FUNCIONES
- Definiciones: Dado el conjunto lll y ul sutrconjunto D c l)1, defi¡imos
como iúnción ,. f ,, de D
sobre lll a una aplicaciénde fonna que a cada valor de D le haga c'.rresponder
un
úrnicovalor de :)t .
Simbólicarnente f :xeD -----r ffx) e ü
f(x) se lee "f de x" y es el vaior que asignala ñrnción f al valor x peüeneciente D y
a
que por lo tanto se denominairnagen, J^d^ pt r,
$, &
A D se le llama dominiqie definición de la función f
llama recorrido de f .
, .'".Dos funciones son, iguales si coinciden sus dominios y las imá-eenes
dadas por
, ¿unbas
funcronesaleda t¡na de los elernentosde D.
Ejemplo: a) gláfico b) nurnérico
f(x ') f :xe Vl -----+i'[-q):*2 g : x€ lii -----+ g(x): r[
f(x) 3 ------+f(31:32=9 3 ---:+ .vE
f(3):
(x.) - 2 ----) f{- 2): (- 2)': 4 4 ---+ f@:^14:
z
9t D=tlt D: {xc:}l1x>0}
Recsmdo: {*.$1/x>0} :
Recorridr: {*. !f / x > 0}
2.- Gráfica de una función: Se define como gráfica de una función f al c,rnjunto
de p¿ntos de
coordenadas P (x, (,,)) con xe D. Por lo tanto la ordenadade los puntos de la curva de la
gráfica de la ñrnción vend¡á dada por l' = (x) de forma que esta expresión es otra lbrma
de dar la
ecuaciónde la curva de la eráfica de f.
parese impares: * Decimosque f(x) es una filrción par si Vx e D -+ f{-x) = f(x)
3.- Funcionps
.
C o m o l o s p u n t o sP ( x . f ( x ) ) y P'{-r.f(-x):f(x)) p e r t e n e c e n a l a g ¡ á f i c as-o n s i r n é r r i c o s
v-
respectode OY, la gráfrca de la función también sei'ásimétrica respectode Oy y recíprocarnente.
Ello signitica que la gráficaes invarianterespecto un giro de l80o respecto e.i*oy.
de al El eie Oy
es el eje de simetríade la gráfica de f,

E-iernplo: f(x):x2
Vr . f(-x) = (-x):= x2 : f(x)
* Decimosque f(r) es una función ünpal si Vr e D + f(-x) = -f(x) .
CornolospuntosP (x, f(x)) y P'(-x, f(-r) =-(r)) pertenecen la g:ifica-v son simétricos
a
respectodel origen de coordenadas ,v recíprocarnente. gráfica de (x) es siruétncarespectode
O la
O, e invarianterespectode un doble giro de l80o respecto eje OY y dei eje OX .
del
e(. ,lr*r)
f(r): *:
E-iernplo:
Vx, f(-x) : (-x)¡- *x] = -f(x)
de que f(-0) = f(0): -f(0) =+ ff0)-=il siempre
De la definición funciónimpardeducimos que
x - 0 pertenezcaaD.
Luegosi una fimciónimpar estádefinidaen :i : 0. la gráficapasará O .
por
4 . Funciónperiódica:Decimosque (x) es periódica, con periodo T si Vx E D + f(x) = f(x + T) .
De aquí, tambiénse cumple que Vx e D-+ f(x) = f1x + kT) con keZ .
Ejemplo gráfico
ú*
ft*+T) |c*r
"
*rT
Como si T curnple la condición de periodo, kT también la cumple. llamarett¡o=estrictamente
periodo T al menor de los valoresque cunplen la condición.
con funciones: * Sumade funciones:Dadasdos firncionesf y g detinimoscomo suma
5.- Operaciones
de dichasfuncionesa otra función s = l+ g del modo siguiente:
S I x ------) (f + g)(x): f(x) - g(x)
I
. ^,. r 1 - 2
Ejernplo: f(r) = r-, g(x) : : =' (f+ g)(x): f(x) + g(x) :x- r
x X

J
Propiedades: a) f + g : g * ¡ (conmutativa)
b ) (f + g) + h: f + (-s+ h): f'+ g r h (asociativa)
c) Elementoneutro: a (función ntila)
o. x-----J o(x):Q
Sugráficaes ejeOX ysiemprecumple Vf,
el f+o : f
d) Funciónopuesta: fmción opuestade f , (-f ) ,
llamarernos a l¡r función
-f . x ------+ (-f)(x) : - f(x)
Evidentetnente Vx e D, f(r) + (-0(x) = f{x) + (-f(x)) = tl
La gráfrcade la función opuestede f es simétrica de la gráfiea de f respectoal
eje OX
=t(4
=i-f)c*r
* Productopor un número real: Dados i, e:)t y una fi.mciónf defirimos el produeto
, de f por i" a
la función p: ),' f de modoque
p: x -----ep(x):(¡".fXx):f '(x)
Ejemplo: f(x):
"z
(2'0(*)= 2' f(x):2 x:
* Función identidad:. I : X ------) I(x) = x
Su gráfica viene dadapor v= x que es la bisectrizdel prtmer cuatlrante
* Composición funciones.
de Dad¿rs funcionesf y g ,
dos d e f i n i m o sg n f { ' g s o b r e f ó f
compuesta g) a la funciónsiguiente
con :
t)tx) - g ('ft))
B' | : x -------+(9.

Gráficamente
En general g " f + fo g . es decir. la cumposiciónde
funcicnesno iiene la propiedadcon¡intativa.
e (f(r))
* Función inversa: Sea una función f : x -------* f(*) = y
Si la correspondencia
inversa y + x es tirnción, es decir, si a cada "y" te coresponde
una única x , o lo que es lo mismo, si cada "y" es imagen dada por f de una sola x , dicha
-i
correspondencia inversadefineuna firncion llamadafunción inversade f . f , de frrnnaque
y ------)t'()')="
^ - l ^_'
t':
Por lo tanto no toda función tiene inversa.Así:
+
ll
Kl l---+ | v, xt
x2
tl
k -lY¡ x2
txl
t-l l
x3 r
tl
tv' x-1
Dti
- ¡-l -(K)
.
rr
Conociendo la gráfrca de una función f " podemos saber si dicha funcióntie¡¡eo no función
inversa. Si una recta horizontal cualquiera corta a la gráfica de f(x) , a lo su:¡rqen un punto,
-'(r)
existiráf .
Por el contrario,si algunarecta horizo¡rtalcorta a la gráfica de f{x) en másde un Funto,
entonces
-t(*)
no existiráf

5
Teniendo en cuentala definición de función inversa tenemosque si un pulrto P {:<,y) penenece
a
la gráfica de f , el punto P'(y, t), simétrico ,Jel anterior respecrode Ia bisectriz del primer
cuadrantepeftenecerá la gráfica de f I. Las gr'áticas
a de f y f I son sirnétricirs
res'ecto tJeIa
bisectrizdel primer cuadrante.
Aplicando la definición de composiciónde funcionestenemos
que :
If-'
o f : fc fr - l - ¡ - t
Í c"^
r
I
I: funcióniei¿nridad
f(x): x.
Su-sráfica l¿r
es bisectriz primercuadrante
del ,
t Valor absolutode una función:
|.- e(xl Vx / g(x) < 0
(*): ls(x)l=j
L e(x.) Vx I g(x)> o
6.- Sucesiones Se llama sucesiónde númerosrealesa toda fi¡rción en la que el c¡rrninio D
: coincide
con N (conjuntode númerosnaturales)
En estascondiciones ernplea especial: f (n) = Sn, Ejemplo:t-{l) = - n
ll
se una nrltación
nl +l
1l
asl : r(l):
lz ' | 1
I f t L
f(2)=
22+l 5
Como casosparticulares sucesiones
de citaremos:
a ) S u c e s i ó n r i U n é t i c a ( p r o g r e s i ó n a r i t n i é t i c aS n : f { n ) : a + b n
a + ) cL}ñ a. be}1. Su
expresiónft¡ncionales lineal.
b) Sucesión
geornétrica
(prog¡esión
gecrnénica)
+ Sn= f (n): a.b* con a. be ttt. Su
expresiónfincional es exponencial (la vürernosrrrásadelante)
Paraencontrarlas exptesiones
típicasde las progresiones partir de las defi¡iciones tendremosen
a
cuenla:
* Progresiones aritlnéticas
: S,,:a*bn
S n - S n _ i :b ( c t e ) Vn > I
Sn_i-o'b(n-t)
b recibe el nombre de "diterencia" de la progresiirn aritmética.

Podemos
escribir Sn:á+ b n : a+ b lt-¡ b *b - a+ b = b(n- l):S,+bln-l)
* Progresiones
geoméüicas:
=
Sn s.b"
L 1 - - U¡ ¡ _ h
Sn-l=u-bt'-t-j s
- n- l
b recibeel nombre de "razón" de la progresióngeométncay podemosescribir :
bn . n-l
Sn-?'bn:a':-'b:ab b''-'- S, b"'
n-
7.- Funciones polinómicas: Las funciones más básicas que podemos manejar s.in las funciones
n-]+ + aif * ilo
p o l i n ó m i c a s :f ( x ) : á n X n + a n rx "'
Si f(x) : Pr(x) (polinomio de l" gradcr) su gráfica es una recta y recibe et uoi¡rbre de función
lineal
y=ax-rb
Si el polinomioes de 2o grado f(x): a:rr+ b r* c. su gráficaesunaparábr:iade
ejevert¡cal
(véasef(x) : *: ) . Su concavidaddepende signo de "a" y su posición relatir,'a spectodel eje
del re
OX viene dadapor las raicesdel polinomio de 2ogrado
Las fiulcionespolinómicasde grado superiorson. ett general.complejasy'-
cornü ejemplo veremos
f(x) : *:

7
8.- Transformación tunciones:Dada la función
de :
"n" f(x) estudiaremos relacién d¿ su sráfica con
la
las gráficasde las funcionessiguientes:
* y: f(r) + k : Su gráfica corresponderáa 7a trasiación vertical de la graiica original de
y : (x) haciaambaenunarnedidaigual k si k >0 .v-
a haciaabajosi k < 0.
* y:(r_a) Su gráfica correspLrndc la h'aslación
a horizontal de la Eáfica *nginal hacia la
derechaenunamedidaigual "a" si a> 0 yhacia la izquier.de a < 0.
a ri
* y=k'f{x) Su gráfica corresponde "alalgar''la gr'áficaoriginal d. y = {x) verticalnente
a
en una rnedi,ladadapor el fact¡:r k si k > 0.
si k <0, el factorde "distensión"
seríairl v además
giraremoslagráfica
180o respecto eje OX.
al
* Su gráfica corresponde "comprirnir" horizontalmentsla griitica originai por
a
Y:f(k'x):
un factor k si k > 0 . Si k < 0 comprimi¡emos según trn factor I k I y
giraremos l80o respecto eje OY.
al

LIiv-tITEDE FUNCIONES
Límitede una función un punto:
en
("
si x*2
quererestudia¡el compofirrmiento
Supongamos de tt-;: ]t-- to iasProximidades
[) si x = 2
d e lo u n t o x : 2
.i l Se olrservaque al aproúrnar los valoresde x a l. Ios valoresde
/
-- --4 f(x) se acercan 4 {ver con la calculadoral
a
f
. Diremos que -l es el línite de f(x) cuanrJox iiende a 2 si los
valores de t1x) son todo lo cercanos a "l como nosotros
queramos. en todos ios puntos distirrtos de 2, que estén
próximos a x:
suficientemente 2 ; es decir. si todos los puntos
del eiltorno inmediato de x = 2 toman valor,e: de f(x) todo lo
celcanosque quer¿rmos 4 (comprobarcon Ia ealculadora)
a
Obsén'eseque la idea de lín-rite tiene en cuentaen rungún sentidolo que ocurra en x: 2. sino
no
lo que ocurraen las proximidades x:2.
de
En general, diremos que I- : f(x) si los valores que toma f(x) en trdos los puntos
*111.
suficientemente
próximos a x0 (e-rcepto.il ) son todo lo cercanos
que queramos L.
a
Límiteslaterales.
Decimosque L es límite de (xi cuandox tiendea rí) por su derecha ( L = lü*_f(x)) cua¡do
,3ILi
los valoresde (x) se acercantodo lo cluequeran'ios L en todos los puntos a l¿ derechade x,,,
a
suficientemente
próximos a xo.
Análogamente defineel límite por la izquierda ( L:
se lim f(x))
_
x-)x0
Eiemplo:
[.x+l si xcl
I
f(x):{ 3 si x=1
I
l-*+1 si x>l
lim f(x) = 1i* (x + l) = 2
x->1- x-+l-
lim f(x)= 11tt(-x+l)=O
r
r+ ,+
x-+t x +l
(1):3
Se demuestraque la condición necesariay suliciente para que f1x) teng¡riím¡re en x0 es que
existanlos lílnites laterales izquierda-vderecha y arnboscoincidan
a

Si alguno de los límites lateralesno existe, o si existiendolos dos límites later¡rles
son distintos.
diremosque no existeel límite de Ia furrciónf(x) ¿uandox fiendea x ¿ ( 3 lirn f(x) ).
X--)I,¡
Límitesen el infinito. Límitesinfinitos: ft*l--!
I
I
Seala función f(x) : cuya griífica es la de la figrira
X
Se observaque cuandolos valorespositivosde x crecen.
los de f(x) van tomando cadavez valores más próximos
a cero.
De hecho los valores de f(x) son tan próximos a ceto collro
queramosen todos los puntospala los que x es suficientemente
grande.Di¡ernos en este casoque
cero es el límite al que tiende t{x) cuando x tiende a rnásinfinjto:
0: lim f(x)
. -+ +!c
En general diremos que L es el límite al que tiende (x) cuando x tiende a más infinito, y lo
escribiremos:L : lim f(") , si los valores de f{x) son todo lo cercanosa L como queramos,
siempreque los r;;::" grandes positivos.
x seansuficientemente y
De fbrma totalmente análoga definiremos L : lim f(x) para los valores de x que sean
suficientemente
pequeños negativos.
y
Si f(x) tiene límite L (fi¡ito) en + - co dirernosque f(x) tiene una asintotitlrorizontal (A H)
"o ó
y=L en +co ó -co respectivamente.
r
Si analiza:nos el comportarniento de f{:x) : en.las proxirnidadesde x = $ por la derecha_
x
obsen'amosque los valores de f(x) se hacen todo lo grandesque quer¿ul1os de signo positivo,
y
siempre que los valores de x se aproximen suficientemente cero por dicho ledc. Diremos que
a
f(x) tiende a + co cuando x tiende a cero por la de{echa:
lim* (x): * co
--)(r'
De forma completamenteanálogay razonando sobre lo que ocrÍre a la izquierda ijel valor cero de
x . podremosafirmar para dicha función que f(:i) fiende a -ao cuando x tierrd* a cero por la
izquierda:
lim f(x) = -*
r+0-

tV
I
n
diremosque
Generalizando, lim f(x) : + co (ó -o ) cuurdo al apro.rirnarr suficientemenre
x+xj
o x e por su derech4 todos los valoresde f{x) son tnayoresque cualquiercanfid¿d k positiva
fijada de antemano(o menoresque cualquier cantidad k negativa fijada de antct:ano).
Análogamente
definiremos lim _ f(x) : + oc (ó -.o )
](--)Xrr
* Cuando ambos límites lateralesde t]x) en x 6 Son infinitos del mismo:€igs diremos que
tim f(x): + oo ó - oo. respectivamente
(segúnlos casos)
=
I t* f(x) a¡6
=+
f(") enx : o v e r i f i c aI r+o+
I lim f(x) = a"6
I x-+0-
Podremosdecir que Im f(x) = a6
r-+ 0
* Si alguno de los límites lateralesde t1x) en x e es i co diremosque f(x) tiene una asintota
vertical۟ X: Xn
También puede generalizarseel concepto de límite cuando f(x) crece o decreceilimitadamente,
pudiéndosedefinir
lirn f(x) = -Fqo
x-+ + rc *u1*f(x)=-*
lim f(x) = -.o lim f(x)=a"6
](-+ - lc x-) -:c
(Verejemptos)
Continuidad de una función en un ounto: Dadala función (x) , diremosque i¿ fi.urciónf(x) es
continuaen el punto x 0 si se verifica que
f(x) = (l)
En el casoen el que la definición ( I ) no se cumpla diremosque f(x) no es continuaen xo (o sea,
(x) es discontinuaen x e)
Paraque puedacumplirsela definición rie firnción contiuuaen un punto x,¡ ha dc verificarse:
a) f(xo ) deberáestardefinido -+ x¡ € D
b) [m f(x) deber'á
estardefinido -+ Existir'ánlos dos límites lateralesi¡umar¿in valor
un
x-J{)
finito) en rs ]Íunboscoincidirán

il
c) lim f(r): f(xo) -) el valor del límite coircidirá con el valor de la iuncién sfl x,r
x--)x0
ello significa que a partir del punto P (x o, (x o )) un pequeñodes¡l:rzamiento
Gráficarnente hacia
la izquierdao hacia la derechapor la gráf*rca la f-unción reaiizaráde forma e*ttinua- es decir.
de se
sin realizarnineún salto finito ni infinito.
Continuidadlateral:
Dirernósque f(x) es continuaa la deresha r,1 cuando lim f(r):
de f(x¡ )
x-+x[
Diremos que (x) es continuaa la izquierdade x ¡ cuando lim f(x) : t{x¡ )
X-+fn
Ejemplo:
l-x+l si x<1
f(r): {
I x+l si x>l
que lim f(x):0
Vemos
x->l-
úñ x--1
no ¿1 ¿¿;.t{^La
n lim f(x) -a
|r-*)
x+l
lim r(x):2 ]=
x->l-
f (t¡ = g
Ahora bien. f (l): tim f(x) : 0. luego f(x) es continuaa la iequierdade x : 1,
r->l-
(o lo que es lo mismo, el trazo de f(x) es continuo desdeel punto y : 0 ien x : 1) hacia la
izquierda)
Puededemostrarseque:
* Todas1asñlncionespolinómicasson cr¡ntinuas toda la recta real.
en
* La sum4 restay producto de dos funcionescontinuasen un punto es ot'a ñlncion continua
en el
mismo punto.
* El cocientede dos firncionescontinuasen un punto es otra finción continuaen el mismo punto,
exceptoen los puntosen los que se anulael denominador.

12
Cálculo de límltes de operaciones funciones:
con
Se puededemostrar si
que
L: lim f(x) y L': lim g(r) entonces
f -+ ¡¡ X-+ 0
.
* lim : L+L'
[f(x)+g(x)]
--) ¿ ..
(r *')
* lim kf(x): kL
X -> X()
100)
* lim f(x)'g(r) : L'L'
S-+ X¡
( fo.)
x tim flx) L
si L'+o
=:; L
r - + x , ,B ( x )
(t'd
(si L' : 0" coinprobarla posibilidadde límite infixito)
* lirn - (si L *0 ó L, +0)
[f(x)]e(x) ¡L'
X-) Xg
(t e)
Casosen los que inteniene un límite inl'inito:
Si limf(x):L y limg(x):+o {L')
--) xg x-) x¡
(t*) (t *,)
llamaremosforma simbólica del límite a la expresiónque se obdenede sustizur¡ las reglas de
en
operaciones límites del apartadoarterior L y L' por sus valoresfinitos o infinitos. segúnlos
de
casos.
Así, la forma de lim [f(x) + g(x)] será L * .¡ y daremosei valor del límite:
X-+ Xg
l+-o- )
lim [f(x)+g(x)]: +co
-) ^
(t*)
Simbolizandoel casode operaciones lírnltesde funcicnes por susformasrespcutivas
de

IJ
Si L: lim f(*) y + co: lim gix):
K--+0 --+tt{)
:
x*)x¡
f **
lim k'g(r)= j-
[+to
si k>0
sl k<0
il.* * 'l kr. O -J)
K-ca
k
0 =-co sl
I +oo)
siL > 0 * si L r O l
lim f(x)'g(x) = J*- {,
X-)6 lT* si L<0 I L.* si L . 0 )
(t*)
f( x) IL ^I
lim ----:--- : u l-
t-l
={, I
co l
x+:<¡9tx)
(+o-
=-*
si L>0
L
to si L>0
..m r(x)
It *co Sl L<U 3 =-* si L<0
^=
x--+x¡ 8(x) L
wl.¿,lizat lateralessi L = 0
los
{+ p¿l
3 - analizar
laterales; *i existelímite
ver
0
* lim f(x¡e(s) _Jo
- si0<L<1 yL'=+co ó siL>lyL'=-.{
x-+9
l'¡ oo)
l** si 0<L<l y L'=-cc ó si L>1y L':+c¿
(
jO L'=*co y L>0
* l i m g ( x )¡" / t' = l |
. . Sl
***o'' [ 0 si L'=*co y L<0
¡+_)
En todos estos casos, el valor del lírnite de la operación de fi.mciones,sr* puede calcular
directamente.Llamaremos a estassituacionesfonnas determlnadasde límite.
Llamaremos formas indeterminadasde límite a aqueilasque erigen algún tipa de operación previa
con las ftinciones que en él intervienensi queremosobtener su valor; son siete ;r se simbolizan
cD rl
corno:- ) cvt-@ , ;
' 0'co )
( La obtención de los valores de los limites de tbnna indeterminadase detalLuá en las clases
prácticas)
El númeroe: Puededemostrarse los lfu¡itessiguientes:
que
%
r,,r, * 1l'
[r z ) y lim ( I +z)- son iguales a un nirmerü irracional que
z-+"c z.->0
llamaremos"e" (z será cualquier funcíou de x que tiende en la referenciaindie¡u1a los límites
a
mencionados)

t4
FUNICiONEXPONENCIAL FUICIÓ}{ T,OGARÍT,IICA
* Funciónexponencial:
llamaremosfuncién exponencial base"a" ( a > 0.
de ilÉ I ). a la que
asignaacadavalor real r el valor, tanibienreal. a' :
f(x)= a* = xe:H -l-+ a- e:)l
gráfic4 en función de los valoresde "a" serála siguiente:
Su representación
(l)
Propiedades: 1) a* > 0 Vx e !l ( la función exponencial
toma siemprevaloresestrictamente
positivos)
2) ao: 1
- ' : -
3) Sia>l: lim a:0 ; lirn ax: +oo : lirn a + c a. l i m a - * : 0
xJ+fl -)-:c !-) +:c
4) Sia<l: li¡1 a=.o; lim a*:0t lim a- :0: lim a-x=+co
I--) - Jc K-++ic --t + -i
Aunque, en teorí4 se puedeconsiderar posibilidadde que "a" tome distilltos vgiüres¡eales,en Ia
la
práctica, los más utilizados son: a: l0 (exponencialdecimal) y a= e (expr:nencial
natural).
cuyas gráficas y característicascorrespondenal caso general de a > 1.
Puededemostrarse la función exponencial cóntirua a lo largo de toda la reerareal.
que es
* Función logarítrnica:" Llatna¡noslogzu'itrno base a > 0, de un número n:=
en 0. al exponenteal
que hay que elevaÍ "a" para obtener n "
A la finción que hace corresponder a r-:*danúmero real positivo, x , su logarirrrro sn base "a",
tambiénnúmero real, le llamaremosfunción logaríturicaen base"a" : log* x
= f
f(x):logu r=!t+ ,loguxelR
Para su representación
gráfica: es evidente que la función exponencialy la tuncion logariínica
con las mismas bases son una la función inversa de la ofa siendo sus gráfi*:rs, por lo tanto,
sirnétricasrespectode la bisectriz del prirner cuad¡arrte.

t5
t
LC'Í
o
Arálogamente a la función exponencial, en ia
práctica las bases rnás utilizarlas son a : l0
(logaritmos decimales) y a = e (logantrnos
nepedanoso naturales,dzuldolugru a las frurciones
y= logx, (a:10) ; y= L., (a:e).
Propiedades: propiedades
las más impoüantesde la ñmción logaritrnicason:
l) D: {xe}1/x>0 } = ¡1-
2 ) l o g o1 : 0 , y a q u e a o- I
3 ) l o g ua : I , y u q , r . u ' : u
4) Sia>l y 0<x<l +logux<0
x>f -+ log.x>0
Si0<a<l y 0<x<l +log"x>0
x>1-) logux<0
5) Si a> I :+ x : -co
,t$.to*u
x: + co
.11-to*o
Si 0<acl :+ lim logux:reo
x-> 0-
*9.'logux=-cti
6) Reglasde operaciones
con logariünos:
* l o g a A + l o g o B : l o g oA ' B
* l o g uA - l o g oB : l o g . A I B
* l o g aA ^- : k
t
l o g oA
* k: logoak
x ulogor- y log" at : .ti (propiedadde la función inve¡ia)
"

EJERCICIOS
Hallarlosdominios lassiguientes
de funciones:
x
a) f(x): xt + I b)f(x): c)f(x): ^ d) f(x):
= x-j
2.- gráficamente siguientes
Representar las funciones:
xr +1 si x<0
a) f(x): b) f(x) = lsi 0<x<2
x-l si x>2
3.- Discutir la paridadde las siguientes
funciones:
X, x-l
a) t(x) : ,, . b)f(x)=7il c) t(x) = - d)f(x)=lr'l
x-+l X
^ Dada la gráficade una función f(x) en ( 0 , 2 l, dibujar la gráficade dicha función en [- 2,2 )
a) si f(x) es par b) si f(x) es impar c) si f(x) es periódicade periodo T : 2
- x
5.- Dadaslas funciones t ( x ) : y g(x) , hallar:
x_l
a) f-l(x) y g-r(x) siexisten
b) g.f y fog
que fo f-r = I
c) comprobar
6.- términos la sucesión la Que a ¡ :2
Escribirlos primeros de en y &n:3 an- r .
7.- y
Hallar la expresiónde la fórmulade recurrencia del término n-simo de los múltiplosde 5
8.- R e p r e s e n t a r g r á f i c a m e n t e :) f ( x ) :
a
l*'-5x+61
Olf(x): x'-Zl xl
)
Y'
9.- Dada f(x) : ^ . compararlas gráficasde l) y=f(x)+l
z
2) y: f (x- l)
3) y: 2 f (x) (: *')
4) y: f(2 x)
y: ^.x.
)) -2 t (- )

**l si x<-l
|
10.- Dadala función f'(x)= 3 si x=-l hallar gráficamente lim._ f(x) ,
1 x-t-l
l-"*2 si x>-l
lim (x) , lim ( x) , continuidad f(x).
de
x-+-1 x -+-l
t l. Dada la gráfica f(x) Hallar: lim f(x), lim f(x),
x -+0 x-+ I-
-r x-+l-
lim (x), lim (x),
x-++oo
c o n t i n u i d a d ex = 0 .
n
lim
x-+-co
r(x)
4a
I
i
0si x<0 x2+l si x<0
Continuidadde a) f(x) =
l1 rt
x-ll sl 0<xS2 b) f(x): I si 0<x<2
0si x>2 x-l si x>2
1a
x-l x-l )
I J.- C a l c u l a r l o s l í m i t e s l: i m * - l I lim ; lim );llmx-
x-+l xf I x-+-1 x+l x-+0 X_ x _+* co
(- +
,IT-(*'-3x+2) ; .I?- *'+ x 2)
_IT**' ' ,.gT_(*'-5x+7)'
t. . { ^ ,. xl-l ,. xl+2x-l 2 x s+ 7
llm (-x'+j.-+)) : llm . : llm il ;llm1
x-+to x-+lx'-1 x-+m¡'+3x'+2 x-+- cc x'+I
,. 2x-l
llm ------:- ;
,. x'-l
|lm ---:- ; hm
J**r-:- l l i m
- .rG*¡-:
x-+"o 3x'+l x-+l x'-1 x-+3 3-x x - - + lr / x + 1 5 - r / 3 x + 1 3
tl
IXI
;
14.-
15.- Estudiarla continuidadde E[x] parteenterade x
D[x] partedecimal de x
| 2-*' si x<2
16.- Estudiarla continuidad
de f(x) = -f r(x): I
x'-4 [2*-6 si x>2
I si x<1
l(x):l
l,*'-t si xro t(x)=l
I X
;
l2*-3 si x>0 J..1 si x>l
t
lx2+l si x<0
t7.- H a l l a r l o s v a l o r e se a y b p a r a q u e f ( x ) : ] o * * a
d si 0<x<1 seacontinuaentodoB
: si x>1
|
: i-: 1
18.- ¿Quévalor habríaque dar a f(2)para que f(x) fuera continuaen x = 2?
xt _ 32