log (n)
NC = n

Nombre d’observations
dans la série statistique
1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
2.

Calculer l’amplitude des classes :
1)

D’une façon plus ou moins arbitraire

2)

En utilisant l’étendue




valeur de la série statistique
E = xmax − xmin = (Plus grande valeur de la série statistique)
– Plus petite

E
AC =
NC
Des classes d’amplitudes
égales
1. REPRÉSENTATION TABULAIRE
3.

Déterminer les différentes classes :

xmin ≤ Classe1 < xmin + Ac

xmin + Ac ≤ Classe2 < xmin + 2 Ac

xmin + (k − 1) Ac ≤ Classek < xmin + kAc
xmin + ( N c − 1) Ac ≤ Classe N c < xmin + N c Ac
EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS
GROUPÉES)

Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière,
exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant :

Variable continue
Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen
d’une rivière.
EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS
GROUPÉES)

(1) Nombre de classes :

N C = 1 + 3.3Log (36) = 6.1358 classes

N C = 36 = 6 classes
(2) L’amplitude des classes :

E = 1.05 − 0.08 = 0.97
0.97
AC =
= 0.1617 ≈ 0.17
6
(3) Détermination des classes :

Débit

D

(en milliers de m 3 )
0.08 ≤ Classe1 < 0.25
0.25 ≤ Classe2 < 0.42
0.42 ≤ Classe3 < 0.59
0.59 ≤ Classe4 < 0.76
0.76 ≤ Classe5 < 0.93
0.93 ≤ Classe6 < 1.10
EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS
GROUPÉES)

Distribution de fréquence, de fréquence relative et de
fréquence relative cumulée :
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus

2. HISTOGRAMME DES DENSITÉS
DE FRÉQUENCE.



Ensemble de rectangles contigus.
Pour chaque classe on trace un rectangle :
de base B proportionnelle à l’amplitude de la classe
 de hauteur h proportionnelle à la densité de
fréquence de la classe




L’aire du rectangle sera alors proportionnelle à la
fréquence de la classe.
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus

2. HISTOGRAMME DES DENSITÉS
DE FRÉQUENCE.
Double interprétation :


On comparera les densités de fréquence des
classes en comparant les hauteurs des rectangles.



On comparera les fréquences des classes en
comparant les aires des rectangles.
Age (ans)

Nombre de
personnes
dans cette
tranche d'âge

20 à 30

100

30 à 40

150

40 à 50

90

50 à 65

20
Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2)

Histogramme de fréquence
25

Fréquence

20

15

10

5

0
0,08 - 0,249

0,25 - 0,419

0,42 - 0,589

0,59 - 0,759

Débit D (en milliers m3/sec)

0,76 - 0,929

0,93 et plus
Histogramme de fréquence relative
groupées (exemple 2)

pour valeurs

Histogramme de fréquence relative
0,7
0,6

Fréquence relative

0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0,08 - 0,249

0,25 - 0,419

0,42 - 0,589

0,59 - 0,759

Débit D (en milliers de m3/sec)

0,76 - 0,929

0,93 et plus
3. Polygone de fréquences pour valeurs
groupées (exemple 2)
Polygone de fréquence
25

Fréquence

20
15
10
5
0
moins de
0,08

0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D (en milliers de m3/sec)
3. Polygone de fréquence relative pour
valeurs groupées
Polygone de fréquence relative
0,7

Fréquence relative

0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
moins de
0,08

0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus
Débit D ( en milliers m3/sec)
Ⅲ. Caractères quantitatifs continus

4. COURBE DES FRÉQUENCES
CUMULÉES


Représente l’évolution des fréquences cumulées.



Le caractère étant continu, la courbe l’est également.



Pour la construire, on joint les points de coordonnées
(bi,Fi) où bi désigne l’extrémité supérieure de la ième
classe.
Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs
groupées

Ogive de fréquence relative cumulée

Fréquence relative cumulée

120,00%
100,00%
80,00%
60,00%
40,00%
20,00%
,00%
moins de
0,08

0,08 0,249

0,25 0,419

0,42 0,589

0,59 0,759

Débit D (en milliers m3/sec)

0,76 0,929

0,93 et
plus
SYNTHÈSE
En plus des tableaux et graphiques, on résume
l'observation d'une variable quantitative par un
petit nombre de paramètres.

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  • 1. DESCRIPTIVE CHAPITRE 1 : LES TABLEAUX ET REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES Faire par : fallatte abdelhakim facebook: abdlhakim fallatte
  • 2. Statistiques descriptives à une variable : représentations OBJECTIFS DE CE MODULE  Savoir décrire et représenter une série statistique par un tableau et un ou plusieurs graphiques adaptés.  On fera des choix des représentations différents selon la nature du caractère.
  • 3. INTRODUCTION     La représentation tabulaire est préalable à toute analyse statistique. Elle fait suite au travail préliminaire de collecte des données. La représentation graphique d’un seul caractère repose sur une règle de proportionnalité des hauteurs ou aires des graphiques aux effectifs (ou fréquences). Le choix d’un type de graphique dépendra de la nature du caractère étudié.
  • 4. PLAN DU CHAPITRE 1 Voici les parties que nous allons aborder : I. II. III. Caractères qualitatifs. Caractères quantitatifs discrets. Caractères quantitatifs continus.
  • 5. Ⅰ. Caractères qualitatifs PLAN DE LA PARTIE Voici les chapitres que nous allons aborder : 1. 2. 3. Représentation tabulaire. Diagramme à bande. Diagramme circulaire.
  • 6. Ⅰ. Caractères qualitatifs 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE    Tableau à simple entrée, sans hiérarchie (sauf si le caractère est ordinal). La première colonne renseigne les modalités et les deux suivantes les effectifs et fréquences. Si le caractère est ordinal, on pourra rajouter une dernière colonne avec les fréquences cumulées.
  • 7. Ⅰ. Caractères qualitatifs 1. Représentation tabulaire  Exemple: On a noté la situation familiale des 150 employés d'une entreprise. Noms Situation de famille M.Azim Marié MFarid Veuf Mme Latifi Mariée Melle Fatiha Célibataire M. Ahmed Divorcé M. Salih Marié M. Berrada Divorcé Mme Réda Divorcée Melle Fatiha Célibataire M. Halim Marié M. Chadi Veuf Mme Faouzi Mariée ... ...
  • 8.  On ne s'intéresse pas à la situation personnelle de M. Azim ou de M. Farid, mais à la répartition du caractère "situation familiale" dans la population des 150 employés.  Pour cela il faut, pour chacune des modalités de la variable, déterminer l'effectif correspondant, c'est-à-dire le nombre de personnes ayant cette modalité : il faut dénombrer le nombre de célibataires, le nombre de mariés, etc..
  • 9. Cela peut se résumer par : Modalités Effectifs Marié 80 Célibataire 30 Veuf 20 Divorcé 20
  • 10. On notera x1, x2, ..., xk les différentes modalités, et n1, n2, ... , nk les effectifs associés. Dans le tableau ci-dessus, x1 = "marié", n1 = k= La somme des effectifs vaut : La variable que nous venons de voir est…
  • 11. On aurait pu tout aussi bien présenter les résultats sous la forme ci-dessus, par exemple. Modalité Effectif Célibataire 30 Marié 80 Divorcé 20 Veuf 20
  • 12. Par contre, s'il s'agit d'une variable ordinale, les modalités sont toujours présentées dans l'ordre : x1 < x2 < .... < xk , comme dans l'exemple ci-dessous. Modalités = tailles Effectifs = Nombre de personnes de cette taille XS 10 S 25 M 40 L 32 XL 23 XXL 20
  • 13. L'ensemble des couples { (xi , ni ), i = 1, ... , k } est une série statistique (ordonnée), ou distribution observée de la variable. La somme de tous les ni est-elle toujours égale à n, nombre des observations ? On notera ceci : effectif total
  • 14. On appellera fréquence relative la valeur que l'on peut aussi exprimer en pourcentage par fi x 100, c'est le pourcentage d'individus pour lesquels la variable a pris la valeur xi.
  • 15. COMPLÉTEZ LE TABLEAU : Modalités xi Effectif ni Fréquence relative fi % Célibataire 30 0.2 20 Marié 80 Divorcé 20 Veuf 20 Effectif total : 150 A quoi est égal ici le total de la colonne fréquence ? Et celui de la colonne "pourcentage" ? Il y a, parmi les 150 employés, …….% qui sont mariés.
  • 16. Ⅰ. Caractères qualitatifs 2. DIAGRAMME À BANDES Aussi appelé représentation par « tuyaux d’orgue ».  Les modalités sont placées sur un axe horizontal.  Les effectifs (ou fréquences) sont placés sur un axe vertical.  La hauteur de chaque tuyau est proportionnelle à l’effectif correspondant.  Permet de comparer d’un « coup d’œil » les différentes modalités.
  • 18. Ⅰ. Caractères qualitatifs 3. DIAGRAMME CIRCULAIRE  L’aire, et donc l’angle au centre d’un secteur, est proportionnelle à la fréquence (ou l’effectif) de la modalité considérée (d’où un angle de fi x 360° pour la modalité i).  Permet de bien visualiser la part relative de chaque modalité.
  • 19.
  • 20. Statistiques descriptives à une variable : représentations Ⅱ. CARACTÈRES QUANTITATIFS DISCRETS
  • 21. Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets PLAN DE LA PARTIE Voici les chapitres que nous allons aborder : 1. 2. 3. Représentation tabulaire. Diagramme bâton. Courbe des fréquences cumulées.
  • 22. Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE  Tableau à simple entrée, où les données sont classées par ordre croissant.  La première colonne renseigne les différentes valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences et fréquences cumulées.
  • 23. De même, pour une variable discrète, on notera x1 , x2 , ... , xk les valeurs rangées par ordre croissant, et n1 , n2 , ... , nk les effectifs correspondants.
  • 24. Noms Nombre d'enfants M.Azim 2 MFarid 3 Mme Latifi 0 Melle Fatiha 0 M. Ahmed 1 M. Salih 0 M. Berrada 1 Mme Réda 0 Melle Fatiha 2 M. Halim 4 M. Chadi 1 Mme Faouzi 3 M. Ali 2 Melle Loubna 0 M Fatih 0 M. Said 1 M. Radi 2 Mme Faraj 2
  • 25.  Ainsi, à partir de la série brute ci-dessus, construisez le tableau : Nombre d'enfants xi Effectifs ni 0 6
  • 26. Nombre d'enfants xi Effectif ni Fréquence relative fi 0 6 0.33 1 4 0.22 2 5 0.28 3 2 0.11 4 1 0.06 Total : 18 1
  • 27. Voyons un autre exemple : Pour étudier les appels téléphoniques arrivant à un central, on a noté, sur 96 jours comparables, le nombre d'appels reçus entre 9 h et 9 h 10. Les résultats sont consignés dans ce tableau :
  • 28. QUELLE EST LA PROPORTION DE JOURS OÙ LE NOMBRE D'APPELS A ÉTÉ DE 2 ? Nombre d'appels xi Nombre de jours ni Fréquence relative fi % fi × 100 0 2 0.0208 2.08 1 14 0.1458 14.58 2 23 0.2396 23.96 3 24 0.2500 25.00 4 18 0.1875 18.75 5 9 0.0938 9.38 6 6 0.0625 6.25 Total : 96 1 100
  • 29. QUELLE EST LA PROPORTION DE JOURS OÙ LE NOMBRE D'APPELS A ÉTÉ SUPÉRIEUR OU ÉGALE À 3? Nombre d'appels xi Nombre de jours ni Fréquence relative fi % fi × 100 0 2 0.0208 2.08 1 14 0.1458 14.58 2 23 0.2396 23.96 3 24 0.2500 25.00 4 18 0.1875 18.75 5 9 0.0938 9.38 6 6 0.0625 6.25 Total : 96 1 100
  • 30. COMBIEN Y-A-T-IL EU DE JOURS OÙ LE NOMBRE D'APPELS A ÉTÉ INFÉRIEUR OU ÉGAL À 2 ? Nombre d'appels xi Nombre de jours ni Fréquence relative fi % fi × 100 0 2 0.0208 2.08 1 14 0.1458 14.58 2 23 0.2396 23.96 3 24 0.2500 25.00 4 18 0.1875 18.75 5 9 0.0938 9.38 6 6 0.0625 6.25 Total : 96 1 100
  • 31. Plus généralement, si { (xi , ni ), i = 1, ..., K } est la distribution observée d'une variable discrète, n 1 + n2 + ... + ni = Ni est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été inférieure ou égale à xi.. On peut calculer Ni de proche en proche : N1 = n1, N2 = N1 + n2, N3 = N2 + n3, etc ... Les Ni sont les effectifs cumulés croissants.
  • 32.  De même ni + ni+1 + ... + nk = N'i est le nombre d'individus pour lesquels la variable a été supérieure ou égale à xi.  Il peut se calculer de proche en proche : N'k = nk , N'k-1 = nk + nk-1 ,  Les N'i sont les effectifs cumulés décroissants.
  • 33. On peut définir de même : Fi = f1 + f2 + ... + fi , fréquences relative cumulées croissantes obtenues de proche en proche par Fi+1 = fi+1 + Fi F'i = fi + fi+1 + ... + fk , fréquences relative cumulées décroissantes obtenues de proche en proche par F'i = F'i+1 + fi F et F'i peuvent s'exprimer aussi en pourcentage (en multipliant tout par 100). i
  • 34. COMPLÉTEZ LE TABLEAU : Nombre d'appels Fréquence relative en % Fréquences relative cumulées croissantes 0 2.08 2.08 1 14.58 16.66 2 23.96 3 25.00 65.62 4 18.75 84.37 5 9.38 93.75 6 6.25 Fréquences relative cumulées décroissantes 97.92 83.34 59.38 15.63 6.25
  • 35. Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 2. DIAGRAMME BÂTON Diagramme bâton des effectifs  A chaque valeur du caractère portée en abscisse, on associe un « bâton » vertical dont la hauteur est proportionnelle à l’effectif.  Cette représentation permet de comparer les effectifs de chaque valeur du caractère.
  • 36.
  • 37. Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 3. COURBE DES FRÉQUENCES CUMULÉES  Représente l’évolution des fréquences cumulées.  Le caractère étant discret, la courbe est en « escalier ».  En effet, les valeurs étant séparées, entre chacune d’elle la fréquence cumulée est inchangée, d’où ces paliers.
  • 38. Ⅱ. Caractères quantitatifs discrets 3. COURBE DES FRÉQUENCES CUMULÉES Diagramme en Escalier 120 Fréquence relative cumulée 100 80 60 40 20 0 0 1 2 3 4 5 6 7
  • 39. Statistiques descriptives à une variable : représentations Ⅲ. CARACTÈRES QUANTITATIFS CONTINUS
  • 40. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus PLAN DE LA PARTIE Voici les chapitres que nous allons aborder : 1. 2. 3. 4. Représentation tabulaire. Histogramme des densités de fréquence. Polygone de fréquences Courbe des fréquences cumulées.
  • 41. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE    Tableau à simple entrée, où les classes de données sont triées par ordre croissant. La première colonne renseigne les différentes classes de valeurs du caractère, et les trois suivantes les effectifs, fréquences relatifs et fréquences cumulées. Si les classes ne sont pas toutes de même amplitude, on rajoute une colonne contenant les densités de fréquence, i.e. la fréquence de la classe divisée par son amplitude.
  • 42. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE  Lorsque la variable est continue, ou que la variable peut prendre un grand nombre de valeurs différentes, même si celle-ci est une variable discrète, il convient de regrouper ces valeurs en classes.  À chaque classe on fait correspondre une fréquence ou une fréquence relative, et l’on obtient alors une distribution de fréquence ou de fréquence relative pour valeurs groupées.  Pour construire une distribution de fréquence, de fréquence relative ou de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées on doit procéder de la manière suivante : 1. 2. 3. Déterminer le nombre de classes Déterminer l’amplitude des classes Déterminer les différentes classes
  • 43. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE EXEMPLE 1 Voyons l'exemple d'une série brute de 60 valeurs du CA mensuelle d’une entreprise (en 1000dh), et le tableau des effectifs obtenus. L'inconvénient est que, comme on aura toujours un grand nombre de valeurs différentes, on obtiendra un grand nombre de petits effectifs, ne résumant finalement pas grande chose !
  • 44.
  • 46.  Une variable continue ne prend pas des valeurs isolées, mais des valeurs appartenant à des intervalles. C'est pourquoi, au lieu de définir des effectifs par valeurs, on définira des effectifs par intervalles, appelés classes.
  • 47.  Afin de simplifier la présentation on peut, quitte à perdre un peu d'information, regrouper les effectifs proches, par exemple 175 d’ effectif 1 176 d’ effectif 2 177 d’ effectif 1 peut être remplacé par [ 175 ; 178 [ d’ effectif 4.
  • 48. On découpera ainsi l'intervalle des valeurs en classes contiguës, de la forme : [ e1 ; e2 [    [ e2 ; e3 [    [ e3 ; e4 [ .... [ ek ; ek+1 [ et on notera n1, n2, ... , nk les effectifs associés. ni est le nombre d'individus appartenant à la classe [ ei ; ei+1 [.
  • 49. EXEMPLE 1 Classes de CA ( en 1000dh) Effectifs [159 - 165 [ 6 [165 - 168 [ 8 [168 - 171 [ 20 [171 - 174 [ 20 [174 - 177 [ 5 [177 - 179 [ 1
  • 50. EXEMPLE 1 Classes de CA ( en 1000dh) Effectifs moins de 160 1 [160 - 165 [ 5 [165 - 170 [ 21 [170 - 175 [ 29 175 et plus 4
  • 51.  Quel que soit le type de variable on a finalement, pour toute modalité, valeur xi , ou classe [ ei , ei+1 [, un effectif ni , tel que  Il est parfois utile, surtout pour faire des comparaisons entre plusieurs séries, de raisonner plutôt avec des fréquences relatifs.
  • 52. Les définitions d'effectifs et de fréquences cumulés restent les mêmes dans le cas d'une variable continue.
  • 53. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE 1. Déterminer le nombre de classes : 1) 2) (règle de Sturges) N C = 1 + 3.3Log (n) NC = n Nombre d’observations dans la série statistique
  • 54. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE 2. Calculer l’amplitude des classes : 1) D’une façon plus ou moins arbitraire 2) En utilisant l’étendue   valeur de la série statistique E = xmax − xmin = (Plus grande valeur de la série statistique) – Plus petite E AC = NC Des classes d’amplitudes égales
  • 55. 1. REPRÉSENTATION TABULAIRE 3. Déterminer les différentes classes : xmin ≤ Classe1 < xmin + Ac xmin + Ac ≤ Classe2 < xmin + 2 Ac xmin + (k − 1) Ac ≤ Classek < xmin + kAc xmin + ( N c − 1) Ac ≤ Classe N c < xmin + N c Ac
  • 56. EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS GROUPÉES) Pour les trois dernières années, le débit mensuel moyen d'une rivière, exprimé en milliers de mètres cubes par seconde, a été le suivant : Variable continue Posons X = la variable statistique représentant le débit mensuel moyen d’une rivière.
  • 57. EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS GROUPÉES) (1) Nombre de classes : N C = 1 + 3.3Log (36) = 6.1358 classes N C = 36 = 6 classes (2) L’amplitude des classes : E = 1.05 − 0.08 = 0.97 0.97 AC = = 0.1617 ≈ 0.17 6 (3) Détermination des classes : Débit D (en milliers de m 3 ) 0.08 ≤ Classe1 < 0.25 0.25 ≤ Classe2 < 0.42 0.42 ≤ Classe3 < 0.59 0.59 ≤ Classe4 < 0.76 0.76 ≤ Classe5 < 0.93 0.93 ≤ Classe6 < 1.10
  • 58. EXEMPLE 2 : LE TABLEAU STATISTIQUE (VALEURS GROUPÉES) Distribution de fréquence, de fréquence relative et de fréquence relative cumulée :
  • 59. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 2. HISTOGRAMME DES DENSITÉS DE FRÉQUENCE.   Ensemble de rectangles contigus. Pour chaque classe on trace un rectangle : de base B proportionnelle à l’amplitude de la classe  de hauteur h proportionnelle à la densité de fréquence de la classe   L’aire du rectangle sera alors proportionnelle à la fréquence de la classe.
  • 60. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 2. HISTOGRAMME DES DENSITÉS DE FRÉQUENCE. Double interprétation :  On comparera les densités de fréquence des classes en comparant les hauteurs des rectangles.  On comparera les fréquences des classes en comparant les aires des rectangles.
  • 61. Age (ans) Nombre de personnes dans cette tranche d'âge 20 à 30 100 30 à 40 150 40 à 50 90 50 à 65 20
  • 62. Histogramme de fréquence pour valeurs groupées (exemple 2) Histogramme de fréquence 25 Fréquence 20 15 10 5 0 0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 Débit D (en milliers m3/sec) 0,76 - 0,929 0,93 et plus
  • 63. Histogramme de fréquence relative groupées (exemple 2) pour valeurs Histogramme de fréquence relative 0,7 0,6 Fréquence relative 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 Débit D (en milliers de m3/sec) 0,76 - 0,929 0,93 et plus
  • 64. 3. Polygone de fréquences pour valeurs groupées (exemple 2) Polygone de fréquence 25 Fréquence 20 15 10 5 0 moins de 0,08 0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus Débit D (en milliers de m3/sec)
  • 65. 3. Polygone de fréquence relative pour valeurs groupées Polygone de fréquence relative 0,7 Fréquence relative 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0 moins de 0,08 0,08 - 0,249 0,25 - 0,419 0,42 - 0,589 0,59 - 0,759 0,76 - 0,929 0,93 et plus Débit D ( en milliers m3/sec)
  • 66. Ⅲ. Caractères quantitatifs continus 4. COURBE DES FRÉQUENCES CUMULÉES  Représente l’évolution des fréquences cumulées.  Le caractère étant continu, la courbe l’est également.  Pour la construire, on joint les points de coordonnées (bi,Fi) où bi désigne l’extrémité supérieure de la ième classe.
  • 67. Ogive de fréquence relative cumulée pour valeurs groupées Ogive de fréquence relative cumulée Fréquence relative cumulée 120,00% 100,00% 80,00% 60,00% 40,00% 20,00% ,00% moins de 0,08 0,08 0,249 0,25 0,419 0,42 0,589 0,59 0,759 Débit D (en milliers m3/sec) 0,76 0,929 0,93 et plus
  • 68. SYNTHÈSE En plus des tableaux et graphiques, on résume l'observation d'une variable quantitative par un petit nombre de paramètres.

Notes de l'éditeur

  1. Les graphiques de ce module ont été effectués avec Excel. Et ça n’a pas toujours été très facile… L’étudiant est invité à consulter la page http://www.astro.ulg.ac.be/cours/magain/stat/stat25.html où il verra les « pièges » des graphiques statistiques.
  2. Le diagramme à bandes fait partie de la famille des diagrammes différentiels, c’est-à-dire qu’il met en évidence les différences d’effectifs entre les modalités.
  3. Si l’on veut comparer plusieurs diagrammes circulaires entre eux, les rayons de chaque diagramme doivent être proportionnels à la racine carrée de l’effectif total de la série qu’ils représentent. Ainsi l’aire de chacun des disques sera proportionnelle à l’effectif total de la série considérée. C’est le cas d’études sur plusieurs années par exemple.
  4. C’est un diagramme différentiel.
  5. On dit qu’un tel graphique est de type intégral ou cumulatif.
  6. Ce type de graphique n’est pas standard pour Excel…
  7. Comparer des densités de fréquence est plus « juste » que de comparer des fréquences dans le cas de classes d’amplitude différentes. En effet si une classe a une très forte amplitude, on peut s’attendre à ce qu’elle ait également une forte fréquence.
  8. C’est un graphique de type différentiel.
  9. On émet implicitement l’hypothèse que la répartition des valeurs dans chaque classe est uniforme.