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Introducción a la Matemática 
Universitaria 
­12 ­10 ­8 ­6 ­4 ­2 2 4 6 8 10 12 
­12 
Desigualdades e Inecuaciones 
y 
12 
10 
Funciones 
8 
6 
4 
Plano Cartesiano y rectas 
2 
x 
Circunferencia ­2 
­4 
­6 
Elipse 
­8 
­10 
Hipérbola 
Parábola 
Nora Scoppetta José Sarabia Profesor Asociado Profesor Titular UNEXPO 
En honor a la Universidad Nacional Experimental Politécnica "Antonio José de Sucre" 
en su quincuagésimo aniversario 2012 
 
 
INDICE GENERAL 
CAPÍTULO I 
Desigualdades e Inecuaciones 
1. Propiedades de orden en R ......................................................................... 1 2. 
Inecuaciones de grado uno ......................................................................... 2 3. 
Inecuaciones Algebraicas ............................................................................ 8 
Ejercicios propuestos .................................................................................. 14 4. Valor 
absoluto .............................................................................................. 15 Ejercicios 
propuestos .................................................................................. 22 
CAPÍTULO II 
FUNCIONES 
1. Introducción y definición de función.......................................................... 25 
Ejercicios propuestos .................................................................................. 29 2. 
Funciones definidas seccionalmente .......................................................... 30 3. 
Funciones pares e impares.......................................................................... 31 
Ejercicios propuestos................................................................................... 32 4. 
Funciones monótonas (crecientes y decrecientes)............................................ 33 5. 
Tipos de funciones ....................................................................................... 34 
Ejercicios propuestos ................................................................................... 38 6. 
Transformación de funciones ..................................................................... 40 7. 
Combinación de funciones .......................................................................... 43 
Ejercicios propuestos ................................................................................... 46 8. 
Función inyectiva, sobreyectiva y biyectiva ............................................... 48 9. 
Funciones trigonométricas inversas ........................................................... 52 
Ejercicios propuestos ................................................................................... 57 
CAPÍTULO III 
1. Plano Cartesiano. Distancia entre dos puntos en . Fórmula de punto 
medio................................................................................................................. 
60 Ejercicios propuestos..................................................................................... 64 2. 
Recta.................................................................................................................. 66 
Ejercicios propuestos....................................................................................... 79 3. 
Circunferencia.................................................................................................. 80 
Ejercicios propuestos..................................................................................... 86 
ii 
 
 
4. Elipse................................................................................................................. 91 
Ejercicios propuestos....................................................................................... 111 5. 
Hipérbola........................................................................................................... 117 
Ejercicios propuestos....................................................................................... 136 6. 
Parábola............................................................................................................. 140 
Ejercicios propuestos........................................................................................ 158 
Bibliografía.............................................................................. 161 
iii 
 
 
INTRODUCCIÓN 
El presente texto de Introducción a la Matemática Universitaria, tiene dos objetivos                       
fundamentales: uno, el de reforzar algunos contenidos de Educación Secundaria, y el                       
otro, el de introducir algunos conceptos manejados como cosa conocida, en los cursos                         
de Cálculo I. Es bien conocido entre los profesores y alumnos de las Universidades del                             
país, que un alto porcentaje de las causas del fracaso de un buen número de                             
estudiantes de primer semestre, en la asignatura denominada Cálculo I, o Análisis I, se                           
debe a graves fallas en los conceptos de matemática elemental, al hecho de no tener                             
buenos métodos de estudio, y muchas veces a no tener práctica con ejercicios de                           
razonamiento. 
En este texto, contemplamos el estudio de algunas propiedades del conjunto R, así                         
como la resolución de inecuaciones de diferentes tipos. Luego pasamos al estudio de                         
funciones, donde aprovechamos para repasar algunas propiedades de funciones muy                   
conocidas, insistiendo sobre todo con las funciones trigonométricas. Como tercera y                     
última parte, damos algunos tópicos de Geometría Analítica, como: sistemas de                     
coordenadas, punto medio, recta, circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. En todos                     
los capítulos intentamos entrenar al alumno en la lectura y comprensión, bien razonada                         
de las demostraciones. Esto con el objeto de remediar la casi inexistencia de estos                           
procesos mentales, sobre todo por la ausencia del estudio de los diferentes temas de                           
Geometría en el bachillerato. Ciencia esta que desde hace siglos es bien conocida, por                           
tener esta virtud. 
La idea que nos impulsa para publicar el texto en INTERNET, es sobre todo                           
económica, ya que de esta manera consideramos que se abaratan los costos de                         
adquisición de libros para nuestros estudiantes. Asimismo, aspiramos que nuestros                   
colegas, así como los estudiantes nos hagan llegar los errores advertidos, problemas y                         
contenidos interesantes, que ellos consideren puedan enriquecer el libro. Esto lo                     
pueden hacer, enviándolos a nuestros correos electrónicos: no2003ra@hotmail.com y                 
jsarabia197@hotmail.com 
Gustosamente, daremos respuestas a las inquietudes mostradas por nuestros lectores. 
Los autores 
Barquisimeto, 2012 
iv 
 
 
CAPÍTULO I 
DESIGUALDADES E INECUACIONES EN R 
1. Propiedades de orden en R 
Definición. Sean diremos que . O sea, . Asimismo 
(se lee menor o igual). Finalmente escribimos . O sea, sii . 
Propiedades. Sean . 
a) (Reflexiva) b) (Antisimétrica) c) (Transitiva) d) e) f) Sea g) Sea Nota: ">" cumple con 
todas las propiedades anteriores (cambiando ), excepto la a). 
Demostración: 
a) pues . Ya que ( ó ) b) . 
En R un número puede ser: ó ó . Luego si , entonces: (!), pues 
(¡lo contrario!), luego . c) De acuerdo a la definición de , tenemos: 
( ) ( ) a ≥ b ⇒ a ­ b ≥ 
0 ( 
Lasumadedosnúmerosnonegativos b ≥ c ⇒ b ­ c ≥ 
0 es siempre un número no negativo 
). a ­ b + b ­ c = a ­ c 
≥ 
0 ⇒ a ≥ 
c Entonces 
: 
a ≥ b ∧ b ≥ c ⇒ a ≥ 
c 
d) 
Aplicación de la propiedad anterior: Resolver la inecuación: Le sumo ¡en ambos 
miembros! 
. Es decir los valores de forman el conjunto: ∞ . (¡En un momento 
recordamos esto!) e) Ejercicio f) Sea . ((+).(no negativo)=(no negativo)) 
(o lo que es lo mismo) 
1 
 
 
g) Ejercicio 
Intervalos: Antes de seguir recordemos la notación de intervalos 
∞ 
∞ 
∞ 
∞ 
∞ ∞ 
2. Inecuaciones de grado uno 
Las propiedades de " " y " " (también de " " y " "), se pueden usar para resolver 
inecuaciones de grado uno, es decir inecuaciones de la forma (o también con 
). Ejemplo: Resolver: Solución: Sumamos en ambos miembros , o sea: 
2 
 
 
( 3 x + 2 + ­ 3 x + 1 ) ≥ 5 x ­ 1 + ( ­ 3 x 
+ 
1 ) 3 x + 2 ­ 3 x + 1 ≥ 5 x ­ 1 ­ 3 x 
+ 
1 3 ≥ 
2 
x 
( Reducimos términos semejantes) 
Multiplicamos por 1/2 (Es importante observar que 1/2 >0 ) . Y obtenemos: 
O sea, el conjunto solución es: ∞ . 
Reglas prácticas 1) Observe que si A está en un miembro de la inecuación ( digamos construida 
con ≤ ), o sea: 
sumamos (­A) y tenemos: . O sea, ¡pasa al segundo miembro con el signo 
cambiado! 
Aplicamos la regla práctica a: 
2) Si , en la inecuación: . Multiplicamos por (positivo), y tenemos: 
O sea, el , pasa dividiendo y conserva el sentido de la desigualdad. Por ejemplo: 
O sea: ∞ . 
Ejemplo. Resolver: 
Solución: 
o sea: ∞ 
Nota: en el ejemplo usamos la consecuencia de la regla práctica 2, es decir si , 
multiplicamos por , en ambos miembros, y tenemos: 
Es decir si un número divide a la incógnita (x en este caso), pasa multiplicando, 
conservando el sentido de la desigualdad si , o cambiando el sentido de ésta, si : 
3 
 
 
El 9 pasa dividiendo y el 6, multiplicando. 3) Si , en la inecuación tenemos: 
(¡Cambia por >!) 
Por ejemplo: 
O sea: , de manera que: ∞ 
Ejercicio resuelto En la especificación de una receta dice que el plato que se está 
preparando debe hornearse entre y . ¿Cuál es el intervalo correspondiente para ?, 
sabiendo que . Donde es la temperatura en que corresponde a grados Fahrenheit. 
Solución El planteamiento es: Se trata de dos inecuaciones, las cuales podemos 
resolver al mismo tiempo. 
Sumamos en todos los miembros: 
Multiplicamos por: y tenemos: 
Finalmente, resulta: 
O sea el intervalo en es: . Ejercicio resuelto Resuelva el sistema de inecuaciones: 
Solución Debemos resolver cada inecuación e intersectar las soluciones. 
1 
2 
1 2 3 x ­ 1 ≥ 5 x + 4 ⇔ ­ 2 x ≥ 5 ⇔ x ≤ ­ 5 2 ⇒ S 
= ⎛ │ ⎝ ­∞ , 
­ 
5 2 
⌉ │ ⌋ 
6 x + 8 < 4 x 
­ 3 
⇔ 2 x < ­ 11 ⇔ x < ­ 11 2 ⇒ S = ⎛ │ ⎝ ­∞ , ­ 11 2 
⎞ │ ⎠ 
⇒ S = S ⋂ S 
⎛ │ ⎝ ­∞ , ­ 5 2 ⌉ │ 
⌋ ⋂ ⎛ │ ⎝ ­∞ , ­ 11 2 ⎞ │ ⎠ = ⎛ │ ⎝ ­∞ , 
­ 
11 2 
⎞ │ ⎠ Hallemos la solución total mediante un gráfico. 
4 
 
 
Ejercicio resuelto 
Resolver el sistema: 
Solución 
Hacemos una representación gráfica de las soluciones particulares para encontrar la 
solución del sistema. 
De la gráfica anterior vemos fácilmente que la solución es: Nota: Un sistema de 
ecuaciones puede no tener solución, o sea puede ser incompatible. Por ejemplo: 
Cláramente: (Haga el gráfico de S 
1 
y S 
2 
) 
Ejercicios Propuestos 1) En los literales de esta pregunta, resuelve la inecuación y 
representa gráficamente el conjunto 
solución. 
a) ; b) ; c) ; d) 
Resp. ; b) (­8, ; c) ; d) 
5 
 
 
2) Resuelva los siguientes sistemas de inecuaciones: 
a) b) c) d) 
e) 
f) 
g) 
h) 
Resp. a) [­4,7/3]; b) (­6,­4]; c) (3/2, d) (12,16); e) (­10,1/6); f) (2,4); g) (13/9,9); h) (5,8) 
3) Sean tales que . Demuestre que ¿Es verdadero el recíproco? Resp. Si, multiplique 
por y use la propiedad (f) de >. 
4) Sean . Demuestre que . ¿Es cierta la propiedad si no son necesariamente positivos?. 
Resp. No; pruebe con ­1 y ­2 
5) Demuestre que si . 
6) Demuestre que: a) b) (*)c) ∑ n 
2 i ≥ ∑ 
i j i 1 1 
i j n 
d) 
a a a = ≤ < ≤ 
a > 0 ⇒ a 
+ 1 a 
> 1 e) Para a , b > 0 se tiene que: 
ab 
≤ 
a + 2 
b 
f) ab 1 1 + ab 2 2 ≤ a 1 2 + a 2 2 ∙ b 1 2 + b 2 2 
(Desigualdad de Cauchy­ 
Schwartz) g) (media aritmética) h) (media           
geométrica) 
6 

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