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UNIVERSITE DE MONASTIR
ECOLE NATIONALE D'INGENIEURS DE MONASTIR
Résistance des Matériaux
Examens Corrigés
Tronc Commun - 1ère année (jusqu’à 2012/2013)
1ère année Génie Mécanique (à partir de 2014/2015)
A. DOGUI
Octobre 2018
www.4geniecivil.com
www.bit.ly/3zNafjI
 2006/2007
DS
Examen principal
Examen de rattrapage
 2007/2008
DS
Examen de rattrapage
 2008/2009
DS
Examen principal
 2009/2010
DS
Examen principal
Examen de rattrapage
 2010/2011
DS
Examen principal
Examen de rattrapage
 2011/2012
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 2012/2013
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Examen de rattrapage
 2014/2015
Examen principal
 2015/2016
Examen principal
2016/2017
Examen principal

2017/2018
Examen principal

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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2006/2007
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
5 mars 2007
Durée : 1h Aucun document autorisé
On considère une couronne cylindrique de révolution de rayon intérieur rint, de rayon
extérieur rext et d’épaisseur e.
Cette couronne est soumise sur sa surface cylindrique intérieure à une pression pint et sur sa
surface cylindrique extérieure à une pression pext. Les forces de volume sont négligées.
On cherche à déterminer les champs de déplacement u
r
et de contrainte σ dans cette
couronne.
Dans tout le problème on travaillera en coordonnées cylindriques et on cherchera une solution
en déformation plane.
Compte tenu de la symétrie cylindrique du problème, on cherche une solution en déplacement
sous la forme suivante :
u
r
= u(r) r
e
r
.
1. Expliquer clairement les étapes de résolution de ce problème. Préciser en particulier toutes
les conditions que doivent satisfaire les champs de déplacement u
r
et de contrainte σ.
2. Quelles sont les composantes non nulles, en coordonnées cylindriques, de σ ?
3. Ecrire, en fonction de ces composantes, les conditions aux limites sur les surfaces r=rint et
r=rext.
4. On trouve une solution sous la forme u(r) = a r +
r
b
, a et b étant des constantes. Expliquer
clairement comment peut-on déterminer les valeurs de ces constantes ?
5. On trouve la solution en contrainte suivante :
σrr =
2
2
int
2
2
2
2
2
2
2
int
int
)
(
)
(
)
(
r
r
r
r
r
r
p
r
r
r
p
ext
i
ext
ext
ext
−
−
+
−
− σθθ =
2
2
int
2
2
2
2
2
2
2
int
int
)
(
)
(
)
(
r
r
r
r
r
r
p
r
r
r
p
ext
i
ext
ext
ext
−
+
−
+
Déterminer σzz.
6. Quelle est la densité surfacique de force extérieure appliquée sur les surfaces planes de la
couronne (z=0 et z=e).
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2006/2007
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé - Corrigé
5 mars 2007
1. Expliquer clairement les étapes de résolution de ce problème. Préciser en particulier toutes les conditions
que doivent satisfaire les champs de déplacement u

et de contrainte .
 doit vérifier les équations d’équilibre et les conditions aux limites statiques
et u

doivent être liés par la loi Hooke.
Résolution :
- Equations de Navier  équation différentielle du second ordre en u par rapport à r.
Ou, calcul de  puis  par loi de Hooke, puis équations d’équilibre  eq. diff.
- Résolution de l’equ. Diff.  solution générale dépendante de 2 constantes
- CL sur les contraintes  détermination des constantes.
2. Quelles sont les composantes non nulles, en coordonnées cylindriques, de  ? : rr, , zz.
3. Ecrire, en fonction de ces composantes, les conditions aux limites sur les surfaces r=rint et r=rext.
rr(r=rint) = -pint rr(r=rext) = -pext
4. On trouve une solution sous la forme u(r) = a r +
r
b
, a et b étant des constantes. Expliquer clairement
comment peut-on déterminer les valeurs de ces constantes ?
On calcule  puis  et on écrit les CL (question 3).
5. On trouve la solution en contrainte suivante :
rr =
2
2
int
2
2
2
2
2
2
2
int
int
)
(
)
(
)
(
r
r
r
r
r
r
p
r
r
r
p
ext
i
ext
ext
ext




  =
2
2
int
2
2
2
2
2
2
2
int
int
)
(
)
(
)
(
r
r
r
r
r
r
p
r
r
r
p
ext
i
ext
ext
ext




Déterminer zz.
Déformation plane donc zz =  (rr + ) = 2 2
int
2
2
2
int
int
r
r
r
p
r
p
ext
ext
ext


6. Quelle est la densité surfacique de force extérieure appliquée sur les surfaces planes de la couronne (z=0
et z=e).
z=0, z
e
n



 d


= -. z
e

= -zz z
e

z=e, z
e
n


 d


= . z
e

= zz z
e

6 pts
3 pts
3 pts
2 pts
3 pts
3 pts
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2006/2007
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1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal
mai 2007
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1 : flexion 3 points
On considère une poutre droite de longueur l, sur deux appuis à
ces extrémités, soumise à son milieu à une force concentrée F
(voir figure ci-contre). La section droite de la poutre est
rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Le matériau
constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de module
d’Young E et de limite d’élasticité en traction σe.
1. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes correspondants.
2. Déterminer l’énergie de déformation de la poutre en fonction de F, l, b, h et le module
d’Young E (on néglige les effets de l’effort tranchant).
3. On désigne par la flèche f le déplacement vertical (en valeur absolue) du point C, point
d’application de F. Déterminer cette flèche en fonction de F, l, b, h et le module d’Young
E et en déduite la rigidité en flexion k=F/f.
4. Déterminer la valeur maximale de la force F que peut supporter cette poutre avant
plastification.
Exercice 2 : Compression d’un barreau
On étudie l’écrasement d’un barreau cylindrique de rayon a et de
hauteur h entre deux blocs rigides. Le bloc inférieur est fixe et
indéformable. Le bloc supérieur est aussi indéformable et soumis à un
déplacement vertical U donné (selon l’axe z), voir figure ci-contre.
On désigne par P la force verticale nécessaire à l’écrasement du
barreau et par k la rigidité de ce dernier : k =P/U.
Le barreau cylindrique est complètement adhérent aux deux blocs rigides. Il est constitué d’un
matériau élastique linéaire isotrope obéissant à la loi de Hooke. L’objectif de cet exercice est
de déterminer la rigidité k de ce barreau.
1. Déterminer, pour les champs de contrainte et de déplacement solution, le travail des
efforts extérieurs dans le déplacement donné Tu
d
et le travail des efforts donnés dans le
champ de déplacement solution Tf
d
. En déduire que l’énergie potentielle, l’énergie
complémentaire et l’énergie de déformation des champs solutions sont :
K=H=W=½ PU
2. On considère le champ de déplacement suivant : z
e
h
z
U
u
r
r
−
=
~
. Vérifier que ce champ est
cinématiquement admissible et montrer qu’il ne peut pas être solution de ce problème
élastique. Préciser qu’elles sont les conditions qui ne peuvent pas être vérifiées par ce
choix.
A
F
C B
l/2 l/2
b
h
h U
r
z
a
www.4geniecivil.com
3. Déterminer l’énergie potentielle du champ cinématiquement admissible défini en 2 et en
déduire une borne supérieure (ksup) de k.
4. On considère un champ de contrainte homogène unidirectionnel et tel que seule la
composante zz
σ
)
=σ
)
est non nulle. Vérifier que ce champ est statiquement admissible et
montrer qu’il ne peut pas être solution de ce problème élastique. Préciser qu’elles sont les
conditions qui ne peuvent pas être vérifiées par ce choix.
5. Déterminer l’énergie complémentaire du champ de contrainte statiquement admissible
défini en 4. Déterminer la force P
)
en fonction deσ
)
.
6. Déterminer la valeur optimale de P
)
maximisant l’énergie complémentaire et en déduire
une borne inférieur (kinf) de k.
7. Déterminer le rapport ksup/ kinf. Quelle est sa valeur pour ν = 0.3 ?
Formulaire
• Loi de Hooke : σ =
ν
+
1
E
[ ε +
ν
ν
2
1−
tr(ε) 1]
• Contrainte équivalente de Von Mises : σvm = (3 σD
: σD
/ 2)1/2
• Energie potentielle d’un CCA : K(u
~
r
) = W(u
~
r
) - d
f
T (u
~
r
)
• Energie complémentaire d’un CSA : H(σ
)
) = d
u
T (σ
)
) - W(σ
)
)
• Energie de déformation d’une poutre :
W =½ ds
GS
T
GS
T
EJ
M
EJ
M
GI
M
ES
N
poutre
f
f
t
∫
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
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ENIM- TC – Elasticité & RdM – examen principal CORRIGE 2006/2007
Exercice 1 : flexion 3 points
1. RA = RB = F/2 0.5pt
x<l/2 : T=F/2 Mf = -Fx/2 ;
x>l/2 : T=-F/2 Mf = -F(l-x)/2
2. W = 
l
f dx
M
EJ 0
2
2
1
0.5pt J=
12
3
bh
0.5pt  W =
3
3
2
8Ebh
l
F
1pt
3. f =
F
W


=
3
3
4Ebh
Fl
1pt  k =
3
3
4
l
h
Eb 0.5pt
 max = -
2
max h
J
Mf
=
2
4
h
J
Fl
=e  Fmax=
l
b
h
e
3
2 2


Exercice 2 : Compression d’un barreau
1. Tu
d
= PU 0.5pt Tf
d
= 0 0.5pt
K=W- Tf
d
= W ; H = Tu
d
– W =PU – W ; K=H  W=½ PU  K=H=W=½ PU
2. z
e
h
z
U
u




~
: 0
)
0
(
~

u

z
e
U
h
u




)
(
~
donc CCA 1pt












1
0
0
0
0
0
0
0
0
~
h
U
 





















1
0
0
0
0
0
0
)
2
1
)(
1
(
~
h
EU
 )
,
( a
r
er 


 0 donc CLS non vérifiée 1,5pt
3. K
~
= 
 dv
W 
 ~
:
~
2
1
~
= 

h
U
a
E
2
2
2
1,5pt avec 
)
2
1
)(
1
(
1






K= ½ PU=½ kU2
 K
~
 k  ksup = 

h
a
E 2
1,5pt
4. 0
v
i
d 



et )
,
( a
r
er 


 =0 donc eq. d’équ. Et CLS vérifiées  CSA 1pt














0
0
0
0
0
0
0
0
 













1
0
0
0
0
0
0



E


  ux linéaire/x : incompatible avec CLC 1,5pt
5. P

= -

a2
1pt 
 dv
W 




:
2
1
=
2
2
2 a
E
P
h


 H

= P

U-
2
2
2 a
E
P
h


1pt
6. 0

P
d
H
d



h
U
a
E
Popt
2




h
U
a
E
H
2
2
2
max



 H=½ kU2
 k  kinf =
h
a
E 2

7.
inf
sup
k
k
=
)
2
1
)(
1
(
1






 = 0.3  = 1.35
h U
r
z
a
RA
F
C
l/2 l/2
RB
T
x
l/2 l
F/2
-F/2
Mf
x
l/2 l
-Fl/4
7 pts
15 pts
2 pts
2 pts
2,5 pts
2,5 pts
2 pts
2 pts
1 pts
3 pts
1,5 pts
2 pts
0.5pts 0.5pts
1,5 pts
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère
année – Tronc commun 2006/2007
« Elasticité et RdM » -
Examen de rattrapage - juin 2007
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1 :
On considère une poutre droite de longueur l, sur deux appuis à
ces extrémités, soumise à une densité linéique de force p (voir
figure ci-contre). La section droite de la poutre est
rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Le matériau
constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de module
d’Young E et de limite d’élasticité en traction σe.
1. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes correspondants.
2. Déterminer la déformée de la poutre. En déduire la flèche f (valeur absolue du
déplacement vertical du point milieu de la poutre) en fonction de p, l, b, h et du module
d’Young E. Déterminer la rigidité en flexion k=pl/f.
3. Déterminer la valeur maximale de p que peut supporter cette poutre avant plastification.
Exercice 2 : Compression d’un barreau
On étudie l’écrasement d’un barreau cylindrique creux, de rayon
intérieur a, de rayon extérieur b et de hauteur h, entre deux blocs
rigides. Le bloc inférieur est fixe et indéformable. Le bloc supérieur
est aussi indéformable et soumit à un déplacement vertical U donné
(selon l’axe z), voir figure ci-contre.
On désigne par P la force verticale nécessaire à l’écrasement du barreau.
Le contact entre le barreau cylindrique et les deux blocs rigides est sans frottement. Le
barreau cylindrique est constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope de module d’Young
E ayant un coefficient de Poisson ν et de limite élastique en traction σe.
1. Ecrire toutes les conditions aux limites statiques et cinématiques (explicitez les en
fonction des composantes du vecteur déplacement et du tenseur de contrainte).
2. On cherche une solution homogène en contrainte. Donner, dans ce cas, la forme générale
d’un champ de contrainte statiquement admissible.
3. On cherche une solution homogène en contrainte telle que seule la composante σzz =σ du
tenseur de contrainte est non nulle. Déterminer le tenseur de déformation correspondant à
ce champ de contrainte.
4. Déterminer le champ de déplacement solution. En déduire la valeur de la contrainte σ en
fonction de U.
5. Déterminer P(U).
6. Déterminer la valeur maximale de U avant plastification.
Formulaire
• Loi de Hooke : σ =
ν
+
1
E
[ ε +
ν
ν
2
1−
tr(ε) 1]
• Contrainte équivalente de Von Mises : σvm = (3 σD
: σD
/ 2)1/2
• z
z
r
r e
z
u
e
r
u
u
r
v
r
)
(
)
( +
= ⇒ [∇u
v
]rr = ur,r ; [∇u
v
]θθ = ur /r ; [∇u
v
]zz = uz,z ; les autres
composantes sont nulles.
A
p
B
l
b
h
h
r
z
b
U
a
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère
année – Tronc commun 2006/2007
« Elasticité et RdM » -
Examen de rattrapage
juin 2007
CORRIGE
Exercice 1 :
1. N=0 0.5 pt ; T = p( )
2
x
l
 1pt ; Mf = - ½ p x (l-x) 1pt
0.5pt 1pt
2. Mf = - EJ y’’ ; intégration avec CL : y(0)=y(l)=0  y(x) = )
)(
(
24
2
2
x
lx
l
l
x
x
EJ
p


 3pt
f = -y(l/2) =
EJ
pl
30
4
=
3
4
5
2
Ebh
pl
0.5 pt k =
3
3
2
5
l
Ebh
0.5 pt
3.
J
h
M f
2
max
max 
 =
2
2
4
3
bh
pl
 e  pmax = e
l
bh

2
2
3
4
Exercice 2 : Compression d’un barreau
1. z=0 : u3 = 0 ; rz = z = 0 1.5 pt
z=h : u3 = -U ; rz = z = 0 1.5 pt
r=a : rr = rz = r = 0 0.5 pt
2. Les seules composantes non nulles sont zz et 
3. rr = - 
E

;  = - 
E

; zz =
E

Les autres composantes sont nulles.
4.  = ur/r  ur = -
E

r 1 pt ; zz = uz,z =
E

 uz =
E

z 1 pt u = 0 0.5 pt
uz(z=h) = -U   =
h
EU
 1 pt
5. P(U) = -b2
-a2
) =
h
a
b
EU
2
2


6.  =
h
EU
 e  Umax =
E
h e

A
p
B
l
b
h
Pl/2 Pl/2
T
x
l/2 l
pl/2
-pl/2
Mf
x
l/2 l
-pl2
/8
10 pts
4 pts
10 pts
2 pts
4 pts
3.5 pts
0.5 pts
0.5 pts
3.5 pts
1 pts
1 pts
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2007/2008
Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
mars 2008
Durée : 1h Aucun document autorisé
Nous allons nous intéresser à la résolution de problèmes élastiques avec symétrie sphérique. Nous
nous plaçons donc en coordonnées sphériques et nous supposons que le champ de déplacement est
radial et ne dépend que de r :
u
r
= u(r) r
e
r
Les forces de volume sont négligées.
Le milieu considéré est élastique linéaire isotrope de coefficients élastiques λ et μ.
Calculs préliminaires
1. Montrer que ce champ de déplacement est nécessairement sous la forme suivante :
u = c1 r + 2
2
r
c
c1 et c2 sont des constantes
2. Déterminer les composantes du tenseur de déformations.
3. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte.
Sphère pleine sous pression extérieure
Le milieu est une sphère pleine de rayon a soumis à une pression extérieure p.
4. Déterminer les constantes c1 et c2.
5. En déduire les composantes du tenseur de contrainte.
Sphère creuse sous pression intérieure
Le milieu est maintenant une sphère creuse de rayon intérieur a et de rayon extérieur b soumis à une
pression intérieure p. La surface r=b est libre de contrainte.
6. Comment déterminer les constantes c1 et c2.
7. Déterminer les constantes c1 et c2.
8. En déduire les composantes du tenseur de contrainte.
Formulaire en coordonnées sphériques :
div(
r
V) = Vr,r +
r
2
Vr +
1
r
Vθ,θ +
r
g
r
θ
θ
θ
φ
φ
cot
V
V
sin
1
, +
∇
r
V=
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
−
+
−
r
g
r
r
r
r
g
r
r
r
r
θ
θ
θ
θ
θ
θ
φ
φ
θ
φ
φ
φ
φ
θ
θ
θ
θ
φ
φ
θ
θ
cot
V
V
V
sin
1
V
V
cot
V
V
sin
1
V
V
V
V
sin
V
V
V
V
r
,
,
r
,
,
r
,
r
,
r,
2
r,
r
r,
;
r
∇f = f,r
r
e r +
1
r
f,θ
r
e θ +
θ
sin
1
r
f,φ
r
e φ
Rot
r
(
r
V)=[
r
g
r
r
θ
θ
φ
φ
θ
θ
φ
cot
V
V
sin
1
V
1
,
, +
− ]
r
e r+[
r
r
r
r
φ
φ
φ
θ
V
V
V
sin
1
,
, −
− ]
r
e θ+
1
r
[(rVθ),r - Vr,θ)]
r
e φ
Equations de Navier : (λ+2μ) u
div
r
r
∇ - μ rot
r
rot
r
u
r
+ f
r
= 0
Loi de Hooke : σ = 2μ ε + λ trε 1
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2007/2008
Bon travail
1ère
année Tronc commun - « Elasticité et RdM » - Devoir surveillé
CORRIGE
u

= u(r) r
e

Calculs préliminaires
1. Equations de Navier => u
div


 =0 => div u

= C (cte) => (r2
u),r = C r2
=>
u = c1 r + 2
2
r
c
c1 et c2 sont des constantes
2. rr = u,r = c1 - 2 3
2
r
c
;  =  = u/r = c1 + 3
2
r
c
; les autres sont nulles
3. rr = (2+3) c1 - 4 3
2
r
c
;  =  = (2+3) c1 + 2 3
2
r
c
; les autres sont nulles
Sphère pleine sous pression extérieure
Le milieu est une sphère pleine de rayon a soumis à une pression extérieure p.
4. u fini en r=0 => c2 = 0 rr(r=a) = -p => c1 = - p/(2+3)
5. rr =  =  = -p ; les autres sont nulles
Sphère creuse sous pression intérieure
Le milieu est maintenant une sphère creuse de rayon intérieur a et de rayon extérieur b soumis à
une pression intérieure p.
6. rr(r=a) = -p ; rr(r=a) = 0 => c1 et c2.
7. c1 =

 3
2 
p
3
3
3
a
b
a

c2 =

4
p
3
3
3
3
a
b
b
a

8. rr = -p ( 3
3
3
3
a
b
r
b


) 3
3
r
a
;  =  = p ( 3
3
3
3
2
a
b
r
b


) 3
3
2r
a
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère
année – Tronc commun 2007/2008
exelasr-08.doc Bon Travail
« Elasticité et RdM » -
Examen de rattrapage
juin 2008
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1 :
On considère la structure définie par la figure ci-contre,
constituée de deux poutres OB et AB. Ces deux poutres sont
articulées entre elles en B. La poutre OB est encastrée en O et
soumise à son milieu à une force concentrée F. La poutre AB
est articulée en A.
1. Montrer que cette structure est hyperstatique d’ordre 1.
2. Montrer que la poutre AB est soumise uniquement à la
compression. Quelle est la direction de l’effort de liaison
exercé par AB sur OB au point B ?
On désigne par R Cet effort. Et on choisira R comme inconnue hyperstatique.
3. Déterminer tous les efforts des liaisons en fonction de l’inconnue hyperstatique R.
4. Déterminer tous les efforts intérieurs dans la poutre OB en fonction de l’inconnue
hyperstatique R.
5. En négligeant les effets de l’effort normal et de l’effort tranchant, lever l’hyperstaticité et
déterminer R en fonction de F.
6. Tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
7. Déterminer le déplacement vertical du point C.
Rappel : L’énergie de déformation élémentaire due au moment fléchissant s’écrit : dW = ½
EJ
Mf 2
ds
Exercice 2 :
On considère une plaque dont la géométrie est définie par
la figure ci contre. Cette plaque est soumise au champ de
contrainte suivant (dans le repère i
e
r
) :
σ :
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
0
0
0
0
0
0
0
0
σ
σ = a
h
x3
a est une constante
1. Montrer que les surfaces x3 = ± h et x2 = ± b sont libres de contrainte.
2. Montrer que le torseur des efforts extérieurs sur la surface x1=l, au centre de la section, est
un couple de flexion M suivant 2
e
r
. Déterminer la valeur de ce couple en fonction de a et
des dimensions de la plaque.
Le matériau constituant la plaque est élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de
coefficient de Poisson ν.
3. Déterminer le champ de déformation dans la plaque.
4. Montrer que le champ de déplacement suivant est solution de ce problème :
u1 =
hE
x
a
2
3
(2x1 – l) u2 =
hE
x
x
a 2
3
ν
− u3 =
hE
a
2
[ν (x2
2
– x3
2
)+x1 (l-x1) ]
Tracer l’allure de la déformée de la surface moyenne (x3 = 0).
Rappel : Loi de Hooke ε =
E
ν
+
1
σ -
E
ν
tr(σ) 1
A
B
O
45°
C
F
l
l
y
x
2
2h
2b
3
e
r
1
e
r
2
e
r
l
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère
année – Tronc commun 2007/2008
exelasr-08c.doc Bon Travail
« Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage - juin 2008
CORRIGE
Exercice 1 :
1. Montrer que cette structure est hyperstatique d’ordre 1.
Inconnues de liaison : 7 (3 en O, 2 en B, 2 en A)
Eq. d’équilibre : 6 (3 pour OB et 3 pou AB)
2. Equilibre de AB : 2 forces dont directement opposées.
La direction de l’effort de liaison exercé par AB sur OB au point B est la doite AB.
3. Equilibre de OB :
XO + R/ 2 = 0  XO = -R/ 2
YO+ R/ 2 - F = 0  YO =F - R/ 2
MO + 2 Rl- Fl = 0  MO = Fl - 2 Rl
4. Déterminer tous les efforts intérieurs dans la poutre OB en fonction de l’inconnue
hyperstatique R.
- 0<x<l : N = -R/ 2 T = F - R/ 2 Mf = (x-2l) R/ 2 +F(l-x)
- l<x<2l : N = -R/ 2 T = - R/ 2 Mf =(x-2l)R/ 2
5. En négligeant les effets de l’effort normal et de l’effort tranchant, lever l’hyperstaticité et
déterminer R en fonction de F.
2EJ W= 
l
0
[(x-2l) R/ 2 +F(l-x)] dx + 
l
l
2
[(x-2l)R/ 2 ] dx
dW/dR = 0  R =
16
5
2 F
6. Tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
- 0<x<l : N = -
16
5
F T =
16
11
F Mf =(x-2l)
16
5
F +(l-x) F
- l<x<2l : N = -
16
5
F T = -
16
5
F Mf =(x-2l)
16
5
F
7. Déterminer le déplacement vertical du point C.
W=
192
7
EJ
F
l 2
3
uc =
dF
dW
=
96
7
EJ
F
l3
Exercice 2 :
1. Montrer que les surfaces x3 = ± h et x2 = ± b sont libres de contrainte.
x3 = ± h : n

= 3
e

 

( 3
e

) = 0
x2 = ± b : n

= 2
e

 

( 2
e

) = 0
2. Montrer que le torseur des efforts extérieurs sur la surface x1=l, au centre de la section, est
un couple de flexion M suivant 2
e

. Déterminer la valeur de ce couple en fonction de a et
des dimensions de la plaque.
Hypestatique d’ordre 1
N/F T/F
Mf/lF
5/16
l
-5/16
-5/16 -5/16
11/16
l 2l
l 2l l 2l
x x
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x1 =l : n

= 1
e

 

( 1
e

) =
h
ax3
1
e

R

= S
ds
e )
( 1


 = 2ab 
h
h
dx
h
x
3
3
1
e

= 0
M

=  

S
dx
dx
e
e
x
e
x 3
2
1
3
3
2
2 )
(
)
(




 = 2ab 
h
h
dx
h
x
3
2
3
2
e

=
3
4
abh2
2
e

3. Déterminer le champ de déformation dans la plaque.















0
0
0
0
0
0
1

Eh
ax3
4. Montrer que le champ de déplacement suivant est solution de ce problème :
u1 =
hE
x
a
2
3
(2x1 – l) u2 =
hE
x
x
a 2
3

 u3 =
hE
a
2
[(x2
2
– x3
2
)+x1 (l-x1) ]
u1,1 =  u2,2 = u3,3 = - ui,j + uj,i =  (pour i≠j) Solution
Tracer l’allure de la déformée de la surface moyenne (x3 = 0).
x3 = 0  u1 = u2 = 0 u3 =
hE
a
2
[x2
2
+x1 (l-x1) ]
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2008/2009
Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
avril 2009
Durée : 1h Aucun document autorisé
On considère un bloc cylindrique de révolution, d’axe vertical (z), de
rayon R et de hauteur h. Ce bloc est constitué d’un matériau élastique
de module d’Young E de coefficient de poisson  et de masse
volumique . Ce bloc repose sur un ballon qui, lui-même, repose sur
un massif rigide (voir figure ci-contre). Les efforts appliqués par le
ballon sur le bloc se réduisent donc à une pression hydrostatique p. Le
bloc n’est soumit à aucun autre effort sauf son propre poids (forces de
volume).
L’objectif de ce problème est de déterminer le champ de contrainte et de déplacement dans le bloc
cylindrique.
1. En écrivant l’équilibre global du bloc, déterminer la pression p dans le ballon.
2. Ecrire précisément toutes les conditions aux limites de ce problème et dire si c’est un problème
régulier ou non.
Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une
solution en contrainte sous la forme suivante :
zz = (z) ; toutes les autres composantes nulles
3. Qu’elle est la condition à imposer sur (z) pour que ce champ de contrainte vérifie les
conditions aux limites statiques ?
4. Montrer, à partir des équations d’équilibre, que la solution en contrainte est sous la forme
suivante (en prenant l’origine des z au point de contact du bloc avec le ballon et en désignant par
g l’accélération de la pesanteur) :
(z) =  g (z-h)
5. Est-ce que les équations de Beltrami sont vérifiées ? Justifiez votre réponse.
6. Déterminer les composantes du tenseur de déformation.
7. La solution en déplacement est elle-unique ? Justifiez votre réponse.
8. Ecrire les équations permettant de déterminer les composantes du vecteur déplacement.
9. Montrer que le champ de déplacement suivant est une solution :
ux = -
E

x g (z-h) uy = -
E

y g (z-h) uz =
E
2
1
 g [z(z-2h) + (x2
+y2
)]
10. Tracer l’allure de la déformée du bloc.
Loi de Hooke :  =


1
E
(  +


2
1
tr 1)
Bloc
Ballon
Massif rigide
z
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ENIM-1ère
année, Tronc commun, « Elasticité et RdM »
Devoir surveillé, avril 2009, CORRIGE
------------
1. En écrivant l’équilibre global du bloc, déterminer la pression p dans le ballon.
p S = g S h  p = g h
2. Ecrire précisément toutes les conditions aux limites de ce problème et dire si c’est un problème régulier ou non.
Surface r=R : . r
e

= 0
Surface z=h : . z
e

= 0
Surface z=0 : . z
e

= -p z
e

Problème régulier : le vecteur contrainte est connu en chaque point de la frontière.
3. Qu’elle est la condition à imposer sur (z) pour que ce champ de contrainte vérifie les conditions aux limites
statiques ?
(0) = -p g h (en choisissant l’origine des z le point de contact avec le ballon)
4. Montrer, à partir des équations d’équilibre, que la solution en contrainte est sous la forme suivante (en prenant
l’origine des z au point de contact du bloc avec le ballon et en désignant par g l’accélération de la pesanteur) :

v
i
d

g z
e

= 0  (z) =  g z + Cte
CL Statique en z=0  (z) =  g (z-h)
5. Est-ce que les équations de Beltrami sont vérifiées ? Justifiez votre réponse.
Oui puisque le champ de contrainte est linéaire (les équations de Beltrami font intervenir des
dérivées secondes des contraintes) et les forces de volumes son constantes (les équations de
Beltrami font intervenir des dérivées premières des forces de volume).
6. Déterminer les composantes du tenseur de déformation.
Loi de Hooke  zz/ E ; xx = yy = -/ E (ou rr =  = -/ E)
7. La solution en déplacement est elle-unique ? Justifiez votre réponse.
La solution est à un mouvement de solide rigide général près puisqu’aucune condition aux
limites cinématique n’est imposée.
8. Ecrire les équations permettant de déterminer les composantes du vecteur déplacement.
ux,x = - g (z-h)/E ; uy,y = - g (z-h)/E ; uz,x =  g (z-h)/E
ux,y + uy,x = 0 ; uy,z + uz,y = 0 ; uz,x + ux,z = 0
9. Montrer que le champ de déplacement suivant est une solution : Il suffit de vérifier que ½ (ui,j+uj,i)=ij
10. Tracer l’allure de la déformée du bloc.
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2008/2009
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1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal
juin 2009
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1 : Poutre sur 3 appuis
On considère une poutre droite de longueur l, sur trois appuis
aux points A, B et C, soumise au milieu de AC (point D) à une
force concentrée F (voir figure ci-contre). La section droite de
la poutre est rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Le
matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de
module d’Young E et de limite d’élasticité en traction σe.
1. Montrer que cette structure est hyperstatique d’ordre 1.
2. On choisi comme inconnue hyperstatique la réaction en C (RC). Déterminer les réactions en
A (RA) et B (RB) en fonction de RC.
3. Lever l’hyperstaticité en utilisant le théorème de Menabrea (on néglige les effets de
l’effort tranchant) et montrer que F
RC
16
11
−
= . En déduire les valeurs de RA et RB.
4. Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
5. En quelle section droite le moment fléchissant est le plus grand ? quelle est sa valeur ? En
déduire la contrainte équivalente de Von Mises Maxi en fonction de F, l, h et b dans cette
section droite.
6. Déterminer le déplacement vertical du point D en fonction de F, l, b, h et le module
d’Young E.
7. Déterminer la valeur maximale de la force F que peut supporter cette poutre avant
plastification (selon le critère de Von Mises).
Exercice 2 : Flexion d’un parallélépipède
On considère un barreau parallélépipédique de longueur L de
hauteur h et d’épaisseur a (voir figure ci-contre). Ce barreau
est constitué d’un matériau élastique isotrope de module
d’Youg E et de coefficient de Poisson ν.
Ce barreau est soumis aux sollicitations suivantes :
- Les forces de volume sont négligées.
- Les surfaces latérales x2 = ± h/2 et x3 = ± a/2 sont libres de contrainte.
- Sur la face x1 = 0 on impose u1=0 et σ2=σ3=0.
- Sur la face x1 = L on impose u1=α x2 et σ2=σ3=0 (α est une constante).
Les composantes ui et σi sont celles des vecteur respectivement déplacement et contrainte.
On cherche à déterminer les champs de contrainte et de déplacement dans ce parallélépipède.
1. Ce problème est-il régulier ? Justifier votre réponse.
A
F
C B
l/2 l/2
b
h
D
x1
x3
x2
L
a
h
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On considère un champ de contrainte de traction-compression non homogène tel que seule la
composante σ11 est non nulle et supposée sous la forme suivante (k est une constante) :
σ11 = k x2
2. Montrer que ce champ de contrainte est statiquement admissible pour ce problème.
3. Montrer que le torseur des efforts extérieurs sur la surface x1 = L se réduit à un moment M
selon l’axe x3. Déterminer M.
4. Déterminer les composantes du tenseur de déformation.
On considère un champ de déplacement sous la forme suivante (c1,c2 et c3 sont des
constantes) :
u1 = c1 x1x2 ; u2 = - ½ c1 x1
2
+c2(x3
2
- x2
2
) ; u3 = c3 x2x3
5. Déterminer les valeurs des constantes c1,c2, c3 et k pour que ce champ de déplacement et le
champ de contrainte précédent soient solution du problème.
Formulaire
• Loi de Hooke : ε =
E
ν
+
1
σ −
E
ν
tr(σ) 1
• Contrainte équivalente de Von Mises : σvm = (3 σD
: σD
/ 2)1/2
• Energie de déformation d’une poutre :
W =½ ds
GS
T
GS
T
EJ
M
EJ
M
GI
M
ES
N
poutre
f
f
t
∫
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
+
+
+
+
+
3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
• Relations contraintes/efforts intérieurs dans une poutre (Notation du cours) :
σ11 = -
N
S
+
3
3
J
M f
x2 -
2
2
J
M f
x3
σ12 = -
I
Mt
ϕ,3 -
3
2
J
T
α -
2
3
J
T
γ
σ13 =
I
Mt
ϕ,2 -
3
2
J
T
β -
2
3
J
T
δ
J3 = 2
2 2 3
S
x dx dx
∫ J2 = 2
3 2 3
S
x dx dx
∫
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1ère
année – Tronc commun - « Elasticité et RdM » - CORRIGE Examen principal 2008/2009
Exercice 1 : Poutre sur 3 appuis
1. 3 inconnues de liaison (RA,RB,RC) est 2 relations statique  Hyperstatique d’ordre 1
2. Equilibre statique  RA = -3F/4 – RC /2 ; RB = -F/4 – RC /2
3. 0<x<l/4 : Mf = Mf1 = - RA x = (3F/4+ RC /2)x
l/4 <x<l/2: Mf = Mf2= - RA x-F(x-l/4) = ½ RC x+F(l-x)/4
0<x<l/4 : Mf = Mf3 = - RB (l-x) = (F/4+ RC /2)(l-x)
2EJW= 
4
/
0
2
1
l
f dx
M + 
2
/
4
/
2
2
l
l
f dx
M + 
l
l
f dx
M
2
/
2
3
C
R
W


= 0  RC = -
16
11
F  RA = -
32
13
F ; RB =
32
3
F
4. Diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
5. Mfmax En D : MfD = 13Fl/128 ; VM
 = MfD h/2J = 2
64
39
bh
Fl
6. uD =
F
W


= 3
3
1024
23
Ebh
Fl
7. VM
 = e  Fmax = e
l
bh

2
39
64
Exercice 2 : Flexion d’un parallélépipède
1. Problème régulier : en chaque point de la frontière on connait 3 composantes non duales des
vecteurs contrainte et déplacement.
2. v
i
d

 = 0  équilibre vérifié ; 2
x

.(± 1
x

)=0 ; 3
x

.(± 1
x

)=0  CL sur x1 = 0 et L vérifiées
(± 2
x

)=0  CL sur x2 = ± h/2 vérifiée ; (± 3
x

)=0  CL sur x2 = ± a/2 vérifiée
 Champ statiquement admissible
3. )
( 1
x


 = k x2 1
x

 3
2
1)
( dx
dx
x
S



 = 0
3
2
1
3
3
2
2 )
(
)
( dx
dx
x
x
x
x
x
S
 





 = M 3
x

M = - kah3
/12
4. 11 = k x2 /E 22 =33 = 11 Les autres sont nulles
5. CL cinématique : u1( x1=0) vérifiée ; u1( x1=L)= x2  c1 = /L
11 = k x2 /E  k = E /L 33 = 11  c3 = /L
22 =  11  c2 =  /2L et on vérifie bien que 12 =23 =31 = 0
Les équations d’équilibre, les conditions aux limites et les relations de comportement sont
vérifiées, c’est donc la solution.
-13/32
19/32
T/F
-3/32
x/l
1/4 1/2 1
Mf /Fl
x/l
1
1/2
1/4
13/128
-3/64
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2009/2010
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1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
mars 2010
Durée : 1h Aucun document autorisé
On considère un disque cylindrique de révolution autour de l’axe
z
e

, de rayon a et de longueur h. Ce disque est constitué d’un
matériau homogène élastique linéaire de masse volumique .
Ce disque est maintenu entre deux blocs rigides fixes (voir figure
ci-contre). Le contact entre le disque et les blocs rigides est parfait
(sans frottement).
Le disque est en mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire  z
e

. Ce mouvement crée,
en chaque point du disque à une distance r de son centre, une force volumique (force d’inertie)
f

= r 2
r
e

(on se place dans un référentiel attaché au disque). On néglige l’effet de la pesanteur.
La surface latérale du disque n’est soumise à aucun effort extérieure.
On cherche à déterminer les champs de déplacement, de déformation et de contrainte, en fonction
de la vitesse de rotation  en chaque point du disque.
1. Ecrire toutes les conditions aux limites et dire si le problème est régulier ou non.
Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une
solution en déplacement sous la forme suivante :
u

= u(r) r
e

2. Ecrire l’équation différentielle que doit vérifier u(r).
3. Déterminer la solution générale (à une constante C près) de l’équation différentielle trouvée
dans la question précédente, en imposant que le déplacement u doit être fini pour r=0.
4. Déterminer les composantes du tenseur de déformation en coordonnées cylindriques.
5. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte en coordonnées cylindriques. Montrer que,
pour une valeur donnée, à déterminer, de la constante C, toutes les conditions aux limites sont
satisfaites.
6. En termes de contrainte équivalente de Tresca, le point le plus sollicité est le centre du disque
(r=0). Les composantes du tenseur de contrainte en ce point (r=0) sont :
rr =  =
)
1
(
8
2
3




2
a2
zz =
)
1
(
8
2
3




22
a2
Déterminer, en utilisant le critère de limite élastique de Tresca, la vitesse de rotation maximale
max qui peut être supportée par ce disque, sans qu’il n’y ai aucune plastification.
7. AN : Le disque est en acier : = 0,3 ;  = 7800 kg m-3
; e = 400 MPa ; a = 0,5 m.
Déterminer max en tr/mn.
Blocs
z
e

h
a
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Formulaire en coordonnées cylindriques :
div(

V) =
1
r
Vr + Vr,r +
1
r
V, + Vz,z


V= =
V
V V
V
V
V V
V
V
V
V
r,r
r,
r,z
,r
, r
,z
z,r
z,
z,z
 

 




















r
r
r
dans (

e r,

e ,

e z) ;

f = f,r

e r +
1
r
f,

e  + f,z

e z
Rot

(

V) = [
1
r
Vz, - V,z]

e r + [Vr,z - Vz,r]

e  +
1
r
[(rV),r - Vr,)]

e z
Equations de Navier : () u
div


 -  rot rot u + f = 0
Ou : 2


2
1
1


u
div


 - rot rot u + 2
E


1
f = 0
Loi de Hooke :  = 2  +  tr 1
Ou :  =


1
E
( +


2
1
tr 1)
)
1
)(
2
1
( 






E
;
)
1
(
2 



E
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ENIM -1ère
année – Tronc commun - « Elasticité et RdM » - DS - mars 2010
develas-10c.doc – A. Dogui
CORRIGE
1. Conditions aux limites : - sur la surface r=a : 0
.
)
( 
 r
r e
e



σ

- sur les surfaces z=0 et z=h : 0
)
.(
.
).
( 


 z
r
r
z e
e
e
e





σ

0
)
.(
.
).
( 


 z
z e
e
e
e





σ



0
. 
z
e
u


Donc c’est un problème régulier.
2. Equations de Navier : () u
div


 -  rot rot u + f = 0.
rot u = 0 ; u
div


 = r
r
r e
u
r
u 
,
, )
(  ; f

= r 2
r
e

 () r
r
u
r
u
,
, )
(  + r 2
= 0
3. Solution : r
r
u
r
u
,
, )
(  = r
r
ru
r
,
, )
)
(
1
( = -
)
2
(
2




 u = -
)
2
(
8
2




r3
+ C r (u fini pour r=0)
4. u

= u(r) r
e

 Les seules composantes non nulles de  sont : rr = u,r = -
)
2
(
8
3 2




r2
+C
 = u/r = -
)
2
(
8
2




r2
+C
5. Les seules composantes non nulles de  sont :
rr = ()rr +  = -
)
2
(
4
)
3
2
( 2







r2
+2()C
 = ()+ rr= -
)
2
(
4
)
2
( 2







r2
+2()C
zz = (rr+) = -
)
2
(
2
2




r2
+2C
CL Statique : pour r=a 0
)
( 
r
e


  rr(R) = 0  C =











(
)
2
(
8
)
3
2
( 2
a2
Pour z=0 et z=h : z
zz
z e
e




 

 )
(  CL satisfaites
CL cinématiques automatiquement satisfaites.
6. Tresca (au point r=a).
rr =  =
)
1
(
8
2
3




2
a2
; zz = 2
)
1
(
8
2
3




2
a2
 tresca = rr -zz =
)
1
(
8
)
2
1
)(
2
3
(






2
a2
 Début plastification quand tresca= e ; soit :  = 2
)
2
3
)(
2
1
(
)
1
(
2






2
a
e


7. AN :  = 0,3 ;  = 7800 kgm-3 ; e = 400 MPa ; a = 0,6 m  l = 912 rad/s soit 8705 tr/mn
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2009/2010
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1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal
mai 2010
Durée : 2h Aucun document autorisé
Flexion déviée
On considère une poutre droite de longueur l (selon l’axe x

) et de
section droite rectangulaire de hauteur h (selon l’axe y

) et de
largeur b (selon l’axe z

). Les axes y

et z

sont donc les axes
principaux d’inertie de la section droite. Cette poutre est encastrée
en A (x=0) et soumise à une force F

= Y y

+ Z z

en B (x=l).
Le matériau constituant cette poutre est homogène, élastique et isotrope. Sa limite élastique
en traction est notée e.
L’objectif de cet exercice est de dimensionner cette poutre et de déterminer sa déformée.
 Efforts intérieurs
1. Déterminer les efforts de liaison en A.
2. Déterminer les efforts intérieurs.
Dans toute la suite de cet exercice on négligera les effets des efforts tranchants.
 Dimensionnement
3. Quel est le point de la ligne moyenne correspondant à la valeur maximale du module du
moment fléchissant ? Montrer que cette valeur maximale est comme suit :
| f
M

|max = 2
2
Z
Y
l 
4. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte, dans le repère ( x

, y

, z

), en fonction
des coordonnées spatiales ( x, y,z), de la géométrie de la section droite et des composantes
Y et Z de la force F

.
5. Déterminer la valeur maximale de la contrainte équivalente de Von Mises. Quel est le
point de la poutre le plus sollicité en termes de contrainte de Von Mises ?
6. On pose k = b/h ; déterminer, selon le critère de Von Mises, la valeur minimale de h
permettant à la poutre de supporter l’effort F

, en fonction de k, l, Y, Z et e.
 Déformée
7. Dans le cadre de l’hypothèse de Navier Bernoulli, montrer que les composantes du torseur
de déplacement de la poutre est sous la forme suivante :
)
(x
u

= uy(x) y

+ uz(x) z

; )
(x


= -
dx
duz
y

+
dx
duy
z

8. Ecrire les équations différentielles qui permettent de déterminer uy(x) et uz(x).
9. Déterminer uy(x) et uz(x).
10. Déterminer les composantes du vecteur rotation de la section droite.
b
h
A
F

B
l
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Milieu 1D – Milieu 3D
11. Déterminer les composantes du vecteur déplacement d’un point de la poutre de
coordonnées (x,y,z) .
12. En utilisant le champ de déplacement trouvé en 11, déterminer les composantes du
tenseur de déformation.
13. En déduire, par la loi de Hooke, en prenant =0, les composantes du tenseur de
contrainte. Comparer avec ce qui est trouvé à la question 4.
Formulaire
 Loi de Hooke :  =
E


1

E

tr() 1
 Relations contraintes/efforts intérieurs dans une poutre (Notation du cours) :
11 = -
N
S
+
3
3
J
M f
x2 -
2
2
J
M f
x3 ;
12 = -
I
Mt
,3 -
3
2
J
T
 -
2
3
J
T

13 =
I
Mt
,2 -
3
2
J
T
-
2
3
J
T
 
J3 = 2
2 2 3
S
x dx dx
 J2 = 2
3 2 3
S
x dx dx

 Torseurs de déplacement et de déformation avec l’hypothèse de Navier Bernoulli
(Notation du cours) :
ds
u
d
s t






 


 )
(  t
n
ds
d
s
s












)
(  









n
ds
u
d
s
s




)
(
 Lois de comportement d’un milieux curvilignes (avec hypothèse de Navier Bernoulli ):
ES
N
n 

 

GI
Mt
n 

 
2
2
2
EJ
M f


 
3
3
3
EJ
M f


 
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ENIM – Tronc Commun - « Elasticité et RdM » - Examen principal 2009/2010
CORRIGE
 Efforts intérieurs
1. A
R

=- F

; A
M

= - F
AB

 = l (Z y

-Y z

)
2. R

= A
R

=- F

; M

= -(l- x) x

 F

= Z (l- x) y

- Y (l- x) z

Ty = - Y ; Tz = - Z Mfy = Z (l- x) ; Mfz = -Y (l- x)
 Dimensionnement
3. Le point A (x=0). | f
M

|max = 2
2
Z
Y
l 
4. Flexion, donc seule la composante xx =  est non nulle :
xx =
z
fz
J
M
y -
y
fy
J
M
z =- yY
bh
x
l
3
)
(
12 
- zZ
hb
x
l
3
)
(
12 
5. Le point le plus sollicité est dans la section droite au point A. En fonction des signes de Y
et Z il est au point de coordonnées (0, ±h/2, ±b/2). La contrainte équivalente de Von Mises
maximale max
 est donc : max
 = 6(|Y| 2
bh
l
+ |Z| 2
hb
l
).
6. max
 < e  h > 3
2
)
(
6
k
Z
k
Y
l
e


 Déformée
7. Flexion  )
(x
u

= uy(x) y

+ uz(x) z

; )
(x


= y(x) y

+ z(x) z

)
(x


= x


dx
u
d

 y = -
dx
duz
; z =
dx
duy
8.
y
fy
y
EJ
M


 
dx
d y

 2
2
dx
u
d z
= -
y
EJ
1
Z (l- x)
z
fz
z
EJ
M


 
dx
d z

 2
2
dx
u
d y
=
z
EJ
1
Y (l- x)
9. Encastrement en A  uy(0) = uz(0) = 0 ; y(0) = z(0) = 0
 uy = 3
2
Ebh
Y x2
(3l – x) ; uz = 3
2
Ehb
Z x2
(3l – x)
10. y = -
dx
duz
= - 3
6
Ehb
Z x (2l – x) ; z =
dx
duy
= 3
6
Ebh
Y x (2l – x).
Milieu 1D – Milieu 3D
11. )
,
,
( z
y
x
u

= )
(x
u

+ )
(x


 (y y

+z z

) 
ux(x,y,z) = zy - y z = -
E
6
x (2l – x)( 3
hb
z
Z + 3
bh
y
Y)
uy(x,y,z) = uy(x) = 3
2
Ebh
Y x2
(3l – x) uz(x,y,z) = uz(x) = 3
2
Ehb
Z x2
(3l – x)
12. xx = -
E
12
(l – x)( 3
hb
z
Z + 3
bh
y
Y) ; toutes les autres composantes sont nulles
13. xx =Exx=- y
bh
x
l
3
)
(
12 
Y - z
hb
x
l
3
)
(
12 
Z : même résultat que la question 4.
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ENIM 1ère
année – Tronc commun 2009/2010
exelasr-10.doc Bon courage
« Elasticité et RdM »
Examen de rattrapage
juin 2010
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
On considère une poutre droite de longueur L et de
section droite carrée de côté 2a. L’axe x est l’axe
longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en
x=0. Tous les points de la section droite en x=L sont
soumis au même déplacement imposé : U y

.
On désigne par F, la force, dans la direction y

,
engendrée par ce déplacement.
Le matériau constituant la poutre étant supposé élastique linéaire isotrope, on désigne par k=F/U le
module de rigidité de cette poutre. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée
de ce module de rigidité k en utilisant les théorèmes énergétiques.
1. Déterminer, pour les champs de contrainte et de déplacement solution, le travail des efforts
extérieurs dans le déplacement donné Tu
d
et le travail des efforts donnés dans le champ de
déplacement solution Tf
d
.
2. En déduire que l’énergie potentielle K, l’énergie complémentaire H et l’énergie de déformation
W des champs solutions sont : K=H=W=½ FU=½ kU2
.
3. On choisi un champ de déplacement sous la forme suivante : y
x
L
U
u



~
.
Montrer que ce champ est cinématiquement admissible et déterminer son énergie potentielle.
En déduire que : k 
)
1
(
2 2


L
E
a
Exercice 2
On considère une poutre droite de longueur L (selon l’axe x

) et de
section droite rectangulaire de hauteur h (selon l’axe vertical y

) et de
largeur b (selon l’axe z

). Cette poutre est encastrée en A (x=0) et soumise
à une force F

= F y

en B (x=L). Le matériau constituant cette poutre est
homogène, élastique et isotrope.
Déterminer le déplacement vertical U du point B (on néglige l’effet de l’effort tranchant).
Formulaire
 Loi de Hooke :  =


1
E
[  +


2
1
tr() 1]
 Energie potentielle d’un CCA : K(u
~

) = W(u
~

) - d
f
T (u
~

)
 Energie complémentaire d’un CSA : H(σ

) = d
u
T (σ

) - W(σ

)
 Energie de déformation d’une poutre : W =½ ds
GS
T
GS
T
EJ
M
EJ
M
GI
M
ES
N
poutre
f
f
t
 












3
2
3
2
2
2
3
2
2
2
2
2
3
2
b
h
A
F

B
L
2a
x
z
y
L
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ENIM 1ère
année – Tronc commun 2009/2010
exelasr-10c.doc
« Elasticité et RdM »
Examen de rattrapage
CORRIGE
Exercice 1
1. Tu
d
= FU
Tf
d
= 0 : Les seuls effort donnés sont nuls (sur les surfaces latérales).
2. K= W- Tf
d
= W H=Tu
d
– W = FU – W K=H  K=H=W=½ FU=½ kU2
3. CLC (x=0) : u
~

(x=0) = 0 : vérifée ; CLC (x=L) : u
~

(x=L) = U : vérifée  CCA
Calcul de (u
~

) : xy = ½ U/L Toutes les autres composantes sont nulles.
Calcul de (u
~

) : xy =
)
1
(
2 

E
U/L Toutes les autres composantes sont nulles.
 = 2
2
)
1
(
2 L
EU


 W(u
~

) =½ 

 dv =
L
a
EU
)
1
(
2
2


Tf
d
(u
~

) = 0  K(u
~

) = W(u
~

) =
L
a
EU
)
1
(
2
2


Ksolution = ½ FU =½ kU2
 K(u
~

)  ½ kU2

L
a
EU
)
1
(
2
2


 k 
L
Ea
)
1
(
2 2


Exercice 2
A
R

= - F

A
M

= - FL z

Mf = -F(L-x)
W =
EJ
F
2
2
dx
x
L
L
 
0
2
)
( =
EJ
L
F
6
3
2
= 3
3
2
2
Ebh
L
F
Castigliano  U =
F
W


= 3
3
4
Ebh
FL
1pt
1pt
1pt
2pt
1pt
1pt
1pt
2pt
3pt
2pt
1pt
1pt
2pt
1pt
2pt
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2010/2011
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
Avril 2011
Durée : 1h Aucun document autorisé
Questions :
1. Quelles sont les relations nécessaires et suffisentes que doivent vérifier les champs de contrainte
et de déplacement pour qu’ils soient solution d’un problème élastique donné.
2. Expliciter la démarche de résolution d’un problème élastique donné, en partant d’une forme
donnée d’un champ de contrainte.
3. Qu’est ce qu’un problème élastique régulier ?
Exercice 1 :
On considère un cylindre de révolution plein de rayon a et infiniment long constituée par un
matériau élasique obeissant à la loi de Hooke. Ce cylindre est soumis, sur sa surface cylindrique
extérieure, à une pression p constante. On néglige les forces de volume.
Déterminer les champs de contrainte et de déplacement générés par cette pression.
Exercice 2 :
On considère un cylindre de révolution plein de rayon a et de longueur L constituée par un matériau
élasique obeissant à la loi de Hooke. Ce cylindre est soumis sur ses surfaces z = 0 et z = L à un
moment de torsion -M z
e

et M z
e

respectivement. On néglige les forces de volume.
Partant d’un champ de déplacement u

= z r 
e

(en coordonnées cylindriques),  étant une
constante, déterminer le champ de contrainte solution et en déduire la valeur de  en fonction de M,
a et du module élastique en cisaillement .
Formulaire en coordonnées cylindriques :
div(

V) =
1
r
Vr + Vr,r +
1
r
V, + Vz,z

f = f,r

e r +
1
r
f,

e  + f,z

e z


V= =
V
V V
V
V
V V
V
V
V
V
r,r
r,
r,z
,r
, r
,z
z,r
z,
z,z
 

 




















r
r
r
dans (

e r,

e ,

e z) ;
Rot

(

V) = [
1
r
Vz, - V,z]

e r + [Vr,z - Vz,r]

e  +
1
r
[(rV),r - Vr,)]

e z
Equations de Navier : () u
div


 -  rot rot u + f = 0
Loi de Hooke :  = 2  +  tr 1
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ENIM-Tronc Commun - DS « Elasticité et RdM » CORRIGE 2010/2011
Questions :
1. Quelles sont les relations nécessaires et suffisentes que doivent vérifier les champs de contrainte et de déplacement
pour qu’ils soient solution d’un problème élastique donné :
Equations d’équilibre, Conditions aux limites statiques et cinématiques, Loi de Comportement.
2. Expliciter la démarche de résolution d’un problème élastique donné en partant d’une forme donnée d’un champ de
contrainte.
Vérifier : les CL Statiques, les équations d’équilibre et les équations de Beltrami.
Si toutes ces conditions sont vérifiées, on détermine le champ de déformation, on détermine, par
intégration, le champ de déplacement et on vérifie les CL Cinématiques.
3. Qu’est ce qu’un problème élastique régulier ?
Si, en chaque point de la frondière du milieu continu, sont données 3 composantes parmis celles
du vecteur contrainte et du vecteur déplacement (composantes non duales).
Exercice 1 :
Symétrie de révolution  r
e
r
u
u


)
(

Equations de Navier  r
r
u
r
u
),
,
(  = 0  u = c1r + c2/r ; u continu pour r=0  u = c1r
  : c1










0
0
0
0
1
0
0
0
1
  : c1

















2
0
0
0
)
(
2
0
0
0
)
(
2
CL Statique pour r=a  c1 = -
)
(
2 
 
p
Exercice 2 :
u

= z r 
e

: Equations de Navier vérifiées.
  : ½  r










0
1
0
1
0
0
0
0
0
  :  r










0
1
0
1
0
0
0
0
0
CL Statique sur la surface r = a vérifiée : surface libre de contraintes.
CL Statique sur la surface z = L :  z
e

=  r 
e

 M = 2 
a
dr
r
0
3
= ½ a4
  4
2
a
M


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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2010/2011
Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal
mai 2011
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
On considère une poutre droite de longueur 2l et de section droite rectangulaire
de hauteur h et de largeur b. Cette poutre est encastrée en ses deux bords et
soumise à une charge répartie uniforme de densité linéique p (Figure ci-contre).
1. Quel est le degré d’hyperstaticité ?
Utiliser les conditions de symétrie et le théorème de Menabrea pour lever l’hyperstaticité (on
négligera l’effet de l’effort tranchant dans l’énergie de déformation). Déterminer les efforts intérieurs
et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
2. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la charge maximale pmax que peut supporter cette
poutre avant plastification (on négligera l’effet de l’effort tranchant) ; on désignera par e la limite
élastique en traction du matériau constituant la poutre.
3. Déterminer la déformée de la poutre.
Quel est le déplacement vertical du point milieu de la poutre (x=l) ?
Exercice 2
On considère un support de section triangulaire 0AB de hauteur h et de longueur
l=h/ 2 (figure ci-contre). La largeur L dans la direction z est très grande et on
suppose donc que l’on est dans une situation de déformation plane : le champ de
déplacement est donc supposé sous la forme suivante : ux (x,y) ; uy (x,y) et uz = 0.
Ce support est constitué d’un matériau élastique isotrope obéissant à la loi de Hooke avec un coefficient
de Poisson = 0. Il est parfaitement fixé le long de OA sur un mur rigide (encastrement) ; il est libre de
contrainte sur sa face OB et soumis, sur sa face AB, à une densité surfacique de force p

sous la forme
suivante : )
2
( y
x e
h
x
e
p
p





 ; p est une constante positive. On néglige les forces de volume.
1. Quelle est la forme générale des tenseurs de déformation et de contrainte ?
2. Ecrire les conditions aux limites sur les faces OA, AB et OB.
3. On cherche une solution en déplacement sous la forme suivante :
ux = x (a x – b y) uy = x (c x – d y) a, b, c, et d sont des constantes
Préciser la démarche à suivre pour trouver la solution de ce problème.
4. Trouver les champs de déplacement et de contrainte solution.
Formulaire (Notation du cours)  Loi de Hooke :  =


1
E
[ +


2
1
tr() 1]
 Milieu curviligne :
ds
u
d
s t






 


 )
(  t
n
ds
d
s 











)
(  









n
ds
u
d
s 



)
(
ES
N
n 

 ;
GI
Mt
n 

 ;
2
2
2
EJ
M f


 ;
3
3
3
EJ
M f



11 = -
S
N
+
3
3
J
M f
x2 -
2
2
J
M f
x3 J3 = 2
2 2 3
S
x dx dx
 J2 = 2
3 2 3
S
x dx dx

b
h
x
A
p
B
2l
y
O x
A B
l= h / 2 
y
h
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ENIM 1ère
année – Tronc commun 2010/2011
« Elasticité et RdM » - Examen principal
CORRIGE
Exercice 1
1. Inconnues de liaison : RA y
e

, RB y
e

, MA z
e

et Mb z
e

(4 inconnues)
Equilibre global : Forces selon y
e

et Moments selon z
e

(2 équations).
C’est donc un système hyperstatique d’ordre 2. Mais compte tenu de la symétrie du problème, le
système est hyperstatique d’ordre 1 (on choisit MA comme inconnue hyperstatique).
RA = RB = p l MB = -MA
 T = p (l – x)
Mf = MA –RA x + ½ p x2
= MA - ½ p x (2l - x)
2EJ W = 
l
f dx
M
2
0
2
A
M
W


= 0  MA =
3
1
pl2
 Mf =
6
1
p (2l2
– 6l x+3x2
)
2. Mfmax = p l2
/3 (au point A et B) ; VMmax = Mfmax h/2Jz = Mfmax 6/bh2
< e  pmax = e bh2
/2l2
3. Seule la composante z
 est non nulle, donc seules les composantes z de 

et uz deu

sont non
nulles : z
 = dz/dx = d2
uz/dx2
= - Mf /EJz = -
z
EJ
6
1
p (2l2
– 6l x+3x2
)
Avec les conditions : uy(0) = uy(2l) = 0 ; z(0) = z(2l) = 0
 z =
z
EJ
6
1
x (l-x) (2l - x) uy = -
z
EJ
24
1
p x2
(2l - x)2
uy(l) = -
z
EJ
24
1
p l4

Exercice 2
1. iz = 0 ; iz = 0 (i=x, y ou z)
Toutes les autres composantes ne dépendent que de x et y.
2. OA : ux(0,y) = uy(0,y) = 0
AB : n

 y
e

; y=h ; )
( y
e


 = p

 xy(x,h) = -p ; yy(x,h) = -2 p x/h
OB : n

 ( 2 x
e

- y
e

)/ 3 ; y= 2 x ; 

( n

)=0 yy(x, 2 x) = 2 xy(x, 2 x) = 2xx(x, 2 x)
3. Les CL cinématiques sont vérifiées. On détermine , puis . On cherche les valeurs des constantes
qui permettent de vérifier les équations d’équilibre et les CL statiques.
ux = x (a x – b y) uy = x (c x – d y) a, b, c, et d sont des constantes
4. xx = 2 a x – b y ; yy = - d x ; xy = ½ [(2c - b ) x – d y]
 xx = E (2a x – b y) ; yy = -E d x ; xy = ½ E [(2c - b ) x – d y]
v
i
d

 = 0  d = 4a ; b = 2c
CL sur OB  c = 2 a CL sur AB  a = p / 2Eh
 ux =
Eh
p
2
x (x – 2 2 y) uy =
Eh
p
2
x ( 2 x – 4 y)
xx =
h
p
(x - 2 y) yy = -2
h
p
x xy = -
h
p
y
b
h
x
A
p
B
2l
y
T
pl
x
2l
l
-pl
pl2
/3
Mf
x
2l
l
-pl2
/6
O x
A B
l= h/ 2 
y
h
12 pts
8 pts
6 pts
2 pts
4 pts
1 pt
3 pt
1 pt
5 pt
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2010/2011
Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen de rattrapage
juin 2011
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
On considère une poutre droite (Figure ci-contre) de longueur 3l et de section
droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Cette poutre est encastrée à un
bord (point A) et articulée à l’autre bord (point B) et soumise à une force verticale
F au point C.
1. Préciser les inconnues de liaison et écrire les équations d’équilibre global de la
poutre. Quel est le degré d’hyperstaticité ?
2. Utiliser le théorème de Menabrea pour lever l’hyperstaticité (on négligera l’effet de l’effort tranchant
dans l’énergie de déformation) et montrer que la réaction verticale de la liaison en A est RA = -23F/27.
3. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
4. Déterminer le déplacement vertical du point C.
Exercice 2
On considère un milieu continu élastique isotrope obéissant à la loi de Hooke
occupant un domaine cylindrique de révolution ( z
e

axe de révolution) de hauteur h et
de rayon a. Les forces de volume sont négligées et le tenseur de contrainte dans ce
milieu est supposé sous la forme ci-contre (en coordonnées cartésiennes) :
1. Ecrire les équations d’équilibre et en déduire que l’état de contrainte est indépendant de z et qu’il existe
une fonction (x,y) tel que xz = /y et yz = -/x.
Dans toute la suite du problème, l’état de contrainte est supposé linéaire par rapport aux coordonnées x et y et
la surface latérale (r=a, r étant la coordonnée cylindrique) est supposée libre de contraintes.
2. Montrer que l’on a nécessairement la forme suivante pour xz et yz :
xz = -c y ; yz = c x c est une constante
En déduire la fonction (x,y) en la choisissant nulle pour r=a.
3. Déterminer le vecteur contrainte relatif à un élément de surface de normale extérieure z
e

. En déduire que
le torseur résultant des efforts extérieurs appliqués sur une section droite (z=cte) se réduit à un moment
M porté par z
e

. Déterminer M en fonction de a et c
Montrer que M = 2 S
dxdy
y
x )
,
(
 , S étant la section droite (z=cte).
4. On considère le champs de déplacement suivant :
ux = -k y z uy = k x z uz = 0 k étant une constante
Montrer que, pour une valeur de c à déterminer en fonction de k et  (coefficient de Lamé), ce champ de
déplacement et le champ de contrainte trouvé à la question 2 sont la solution du problème du cylindre
soumis au moment de torsion M.
Formulaire (Notation du cours)
 Loi de Hooke :  = 2  + tr() 1
 Energie de déformation pour l’exercice 1 : W =½ ds
EJ
M
b
a
s
s
f

2
; J = S
dydz
y2
C
b
h
x
A
F
B
y
2l
l
 :










0
0
0
0
0
zy
zx
yz
xz




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ENIM 1ère
année – tronc commun 2010/2011
« Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage – juin 2011
CORRIGE
Exercice 1
1. 0n peut tout de suite remarquer qu’il n’y a pas d’éfforts selon l’axe x : dans
ce cas le sytème est hyperstatique d’ordre 1 : 3 inconues de liaison (RA, MA
et RB) et 2 équations d’équilibre (résulatante selon y et moment). On peut
choisir RA comme inconnue hyperstatique. Sinon, en considérant les
reactions de liaison selon x, le sytème est hyperstatique d’ordre 2 : 5
inconuues de liaison (RAx, RAy, MA, RBx et RBy) et 3 équations d’équilibre
(résulatante selon x et y et moment).
On peut choisir RAy et RAx comme inconnues hyperstatiques, mais on peut voir rapidement que la dérivée
de l’energie de déformation par rapport à RAx est nulle et donc RAx=0 ; et on revient à la situation initiale.
Equilibre  RB = - (F + RA) MA = l (3RA + 2F)
2. Levée d’hyperstaticité :
- 0<x<l : T = RA Mf = MA - RA x = l (3RA + 2F) - RA x
- l<x<3l : T = RA + F Mf = – RB (3l – x) = (F + RA) (3l – x)
2EJW =  

l
A
A dx
x
R
F
R
l
0
2
]
)
2
3
(
[ +  

l
l
A dx
x
l
F
R
3
2
2
)
3
(
)
(
W/RA = 0   


l
A
A dx
x
l
x
R
F
R
l
0
)
3
](
)
2
3
(
[ + (RA+F)  
l
l
dx
x
l
3
2
)
3
( = 0  RA = -
27
23
F
3. Efforts intérieurs :
- 0<x<l : T = -23F/27 Mf = F (23x - 15l)/27
- l<x<3l : T = 4 F/27 Mf = 4F (3l – x)
4. Déplacement vertical du point C : uC = W/F = 22 Fl3
/81EJ
Exercice 2
1. v
i
d

 = 0  xz,z = yz,z = 0 : Etat de contrainte indépendant de z
xz,x + yz,y = 0  (x,y) | xz = /y et yz = -/x.
2. Linéarité : xz = a1 + b1 x + c1 y ; yz = a2 + b2 x + c2 y
Equilibre  b1 + c2 = 0


( r
e

) = xz cos + yz sin = 0 (pour r=a)
 (a1 + b1 a cos + c1 a sin) cos+ (a2 + b2 a cos + c2 a sin) sin = 0 
Soit : a1 cos + a2 sin b1 a (cos2
 - sin2
 ) + (c1 + b2) a sin cos = 0 
 a1 = a2 = b1 = c2 = 0 ; b2 = - c1 = c
 xz = -c y ; yz = c x  (x,y) = ½ c (a2
– r2
) r2
= x2
+ y2
3. 

( z
e

) = xz x
e

+ yz y
e

= -c y x
e

+ c x y
e

= c r 
e

 ext
R

= S z dS
e )
(


 = 0 ;
ext
M

=  
S z
r dS
e
e
r )
(



 =M z
e

; M = 2c 
a
dr
r
0
3
= ½ca4
= 2 
a
rdr
0
2
(r) 
 = 2 S
dxdy
y
x )
,
(
 .
4. xx = yy = zz = xy = 0 ; xz = -½ k y ; yz = ½ k x ;  = 2  c =  k
Le champ de déplacement et le champ de contrainte vérifies les équations d’équilibre, les CL et la loi de
comportement, c’est donc une solution du problème du cylindre soumis au moment de torsion M.
C
b
h
x
A
F
B
y
2l
l
 :










0
0
0
0
0
zy
zx
yz
xz




T/F
x
l 3l
-23/27
-4/27
Mf /Fl
x
-15/27 l 3l
8
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1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
Avril 2012
Durée : 1h Aucun document autorisé
Questions :
1. Quelle est la forme générale du tenseur de déformation dans le cas de déformation plane ?
2. Qu’est ce qu’un Champ Statiquement Admissible ?
3. Qu’elle est la particularité d’un champ tensoriel symétrique vérifiant les équations de
compatibilité ?
Exercice :
On considère un parallélépipède rectangle dont les arrêtes sont
parallèles aux vecteurs orthonormés ( x
e

, y
e

, z
e

). La direction
selon z
e

est de longueur L et celles selon les directions x
e

et
y
e

sont de longueur 2R chacune. Ce parallélépipède est constitué
par un matériau élastique obéissant à la loi de Hooke. Il est
soumis à un champ de contrainte telle que seule la composante zz
est non nulle et est sous la forme suivante :
zz = a y
(x, y et z sont les coordonnées cartésiennes)
1. Montrer que ce champ de contrainte vérifie les équations d’équilibre (sans forces de volume).
2. Déterminer les densités surfaciques d’efforts extérieurs appliqués sur les différentes surfaces
frontières définies par : x = ± R, y = ± R, z = 0 et z = L.
3. Montrer que le torseur des efforts extérieurs appliqués sur la surface z = 0 se réduit à un moment
M

= M x
e

. Déterminer M en fonction de a et R.
4. Déterminer les composantes du tenseur de déformation.
5. 0n désigne par (u,v,w) les composantes du vecteur déplacement en coordonnées cartésiennes.
Ecrire toutes les équations différentielles permettant de déterminer ces composantes.
6. Montrer qu’à un champ de déplacement de solide rigide près, les composantes (u,v,w) sont sous
la forme suivante :
u = -
E
a

x y ; v =
E
a
2

( x2
- y2
) -
E
a
2
z2
; w =
E
a
y z
7. Tracer l’allure de la déformée de la ligne moyenne (x=0, y=0).
8. En désignant par J le moment d’inertie part rapport à l’axe x de la section droite (z=cte), vérifier
que M = E J 2
2
z
v


.
Loi de Hooke :  =
E


1
 -
E

tr 1
Bon travail
z
y
x
L
2R
2R
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ENIM-Tronc Commun - DS « Elasticité et RdM » CORRIGE 2011/2012
Questions :
1. Forme générale du tenseur de déformation dans le cas
de déformation plane :
2. Champ Statiquement Admissible : Champ de contrainte vérifiant les équations d’équilibre et les
conditions aux limites statique ?
3. Champ tensoriel symétrique vérifiant les équations de compatibilité : on peut trouver un champ
de vecteur tel que le champ tensoriel soit la partie symétrique du gradiant du champ vectoriel.
Exercice :
On considère un parallélépipède rectangle dont les arrêtes sont parallèles aux vecteurs orthonormés
( x
e

, y
e

, z
e

). La direction selon z
e

est de longueur L et celles selon les directions x
e

et y
e

sont de
longueur 2R. Ce parallélépipède est constitué par un matériau élastique obéissant à la loi de Hooke.
Il est soumis à un champ de contrainte telle que seule la composante zz est non nulle et est sous la
forme suivante :
zz = a y
(x, y et z sont les coordonnées cartésiennes)
1. Equations d’équilibre (sans forces de volume) : v
i
d

 = zz,z z
e

= 0.
2. x = ± R : n

=± x
e

; 

(± x
e

) = 0  surface libre de contraintes  1 pt
y = ± R : n

=± y
e

; 

(± y
e

) = 0  surface libre de contraintes  1 pt
z = L et z = 0 : n

=± z
e

; 

(± z
e

) = ± zz z
e

= a y z
e

 1 pt
3. z = 0 : n

=- z
e

; 

(- z
e

) = - a y z
e

Résultante : R

= -  






R
x
R
x
R
y
R
y
dx
dy
y
a z
e

= 0  1 pt
Moment : M

= -  








R
x
R
x
R
y
R
y z
y
x dx
dy
e
ay
e
y
e
x )
(
)
(



= -
3
4
aR4
x
e

= M x
e

; M =-
3
4
aR4
 2 pts
4. Loi de Hooke  xx = yy = - zz ; zz = ay/E ; les autres composantes sont nulles. (0.5pt ;0.5pt ;0.5pt)
5. u,x = -
E
a

y ; v,y = -
E
a

y ; w,z =
E
a
y  1.5 pt
u,y + v,x = 0 ; v,z + w,y = 0 ; w,x + u,z = 0  1.5 pt
6. Ces formes vérifient bien les équations de la question 5.
7. Equation de la ligne moyenne : v = -
E
a
2
z2
8. J =
3
4
R4
; 2
2
z
v


= -
E
a
 - E J 2
2
z
v


= =-
3
4
aR4
= M
(x,y)










0
0
0
0
0
yy
yx
xy
xx





4pts
4pts
16 pts
1 pt
1 pt
2 pts
1 pt
3 pts
3 pts
1.5 pt
3 pts
1.5 pt
1 pt
2 pts
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Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal
mai 2012
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
On considère une poutre droite de longueur 2l et de section droite rectangulaire de
hauteur h et de largeur b. Cette poutre est articulée à ses deux bords et soumise à une
charge répartie uniforme de densité linéique p (Figure ci-contre).
1. Déterminer les efforts de liaison en A et B.
2. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant ?
3. Déterminer la section droite ayant le moment fléchissant maximal (en valeur absolue). Quelle est la valeur
de la contrainte équivalente de Von Mises maximale en cette section ?
4. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la charge maximale pmax que peut supporter cette poutre
avant plastification (on négligera l’effet de l’effort tranchant) ; on désignera par e la limite élastique en
traction du matériau constituant la poutre.
5. Déterminer la déformée de la poutre (on négligera l’effet de l’effort tranchant).
Quel est le déplacement vertical du point milieu de la poutre (x=l) ?
Exercice 2
On considère un milieu continu soumis à un état de contrainte plane, dans le plan (x1,x2), défini, en coordonnées
cartésiennes, par la fonction d’Airy suivante :
; p et a sont des constantes positives
Montrer que les équations d’équilibre sont vérifiées (sans forces de volume) et que les seules composantes du
tenseur de contrainte non nulles sont 11 et 22 et sont sous la forme suivante :
;
1. Le milieu continu est un parallélépipède de section carrée dans le plan (x1,x2) et de côté
2a. Déterminer la répartition des efforts extérieurs sur les surfaces frontières x1 =  a et
x2 =  a. Tracer, dans le plan (x1,x2), la section carrée et la répartition des efforts
extérieurs sur les surfaces frontières.
2. Le milieu continu est supposé élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson
= 0. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. En déduire toutes les équations à dérivées
partielles permettant de déterminer les composantes u1(x1,x2) et u2(x1,x2) du vecteur déplacement .
3. Montrer que le champ de déplacement suivant est une solution du problème :
;
Tracer sur le même graphique, le carré et sa déformée (déterminer les déplacements des points A,B,C et D).
Formulaire Milieu curviligne :
Contrainte normale : 11 = -
S
N
+
3
3
J
M f
x2 -
2
2
J
M f
x3 J3 = 2
2 2 3
S
x dx dx
 ; J2 = 2
3 2 3
S
x dx dx

Loi de comportement :
ES
N
n 

 ;
GI
Mt
n 

 ;
2
2
2
EJ
M f


 ;
3
3
3
EJ
M f



Relations :
ds
u
d
s t






 


 )
( ; t
n
ds
d
s 











)
( ; 









n
ds
u
d
s 



)
(
b
h
x
A
p
B
2l
y
A
O x1
B
x2
C D
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Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal - CORRIGE
mai 2012
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
1. RA = RB = pl
2. T = RA – p x = p (l-x) ; Mf = -RA x + ½ p x2
= - ½ p x (2l – x)
Diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant :
3. Mfmax = ½ p l2
à x=l σvmmax = Mfmax h/2J = 6pl2
h/2bh3
= 3pl2
/bh2
4. σvmmax = σe ⇒ pmax = bh2
σe/3l2
5. Le mouvement se fait dans le plan (x,y), sans effort normal, donc seules la composante uy du déplacement et
la rotation ω selon z de la section droite sont non nulles.
⇒
𝑑𝜔
𝑑𝑥
=
𝑑2𝑢𝑦
𝑑𝑥2 = - Mf /EJ = 6 p x (2l – x) /Ebh3
uy(0) = 0 ; uy(2l) = 0 ⇒ uy = - 3
2Ebh
p
x (2l - x)(4l2
+ 2l x - x2
) uy(l) = - 3
2
5
Ebh
p
l4
Exercice 2
On considère un milieu continu soumis à un état de contrainte plane, dans le plan (x1,x2), défini, en coordonnées
cartésiennes, par la fonction d’Airy suivante :
∅ =
1
6
𝑝(𝑥1
3
+ 𝑥2
3
+ 3𝑎 𝑥1
2
+ 3𝑎 𝑥2
2
) ; p et a sont des constantes positives
1. 𝜎11 = 𝜙,22 = 𝑝(𝑥2 + 𝑎) 𝜎22 = 𝜙,11 = 𝑝(𝑥1 + 𝑎) 𝜎12 = −𝜙,12 = 0
2. x1 = ± a : n

= ± 1
e

; )
( 1
e


±
σ = ± 𝑝(𝑥2 + 𝑎) 1
e

x2 = ± a : n

= ± 2
e

; )
( 2
e


±
σ = ± 𝑝(𝑥1 + 𝑎) 2
e

3. 𝜀11 =
𝑝
𝐸
(𝑥2 + 𝑎) ; 𝜀22 =
𝑝
𝐸
(𝑥1 + 𝑎) ; Les autres composantes son nulles.
u1,1 = ε11 ; u2,2 = ε22 ; u1,2 + u2,1 = 0
4. Il suffit de vérifier les équations établies en 3.
𝑢1 =
𝑝
2𝐸
(𝑥2 + 𝑎)(2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑎) ; 𝑢2 =
𝑝
2𝐸
(𝑥1 + 𝑎)(2𝑥2 − 𝑥1 + 𝑎)
𝑢
�⃗(𝐴) = (
2𝑝𝑎2
𝐸
,
2𝑝𝑎2
𝐸
) ; 𝑢
�⃗(𝐵) = (
2𝑝𝑎2
𝐸
,0) ; 𝑢
�⃗(𝐶) = (0,0) ; 𝑢
�⃗(𝐷) = (0,
2𝑝𝑎2
𝐸
)
A
O x1
B
x2
C D
p
RA RB
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exelasr-12.docx Bon travail
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen de rattrapage
juin 2012
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
On considère une poutre droite de longueur 2l et de section droite rectangulaire de
hauteur h et de largeur b. Cette poutre est encastrée à son extrémité gauche et en appui
simple sur son extrémité droite. Elle est soumise à une charge répartie uniforme de
densité linéique p (Figure ci-contre).
1. Préciser les inconnues de liaison et écrire les équations d’équilibre global de la
poutre. Quel est le degré d’hyperstaticité ?
2. Utiliser le théorème de Menabrea pour lever l’hyperstaticité (on négligera l’effet de l’effort tranchant dans
l’énergie de déformation) et déterminer les efforts de liaison en A et B (on trouvera que la réaction verticale
de la liaison en A est RA = 5pl/4).
3. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant.
4. Déterminer la section droite ayant le moment fléchissant maximal (en valeur absolue). Quelle est la valeur
de la contrainte équivalente de Von Mises maximale en cette section ?
5. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la charge maximale pmax que peut supporter cette poutre
avant plastification (on négligera l’effet de l’effort tranchant) ; on désignera par σe la limite élastique en
traction du matériau constituant la poutre.
Exercice 2
On considère la poutre droite définie dans l’exercice 1et on va supposer que ce milieu est soumis à un champ de
déplacement de type « poutre » avec l’hypothèse de Navier-Bernouilli : la section droite subit un mouvement de
solide rigide et reste perpendiculaire à la déformée de la ligne moyenne (une section droite reste droite). Le
déplacement )
,
,
( 3
2
1 x
x
x
U

d’un point du milieu continu de coordonnées (x1,x2,x3) est donc :
)
,
,
( 3
2
1 x
x
x
U

= )
( 1
x
u

+ )
( 1
x
ω

∧ (x2 𝑒
⃗2+ x3 𝑒
⃗3) ; )
( 1
x
ω

= ωt (x1) 𝑒
⃗1+ 𝑒
⃗1 ∧
1
1)
(
dx
x
u
d

Les vecteurs u

(x1) et )
( 1
x
ω

sont respectivement le vecteur déplacement de la ligne moyenne et le vecteur
rotation de la section droite.
1. Déterminer les composantes des vecteurs )
( 1
x
χ

=
1
1)
(
dx
x
dω

et )
( 1
x
ε

=
1
1)
(
dx
x
u
d

+𝑒
⃗1∧ )
( 1
x
ω

.
2. Déterminer les composantes de 𝑈
�
�⃗ en fonction de celles de u

et de ωt. En déduire les composantes du
tenseur de déformation ε. Ecrire ces composantes en fonction de celles de χ

et de ε

.
3. Le milieu continu est supposé élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson
ν = 0 χ

. Déterminer les composantes du tenseur des contraintesσ en fonction de celles de et de ε

. En
déduire les composantes des efforts intérieurs (N, T2, T3, Mt, Mf2, Mf3) en fonction de celles de χ

et de ε

:
N = ∫
− S
dx
dx 3
2
11
σ T2 = ∫
− S
dx
dx 3
2
12
σ T3 = ∫
− S
dx
dx 3
2
13
σ
Mt = ( )
∫ −
S
dx
dx
x
x 3
2
2
13
3
12 σ
σ Mf2 = ∫
− S
dx
dx
x 3
2
3
11
σ Mf3 = ∫S
dx
dx
x 3
2
2
11
σ
Vérifier que l’on a bien les relations suivantes :
N = -ES ε1 Mt = -½ EI χ1 Mf2 = - EJ2 χ2 Mf3 = - EJ3 χ3
S étant l’aire de la section droite, J2 = 2
3 2 3
S
x dx dx
∫ , J3 = 2
2 2 3
S
x dx dx
∫ et I = J2 + J3
b
h
x1
A
p
B
2l
x2
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exelasr-12c.docx
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen de rattrapage , juin 2012, CORRIGE
Exercice 1
1. Inconnues de liaison : RA, MA, RB  0,5 pt
Equilibre global : RA + RB - 2pl = 0 MA + 2lRB – 2pl2
= 0  1 pt
Degré d’hyperstaticité : 1  0,5 pt
2. Choix inconnue Hyperstatique : RA  RB = 2pl-RA MA = 2l (RA – pl)  1 pt
T = RA – px1  0,5 pt Mf = MA – RA x1 + ½ px1
2
= RA (2l - x1) – 2pl2
+ ½ px1
2
 0,5 pt
W/RA = 0  
l
2
0
Mf (2l - x1)dx1 = 0  RA = 
l
2
0
( 2pl2
- ½ px1
2
) (2l - x1)dx1 / 
l
2
0
(2l - x1)2
dx1  0,5 pt
0,5 pt   RA = 5pl/4  2 pts RB = 3pl/4  0,5 pt MA = pl2
/2  0,5 pt
3. T = p(5l/4 - x1)  0,5 pt Mf = p(2x1
2
- 5lx1 + 2l2
)/4 = p(2l-x1)(l-2x1)/4  1 pt
4. Section droite ayant le moment fléchissant maximal : Section en A  0,5 pt
Mfmax = ½ pl2
 0,5 pt  vmmax = Mfmax h/2J = 6pl2
h/2bh3
= 3pl2
/bh2
 1 pt
5. vmmax = e  pmax = bh2
e/3l2
Exercice 2
1. )
( 1
x


=
1
1)
(
dx
x
d

=
1
dx
d t

+  2
1
2
dx
u
d

 1 =
1
dx
d t

 0,5 pt 2 = - 2
1
3
2
dx
u
d
 0,5 pt 3 = 2
1
2
2
dx
u
d
 0,5 pt


=
1
dx
u
d

+  ( 
1
dx
u
d

) =
1
1
dx
du
 1 =
1
1
dx
du
 0,5 pt 2 = 0  0,5 pt 3 = 0  0,5 pt
2. U1 = u1 -
1
2
dx
du
x2 -
1
3
dx
du
x3  0,5 pt U2 = u2 - x3 t  0,5 pt U3 = u3 + x2 t  0,5 pt
 11 =
1
1
dx
du
- 2
1
2
2
dx
u
d
x2 - 2
1
3
2
dx
u
d
x3 = 1 - 3 x2 + 2 x3  1 pt
12 = 21 = -½
1
dx
d t

x3 = -½ 1 x3  0,5 pt 13 = 31 = ½
1
dx
d t

x2 = ½ 1 x2  0,5 pt
Les autres composantes sont nulles.
3.  = E   11 = E(1 - 3 x2 + 2 x3)  0,5 pt 12 = 21 = -½ E 1 x3  0,5 pt 13 = 31 = ½ E 1 x2  0,5 pt
N = 
 S
dx
dx 3
2
11
 = -ES1  0,5 pt T2 = 
 S
dx
dx 3
2
12
 = 0  0,5 pt T3 = 
 S
dx
dx 3
2
13
 = 0  0,5 pt
Mt =  
 
S
dx
dx
x
x 3
2
2
13
3
12 
 = ½ EI 1  0,5 pt I =  
 
S
dx
dx
x
x 3
2
2
2
2
3 = J2+J3
Mf2 = 
 S
dx
dx
x 3
2
3
11
 = - EJ2 2  0,5 pt J2 = S
dx
dx
x 3
2
2
3
Mf3 = S
dx
dx
x 3
2
2
11
 = - EJ3 3  0,5 pt J3 = S
dx
dx
x 3
2
2
2
14 pts
11 pts
2 pts
6 pts
3 pts
2 pts
2 pts
1 pt
3 pts
3,5 pts
4,5 pts
 0,5 pt  0,5 pt
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2012/2013
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Devoir surveillé
Avril 2013
Durée : 1h Aucun document autorisé
Exercice 1 :
On considère un état de contrainte plane dans un plan (𝑒
⃗1, 𝑒
⃗2).
1. Quelle est la forme générale du tenseur de contrainte ?
2. En déduire la forme générale du tenseur de déformation.
3. Déterminer ε33 en fonction de (ε11 + ε22 ). On rappelle la loi de Hooke :
σ =
𝐸
1+𝜈
(ε +
𝜈
1−2𝜈
trε 1)
4. On considère la fonction d’Airy ci-dessous, déterminer les composantes du tenseur de contrainte
associé :
Φ = A (x1
4
+ x2
4
– 6 x1
2
x2
2
)
Exercice 2 :
On considère un milieu élastique constitué par un cube dont la section dans
le plan (𝑒
⃗1, 𝑒
⃗2) est le carré représenté par la figure ci contre. Ce milieu
continu est soumis à un état de déformation plane défini par le champ de
déplacement suivant dans le plan (𝑒
⃗1, 𝑒
⃗2) ; la constante a est supposée très
petite devant 1 (hypothèse des petites perturbations) :
u1 = a x1 (x1
2
- 3x2
2
)
u2 = a x2 (x2
2
- 3x1
2
)
1. Déterminer les composantes du tenseur de déformation ε. En déduire les composantes du
tenseur de contrainte σ.
2. Montrer que ce champ de contrainte vérifie les équations d’équilibre (les forces de volume sont
négligées).
3. Déterminer la densité surfacique d’efforts appliqués sur les différentes faces du cube.
4. On considère les points matériels suivants dans le plan x3 = 0 :
A(-1,-1), B(-1,1), C(1,1), D(1,-1) ; E(-1,0), F(0,1), G(1,0), H(0,-1)
Déterminer le déplacement de ces 8 points et en déduire la déformée du carrée (sa forme
déformée).
Bon travail
𝑒
⃗1
1
-1
-1
1
𝑒
⃗2
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ENIM-Tronc Commun - DS « Elasticité et RdM » CORRIGE 2012/2013
Exercice 1 :
On considère un état de contrainte plane dans un plan (𝑒
⃗1, 𝑒
⃗2).
1. Forme générale du tenseur de contrainte : Les composantes σι3 sont nulles. → 1 pt
2. Forme générale du tenseur de déformation : Les composantes ε13 et ε23 sont nulles. → 1 pt
3. σ33 = 0 ⇒ ε33 +
𝜈
1−2𝜈
(ε11 + ε22 + ε33) = 0 ⇒ ε33 = -
𝜈
1−𝜈
(ε11 + ε22) → 1.5 pts
4. σ11 = Φ,22 = 12 A (x2
2
– x1
2
) ; σ22 = Φ,11 = 12 A (x1
2
– x2
2
) ; σ12 = -Φ,12 = 24 A x1 x2 → 1.5 pts
Exercice 2 :
u1 = a x1 (x1
2
- 3x2
2
) ; u2 = a x2 (x2
2
- 3x1
2
)
1. ε11 = - ε22 = 3a (x1
2
- x2
2
) ; ε12 = -6a x1 x2 ; les autres sont nulles. → 2.5 pts
σ11 = - σ22 =
𝐸
1+𝜈
3a (x1
2
- x2
2
) ; σ12 = -
𝐸
1+𝜈
6a x1 x2 ; les autres sont nulles. → 1 pt
2. Eq. Equilibre : v
i
d

σ = 0 vérifiée.
Rq. L’état de contrainte est le même que celui de la question 4 de l’exercice 1 ; il dérive d’une
fonction d’Airy, l’équilibre est donc automatiquement vérifié.
3. Densité surfacique d’efforts appliqués sur les différentes faces du cube :
x1 = 1 n

: =𝑒
⃗1 ; σ

(𝑒
⃗1 ) =
𝐸
1+𝜈
3a [(1- x2
2
) 𝑒
⃗1 - 2x2 𝑒
⃗2] → 1 pt
x1 = -1 n

: =-𝑒
⃗1 ; σ

(-𝑒
⃗1 ) =
𝐸
1+𝜈
3a [-(1- x2
2
) 𝑒
⃗1 - 2 x2 𝑒
⃗2] → 1 pt
x2 = 1 n

: =𝑒
⃗2 ; σ

(𝑒
⃗2) =
𝐸
1+𝜈
3a [-2 x1 𝑒
⃗1 + (1- x1
2
) 𝑒
⃗2] → 1 pt
x2 = -1 n

: =-𝑒
⃗2 ; σ

(-𝑒
⃗2) =
𝐸
1+𝜈
3a [-2 x1 𝑒
⃗1 - (1- x1
2
) 𝑒
⃗2] → 1 pt
x3 = cte n

: =±𝑒
⃗3 ; σ

(±𝑒
⃗3 ) = 0 → surface libre de contraintes → 1 pt
4. 𝑢
�⃗(A) = 2a ( 𝑒
⃗1 + 𝑒
⃗2 ) 𝑢
�⃗(B) = 2a ( 𝑒
⃗1 - 𝑒
⃗2 ) 𝑢
�⃗(C) = -2a ( 𝑒
⃗1 + 𝑒
⃗2 ) 𝑢
�⃗(D) = 2a ( - 𝑒
⃗1 + 𝑒
⃗2 )
𝑢
�⃗(E) = -a 𝑒
⃗1 ; 𝑢
�⃗(F) = a 𝑒
⃗2 𝑢
�⃗(G) = a 𝑒
⃗1 𝑢
�⃗(H) = -a 𝑒
⃗2
→ 0.5 pt par déplacement juste (2 pts maxi)
Déformée du carré → 1 pt par situation (a>0, a<0) (2 pts maxi)
a = - 0.1 a = 0.1
5 pts
3.5 pts
2.5 pts
5 pts
4 pts
15 pts
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2012/2013
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen principal
Mai 2013
Durée : 2h Aucun document autorisé
Exercice 1
On considère une poutre dont la ligne moyenne constitue un quart de cercle de
rayon R (figure ci-contre). Cette poutre est encastrée en son extrémité A et
soumise à une force concentrée F

= -F y

en son extrémité B. La section droite de
la poutre est rectangulaire, d’épaisseur e (selon l’axe 3
x

) et de hauteur h (selon
l’axe 2
x

). Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope.
1. Déterminer les efforts de liaison en A.
2. Déterminer les efforts intérieurs (N, T et Mf).
3. Déterminer l’énergie de déformation W en négligeant les effets de l’effort
normal et de l’effort tranchant.
4. Déterminer le déplacement vertical (selon y

) du point B.
5. En utilisant le critère de Von Mises, déterminer l’effort maximal Fmax que peut supporter la poutre. La
limite élastique en traction du matériau est notée e.
Rappel : en flexion, la contrainte normale  = Mf x2/ J
Exercice 2
On considère un disque de rayon a et de hauteur h constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope de
module d’Young E et de coefficient de Poisson  = 0. On utilisera les coordonnées cylindriques d’axe de
révolution z
e

. Ce disque est soumis à une densité volumique de force radiale f

= k r r
e

(k cte positive).
1. Ecrire toutes les conditions aux limites. Le problème est-il régulier ?
2. Formuler le problème à résoudre pour déterminer le champ de contrainte  et de déplacement u

(écrire toutes les équations que doivent vérifier ces champs).
Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une solution
en déplacement sous la forme suivante : u

= u(r) r
e

3. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. On rappelle les composante, en coordonnées
cylindriques, du gradient d’une fonction vectorielle de la forme de u

:
Gradu

=u,r r
e

 r
e

+u/r 
e

 
e

4. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte. En déduire les composantes du déviateur de
contrainte. Indiquer les conditions aux limites qui sont automatiquement vérifiées par cette forme du
tenseur de contrainte.
L’application des équations de Navier sur le champ u

abouti à une équation différentielle du second ordre
dont la solution générale permettant d’avoir un déplacement fini en r=0 est :
u(r)= -
E
k
8
r3
+ C r
5. Déterminer la constante C pour que ce champ de déplacement soit solution du problème.
6. Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises maximale et en déduire la valeur maximale de k
que peut supporter le disque selon le critère de Von Mises ; on désigne par e la limite élastique en
traction du matériau.
Rappel : VM
 =
2
3
(D
: D
)1/2
Bon travail
3
x

 z

3
x

2
x

e
h
x

x

y

A
B
F


O


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1ère
année – Tronc commun, « Elasticité et RdM », Examen principal, Mai 2013
CORRIGE
Exercice 1
1. A
F

= - F

= F y

 0.5 pt A
M

=R F z

 0.5 pt
2. En un point M de coordonnée s=R :
M
R

= A
F

 0.5 pt A
M

= R F cos z

 0.5 pt


= cos y

+ sin x

; 2
x

= sin y

- cos x

; N = M
R

.

; T = M
R

. 2
x


N = F cos  0.5 pt T = F sin  0.5 pt Mf = R F cos  0.5 pt
3. W=
EJ
R
2 2
0
2


d
M f =
EJ
8
1
R3
F2
= 3
2
3
2
3
Eeh
F
R

 2 pts J=eh3
/12
4. uy(B) = -
dF
dW
= - 3
3
3
Eeh
F
R

 1 pt
 f Max = R F  0.5 pt Vmmax R F h /2J = 6R F /eh2
= e  Fmax =eh2
e /6R  1 pt
Exercice 2
1. Conditions aux limites :
r=a : n

= r
e

; 

( r
e

) = 0  0.5 pt
z=0 : n

= - z
e

; 

( z
e

) = 0  0.5 pt
z=h : n

= z
e

; 

( z
e

) = 0  0.5 pt
Problème régulier.  0.5 pt
2. Problème à résoudre : déterminer  et u

vérifiant
Eq. d’équilibre : v
i
d

 + f

= 0  0.5 pt
CL : (r=a). r
e

= 0 ; (z= 0). z
e

= 0 ; (z=h). z
e

= 0  0.5 pt
Loi de comportement :  = E [u

]S
 0.5 pt
3. r = u,r ;  = u/r ; toutes les autres composantes son nulles.  0.5 pt ; 0.5 pt ; 0.5 pt
4. r = E u,r ;  = E u/r ; toutes les autres composantes son nulles.  0.5 pt ; 0.5 pt ; 0.5 pt
D
r =
3
1
E (2u,r - u/r) ; D
 =
3
1
E (2u/r - u,r) ; D
z =
3
1
E (u,r + u/r) ; les autres composantes son nulles.
 0.5 pt 0.5 pt ; 0.5 pt 0.5 pt
Les CL en z=0 et z=h sont vérifiés.  0.5 pt
5. u(r)= -
E
k
8
r3
+ C r ; on doit vérifier la CL en r=a  r(a) = -
8
3
a2
+E C = 0  1 pt
 C =
E
ka
8
3 2
 0.5 pt  u(r)=
E
k
8
r(3a2
– r2
)
6. VM =
2
3
(D
r
2
+D

2
+D
z
2
)1/2
u(r)=
E
k
8
r (3a2
– r2
) ; u,r(r) =
E
k
8
3
(a2
– r2
)  VM =
8
k 2
2
4
4
12
7
9 a
r
r
a 
  1 pt
Maxi atteint pour r=0  0.5 pt  VMmax =
8
3 2
ka
 0.5 pt  kmax = 2
3
8
a
e  0.5 pt
1 pt
2 pts
4 pts
2.5 pts
1 pt
1.5 pts
2 pts
8 pts
13 pts
1.5 pts
1.5 pts
1.5 pts
2.5 pts
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exelasr-13.doc 1/2 Tournez la page svp
1ère
année – Tronc commun
« Elasticité et RdM »
Examen de rattrapage
Juin 2013
Durée : 2h Aucun document autorisé
On considère un tube cylindrique creux de rayon intérieur a, de
rayon extérieur b, de longueur L et de masse volumique ,
constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope. Ce tube est collé
à un barreau rigide de rayon a. Cet assemblage tourne autour de
son axe à une vitesse angulaire  positive constante, à l’intérieur
d’un tambour fixe et rigide de rayon b (figure ci-contre). Le
contact entre le tube et le tambour est avec frottement. Les
extrémités de l’assemblage glissent sans frottement sur deux plans
rigides, fixes, parallèles et distants de L.
Il s’agit de déterminer :
- Les champs de contrainte et de déplacement dans le tube ;
- Le couple exercé sur le barreau pour maintenir le mouvement.
On considère un système de coordonnées cylindrique (r,,z) attaché au tube (qui tourne donc par
rapport au tambour avec la même vitesse de rotation ). Le tube est donc soumis à une densité
volumique de force radiale, due aux efforts d’inertie :
f

=  r
r
e

Le matériau constituant le tube obéit à la loi de Hooke :  = 2  +  tr 1.
Le contact tube/tambour est du type Coulomb ; la contrainte tangentielle r en un point de
l’interface est donc proportionnelle à la contrainte normale rr :
r = k rr ; k étant le coefficient de frottement.
Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une
solution en déplacement sous la forme suivante :
u

= ur(r) r
e

+ u(r) 
e

1. Ecrire toutes les conditions aux limites.
2. Ecrire les équations à résoudre pour déterminer le champ de contrainte  et de déplacement
u

(autres que les conditions aux limites).
3. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. En déduire les composantes du
tenseur de contrainte. Quelles sont les conditions aux limites automatiquement vérifiées ?
4. Ecrire les équations d’équilibre et montrer qu’elles aboutissent aux deux équations
différentielles du second ordre suivantes :
)]
(
1
[ r
ru
dr
d
r
dr
d
= -
)
2
(
2





r ; )]
(
1
[ 
ru
dr
d
r
dr
d
= 0
5. Montrer que les solutions générales des deux équations différentielles citées ci-dessus sont :
ur = A r +
r
B
-
)
2
(
8
2





r3
; u = C r +
r
D
Tube
Barreau
a
b 
Tambour
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exelasr-13.doc 2/2
6. Ecrire les 4 relations permettant de déterminer les 4 constantes A, B, C et D.
7. On montre que la contrainte tangentielle r est :
r = - 2
2
2
2
2
4
)
(
r
b
a
b
k 


Déterminer le couple exercé sur le barreau pour maintenir le mouvement.
Bon travail
_________________________________________________________________________
Formulaire
Opérateurs vectoriels, en coordonnées cylindriques, de fonctions ne dépendant que de r :
Gradu

=ur,r r
e

 r
e

+
r
ur

e

 
e

-
r
u
r
e

 
e

+ u,r 
e

 r
e

v
i
d

F = = [Frr,r +
1
r
(Frr - F)] r
e

+ [Fr,r +
1
r
(Fr+ Fr)] 
e

+ [Fzr,r +
1
r
Fzr] z
e

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ENI M – TC - Examen de rattrapage Elasticité et RdM » juin 2013 2012/2013
exelasr-13c.doc
CORRIGE
u

= ur(r) r
e

+ u(r) 
e

f

=  r
r
e

1. Ecrire toutes les conditions aux limites.
r=a : u

= 0  1 pt
r=b : u

. r
e

= ur = 0  1 pt
( r
e

). 
e

= k ( r
e

). r
e

 1 pt
z=0 et z=L : uz = 0 ;  1 pt ( z
e

). 
e

= 0 ;  1 pt ( z
e

). r
e

= 0  1 pt
2. Equations à résoudre (autres que les conditions aux limites) :
v
i
d

 +  r
r
e

= 0 ;  1 pt  = 2  +  tr 1 ;  0.5 pt  = [u

]S
 0.5 pt
3. Composantes non nulles de :
 rr = ur,r ;  0.5 pt  = ur/r ;  0.5 pt r = r = ½ (u,r - u /r)  0.5 pt
Composantes non nulles de :
 rr = 2 ur,r +  (ur,r + ur /r) ;  0.5 pt  = 2 ur /r +  (ur,r + ur /r) ;  0.5 pt
 zz =  (ur,r + ur /r) ;  0.5 pt  =  =  (u,r - u /r)  0.5 pt
Conditions aux limites automatiquement vérifiées : celles pour z=0 et z=L.  0.5 pt
4. v
i
d

 +  r
r
e

= 0 
() (ur,rr +
r
u r
r,
- 2
r
ur
) = () )]
(
1
[ r
ru
dr
d
r
dr
d
= - 2
r  1 pt
(u,r +
r
u
),r = )]
(
1
[ 
ru
dr
d
r
dr
d
= 0  1 pt
5. Solutions générales évidentes :
ur = A r +
r
B
-
)
2
(
8
2





r3
 1 pt ; u = C r +
r
D
 1 pt
6. CL : ur(a)=0 ; ur(b)=0 ; u(a)=0 ; r (b) = k rr (b)  2 pts
7. Pour maintenir le mouvement de rotation uniforme de l’ensemble barreau/tube, il faut
exercer sur le barreau un couple C qui équilibre le couple dû au frottement tube/tambour :
C = - 

 

2
0
2
)
( d
Lb
b
r = ½  k  
L b2
(b2
– a2
)  2 pts
Tube
Barreau
a
b 
Tambour
6 pts
2 pts
4 pts
2 pts
2 pts
2 pts
2 pts
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Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2014/2015
RdMexp-14-tc.doc – A. Dogui
1ère
année – Génie Mécanique
« Résistance des Matériaux »
Examen principal
Décembre 2014
Durée : 2h Aucun document autorisé
Certaines questions de cet examen nécessitent des calculs assez longs (questions 2 et 6) ;
il est fortement conseillé de décrire précisément la démarche à utiliser pour répondre à
ces questions avant d’aborder les calculs.
On considère une poutre droite encastrée à ces bords en A et D
(Figure ci-contre). Elle est soumise à une densité linéique de force
constante p sur le tronçon BC. La section droite de la poutre est
rectangulaire, d’épaisseur e (selon l’axe z

) et de hauteur h (selon
l’axe y

). Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire
isotrope de limite élastique en traction e.
 Efforts intérieurs
1. Quel est le degré d’hyperstaticité du système ?
En utilisant la symétrie du système et en négligeant les effets de l’effort tranchant et de l’effort
normal dans l’énergie de déformation, montrez que les efforts de liaison en A et D se réduisent à une
réaction selon l’axe y et un moment selon l’axe z (aucun calcul n’est demandé) :
RA = RD = R ; MA = - MD = M
2. Déterminer R et M (on néglige l’effet de l’effort tranchant dans le calcul de l’énergie de déformation).
3. Déterminez les efforts intérieurs et tracer leurs diagrammes.
 Dimensionnement
4. Quels sont les points de la poutre les plus sollicités en moment de flexion ?
Montrez que la valeur maximale (en valeur absolue) du moment fléchissant est : |Mf|max =13pl2
/36.
5. En utilisant le critère de Tresca, déterminer la valeur maximale de p que peut supporter la poutre.
 Déformée
6. Nous considérons l’hypothèse de Navier-Bernoulli ; l’effet de l’effort tranchant est donc négligé. On
désigne par u

le déplacement de la ligne moyenne et par 

la rotation de la section droite :
u

= u(x) y

; 

= u’(x) z

Déterminer les composantes du torseur de déformation en fonction des efforts intérieurs. En déduire
le déplacement u(x). Tracer l’allure de la déformée de la ligne moyenne.
____________________
Formulaire :
- Contrainte équivalente de Tresca : TR
 = Sup |i -j |.
- Flexion avec hypothèse de Navier Bernoulli :
11 =
3
3
J
M f
x2 -
2
2
J
M f
x3 2 = -
ds
du3
; 3 =
ds
du2
 
2
2
2
EJ
M f


 
3
3
3
EJ
M f


 
Bon courage
y

z

e
h
D
p
A
l
l l
B C
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ENIM - GM1 « Résistance des Matériaux » - Examen principal 2014/2015
RdMexp-14-tc.doc – A. Dogui
CORRIGE
 Efforts intérieurs
1. - Degré d’hyperstaticité du système : 6 Inc ; 3 Eq.  h=3
- Symétrie du système  RAy = RDy = R ; MA = - MD = M : RDx = -RAx  h=2
- En prenant RAx comme une des deux inconnues hyperstatique, la partie relative à l’effort normal
dans l’énergie de déformation (N=RAx), est proportionnelle à N2
; en annulant la dérivée de cette partie
par rapport à N, on trouve que N=RAx=0 :  h=1
2. - Détermination de R : Equilibre des efforts selon y

 R = ½ pl
- Détermination de M par le théorème de Menabria
Démarche : On calcule l’énergie de déformation en fonction de M (compte tenu de la symétrie du
système, on se limite au calcul de l’énergie de la moitié de la poutre) et à partir de l’équation W/M =
0, on détermine M.
MfAB = M - ½ plx ; MfBC = M + ½ p(x2
+l2
-3lx)
 4EJ W =  
l
dx
plx
M
0
2
)
2
( +  


2
/
3
2
2
2
))
3
(
2
(
l
l
dx
lx
l
x
p
M
W/M = 0  3Ml =p 
l
lxdx
0
- p
 

2
/
3
2
2
)
3
(
l
l
dx
lx
l
x  M =
36
13
pl2
3. Efforts intérieurs :
TAB = ½ pl ; TBC = 3/2 pl ; TCD = -½ pl
MfAB = ½ pl (
18
13
l – x) MfA =
36
13
pl2
MfBC = ½ p (
18
31
l2
– 3lx + x2
) MfB = -
36
5
pl2
= - MfC
MfCD = ½ pl (
18
13
l – (3l-x)) MfD = -
36
13
pl2
= -MfA
 Dimensionnement
4. Les points les plus sollicités en moment de flexion : A et D |Mf|max =13pl2
/36.
5. Flexion avec effort tranchant négligé  TR
 = |max = ½ h|Mf|max/Jz =
b
h
l
2
2
36
13
p
TR
  e  p  e 2
2
13
6
l
b
h
 Déformée
6. Démarche :
- On détermine les composantes du torseur de déformation en fonction des efforts intérieurs :
(Toujours, pour cause de symétrie, on peut se limiter à la moitié de la poutre)
z
fz
z
EJ
M


 
z
fAB
AB
EJ
M


 
z
EJ
pl
2
(
18
13
l – x) ;
z
fBC
BC
EJ
M


 
z
EJ
p
2
(
18
31
l2
– 3lx + x2
)
- On détermine les composantes du torseur de déplacement par intégration des composantes du
tenseur de déformation par rapport à x :
z = z’(x) = u’’(x) = - Mfz/EJz  uAB’’(x) = - 
z
EJ
pl
2
(
18
13
l – x) ; uBC’’(x) = 
z
EJ
p
2
(
18
31
l2
– 3lx + x2
)
- On utilise les conditions aux limites suivantes :
Encastrement en A : uAB’(0) = 0 ; uAB(0) = 0
Continuité en B : uAB’(l) = uBC’(l) ; uAB(l) = uBC(l)
- On obtient :
uAB = -
z
EJ
pl
72
x2
(13l – 6x)
uBC = -
z
EJ
p
72
(3x4
-18lx3
+31l2
x2
-12l3
x +3l4
)
2T/pl
x
2l
1
-1
l 3l
36Mf/pl2
13
-5
x
2l
l
3l
-9.5
D
p
A
l
l l
B C
y

z

e
h
EJz u/pl x/l
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Résistance des matériaux examens et série d'exercices corrigés

  • 1. UNIVERSITE DE MONASTIR ECOLE NATIONALE D'INGENIEURS DE MONASTIR Résistance des Matériaux Examens Corrigés Tronc Commun - 1ère année (jusqu’à 2012/2013) 1ère année Génie Mécanique (à partir de 2014/2015) A. DOGUI Octobre 2018 www.4geniecivil.com www.bit.ly/3zNafjI
  • 2.  2006/2007 DS Examen principal Examen de rattrapage  2007/2008 DS Examen de rattrapage  2008/2009 DS Examen principal  2009/2010 DS Examen principal Examen de rattrapage  2010/2011 DS Examen principal Examen de rattrapage  2011/2012 DS Examen principal Examen de rattrapage  2012/2013 DS Examen principal Examen de rattrapage  2014/2015 Examen principal  2015/2016 Examen principal 2016/2017 Examen principal  2017/2018 Examen principal  www.4geniecivil.com
  • 3. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2006/2007 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé 5 mars 2007 Durée : 1h Aucun document autorisé On considère une couronne cylindrique de révolution de rayon intérieur rint, de rayon extérieur rext et d’épaisseur e. Cette couronne est soumise sur sa surface cylindrique intérieure à une pression pint et sur sa surface cylindrique extérieure à une pression pext. Les forces de volume sont négligées. On cherche à déterminer les champs de déplacement u r et de contrainte σ dans cette couronne. Dans tout le problème on travaillera en coordonnées cylindriques et on cherchera une solution en déformation plane. Compte tenu de la symétrie cylindrique du problème, on cherche une solution en déplacement sous la forme suivante : u r = u(r) r e r . 1. Expliquer clairement les étapes de résolution de ce problème. Préciser en particulier toutes les conditions que doivent satisfaire les champs de déplacement u r et de contrainte σ. 2. Quelles sont les composantes non nulles, en coordonnées cylindriques, de σ ? 3. Ecrire, en fonction de ces composantes, les conditions aux limites sur les surfaces r=rint et r=rext. 4. On trouve une solution sous la forme u(r) = a r + r b , a et b étant des constantes. Expliquer clairement comment peut-on déterminer les valeurs de ces constantes ? 5. On trouve la solution en contrainte suivante : σrr = 2 2 int 2 2 2 2 2 2 2 int int ) ( ) ( ) ( r r r r r r p r r r p ext i ext ext ext − − + − − σθθ = 2 2 int 2 2 2 2 2 2 2 int int ) ( ) ( ) ( r r r r r r p r r r p ext i ext ext ext − + − + Déterminer σzz. 6. Quelle est la densité surfacique de force extérieure appliquée sur les surfaces planes de la couronne (z=0 et z=e). www.4geniecivil.com
  • 4. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2006/2007 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé - Corrigé 5 mars 2007 1. Expliquer clairement les étapes de résolution de ce problème. Préciser en particulier toutes les conditions que doivent satisfaire les champs de déplacement u  et de contrainte .  doit vérifier les équations d’équilibre et les conditions aux limites statiques et u  doivent être liés par la loi Hooke. Résolution : - Equations de Navier  équation différentielle du second ordre en u par rapport à r. Ou, calcul de  puis  par loi de Hooke, puis équations d’équilibre  eq. diff. - Résolution de l’equ. Diff.  solution générale dépendante de 2 constantes - CL sur les contraintes  détermination des constantes. 2. Quelles sont les composantes non nulles, en coordonnées cylindriques, de  ? : rr, , zz. 3. Ecrire, en fonction de ces composantes, les conditions aux limites sur les surfaces r=rint et r=rext. rr(r=rint) = -pint rr(r=rext) = -pext 4. On trouve une solution sous la forme u(r) = a r + r b , a et b étant des constantes. Expliquer clairement comment peut-on déterminer les valeurs de ces constantes ? On calcule  puis  et on écrit les CL (question 3). 5. On trouve la solution en contrainte suivante : rr = 2 2 int 2 2 2 2 2 2 2 int int ) ( ) ( ) ( r r r r r r p r r r p ext i ext ext ext       = 2 2 int 2 2 2 2 2 2 2 int int ) ( ) ( ) ( r r r r r r p r r r p ext i ext ext ext     Déterminer zz. Déformation plane donc zz =  (rr + ) = 2 2 int 2 2 2 int int r r r p r p ext ext ext   6. Quelle est la densité surfacique de force extérieure appliquée sur les surfaces planes de la couronne (z=0 et z=e). z=0, z e n     d   = -. z e  = -zz z e  z=e, z e n    d   = . z e  = zz z e  6 pts 3 pts 3 pts 2 pts 3 pts 3 pts www.4geniecivil.com
  • 5. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2006/2007 Tourner la page SVP 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal mai 2007 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 : flexion 3 points On considère une poutre droite de longueur l, sur deux appuis à ces extrémités, soumise à son milieu à une force concentrée F (voir figure ci-contre). La section droite de la poutre est rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de limite d’élasticité en traction σe. 1. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes correspondants. 2. Déterminer l’énergie de déformation de la poutre en fonction de F, l, b, h et le module d’Young E (on néglige les effets de l’effort tranchant). 3. On désigne par la flèche f le déplacement vertical (en valeur absolue) du point C, point d’application de F. Déterminer cette flèche en fonction de F, l, b, h et le module d’Young E et en déduite la rigidité en flexion k=F/f. 4. Déterminer la valeur maximale de la force F que peut supporter cette poutre avant plastification. Exercice 2 : Compression d’un barreau On étudie l’écrasement d’un barreau cylindrique de rayon a et de hauteur h entre deux blocs rigides. Le bloc inférieur est fixe et indéformable. Le bloc supérieur est aussi indéformable et soumis à un déplacement vertical U donné (selon l’axe z), voir figure ci-contre. On désigne par P la force verticale nécessaire à l’écrasement du barreau et par k la rigidité de ce dernier : k =P/U. Le barreau cylindrique est complètement adhérent aux deux blocs rigides. Il est constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope obéissant à la loi de Hooke. L’objectif de cet exercice est de déterminer la rigidité k de ce barreau. 1. Déterminer, pour les champs de contrainte et de déplacement solution, le travail des efforts extérieurs dans le déplacement donné Tu d et le travail des efforts donnés dans le champ de déplacement solution Tf d . En déduire que l’énergie potentielle, l’énergie complémentaire et l’énergie de déformation des champs solutions sont : K=H=W=½ PU 2. On considère le champ de déplacement suivant : z e h z U u r r − = ~ . Vérifier que ce champ est cinématiquement admissible et montrer qu’il ne peut pas être solution de ce problème élastique. Préciser qu’elles sont les conditions qui ne peuvent pas être vérifiées par ce choix. A F C B l/2 l/2 b h h U r z a www.4geniecivil.com
  • 6. 3. Déterminer l’énergie potentielle du champ cinématiquement admissible défini en 2 et en déduire une borne supérieure (ksup) de k. 4. On considère un champ de contrainte homogène unidirectionnel et tel que seule la composante zz σ ) =σ ) est non nulle. Vérifier que ce champ est statiquement admissible et montrer qu’il ne peut pas être solution de ce problème élastique. Préciser qu’elles sont les conditions qui ne peuvent pas être vérifiées par ce choix. 5. Déterminer l’énergie complémentaire du champ de contrainte statiquement admissible défini en 4. Déterminer la force P ) en fonction deσ ) . 6. Déterminer la valeur optimale de P ) maximisant l’énergie complémentaire et en déduire une borne inférieur (kinf) de k. 7. Déterminer le rapport ksup/ kinf. Quelle est sa valeur pour ν = 0.3 ? Formulaire • Loi de Hooke : σ = ν + 1 E [ ε + ν ν 2 1− tr(ε) 1] • Contrainte équivalente de Von Mises : σvm = (3 σD : σD / 2)1/2 • Energie potentielle d’un CCA : K(u ~ r ) = W(u ~ r ) - d f T (u ~ r ) • Energie complémentaire d’un CSA : H(σ ) ) = d u T (σ ) ) - W(σ ) ) • Energie de déformation d’une poutre : W =½ ds GS T GS T EJ M EJ M GI M ES N poutre f f t ∫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 www.4geniecivil.com
  • 7. ENIM- TC – Elasticité & RdM – examen principal CORRIGE 2006/2007 Exercice 1 : flexion 3 points 1. RA = RB = F/2 0.5pt x<l/2 : T=F/2 Mf = -Fx/2 ; x>l/2 : T=-F/2 Mf = -F(l-x)/2 2. W =  l f dx M EJ 0 2 2 1 0.5pt J= 12 3 bh 0.5pt  W = 3 3 2 8Ebh l F 1pt 3. f = F W   = 3 3 4Ebh Fl 1pt  k = 3 3 4 l h Eb 0.5pt  max = - 2 max h J Mf = 2 4 h J Fl =e  Fmax= l b h e 3 2 2   Exercice 2 : Compression d’un barreau 1. Tu d = PU 0.5pt Tf d = 0 0.5pt K=W- Tf d = W ; H = Tu d – W =PU – W ; K=H  W=½ PU  K=H=W=½ PU 2. z e h z U u     ~ : 0 ) 0 ( ~  u  z e U h u     ) ( ~ donc CCA 1pt             1 0 0 0 0 0 0 0 0 ~ h U                        1 0 0 0 0 0 0 ) 2 1 )( 1 ( ~ h EU  ) , ( a r er     0 donc CLS non vérifiée 1,5pt 3. K ~ =   dv W   ~ : ~ 2 1 ~ =   h U a E 2 2 2 1,5pt avec  ) 2 1 )( 1 ( 1       K= ½ PU=½ kU2  K ~  k  ksup =   h a E 2 1,5pt 4. 0 v i d     et ) , ( a r er     =0 donc eq. d’équ. Et CLS vérifiées  CSA 1pt               0 0 0 0 0 0 0 0                1 0 0 0 0 0 0    E     ux linéaire/x : incompatible avec CLC 1,5pt 5. P  = -  a2 1pt   dv W      : 2 1 = 2 2 2 a E P h    H  = P  U- 2 2 2 a E P h   1pt 6. 0  P d H d    h U a E Popt 2     h U a E H 2 2 2 max     H=½ kU2  k  kinf = h a E 2  7. inf sup k k = ) 2 1 )( 1 ( 1        = 0.3  = 1.35 h U r z a RA F C l/2 l/2 RB T x l/2 l F/2 -F/2 Mf x l/2 l -Fl/4 7 pts 15 pts 2 pts 2 pts 2,5 pts 2,5 pts 2 pts 2 pts 1 pts 3 pts 1,5 pts 2 pts 0.5pts 0.5pts 1,5 pts www.4geniecivil.com
  • 8. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère année – Tronc commun 2006/2007 « Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage - juin 2007 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 : On considère une poutre droite de longueur l, sur deux appuis à ces extrémités, soumise à une densité linéique de force p (voir figure ci-contre). La section droite de la poutre est rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de limite d’élasticité en traction σe. 1. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes correspondants. 2. Déterminer la déformée de la poutre. En déduire la flèche f (valeur absolue du déplacement vertical du point milieu de la poutre) en fonction de p, l, b, h et du module d’Young E. Déterminer la rigidité en flexion k=pl/f. 3. Déterminer la valeur maximale de p que peut supporter cette poutre avant plastification. Exercice 2 : Compression d’un barreau On étudie l’écrasement d’un barreau cylindrique creux, de rayon intérieur a, de rayon extérieur b et de hauteur h, entre deux blocs rigides. Le bloc inférieur est fixe et indéformable. Le bloc supérieur est aussi indéformable et soumit à un déplacement vertical U donné (selon l’axe z), voir figure ci-contre. On désigne par P la force verticale nécessaire à l’écrasement du barreau. Le contact entre le barreau cylindrique et les deux blocs rigides est sans frottement. Le barreau cylindrique est constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope de module d’Young E ayant un coefficient de Poisson ν et de limite élastique en traction σe. 1. Ecrire toutes les conditions aux limites statiques et cinématiques (explicitez les en fonction des composantes du vecteur déplacement et du tenseur de contrainte). 2. On cherche une solution homogène en contrainte. Donner, dans ce cas, la forme générale d’un champ de contrainte statiquement admissible. 3. On cherche une solution homogène en contrainte telle que seule la composante σzz =σ du tenseur de contrainte est non nulle. Déterminer le tenseur de déformation correspondant à ce champ de contrainte. 4. Déterminer le champ de déplacement solution. En déduire la valeur de la contrainte σ en fonction de U. 5. Déterminer P(U). 6. Déterminer la valeur maximale de U avant plastification. Formulaire • Loi de Hooke : σ = ν + 1 E [ ε + ν ν 2 1− tr(ε) 1] • Contrainte équivalente de Von Mises : σvm = (3 σD : σD / 2)1/2 • z z r r e z u e r u u r v r ) ( ) ( + = ⇒ [∇u v ]rr = ur,r ; [∇u v ]θθ = ur /r ; [∇u v ]zz = uz,z ; les autres composantes sont nulles. A p B l b h h r z b U a www.4geniecivil.com
  • 9. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère année – Tronc commun 2006/2007 « Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage juin 2007 CORRIGE Exercice 1 : 1. N=0 0.5 pt ; T = p( ) 2 x l  1pt ; Mf = - ½ p x (l-x) 1pt 0.5pt 1pt 2. Mf = - EJ y’’ ; intégration avec CL : y(0)=y(l)=0  y(x) = ) )( ( 24 2 2 x lx l l x x EJ p    3pt f = -y(l/2) = EJ pl 30 4 = 3 4 5 2 Ebh pl 0.5 pt k = 3 3 2 5 l Ebh 0.5 pt 3. J h M f 2 max max   = 2 2 4 3 bh pl  e  pmax = e l bh  2 2 3 4 Exercice 2 : Compression d’un barreau 1. z=0 : u3 = 0 ; rz = z = 0 1.5 pt z=h : u3 = -U ; rz = z = 0 1.5 pt r=a : rr = rz = r = 0 0.5 pt 2. Les seules composantes non nulles sont zz et  3. rr = -  E  ;  = -  E  ; zz = E  Les autres composantes sont nulles. 4.  = ur/r  ur = - E  r 1 pt ; zz = uz,z = E   uz = E  z 1 pt u = 0 0.5 pt uz(z=h) = -U   = h EU  1 pt 5. P(U) = -b2 -a2 ) = h a b EU 2 2   6.  = h EU  e  Umax = E h e  A p B l b h Pl/2 Pl/2 T x l/2 l pl/2 -pl/2 Mf x l/2 l -pl2 /8 10 pts 4 pts 10 pts 2 pts 4 pts 3.5 pts 0.5 pts 0.5 pts 3.5 pts 1 pts 1 pts www.4geniecivil.com
  • 10. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2007/2008 Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé mars 2008 Durée : 1h Aucun document autorisé Nous allons nous intéresser à la résolution de problèmes élastiques avec symétrie sphérique. Nous nous plaçons donc en coordonnées sphériques et nous supposons que le champ de déplacement est radial et ne dépend que de r : u r = u(r) r e r Les forces de volume sont négligées. Le milieu considéré est élastique linéaire isotrope de coefficients élastiques λ et μ. Calculs préliminaires 1. Montrer que ce champ de déplacement est nécessairement sous la forme suivante : u = c1 r + 2 2 r c c1 et c2 sont des constantes 2. Déterminer les composantes du tenseur de déformations. 3. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte. Sphère pleine sous pression extérieure Le milieu est une sphère pleine de rayon a soumis à une pression extérieure p. 4. Déterminer les constantes c1 et c2. 5. En déduire les composantes du tenseur de contrainte. Sphère creuse sous pression intérieure Le milieu est maintenant une sphère creuse de rayon intérieur a et de rayon extérieur b soumis à une pression intérieure p. La surface r=b est libre de contrainte. 6. Comment déterminer les constantes c1 et c2. 7. Déterminer les constantes c1 et c2. 8. En déduire les composantes du tenseur de contrainte. Formulaire en coordonnées sphériques : div( r V) = Vr,r + r 2 Vr + 1 r Vθ,θ + r g r θ θ θ φ φ cot V V sin 1 , + ∇ r V= ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + − + − r g r r r r g r r r r θ θ θ θ θ θ φ φ θ φ φ φ φ θ θ θ θ φ φ θ θ cot V V V sin 1 V V cot V V sin 1 V V V V sin V V V V r , , r , , r , r , r, 2 r, r r, ; r ∇f = f,r r e r + 1 r f,θ r e θ + θ sin 1 r f,φ r e φ Rot r ( r V)=[ r g r r θ θ φ φ θ θ φ cot V V sin 1 V 1 , , + − ] r e r+[ r r r r φ φ φ θ V V V sin 1 , , − − ] r e θ+ 1 r [(rVθ),r - Vr,θ)] r e φ Equations de Navier : (λ+2μ) u div r r ∇ - μ rot r rot r u r + f r = 0 Loi de Hooke : σ = 2μ ε + λ trε 1 www.4geniecivil.com
  • 11. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2007/2008 Bon travail 1ère année Tronc commun - « Elasticité et RdM » - Devoir surveillé CORRIGE u  = u(r) r e  Calculs préliminaires 1. Equations de Navier => u div    =0 => div u  = C (cte) => (r2 u),r = C r2 => u = c1 r + 2 2 r c c1 et c2 sont des constantes 2. rr = u,r = c1 - 2 3 2 r c ;  =  = u/r = c1 + 3 2 r c ; les autres sont nulles 3. rr = (2+3) c1 - 4 3 2 r c ;  =  = (2+3) c1 + 2 3 2 r c ; les autres sont nulles Sphère pleine sous pression extérieure Le milieu est une sphère pleine de rayon a soumis à une pression extérieure p. 4. u fini en r=0 => c2 = 0 rr(r=a) = -p => c1 = - p/(2+3) 5. rr =  =  = -p ; les autres sont nulles Sphère creuse sous pression intérieure Le milieu est maintenant une sphère creuse de rayon intérieur a et de rayon extérieur b soumis à une pression intérieure p. 6. rr(r=a) = -p ; rr(r=a) = 0 => c1 et c2. 7. c1 =   3 2  p 3 3 3 a b a  c2 =  4 p 3 3 3 3 a b b a  8. rr = -p ( 3 3 3 3 a b r b   ) 3 3 r a ;  =  = p ( 3 3 3 3 2 a b r b   ) 3 3 2r a www.4geniecivil.com
  • 12. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère année – Tronc commun 2007/2008 exelasr-08.doc Bon Travail « Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage juin 2008 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 : On considère la structure définie par la figure ci-contre, constituée de deux poutres OB et AB. Ces deux poutres sont articulées entre elles en B. La poutre OB est encastrée en O et soumise à son milieu à une force concentrée F. La poutre AB est articulée en A. 1. Montrer que cette structure est hyperstatique d’ordre 1. 2. Montrer que la poutre AB est soumise uniquement à la compression. Quelle est la direction de l’effort de liaison exercé par AB sur OB au point B ? On désigne par R Cet effort. Et on choisira R comme inconnue hyperstatique. 3. Déterminer tous les efforts des liaisons en fonction de l’inconnue hyperstatique R. 4. Déterminer tous les efforts intérieurs dans la poutre OB en fonction de l’inconnue hyperstatique R. 5. En négligeant les effets de l’effort normal et de l’effort tranchant, lever l’hyperstaticité et déterminer R en fonction de F. 6. Tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant. 7. Déterminer le déplacement vertical du point C. Rappel : L’énergie de déformation élémentaire due au moment fléchissant s’écrit : dW = ½ EJ Mf 2 ds Exercice 2 : On considère une plaque dont la géométrie est définie par la figure ci contre. Cette plaque est soumise au champ de contrainte suivant (dans le repère i e r ) : σ : ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 σ σ = a h x3 a est une constante 1. Montrer que les surfaces x3 = ± h et x2 = ± b sont libres de contrainte. 2. Montrer que le torseur des efforts extérieurs sur la surface x1=l, au centre de la section, est un couple de flexion M suivant 2 e r . Déterminer la valeur de ce couple en fonction de a et des dimensions de la plaque. Le matériau constituant la plaque est élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν. 3. Déterminer le champ de déformation dans la plaque. 4. Montrer que le champ de déplacement suivant est solution de ce problème : u1 = hE x a 2 3 (2x1 – l) u2 = hE x x a 2 3 ν − u3 = hE a 2 [ν (x2 2 – x3 2 )+x1 (l-x1) ] Tracer l’allure de la déformée de la surface moyenne (x3 = 0). Rappel : Loi de Hooke ε = E ν + 1 σ - E ν tr(σ) 1 A B O 45° C F l l y x 2 2h 2b 3 e r 1 e r 2 e r l www.4geniecivil.com
  • 13. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – 1ère année – Tronc commun 2007/2008 exelasr-08c.doc Bon Travail « Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage - juin 2008 CORRIGE Exercice 1 : 1. Montrer que cette structure est hyperstatique d’ordre 1. Inconnues de liaison : 7 (3 en O, 2 en B, 2 en A) Eq. d’équilibre : 6 (3 pour OB et 3 pou AB) 2. Equilibre de AB : 2 forces dont directement opposées. La direction de l’effort de liaison exercé par AB sur OB au point B est la doite AB. 3. Equilibre de OB : XO + R/ 2 = 0  XO = -R/ 2 YO+ R/ 2 - F = 0  YO =F - R/ 2 MO + 2 Rl- Fl = 0  MO = Fl - 2 Rl 4. Déterminer tous les efforts intérieurs dans la poutre OB en fonction de l’inconnue hyperstatique R. - 0<x<l : N = -R/ 2 T = F - R/ 2 Mf = (x-2l) R/ 2 +F(l-x) - l<x<2l : N = -R/ 2 T = - R/ 2 Mf =(x-2l)R/ 2 5. En négligeant les effets de l’effort normal et de l’effort tranchant, lever l’hyperstaticité et déterminer R en fonction de F. 2EJ W=  l 0 [(x-2l) R/ 2 +F(l-x)] dx +  l l 2 [(x-2l)R/ 2 ] dx dW/dR = 0  R = 16 5 2 F 6. Tracer les diagrammes de l’effort normal, de l’effort tranchant et du moment fléchissant. - 0<x<l : N = - 16 5 F T = 16 11 F Mf =(x-2l) 16 5 F +(l-x) F - l<x<2l : N = - 16 5 F T = - 16 5 F Mf =(x-2l) 16 5 F 7. Déterminer le déplacement vertical du point C. W= 192 7 EJ F l 2 3 uc = dF dW = 96 7 EJ F l3 Exercice 2 : 1. Montrer que les surfaces x3 = ± h et x2 = ± b sont libres de contrainte. x3 = ± h : n  = 3 e     ( 3 e  ) = 0 x2 = ± b : n  = 2 e     ( 2 e  ) = 0 2. Montrer que le torseur des efforts extérieurs sur la surface x1=l, au centre de la section, est un couple de flexion M suivant 2 e  . Déterminer la valeur de ce couple en fonction de a et des dimensions de la plaque. Hypestatique d’ordre 1 N/F T/F Mf/lF 5/16 l -5/16 -5/16 -5/16 11/16 l 2l l 2l l 2l x x www.4geniecivil.com
  • 14. x1 =l : n  = 1 e     ( 1 e  ) = h ax3 1 e  R  = S ds e ) ( 1    = 2ab  h h dx h x 3 3 1 e  = 0 M  =    S dx dx e e x e x 3 2 1 3 3 2 2 ) ( ) (      = 2ab  h h dx h x 3 2 3 2 e  = 3 4 abh2 2 e  3. Déterminer le champ de déformation dans la plaque.                0 0 0 0 0 0 1  Eh ax3 4. Montrer que le champ de déplacement suivant est solution de ce problème : u1 = hE x a 2 3 (2x1 – l) u2 = hE x x a 2 3   u3 = hE a 2 [(x2 2 – x3 2 )+x1 (l-x1) ] u1,1 =  u2,2 = u3,3 = - ui,j + uj,i =  (pour i≠j) Solution Tracer l’allure de la déformée de la surface moyenne (x3 = 0). x3 = 0  u1 = u2 = 0 u3 = hE a 2 [x2 2 +x1 (l-x1) ] www.4geniecivil.com
  • 15. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2008/2009 Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé avril 2009 Durée : 1h Aucun document autorisé On considère un bloc cylindrique de révolution, d’axe vertical (z), de rayon R et de hauteur h. Ce bloc est constitué d’un matériau élastique de module d’Young E de coefficient de poisson  et de masse volumique . Ce bloc repose sur un ballon qui, lui-même, repose sur un massif rigide (voir figure ci-contre). Les efforts appliqués par le ballon sur le bloc se réduisent donc à une pression hydrostatique p. Le bloc n’est soumit à aucun autre effort sauf son propre poids (forces de volume). L’objectif de ce problème est de déterminer le champ de contrainte et de déplacement dans le bloc cylindrique. 1. En écrivant l’équilibre global du bloc, déterminer la pression p dans le ballon. 2. Ecrire précisément toutes les conditions aux limites de ce problème et dire si c’est un problème régulier ou non. Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une solution en contrainte sous la forme suivante : zz = (z) ; toutes les autres composantes nulles 3. Qu’elle est la condition à imposer sur (z) pour que ce champ de contrainte vérifie les conditions aux limites statiques ? 4. Montrer, à partir des équations d’équilibre, que la solution en contrainte est sous la forme suivante (en prenant l’origine des z au point de contact du bloc avec le ballon et en désignant par g l’accélération de la pesanteur) : (z) =  g (z-h) 5. Est-ce que les équations de Beltrami sont vérifiées ? Justifiez votre réponse. 6. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. 7. La solution en déplacement est elle-unique ? Justifiez votre réponse. 8. Ecrire les équations permettant de déterminer les composantes du vecteur déplacement. 9. Montrer que le champ de déplacement suivant est une solution : ux = - E  x g (z-h) uy = - E  y g (z-h) uz = E 2 1  g [z(z-2h) + (x2 +y2 )] 10. Tracer l’allure de la déformée du bloc. Loi de Hooke :  =   1 E (  +   2 1 tr 1) Bloc Ballon Massif rigide z www.4geniecivil.com
  • 16. ENIM-1ère année, Tronc commun, « Elasticité et RdM » Devoir surveillé, avril 2009, CORRIGE ------------ 1. En écrivant l’équilibre global du bloc, déterminer la pression p dans le ballon. p S = g S h  p = g h 2. Ecrire précisément toutes les conditions aux limites de ce problème et dire si c’est un problème régulier ou non. Surface r=R : . r e  = 0 Surface z=h : . z e  = 0 Surface z=0 : . z e  = -p z e  Problème régulier : le vecteur contrainte est connu en chaque point de la frontière. 3. Qu’elle est la condition à imposer sur (z) pour que ce champ de contrainte vérifie les conditions aux limites statiques ? (0) = -p g h (en choisissant l’origine des z le point de contact avec le ballon) 4. Montrer, à partir des équations d’équilibre, que la solution en contrainte est sous la forme suivante (en prenant l’origine des z au point de contact du bloc avec le ballon et en désignant par g l’accélération de la pesanteur) :  v i d  g z e  = 0  (z) =  g z + Cte CL Statique en z=0  (z) =  g (z-h) 5. Est-ce que les équations de Beltrami sont vérifiées ? Justifiez votre réponse. Oui puisque le champ de contrainte est linéaire (les équations de Beltrami font intervenir des dérivées secondes des contraintes) et les forces de volumes son constantes (les équations de Beltrami font intervenir des dérivées premières des forces de volume). 6. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. Loi de Hooke  zz/ E ; xx = yy = -/ E (ou rr =  = -/ E) 7. La solution en déplacement est elle-unique ? Justifiez votre réponse. La solution est à un mouvement de solide rigide général près puisqu’aucune condition aux limites cinématique n’est imposée. 8. Ecrire les équations permettant de déterminer les composantes du vecteur déplacement. ux,x = - g (z-h)/E ; uy,y = - g (z-h)/E ; uz,x =  g (z-h)/E ux,y + uy,x = 0 ; uy,z + uz,y = 0 ; uz,x + ux,z = 0 9. Montrer que le champ de déplacement suivant est une solution : Il suffit de vérifier que ½ (ui,j+uj,i)=ij 10. Tracer l’allure de la déformée du bloc. www.4geniecivil.com
  • 17. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2008/2009 Tourner la page SVP 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal juin 2009 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 : Poutre sur 3 appuis On considère une poutre droite de longueur l, sur trois appuis aux points A, B et C, soumise au milieu de AC (point D) à une force concentrée F (voir figure ci-contre). La section droite de la poutre est rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de limite d’élasticité en traction σe. 1. Montrer que cette structure est hyperstatique d’ordre 1. 2. On choisi comme inconnue hyperstatique la réaction en C (RC). Déterminer les réactions en A (RA) et B (RB) en fonction de RC. 3. Lever l’hyperstaticité en utilisant le théorème de Menabrea (on néglige les effets de l’effort tranchant) et montrer que F RC 16 11 − = . En déduire les valeurs de RA et RB. 4. Tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. 5. En quelle section droite le moment fléchissant est le plus grand ? quelle est sa valeur ? En déduire la contrainte équivalente de Von Mises Maxi en fonction de F, l, h et b dans cette section droite. 6. Déterminer le déplacement vertical du point D en fonction de F, l, b, h et le module d’Young E. 7. Déterminer la valeur maximale de la force F que peut supporter cette poutre avant plastification (selon le critère de Von Mises). Exercice 2 : Flexion d’un parallélépipède On considère un barreau parallélépipédique de longueur L de hauteur h et d’épaisseur a (voir figure ci-contre). Ce barreau est constitué d’un matériau élastique isotrope de module d’Youg E et de coefficient de Poisson ν. Ce barreau est soumis aux sollicitations suivantes : - Les forces de volume sont négligées. - Les surfaces latérales x2 = ± h/2 et x3 = ± a/2 sont libres de contrainte. - Sur la face x1 = 0 on impose u1=0 et σ2=σ3=0. - Sur la face x1 = L on impose u1=α x2 et σ2=σ3=0 (α est une constante). Les composantes ui et σi sont celles des vecteur respectivement déplacement et contrainte. On cherche à déterminer les champs de contrainte et de déplacement dans ce parallélépipède. 1. Ce problème est-il régulier ? Justifier votre réponse. A F C B l/2 l/2 b h D x1 x3 x2 L a h www.4geniecivil.com
  • 18. On considère un champ de contrainte de traction-compression non homogène tel que seule la composante σ11 est non nulle et supposée sous la forme suivante (k est une constante) : σ11 = k x2 2. Montrer que ce champ de contrainte est statiquement admissible pour ce problème. 3. Montrer que le torseur des efforts extérieurs sur la surface x1 = L se réduit à un moment M selon l’axe x3. Déterminer M. 4. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. On considère un champ de déplacement sous la forme suivante (c1,c2 et c3 sont des constantes) : u1 = c1 x1x2 ; u2 = - ½ c1 x1 2 +c2(x3 2 - x2 2 ) ; u3 = c3 x2x3 5. Déterminer les valeurs des constantes c1,c2, c3 et k pour que ce champ de déplacement et le champ de contrainte précédent soient solution du problème. Formulaire • Loi de Hooke : ε = E ν + 1 σ − E ν tr(σ) 1 • Contrainte équivalente de Von Mises : σvm = (3 σD : σD / 2)1/2 • Energie de déformation d’une poutre : W =½ ds GS T GS T EJ M EJ M GI M ES N poutre f f t ∫ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + 3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 • Relations contraintes/efforts intérieurs dans une poutre (Notation du cours) : σ11 = - N S + 3 3 J M f x2 - 2 2 J M f x3 σ12 = - I Mt ϕ,3 - 3 2 J T α - 2 3 J T γ σ13 = I Mt ϕ,2 - 3 2 J T β - 2 3 J T δ J3 = 2 2 2 3 S x dx dx ∫ J2 = 2 3 2 3 S x dx dx ∫ www.4geniecivil.com
  • 19. 1ère année – Tronc commun - « Elasticité et RdM » - CORRIGE Examen principal 2008/2009 Exercice 1 : Poutre sur 3 appuis 1. 3 inconnues de liaison (RA,RB,RC) est 2 relations statique  Hyperstatique d’ordre 1 2. Equilibre statique  RA = -3F/4 – RC /2 ; RB = -F/4 – RC /2 3. 0<x<l/4 : Mf = Mf1 = - RA x = (3F/4+ RC /2)x l/4 <x<l/2: Mf = Mf2= - RA x-F(x-l/4) = ½ RC x+F(l-x)/4 0<x<l/4 : Mf = Mf3 = - RB (l-x) = (F/4+ RC /2)(l-x) 2EJW=  4 / 0 2 1 l f dx M +  2 / 4 / 2 2 l l f dx M +  l l f dx M 2 / 2 3 C R W   = 0  RC = - 16 11 F  RA = - 32 13 F ; RB = 32 3 F 4. Diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. 5. Mfmax En D : MfD = 13Fl/128 ; VM  = MfD h/2J = 2 64 39 bh Fl 6. uD = F W   = 3 3 1024 23 Ebh Fl 7. VM  = e  Fmax = e l bh  2 39 64 Exercice 2 : Flexion d’un parallélépipède 1. Problème régulier : en chaque point de la frontière on connait 3 composantes non duales des vecteurs contrainte et déplacement. 2. v i d   = 0  équilibre vérifié ; 2 x  .(± 1 x  )=0 ; 3 x  .(± 1 x  )=0  CL sur x1 = 0 et L vérifiées (± 2 x  )=0  CL sur x2 = ± h/2 vérifiée ; (± 3 x  )=0  CL sur x2 = ± a/2 vérifiée  Champ statiquement admissible 3. ) ( 1 x    = k x2 1 x   3 2 1) ( dx dx x S     = 0 3 2 1 3 3 2 2 ) ( ) ( dx dx x x x x x S         = M 3 x  M = - kah3 /12 4. 11 = k x2 /E 22 =33 = 11 Les autres sont nulles 5. CL cinématique : u1( x1=0) vérifiée ; u1( x1=L)= x2  c1 = /L 11 = k x2 /E  k = E /L 33 = 11  c3 = /L 22 =  11  c2 =  /2L et on vérifie bien que 12 =23 =31 = 0 Les équations d’équilibre, les conditions aux limites et les relations de comportement sont vérifiées, c’est donc la solution. -13/32 19/32 T/F -3/32 x/l 1/4 1/2 1 Mf /Fl x/l 1 1/2 1/4 13/128 -3/64 www.4geniecivil.com
  • 20. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2009/2010 Tourner la page svp 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé mars 2010 Durée : 1h Aucun document autorisé On considère un disque cylindrique de révolution autour de l’axe z e  , de rayon a et de longueur h. Ce disque est constitué d’un matériau homogène élastique linéaire de masse volumique . Ce disque est maintenu entre deux blocs rigides fixes (voir figure ci-contre). Le contact entre le disque et les blocs rigides est parfait (sans frottement). Le disque est en mouvement de rotation uniforme de vitesse angulaire  z e  . Ce mouvement crée, en chaque point du disque à une distance r de son centre, une force volumique (force d’inertie) f  = r 2 r e  (on se place dans un référentiel attaché au disque). On néglige l’effet de la pesanteur. La surface latérale du disque n’est soumise à aucun effort extérieure. On cherche à déterminer les champs de déplacement, de déformation et de contrainte, en fonction de la vitesse de rotation  en chaque point du disque. 1. Ecrire toutes les conditions aux limites et dire si le problème est régulier ou non. Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une solution en déplacement sous la forme suivante : u  = u(r) r e  2. Ecrire l’équation différentielle que doit vérifier u(r). 3. Déterminer la solution générale (à une constante C près) de l’équation différentielle trouvée dans la question précédente, en imposant que le déplacement u doit être fini pour r=0. 4. Déterminer les composantes du tenseur de déformation en coordonnées cylindriques. 5. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte en coordonnées cylindriques. Montrer que, pour une valeur donnée, à déterminer, de la constante C, toutes les conditions aux limites sont satisfaites. 6. En termes de contrainte équivalente de Tresca, le point le plus sollicité est le centre du disque (r=0). Les composantes du tenseur de contrainte en ce point (r=0) sont : rr =  = ) 1 ( 8 2 3     2 a2 zz = ) 1 ( 8 2 3     22 a2 Déterminer, en utilisant le critère de limite élastique de Tresca, la vitesse de rotation maximale max qui peut être supportée par ce disque, sans qu’il n’y ai aucune plastification. 7. AN : Le disque est en acier : = 0,3 ;  = 7800 kg m-3 ; e = 400 MPa ; a = 0,5 m. Déterminer max en tr/mn. Blocs z e  h a www.4geniecivil.com
  • 21. Formulaire en coordonnées cylindriques : div(  V) = 1 r Vr + Vr,r + 1 r V, + Vz,z   V= = V V V V V V V V V V V r,r r, r,z ,r , r ,z z,r z, z,z                          r r r dans (  e r,  e ,  e z) ;  f = f,r  e r + 1 r f,  e  + f,z  e z Rot  (  V) = [ 1 r Vz, - V,z]  e r + [Vr,z - Vz,r]  e  + 1 r [(rV),r - Vr,)]  e z Equations de Navier : () u div    -  rot rot u + f = 0 Ou : 2   2 1 1   u div    - rot rot u + 2 E   1 f = 0 Loi de Hooke :  = 2  +  tr 1 Ou :  =   1 E ( +   2 1 tr 1) ) 1 )( 2 1 (        E ; ) 1 ( 2     E www.4geniecivil.com
  • 22. ENIM -1ère année – Tronc commun - « Elasticité et RdM » - DS - mars 2010 develas-10c.doc – A. Dogui CORRIGE 1. Conditions aux limites : - sur la surface r=a : 0 . ) (   r r e e    σ  - sur les surfaces z=0 et z=h : 0 ) .( . ). (     z r r z e e e e      σ  0 ) .( . ). (     z z e e e e      σ    0 .  z e u   Donc c’est un problème régulier. 2. Equations de Navier : () u div    -  rot rot u + f = 0. rot u = 0 ; u div    = r r r e u r u  , , ) (  ; f  = r 2 r e   () r r u r u , , ) (  + r 2 = 0 3. Solution : r r u r u , , ) (  = r r ru r , , ) ) ( 1 ( = - ) 2 ( 2      u = - ) 2 ( 8 2     r3 + C r (u fini pour r=0) 4. u  = u(r) r e   Les seules composantes non nulles de  sont : rr = u,r = - ) 2 ( 8 3 2     r2 +C  = u/r = - ) 2 ( 8 2     r2 +C 5. Les seules composantes non nulles de  sont : rr = ()rr +  = - ) 2 ( 4 ) 3 2 ( 2        r2 +2()C  = ()+ rr= - ) 2 ( 4 ) 2 ( 2        r2 +2()C zz = (rr+) = - ) 2 ( 2 2     r2 +2C CL Statique : pour r=a 0 ) (  r e     rr(R) = 0  C =            ( ) 2 ( 8 ) 3 2 ( 2 a2 Pour z=0 et z=h : z zz z e e         ) (  CL satisfaites CL cinématiques automatiquement satisfaites. 6. Tresca (au point r=a). rr =  = ) 1 ( 8 2 3     2 a2 ; zz = 2 ) 1 ( 8 2 3     2 a2  tresca = rr -zz = ) 1 ( 8 ) 2 1 )( 2 3 (       2 a2  Début plastification quand tresca= e ; soit :  = 2 ) 2 3 )( 2 1 ( ) 1 ( 2       2 a e   7. AN :  = 0,3 ;  = 7800 kgm-3 ; e = 400 MPa ; a = 0,6 m  l = 912 rad/s soit 8705 tr/mn www.4geniecivil.com
  • 23. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2009/2010 Tourner la page SVP 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal mai 2010 Durée : 2h Aucun document autorisé Flexion déviée On considère une poutre droite de longueur l (selon l’axe x  ) et de section droite rectangulaire de hauteur h (selon l’axe y  ) et de largeur b (selon l’axe z  ). Les axes y  et z  sont donc les axes principaux d’inertie de la section droite. Cette poutre est encastrée en A (x=0) et soumise à une force F  = Y y  + Z z  en B (x=l). Le matériau constituant cette poutre est homogène, élastique et isotrope. Sa limite élastique en traction est notée e. L’objectif de cet exercice est de dimensionner cette poutre et de déterminer sa déformée.  Efforts intérieurs 1. Déterminer les efforts de liaison en A. 2. Déterminer les efforts intérieurs. Dans toute la suite de cet exercice on négligera les effets des efforts tranchants.  Dimensionnement 3. Quel est le point de la ligne moyenne correspondant à la valeur maximale du module du moment fléchissant ? Montrer que cette valeur maximale est comme suit : | f M  |max = 2 2 Z Y l  4. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte, dans le repère ( x  , y  , z  ), en fonction des coordonnées spatiales ( x, y,z), de la géométrie de la section droite et des composantes Y et Z de la force F  . 5. Déterminer la valeur maximale de la contrainte équivalente de Von Mises. Quel est le point de la poutre le plus sollicité en termes de contrainte de Von Mises ? 6. On pose k = b/h ; déterminer, selon le critère de Von Mises, la valeur minimale de h permettant à la poutre de supporter l’effort F  , en fonction de k, l, Y, Z et e.  Déformée 7. Dans le cadre de l’hypothèse de Navier Bernoulli, montrer que les composantes du torseur de déplacement de la poutre est sous la forme suivante : ) (x u  = uy(x) y  + uz(x) z  ; ) (x   = - dx duz y  + dx duy z  8. Ecrire les équations différentielles qui permettent de déterminer uy(x) et uz(x). 9. Déterminer uy(x) et uz(x). 10. Déterminer les composantes du vecteur rotation de la section droite. b h A F  B l www.4geniecivil.com
  • 24. Milieu 1D – Milieu 3D 11. Déterminer les composantes du vecteur déplacement d’un point de la poutre de coordonnées (x,y,z) . 12. En utilisant le champ de déplacement trouvé en 11, déterminer les composantes du tenseur de déformation. 13. En déduire, par la loi de Hooke, en prenant =0, les composantes du tenseur de contrainte. Comparer avec ce qui est trouvé à la question 4. Formulaire  Loi de Hooke :  = E   1  E  tr() 1  Relations contraintes/efforts intérieurs dans une poutre (Notation du cours) : 11 = - N S + 3 3 J M f x2 - 2 2 J M f x3 ; 12 = - I Mt ,3 - 3 2 J T  - 2 3 J T  13 = I Mt ,2 - 3 2 J T - 2 3 J T   J3 = 2 2 2 3 S x dx dx  J2 = 2 3 2 3 S x dx dx   Torseurs de déplacement et de déformation avec l’hypothèse de Navier Bernoulli (Notation du cours) : ds u d s t            ) (  t n ds d s s             ) (            n ds u d s s     ) (  Lois de comportement d’un milieux curvilignes (avec hypothèse de Navier Bernoulli ): ES N n      GI Mt n     2 2 2 EJ M f     3 3 3 EJ M f     www.4geniecivil.com
  • 25. ENIM – Tronc Commun - « Elasticité et RdM » - Examen principal 2009/2010 CORRIGE  Efforts intérieurs 1. A R  =- F  ; A M  = - F AB   = l (Z y  -Y z  ) 2. R  = A R  =- F  ; M  = -(l- x) x   F  = Z (l- x) y  - Y (l- x) z  Ty = - Y ; Tz = - Z Mfy = Z (l- x) ; Mfz = -Y (l- x)  Dimensionnement 3. Le point A (x=0). | f M  |max = 2 2 Z Y l  4. Flexion, donc seule la composante xx =  est non nulle : xx = z fz J M y - y fy J M z =- yY bh x l 3 ) ( 12  - zZ hb x l 3 ) ( 12  5. Le point le plus sollicité est dans la section droite au point A. En fonction des signes de Y et Z il est au point de coordonnées (0, ±h/2, ±b/2). La contrainte équivalente de Von Mises maximale max  est donc : max  = 6(|Y| 2 bh l + |Z| 2 hb l ). 6. max  < e  h > 3 2 ) ( 6 k Z k Y l e    Déformée 7. Flexion  ) (x u  = uy(x) y  + uz(x) z  ; ) (x   = y(x) y  + z(x) z  ) (x   = x   dx u d   y = - dx duz ; z = dx duy 8. y fy y EJ M     dx d y   2 2 dx u d z = - y EJ 1 Z (l- x) z fz z EJ M     dx d z   2 2 dx u d y = z EJ 1 Y (l- x) 9. Encastrement en A  uy(0) = uz(0) = 0 ; y(0) = z(0) = 0  uy = 3 2 Ebh Y x2 (3l – x) ; uz = 3 2 Ehb Z x2 (3l – x) 10. y = - dx duz = - 3 6 Ehb Z x (2l – x) ; z = dx duy = 3 6 Ebh Y x (2l – x). Milieu 1D – Milieu 3D 11. ) , , ( z y x u  = ) (x u  + ) (x    (y y  +z z  )  ux(x,y,z) = zy - y z = - E 6 x (2l – x)( 3 hb z Z + 3 bh y Y) uy(x,y,z) = uy(x) = 3 2 Ebh Y x2 (3l – x) uz(x,y,z) = uz(x) = 3 2 Ehb Z x2 (3l – x) 12. xx = - E 12 (l – x)( 3 hb z Z + 3 bh y Y) ; toutes les autres composantes sont nulles 13. xx =Exx=- y bh x l 3 ) ( 12  Y - z hb x l 3 ) ( 12  Z : même résultat que la question 4. www.4geniecivil.com
  • 26. ENIM 1ère année – Tronc commun 2009/2010 exelasr-10.doc Bon courage « Elasticité et RdM » Examen de rattrapage juin 2010 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 On considère une poutre droite de longueur L et de section droite carrée de côté 2a. L’axe x est l’axe longitudinal de la poutre. Cette poutre est encastrée en x=0. Tous les points de la section droite en x=L sont soumis au même déplacement imposé : U y  . On désigne par F, la force, dans la direction y  , engendrée par ce déplacement. Le matériau constituant la poutre étant supposé élastique linéaire isotrope, on désigne par k=F/U le module de rigidité de cette poutre. L’objectif de cet exercice est de déterminer une valeur approchée de ce module de rigidité k en utilisant les théorèmes énergétiques. 1. Déterminer, pour les champs de contrainte et de déplacement solution, le travail des efforts extérieurs dans le déplacement donné Tu d et le travail des efforts donnés dans le champ de déplacement solution Tf d . 2. En déduire que l’énergie potentielle K, l’énergie complémentaire H et l’énergie de déformation W des champs solutions sont : K=H=W=½ FU=½ kU2 . 3. On choisi un champ de déplacement sous la forme suivante : y x L U u    ~ . Montrer que ce champ est cinématiquement admissible et déterminer son énergie potentielle. En déduire que : k  ) 1 ( 2 2   L E a Exercice 2 On considère une poutre droite de longueur L (selon l’axe x  ) et de section droite rectangulaire de hauteur h (selon l’axe vertical y  ) et de largeur b (selon l’axe z  ). Cette poutre est encastrée en A (x=0) et soumise à une force F  = F y  en B (x=L). Le matériau constituant cette poutre est homogène, élastique et isotrope. Déterminer le déplacement vertical U du point B (on néglige l’effet de l’effort tranchant). Formulaire  Loi de Hooke :  =   1 E [  +   2 1 tr() 1]  Energie potentielle d’un CCA : K(u ~  ) = W(u ~  ) - d f T (u ~  )  Energie complémentaire d’un CSA : H(σ  ) = d u T (σ  ) - W(σ  )  Energie de déformation d’une poutre : W =½ ds GS T GS T EJ M EJ M GI M ES N poutre f f t               3 2 3 2 2 2 3 2 2 2 2 2 3 2 b h A F  B L 2a x z y L www.4geniecivil.com
  • 27. ENIM 1ère année – Tronc commun 2009/2010 exelasr-10c.doc « Elasticité et RdM » Examen de rattrapage CORRIGE Exercice 1 1. Tu d = FU Tf d = 0 : Les seuls effort donnés sont nuls (sur les surfaces latérales). 2. K= W- Tf d = W H=Tu d – W = FU – W K=H  K=H=W=½ FU=½ kU2 3. CLC (x=0) : u ~  (x=0) = 0 : vérifée ; CLC (x=L) : u ~  (x=L) = U : vérifée  CCA Calcul de (u ~  ) : xy = ½ U/L Toutes les autres composantes sont nulles. Calcul de (u ~  ) : xy = ) 1 ( 2   E U/L Toutes les autres composantes sont nulles.  = 2 2 ) 1 ( 2 L EU    W(u ~  ) =½    dv = L a EU ) 1 ( 2 2   Tf d (u ~  ) = 0  K(u ~  ) = W(u ~  ) = L a EU ) 1 ( 2 2   Ksolution = ½ FU =½ kU2  K(u ~  )  ½ kU2  L a EU ) 1 ( 2 2    k  L Ea ) 1 ( 2 2   Exercice 2 A R  = - F  A M  = - FL z  Mf = -F(L-x) W = EJ F 2 2 dx x L L   0 2 ) ( = EJ L F 6 3 2 = 3 3 2 2 Ebh L F Castigliano  U = F W   = 3 3 4 Ebh FL 1pt 1pt 1pt 2pt 1pt 1pt 1pt 2pt 3pt 2pt 1pt 1pt 2pt 1pt 2pt www.4geniecivil.com
  • 28. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2010/2011 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé Avril 2011 Durée : 1h Aucun document autorisé Questions : 1. Quelles sont les relations nécessaires et suffisentes que doivent vérifier les champs de contrainte et de déplacement pour qu’ils soient solution d’un problème élastique donné. 2. Expliciter la démarche de résolution d’un problème élastique donné, en partant d’une forme donnée d’un champ de contrainte. 3. Qu’est ce qu’un problème élastique régulier ? Exercice 1 : On considère un cylindre de révolution plein de rayon a et infiniment long constituée par un matériau élasique obeissant à la loi de Hooke. Ce cylindre est soumis, sur sa surface cylindrique extérieure, à une pression p constante. On néglige les forces de volume. Déterminer les champs de contrainte et de déplacement générés par cette pression. Exercice 2 : On considère un cylindre de révolution plein de rayon a et de longueur L constituée par un matériau élasique obeissant à la loi de Hooke. Ce cylindre est soumis sur ses surfaces z = 0 et z = L à un moment de torsion -M z e  et M z e  respectivement. On néglige les forces de volume. Partant d’un champ de déplacement u  = z r  e  (en coordonnées cylindriques),  étant une constante, déterminer le champ de contrainte solution et en déduire la valeur de  en fonction de M, a et du module élastique en cisaillement . Formulaire en coordonnées cylindriques : div(  V) = 1 r Vr + Vr,r + 1 r V, + Vz,z  f = f,r  e r + 1 r f,  e  + f,z  e z   V= = V V V V V V V V V V V r,r r, r,z ,r , r ,z z,r z, z,z                          r r r dans (  e r,  e ,  e z) ; Rot  (  V) = [ 1 r Vz, - V,z]  e r + [Vr,z - Vz,r]  e  + 1 r [(rV),r - Vr,)]  e z Equations de Navier : () u div    -  rot rot u + f = 0 Loi de Hooke :  = 2  +  tr 1 www.4geniecivil.com
  • 29. ENIM-Tronc Commun - DS « Elasticité et RdM » CORRIGE 2010/2011 Questions : 1. Quelles sont les relations nécessaires et suffisentes que doivent vérifier les champs de contrainte et de déplacement pour qu’ils soient solution d’un problème élastique donné : Equations d’équilibre, Conditions aux limites statiques et cinématiques, Loi de Comportement. 2. Expliciter la démarche de résolution d’un problème élastique donné en partant d’une forme donnée d’un champ de contrainte. Vérifier : les CL Statiques, les équations d’équilibre et les équations de Beltrami. Si toutes ces conditions sont vérifiées, on détermine le champ de déformation, on détermine, par intégration, le champ de déplacement et on vérifie les CL Cinématiques. 3. Qu’est ce qu’un problème élastique régulier ? Si, en chaque point de la frondière du milieu continu, sont données 3 composantes parmis celles du vecteur contrainte et du vecteur déplacement (composantes non duales). Exercice 1 : Symétrie de révolution  r e r u u   ) (  Equations de Navier  r r u r u ), , (  = 0  u = c1r + c2/r ; u continu pour r=0  u = c1r   : c1           0 0 0 0 1 0 0 0 1   : c1                  2 0 0 0 ) ( 2 0 0 0 ) ( 2 CL Statique pour r=a  c1 = - ) ( 2    p Exercice 2 : u  = z r  e  : Equations de Navier vérifiées.   : ½  r           0 1 0 1 0 0 0 0 0   :  r           0 1 0 1 0 0 0 0 0 CL Statique sur la surface r = a vérifiée : surface libre de contraintes. CL Statique sur la surface z = L :  z e  =  r  e   M = 2  a dr r 0 3 = ½ a4   4 2 a M   www.4geniecivil.com
  • 30. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2010/2011 Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal mai 2011 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 On considère une poutre droite de longueur 2l et de section droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Cette poutre est encastrée en ses deux bords et soumise à une charge répartie uniforme de densité linéique p (Figure ci-contre). 1. Quel est le degré d’hyperstaticité ? Utiliser les conditions de symétrie et le théorème de Menabrea pour lever l’hyperstaticité (on négligera l’effet de l’effort tranchant dans l’énergie de déformation). Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. 2. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la charge maximale pmax que peut supporter cette poutre avant plastification (on négligera l’effet de l’effort tranchant) ; on désignera par e la limite élastique en traction du matériau constituant la poutre. 3. Déterminer la déformée de la poutre. Quel est le déplacement vertical du point milieu de la poutre (x=l) ? Exercice 2 On considère un support de section triangulaire 0AB de hauteur h et de longueur l=h/ 2 (figure ci-contre). La largeur L dans la direction z est très grande et on suppose donc que l’on est dans une situation de déformation plane : le champ de déplacement est donc supposé sous la forme suivante : ux (x,y) ; uy (x,y) et uz = 0. Ce support est constitué d’un matériau élastique isotrope obéissant à la loi de Hooke avec un coefficient de Poisson = 0. Il est parfaitement fixé le long de OA sur un mur rigide (encastrement) ; il est libre de contrainte sur sa face OB et soumis, sur sa face AB, à une densité surfacique de force p  sous la forme suivante : ) 2 ( y x e h x e p p       ; p est une constante positive. On néglige les forces de volume. 1. Quelle est la forme générale des tenseurs de déformation et de contrainte ? 2. Ecrire les conditions aux limites sur les faces OA, AB et OB. 3. On cherche une solution en déplacement sous la forme suivante : ux = x (a x – b y) uy = x (c x – d y) a, b, c, et d sont des constantes Préciser la démarche à suivre pour trouver la solution de ce problème. 4. Trouver les champs de déplacement et de contrainte solution. Formulaire (Notation du cours)  Loi de Hooke :  =   1 E [ +   2 1 tr() 1]  Milieu curviligne : ds u d s t            ) (  t n ds d s             ) (            n ds u d s     ) ( ES N n    ; GI Mt n    ; 2 2 2 EJ M f    ; 3 3 3 EJ M f    11 = - S N + 3 3 J M f x2 - 2 2 J M f x3 J3 = 2 2 2 3 S x dx dx  J2 = 2 3 2 3 S x dx dx  b h x A p B 2l y O x A B l= h / 2  y h www.4geniecivil.com
  • 31. ENIM 1ère année – Tronc commun 2010/2011 « Elasticité et RdM » - Examen principal CORRIGE Exercice 1 1. Inconnues de liaison : RA y e  , RB y e  , MA z e  et Mb z e  (4 inconnues) Equilibre global : Forces selon y e  et Moments selon z e  (2 équations). C’est donc un système hyperstatique d’ordre 2. Mais compte tenu de la symétrie du problème, le système est hyperstatique d’ordre 1 (on choisit MA comme inconnue hyperstatique). RA = RB = p l MB = -MA  T = p (l – x) Mf = MA –RA x + ½ p x2 = MA - ½ p x (2l - x) 2EJ W =  l f dx M 2 0 2 A M W   = 0  MA = 3 1 pl2  Mf = 6 1 p (2l2 – 6l x+3x2 ) 2. Mfmax = p l2 /3 (au point A et B) ; VMmax = Mfmax h/2Jz = Mfmax 6/bh2 < e  pmax = e bh2 /2l2 3. Seule la composante z  est non nulle, donc seules les composantes z de   et uz deu  sont non nulles : z  = dz/dx = d2 uz/dx2 = - Mf /EJz = - z EJ 6 1 p (2l2 – 6l x+3x2 ) Avec les conditions : uy(0) = uy(2l) = 0 ; z(0) = z(2l) = 0  z = z EJ 6 1 x (l-x) (2l - x) uy = - z EJ 24 1 p x2 (2l - x)2 uy(l) = - z EJ 24 1 p l4  Exercice 2 1. iz = 0 ; iz = 0 (i=x, y ou z) Toutes les autres composantes ne dépendent que de x et y. 2. OA : ux(0,y) = uy(0,y) = 0 AB : n   y e  ; y=h ; ) ( y e    = p   xy(x,h) = -p ; yy(x,h) = -2 p x/h OB : n   ( 2 x e  - y e  )/ 3 ; y= 2 x ;   ( n  )=0 yy(x, 2 x) = 2 xy(x, 2 x) = 2xx(x, 2 x) 3. Les CL cinématiques sont vérifiées. On détermine , puis . On cherche les valeurs des constantes qui permettent de vérifier les équations d’équilibre et les CL statiques. ux = x (a x – b y) uy = x (c x – d y) a, b, c, et d sont des constantes 4. xx = 2 a x – b y ; yy = - d x ; xy = ½ [(2c - b ) x – d y]  xx = E (2a x – b y) ; yy = -E d x ; xy = ½ E [(2c - b ) x – d y] v i d   = 0  d = 4a ; b = 2c CL sur OB  c = 2 a CL sur AB  a = p / 2Eh  ux = Eh p 2 x (x – 2 2 y) uy = Eh p 2 x ( 2 x – 4 y) xx = h p (x - 2 y) yy = -2 h p x xy = - h p y b h x A p B 2l y T pl x 2l l -pl pl2 /3 Mf x 2l l -pl2 /6 O x A B l= h/ 2  y h 12 pts 8 pts 6 pts 2 pts 4 pts 1 pt 3 pt 1 pt 5 pt www.4geniecivil.com
  • 32. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2010/2011 Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen de rattrapage juin 2011 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 On considère une poutre droite (Figure ci-contre) de longueur 3l et de section droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Cette poutre est encastrée à un bord (point A) et articulée à l’autre bord (point B) et soumise à une force verticale F au point C. 1. Préciser les inconnues de liaison et écrire les équations d’équilibre global de la poutre. Quel est le degré d’hyperstaticité ? 2. Utiliser le théorème de Menabrea pour lever l’hyperstaticité (on négligera l’effet de l’effort tranchant dans l’énergie de déformation) et montrer que la réaction verticale de la liaison en A est RA = -23F/27. 3. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. 4. Déterminer le déplacement vertical du point C. Exercice 2 On considère un milieu continu élastique isotrope obéissant à la loi de Hooke occupant un domaine cylindrique de révolution ( z e  axe de révolution) de hauteur h et de rayon a. Les forces de volume sont négligées et le tenseur de contrainte dans ce milieu est supposé sous la forme ci-contre (en coordonnées cartésiennes) : 1. Ecrire les équations d’équilibre et en déduire que l’état de contrainte est indépendant de z et qu’il existe une fonction (x,y) tel que xz = /y et yz = -/x. Dans toute la suite du problème, l’état de contrainte est supposé linéaire par rapport aux coordonnées x et y et la surface latérale (r=a, r étant la coordonnée cylindrique) est supposée libre de contraintes. 2. Montrer que l’on a nécessairement la forme suivante pour xz et yz : xz = -c y ; yz = c x c est une constante En déduire la fonction (x,y) en la choisissant nulle pour r=a. 3. Déterminer le vecteur contrainte relatif à un élément de surface de normale extérieure z e  . En déduire que le torseur résultant des efforts extérieurs appliqués sur une section droite (z=cte) se réduit à un moment M porté par z e  . Déterminer M en fonction de a et c Montrer que M = 2 S dxdy y x ) , (  , S étant la section droite (z=cte). 4. On considère le champs de déplacement suivant : ux = -k y z uy = k x z uz = 0 k étant une constante Montrer que, pour une valeur de c à déterminer en fonction de k et  (coefficient de Lamé), ce champ de déplacement et le champ de contrainte trouvé à la question 2 sont la solution du problème du cylindre soumis au moment de torsion M. Formulaire (Notation du cours)  Loi de Hooke :  = 2  + tr() 1  Energie de déformation pour l’exercice 1 : W =½ ds EJ M b a s s f  2 ; J = S dydz y2 C b h x A F B y 2l l  :           0 0 0 0 0 zy zx yz xz     www.4geniecivil.com
  • 33. ENIM 1ère année – tronc commun 2010/2011 « Elasticité et RdM » - Examen de rattrapage – juin 2011 CORRIGE Exercice 1 1. 0n peut tout de suite remarquer qu’il n’y a pas d’éfforts selon l’axe x : dans ce cas le sytème est hyperstatique d’ordre 1 : 3 inconues de liaison (RA, MA et RB) et 2 équations d’équilibre (résulatante selon y et moment). On peut choisir RA comme inconnue hyperstatique. Sinon, en considérant les reactions de liaison selon x, le sytème est hyperstatique d’ordre 2 : 5 inconuues de liaison (RAx, RAy, MA, RBx et RBy) et 3 équations d’équilibre (résulatante selon x et y et moment). On peut choisir RAy et RAx comme inconnues hyperstatiques, mais on peut voir rapidement que la dérivée de l’energie de déformation par rapport à RAx est nulle et donc RAx=0 ; et on revient à la situation initiale. Equilibre  RB = - (F + RA) MA = l (3RA + 2F) 2. Levée d’hyperstaticité : - 0<x<l : T = RA Mf = MA - RA x = l (3RA + 2F) - RA x - l<x<3l : T = RA + F Mf = – RB (3l – x) = (F + RA) (3l – x) 2EJW =    l A A dx x R F R l 0 2 ] ) 2 3 ( [ +    l l A dx x l F R 3 2 2 ) 3 ( ) ( W/RA = 0      l A A dx x l x R F R l 0 ) 3 ]( ) 2 3 ( [ + (RA+F)   l l dx x l 3 2 ) 3 ( = 0  RA = - 27 23 F 3. Efforts intérieurs : - 0<x<l : T = -23F/27 Mf = F (23x - 15l)/27 - l<x<3l : T = 4 F/27 Mf = 4F (3l – x) 4. Déplacement vertical du point C : uC = W/F = 22 Fl3 /81EJ Exercice 2 1. v i d   = 0  xz,z = yz,z = 0 : Etat de contrainte indépendant de z xz,x + yz,y = 0  (x,y) | xz = /y et yz = -/x. 2. Linéarité : xz = a1 + b1 x + c1 y ; yz = a2 + b2 x + c2 y Equilibre  b1 + c2 = 0   ( r e  ) = xz cos + yz sin = 0 (pour r=a)  (a1 + b1 a cos + c1 a sin) cos+ (a2 + b2 a cos + c2 a sin) sin = 0  Soit : a1 cos + a2 sin b1 a (cos2  - sin2  ) + (c1 + b2) a sin cos = 0   a1 = a2 = b1 = c2 = 0 ; b2 = - c1 = c  xz = -c y ; yz = c x  (x,y) = ½ c (a2 – r2 ) r2 = x2 + y2 3.   ( z e  ) = xz x e  + yz y e  = -c y x e  + c x y e  = c r  e   ext R  = S z dS e ) (    = 0 ; ext M  =   S z r dS e e r ) (     =M z e  ; M = 2c  a dr r 0 3 = ½ca4 = 2  a rdr 0 2 (r)   = 2 S dxdy y x ) , (  . 4. xx = yy = zz = xy = 0 ; xz = -½ k y ; yz = ½ k x ;  = 2  c =  k Le champ de déplacement et le champ de contrainte vérifies les équations d’équilibre, les CL et la loi de comportement, c’est donc une solution du problème du cylindre soumis au moment de torsion M. C b h x A F B y 2l l  :           0 0 0 0 0 zy zx yz xz     T/F x l 3l -23/27 -4/27 Mf /Fl x -15/27 l 3l 8 www.4geniecivil.com
  • 34. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2011/2012 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé Avril 2012 Durée : 1h Aucun document autorisé Questions : 1. Quelle est la forme générale du tenseur de déformation dans le cas de déformation plane ? 2. Qu’est ce qu’un Champ Statiquement Admissible ? 3. Qu’elle est la particularité d’un champ tensoriel symétrique vérifiant les équations de compatibilité ? Exercice : On considère un parallélépipède rectangle dont les arrêtes sont parallèles aux vecteurs orthonormés ( x e  , y e  , z e  ). La direction selon z e  est de longueur L et celles selon les directions x e  et y e  sont de longueur 2R chacune. Ce parallélépipède est constitué par un matériau élastique obéissant à la loi de Hooke. Il est soumis à un champ de contrainte telle que seule la composante zz est non nulle et est sous la forme suivante : zz = a y (x, y et z sont les coordonnées cartésiennes) 1. Montrer que ce champ de contrainte vérifie les équations d’équilibre (sans forces de volume). 2. Déterminer les densités surfaciques d’efforts extérieurs appliqués sur les différentes surfaces frontières définies par : x = ± R, y = ± R, z = 0 et z = L. 3. Montrer que le torseur des efforts extérieurs appliqués sur la surface z = 0 se réduit à un moment M  = M x e  . Déterminer M en fonction de a et R. 4. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. 5. 0n désigne par (u,v,w) les composantes du vecteur déplacement en coordonnées cartésiennes. Ecrire toutes les équations différentielles permettant de déterminer ces composantes. 6. Montrer qu’à un champ de déplacement de solide rigide près, les composantes (u,v,w) sont sous la forme suivante : u = - E a  x y ; v = E a 2  ( x2 - y2 ) - E a 2 z2 ; w = E a y z 7. Tracer l’allure de la déformée de la ligne moyenne (x=0, y=0). 8. En désignant par J le moment d’inertie part rapport à l’axe x de la section droite (z=cte), vérifier que M = E J 2 2 z v   . Loi de Hooke :  = E   1  - E  tr 1 Bon travail z y x L 2R 2R www.4geniecivil.com
  • 35. ENIM-Tronc Commun - DS « Elasticité et RdM » CORRIGE 2011/2012 Questions : 1. Forme générale du tenseur de déformation dans le cas de déformation plane : 2. Champ Statiquement Admissible : Champ de contrainte vérifiant les équations d’équilibre et les conditions aux limites statique ? 3. Champ tensoriel symétrique vérifiant les équations de compatibilité : on peut trouver un champ de vecteur tel que le champ tensoriel soit la partie symétrique du gradiant du champ vectoriel. Exercice : On considère un parallélépipède rectangle dont les arrêtes sont parallèles aux vecteurs orthonormés ( x e  , y e  , z e  ). La direction selon z e  est de longueur L et celles selon les directions x e  et y e  sont de longueur 2R. Ce parallélépipède est constitué par un matériau élastique obéissant à la loi de Hooke. Il est soumis à un champ de contrainte telle que seule la composante zz est non nulle et est sous la forme suivante : zz = a y (x, y et z sont les coordonnées cartésiennes) 1. Equations d’équilibre (sans forces de volume) : v i d   = zz,z z e  = 0. 2. x = ± R : n  =± x e  ;   (± x e  ) = 0  surface libre de contraintes  1 pt y = ± R : n  =± y e  ;   (± y e  ) = 0  surface libre de contraintes  1 pt z = L et z = 0 : n  =± z e  ;   (± z e  ) = ± zz z e  = a y z e   1 pt 3. z = 0 : n  =- z e  ;   (- z e  ) = - a y z e  Résultante : R  = -         R x R x R y R y dx dy y a z e  = 0  1 pt Moment : M  = -           R x R x R y R y z y x dx dy e ay e y e x ) ( ) (    = - 3 4 aR4 x e  = M x e  ; M =- 3 4 aR4  2 pts 4. Loi de Hooke  xx = yy = - zz ; zz = ay/E ; les autres composantes sont nulles. (0.5pt ;0.5pt ;0.5pt) 5. u,x = - E a  y ; v,y = - E a  y ; w,z = E a y  1.5 pt u,y + v,x = 0 ; v,z + w,y = 0 ; w,x + u,z = 0  1.5 pt 6. Ces formes vérifient bien les équations de la question 5. 7. Equation de la ligne moyenne : v = - E a 2 z2 8. J = 3 4 R4 ; 2 2 z v   = - E a  - E J 2 2 z v   = =- 3 4 aR4 = M (x,y)           0 0 0 0 0 yy yx xy xx      4pts 4pts 16 pts 1 pt 1 pt 2 pts 1 pt 3 pts 3 pts 1.5 pt 3 pts 1.5 pt 1 pt 2 pts www.4geniecivil.com
  • 36. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2011/2012 Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal mai 2012 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 On considère une poutre droite de longueur 2l et de section droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Cette poutre est articulée à ses deux bords et soumise à une charge répartie uniforme de densité linéique p (Figure ci-contre). 1. Déterminer les efforts de liaison en A et B. 2. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant ? 3. Déterminer la section droite ayant le moment fléchissant maximal (en valeur absolue). Quelle est la valeur de la contrainte équivalente de Von Mises maximale en cette section ? 4. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la charge maximale pmax que peut supporter cette poutre avant plastification (on négligera l’effet de l’effort tranchant) ; on désignera par e la limite élastique en traction du matériau constituant la poutre. 5. Déterminer la déformée de la poutre (on négligera l’effet de l’effort tranchant). Quel est le déplacement vertical du point milieu de la poutre (x=l) ? Exercice 2 On considère un milieu continu soumis à un état de contrainte plane, dans le plan (x1,x2), défini, en coordonnées cartésiennes, par la fonction d’Airy suivante : ; p et a sont des constantes positives Montrer que les équations d’équilibre sont vérifiées (sans forces de volume) et que les seules composantes du tenseur de contrainte non nulles sont 11 et 22 et sont sous la forme suivante : ; 1. Le milieu continu est un parallélépipède de section carrée dans le plan (x1,x2) et de côté 2a. Déterminer la répartition des efforts extérieurs sur les surfaces frontières x1 =  a et x2 =  a. Tracer, dans le plan (x1,x2), la section carrée et la répartition des efforts extérieurs sur les surfaces frontières. 2. Le milieu continu est supposé élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson = 0. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. En déduire toutes les équations à dérivées partielles permettant de déterminer les composantes u1(x1,x2) et u2(x1,x2) du vecteur déplacement . 3. Montrer que le champ de déplacement suivant est une solution du problème : ; Tracer sur le même graphique, le carré et sa déformée (déterminer les déplacements des points A,B,C et D). Formulaire Milieu curviligne : Contrainte normale : 11 = - S N + 3 3 J M f x2 - 2 2 J M f x3 J3 = 2 2 2 3 S x dx dx  ; J2 = 2 3 2 3 S x dx dx  Loi de comportement : ES N n    ; GI Mt n    ; 2 2 2 EJ M f    ; 3 3 3 EJ M f    Relations : ds u d s t            ) ( ; t n ds d s             ) ( ;           n ds u d s     ) ( b h x A p B 2l y A O x1 B x2 C D www.4geniecivil.com
  • 37. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2011/2012 Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal - CORRIGE mai 2012 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 1. RA = RB = pl 2. T = RA – p x = p (l-x) ; Mf = -RA x + ½ p x2 = - ½ p x (2l – x) Diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant : 3. Mfmax = ½ p l2 à x=l σvmmax = Mfmax h/2J = 6pl2 h/2bh3 = 3pl2 /bh2 4. σvmmax = σe ⇒ pmax = bh2 σe/3l2 5. Le mouvement se fait dans le plan (x,y), sans effort normal, donc seules la composante uy du déplacement et la rotation ω selon z de la section droite sont non nulles. ⇒ 𝑑𝜔 𝑑𝑥 = 𝑑2𝑢𝑦 𝑑𝑥2 = - Mf /EJ = 6 p x (2l – x) /Ebh3 uy(0) = 0 ; uy(2l) = 0 ⇒ uy = - 3 2Ebh p x (2l - x)(4l2 + 2l x - x2 ) uy(l) = - 3 2 5 Ebh p l4 Exercice 2 On considère un milieu continu soumis à un état de contrainte plane, dans le plan (x1,x2), défini, en coordonnées cartésiennes, par la fonction d’Airy suivante : ∅ = 1 6 𝑝(𝑥1 3 + 𝑥2 3 + 3𝑎 𝑥1 2 + 3𝑎 𝑥2 2 ) ; p et a sont des constantes positives 1. 𝜎11 = 𝜙,22 = 𝑝(𝑥2 + 𝑎) 𝜎22 = 𝜙,11 = 𝑝(𝑥1 + 𝑎) 𝜎12 = −𝜙,12 = 0 2. x1 = ± a : n  = ± 1 e  ; ) ( 1 e   ± σ = ± 𝑝(𝑥2 + 𝑎) 1 e  x2 = ± a : n  = ± 2 e  ; ) ( 2 e   ± σ = ± 𝑝(𝑥1 + 𝑎) 2 e  3. 𝜀11 = 𝑝 𝐸 (𝑥2 + 𝑎) ; 𝜀22 = 𝑝 𝐸 (𝑥1 + 𝑎) ; Les autres composantes son nulles. u1,1 = ε11 ; u2,2 = ε22 ; u1,2 + u2,1 = 0 4. Il suffit de vérifier les équations établies en 3. 𝑢1 = 𝑝 2𝐸 (𝑥2 + 𝑎)(2𝑥1 − 𝑥2 + 𝑎) ; 𝑢2 = 𝑝 2𝐸 (𝑥1 + 𝑎)(2𝑥2 − 𝑥1 + 𝑎) 𝑢 �⃗(𝐴) = ( 2𝑝𝑎2 𝐸 , 2𝑝𝑎2 𝐸 ) ; 𝑢 �⃗(𝐵) = ( 2𝑝𝑎2 𝐸 ,0) ; 𝑢 �⃗(𝐶) = (0,0) ; 𝑢 �⃗(𝐷) = (0, 2𝑝𝑎2 𝐸 ) A O x1 B x2 C D p RA RB www.4geniecivil.com
  • 38. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2011/2012 exelasr-12.docx Bon travail 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen de rattrapage juin 2012 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 On considère une poutre droite de longueur 2l et de section droite rectangulaire de hauteur h et de largeur b. Cette poutre est encastrée à son extrémité gauche et en appui simple sur son extrémité droite. Elle est soumise à une charge répartie uniforme de densité linéique p (Figure ci-contre). 1. Préciser les inconnues de liaison et écrire les équations d’équilibre global de la poutre. Quel est le degré d’hyperstaticité ? 2. Utiliser le théorème de Menabrea pour lever l’hyperstaticité (on négligera l’effet de l’effort tranchant dans l’énergie de déformation) et déterminer les efforts de liaison en A et B (on trouvera que la réaction verticale de la liaison en A est RA = 5pl/4). 3. Déterminer les efforts intérieurs et tracer les diagrammes de l’effort tranchant et du moment fléchissant. 4. Déterminer la section droite ayant le moment fléchissant maximal (en valeur absolue). Quelle est la valeur de la contrainte équivalente de Von Mises maximale en cette section ? 5. Déterminer, en utilisant le critère de Von Mises, la charge maximale pmax que peut supporter cette poutre avant plastification (on négligera l’effet de l’effort tranchant) ; on désignera par σe la limite élastique en traction du matériau constituant la poutre. Exercice 2 On considère la poutre droite définie dans l’exercice 1et on va supposer que ce milieu est soumis à un champ de déplacement de type « poutre » avec l’hypothèse de Navier-Bernouilli : la section droite subit un mouvement de solide rigide et reste perpendiculaire à la déformée de la ligne moyenne (une section droite reste droite). Le déplacement ) , , ( 3 2 1 x x x U  d’un point du milieu continu de coordonnées (x1,x2,x3) est donc : ) , , ( 3 2 1 x x x U  = ) ( 1 x u  + ) ( 1 x ω  ∧ (x2 𝑒 ⃗2+ x3 𝑒 ⃗3) ; ) ( 1 x ω  = ωt (x1) 𝑒 ⃗1+ 𝑒 ⃗1 ∧ 1 1) ( dx x u d  Les vecteurs u  (x1) et ) ( 1 x ω  sont respectivement le vecteur déplacement de la ligne moyenne et le vecteur rotation de la section droite. 1. Déterminer les composantes des vecteurs ) ( 1 x χ  = 1 1) ( dx x dω  et ) ( 1 x ε  = 1 1) ( dx x u d  +𝑒 ⃗1∧ ) ( 1 x ω  . 2. Déterminer les composantes de 𝑈 � �⃗ en fonction de celles de u  et de ωt. En déduire les composantes du tenseur de déformation ε. Ecrire ces composantes en fonction de celles de χ  et de ε  . 3. Le milieu continu est supposé élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson ν = 0 χ  . Déterminer les composantes du tenseur des contraintesσ en fonction de celles de et de ε  . En déduire les composantes des efforts intérieurs (N, T2, T3, Mt, Mf2, Mf3) en fonction de celles de χ  et de ε  : N = ∫ − S dx dx 3 2 11 σ T2 = ∫ − S dx dx 3 2 12 σ T3 = ∫ − S dx dx 3 2 13 σ Mt = ( ) ∫ − S dx dx x x 3 2 2 13 3 12 σ σ Mf2 = ∫ − S dx dx x 3 2 3 11 σ Mf3 = ∫S dx dx x 3 2 2 11 σ Vérifier que l’on a bien les relations suivantes : N = -ES ε1 Mt = -½ EI χ1 Mf2 = - EJ2 χ2 Mf3 = - EJ3 χ3 S étant l’aire de la section droite, J2 = 2 3 2 3 S x dx dx ∫ , J3 = 2 2 2 3 S x dx dx ∫ et I = J2 + J3 b h x1 A p B 2l x2 www.4geniecivil.com
  • 39. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir – Département de Génie Mécanique 2011/2012 exelasr-12c.docx 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen de rattrapage , juin 2012, CORRIGE Exercice 1 1. Inconnues de liaison : RA, MA, RB  0,5 pt Equilibre global : RA + RB - 2pl = 0 MA + 2lRB – 2pl2 = 0  1 pt Degré d’hyperstaticité : 1  0,5 pt 2. Choix inconnue Hyperstatique : RA  RB = 2pl-RA MA = 2l (RA – pl)  1 pt T = RA – px1  0,5 pt Mf = MA – RA x1 + ½ px1 2 = RA (2l - x1) – 2pl2 + ½ px1 2  0,5 pt W/RA = 0   l 2 0 Mf (2l - x1)dx1 = 0  RA =  l 2 0 ( 2pl2 - ½ px1 2 ) (2l - x1)dx1 /  l 2 0 (2l - x1)2 dx1  0,5 pt 0,5 pt   RA = 5pl/4  2 pts RB = 3pl/4  0,5 pt MA = pl2 /2  0,5 pt 3. T = p(5l/4 - x1)  0,5 pt Mf = p(2x1 2 - 5lx1 + 2l2 )/4 = p(2l-x1)(l-2x1)/4  1 pt 4. Section droite ayant le moment fléchissant maximal : Section en A  0,5 pt Mfmax = ½ pl2  0,5 pt  vmmax = Mfmax h/2J = 6pl2 h/2bh3 = 3pl2 /bh2  1 pt 5. vmmax = e  pmax = bh2 e/3l2 Exercice 2 1. ) ( 1 x   = 1 1) ( dx x d  = 1 dx d t  +  2 1 2 dx u d   1 = 1 dx d t   0,5 pt 2 = - 2 1 3 2 dx u d  0,5 pt 3 = 2 1 2 2 dx u d  0,5 pt   = 1 dx u d  +  (  1 dx u d  ) = 1 1 dx du  1 = 1 1 dx du  0,5 pt 2 = 0  0,5 pt 3 = 0  0,5 pt 2. U1 = u1 - 1 2 dx du x2 - 1 3 dx du x3  0,5 pt U2 = u2 - x3 t  0,5 pt U3 = u3 + x2 t  0,5 pt  11 = 1 1 dx du - 2 1 2 2 dx u d x2 - 2 1 3 2 dx u d x3 = 1 - 3 x2 + 2 x3  1 pt 12 = 21 = -½ 1 dx d t  x3 = -½ 1 x3  0,5 pt 13 = 31 = ½ 1 dx d t  x2 = ½ 1 x2  0,5 pt Les autres composantes sont nulles. 3.  = E   11 = E(1 - 3 x2 + 2 x3)  0,5 pt 12 = 21 = -½ E 1 x3  0,5 pt 13 = 31 = ½ E 1 x2  0,5 pt N =   S dx dx 3 2 11  = -ES1  0,5 pt T2 =   S dx dx 3 2 12  = 0  0,5 pt T3 =   S dx dx 3 2 13  = 0  0,5 pt Mt =     S dx dx x x 3 2 2 13 3 12   = ½ EI 1  0,5 pt I =     S dx dx x x 3 2 2 2 2 3 = J2+J3 Mf2 =   S dx dx x 3 2 3 11  = - EJ2 2  0,5 pt J2 = S dx dx x 3 2 2 3 Mf3 = S dx dx x 3 2 2 11  = - EJ3 3  0,5 pt J3 = S dx dx x 3 2 2 2 14 pts 11 pts 2 pts 6 pts 3 pts 2 pts 2 pts 1 pt 3 pts 3,5 pts 4,5 pts  0,5 pt  0,5 pt www.4geniecivil.com
  • 40. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2012/2013 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Devoir surveillé Avril 2013 Durée : 1h Aucun document autorisé Exercice 1 : On considère un état de contrainte plane dans un plan (𝑒 ⃗1, 𝑒 ⃗2). 1. Quelle est la forme générale du tenseur de contrainte ? 2. En déduire la forme générale du tenseur de déformation. 3. Déterminer ε33 en fonction de (ε11 + ε22 ). On rappelle la loi de Hooke : σ = 𝐸 1+𝜈 (ε + 𝜈 1−2𝜈 trε 1) 4. On considère la fonction d’Airy ci-dessous, déterminer les composantes du tenseur de contrainte associé : Φ = A (x1 4 + x2 4 – 6 x1 2 x2 2 ) Exercice 2 : On considère un milieu élastique constitué par un cube dont la section dans le plan (𝑒 ⃗1, 𝑒 ⃗2) est le carré représenté par la figure ci contre. Ce milieu continu est soumis à un état de déformation plane défini par le champ de déplacement suivant dans le plan (𝑒 ⃗1, 𝑒 ⃗2) ; la constante a est supposée très petite devant 1 (hypothèse des petites perturbations) : u1 = a x1 (x1 2 - 3x2 2 ) u2 = a x2 (x2 2 - 3x1 2 ) 1. Déterminer les composantes du tenseur de déformation ε. En déduire les composantes du tenseur de contrainte σ. 2. Montrer que ce champ de contrainte vérifie les équations d’équilibre (les forces de volume sont négligées). 3. Déterminer la densité surfacique d’efforts appliqués sur les différentes faces du cube. 4. On considère les points matériels suivants dans le plan x3 = 0 : A(-1,-1), B(-1,1), C(1,1), D(1,-1) ; E(-1,0), F(0,1), G(1,0), H(0,-1) Déterminer le déplacement de ces 8 points et en déduire la déformée du carrée (sa forme déformée). Bon travail 𝑒 ⃗1 1 -1 -1 1 𝑒 ⃗2 www.4geniecivil.com
  • 41. ENIM-Tronc Commun - DS « Elasticité et RdM » CORRIGE 2012/2013 Exercice 1 : On considère un état de contrainte plane dans un plan (𝑒 ⃗1, 𝑒 ⃗2). 1. Forme générale du tenseur de contrainte : Les composantes σι3 sont nulles. → 1 pt 2. Forme générale du tenseur de déformation : Les composantes ε13 et ε23 sont nulles. → 1 pt 3. σ33 = 0 ⇒ ε33 + 𝜈 1−2𝜈 (ε11 + ε22 + ε33) = 0 ⇒ ε33 = - 𝜈 1−𝜈 (ε11 + ε22) → 1.5 pts 4. σ11 = Φ,22 = 12 A (x2 2 – x1 2 ) ; σ22 = Φ,11 = 12 A (x1 2 – x2 2 ) ; σ12 = -Φ,12 = 24 A x1 x2 → 1.5 pts Exercice 2 : u1 = a x1 (x1 2 - 3x2 2 ) ; u2 = a x2 (x2 2 - 3x1 2 ) 1. ε11 = - ε22 = 3a (x1 2 - x2 2 ) ; ε12 = -6a x1 x2 ; les autres sont nulles. → 2.5 pts σ11 = - σ22 = 𝐸 1+𝜈 3a (x1 2 - x2 2 ) ; σ12 = - 𝐸 1+𝜈 6a x1 x2 ; les autres sont nulles. → 1 pt 2. Eq. Equilibre : v i d  σ = 0 vérifiée. Rq. L’état de contrainte est le même que celui de la question 4 de l’exercice 1 ; il dérive d’une fonction d’Airy, l’équilibre est donc automatiquement vérifié. 3. Densité surfacique d’efforts appliqués sur les différentes faces du cube : x1 = 1 n  : =𝑒 ⃗1 ; σ  (𝑒 ⃗1 ) = 𝐸 1+𝜈 3a [(1- x2 2 ) 𝑒 ⃗1 - 2x2 𝑒 ⃗2] → 1 pt x1 = -1 n  : =-𝑒 ⃗1 ; σ  (-𝑒 ⃗1 ) = 𝐸 1+𝜈 3a [-(1- x2 2 ) 𝑒 ⃗1 - 2 x2 𝑒 ⃗2] → 1 pt x2 = 1 n  : =𝑒 ⃗2 ; σ  (𝑒 ⃗2) = 𝐸 1+𝜈 3a [-2 x1 𝑒 ⃗1 + (1- x1 2 ) 𝑒 ⃗2] → 1 pt x2 = -1 n  : =-𝑒 ⃗2 ; σ  (-𝑒 ⃗2) = 𝐸 1+𝜈 3a [-2 x1 𝑒 ⃗1 - (1- x1 2 ) 𝑒 ⃗2] → 1 pt x3 = cte n  : =±𝑒 ⃗3 ; σ  (±𝑒 ⃗3 ) = 0 → surface libre de contraintes → 1 pt 4. 𝑢 �⃗(A) = 2a ( 𝑒 ⃗1 + 𝑒 ⃗2 ) 𝑢 �⃗(B) = 2a ( 𝑒 ⃗1 - 𝑒 ⃗2 ) 𝑢 �⃗(C) = -2a ( 𝑒 ⃗1 + 𝑒 ⃗2 ) 𝑢 �⃗(D) = 2a ( - 𝑒 ⃗1 + 𝑒 ⃗2 ) 𝑢 �⃗(E) = -a 𝑒 ⃗1 ; 𝑢 �⃗(F) = a 𝑒 ⃗2 𝑢 �⃗(G) = a 𝑒 ⃗1 𝑢 �⃗(H) = -a 𝑒 ⃗2 → 0.5 pt par déplacement juste (2 pts maxi) Déformée du carré → 1 pt par situation (a>0, a<0) (2 pts maxi) a = - 0.1 a = 0.1 5 pts 3.5 pts 2.5 pts 5 pts 4 pts 15 pts www.4geniecivil.com
  • 42. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2012/2013 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen principal Mai 2013 Durée : 2h Aucun document autorisé Exercice 1 On considère une poutre dont la ligne moyenne constitue un quart de cercle de rayon R (figure ci-contre). Cette poutre est encastrée en son extrémité A et soumise à une force concentrée F  = -F y  en son extrémité B. La section droite de la poutre est rectangulaire, d’épaisseur e (selon l’axe 3 x  ) et de hauteur h (selon l’axe 2 x  ). Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope. 1. Déterminer les efforts de liaison en A. 2. Déterminer les efforts intérieurs (N, T et Mf). 3. Déterminer l’énergie de déformation W en négligeant les effets de l’effort normal et de l’effort tranchant. 4. Déterminer le déplacement vertical (selon y  ) du point B. 5. En utilisant le critère de Von Mises, déterminer l’effort maximal Fmax que peut supporter la poutre. La limite élastique en traction du matériau est notée e. Rappel : en flexion, la contrainte normale  = Mf x2/ J Exercice 2 On considère un disque de rayon a et de hauteur h constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope de module d’Young E et de coefficient de Poisson  = 0. On utilisera les coordonnées cylindriques d’axe de révolution z e  . Ce disque est soumis à une densité volumique de force radiale f  = k r r e  (k cte positive). 1. Ecrire toutes les conditions aux limites. Le problème est-il régulier ? 2. Formuler le problème à résoudre pour déterminer le champ de contrainte  et de déplacement u  (écrire toutes les équations que doivent vérifier ces champs). Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une solution en déplacement sous la forme suivante : u  = u(r) r e  3. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. On rappelle les composante, en coordonnées cylindriques, du gradient d’une fonction vectorielle de la forme de u  : Gradu  =u,r r e   r e  +u/r  e    e  4. Déterminer les composantes du tenseur de contrainte. En déduire les composantes du déviateur de contrainte. Indiquer les conditions aux limites qui sont automatiquement vérifiées par cette forme du tenseur de contrainte. L’application des équations de Navier sur le champ u  abouti à une équation différentielle du second ordre dont la solution générale permettant d’avoir un déplacement fini en r=0 est : u(r)= - E k 8 r3 + C r 5. Déterminer la constante C pour que ce champ de déplacement soit solution du problème. 6. Déterminer la contrainte équivalente de Von Mises maximale et en déduire la valeur maximale de k que peut supporter le disque selon le critère de Von Mises ; on désigne par e la limite élastique en traction du matériau. Rappel : VM  = 2 3 (D : D )1/2 Bon travail 3 x   z  3 x  2 x  e h x  x  y  A B F   O   www.4geniecivil.com
  • 43. 1ère année – Tronc commun, « Elasticité et RdM », Examen principal, Mai 2013 CORRIGE Exercice 1 1. A F  = - F  = F y   0.5 pt A M  =R F z   0.5 pt 2. En un point M de coordonnée s=R : M R  = A F   0.5 pt A M  = R F cos z   0.5 pt   = cos y  + sin x  ; 2 x  = sin y  - cos x  ; N = M R  .  ; T = M R  . 2 x   N = F cos  0.5 pt T = F sin  0.5 pt Mf = R F cos  0.5 pt 3. W= EJ R 2 2 0 2   d M f = EJ 8 1 R3 F2 = 3 2 3 2 3 Eeh F R   2 pts J=eh3 /12 4. uy(B) = - dF dW = - 3 3 3 Eeh F R   1 pt  f Max = R F  0.5 pt Vmmax R F h /2J = 6R F /eh2 = e  Fmax =eh2 e /6R  1 pt Exercice 2 1. Conditions aux limites : r=a : n  = r e  ;   ( r e  ) = 0  0.5 pt z=0 : n  = - z e  ;   ( z e  ) = 0  0.5 pt z=h : n  = z e  ;   ( z e  ) = 0  0.5 pt Problème régulier.  0.5 pt 2. Problème à résoudre : déterminer  et u  vérifiant Eq. d’équilibre : v i d   + f  = 0  0.5 pt CL : (r=a). r e  = 0 ; (z= 0). z e  = 0 ; (z=h). z e  = 0  0.5 pt Loi de comportement :  = E [u  ]S  0.5 pt 3. r = u,r ;  = u/r ; toutes les autres composantes son nulles.  0.5 pt ; 0.5 pt ; 0.5 pt 4. r = E u,r ;  = E u/r ; toutes les autres composantes son nulles.  0.5 pt ; 0.5 pt ; 0.5 pt D r = 3 1 E (2u,r - u/r) ; D  = 3 1 E (2u/r - u,r) ; D z = 3 1 E (u,r + u/r) ; les autres composantes son nulles.  0.5 pt 0.5 pt ; 0.5 pt 0.5 pt Les CL en z=0 et z=h sont vérifiés.  0.5 pt 5. u(r)= - E k 8 r3 + C r ; on doit vérifier la CL en r=a  r(a) = - 8 3 a2 +E C = 0  1 pt  C = E ka 8 3 2  0.5 pt  u(r)= E k 8 r(3a2 – r2 ) 6. VM = 2 3 (D r 2 +D  2 +D z 2 )1/2 u(r)= E k 8 r (3a2 – r2 ) ; u,r(r) = E k 8 3 (a2 – r2 )  VM = 8 k 2 2 4 4 12 7 9 a r r a    1 pt Maxi atteint pour r=0  0.5 pt  VMmax = 8 3 2 ka  0.5 pt  kmax = 2 3 8 a e  0.5 pt 1 pt 2 pts 4 pts 2.5 pts 1 pt 1.5 pts 2 pts 8 pts 13 pts 1.5 pts 1.5 pts 1.5 pts 2.5 pts www.4geniecivil.com
  • 44. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2012/2013 exelasr-13.doc 1/2 Tournez la page svp 1ère année – Tronc commun « Elasticité et RdM » Examen de rattrapage Juin 2013 Durée : 2h Aucun document autorisé On considère un tube cylindrique creux de rayon intérieur a, de rayon extérieur b, de longueur L et de masse volumique , constitué d’un matériau élastique linéaire isotrope. Ce tube est collé à un barreau rigide de rayon a. Cet assemblage tourne autour de son axe à une vitesse angulaire  positive constante, à l’intérieur d’un tambour fixe et rigide de rayon b (figure ci-contre). Le contact entre le tube et le tambour est avec frottement. Les extrémités de l’assemblage glissent sans frottement sur deux plans rigides, fixes, parallèles et distants de L. Il s’agit de déterminer : - Les champs de contrainte et de déplacement dans le tube ; - Le couple exercé sur le barreau pour maintenir le mouvement. On considère un système de coordonnées cylindrique (r,,z) attaché au tube (qui tourne donc par rapport au tambour avec la même vitesse de rotation ). Le tube est donc soumis à une densité volumique de force radiale, due aux efforts d’inertie : f  =  r r e  Le matériau constituant le tube obéit à la loi de Hooke :  = 2  +  tr 1. Le contact tube/tambour est du type Coulomb ; la contrainte tangentielle r en un point de l’interface est donc proportionnelle à la contrainte normale rr : r = k rr ; k étant le coefficient de frottement. Compte tenu de la symétrie de révolution du problème et du type de chargement, on cherche une solution en déplacement sous la forme suivante : u  = ur(r) r e  + u(r)  e  1. Ecrire toutes les conditions aux limites. 2. Ecrire les équations à résoudre pour déterminer le champ de contrainte  et de déplacement u  (autres que les conditions aux limites). 3. Déterminer les composantes du tenseur de déformation. En déduire les composantes du tenseur de contrainte. Quelles sont les conditions aux limites automatiquement vérifiées ? 4. Ecrire les équations d’équilibre et montrer qu’elles aboutissent aux deux équations différentielles du second ordre suivantes : )] ( 1 [ r ru dr d r dr d = - ) 2 ( 2      r ; )] ( 1 [  ru dr d r dr d = 0 5. Montrer que les solutions générales des deux équations différentielles citées ci-dessus sont : ur = A r + r B - ) 2 ( 8 2      r3 ; u = C r + r D Tube Barreau a b  Tambour www.4geniecivil.com
  • 45. exelasr-13.doc 2/2 6. Ecrire les 4 relations permettant de déterminer les 4 constantes A, B, C et D. 7. On montre que la contrainte tangentielle r est : r = - 2 2 2 2 2 4 ) ( r b a b k    Déterminer le couple exercé sur le barreau pour maintenir le mouvement. Bon travail _________________________________________________________________________ Formulaire Opérateurs vectoriels, en coordonnées cylindriques, de fonctions ne dépendant que de r : Gradu  =ur,r r e   r e  + r ur  e    e  - r u r e    e  + u,r  e   r e  v i d  F = = [Frr,r + 1 r (Frr - F)] r e  + [Fr,r + 1 r (Fr+ Fr)]  e  + [Fzr,r + 1 r Fzr] z e  www.4geniecivil.com
  • 46. ENI M – TC - Examen de rattrapage Elasticité et RdM » juin 2013 2012/2013 exelasr-13c.doc CORRIGE u  = ur(r) r e  + u(r)  e  f  =  r r e  1. Ecrire toutes les conditions aux limites. r=a : u  = 0  1 pt r=b : u  . r e  = ur = 0  1 pt ( r e  ).  e  = k ( r e  ). r e   1 pt z=0 et z=L : uz = 0 ;  1 pt ( z e  ).  e  = 0 ;  1 pt ( z e  ). r e  = 0  1 pt 2. Equations à résoudre (autres que les conditions aux limites) : v i d   +  r r e  = 0 ;  1 pt  = 2  +  tr 1 ;  0.5 pt  = [u  ]S  0.5 pt 3. Composantes non nulles de :  rr = ur,r ;  0.5 pt  = ur/r ;  0.5 pt r = r = ½ (u,r - u /r)  0.5 pt Composantes non nulles de :  rr = 2 ur,r +  (ur,r + ur /r) ;  0.5 pt  = 2 ur /r +  (ur,r + ur /r) ;  0.5 pt  zz =  (ur,r + ur /r) ;  0.5 pt  =  =  (u,r - u /r)  0.5 pt Conditions aux limites automatiquement vérifiées : celles pour z=0 et z=L.  0.5 pt 4. v i d   +  r r e  = 0  () (ur,rr + r u r r, - 2 r ur ) = () )] ( 1 [ r ru dr d r dr d = - 2 r  1 pt (u,r + r u ),r = )] ( 1 [  ru dr d r dr d = 0  1 pt 5. Solutions générales évidentes : ur = A r + r B - ) 2 ( 8 2      r3  1 pt ; u = C r + r D  1 pt 6. CL : ur(a)=0 ; ur(b)=0 ; u(a)=0 ; r (b) = k rr (b)  2 pts 7. Pour maintenir le mouvement de rotation uniforme de l’ensemble barreau/tube, il faut exercer sur le barreau un couple C qui équilibre le couple dû au frottement tube/tambour : C = -      2 0 2 ) ( d Lb b r = ½  k   L b2 (b2 – a2 )  2 pts Tube Barreau a b  Tambour 6 pts 2 pts 4 pts 2 pts 2 pts 2 pts 2 pts www.4geniecivil.com
  • 47. Ecole Nationale d’Ingénieurs de Monastir 2014/2015 RdMexp-14-tc.doc – A. Dogui 1ère année – Génie Mécanique « Résistance des Matériaux » Examen principal Décembre 2014 Durée : 2h Aucun document autorisé Certaines questions de cet examen nécessitent des calculs assez longs (questions 2 et 6) ; il est fortement conseillé de décrire précisément la démarche à utiliser pour répondre à ces questions avant d’aborder les calculs. On considère une poutre droite encastrée à ces bords en A et D (Figure ci-contre). Elle est soumise à une densité linéique de force constante p sur le tronçon BC. La section droite de la poutre est rectangulaire, d’épaisseur e (selon l’axe z  ) et de hauteur h (selon l’axe y  ). Le matériau constituant la poutre est élastique linéaire isotrope de limite élastique en traction e.  Efforts intérieurs 1. Quel est le degré d’hyperstaticité du système ? En utilisant la symétrie du système et en négligeant les effets de l’effort tranchant et de l’effort normal dans l’énergie de déformation, montrez que les efforts de liaison en A et D se réduisent à une réaction selon l’axe y et un moment selon l’axe z (aucun calcul n’est demandé) : RA = RD = R ; MA = - MD = M 2. Déterminer R et M (on néglige l’effet de l’effort tranchant dans le calcul de l’énergie de déformation). 3. Déterminez les efforts intérieurs et tracer leurs diagrammes.  Dimensionnement 4. Quels sont les points de la poutre les plus sollicités en moment de flexion ? Montrez que la valeur maximale (en valeur absolue) du moment fléchissant est : |Mf|max =13pl2 /36. 5. En utilisant le critère de Tresca, déterminer la valeur maximale de p que peut supporter la poutre.  Déformée 6. Nous considérons l’hypothèse de Navier-Bernoulli ; l’effet de l’effort tranchant est donc négligé. On désigne par u  le déplacement de la ligne moyenne et par   la rotation de la section droite : u  = u(x) y  ;   = u’(x) z  Déterminer les composantes du torseur de déformation en fonction des efforts intérieurs. En déduire le déplacement u(x). Tracer l’allure de la déformée de la ligne moyenne. ____________________ Formulaire : - Contrainte équivalente de Tresca : TR  = Sup |i -j |. - Flexion avec hypothèse de Navier Bernoulli : 11 = 3 3 J M f x2 - 2 2 J M f x3 2 = - ds du3 ; 3 = ds du2   2 2 2 EJ M f     3 3 3 EJ M f     Bon courage y  z  e h D p A l l l B C www.4geniecivil.com
  • 48. ENIM - GM1 « Résistance des Matériaux » - Examen principal 2014/2015 RdMexp-14-tc.doc – A. Dogui CORRIGE  Efforts intérieurs 1. - Degré d’hyperstaticité du système : 6 Inc ; 3 Eq.  h=3 - Symétrie du système  RAy = RDy = R ; MA = - MD = M : RDx = -RAx  h=2 - En prenant RAx comme une des deux inconnues hyperstatique, la partie relative à l’effort normal dans l’énergie de déformation (N=RAx), est proportionnelle à N2 ; en annulant la dérivée de cette partie par rapport à N, on trouve que N=RAx=0 :  h=1 2. - Détermination de R : Equilibre des efforts selon y   R = ½ pl - Détermination de M par le théorème de Menabria Démarche : On calcule l’énergie de déformation en fonction de M (compte tenu de la symétrie du système, on se limite au calcul de l’énergie de la moitié de la poutre) et à partir de l’équation W/M = 0, on détermine M. MfAB = M - ½ plx ; MfBC = M + ½ p(x2 +l2 -3lx)  4EJ W =   l dx plx M 0 2 ) 2 ( +     2 / 3 2 2 2 )) 3 ( 2 ( l l dx lx l x p M W/M = 0  3Ml =p  l lxdx 0 - p    2 / 3 2 2 ) 3 ( l l dx lx l x  M = 36 13 pl2 3. Efforts intérieurs : TAB = ½ pl ; TBC = 3/2 pl ; TCD = -½ pl MfAB = ½ pl ( 18 13 l – x) MfA = 36 13 pl2 MfBC = ½ p ( 18 31 l2 – 3lx + x2 ) MfB = - 36 5 pl2 = - MfC MfCD = ½ pl ( 18 13 l – (3l-x)) MfD = - 36 13 pl2 = -MfA  Dimensionnement 4. Les points les plus sollicités en moment de flexion : A et D |Mf|max =13pl2 /36. 5. Flexion avec effort tranchant négligé  TR  = |max = ½ h|Mf|max/Jz = b h l 2 2 36 13 p TR   e  p  e 2 2 13 6 l b h  Déformée 6. Démarche : - On détermine les composantes du torseur de déformation en fonction des efforts intérieurs : (Toujours, pour cause de symétrie, on peut se limiter à la moitié de la poutre) z fz z EJ M     z fAB AB EJ M     z EJ pl 2 ( 18 13 l – x) ; z fBC BC EJ M     z EJ p 2 ( 18 31 l2 – 3lx + x2 ) - On détermine les composantes du torseur de déplacement par intégration des composantes du tenseur de déformation par rapport à x : z = z’(x) = u’’(x) = - Mfz/EJz  uAB’’(x) = -  z EJ pl 2 ( 18 13 l – x) ; uBC’’(x) =  z EJ p 2 ( 18 31 l2 – 3lx + x2 ) - On utilise les conditions aux limites suivantes : Encastrement en A : uAB’(0) = 0 ; uAB(0) = 0 Continuité en B : uAB’(l) = uBC’(l) ; uAB(l) = uBC(l) - On obtient : uAB = - z EJ pl 72 x2 (13l – 6x) uBC = - z EJ p 72 (3x4 -18lx3 +31l2 x2 -12l3 x +3l4 ) 2T/pl x 2l 1 -1 l 3l 36Mf/pl2 13 -5 x 2l l 3l -9.5 D p A l l l B C y  z  e h EJz u/pl x/l www.4geniecivil.com