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Université A. Belkaid – Tlemcen
Faculté de Technologie Niveau : MASTER
Département de Génie Civil
TD N°01 : Théorie des contraintes
Exercice 1
Exprimer les équations d’équilibre d’un parallélépipède
infiniment petit découpé dans un corps de masse
volumique ρ sur lequel agit :
1/ La force de la pesenteur (poids propre). Prendre un
référentiel (x,y,z) dont l’axe Z est perpendiculaire à la
surface de la terre.
2/ La force d’attraction due à une masse M siuée en un
point de coordonnées (x1, y1, z1). (Voit Figure). On
rappèlle que l’intensité de la force d’attraction (Loi de NEWTON) entre deux masses « M » et « m »
distantes de « r » est donnée par : 𝐅𝐅 = 𝐊𝐊
𝐌𝐌𝐌𝐌
𝐫𝐫𝟐𝟐 avec K= 6,67 x 10 -11
m3
/kg.s2
.
Retrouver le résultat de la question 1, sachant que la masse « M » et le rayon « r » de la terre sont :
M=5,98 x 1024
kg et r= 6,3783 x 106
m
Exercice 2
Soit une poutre console de longueur « L »
et de section transversale (2a x 2a). Sa
face de droite est chargée par un
cisaillement uniforme « K », alors que sa
face supérieure est soumise à une charge
décroissant linéairement de « q0 » à 0
entre z=0 et z=L. Le chargement est
constant selon x. Les autres faces ne sont
pas chargées. Enfin, il faut noter que K et
q0 sont des forces par unité de surface.
Ecrire les conditions aux limites en contraintes pour ce problème.
Exercice 3
L’état de contraintes en un point quelconque M(x,y,z) est donné par la distribution suivante :
𝜎𝜎𝑥𝑥 =
𝑥𝑥2
2
; 𝜎𝜎𝑦𝑦 =
𝑦𝑦2
2
; 𝜎𝜎𝑍𝑍 =
𝑧𝑧2
2
𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 −
𝑦𝑦2
2
; 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 ; 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0
1/ Déterminer les composantes des forces volumiques pour que les équations d’équilibre soient satisfaites ;
2/ Déterminer les contraintes et directions principales au point P(1,1,1) ;
3/ Déterminer les contraintes de cisaillement maximum au point P ;
4/Déterminer les composantes du vecteur normal 𝑛𝑛
�⃗(𝑙𝑙, 𝑚𝑚, 𝑛𝑛) pour lequel on a : 𝜎𝜎𝑛𝑛 =
1
2
𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜏𝜏 =
√2
4
.
1/2
TD N°01 : Théorie des contraintes
Exercice 4
La matrice associée au tenseur des contraintes en un point M est :
[𝜎𝜎] = �
−120 0 0
0 80 30
0 30 40
�
𝑁𝑁
𝑚𝑚𝑚𝑚2
1/ Calculer les contraintes principales et leurs directions en M;
2/ Calculer les composantes du vecteur contraintes (σn , τ) dans la direction de la première
bissectrice du plan (x,y).
Exercice 5
1/ Déterminer la relation qui existe entre les contraintes principales pour un plan ayant un vecteur
normal 𝑛𝑛
�⃗ �
√2
2
,
√2
2
, 0�est tel que : 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 𝜎𝜎1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜏𝜏 =
(𝜎𝜎2−𝜎𝜎3)
2
2/ Quel est l’état de contraintes représenté par la relation trouvée ?
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  • 1. Université A. Belkaid – Tlemcen Faculté de Technologie Niveau : MASTER Département de Génie Civil TD N°01 : Théorie des contraintes Exercice 1 Exprimer les équations d’équilibre d’un parallélépipède infiniment petit découpé dans un corps de masse volumique ρ sur lequel agit : 1/ La force de la pesenteur (poids propre). Prendre un référentiel (x,y,z) dont l’axe Z est perpendiculaire à la surface de la terre. 2/ La force d’attraction due à une masse M siuée en un point de coordonnées (x1, y1, z1). (Voit Figure). On rappèlle que l’intensité de la force d’attraction (Loi de NEWTON) entre deux masses « M » et « m » distantes de « r » est donnée par : 𝐅𝐅 = 𝐊𝐊 𝐌𝐌𝐌𝐌 𝐫𝐫𝟐𝟐 avec K= 6,67 x 10 -11 m3 /kg.s2 . Retrouver le résultat de la question 1, sachant que la masse « M » et le rayon « r » de la terre sont : M=5,98 x 1024 kg et r= 6,3783 x 106 m Exercice 2 Soit une poutre console de longueur « L » et de section transversale (2a x 2a). Sa face de droite est chargée par un cisaillement uniforme « K », alors que sa face supérieure est soumise à une charge décroissant linéairement de « q0 » à 0 entre z=0 et z=L. Le chargement est constant selon x. Les autres faces ne sont pas chargées. Enfin, il faut noter que K et q0 sont des forces par unité de surface. Ecrire les conditions aux limites en contraintes pour ce problème. Exercice 3 L’état de contraintes en un point quelconque M(x,y,z) est donné par la distribution suivante : 𝜎𝜎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 2 ; 𝜎𝜎𝑦𝑦 = 𝑦𝑦2 2 ; 𝜎𝜎𝑍𝑍 = 𝑧𝑧2 2 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦2 2 ; 𝜏𝜏𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 ; 𝜏𝜏𝑦𝑦𝑦𝑦 = 0 1/ Déterminer les composantes des forces volumiques pour que les équations d’équilibre soient satisfaites ; 2/ Déterminer les contraintes et directions principales au point P(1,1,1) ; 3/ Déterminer les contraintes de cisaillement maximum au point P ; 4/Déterminer les composantes du vecteur normal 𝑛𝑛 �⃗(𝑙𝑙, 𝑚𝑚, 𝑛𝑛) pour lequel on a : 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 1 2 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜏𝜏 = √2 4 . 1/2
  • 2. TD N°01 : Théorie des contraintes Exercice 4 La matrice associée au tenseur des contraintes en un point M est : [𝜎𝜎] = � −120 0 0 0 80 30 0 30 40 � 𝑁𝑁 𝑚𝑚𝑚𝑚2 1/ Calculer les contraintes principales et leurs directions en M; 2/ Calculer les composantes du vecteur contraintes (σn , τ) dans la direction de la première bissectrice du plan (x,y). Exercice 5 1/ Déterminer la relation qui existe entre les contraintes principales pour un plan ayant un vecteur normal 𝑛𝑛 �⃗ � √2 2 , √2 2 , 0�est tel que : 𝜎𝜎𝑛𝑛 = 𝜎𝜎1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝜏𝜏 = (𝜎𝜎2−𝜎𝜎3) 2 2/ Quel est l’état de contraintes représenté par la relation trouvée ? 2/2