O documento apresenta um resumo sobre logaritmos: - Logaritmo é um número que indica quantas vezes uma base deve ser multiplicada por si mesma para obter um número. - São apresentadas propriedades como a mudança de base, soma, subtração e exemplos de cálculo de logaritmos. - Por fim, são explicadas equações logarítmicas, como resolver e encontrar o conjunto solução.

1. Logaritmos

2. 3 4
= 81 log3 81 = 4
• 4 é logaritmo (expoente) de 81 na base 3
log 𝑎 𝑏 = 𝑥 Logaritmo
logaritmando
base
• Logaritmo é um número (expoente) a que deve elevar um número
tomado como base para se obter outro número.

3. Exemplos
log5 25 = 𝑥 log2
1
16
= 𝑥 log2 32 = 𝑥
5 𝑥 = 25
5 𝑥
= 52
X = 2
2 𝑥
=
1
16
2 𝑥 =
1
24
2 𝑥 = 2−4
x = -4
2 𝑥 = 32
2 𝑥 = 25
X = 5
log√3 81 = 𝑥
3
𝑥
= 81
3
𝑥
2 = 34
𝑥
2
= 4
x = 4.2
x = 8
Quando as bases
estão iguais,
pode cortar.
Quando invertemos
um número, seu
expoente fica
negativo.
Para deixarmos as
bases iguais,
basta fatorar o
outro número e
deixar a base dos
dois iguais.
Toda raiz quadrada,
vale dois (√ = 2) e
todo número que não
tem expoente, tem 1
em cima. (3 = 31
).
Para tirar um número
da raiz, colocamos o
expoente de dentro
para fora. 3
𝑥
3
𝑥
2

4. log5 0,000064
(0,000064) = 5 𝑥
64
1.000.000
= 5 𝑥
26
106 = 5 𝑥
(
2
10
) = 5 𝑥
1
5
= 5 𝑥
5−6 = 5 𝑥
x = -6
6
6
Contar os números
depois da vírgula e
transformar em fração.
Fatorar
Como os dois números estão
elevados a 6, basta colocar
apenas um expoente 6 fora do
parêntese.
Simplificar a fração e
inverter a fração para as
bases ficarem iguais.
log2 0,25 = x
2 𝑥
=0,25
2 𝑥 =
25
100
2 𝑥
=
1
4
2 𝑥 = 4−1
2 𝑥
= (2²)−1
X = -2
Transformar 0,25 em
fração (dois números
depois da vírgula = 100).
Simplificar e inverter.
fatorar o 4 para ficar
igual a base 2 do lado
esquerdo.
Multiplica-se os expoentes.
Exemplos

5. Dicas
log√3 𝑁 = 2
N = (√3) ²
N = 3
Quando há raiz
quadrada e
expoente dois,
pode cortar.
log423421 1 = x
423421 𝑥
= 1
x = 0
423421 elevado a 0
vai dar 1.
Todo número
elevado a zero é 1.
log 100 = 𝑥
log10 100 = 𝑥
10 𝑥 = 100
x = 2
Quando a base
não aparecer,
será sempre 10.
0,0025 = 4 números depois da vírgula =
25
10.000
0,02 = 2 números depois da vírgula =
2
100
O x do log sempre estará
depois da igualdade.
log2 4 = 𝑥
elevado a

6. Exercícios
a) log16 64 = 𝑥
b) log5(0,000064)
c) log49∛7
d) log 𝑥
9
4
= 2
e) log 10.000 = 𝑥
f) log2 128 = 𝑥
g) log9 81
h) log 𝑏 1 = 𝑥
i) log10 100 = 𝑥
j) log2
1
32
a) log2 8
b) log8 32
c) log4 64
d) log8 32
e) log9 27
f) log8(4 2)
g) log27( 9√3)
O valor de log1
4
32 é:
a)
4
5
b)
−2
5
c)
1
5
d)
−5
2
e) -1
O resultado de log2 16 − log4 32 é:
a)
1
2
b)
3
2
c) 4 d) 1
a) log5 𝑁 = 3
B) log√3 𝑁 = 2
c) log3 𝑁 = 9
d) log 𝑎 81 = 4
e) log 𝑎 10 = 2
f) log9𝑎 27 =
1
2

7. Exercícios - Respostas
a) 3/2
b) -6
c) 1/6
d) 3/2
e) 4
f) 7
g) 2
h) 0
i) 2
j) -5
a) 3
b) 4
c) 3
d) 5/3
e) 3/2
f) 5/6
g) 5/6
Alternativa: D
Alternativa B
a) 125
b) 3
c) 27
d) 3
e) √2.5
f) 3

8. Propriedades dos logaritmos
a) log 𝑎 𝑏. 𝑐 = log 𝑎 𝑏 + log 𝑎 𝑐
b) log 𝑎
𝑏
𝑐
= log 𝑎 𝑏 − log 𝑎 𝑐
c)log √𝑥 𝑎 = log 𝑥
𝑎
2
d) log 𝑎( 𝑏) 𝑐
= C. log 𝑎 𝑏
Multiplicação = adição
Divisão = subtração
Raiz = fração
Expoente = multiplicador

9. Exemplos
log 0,02
log
2
100
log 2 − log 100
log10 2 − 2
log2 ( 4.16.64 )
log2 4 + log2 16 + log2 64
2 + 4 + 6
12
Sendo log 3 = 1 e log 2 = 5,
calcule:
log10 1,5
log10
15
10
log10
3
2
log 3 - log 2
1 – 5
-4
log3 92
2. log3 9
2. 3 𝑥 = 9
2.2
4
Sendo:
log 𝑏 𝑦 = 3 𝑒 log 𝑏 𝑥 = −4
Calcule: log 𝑏 𝑦. 𝑥2
2log 𝑏 𝑦. 𝑥
2log 𝑏 𝑦 + log 𝑏 𝑥
2.3 + (-4)
6 – 4
2

10. Exercícios
Sendo log 𝑎 𝑏 = 2 𝑒 log 𝑎 𝑐 = 3, 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒
a) log 𝑎 𝑎. 𝑏. 𝑐
b) log 𝑎 (
𝑎.𝑏
𝑐
)
Assinale a propriedade que está correta:
a) log 𝑎. 𝑏 = log 𝑎 . log 𝑏
b) log 𝑎 + 𝑏 = log 𝑎 + log 𝑏
c) log 𝑚. 𝑎 = 𝑚. log 𝑎
d) log 𝑎 𝑚
= log 𝑚. 𝑎
e) log 𝑎 𝑚
= m. log 𝑎
Dado log 2x = 2,4 e
log 2 = 0,3, calcule x.
Calcular:
a)2.log 𝑥 = log 3 + log 4
b) Log a + log b + log c
c) Log 6
d) log
𝑎𝑏²
𝑐
e) Log
100
100
f) log4√16

11. Exercícios - Respostas
a) 6
b) 0
Alternativa E
x = 8
a) √12
b) Log (a.b.c)
c) Log 2 + log 3
d) 2. log ab – log c
e) 0
f)1

12. Mudança de base
log 𝑐 𝑎
log 𝑏 𝑎
log 𝑏 𝑐
Nova base
A nova base aparece
em cima e em baixo
da divisão.
Acompanhado da
nova base, aparecem
os dois termos que
estavam no antigo
log. Deixando a velha
base por último, em
baixo.
C > 0 e C ≠ 0

13. Exemplos
Transformar log4 64 em base 2
log4 64 =
log2 64
log2 4
=
6
2
= 3
log2 64 = 2 𝑥
= 26
x = 6
log2 4 = 2 𝑥 = 22
x = 2
Sabendo que log25 = 20 e log27 = 10, resolva log25 . Log72.
20
10
=2

14. Exercícios
Determine o valor de log50 100, sabendo que log10 5 = a. Se log3 a = x, então log9 a² é
igual a:
a) 2x²
b) x²
c) x + 2
d) 2x
e) x
Calcule log27 z, sabendo que log3 z = w.
Supondo que uma máquina de calcular apenas possa
determinar logaritmos na base 10, por exemplo, temos
log2 = 0,30. Calcular log2 10 .

15. Exercícios - Respostas
log2 10= 10/3

16. Equações logarítmicas
log2 𝑥2 + 𝑥 − 4 = 3
Elevado a
Igual a
log3 3 − 𝑥 = log3(3𝑥 + 7)
Cortar apenas quando
são dois log, um de cada
lado da igualdade.
Soma ou subtração:
aplicamos as propriedades.
2. log 𝑥 = log 2𝑥 − 3 − log(𝑥 + 2)
log 𝑥² = log
2𝑥 − 3
𝑥 + 2
log4 𝑥 + log 𝑥 4 = 2
log4 𝑥 + log 𝑥
log4 4
log4 𝑥
= 2
Trocar de base para
poder resolver.
Sempre verificar, ou seja,
substituir no x.

17. Exemplos
log x–16 = 1
log x – 1 6 = 1
(x – 1)¹ = 6
x – 1 = 6
x = 6 + 1
x = 7
x – 1 > 0
7 – 1 = 6.
S {7}
Sempre tem que dar um
número maior que zero
para entrar na solução.
log 5 (x + 2) = 2
log 5 (x + 2) = 2
x + 2 = 5²
x + 2 = 25
x = 25 – 2
x = 23
x + 2 > 0
23 - 2 = 21
S {23}
log2x + log2 (x – 2) = log28
log2x + log2 (x – 2) = log28
log2 x . (x – 2) = log28
x . (x – 2) = 8
x² – 2x – 8 = 0
∆ = -2² - 4. 1. -8 = 36
x = -2² +/- 6
2. 1
X-2 > 0 x-2 > 0
4-2 = 2 -2 -2 = 0
S { 4}
4
-2
V
VV
F

18. Exercícios
a) log 3 (x + 5) = 2
b) log (3+x) (x2 – x) = 1
c) log 2 (4x + 5) = log 2 (2x + 11)
01) O conjunto solução da equação logarítmica é:
(A) {-1; 2}
(B) {-2; 1}
(C) {-2}
(D) {1}
(E) { }
4) (UFRGS) A solução da equação está no intervalo:
(A) [-2; -1]
(B) (-1; 0]
(C) (0; 1]
(D) (1; 2]
(E) (2; 3]

19. Exercícios - Respostas
a) S = {4}
b) S = {-1,3}
c) S = {-4, 3}
(B) {-2; 1}
(C) (0; 1]

20. •FIM 