Étude des fonctions à plusieurs variables (GEII MA32)

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Graphes, Dérivée partielles, opérateurs vectoriels, intégrales multiples (dont séparables et par changement de variable)

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Étude des fonctions à plusieurs variables (GEII MA32)

  1. 1. MA32 (GEII - S3) D - F ONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES F. Morain-Nicolier frederic.nicolier@univ-reims.fr 2013 - 2014 / URCA - IUT Troyes 1 / 62
  2. 2. O UTLINE 1. F ONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES 2. I NTÉGRALES MULTIPLES ( DOUBLES ) 2 / 62
  3. 3. 1.1. D ÉFINITION ET EXEMPLES On appelle fonction de plusieurs variables de Rn dans R, d’ensemble de définition D ⊆ R, toute application définie par : f : D ⊆ Rn (x1 , x2 , . . . , xn ) →R → f (x1 , x2 , . . . , xn ) 1. figs/MA32-4.pdf 3 / 62
  4. 4. 1.1. D ÉFINITION ET EXEMPLES On appelle fonction de plusieurs variables de Rn dans R, d’ensemble de définition D ⊆ R, toute application définie par : f : D ⊆ Rn (x1 , x2 , . . . , xn ) →R → f (x1 , x2 , . . . , xn ) La détermination du domaine de définition est essentielle ! Exemples : équations aux dérivées partielles (EDP) : Schrödinger, Maxwell, propagation des ondes, de la chaleur (Fourier), mécaniqugraphe2xy 1 e des fluides (Navier-Stokes), relativité générale, . . . 1. figs/MA32-4.pdf 4 / 62
  5. 5. 1.2. G RAPHES Soit f : D ⊆ R2 → R, une fonction à deux variables. graphe : ensembles de points (x, y, f (x, y)). y = f (x) : représente une courbe (C) dans le plan z = f (x, y) : représente une surface (S) dans l’espace 3D. 5 / 62
  6. 6. 1.2. G RAPHES Soit f : D ⊆ R2 → R, une fonction à deux variables. graphe : ensembles de points (x, y, f (x, y)). y = f (x) : représente une courbe (C) dans le plan z = f (x, y) : représente une surface (S) dans l’espace 3D. Difficile à représenter graphes des sections x = K, y = K et z = K 6 / 62
  7. 7. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1 Soit f (x, y) = x2 y. 7 / 62
  8. 8. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1 Soit f (x, y) = x2 y. F IGURE : Graphe de fK (y) = K2 y 8 / 62
  9. 9. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1 Soit f (x, y) = x2 y. F IGURE : Graphe de fK (x) = Kx 9 / 62
  10. 10. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 1 Soit f (x, y) = x2 y. F IGURE : Graphe de f (x, y) = x2 y 10 / 62
  11. 11. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 2 Soit f (x, y) = x2 + y2 . 11 / 62
  12. 12. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 2 Soit f (x, y) = x2 + y2 . F IGURE : Graphe de f (x, y) = x2 + y2 12 / 62
  13. 13. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 3 2 +y2 ) Soit f (x, y) = xe−(x . 13 / 62
  14. 14. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 3 2 +y2 ) Soit f (x, y) = xe−(x . F IGURE : Graphe de f (x, y) = xe−(x 2 + y2 ) 14 / 62
  15. 15. 1.2. G RAPHES : EXEMPLE 3 2 +y2 ) Soit f (x, y) = xe−(x . F IGURE : Graphe de f (x, y) = K 15 / 62
  16. 16. 1.3. L IMITE ET CONTINUITÉ 16 / 62
  17. 17. 1.3. L IMITE ET CONTINUITÉ Soit M0 un point du domaine de définition D d’une fonction f à plusieurs variables. D ÉFINITION f est continue en M0 ssi 1. f est définie au voisinage de M0 , 2. f (M) tend vers f (M0 ) lorsque M tend vers M0 . 17 / 62
  18. 18. 1.4. D ÉRIVÉES PARTIELLES - D ÉFINITIONS Comment varient les valeurs de f ? ⇒ Concept de dérivées partielles. 18 / 62
  19. 19. 1.4. D ÉRIVÉES PARTIELLES - D ÉFINITIONS Comment varient les valeurs de f ? ⇒ Concept de dérivées partielles. D ÉFINITION Soit f (x, y) une fonction définie dans R2 , on appelle dérivée partielle de f par rapport à x, la fonction obtenue en dérivant f (x, y) par rapport à x et en considérant y constant. On note cette dérivée partielle : ∂f ∂ ou f ∂x ∂x 19 / 62
  20. 20. 1.5. D ÉRIVÉE D ’ ORDRE SUPÉRIEUR À 1 - T HÉORÈME DE S CHARTZ Raisonnons avec deux variables. Si les dérivées partielles de f existent et sont dérivables sur D, leurs dérivées partielles sont pour f des dérivées partielles secondes. 20 / 62
  21. 21. 1.5. D ÉRIVÉE D ’ ORDRE SUPÉRIEUR À 1 - T HÉORÈME DE S CHARTZ Raisonnons avec deux variables. Si les dérivées partielles de f existent et sont dérivables sur D, leurs dérivées partielles sont pour f des dérivées partielles secondes. ∂f ∂x dérivable ⇒ ∂2 f ∂x2 ∂f ∂y dérivable ⇒ ∂2 f ∂x∂y et ∂2 f ∂y∂x . et ∂2 f . ∂y2 Attention à la disposition des variables ! ! E XEMPLE f (x, y) = ex ln y + sin(xy). 21 / 62
  22. 22. 1.5. D ÉRIVÉE D ’ ORDRE SUPÉRIEUR À 1 - T HÉORÈME DE S CHARTZ T HÉORÈME (de Schwartz) ∂2 f ∂2 f Si ∂y∂x et ∂x∂y sont continues en M = (x, y) alors ∂2 f ∂2 f = ∂y∂x ∂x∂y ⇒ L’ordre des dérivées partielles n’importe pas. 22 / 62
  23. 23. 1.6. D IFFÉRENTIELLES Rappelons la notion de différentielle pour une fonction à une variable f (x). 23 / 62
  24. 24. 1.6. D IFFÉRENTIELLES Rappelons la notion de différentielle pour une fonction à une variable f (x). ⇒ différentielle de f = produit de la dérivée par la différentielle de la variable : df = f (x)dx. 24 / 62
  25. 25. 1.6. D IFFÉRENTIELLES Rappelons la notion de différentielle pour une fonction à une variable f (x). ⇒ différentielle de f = produit de la dérivée par la différentielle de la variable : df = f (x)dx. (Généralisation à plusieurs dimensions) différentielle de f = somme des produits entre les dérivées partielles et les différentielles des variables. Exemple (à deux variables) df = ∂f ∂f dx + dy. ∂x ∂y 25 / 62
  26. 26. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE C’est l’analyse des champs (i.e. espaces) tensoriels. 26 / 62
  27. 27. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE C’est l’analyse des champs (i.e. espaces) tensoriels. tenseur d’ordre 1 : champ scalaire. À chaque point de l’espace est associé un nombre (ex. température, pression, . . . ). tenseur d’ordre 2 : champ vectoriel. À chaque point de l’espace est associé un vecteur (ex. gravité, champ électromagnétique). tenseur d’ordre 3 : champ matriciel. À chaque point de l’espace est associé une matrice (ex. contraintes, déformation). 27 / 62
  28. 28. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE C’est l’analyse des champs (i.e. espaces) tensoriels. tenseur d’ordre 1 : champ scalaire. À chaque point de l’espace est associé un nombre (ex. température, pression, . . . ). tenseur d’ordre 2 : champ vectoriel. À chaque point de l’espace est associé un vecteur (ex. gravité, champ électromagnétique). tenseur d’ordre 3 : champ matriciel. À chaque point de l’espace est associé une matrice (ex. contraintes, déformation). On définit des opérations sur ces champs : gradient, divergence et rotationnel. Très utilisé en électromagnétisme (équations de Maxwell), mécanique des fluides, propagation, . . . 28 / 62
  29. 29. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT Indique de quelle façon le champ varie dans l’espace. Il est donc défini à partir des dérivées partielles. C’est un vecteur. 29 / 62
  30. 30. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT Indique de quelle façon le champ varie dans l’espace. Il est donc défini à partir des dérivées partielles. C’est un vecteur. Soit f une fonction à trois variables : f : D ⊆ R3 (x, y, z) → R, → f (x, y, z). 30 / 62
  31. 31. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT Indique de quelle façon le champ varie dans l’espace. Il est donc défini à partir des dérivées partielles. C’est un vecteur. Soit f une fonction à trois variables : f : D ⊆ R3 → R, → f (x, y, z). (x, y, z) Le gradient est un opérateur qui s’applique à un champ de scalaires et le transforme en un champ de vecteurs :   grad f =  ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂z   . 31 / 62
  32. 32. 1.7 A NALYSE V ECTORIELLE : GRADIENT Le gradient est un opérateur. Il est parfois noté : : (R3 → R) → (R3 → R3 ),    = ∂ ∂x ∂ ∂y ∂ ∂z  . 32 / 62
  33. 33. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l’intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l’altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente. 33 / 62
  34. 34. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : GRADIENT Pratiquement, le gradient indique la direction de la plus grande variation du champ scalaire, et l’intensité de cette variation. Par exemple, le gradient de l’altitude est dirigé selon la ligne de plus grande pente et sa norme augmente avec la pente. F IGURE : Deux exemples de gradients 34 / 62
  35. 35. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : DIVERGENCE La divergence transforme un champ vectoriel en champ scalaire. 35 / 62
  36. 36. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : DIVERGENCE La divergence transforme un champ vectoriel en champ scalaire. Soit F un champ de vecteur :   Fx F =  Fy  Fz 36 / 62
  37. 37. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : DIVERGENCE La divergence transforme un champ vectoriel en champ scalaire. Soit F un champ de vecteur :   Fx F =  Fy  Fz div F = ∂Fy ∂Fx ∂Fz + + ∂x ∂y ∂z div F = .F Utilisé lorsque des flux sont présents. 37 / 62
  38. 38. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : ROTATIONNEL Le rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. 38 / 62
  39. 39. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : ROTATIONNEL Le rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. Soit F un champ de vecteur :   Fx F =  Fy  Fz 39 / 62
  40. 40. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE : ROTATIONNEL Le rotationnel transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel. Soit F un champ de vecteur :   Fx F =  Fy  Fz   ∂Fz /∂y − ∂Fy /∂z rot F =  ∂Fx /∂z − ∂Fz /∂x  ∂Fy /∂x − ∂Fx /∂y rot F = ∧F Il exprime la tendance d’un champ à tourner autour d’un point. 40 / 62
  41. 41. 1.7 A NALYSE VECTORIELLE Ces opérateurs possèdent certaines propriétés (non démontrées ici) : rot(grad) = 0 div(rot) = 0 rot(rot) = grad(div) − div(grad) ... 41 / 62
  42. 42. O UTLINE 1. F ONCTIONS À PLUSIEURS VARIABLES 2. I NTÉGRALES MULTIPLES ( DOUBLES ) 42 / 62
  43. 43. 2.1. R ETOUR SUR L’ INTÉGRALE SIMPLE L’intégrale simple permet de calculer l’aire délimitée par une courbe plane. 43 / 62
  44. 44. 2.1. R ETOUR SUR L’ INTÉGRALE SIMPLE L’intégrale simple permet de calculer l’aire délimitée par une courbe plane. b S= a f (x)dx = lim ∑ f (xi )∆xi . ∆xi →0 x i 44 / 62
  45. 45. 2.1. R ETOUR SUR L’ INTÉGRALE SIMPLE L’intégrale simple permet de calculer l’aire délimitée par une courbe plane. b S= a f (x)dx = lim ∑ f (xi )∆xi . ∆xi →0 x i L’intégrale double va permettre de calculer le volume délimité par une surface tri-dimensionnelle. V= D f (x, y)dxdy. 45 / 62
  46. 46. 2.2. I NTÉGRALE DOUBLE : DÉFINITION 46 / 62
  47. 47. 2.2. I NTÉGRALE DOUBLE : DÉFINITION V = lim lim ∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi . ∆xi →0 ∆yi →0 x i yi On note V= D f (x, y)dxdy. (∗) 47 / 62
  48. 48. 2.3. M ÉTHODE DE CALCUL Raisonnons sur V ∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi . xi yi 48 / 62
  49. 49. 2.3. M ÉTHODE DE CALCUL Raisonnons sur ∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi . V xi yi Au final : V= b V= dx a c V= d dy y1 (x) y0 (x) x1 (y) x0 (y) D f (x, y)dxdy. (notation) f (x, y)dy. (ordre de calcul 1 : y puis x) f (x, y)dx. (ordre de calcul 2 : x puis y) 49 / 62
  50. 50. 2.3. M ÉTHODE DE CALCUL Raisonnons sur ∑ ∑ f (xi , yi )∆xi ∆yi . V xi yi Au final : V= b V= dx a c V= d dy y1 (x) y0 (x) x1 (y) x0 (y) D f (x, y)dxdy. (notation) f (x, y)dy. (ordre de calcul 1 : y puis x) f (x, y)dx. (ordre de calcul 2 : x puis y) T HÉORÈME Si f (x, y) est continue sur D, quelque soit le partage, il existe une limite unique V lorsque les ∆xi et ∆yi tendent vers 0. 50 / 62
  51. 51. 2.4. E XEMPLES a) Soit le domaine D = {(x, y) ∈ R : 1 ≤ y ≤ x2 , 1 ≤ x ≤ 2}, calculons Ia = f (x, y)dxdy D avec f (x, y) = x2 + y2 . 51 / 62
  52. 52. 2.4. E XEMPLES a) Soit le domaine D = {(x, y) ∈ R : 1 ≤ y ≤ x2 , 1 ≤ x ≤ 2}, calculons Ia = f (x, y)dxdy D avec f (x, y) = x2 + y2 . b) Calculons Ib = D ex2 dxdy, où D désigne l’intérieur du triangle (0, 0) − (1, 0) − (1, 1 ). 3 52 / 62
  53. 53. 2.5. P ROPRIÉTÉS DE L’ INTÉGRALE DOUBLE 53 / 62
  54. 54. 2.5. P ROPRIÉTÉS DE L’ INTÉGRALE DOUBLE Linéarité D α D [αf (x, y) + βg(x, y)] dxdy = f (x, y)dxdy + β D g(x, y)dxdy. Partition du domaine Si D = D1 ∪ D2 avec D1 ∩ D2 = ∅, alors D f (x, y)dxdy = D1 f (x, y)dxdy + D2 f (x, y)dxdy. 54 / 62
  55. 55. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes 55 / 62
  56. 56. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes et si f est une fonction séparable, ie. f (x, y) = g(x)h(y) 56 / 62
  57. 57. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes et si f est une fonction séparable, ie. f (x, y) = g(x)h(y) alors b I= D f (x, y)dxdy = a g(x)dx × d c h(y)dy . 57 / 62
  58. 58. 2.6. I NTÉGRALES SÉPARABLES Si D est un domaine rectangulaire et parallèle aux axes et si f est une fonction séparable, ie. f (x, y) = g(x)h(y) alors b I= D f (x, y)dxdy = a g(x)dx × d c h(y)dy . L’intégrale se ramène à produit de deux intégrales simples Un changement de variable permet parfois d’obtenir la séparabilité. 58 / 62
  59. 59. 2.7. C HANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE DOUBLE Soient ∆ et D de R2 et ϕ une application : ϕ:∆→D (x, y) → (s, t) 59 / 62
  60. 60. 2.7. C HANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE DOUBLE Soient ∆ et D de R2 et ϕ une application : ϕ:∆→D (x, y) → (s, t) Soit donc le changement de variables x = x(s, t) et y = y(s, t), ie. f (x, y) = f (x(s, t), y(s, t)) = F(s, t) 60 / 62
  61. 61. 2.7. C HANGEMENT DE VARIABLES DANS UNE INTÉGRALE DOUBLE Soient ∆ et D de R2 et ϕ une application : ϕ:∆→D (x, y) → (s, t) Soit donc le changement de variables x = x(s, t) et y = y(s, t), ie. f (x, y) = f (x(s, t), y(s, t)) = F(s, t) Alors ∆ où ∂(x,y) ∂(s,t) f (x, y)dxdy = D F(s, t) ∂(x, y) dsdt ∂(s, t) est le jacobien de ϕ : ∂(x, y) = ∂(s, t) ∂x ∂s ∂x ∂t ∂y ∂s ∂y ∂t 61 / 62
  62. 62. 2.8. A PPLICATIONS AUX COORDONNÉES POLAIRES 62 / 62

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