Se tratará el análisis de las impedancias de los elementos de una red eléctrica ante su respuesta a distintas frecuencias armónicas, conocido también como impedancias de thévenin o “Driving point Impedance”. Este análisis es de suma importancia en los estudios de propagación de armónicas en las redes eléctricas, su importancia radica en que se obtiene información de posibles problemas de resonancia serie como paralelo, reflejadas en una red como sobre-voltajes o sobre-corrientes. Como de costumbre se analizarán casos ilustrativos de simple comprensión.

1. Análisis Armónico en Redes Eléctricas Respuesta de Elementos a las Armónicas Dr. Manuel Madrigal Martínez Programa de Graduados e Investigación en Ingeniería Eléctrica INSTITUTO TECNOLÓGICO DE MORELIA MORELIA, MEXICO WEBINAR Leonardo Energy en Español 19 octubre 2010 – 9h00 México – 16h00 España M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

4. Definición de Fasor Considerando la siguiente función senoidal f ( t ) M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

5. Definiendo a el fasor como: M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Por tanto la representación fasorial de la función senoidal esta dada por:

6. Propiedades: M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

7. Teorema : La suma algebraica de cualquier número de funciones senoidales de la misma frecuencia angular , sea ω , y cualquier número de sus derivadas de cualquier orden, da como resultado una senoidal de la misma frecuencia angular ω . M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

8. Usando fasores: M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

9. Definición de Impedancia La impedancia, en redes pasivas lineales, esta definida como la razón del fasor de voltaje con el fasor de corriente, esto es: M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

10. Impedancia de elementos pasivos: M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

11. Respuesta de elementos pasivos: Resistencia, reactancia inductiva y reactancia capacitiva M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Resistencia (ohms) Frecuencia (Hz) Reactancia Inductiva (ohms) Frecuencia (Hz) Frecuencia (Hz) Reactancia capacitiva (ohms)

12. Resonancia Serie y Paralelo Se le llama Resonancia Serie cuando la impedancia de un circuito LC se hace cero a una frecuencia dada. A dicha frecuencia se le llama frecuencia de resonancia. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Magnitud Z (ohms) f res Frecuencia (Hz)

13. Se llama Resonancia Paralelo cuando la impedancia de un circuito LC paralelo se hace infinito a una frecuencia dada. A dicha frecuencia se le llama frecuencia de resonancia. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Magnitud Z (ohms) f res Frecuencia (Hz)

14. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Ejemplo: Respuesta a la frecuencia de elementos X (ohms) 1 2 3 4 5 6 7 8 (h)

15. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Driving-point impedance: Es la impedancia a la frecuencia angular ω , obtenida de la razón de los fasores de entrada y salida de corriente y voltaje en una red de un puerto. │ Z │ ω 1 ω 2 ω 3 ω 4 ω 5 ω 6 … ω n

16. Driving-point impedance de redes eléctricas M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México 1 2 i j k n I h + V h _

17. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México j 1 2 i k n I h + V h _

18. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Los elementos de la diagonal de la matriz de impedancias son las impedancias de Thevenin de los nodos de la red, y si estas impedancias se obtienen para diferentes frecuencias, entonces se obtiene el driving-point impendance de la red. En la grafica se muestra el driving-point impedance de los nodos i y j. 1 2 3 4 5 6 … h

20. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

21. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México 0 5 10 15 0 1 2 3 4 5 6 h magnitud Z 1,1 Z 2,2 Z 3,3

22. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México clear all f=60; w=2*pi*f; H=15; dH=0.3; R1=0.01; R2=0.02; L1=0.1e-3;L2=0.5e-3;L3=1e-3; L4=1e-3; C1=600e-6;C2=400e-6; XL1=j*w*L1; XL2=j*w*L2; XL3=j*w*L3; XL4=j*w*L4; XC1=-j/(w*C1); XC2=-j/(w*C2); k=1; for h=1:dH:H y1=1/(R1+h*XL1); y2=1/(R2+h*XL2); y3=1/(h*XL3); y4=1/(XC1/h); y5=1/(XC2/h)+1/(h*XL4); Ynodal=[y1+y3 -y1 0 -y1 y1+y2+y4 -y2 0 -y2 y2+y5]; Znodal=inv(Ynodal); Z1(k)=Znodal(1,1); Z2(k)=Znodal(2,2); Z3(k)=Znodal(3,3); k=k+1; end h=1:dH:H; plot(h,abs(Z1),'--o',h,abs(Z2),'--o',h,abs(Z3),'--o'); grid; xlabel('h'); ylabel('magnitud'); 0 5 10 15 0 5 10 15 20 25 h magnitud

23. Armónicas en Voltaje y Corriente M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

26. Filtros Sintonizados La función del filtro sintonizado es que presente una impedancia casi nula a la frecuencia de sintonización. El filtro esta conformado por un reactor y un capacitor. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Magnitud Z (ohms) h ω

27. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Ejemplo: Filtro de 5ª armónica La resistencia R por lo general es la propia del reactor (muy pequeña) X (ohms) R 1 2 3 4 5 6 7 8 (h)

30. h=1 h=9

31. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Magnitud Zeq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h

32. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México

33. M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México Magnitud Zeq 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 h

36. Manuel Madrigal Martínez, PhD., MC., Ing., IEEE Senior Member Programa de Graduados e Investigación en Ingeniería Eléctrica INSTITUTO TECNOLOGICO DE MORELIA Av. Tecnológico 1500 Col. Santiaguito C.P. 58120 Morelia Mich. México Tel : +52 (443) 317 1870 Fax: +52 (443) 317 1879 ext 276 Email: [email_address] M. Madrigal Instituto Tecnológico de Morelia, México