1. Sección 2.2
Stewart
Cuarta Edición
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN
Tomado de Miriam Benhayón (UNIMED)
Para el curso de Cálculo diferencial UNIANDES
Marcos Alejo Sandoval

2. NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA
FUNCIÓN
LÍMITE
ACERCAMIENTO
Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se
aproxima a un valor a, podemos escribir:
Lf(x)lim
ax



3. LÍMITES












Lf(x)
Lf(x)
f(x)
lim
lim
lim
ax
ax
ax
Si L es finito y ambos límites laterales
coinciden, se dice que el límite existe y vale L

4. REGLAS PARA CALCULAR
LÍMITES
     
     
     
   
   n
ax
n
ax
axax
axaxax
axaxax
axaxax
f(x)limf(x)lim
g(x)limKK.g(x)lim
g(x)lim/f(x)limf(x)/g(x)lim
g(x)lim.f(x)limf(x).g(x)lim
g(x)limf(x)limg(x)f(x)lim











5. EJERCICIO 1
Lim f(x) no existe
x 1
y
x
1 5
2
1
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?

6. EJERCICIO 2
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) = L =2
x 1
y
x
1 5
3
2

7. EJERCICIO 3
¿Qué ocurre con f(x) cerca de
x=1?
Lim f(x) si existe, pero no coincide con f(1)
x 1
x
1
y
5
2
1

8. EJERCICIO 4
Dado el gráfico de f(x) :
3
5
-3
3
-2
x
f(x)
3.5
f(x)d)f(x)c)
f(x)b)f(x)a)
limlim
limlim
2x0x
3x3x


Encuentre:

9. PASOS A SEGUIR PARA EL
CÁLCULO DE LÍMITES
# 1:
Evaluar para saber si se trata de un límite directo o
estamos en presencia de una forma indeterminada
# 2:
INTENTAR desaparecer la indeterminación a través
de operaciones algebraicas: factorización, productos
notables, racionalización, sustitución de alguna
identidad trigonométrica ...si fuera el caso...

10. PROBLEMA 1













 














3xsi,1x1/
3xsi2,x
f(x)dondef(x);4)
2
3
2
3
:Rpta;
3x4xx
2xx
3)
1:Rpta,
x
x1x1
2)
1/4:Rpta,
x
24x
1)
2
3x
1/31/3
23
2
1x
0x
0x
lim
lim
lim
lim
3
Evalúe los siguientes límites:

11. PROBLEMA 2
















0x1,x
0x4,2x
f(x)f(x);lim5)
x2
x4x
lim4)
ba,
ax
babx
lim3)
x-4
2x
lim2)
1-x
1x
lim1)
0x
2
4x
22ax
22x
4
1x
Utilice las reglas para calcular límites para
determinar:

12. PROBLEMA 3
Utilice propiedades para hallar los
siguientes límites:
2)(x
2x
3)(xlimb.
1x
1)(x2x
lima.
2x
1x










13. LÍMITES INFINITOS
Utilice propiedades para hallar los
siguientes límites:
2)(x
2x
3)(xlimb.
1x
1)(x2x
lima.
2x
1x










14. PROBLEMA 4
Con la información que aparece a
continuación, construya el gráfico de
F(x):
12)3;F(F(3)
2F(x)lim4;F(x)lim
3x3x

 


15. PROBLEMA 5
Con la información que aparece a
continuación, construya el gráfico de
F(x):
indefinida1;F(0)F(2)
0F(x)lim1;F(x)lim
1F(x)lim-1;F(x)lim
2x2x
0x0x








16. TEOREMA DEL SANDWICH
En caso de que se cumpla la siguiente relación
(para toda x perteneciente a algún intervalo
abierto que contenga a c):
y además se cumple:
Entonces:
h(x)f(x)g(x) 
Lh(x)limg(x)lim
cxcx


Lf(x)lim
cx



17. TEOREMA DEL SANDWICH
h(x)
g(x)
f(x)
c
L
x
y

18. 1. Si
2. Dada la función g(x)=xsen(1/x).
Estime :
(trabaje gráficamente)
f(x)limHalle
xtodapara2cosx,f(x)x2
0x
2


g(x)lim
0x
PROBLEMA

19. A partir de la gráfica de la función:
Estime, haciendo zoom en el origen, el valor de:
*Confirma tu resultado con una demostración
)
x
1cos(xf(x) 3
2

f(x)lim
0x
PROBLEMA

20. PROBLEMA
2
4)(x
5
f(x)












2
4x
2
4x
24x
4)(x
5
lim
4)(x
5
lim
4)(x
5
lim
Analice el comportamiento de la función dada
cerca de x = - 4
Esta función muestra un comportamiento
consistente alrededor de x = - 4,
se puede decir que este límite vale 

21. Gráficamente...
x
y
-8 -6 -4 -2 0 2 4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
x
5/(x+4)^2