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メタヒューリスティクスと巡回セールスマン問題
2013/7/12

2
実験の目的
●
巡回セールスマン問題を解く
– プログラムの作成
– 複数の手法の比較
– 問題についての考察
●
レポートや発表の方法を学ぶ

3
研究計画
●
４月から６月終わりまで
– 厳密算法とヒューリスティックの実装
●
それ以降
– レポートの作成

4
研究計画
●
４月から６月終わりまで
– 厳密算法とヒューリスティックの実装
●
それ以降
– レポートの作成
＿人人人人人人人人＿
＞突然のHDD死亡＜
￣Y^Y^Y^YY^Y^Y^￣

5
研究計画（再）
なんとかする
バックアップはこまめに

6
実験の手法
●
定性的な理解
– 山本芳嗣・久保幹雄（1997）“巡回セールスマン　
問題への招待”を読む
●
計算による理解
– 与えられた実験キットの形式にそって実装
– TSPlibのbayg29とtestDataTspを入力とした十回の　
実行結果の平均を取り、実行時間、経路長を比べる
注:以降、都市数をn、巡回セールスマン問題をTSP
近似解のコストをA、最適解のコストをOPTと略すことがある

8
実装した４つの手法
●
厳密算法
– 列挙法
– 動的計画法・Dynamic Programming(DP)
●
ヒューリスティック
– 2-opt
– 焼きなまし法

9
手法の説明 1/3 厳密算法
●
列挙法
– すべての解を列挙する
– オーダーはO(n!)
– もちろん、現実的でない
●
DP
– オーダーはO(n^2*2^n)
– これもあまり現実的でない

10
手法の説明 2/3 2-opt
●
2-opt(λ=2-opt)
– フリップ操作（後述）による近傍を用いた局所探索
– λ-opt算法においてn>=8でλ<=n/4であれば近似解
のコストAと最適解のコストOPTは次の等式を満たす
– 実装ではフリップの初期点をランダムにn個の点から
選んでいるため解はn通りとなり、決定的なプログラ
ムではなくなっている
A
OPT
=2−
2
n

11
手法の説明 3/3 焼きなまし法
●
焼きなまし法
– 温度Tというパラメタを用い、局所最適解に陥りにく
いようにした2-opt
– 周知の問題:パラメタチューニングが難しい
●
今回のプログラムではパラメタは「最初の温度
T」、「冷却速度T_FACTOR」、「計算を終える温
度T_END」、「近傍を探索する速度SIZE」の４つ

12
フリップ操作
● ABCDは経路の中の一つの都市を示し、AとC、BとDの間には複数
の都市が存在してもよいが、AとD,BとCの間にはひとつの都市も存
在しない
● 列挙法における近傍は経路の順が一つだけ入れ替わっているもの
であり、異なる
Fig.1 フリップ操作の模式図

13
緩和問題
●
緩和問題（条件を減らした問題）の最適解は元の問題の
最適解よりよい
– うまい解空間の拡張と縮小が肝心
●
解きやすい緩和問題から出てきた不完全な解に、
足りない条件を足して、うまくいったらそれを解
にすることで計算量を減らす

14
解空間の性質
●
解空間の性質は問題に強く依存する
– ただし、性質の定義にも依存することに注意
●
2-optでの近傍と列挙法を局所探索として考えた場
合の近傍は明らかに違う
●
近傍の定義により解空間内での位置関係が変わる

15
実験結果 1/3 testDataTspの結果
列挙法 DP 2-opt 焼きなまし法
平均経路長 736 736 803.2 740.6
実行時間
（milisec）
0.1243 0.0777 0.0236 0.3309
●
焼きなまし法のパラメタT_START1000、ある時刻の温度Tと一単位ステップ時間後の
温度T'の関係はT' = T_FACTOR*T = 0.95Tで表され、T_END = 1、SIZE = 1である
●
都市数はn=7、最短経路長は736
Table.1 testDataTspの実行結果

16
実験結果 2/3 bayg29の結果
●
焼きなまし法のパラメタは同じ　
●
都市数はn=29、最短経路長は1610
2-opt 焼きなまし法
平均経路長 15346.3 10203.2
実行時間(millisec) 0.2134 13.0031
最短距離（十回のうちで） 9307 9131
Table.2 bayg29の実行結果

17
実験結果 3/3 解のヒストグラム
●
testDataTspの解について、50刻みで、500から1500
の経路長のなかで、ある経路長を持つ経路が何通りある
かを表すヒストグラム
●
解は合わせて　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
720通り
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
0
20
40
60
80
100
120
140
160
Fig.2 解空間のヒストグラム
経路長
経路の数

18
考察 1/6 厳密算法とtwo-opt法
●
列挙法とDPはtestDataTspしか計算していない
– 列挙法は速度の問題
– DPも速度の問題がある（今回はC言語のインデックスの最大値の
問題があったが本質的なものではない）
●
2-optは定性的な性質を満たすように見える
– testDataTspでは非常に良い経路長が出る
● A/OPT 1.091≒
– bayg29ではあまり良くない
● A/OPT 9.532 > 2-2/n 1.931 (n=29)≒ ≒

19
考察 2/6 2-optと焼きなまし法
●
2-optなどの局所探索は局所最適解に陥ることがある
– 最適解を得るには近傍の適切な定義、初期解の改善が必要
– 解空間すべてを網羅することはまずない
●
経路長が短くなる方向にしか動かないため
●
解空間に局所最適解が存在するため
●
そもそも網羅してしまったら近似算法の意味がない
●
焼きなまし法は2-opt法とくらべて局所最適解で終わることは減るは
ず
– 解空間をよりうまく探索できる

20
考察 3/6 解の改善
●
近似算法は、解空間に何らかの性質（局所最適解が存在
する、あるいは少ないなど）があり、その性質を用いて
解を改善することが目的
→ 必要なら緩和問題を使ってうまい性質を引っ張り
だす
●
そもそも改善があまり　　　　　　　　　　　　　　　
見込めない問題は？
500
550
600
650
700
750
800
850
900
950
1000
1050
1100
1150
1200
1250
1300
1350
1400
1450
1500
0
20
40
60
80
100
120
140
160
再掲 Fig.2 解空間のヒストグラム
経路長
経路の数

21
考察 4/6 解が改善できないTSP
●
最適解の経路長=初期(可能)解の経路長である（改善が全
く不可能な）TSPは存在するか？
→ある

22
考察 5/6 ハミルトン閉路とTSP
●
ハミルトン閉路問題:すべての点をちょうど一回だけ通っ
て元に戻る経路が存在するか？
– グラフ上で辺が存在するときに0、ないときに1という
距離をとればTSPとみることができ、解いた結果が0
であればこれはハミルトン閉路を持つ
●
ハミルトン閉路が存在するグラフをTSPと見る
と、明らかに最適解および可能な解の経路長は固
定である

23
考察 6/6 グラフから見た改善性
●
ユークリッドTSPの頂点と辺の作るグラフは完全グラフである
– 完全グラフでないTSPは（直感的に）改善がしにくそうだが
解空間も小さくなる
●
完全グラフ:任意の2頂点間に辺が存在
●
グラフの辺の多さが解の改善性を操作する？
– 多ければ解も多く、改善しやすい・しなければならない
– 少なければ解は少なく、改善しにくい・しなくてよい

24
まとめ
●
近似算法に必要なのは、解空間内での探索手法と解空間
自体の操作
– 例えば焼きなまし法はパラメタにより解空間を広げて
いるといってもよい
●
経路長が改善不可能なTSPの存在が示せる
– 例えばハミルトン閉路を持つグラフ

25
気になること・知らないこと
●
局所探索において、フリップ以外の近傍をとるとどの程度
効率が変わるか？
●
解空間の拡張と縮小になんらかの戦略は存在するか？
– どの程度拡張して、どの程度縮小すればよいか？
●
解のヒストグラムの分布を形式化することはできないだろ
うか？=解空間の性質を一元して扱える構造はないか？
– TSPは独立性システム、最小全域木はマトロイド
– もっといい構造はないか？

26
感想
●
アクシデントもあったが、当初の目的は達成できた
– TSPの理解
– スライド・レポートの作成、発表の練習
●
解空間に関する考察は直感が多いのでより精緻にする必
要があると思うがTSPと様々な分野（計算量やグラフな
ど）の関連が存在することが実感できた。いろいろな道
具で考えることは面白かった

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