1.
Επιμέλεια:
Καρσιώτη Ευαγγελία
Μαστροπέτρου Ειρήνη
Μούλιου Ιωάννα
Ντελλή Σοφία
Σταμάτη Αρετή
Καθηγητής:
Φιλίππου Ιωάννης
2ο
ΓΕΛ Κορυδαλλού Τμήμα: Α1

2.
Ιδιότητες πράξεων
Ιδιότητα πράξεων Πρόσθεση Πολλαπλασιασμός
Αντιμεταθετική α + β = β + α αβ = βα
Προσεταιριστική α + (β + γ) = (α + β) +
γ
α(βγ)=(αβ)γ
Ουδέτερο Στοιχείο α + 0 = α α ∙ 1 = α
Αντίθετος/Αντίστροφος
αριθμού
α + (-α) = 0 α ∙ = 1, α ≠ 0
Επιμεριστική α (β + γ) = αβ + αγ
Αφαίρεση
α-β = α+ (-β)
Διαίρεση
(β≠0)
α
1
β
α
β
α
βα
1
: ⋅==

3.
Ιδιότητες πράξεων 2
1. (α = β και γ = δ) α + γ = β + δ
2. (α = β και γ = δ) αγ = βδ
3. α = β α + γ = β + γ
4. Αν γ ≠ 0 , τότε: α = β αγ = βγ
5. α ∙ β = 0 α = 0 ή β = 0
6. α ∙ β ≠ 0 α ≠ 0 και β ≠ 0
⇒
⇒
⇔
⇔
⇔
⇔

4.
Δυνάμεις
Αν α πραγματικός αριθμός και ν φυσικός, ισχύει ότι:
αν
= α∙α∙α…∙α για ν > 1 και
ν παράγοντες
α1
= α, για ν = 1
Αν α ≠ 0, τότε:
α0
= 1 και α-ν
= ν
α
1

5.
Ιδιότητες δυνάμεων
1. ακ
∙ αλ
= ακ+λ
2. = ακ-λ
3. ακ
∙ βκ
= (αβ)κ
4.
5. (ακ
)λ
= ακλ
λ
κ
α
α
κ
κ
κ
β
α
β
α








=
(β ≠ 0 )

6.
Ταυτότητες
1. (α + β)2
= α2
+ 2αβ + β2
2. (α - β)2
= α2
- 2αβ + β2
3. α2
- β2
= (α + β) ∙ (α - β)
4. (α + β)3
= α3
+ 3α2
β + 3αβ2
+ β3
5. (α - β)3
= α3
- 3α2
β + 3αβ2
- β3
6. α3
+ β3
= (α + β) ∙ (α2
– αβ + β2
)
7. α3
- β3
= (α - β) ∙ (α2
+ αβ + β2
)
8. (α + β + γ)2
= α2
+ β2
+ γ2
+ 2αβ + 2βγ + 2γα

7.
Ταυτότητες 2
9. α2
+ β2
= (α + β)2
- 2αβ
10. (α + β - γ)2
= α2
+ β2
+ γ2
+ 2αβ - 2βγ - 2αγ
11. αν
– βν
= (α - β) ∙ (αν-1
+ αν-2
β + … + αβν-2
+ βν-1
)
12. α3
+ β3
+γ3
– 3αβγ = (α+β+γ) ∙ (α2
+β2
+γ2
-αβ-βγ-γα)
13. α3
+β3
+γ3
–3αβγ = (α+β+γ)∙[(α-β)2
+(β-γ)2
+(γ-α)2
]
14. Αν α + β + γ = 0 τότε α3
+ β3
+ γ3
= 3αβγ
15. Αν α = β = γ τότε α3
+ β3
+ γ3
= 3αβγ
16. α3
+ β3
= (α + β)3
- 3αβ (α + β)
2
1

8.
Ιδιότητες αναλογιών
1. (εφ’ όσον βδ ≠ 0)
2. (εφ’ όσον βγδ ≠ 0)
3. (εφ’ όσον βδ ≠ 0)
4. (εφ’ όσον βδ(β+δ) ≠ 0)
βγαδ
δ
γ
β
α
=⇔=
δ
β
γ
α
δ
γ
β
α
=⇔=
δ
δγ
β
βα
δ
γ
β
α ±
=
±
⇔=
δβ
γα
δ
γ
β
α
δ
γ
β
α
+
+
==⇔=

9.
Διάταξη πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Ένας αριθμός α λέμε ότι είναι μεγαλύτερος από έναν
αριθμό β και γράφεται α > β, όταν η διαφορά α - β
είναι θετικός αριθμός
Ιδιότητες
1. (α > 0 και β > 0) α + β > 0
(α < 0 και β < 0) α + β < 0
2. α, β ομόσημοι α ∙ β > 0
α, β ετερόσημοι α ∙ β < 0
0
β
α
>
0
β
α
<⇔
⇔
⇒
⇒
⇔
⇔

10.
Διάταξη πραγματικών αριθμών
Ιδιότητες
3. α2
≥ 0, για κάθε α ℝ , (Η ισότητα ισχύει μόνο όταν α=0)
Από αυτό προκύπτουν οι ισοδυναμίες:
α2
+ β2
= 0 α = 0 και β = 0
α2
+ β2
> 0 α ≠ 0 ή β ≠ 0⇔
∈
⇔

11.
Διάταξη πραγματικών αριθμών
Ιδιότητες των ανισοτήτων
1. (α > β και β > γ) α > γ
2.i. α > β α + γ > β + γ
ii. Αν γ > 0, τότε: α > β α ∙ γ > β ∙ γ
iii. Αν γ < 0, τότε: α > β α ∙ γ < β ∙ γ
3. i.(α > β και γ > δ) α + γ > β + δ
ii. Για θετικούς αριθμούς α, β, γ, δ ισχύει η συνεπαγωγή:
(α > β και γ > δ) α ∙ γ > β ∙ δ
Για θετικούς αριθμούς α, β και θετικό ακέραιο ν ισχύει η
ισοδυναμία: α > β αν
> βν
⇒
⇔
⇔
⇔
⇒
⇒
⇔

12.
Διάταξη πραγματικών αριθμών

13.
Ορισμός
Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α
συμβολίζετα με και ορίζεται από τον τύπο
α, αν α≥0
-α, αν α<0
Συνέπειες

 και

Απόλυτη τιμή
πραγματικού αριθμού
• ή x = -θ (θ > 0)
• ή x = -α
=α
0αα ≥−=
αα ≥ αα −≥
22
αα =
θxθx =⇔=
αxαx =⇔=
α

14.
Ιδιότητες
1.
2. = (β ≠ 0)
3.
Απόσταση
 d (α , β) =
β
α
β
α Ανισότητες με απόλυτα

 ή x > ρ
βαβα ⋅=⋅
βαβα +=+
βα −
ρxρρ)ρ,(xρx <<−⇔−∈⇔<
ρxρx −<⇔>

15.
Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Η τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός που,
όταν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση της
εξίσωσης x2
= α.
Ιδιότητες
• Αν α ≥ 0 & β ≥ 0, τότε:
1.
2.
α
α
αα 2
=
βαβα ⋅=⋅
β
α
β
α
=3.
(β ≠ 0 )

16.
Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Η ν-οστή ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α
συμβολίζεται με και είναι ο μη αρνητικός αριθμός
που, όταν υψωθεί στην ν, δίνει το α.
Αν α ≥ 0, η παριστάνει τη μη αρνητική λύση
της εξίσωσης xν
= α.
ν
α
ν
α

17.
Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ιδιότητες
Αν α,β ≥ 0, τότε:
1.
2. (β ≠ 0)
3.
4.
5.
6.
ννν
βαβα ⋅=⋅
ν
ν
ν
β
α
β
α
=
νμμ ν
αα
⋅
=
ν μρν ρμ
αα =
⋅ ⋅
( )κ
νv κ
αα =
νν ν
βαβα ⋅=
Αν α ≥ 0, τότε:
Αν α ≤ 0 & ν άρτιος,
τότε:
( ) αα
ν
ν
= & ααν ν
=
ααν ν
=

18.
Ρίζες πραγματικών αριθμών
Ορισμός
Αν α > 0, μ ακέραιος & ν θετικός αριθμός, τότε
ορίζουμε
Αν α και β είναι μη αρνητικοί αριθμοί, ισχύει ότι:
ν μν
μ
αα =
νν
βαβα <⇔<

19.
Η εξίσωση xν
= α
Η εξίσωση xν
= α , με α > 0 και ν περιττό φυσικό
αριθμό, έχει μια λύση, την:
Η εξίσωση xν
= α, με α > 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό,
έχει δυο λύσεις τις: και
Η εξίσωση xν
= α , με α < 0 και ν περιττό φυσικό
αριθμό, έχει μια λύση, την:
Η εξίσωση xν
= α, με α < 0 και ν άρτιο φυσικό αριθμό,
είναι αδύνατη
ν
α
ν
α ν
α−
ν α−

20.
Η εξίσωση αx2
+βx+γ=0, α≠0
• Η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται εξίσωση
δευτέρου βαθμού.
Είδος ριζών
Δ = β2
- 4αγ Η εξίσωση αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0 Έχει δύο ρίζες πραγματικές και άνισες τις
Δ = 0 Έχει μια διπλή ρίζα τη
Δ < 0 Είναι αδύνατη στο ℝ
2α
Δβ-
x 1,2
±
=
2α
β
-x =

21.
Άθροισμα και γινόμενο ριζών


Κατασκευή εξίσωσης που έχει δοσμένες ρίζες x1 , x2 :
x2
– Sx + P = 0
α
β
xxS 21 −=+=
α
γ
xxP 21 =⋅=

22.
Ανισώσεις 1ου βαθμού
αx + β > 0
 Αν α > 0 , τότε:
 Αν α < 0 , τότε:
 Αν α = 0 , τότε: , η οποία
 αληθεύει για κάθε x ℝ, αν είναι β > 0
ενώ είναι αδύνατη, αν είναι β ≤ 0
α
β-
x >
α
β-
x <
-β0x >
∈

23.
Ανισώσεις 2ου βαθμού
Μορφές τριωνύμου
Η παράσταση αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0 λέγεται τριώνυμο
2ου βαθμού.
Το τριώνυμο αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0 μετασχηματίζεται
ως εξής:
Δ > 0 , τότε:
Δ = 0 , τότε:
Δ < 0 ,τότε:
2
2
2α
β
xαγβxαx 







+=++
( ) ( )21
2
xxxxαγβxαx −−=++








+







+=++
2
2
2
4α
Δ
2α
β
xαγβxαx

24.
Πρόσημο τριωνύμου
αx2
+ βx + γ = 0 , α ≠ 0
Δ > 0
-∞ x1 x2 +∞
Ομόσημο Ετερόσημο Ομόσημο
του α του α του α
Δ = 0
-∞ x1 +∞
Ομόσημο Ομόσημο
του α του α
Δ < 0
-∞ +∞
Ομόσημο του α x ℝ∈∀