Distributions statistiques à deux dimensions

Section I – Tableau statistique à double entrée :
C'est une représentation d...
Section II - Les caractéristiques des distributions à deux caractères :
I- Les caractéristiques de distribution marginale ...
V j ( x) 

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n j

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n  xi ²  x j ²

i 1 ij

 j ( x)  V j ( x)
- Vj(x) c'est la variance qui mesure la dispersio...
Section III : Étude des liaisons statistiques : régression, ajustement et corrélation :
I- Les courbes de régression :

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  1. 1. Distributions statistiques à deux dimensions Section I – Tableau statistique à double entrée : C'est une représentation des séries à deux caractères X et Y, dans un tableau statistique à deux dimensions, il s’appelle tableau à double entrées ou tableau de contingence ou tableau de corrélation. Exemple : L'âge et la taille, Salaire et nombre des employeurs, etc. I.1- Distribution marginale : - On a p et q le nombre des modalités où X = (x1, x2, … , xi, … , xp) et Y = (y1, y2, … , yj, … , yq).  La présentation de X et Y sous forme d'un tableau suivant : Modalité de Y Modalité de X x1 x2 . . xi . . xp n. j y1 y2 n1 1 n2 1 n1 2 n2 2 . . yi . . . . yq ni . n1 . n2 . . . ni . . . np . . n1 j . n2 j . . . n1 q . n2 q . ni j . . ni q . np j . n. j . . . np q . n. q . . ni 1 ni 2 . . . np 1 n. 1 np 2 n. 2 . . Effectif marginaux du caractère X n Effectif marginaux du caractère Y 1) Effectifs partiels : Les effectifs partiels apparaissent à l’intérieur du tableau. nij : effectif de la population présentant à la fois la modalité i de X et modalité j de Y. nij : l’indice de X(i) d’abord et de Y(j) ensuite. - Modalités de Y apparaissent en ligne. - Modalités de X apparaissent en colonne. n.j = … ; il y a n.j individus qui ... 2) Fréquence partielles : f ij  nij n Interprétation : - fij des individus ont entre BI (Borne inférieur) et BS (Borne supérieur) des X et touche un Y entre BI et BS. - fij … % des individus qui ont un xi entre … et … et touchent un yj entre … et … . 3) Fréquence conditionnelle : fi / j  nij n j et f j /i  nij ni Interprétation : - fi/j des individus qui touchent Y entre [classe[ sont entre [classe de X[. fi/j = ... Soit fi/j % Parmi les individus qui touchent un yj, il y a ...% qui sont à un xi de BI à BS ans. 4) fréquence marginales : fi. = …. , C'est la fréquence marginale de la classe de xi [BI , BS[ qui correspond à i = ... Donc fi.% Des individus sont à un xi de BI à moins de BS. Page | 1
  2. 2. Section II - Les caractéristiques des distributions à deux caractères : I- Les caractéristiques de distribution marginale : I.1- Caractère X :  Moyenne marginale : x p 1  ni. xi n i1 - x est le xi moyen des individus. - le moyen de xi des individus qui touchent un yj entre … et … est de … . - le xi moyen des individus est de … .  Variance marginale : V ( x)  1 p i1 ni. xi ²  x² n  ( x)  V  x  - V(x) c'est la variance qui mesure la dispersion de xi par rapport à la moyenne des individus. - σ (x) !! C'est l'écart de xi par rapport à la moyenne des individus. I.2- Caractère Y :  Moyenne marginale : y 1 q  ni. yi n i1 - y est le yi moyen des individus.  Variance marginale : V ( y)  1 p i1 ni. yi ²  y ² n  ( y)  V  y  - V(y) c'est la variance qui mesure la dispersion de yi par rapport à la moyenne des individus. - σ (y) !! C'est l'écart de yi par rapport à la moyenne des individus. II- Les caractéristiques de distribution conditionnelle II.1- de X selon Y:  Moyenne conditionnelle : xj  1 n j  nij  xi ou x j   p f i / j  xi i 1 i 1 p - x j est le xi moyen des individus qui ont un yj entre ... et ... .  Variance conditionnelle : Page | 2
  3. 3. V j ( x)  1 n j  p n  xi ²  x j ² i 1 ij  j ( x)  V j ( x) - Vj(x) c'est la variance qui mesure la dispersion de xi par rapport à la moyenne des individus qui ont un yj entre ... et ... . - σ j(x) !! C'est l'écart de xi par rapport à la moyenne des individus qui ont un yj entre ... et ... . II.2- de Y selon X:  Moyenne conditionnelle : yi  1 q  j1 nij  y j ou yi  qj1 fi / j  y j ni. - y i est le yj moyen des individus qui ont un xi entre ... et ... .  Variance conditionnelle : Vi ( y )  1 q  nij  y j ²  yi ² ni. j 1  i ( y)  Vi ( y) - Vi(y) c'est la variance qui mesure la dispersion de yi par rapport à la moyenne des individus qui ont un xi entre ... et ... . - σ i(y) !! C'est l'écart de yi par rapport à la moyenne des individus qui ont un xi entre ... et ... . III- Relations entre les caractéristiques marginales et conditionnelles : III.1- Moments simples : m r,s  1 i  j nij  x r i  y s j n.. m1,0 = x ; m0,1 = y ; m2,0 = il s'agit du premier terme de la formule développé de V(x). m0,2 = il s'agit du premier terme de la formule développé de V(y). III.2- Moments centrées :   r 1 µr,s  i  j nij  xi  x  yi  y n..  s III.3- Covariance : La covariance permet de savoir l'indépendance qui existe entre les deux variables. - Si Cov > 0 : x et y suivent le même sens. - Si Cov < 0 : x et y suivent le sens contraire. - Si Cov = 0 : x et y sont indépendants. Page | 3
  4. 4. Section III : Étude des liaisons statistiques : régression, ajustement et corrélation : I- Les courbes de régression : Cy/x : courbe de régression de y en x => xi*yi. Cx/y : courbe de régression de x en y => yi*xi. II- Ajustement linéaire : • Équation D : y = ax + b cov( x, y ) V ( x) a b = y – ax • Équation D' : x' = a'y + b' a  cov( x, y ) V ( y) b’ = x – a’ y III- Corrélation simple : III.1- Coefficient de corrélation simple : r cov( x, y )  ( x)   ( y ) •r>0 •r<0 •r=0 • -1 =< r =< 1 : x et y varient dans le même sens. : x et y varient en sens contraire. : il y a indépendance totale. : Il y a une forte corrélation linéaire entre x et y. III.1- Coefficient d'amélioration : A  1  1  r² • A > 50 % : Il y a une présomption de corrélation entre deux variables. • A = 65 % : Il y a une présomption favorable. • r2 > 0,75 : Il y a une forte corrélation entre deux variables. Page | 4

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