Circunferencia trigonometrica 5_e

I.E. “Federico Villarreal” - Túcume Circunferencias Trigonométricas Lic. Carlos Francisco Llontop Sánchez franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

Circunferencias Trigonométricas Definición, elementos y propiedades. Líneas trigonométricas. Líneas trigonométricas auxiliares. Problemas resueltos. franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

(y) x + y = 1 2 2 + + + + + + R = 1 + + (-) + - - - - 0 X’ X - - - - Y’ 1. Definición, elementos y propiedades Definición: Es una circunferencia inscrita en un sistema de coordenadas rectangulares cuyo centro coincide con el origen de dicho sistema, esta circunferencia tiene como característica fundamental, el valor del radio que es la UNIDAD (R = 1). Esta circunferencia trigonométrica sirve para representar a las líneas trigonométricas franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

Elementos de la circunferencia (+) B(0;1) R = 1 (-) (+) 0 A(1;0) A’(-1;0) (-) B’(0;-1) Se tiene los siguientes elementos: O (0 ; 0): Origen de la circunferencia. A(1 ; 0): Origen de arcos, a partir del cual se miden los ángulos trigonométricos, es decir, ángulos positivos, negativos y de cualquier magnitud. B (0 ; 1): Origen de complementos. A’ (-1 ; 0): Origen de suplementos. B’ (0 ; -1): Sin denominación específica. P (x ; y): “P” de coordenadas (x ; y) franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

Propiedades de la circunferencias x + y = 1 2 2 A Arco R = 1 Por formula: θ = L ; R=1 R θ = L ; θ =L 1 L 0 R = 1 B tg 45º tg π 4 tg=πrad 4 tg 0,7854 = 1 Ángulo en grados sexagesimales Número real ( R) Ángulo en radianes Arco numérico franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Radio de la circunferencia igual a la UNIDAD. Cuatro cuadrantes, cada uno de los cuales mide 90º, 100g ó π/2 rad. Se adoptan los signos de los ejes coordenadas, o sea, los segmentos OA´ y OB´ son negativos. “Es decir, que el numero de radianes del ángulo central es igual a la longitud del arco pero sólo como arco numérico”.

B P(x;y) y PQ ,[object Object],= = 1 1 OP θ . . . Sen θ = y A A’ 0 Q ,[object Object],B’ AP = Sen θ = PQ = y 2. Líneas trigonométricas. Línea seno Representación: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro horizontal. franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

Análisis de la línea seno +∞ 90º -------------------------- 1 0º 0 180º 360º -------------------------- -1 270º -∞ -1 ≤ Sen α ≤ 1 ,[object Object]

Variación cuadrantal.franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

B P(x;y) N 1 ----------------------- θ A A’ 0 Q x NP ,[object Object],= = 1 OP B’ . . . Cos θ = x ,[object Object],AP = Cos θ = NP = x Línea Coseno Representación: Se representa por la perpendicular trazada desde el extremo del arco, hacia el diámetro vertical. franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836

90º -------------------------- 0º 180º 360º 270º -------------------------- +∞ -∞ 1 0 -1 -1 ≤ Cos α ≤ 1 Análisis de la línea coseno ,[object Object]

T( 1 ; y1 ) B P θ A A’ 0 1 y1 AT ,[object Object],= = 1 OA B’ . . . Tg θ = y1 ,[object Object],AP = Tg θ = AT = y1 franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Línea Tangente Representación: Es una parte de la tangente geométrica trazada por el origen de arcos A(1;0), se empieza a medir de este origen y termina en la intersección de la tangente geométrica con el radio prolongado que pasa por el extremo del arco.

Análisis de la línea tangente +∞ -------------------- ,[object Object],360º 270º 180º 90º 0º ---------------- 0 0 0 Tg -------------- ------------------ 90º -------------------------------------------------------- ---------- ----- ----------------------------------- 0º 0 180º 360º ------------------------------------- ---- ------------ -------------------------------------------------------- ---------------- 270º ------------------- ------------------- ---------------------- -∞ - ∞< Tg α < +∞ franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 ,[object Object],[object Object]

0 -∞ +∞ 360º 270º 180º 90º 0º 0 0 0 0 cotg ---------------------- -------------------- ------------------- ---------------- ---------------- -------------- ------------ ---------- 90º ----- ---- ------------------ ------------------- ----------------------------------- -------------------------------------------------------- ------------------------------------- ----------------------------------------------------- 0º 180º 360º 270º - ∞< Cotg α < +∞ franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Análisis de la línea cotangente ,[object Object]

Variación cuadrantal.,[object Object]

[object Object],360º 270º 180º 90º 0º 1 -1 1 Sec 90º -------------- ---------------- ------------------ ------------------- --------------------- ---------------------- 270º ------------------------ ------------------------- -∞ ------------------------------ ------------------------------ +∞ Sec  ≤ -1 U Sec  ≥ 1 -1 1 franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Análisis de la línea secante ,[object Object],[object Object]

+∞ ------------------------ ,[object Object],--------------------- 360º 270º 180º 90º 0º ----------------- -------------- -1 1 Cosec ------------------------------ 1 0º 180º 360º ,[object Object],------------------------------ -1 ---------------- ------------------ Signo Comportamiento Variación Cuadrante (+) Decreciente +∞ a 1 Q1 ---------------------- (+) Creciente 1 a +∞ Q2 ------------------------- -∞ ( - ) Creciente -∞ a -1 Q3 Cosec  ≤ -1 U Cosec  ≥ 1 ( - ) Decreciente -1 a -∞ Q4 franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Análisis de la línea cosecante

3. Líneas trigonométricas auxiliares l ,[object Object],B P ,[object Object],OM ,[object Object],-------------------- OP ll θ A A’ OM … . . . . . . 0 M = = Cos θ = OM Vers θ = MA 1 ___________ 1 ____________I l : Reemplazamos ll en Vers θ = 1 – OM B’ franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Línea seno verso o verso (vers) Es los que le falta al coseno de un arco para valer la unidad. El verso se empieza a medir a partir del origen de versos que vienen a ser el origen de arcos A(1;0), y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro horizontal. El verso es positivo.

B l ,[object Object],P M θ ___________ ____________I 1 ,[object Object],-------------------- MO ,[object Object],OP θ A A’ 0 Q ll MO … ___________ 1 ____________I . . . . . . = = Sen θ = MO Cov θ = BM 1 l : Reemplazamos ll en B’ Cov θ = 1 – MO franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Línea coseno verso o coverso (cov) Es lo que le falta al seno de un arco para valer la unidad. El coverso se empieza a medir en el origen de coversos que vienen a ser el origen de completo B(0;1); y termina en el pie de la perpendicular trazada desde el extremo del arco al diámetro vertical de la circunferencia trigonométrica. El coverso es siempre positivo.

Línea ex-secante o external (ex-sec) B P l ,[object Object],1 ,[object Object],θ Q A’ A 0 OQ ,[object Object],1 OP ll OQ … . . . = = Sec θ = OQ 1 B’ l : Reemplazamos ll en . . . Cov θ = BM Ex-Sec θ = OQ - 1 franko_xy@hotmail.com Cel. 97-8854040 / RPM. *902836 Es el exceso de la secante respecto a la unidad. La exsecante se mide a partir del origen de la exsecantes que vienen a ser el origen de arcos y termina en el punto donde termina la secante de ese arco. Si la secante se mide hacia la derecha del origen de exsecantes es positiva y en caso contrario es negativa.

α B ,[object Object],P A’ o A Q 1 1 1 (OA)(PQ) Sen α S▲AOP= S▲AOP= B’ 1 (1)(Sen α) 2 2 S▲AOP= 2 4. Problemas de Aplicación Del grafico, hallar el área de la región triángular AOP Problema 1: PQ = Sen α --------------- Sen α ,[object Object],OA = 1 ,[object Object],Solución

Q B B P Q N B 80º 80º P 80º Q P M ----------------- 10º 10º A´ A O 10º A´ A M N O A´ A O B´ B’ B´ PM < QN PM > QN AP < AQ Problema 2: Indicar si las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas III. Tg 10º > Tg 80º II. Cos 10º > Cos 80º I. Sen 10º > Sen 80º AP = Tg 10º PM = Sen 10º PM = Cos 10º AQ = Tg 80º QN = Sen 80º QN = Cos 80º Tg 10º < Tg 80º Sen 10º < Sen 80º Cos 10º > Cos 80º Falso Falso Verdadero

θЄ ; , hallar entre qué límites varía “a” Si Cos θ = -1 ≤ Cos θ < 0 ,[object Object],-1 Cos θ 0 π - ∞ 3π + ∞ ; π/2 2 2 -1 ≤ 3ª - 4 < 0 3a - 4 C.T -------------------- 5 5 0,2π π O -5 ≤ a < 4 3π/2 3 3 3 4 1 - ; a Є Solución 3 3 ; Problema 3: -5 ≤ 3a - 4 < 0 -5 ≤ 3a < 4

Determina la variación de : Problema 4: -1 ≤ Sen 2 < 0 ,[object Object],E = 5 Sen2 + 2; + ∞ C.T π π/2 π Є ; 2 -3 ≤ 5 Sen 2 + 2 < 2 O 0 2π π Sen 2 -1 -------------------- 3π/2 ; -5 ≤ a < 4 2 E Є Solución -3 - ∞ 3 3 3 ,[object Object]

Sumando (+2) a cada miembro:-3 ≤ E < 2

Analizando la figura: Problema 5: π/2 = C.T. π/6 m AA´P = Tg 15º = AÓC 30º mAP (ángulo inscrito) 15º = = π 0.2 π 2 - √3 = OC o 2 2 < OC 1 S▲CA´B´ = B OA´ = 1 3π/2 P C 30º S▲CA´B´ = (BĆ)(OA´) 2 - √3 15º A A´ BĆ = 3 - √3 o 1 2 3 - √3 S▲CA´B´ = u2 2 2 1 (3 - √3) (1) B´

En la figura, PM = 0.8. Hallar OS Problema 6: ,[object Object]

La línea OS representa el Sec θ, veamos:OP = 1 P C.T. Sen θ = OMP : PM = 0,8 1 0,8 S Sen θ = Sen θ = Sen θ = Sec θ = θ o A PM 0,8 4 OS OS M ; OP 1 5 1 OP OPS 5 ; OP = 1 4 5 3 θ 3 OS = Sec θ OS = ,[object Object],[object Object]

Analizando las líneas notables en la C.T.:

Problema 8: Si θЄ ; ,[object Object],< < θ -1 ≤ 4Tg2θ< 3 - ,[object Object],B 1 ,[object Object],-1 < Tg θ< 1 π π 4 4 A´ A 0 ≤ Tg2θ <1 o ,[object Object],-π π 4 4 A = 4 Tg2θ - 1 ,[object Object],0 ≤ 4Tg2θ< 4 -1 B´ ,[object Object],- π π ; 4 4 A Є [-1;3 -1 ≤ A < 3

Problema 9: De la figura, hallar E= a = 1 (a ; b) = (1 ; Tg ) (c ; d) b = Tg  (0 ; Cosec ) (c ; d) = (0 ; Cosec ) B Cosec  (e ; f) Cos  (Cos ; Sen ) c = 0 (e ; f) = (Cos  ; Sen )  Sen  d = Cosec  A A´ O 1 Tg  (Tg )(0)+(Cosec )(Sen ) E = e = Cos  (1 ; Tg  ) (1)(Cos ) C.T. (a ; b) f = Sen  0 + 1 1 B` bc + df Cos  Cos  E = = E = Sec  ae ,[object Object]

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