1. Sadržaj
1. Uvod u Excel ..............................................................................................................................1
1.1. Startovanje Excela...............................................................................................................2
1.2. Radno okruženje.................................................................................................................2
1.3. Radni papir i ćelija..............................................................................................................2
1.4. Upisivanje i kretanje po ćelijama .....................................................................................4
1.5. Formatiranje ćelija ..............................................................................................................5
1.6. Formatiranje decimalnih brojeva .....................................................................................5
1.7 Menjanje boje pozadine i teksta ćelije..............................................................................6
1.8 Podešavanje širine i visine ćelija. Ubacivanje i izbacivanje redova i kolona ..............6
1.9 Spajanje ćelija .......................................................................................................................7
1.10 Uokvirivanje ćelija.............................................................................................................7
1.11 Premeštanje i kopiranje ćelija ..........................................................................................8
1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta...................................................................................9
1.13 Otvaranje novog i postojećeg dokumenta .....................................................................9
1.14 Rad sa formulama .............................................................................................................9
1.15 Grafikoni...........................................................................................................................25
2. Funkcije raspodele u Excelu ..................................................................................................28
2.1. Binomna raspodela...........................................................................................................29
2.2. Poasonova raspodela .......................................................................................................34
3. Empirijska raspodela u Excelu ..............................................................................................47
3.1. Osnovni pojmovi .........................................................................................................48
3.2 Empirijska raspodela ..................................................................................................50
4. Intervalne ocene parametara .................................................................................................60
4.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom disperzijom ..............61
4.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznate disperzije ........................66
5. Analiza korelacije ....................................................................................................................72
5.1 Uzorački koeficijent korelacije.........................................................................................75
5.2 Regresione prave ...............................................................................................................78
5.3 Provera značajnosti korelacije .........................................................................................81
5.4 Interpretacija koeficijenata korelacije .............................................................................83
6. Regresiona analiza...................................................................................................................85
6.1 Metod najmanjih kvadrata...............................................................................................88
6.2 Srednje kvadratno odstupanje empirijske formule ......................................................90
6.3 Koeficijent determinacije ..................................................................................................90
6.4 Određivanje pravolinijske zavisnosti .............................................................................91
6.5 Intervali poverenja odsečka i nagiba ..............................................................................99
6.6 Testiranje hipoteza u vezi sa odsečkom i nagibom ...................................................102
6.7 Linearizovane dvoparametarske empirijske formule...............................................103
Literatura ....................................................................................................................................113

2. 1. Uvod u Excel
1

3. 1.1. Startovanje Excela
Microsoft Excel je program za tabelarna proračunavanja. Osnovna osobina vršenja
takvih proračuna na računaru je da se izmenama određenih podataka menjaju i
vrednosti koje su zasnovane na njima.
Startovanje Excel-a se vrši preko ikone na desktopu. Dupli klik mišem na ikonu
Microsoft Excel i program je pokrenut. Ukoliko ikone programa nema na desktopu tada
je Excel potrebno pokrenuti prko Start menija, menija Programs, a zatim kliknuti na
Microsoft Excel.
1.2. Radno okruženje
Radno okruženje Excel-a čine :
Naslovna linija (Title Bar) – se nalazi na samom vrhu ekrana i tu se nalazi ispisano ime
dokumenta s kojim se trenutno radi i ime programa.
Traka sa menijima (Menu Bar) – se nalazi odmah ipod naslovne linije i u njoj se nalaze
meniji u kojima su grupisani razni alati.
Paleta standard (Standard Toolbar) ili paleta sa standardnim alatkama se nalazi ispod
trake sa menijima i sadrži najčešće korištene alate iz menija (novi dokument, otvaranje,
snimanje dokumenta, štampanje dokumenta i slično).
Paleta Format (Formatting Toolbar) ili paleta za formatiranje sadrži alate koji se koriste za
formatiranje teksta, određivanje vrste, veličine i boje slova, poravnavanja teksta ...
Traka za formulu (Formula Bar) je traka gde se unosi formula za ćeliju sa kojom radimo.
Statusna linija (Status Bar) opisuje u svom levom uglu stanje u kom se nalazi program-
Ready (spreman za rad), Enter (unos u ćeliju), itd. Pord toga u statusnoj liniji možemo
videti da li je uključeno prekucavane, kucanje velikih slova itd.
Klizači omogućavaju pomeranje papira kako bi se videle sve ćelije.
1.3. Radni papir i ćelija
Radni papir (eng. Worksheet) i ćelija (eng. Cell) su osnovni elementi rada u Excelu. Svaki
dokument sa kojim se radiu Excelu naziva se naziva se sveska ili knjiga (eng. Book). Da
bi se odvoile značajne celine u okviru jendog dokumenta koriste se radni papiri, koji
čine knjigu. Dakle, jedan radni papir može da se koristi za proračun, jedan za grafike
itd.
2

4. Slika 1.1.
Sam radni papir sastavljen je od ćelija. Svaka ćelija može sadržati tekst ili brojeve, i za
svaku od njih može se definisati tip (tekst, broj, valuta, procenti, datum). Ćelije se u
Excel-u mogu povezivati tako da jedna zavise od druge i na taj način formirati formule
po kojima se računaju vrednosti.
Ubacivanje novog radnog papira- vrši se preko padajućeg menija
Insert, opcije Worksheet. Ili, ako se pritisne desni taster miša na bilo
koju od kartica postojećih radnih papira, koje se nalaze iznad statusne
linije. Otvara se novi meni u kome se odabira opcija Insert, u
novootvorenom prozoru dovoljno je kliknuti OK.
Uklanjanje radnog papira – vrši se pritiskom desnog tastera miša na karticu radnog
papira koji treba obrisati, i u novootvorenom
meniju bira se opcija Delete. Otvara se novi
prozor u kome se sa OK potvrđuje brisanje, dok
se sa Cancel prekida.
3

5. Menjanje imena radnog papira – koristi se isti meni kao i prethodne dve operacije.
Pritisne se desni taster miša na karticu radnog papira čije se ime menja, a zatim u
novootvorenom meniju klikne na Rename. Nakon tog upisuje se novo ime i pritisne
taster Enter.
Premeštanje i kopiranje radnog papira- ponekad je potrebno promeniti redosled
radnih papira. Za to se koristi opcija Move or Copy. Otvara se
prozor kao sa slike. Otvara se prozor kao sa slike. Polje To Book
govori u koju knjigu (dokument) se premešta radni papir. Polje
Before Sheet ukazuje na to pre kog radnog papira želimo da
postavimo odabrani radni papir. Opcije move to end papir šalje
na kraj knjige (dokumenta). Ukoliko je otkačeno polje Create a copy
biće napravljena kopija radnog papira. Na kraju se sa OK
potvrđuju odabrane opcije.
Sekektovanje radnih papira – kada je potrebno obrisati više radnih papira ili se nad
njima vrše neke izmene, potrebno ih je prvo označiti – selektovati. Selektovanje se vrši
pritiskom na levi taster miša na kartice radnih papira koje se nalaze iznad statusne linije,
držeći taster Control – za pojedinačno selektovanje, ili taster Shift- za selektovanje
susednih radnih papira.
1.4. Upisivanje i kretanje po ćelijama
Da bi se podatak u određenu ćeliju potrebno je da se levim tasterom miša klikne na nju.
Ćelija postaje uokvirena crnim pravougaonikom, kao na slici gore. Pritiskom na bilo koji
taster sa tastature počinje unos podataka u selektovanu ćeliju.
Nakon ukucavanja teksta dovoljno je pritisnuti Enter ili strelicama pomeriti kursor na
neku drugu ćeliju. Excel sam rapspoznaje određene tipove podataka.
Brisanje teksta iz ćelije se vrši ozmačavanjem ćelije koja se briše a zatim se pritisne
taster Delete. Moguće je obrisati i više ćelija odjednom tako što se prvo sve selektuju, a
zatim se pritisne taster Delete.
Pomeranje kurora na određenu ćeliju najlakše je izvršiti klikom levog miša na tu ćeliju.
Međutim u kompleksnijim tabelama koje prelaze jednu stranu radnog papira lakše je
nekad direktno otići na željenu ćeliju. Za to se koristi padjući meni Edit i opciju Go To.
U novom prozoru u polju Go To dovoljno je ukucati poziciju ćelije, recimo A70 u
pritisnuti OK i kursor će se naći na navedenom mestu.
4

6. 1.5. Formatiranje ćelija
Formatiranje ćelija podrazumeva podešavanje tipa ćelije (broj, tekst, datum ili valuta),
nameštanje poravnanja, vrste slova i veličine, kao i nekoliko drugih opcija.
Podešavanje tipa ćelije- većina gore navedenih podešavanja vrši preko padajućeg
menija Format opcije Cells. Nakon pokretanja ove opcije otvara se prozor kao sa slike. U
polju Category pojavljuje se lista mogućih tipova podataka u ćeliji. U polju Sample vidi
se kako će izgledati podatak nakon promene tipa. Nekoliko bitnih tipova su : Number-
predstavlja broj, i u ovoj opciji moguće je birati zapis broj kao i broj decimalnih mesta;
Date – predstavlja datum, bira se zapis datuma, kod nas je na primer dd-mm-yyyy (dan-
mesec-godina); Time predstavlja vreme i bira se načina zapisa vremena, kod nas
hh:mm::ss (sati, minute, sekunde), koristi se i Custom koji predstavlja korisnički tip.
Poravnjanje teksta u ćeliji – poravnanje teksta se vrši kako horizontalno tako i
vertikalno. Horizontalno poravnanje moguće je izvršiti iz Palete Format koristeći
koji redom centriraju tekst levo, u sredinu i desno, poslednje dugme
služi za spajanje ćelija u jednu i centriranje teksta koji se nalazi u njima u sredinu.
Vertikalno poravnanje kao i horizontalno vrši se preko opcije Format Cells iz padajućeg
manija Format. Odabirom kartice Alignment pojavljuje se prozor kao na slici. Polje
horizontal predstavlja horizontalno poravnanje, preko polja indent moguće je postaviti
koliko će tekst biti omeren od leve ivice ćelije. Polje Orientation nudi mogućnost da se
tekst okreće u ćeliji pod određenim uglom.
Veoma bitne su stavke pod poljem Text Control. Ako je otkačeno Wrap Text tadaće tekst
ukoliko ne može da stane u ćeliju biti prelomljen u dva ili više redova. Ukoliko je
otkačeno polje Shrink to fit tada će veličina slova biti smanjena tako da tekst staje u
ćeliju. Merge Cells služi za spajanje ćelija.
Podešavanje slova u ćeliji – veličina i tip slova može se desiti preko Palete Format
koristeći za promenu tipa slova i za promenu veličine slova.
Tekst je moguće iskoristiti i za podebljanje, zakrivljenje ili podvlačenje teksta. Za to se
koriste ikone .
1.6. Formatiranje decimalnih brojeva
Kod unosa brojeva može se unapred odrediti
željeni broj decimala. To se radi na sledeći način:
1. Označi se ćelija ili ćelije kojima se određuje
broj decimala.
2. U padajućem meniju Format odabere se
opcija Format Cells.
5

7. 3. U kartici Number u polju Category, odabere se Number, tada se pojavljuju opcije
kao na slici.
4. U polju Decimal places bira se broj decimala, ako se otkaći polje Use 1000
separator koristiće se razdvajanje preko 1000 sa zarezom a u polju Negative
number bira se izgled negativnog broja.
Decimale se mogu nameštati i preko ikonica iz palete Format. Brojevima u
označenim ćelijama pritiskom na prvu ikonicu povećava se broj decimala, a na drugu
smanjuje.
1.7 Menjanje boje pozadine i teksta ćelije
Boja pozadine ćelija menja se na sledeći način:
1. Označi se ćelija čija se boja pozadine menja.
2. Levim tasterom miša pritisne se crna sterlica pored ikone
kantice u Paleti Format, pojavljuje se prozor kao na slici.
3. Odabira se boja za popunjavanje pozadine selektovanih
ćelija, i time je bojenje pozadine završeno.
Boja teksta u ćelijama menja se na sledeći način:
1. Označi se ćlija čija se boja teksta menja.
2. Levim tasterom miša pritisne se na crnu strelicu pored
ikone .
3. U prozoru kao na slici odabere se nova boja teksta u ćelijama
1.8 Podešavanje širine i visine ćelija. Ubacivanje i izbacivanje
redova i kolona
Širina kolone se podešava tako što :
1. Kursor miša postavlja se na ivicu polja sa imenom kolone označene slovom iznad
ćelija. Kursor miša postaje crna uspravna linija sa strelicama u levo i desno.
2. Držeći pritisnut levi taster miša pomera se širina kolone B koliko je potrebno.
3. Na kraju se pusti levi taster miša.
Visina reda menja se na sličan način:
1. Kursor miša postavlja se na ivicu polja sa brojem reda levo od ćelija. Kursor miša
postaje vertikalna crna crtica sa strelicama na gore i dole.
6

8. 2. Držeći pritisnut levi taster miša, miš se povlači na gore il na dole smanjujući ili
povećavajući tako visinu reda.
3. Nakon nameštanja pušta se levi taser miša.
Kolona se dodaje tako što:
1. Kursor se pozicionira u ćeliju koja pripada koloni ispred koje se ubacuje nova
kolona.
2. U padajućem maniju Insert odabere se opcija Columns.
Red se dodaje tako što:
1. Kursor se pozicionira u ćeliju koja pripada redu iznad kojeg se ubacuje novi red.
2. U padajućem meniju Insert odabere se opcija Rows.
Brisanje kolone ili reda vrši se tako što:
1. Desnim tasterom miša klikne se na ime kolone ili broj reda.
2. U novotvorenom meniju odabere se opcija Delete.
Nakon toga ako je obrisana kolona, sve kolone desno od nje premeštaju se ulevo za
jedno mesto, a u slučaju brisanja reda za jedno mesto se premeštaju redovi ispod
obrisanog reda.
1.9 Spajanje ćelija
Spajanje ćlija podrazumeva spajanje više ćelija u jednu ćeliju. Primer
spojenih ćelija, u prikazanoj tabeli , bila bi polja jedan, dva i tri.
Spajanje se vrši:
1. Selektuju se ćelije koje treba spojiti.
2. U padajućem meniju Format odabere se Format Cells, a zatim
se u kartici alignment otkači polje Merge Cells.
3. Odabir se potvrđuje sa OK.
Ponekad se pogrešno spoje ćelija pa je potrebno spojene ćelije vratiti
u stanje gde je svaka za sebe, to se radi tako što se označi ćelija
nastala spajanjem, a zatim u padajućem meniju Format, u Format
Cells u kartici Alignment isključi se otkačeno polje Merge Cells.
1.10 Uokvirivanje ćelija
Iako je radni papir podeljen na ćelije i između njih postoje linije, te tanke linije pri
štampanju neće biti vidljive. Da bi se linije tabele naglasiel potrebno je selektovati ćelije
čiji okvir se menja i preko padajućeg menija Format Cells, bira se kartica Border, nakon
7

9. čega se otvara prozor kao na slici. U polju Line bira
se vrsta linije kojom se iscrtavaju okviri, i boja linije.
U polju Presets bira se None da bi ćelije bile bez
okvira a Outline da bi se uokvirile spoljne ivice.
Polje Border koristi se i kada nisu potrebne samo
spoljne ivice uokvirene, već možda i iscrtane
unutrašnje ili dijagonalne linije. Klikom na dugme
koje prikazuje pravac linije uključuje ili isključuje
iscrtavanje linija tog pravca.
1.11 Premeštanje i kopiranje ćelija
Premeštanje ćelija se vrši tako što se:
1. Selektuju ćelije koje treba premestiti.
2. Kursor miša se pomeri na ivicu selekcije, negde oko
crne tamne linije, i tada bi kursor trebalo da se
pretvori u belu strelicu.
3. Držeći pristisnut levi taster miša pomeraju se
selektovane ćelije na mesto na koje se trebaju
premestiti.
4. Pusti se levi taster miša
Na ovaj način podaci se više ne nalaze u ćelijama u kojima su bili već samo u onima u
koje su premešteni. Ako podaci treba da ostanu i da se pojave u novim ćelijama tada se
koristi kopiranje ćelija.
Ćelije se kopiraju na sledeći načn:
1. Selektuju se ćelije koje treba kopirati.
2. Pritisne se dugme Copy iz Palete Standard, čime
su selektovane ćelije zapamćene u memoriji
računara, a oko zapamćenih ćelija se pojavljuje
trepćući okvir, nakon toga
3. Levim tasterom miša klikne se na ćeliju gde treba da
se nađu kopirane ćelije.
4. Pritisne se dugme Paste iz Palete Standard, i ćelije se pojavljuju na papiru.
Koristeći opciju Cut iz Palete Standard umesto Copy ćelije bi bile premeštene, ali bi
mogle više puta sa opcijom Paste da se „ispuštaju“ u dokument.
Ćelije je moguće iskopirati i koristeći mali crni kvadrat u donjem desnom uglu selekcije.
Ako se kursor miša postavina taj mali crni kvadrat on se pretvara crnu strelicu.
Pritiskom levog tastera miša, ne puštajući ga može se razvući selektovani deo. Nakon
puštanja levog tastera ceo označeni deo biće popunjen prethodno selektovanim delom.
8

10. 1.12 Snimanje i zatvaranje dokumenta
Ako dokument treba sačuvati da bi se kasnije
koristio trebalo bi ga snimiti na hard disk.
Snimanje dokumenta se vrši tako što se iz
padajućeg menija File izabere Save. Ako je to
prvi put da se snima taj dokument u kojem se
traži da se unese ime tog dokumenta,
odnosno pod kojim imenom da se snimi na
hard disk (ili diksketu). U polju Save in može
se izabrati folder u koji treba smestiti
dokument, a može se napraviti i novi folder za ovaj dokument klikom na ikonu
Create New Folder. U polju File name treba upisati ime dokumenta i potom kliknuti na
dugme Save. Ovim je operacija snimanja dokumenta završena. Ako je dokument koji se
snima već ranije snimljen pod tim imenom onda se snimanje obavlja automatski, samo
odabirom opcije Save iz File menija.
Zatvaranje dokumenta
Dokument u Excelu se može zatvoriti na više načina, a najčešće se to vrši klikom na
u gornjem desnom uglu prozora. Drugi način za zatvaranje aktivnog dokumenta je da
se izabere operacija Close iz padajućeg menija File.
1.13 Otvaranje novog i postojećeg dokumenta
Prilikom svakog startovanja Excel-a otvara se i nova prazna sveska u kojoj se može
započeti rad. Ako je potrebno otvoriti novi prazan dokument, koristi se ikona New
Blank Document iz Palete Standard, ili opciju New iz padajućeg menija File.
Ako treba otvoriti već postojeći dokument, koji se nalazi na disku računara koristi se
ikona Open iz palete Standard, ili opcija Open iz padajućeg menija File.
1.14 Rad sa formulama
Excel - rad sa formulama
Unos formula
Formula se u neku ćeliju unosi tako što prvo unesemo karakter = što će Excel-u
nagovestiti da sada sledi unos formule. Šta je formula?. Formula je kombinacija
konstanti promenljivih, operatora i funkcija koja koja daje rezultat. Šta znači ovo što je
rečeno? Evo nekih primera unešenih formula
9

11. = 2.8+C2+C3^3
= C2/C3-1.45E-5*(A1+LN(A2))
U prethodnim numeričkim formulama (daju numeričku vrednost kao rezultat)
konstante (brojevi) su 2.8,3,1.45E-5,5. Realni brojevi se unose sa fiksnom decimalnom
tačkom ili u eksponencijalnom obliku (1.45E-5 znači 1.45·10-5). Promenljive su reference
na ćelije (C2,C3,A1,A2) u kojim se nalazi (u ovom slučaju) numerička vrednost.
Operatori se dele na unarne ili binarne. Unarni imaju jedan operand a binarni dva (sa
leve i desne strane). Excel podražava standardne aritmetičke operatore: sabiranje +,
oduzimanje -, deljenje /, množenje *, stepenovanje. Pri tome je prioritet operatora isti
kao i u matematici. Promena prioriteta se vrši samo malim zagradama ( ). Funkcije
imaju svoje ime i u zagradama argumente razdvojene zarezima. Kada unesemo
potrebne argumente funkcija vraća rezultat. U prethodnim primerima smo koristili
funkciju LN(A2). Ona zahteva jedan argument (numerički) i vraća kao prirodni
logaritam datog argumenta. Operatori i funkcije slično "rade" tj. daju rezultat.
Prethodna dva primera ćemo uneti u Excel radni list i uneti date funkcije baš kao
što su navedene. Funkcije ćemo uneti u ćelije A4 i B4. Rezultat je sledeći
Obratite pažnju da je po unosu formule i pritiskom na ENTER u ćeliji prikazan rezultat a
u liniji za editovanje ono što smo uneli tj. pravi sadržaj ćelije - formula. Jednostavno je
unositi proste formule, ali ako je formula komplikovana vrlo lako se možemo izgubiti i
pogrešiti. Excel vam nudi pomoć tako što pri unosu formule možete umesto da kucate
npr. C2 da se referencirate na tu ćeliju i ona će se pojaviti u formuli. Evo kako smo,
korak po korak uneli sledeću formulu
Prvo smo uneli znak = , znači sledi formula
Onda smo levim tasterom miša (ili kursorskim strelicama) označili ćeliju C2 (primetite
"talasiće" oko ćelije)
10

12. Sada nam treba operator, unećemo ga
Sada se pozicioniramo na drugu ćeliju
Nastavljamo sa unosom
A1 je već unešeno na prethodno opisan način. Veoma je bitno da u toku unosa ne
pritisnete ENTER. Sada nam treba funkcija. Možemo je uneti ali ako ne znamo ime
funkcije ili smo zaboravili, možemo je izabrati iz menija Insert, Function ili izabrati
iz palete alata. Dobićemo dijalog prozor za izbor funkcije
11

13. Nakon OK ova funkcija očekuje jedan argument (broj) pa se pozicioniramo na A2
Sada nam preostaje da kliknemo na OK. Dobićemo sledeću poruku
12

14. Ona nam kaže da formula nije završena (nedostaje desna zagrada). Excel je to popravio i
pita nas da li da završavamo sa unosom (Yes) ili ćemo da nastavimo dalje (No). Kako je
formula završena možemo da kliknemo na Yes, ali ako želimo da nastavimo kliknimo
na No. Excel će nam još jednom potvrditi da formula nije korektna. Unesimo i poslednju
potrebnu desnu zagradu i, što je najbitnije, tek sad pritisnimo ENTER jer je formula
formirana.
Dobili smo rezultat.
Unos komplikovanih formula je podložan greškama jer se sve unosi u jednom
redu. Često se može pogrešiti oko zagrada. Pri samom unosu obratite pažnju da nam
Excel pomaže tako što pri unosi desne zagrade ")" na trenutak "podeblja" odgovarajuću
levu zagradu "(". U korektno unešenoj formuli broj levih zagrada je isti kao i broj desnih
zagrada.
Za operatore koje Excel podržava konsultovati Help sistem. Što se funkcija tiče
Excel ima veoma veliki izbor funkcija za različite namene. Pri tome argumanti datih
funkcija mogu biti konstante, pojedinačne ćelije ili blokovi ćelija. Rezultat takođe može
biti smešten u jednoj ćeliji ili bloku ćelija
Blok ćelija je pravougaoni deo radnog lista koji je definisan gornjom levom i
donjom desnom ćelijom izmedju kojih je dvotačka. Na primer
Ovaj blok se referencira kao B2:D5. U prethodnom primeru smo spomenuli funkciju
koja ima jednu ćeliju kao argument i daje rezultat u jednoj ćeliji. Sada ćemo spomenuti
možda najčešće korištenu funkciju SUM koja kao argumente može imati blokove ćelija a
kao rezultat daje sumu numeričkih vrednosti u datom bloku. Unesimo u dati blok B3:C5
neke vrednosti i u ćeliju B6 unesimo =SUM(
13

15. Posle =SUM( ne pritisnuti ENTER. Sada možemo nastaviti sa formulom i uneti dati
blok ali ćemo se poslužiti već spomenutim označavanjem i obeležićiti ceo blok.
Nedostaje desna zagrada. Unećemo je i tek tada aktivirati ENTER. Dobija se rezultat
Relativno kopiranje formula
Počećemo objašnjavanje rada sa formulama u Excel-u na trivijalnom primeru zbira dva
broja. Unećemo dva proizvoljna broja i potom ih sabrati
U ćelije B3 i C3 su unete dve numeričke vrednosti a u ćeliju D3 je uneta formula. Prvi
karakter formule je znak =. U opštem slučaju u formuli figurišu konstante, reference na
ćelije (blokove), operatori i funkcije. U ćeliju D3 je prikazan rezultat izračunavanja date
14

16. formule. Ovo je normalan rad u Excel-u tj. u liniji za editovanje vidimo šta je unešeno
(=B3+C3) a u samoj ćeliji vidimo rezultat (7.01). Ako bi smo u koloni B i koloni C imali
više brojeva i želeli bi smo da odgovarajuće vrednosti u kolonama saberemo, možemo
ponoviti čitav postupak. Unos brojnih vrednosti je relativno jednostavan postupak, ali
unos formule je podložan greškama pogotovo ako je formula komplikovana. Pored
toga, ako je formula komplikovana, ponavljanje unosa je dugotrajan i besmislen posao
koji treba izbegavati kad je god to moguće. Čisto primera radi, unećemo još nekoliko
brojeva u kolone B i C
Sada ćemo da upotrebimo "magiju". Postavićemo pokazivač miša u crni kvadratić ćelije
u kojoj se nalazi formula. Pokazivač se menja u crni krstić
Povlačimo levim tasterom miša nadole sve do ćelije D6.
Šta se sad desilo? (Zanemarite pojavu i nastavite sa radom). Ovim smo jednostavno
kopirali ćeliju D3 u blok susedenih ćelija u istoj koloni (D4:D6). Međutim u ćeliji D3 se
nalazi formula. Kako se to iskopiralo?. Možemo da pogledamo sadržaje ćelija ili
jednostavno da prikažemo formule u tabeli umesto rezultata. To ćemo uraditi
selektovanjem iz glavnog menija Tools, Options, View, Windows options, Formulas.
Tada ćemo u tabeli umesto rezultata videti formule
15

17. Kao da nas je Excel shvatio šta hoćemo, tj. sam je pri kopiranju promenio formule. Pri
kopiranju formule, reference na ćelije se u kopiranim ćelijama menjaju relativno u
odnosu na poziciju (referencu) formule. Formula u D3 kaže da u njoj figurišu dve ćelije i
u odnosu na D3 su ćelije pozicionirane relativno tj, druga levo (B3) i prva levo (C3).
Takođe će u kopiranim ćelijama formule da se promene (pogledajte sliku). U svim
formulama figurišu takođe ćelije druga levo i prva levo. Na primer u D6 figurišu druga
levo (B6) i prva levo (C6). Pogledajmo šta bi se desilo kada bi smo kopirali formulu iz
D3 u ćeliju E3
Opet relativno kopiranje. U E3 figurišu druga levo (C3) i prva levo (D3). Gde god
kopirali formulu iz D3 u kopiji će figurisati ista formula (zbir dve ćelije) ali će dve ćelije
u kopiranim formulama uvek biti druga levo i prva levo. Kopiranje se zove relativno jer
se reference na ćelije pri kopiranju formula uzimaju relativno u odnosu na poziciju
formule. Da bi smo to još jednom utvrdili i razjasnili, pogledajmo sledeći trivijalan
primer
U formuli koja je unešena u D6 figurišu ćeljie B5 (pozicija - dve ćelije u levo, jedna ćelija
gore) B4 (pozicija - dve ćelije u levo, dve ćelije gore) i C5 (pozicija - jedna ćelija u levo,
jedna ćelija gore). Ako ovu formulu iskopiramo u drugu ćeliju reference će se relativno
promeniti tj.
16

18. Uporedite sa prethodnom slikom. Nadam se da smo uspeli da razjasnimo šta znači
relativno kopiranje formule.
Apsolutno kopiranje formula
Ako nam je zadat jednostavan problem da pomoću jednačine idealnog gasnog stanja
R ⋅T
p=
v
izračunamo pritisak p za zadate vrednosti R, T, v to bi u radni list Excel-a mogli uneti na
sledeći način
pri tome su u svakoj ćeliji bloka ćelija B3:E3 uneti tekstualni podaci, u bloku B4:C4 su
uneti numerički podaci a u ćeliji E4 je uneta formula. Pogledajte u liniju za unos kako je
formula unešena. U formuli figurišu reference na ćelije sa numeričkim vrednostima i
operatori množenje (*) i deljenje (/). U samoj ćeliji E4 se prikazuje rezultat. Ovo je
uobičajen način rada sa formulama u Excel-u.
Ovaj problem i nije tako komplikovan pa bi se čak mogao uraditi i pomoću
kalkulatora. Međutim, ako bi bilo potrebno izračunati pritisak za opseg temperatura od
273.15 do 293.15, sa korakom 1, to bi za kalkulator bilo previše. Kako bi smo to uradili u
Excel-u?. Kao prvo, treba uneti temperature. Unos pojedinačnih temperatura bi bilo
besmisleno i dugotrajno. Koristićemo Excel-ovu "pamet". Unećemo u ćeliju C5 drugu
temperaturu po redu, a to je 274.15 i obeležiti obe ćelije u kojoj je prva i druga vrednost
temperature. Zatim ćemo postaviti pokazivač miša u donji desni ugao ove dve ćelije tj,
17

19. povlačenjem levim tasterom na dole Excel će "shvatiti" da želimo unos sledećih ćelija sa
određenim korakom (druga - prva). Tako ćemo povlačiti dok ne dobijemo krajnju
vrednost a to je 293.15, odnosno
Ako bi smo, bez razmišljanja, takođe formulu iz E3 iskopirali u susedne ćelije u istoj
koloni dobili bi smo sledeće, tj Excel bi prijavio grešku #DIV/0 što znači deljenje sa
nulom. Kako to?.
18

20. Prikažimo formule koje figurišu u kopiranim ćelijama
Nadam se da vidite problem. Formula je kopirana relativno (figurišu tri ćelije levo).
Ćelija D11 je prazna (nulta vrednost) i otud deljenje s nulom. Kako ćemo "naterati" Excel
da pri kopiranju ne menja relativno reference. To se u formuli naznači tako što se ćelije
apsolutno referenciraju. To znači da možemo da "fiksiramo" red i/ili kolonu u nekoj
formuli. Pri kopiranju se fiksiran red ili kolona neće menjati. Apsolutno referenciranje se
ostvaruje znakom $ ispred kolone (fiksirana kolona, npr. $B4) ili ispred reda (fiksiran
red, npr. B$4) ili fikirani i kolona i red ($B$4). Ako se formula u kojoj ima apsolutnih
referenci ($ ispred kolona, redova) kopira u druge ćelije onda se ovo kopiranje naziva
apsolutno kopiranje. Ako pogledamo prethodan primer, potrebno je da promenimo
formulu u E4 koja će da bude =B$4*C4/D$4. Zašto? Zato što ne želimo da se ove
vrednosti redova ispred kojih je $ promene. Ako to uradimo i iskopiramo datu formulu
dobićemo sledeće
19

21. Radi!. Vidite da se vrednost redova u formulama od E5:E24 ispred kog je $ nije
promenio, ostao je 4 kao i u formuli u E4. Ovo je apsolutno adresiranje gde je apsolutan
(fiksiran red) u formuli koja se kopira (E4) u druge ćelije (E5:E24). Naravno, možemo da
promenimo prikaz i prikažemo vrednosti u ćelijama u kojima su formule.
20

22. Može se postaviti pitanje, da li je ispravno uneti u E4 formulu =$B$4*C4/$D$4. Može,
fiksirali smo još i kolone B i D, mada je suvišno. Ako pogledate sliku sa formulama
vidite da se kolone B i D ionako nisu promenile. Zašto? Jednostavno, pri kopiranju jedne
ćelije u blok ostali smo u istoj koloni E pa se nijedna referenca na kolone nije promenila.
Prikazaćemo ovaj isti problem ali ćemo drugačije da unesemo podatke. Pri tome
je uneta samo jedna formula u B4 =$B1*B3/$B1 i iskopirana udesno
Da li možete da objasnite zašto sada stoje $ ispred kolone B i šta bi bilo u ćeliji D4 da
kolone nisu fiksirane (Odgovor D4 = D1*D3/D2). Takođe ista priča važi, pri kopiranju
nismo promenili red pa $ ispre bilo kog reda nema smisla jer smo ionako kopirali
formulu u susedne ćelije ali ostali u istom redu.
Da bi smo još više zapetljali stvar, ovaj isti problem ćemo rešiti unosom jedne
formule i kopiranjem u druge ćelije koje se nalaze u različitim redovima i kolonama
Ovu ćemo ćeliju iskopirati udesno do kolone F
a onda ovaj blok zatim još 4 reda nadole (jer još toliko ima redova sa temperaturama)
21

23. Uporedite rezultate sa prethodnim primerom. Obratite pažnju da je samo jednom
unešena formula u B8 = $B$1*B3/$B$2 i da je ova formula iskopirana u blok B8:F12.
Ovde su reference $B$1 i $B$2 apsolutne (fiksiran i red i kolona) i ostaju iste u svim
formulama. Sada moramo staviti $ ispred reda i ispred kolone jer se jedna ćelija kopira u
različite redove i kolone. Jedina relativna ćelija u B8 je B3 ona ima relativnu poziciju (5
ćelija gore) i npr. u D11 će se uzeti D6 jer je ona isto 5 ćelija gore.
Kao poslednje razmatranje ovog primera uzećemo da se traži izračunavanja za različite
temperature T i različite molske zapremine v. Pri tome ćemo napraviti tabelu tako da su
temperature zadate u koloni a zapremine u vrsti.
22

24. Postavlja se pitanje, kako da unesemo jednu formulu u B5 koja izračunava pritisak na
osnovu odgovarajuće zapremine u vrsti 4 i odgovarajuće temperature u koloni A sa
vrednosti R u B1 i da rezultujući pritisak bude u odgovarajućoj ćeliji u bloku B5:F10. Pa
u samom pitanju se krije i odgovor. Ćelija B1 mora biti apsolutno fiksirana. Takođe treba
fiksirati samo vrstu 4 tj B$4 (zapremina) i kolonu A tj $A5 (temperatura) tako da je
formula u ćeliji B5 = $B$1*$A5/B$4, odnosno posle kopiranja dobijamo
Imenovanje ćelija i blokova ćelija
Kako formule postaju komplikovanije tako je i baratanje sa njima otežano,
pogotovo ako postoje apsolutne reference na ćelije. Zato je pogodna osobina Excel-a da
imenuje neku ćeliju ili blok. Lakše je pratiti formulu u kojoj umesto besmislenih
referenci figurišu neka imena kao na primer: temperatura, zapremina, obim, cena itd.
Pravila za imena ćelija i blokova su
- sastoje se od slova i cifara
- prvi karakter mora biti slovo
- ne razlikuju se mala i velika slova tj. IME, ime, Ime se ne razlikuju
- nisu dozvoljena prazna mesta
- ne smeju imati ista imena kao imena kolona, reference na ćelije
- mogu imati tačku (.) ili donju crtu (_)
Najsigurnije da ime počne sa najmanje tri slova a ostalo mgu biti slova i cifre. Pri tome je
najkorisnije imenovati blokove sa apsolutnim referencama.
23

25. Tako ćemo u prethodnom primeru imenovati ćeliju B1 i nazvati je gask, blok
B4:F4 imenovati kao Zapremina i blok A5:A10 imenovati kao Temperatura. Prvo ćemo
se pozicionirati na ćeliju B1 i u tzv. Name Box uneti gask
i pritisnuti ENTER. Na isti način ćemo selektovati određene blokove i definisati imena
Ako kliknemo na strelicu pored Name Box-a možemo videti naša definisana imena i
izborom na jedno od njih videti šta imenuje
24

26. Kakva korist od toga?. To ćemo primetiti ako sada "primenimo" imena u tabelu. Šta to
znači? To znači da se umesto referenci koriste odgovarajuća imena. To činimo izborom
Insert, Name, Apply. Dobijamo listu imena
Obeležimo sva imena i kliknimo na OK
Tada ćemo u našoj tabeli umesto referenci imati imena tj.
Ovako se tabela može učiniti preglednijom, jasnijom i manje podložnom greškama.
1.15 Grafikoni
Za grafičko predstavljanje tabela urađenih u Excel-u koriste se grafikoni. Oni na
jednostavan i jasan način prikazuju rast ili pad vrednosti i odnose među njima.
Postupak predstavljanja grafikon na radu stranu Excel-a sastoji se iz više koraka.
Podrazumeva se da je potrebna tabela na osnovu koje se crta grafik. Izrada grafika
može se pokrenuti preko padajućeg menije Insert, opcije Chart ili preko dugmeta u
paleti Standard.
Otvara se prozor kao naslici. Ovo je prvi od četiri koraka koji se sprovode pri ubacivanju
graika u radni list. U prvom koraku bira se vrsta grafika. Klikom na bilo koji član liste
polja Chart Type u polju Chart sub-type prikazuju se podtipovi ovog tipa. Klikom na
25

27. jedan od podtipova bira se izgled grafika. Za prelazaka na sledećei korak treba kliknuti
na Next.
U novom prozoru pojavaljuju se dve kartice. Data range označava mesto na kome se
podaci nalaze. Druga stavka je Series, pomoću koje se određuju serije na grafiku, tj.
koliko će serija biti, kao i šta se nalazi na x, a šta na y osi. Klikom na Next prelazi se na
sledeći prozor.
U novom prozoru prva kartica Title služi za podešavanje ili ubacivanje naziva grafika –
polje Chart Title, naziva osa – polja Value(X) axes i Value(Y) axes. Kartica Axes
omogućava da se uključi/isključi prikazivanje osa.
Kartica Gridlines omogućava da se uključi/isključi mrežu ose, i ako je uključeno
omogućava da se bira gustina, odnostno da li da se prikazuju i male (Minor gridlines) i
veće (Major gridlines).
Kartica Legend podešava legendu. Ukoliko je onačeno polje Show Legend tada se u
poljima ispod bira pozicija legende (Bottom, Corner, Top, Left, Right).
26

28. Kartica Data Labels omogućava da uključi prikazivanje vrednosti na samom grafiku.
Kartica Data Table omogućava prikazivanje dodatne tabele sa poacima koji se nalaze na
grafiku, ako je označeno polje Show Table.
Nakon podešavanja svi ovih opcija da bi se prešlo na poslednji prozor za unos grafika
treba kliknuti na Next.
Poslednji prozor nudi samo dve mogućnosti. Jedna je da se ovako napravljeni grafik
ubaci kao objekat u određeni radni list ili da se grafikon ubaci u novi radni list.
Na svaki od prethodnih prozora može se vraćati na klikom na dugme Back. Ako je sve
podešeno treba kliknuti na Finish i grafikon je na radnom listu.
Grafik se može pomerati tako što se kursor dovede na deo ekrana koji on zauzima i
pritisne se levi taster miša, ne puštajući ga vuče se miš i grafik do mesta na kome treba
da stoji. Crni kvadrati na krajevima grafika služe za menjanje veličine grafika. Ako je u
nekom od koraka za izradu grafika došlo do greške ili jednostavno treba promeniti neku
stavku, tada se koristi padajući meni Chart. Opcija Chart Type vraća na izbor tipa
grafika, Chart Options na prozor sa opcijama grafika itd.
284
283
282
281
280
279
Series1
278
277
276
275
274
273
0 2 4 6 8 10 12
27

29. 2. Funkcije raspodele u Excelu
28

30. 2.1. Binomna raspodela
Ova diskretna raspodela ima veliku primenu u kontroli kvaliteta proizvoda Posmatrajmo
niz nezavisnih eksperimenata (u literaturi poznat kao Bernulijeva šema) tj. za svaki od njih važi
da je njegov ishod nezavisan od ishoda ostalih opita. Neka je za svaki od eksperimenata vezan
događaj A i neka je verovatnoća njegovog nastupanja jednaka p, P(A) = p. Binomni zakon daje
verovatnoću da će se u n eksperimenata ili proba posmatrani događaj A dogoditi x puta.
Dakle, broj nastupanja događaja A u n proba je slučajna veličina X, koja ima binomnu raspodelu
verovatnoće.
Možemo sada da izvedemo binomni zakon. Tražimo verovatnoću, b(x,n,p) da u n opita
posmatrani događaj A nastupi x puta. Verovatnoća svakog od događaja u kome je A u n proba
nastupio x puta je:
p x qn - x
a ukupan broj takvih, međusobno isključivih događaja jednak je broju kombinacija klase x od n
elemenata. Tako je,
 n
b( x, n, p) =   p x q n − x , x = 0,1,2,..., n (2.37)
 x
 
U Excel-u se za ovu vrstu raspodele koristi funkcija BINOMDIST. Rezultat funkcije je
verovatnoća binomne raspodele da će slučajna promenljiva X imati zadatu vrednost.
Sintaksa
BINOMDIST(number_s, trials, probability_s, cumulative)
Number_s – broj nastupanja nekog događaja u n proba (slučajna promenljiva X)
Trial_s – broj nezavisnih proba, n
Probability_s – verovatnoća nastupanja događaja u svakoj probi
29

31. Cumulative – logička vrednost koja određuje oblik funkcije, ako je Cumulative=TRUE,
BINOMDIST daje kumulativnu raspodelu funkcije, ukoliko je Cumulative= FALSE, rezultat je
verovatnoća da će događaj nastupiti X puta.
Primer 2.1.
Neka mašina proizvodi 1000 komponenata/h i svakih 30 minuta je uzimano po 10 uzoraka radi
kontrole, tokom dužeg perioda. Tako je konstatovano da je procenat škarta 20%. Kolika je
verovatnoća da u slučajnom uzorku od 6 komponenata
a) bude 4 defektna
b) ne bude više od 3 defektna
c) ne bude nijedan defektan
Rešenje
Prepoznaje se binomni model. Događaj A je dobijanje defektne komponente, a njegova
verovatnoća, dobijena empirijski, je
20 4
p= = 1 / 5, q = 1 − p =
100 5
Broj opita, n = 6. Dati su tabela i poligon raspodele.
Tabela se dobija tako što se u red 1 unose podaci za xi, dok se pi izračunava pomoću funkcije
BINOMDIST.
Dakle, ukoliko je tabela napisana na isti način kao na slici, klikne se na ćeliju J2, a zatim se iz
padajućeg menija Insert, odabere opcija Function, kada se otvori novi prozor funkcija
BINOMDIST se traži u statističkim funkcijama (Statistical), odabere se BINOMDIST i otvara se
novi prozor (kao na slici)
30

32. Unose se odgovarajući argumenti:
Number_s - unosi se vrednost iz ćelije J1, odnosno samo se klikne na ćeliju J1.
Trials - upisuje se 6, jer je to broj proizvoda u slučajnom uzorku.
Probability_s - upisuje se 0.2, verovatnoća od 20%.
Cumulative - upisuje se logička vrednost FALSE, jer je potrebna vrednost za samo jedan
događaj, a ne zbir događaja.
Potvrđuje se sa OK, i kao rezultat dobija se vrednost za binomnu raspodelu, da bi se popunio
ostatak tabele, funkcija se kopira na prethodno objašnjen način. Zatim se na osnovu tabele nacrta
grafik.
a) Ovde treba izračunati verovatnoću da su u slučajnom uzorku od 6 proizvoda 4 budu
defektna. Problem se rešava korišćenjem funkcije BINOMDIST, kao kod popunjavanja tabele.
b) U pitanju je zbir događaja, jer se traži da ne budu više od 3 defektna proizvoda,
problem se takođe rešava korišćenjem funkcije BINOMDIST, ali sa nešto drugačijim
argumentima.
31

33. Number_s - upisuje se 3
Trials - upise se 6
Probabilitiy_s – upisuje se 0.2
Cumulative – upisuje se TRUE jer se radi o zbiru događaja, a ne o pojedinačnom događaju.
c) Ovde se traži da nijedan od proizvoda ne bude defektan, znači da je x = 0 pa imamo
Primer 2.2.
Detaljnom proverom kvaliteta ampula punjenih tečnošću utvrđeno je da je na 100 ampula 75
ispravnih.
a) Odrediti zakon raspodele verovatnoće slučajne promenljive: broj ispravnih ampula u
slučajnom uzorku od 6 ampula
b) Odrediti očekivanu vrednost i disperziju slučajne promenljive.
c) Koji broj ispravnih ampula u uzorku od 6 komada je nejverovatniji?
32

34. Rešenje
3
a) U pitanju je binomni zakon: b( x,6, ) ,
4
3  6  3 
x
1
p ( x) = b( x,6, ) =    ⋅ 6 − x , x = 0,1,2,...,6
4  x  4  4
 
Slede tabelarni i grafički prikaz zakona raspodele:
Tabela se formira na isti način kao i u 1. zadatku, a nakon toga se na poznati način crta grafik.
b) µx = np = 4.5, D(X) = npq = 1.125 se izračunavaju upisivanjem formula.
c) Najverovatniji broj ampula u uzorku je 5.
33

35. 2.2. Poasonova raspodela
Poasonov (Poisson) zakon raspodele se može dobiti kao granični slučaj binomnog modela,
kada obim uzorka n teži beskonačnosti uz uslov da pri tom proizvod obima uzorka i
verovatnoće posmatranog događaja,
µ = np
ostane ograničen. Tako se Poasonov model koristi za opisivanje verovatnoće retkih (p je malo),
međusobno nezavisnih (uslov za binomni zakon) događaja kao što su:
• radioaktivni raspad nekih izotopa, tj. emitovanje radioaktivnih čestica
• incidenti u dobro regulisanom saobraćaju
• smetnje u telefonskom saobraćaju i prenosu podataka
• greške u računarskim sistemima
Slučajna promenljiva je broj realizacija retkog događaja u vremenskom intervalu date
dužine.Dakle, slučajna promenljiva X ima Poasonovu raspodelu ako je
µ x −µ
p ( x) = e , x = 0,1,2,...
x!
gde je µ neki pozitivan broj.
Srednja vrednost i disperzija
Očekivana vrednost i disperzija za Poasonovu raspodelu mogu se dobiti kao granične
vrednosti tih parametara za binomnu raspodelu, kada n → ∞, p → 0, (µ = const):
µ x = np = µ , σ 2 = lim np (1 − p ) = np = µ
x
n →∞
p →0
np = const
Dakle, srednja vrednost i disperzija slučajne promenljive X raspodeljene po Poasonovom
zakonu su:
µ x = σ2 = µ
x
Aproksimacija binomne raspodele Poasonovom
Računanje verovatnoća je znatno obimnije kod binomne nego kod Poasonove raspodele. Za
dovoljno veliko n i malo p binomna raspodela se može aproksimirati Poasonovom. Praktični
kriterijum za primenljivost takve aproksimacije je [Chatfield C., 1983.]: n > 20, µ = np < 5
Poasonova raspodel u Excelu može se dobiti korišćenjem funkcija POISSON.
34

36. Sintaksa :
POISSON (X, Mean, Cumulative)
X – broj događaja
Mean – očekivana vrednost
Cumulative - logička vrednost koja definiše funkciju raspodele verovatnoće. Ako je taj
argument TRUE, rezultat funkcije je kumulativna Poasonova funkcija raspodele verovatnoća da
će broj slučajnih događaja biti između 0 i X (uključujući i te vrednosti); ako je FALSE, rezultat je
Poasonova funkcija verovatnoće da će broj događaja biti tačno X.
Zadatak 2.3.
Procenat škarta pri proizvodnji komponenata u nekoj fabrici je 2%. Odrediti verovatnoću da je
u uzorku od 60 komponenata defektno:
a) 3 komada
b) ne više od 3
c) bar dva
Rešenje
U pitanju je binomni zakon. Pošto je n = 60 > 20 i µ = np = 60⋅0.02 = 1.2 < 5 ispunjen je uslov
n > 20, µ = np < 5 i rešavanje problema se može znatno uprostiti zamenjujući binomni zakon
Poasonovim ( iako to u Excelu ne predstavlja problem).
a) Dakle, pošto je ustanovljeno da ja aproskimacija Poasonovom raspodelom moguća,
verovatnoća da je u uzorku od 60 komponenata defektno 3 komada, izračunava se na sledeći
način.
35

37. ( 2.42 )
(µ)3 − µ (1.2)3 −1.2
P( X = 3) = e = e ≈ 0.0867
3! 3!
Ukoliko su podaci unešeni na isti način kao na slici, klikne se na ćeliju B11, zatim se iz padajućeg
menija Insert odabere opcija Function, i nakon toga iz statističkih funkcija odabere POISSON,
kada se potvrdi sa OK otvara se sledeći prozor
36

38. Ovde se unose odgovarajući argumenti, za X se upisuje 3, za Mean se klikne na ćeliju B8 jer je u
toj ćeliji izračunata očekivana vrednost, i u polje Cumulative se upisuje FALSE jer se traži
vrednost verovatnoće Poasonove raspodele za X=3.
b) Kako je ovde potrebno odrediti verovatnoću da su ne više od 3 komada defektna,
problem se rešava slično kao pod a), osim što se u polje Cumulative upisuje TRUE, pa se kao
rezultat dobija kumulativna Poasonova funkcija.
µ 2 µ3 − µ
P( X ≤ 3) = p(0) + p(1) + p(2) + p (3) = (1 + µ + + )e ≈ 0.9662
2 6
c) Kada je potrebno odrediti verovatnoću da su bar 2 komada defektna, što ustvari znači
2 i više, izračunava se Poasonova kumulativna funkcija za vrednost 1 (uključuje vrednosti
verovatnoće za 0 i 1) i onda oduzme od 1.
[ ]
P( X ≥ 2 ) = 1 − P( X < 2) = 1 − [ p(0) + p (1)] = 1 − e − µ + µe − µ ≈ 0.3374
37

39. Zadatak 2.4.
Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 10 komada. U kom
procentu kutija će se naći najviše jedan defektan proizvod.?
Rešenje
Traženu relativnu frekvencu ω se, u skladu sa statističkom definicijom verovatnoće (ω ≈ p),
nalazi kao verovatnoća da se u slučajnom uzorku od 10 komada nađe najviše jedan defektan
proizvod. U pitanju je slučajna promenljiva sa binomnom raspodelom b(x, 10, 0.04), pa je:
ω = P(X ≤1) = p(0) + p(1) = b(0, n, p) + b(1, n, p)
ω = q10 + 10 ⋅ p ⋅ q 9 = 0.9610 + 10 ⋅ 0.04 ⋅ 0.969 = 0.9418 = 94.2%
Odnosno, u Excelu se ovaj problem rešava funkcijom BINOMDIST.
Problem se može približno rešiti aproksimacijom binomnog zakona Poasonovim, mada prvi od
uslova n > 20, µ = np < 5 nije ispunjen:
ω = p(0) + p(1) = [1 + µ]e − µ = [1 + 0.4]e −0.4 = 0.9384 = 93.8%
Sada se koristi funkcija POISSON
Dobija se pak dobra procena, koja se od tačne vrednosti razlikuje manje od 1%.
38

40. 2.3. Normalna raspodela
Ovo je najvažnija raspodela za primene u statističkoj obradi eksperimentalnih podataka u
društvenim, prirodnim i tehničkim naukama. Za neprekidnu slučajnu promenljivu X kažemo da
ima normalnu ili Gausovu raspodelu sa parametrima µ i σ, što se kratko označava sa
X : N(µ,σ)
ako je njena gustina:
2
1  x −µ 
1 − 
σ 

f ( x) = e 2 , µ, σ > 0
σ 2π
U Excel-u se za normalnu raspodelu koristi funkcija NORMDIST.
Sintaksa:
NORMDIST (x, mean, standard_dev, cumulative)
x – vrednost za koju se izračunava funkcija
Mean – aritmetička sredina raspodele
Standard_dev – standardna devijacija raspodele
Cumulative – logička vrednost koja definiše vrstu funkcije, TRUE – kumulativna vrednost
raspodele, FALSE – funkcija gustine verovatnoće.
Pored funkcije NORMDIST, postoji i inverzna funkcija NORMINV. Rezultat ove funkcije je
vrednost promenljiveza koju normalna kumulativna funkcija raspodele ima datu verovatnoću.
39

41. Sintaksa :
NORMINV (probability, mean, standard_dev)
Probability – verovatnoća za koju se izračunava vrednost promenljive.
Mean – aritmetička sredina raspodele
Standard_dev – standardna devijacija raspodele
Standardizovana normalna raspodela
Ako je X slučajna promenljiva sa normalnom raspodelom N(µ,σ2), slučajna promenljiva,
dobijena linearnom transformacijom,
Y = aX + b, a ≠ 0
ima takođe normalnu raspodelu. Dakle, standardizovana normalno raspodeljena slučajna
promenljiva,
X −µ
X0 =
σ
koja ima nultu srednju vrednost i jediničnu disperziju, µ x0 = 0, σ x0 = 1 , ima takođe normalnu
raspodelu, koja se zove standardizovana normalna raspodela, N(0,1) sa gustinom:
x2
1 −2
f 0 ( x) = e
2π
i funkcijom raspodele,
x t2
1 −
F0 ( x) = P( X 0 < x) =
2π
∫e
−∞
2
dt
40

42. Za određivanje standardne normalne kumulativne funkcije raspodele koristi se funkcija
NORMSDIST.
Sintaksa:
NORMSDIST(z)
Z – vrednost za koju se izračunava funkcija.
Takođe postoji i inverzna funkcija NORMSINV.
Sintaksa:
NORMSINV(probability)
Probability – verovatnoća za koju se izračunava vrednost promenljive
Zadatak 2.5.
Odstupanje, ∆ debljine proizvedene glazirane keramičke pločice, δ od nominalne vrednosti µ, ∆
= δ - µ se može aproksimirati slučajnom veličinom sa normalnom raspodelom, ∆ : N(0, 0.3).
Odrediti:
41

43. a) Očekivani škart u 1000 proizvedenih komada, ako se kao ispravne prihvataju pločice čija
debljina odstupa od nominalne najviše 0.5 mm.
b) Očekivani broj pločica u 1000 komada čije su debljine: δ ≤ µ - 0.2 ili δ ≥ µ + 0.5
c) Očekivani broj pločica u 1000 komada čije su debljine u intervalu: µ - 0.3 ≤ δ ≤ µ + 0.4
Rešenje
a) Verovatnoća da odstupanje ∆ bude veće od 0.5 dobiće se preko verovatnoće suprotnog
događaja. Tj. verovatnoće da odstupanje bude manje od 0.5, međutim, treba uzeti u obzir da je
0.5 apsolutna vrednost, i da se mora izračunati verovatnoća za x ≤0.5 i x ≤ - 0.5, a zatim oduzeti
manju od veće verovatnoće.
Koristi se funkcija NORMDIST.
Do funkcije se dolazi na isti način kao i u prethodnim primerima . U polje x upisuje se -0.5, ili
ukoliko su podaci uneseni na ista mesta kao na slici klikne se na ćeliju A12, u polje Mean upisuje
42

44. se 0, u polje Standard_dev 0.3, a u polje Cumulative upisuje se logička vrednost TRUE.
Potvrđuje se sa OK. Dalje se klikne na ćeliju u koju se izračunava druga funkcija ( u konkretnom
primeru to je ćelija B13) i postupak se ponavlja, samo što se umesto vrednosti -0.5 u polje x
upisuje vrednost 0.5 (ili se klikne na ćeliju A13). Pošto su izračunate ove dve vrednosti, njihovu
razliku izračunatu na već poznat način treba oduzeti od 1.
Ako postoji verovatnoća događaja - pojava defektne pločice, p = 0.096, onda je u skladu sa
binomnim zakonom (ili u skladu sa statističkom definicijom verovatnoće) očekivani broj
defektnih pločica m, u slučajnom uzorku od 1000 komada jednak:
m = pn = 1000⋅0.096 = 96
b)
P (δ ≤ µ − 0.2 ∨ δ ≥ µ + 0.5) = P(δ ≤ µ − 0.2) + P (δ ≥ µ + 0.5)
Ovde se prvo izračunava kumultaivna funkcija normalne raspodele za vrednost -0.2, a zatim za
0.5,
pa se dobijena vrednost za 0.5 oduzima od 1.
43

45. Sabiranjem vrednosti u ćelijama B22 i C 23 dobija se tražena verovatnoća, koja se dalje množi sa
1000 i dobija se broj pločica čije su debljine δ ≤ µ - 0.2 ili δ ≥ µ + 0.5
c) P ( µ − 0.3 ≤ δ ≤ µ + 0.4)
Slično se rešava i ovaj problem, računaju se kumulativne funkcije normalne raspodele za
vrednosti -0.3 i 0.4
Verovatnoća za vrednost -0.3 se oduzima od one za 0.4, i dobijeni rezultat se množi sa 1000.
Zadatak 2.6.
Vek trajanja elektronske lampe, h u časovima ima normalnu raspodelu N(100,5)
a) Naći verovatnoću da nova elektronska lampa istog tipa traje najmanje 105 časova.
b) Ako je jedna elektronska lampa već izdržala 90 časova, kolika je verovatnoća da će izdržati još
15?
Rešenje
a) Tražena verovatnoća se izračunava iz verovatnoće suprotnog događaja, koristi se
funkcija NORMDIST, na već opisan način.
44

46. b) Traži se uslovna verovatnoća: verovatnoća da će nastupiti događaj, X > 105 pošto je
nastupio događaj, X > 90 i računa se pomoću formule :
P[( X > 105)( X > 90)] P( X > 105)
P ( X > 105 / X > 90) = =
P( X > 90) P ( X > 90)
Dakle, pomoću funkcije NORMDIST dobija se verovatnoća za 90h, a zatim se podeli sa
verovatnoćom za 105h.
Kao što se moglo očekivati, dobijena je nešto veća verovatnoća nego u a)
Zadaci za vežbu
2.1.Događaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoćom p = 0.3. Neka je X broj
nastupanja događaja A u nizu od 5 opita.
a) Kako glasi zakon verovatnoće za X,
b) Izračunati P(X ≤ 3),
c) izračunati srednju vrednost i disperziju.
2.2 Odrediti,
a) Verovatnoću da se u 8 bacanja kocke šestica pojavi 3 puta
b) Očekivani broj šestica u 180 bacanja kocke?
2.3 Verovatnoća pogotka cilja u jednom gađanju je p = 0.2. Koliko gađanja treba izvesti da bi sa
verovatnoćom ne manjom od 0.9 cilj bio pogođen bar jednom?
Događaj A nastupa u nekom eksperimentu sa verovatnoćom p = 0.3. Neka je X broj nastupanja
događaja A u nizu od 5 opita.
a) Kako glasi zakon verovatnoće za X,
b) Izračunati P(X ≤ 3),
c) izračunati srednju vrednost i disperziju.
45

47. 2.4 Odrediti,
a) Verovatnoću da se u 8 bacanja kocke šestica pojavi 3 puta
b) Očekivani broj šestica u 180 bacanja kocke?
2.5 Verovatnoća pogotka cilja u jednom gađanju je p = 0.2. Koliko gađanja treba izvesti da bi sa
verovatnoćom ne manjom od 0.9 cilj bio pogođen bar jednom?
2.6 Automat daje 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se pakuju u kutije po 50 komada. a) U
koliko će se posto kutija nalaziti najviše jedan defektan komad?
b) Postiže li se Poasonovom raspodelom zadovoljavajuća aproksimacija, ako se dozvoljava
maksimalna greška rezultata od 1.5%?
2.7. Jedna velika serija sadrži 4% defektnih proizvoda. Proizvodi se bez prethodne kontrole i
izdvajanja loših pakuju u kutije od 50 komada.
a) Koliko će defektnih proizvoda sadržavati najveći broj kutija?
b) Koliki je procenat takvih kutija?
2.8 Slučajne greške merenja imaju normalnu raspodelu sa µ = 0, σ = 8mm. Naći verovatnoću da
od tri greške međusobno nezavisnih merenja
a) bar jedna ne bude veća od 4mm,
b) bar jedna, po apsolutnoj vrednosti, ne bude veća od 4mm.
2.9 Slučajna promenljiva ima normalnu raspodelu N(3,4). Izračunati P( X > 9)
i P ( X > 9 / X > 5)
2.10 Neki proizvođač deterdženta ima mašinu za pakovanje po 500g deterdženta u jednu kutiju.
Dužom kontrolom proizvoda utvrđeno je da je srednja masa deterženta u kutiji 506g, sa
standardnim odstupanjem 12g. Uz pretpostavku da mase deterdženta u kutijama imaju
normalnu raspodelu,
a) izračunati procenat kutija koje sadrže više od propisane količine deterdženta.,
b) izračunati onu srednju vrednost i standardno odstupanje raspodele masa deterdženta, koji bi
prepolovili procenat prepunjenih kutija i u isto vreme obezbedili da najviše 1% kutija sadrži
manje od 497g.
c) kolika bi se prosečna ušteda u deterdžentu (%) postigla?
2.11. Otpor električnih otpornika ima normalnu raspodelu N(5Ω, 0.2Ω). Slučajnim izborom
uzmemo dva takva otpornika i vežemo ih na red. Kolika je verovatnoća da taj spoj ima otpor
između 9.5 i 10.5Ω ?
46

48. 3. Empirijska raspodela u Excelu
47

49. 3.1. Osnovni pojmovi
Statistika, kao naučna disciplina, izučava masovne pojave u društvu, prirodi i tehnici. Za
masovne pojave je karakteristično da pojedinačni slučajevi manje ili više odstupaju od onog što
se može smatrati njenom karakteristikom. Na primer, prosečni životni vek stanovništva neke
države predstavlja važnu karakteristiku od koje, manje ili više, odstupaju dužine života
pojedinih građana. Drugi primer su rezultati merenja neke fizičke veličine, koja sama, za razliku
od životnog veka, nije slučajna veličina (na primer gustina gasa na datoj temperaturi i pritisku).
Rezultati ponovljenih merenja se međutim razlikuju među sobom, kao i od tražene tačne
vrednosti merene veličine, zbog slučajne greške merenja.
Statističko obeležje i populacija
Ono što se u teoriji verovatnoće naziva slučajna promenljiva, statističari nazivaju -
statističko obeležje. Tako je životni vek građanina neke države primer statističkog obeležja.
Statističko obeležje je vezano za jasno definisan elemenat (entitet) koga nazivamo statistička
jedinica. U poslednjem primeru to je osoba - građanin neke države.
Skup svih elemenata - statističkih jedinica naziva se populacija ili generalni skup ili
osnovni skup. Osnovni skup po pravilu ima veliki broj elemenata - statističkih jedinica
(masovnost) koji može biti i beskonačan. Na primer, u posmatranom primeru, populaciju čine
svi stanovnici jedne države. U slučaju bacanja dve kocke za igru, statistička jedinica je definisana
kao svaka od mogućih položaja dve bačene kocke, statističko obeležje je posmatrani rezultat
(recimo suma dobijena dva broja), a osnovni skup je beskonačan jer se može zamisliti
beskonačan broj bacanja kocke. Slično, pri kontroli neke procesne veličine (pritisak, temperatura,
koncentracija, itd.) može se zamisliti beskonačan broj merenja. U slučaju kontrole kvaliteta
proizvoda, svaki test je statistička jedinica. Ako kontrolišemo, recimo, debljine proizvedenih
keramičkih pločica, onda je populacija ograničena - broj elemenata jednak je broju proizvedenih
pločica u nekom periodu vremena. U slučaju pak praćenja sadržaja sumpora u proizvedenoj
gumi, populacija se smatra beskonačnom, odnosno neophodna je izvesna apstrakcija koja kao
rezultat ima hipotetičnu beskonačnu populaciju. Zamišljamo naime, beskonačno velik komad
gume i beskonačan niz analiza pod istim uslovima.
Statistički uzorak
Osnovni zadatak statistike je definisanje raspodele frekvenci posmatranog obeležja, tj.
raspodele verovatnoće. Pri tome je retko moguće izmeriti obeležja svih statističkih jedinica
osnovnog skupa. To je svakako nemoguće u slučaju beskonačnog osnovnog skupa, ali i u slučaju
konačnih populacija, to retko dolazi u obzir jer je ili neekonomično ili praktično neizvodljivo.
Primeri su demografska ispitivanja i testova kvaliteta proizvoda, koji su destruktivni (proizvod
u toku testa biva oštećen). Zato se iz populacije izdvaja jedan konačan podskup statističkih
jedinica koji se naziva (statistički) uzorak. Uzorak se ispituje radi donošenja zaključaka o
raspodeli slučajne promenljive - obeležja u osnovnom skupu, koja se naziva i teorijska
raspodela. Umesto izraza: uzorak iz osnovnog skupa sa pretpostavljenom raspodelom (recimo
normalnom) često se koristi kraći termin: uzorak iz pretpostavljene raspodele (npr. normalne).
48

50. Jasno je da se ne može očekivati potpuno tačno opisivanje ili reprezentacija populacije na
osnovu analize uzorka. Jedno od najvećih ograničenja pri tome je svakako obim uzorka pod
kojim se podrazumeva broj elemenata populacije izdvojenih u uzorak. Međutim, veličina
uzorka nije jedini faktor koji ograničava tačnost zaključaka - čak i veliki uzorak može da dovede
do pogrešnog modela. Teorija uzoraka kao deo statistike, bavi se problemom izbora takvog
uzorka koji će obezbediti dovoljnu pouzdanost zaključaka o populaciji. Takav uzorak, čija se
struktura u odnosu na posmatrano obeležje ne razlikuje značajno od strukture osnovnog
skupa, naziva se reprezentativan uzorak. Da bi uzorak bio reprezentativan, mora biti tako
formiran da svaki element populacije ima jednaku šansu da, nezavisno od ostalih, uđe u
uzorak. Za takav uzorak kažemo da je slučajan uzorak. Formiranje slučajnog uzorka iz
ograničene populacije (recimo stanovništvo), vrši se uz pomoć tablice slučajnih brojeva koji se
mogu naći u priručnicima iz statistike, ili se mogu kompjuterski generisati pomoću
odgovarajuće funkcije. Tablica slučajnih brojeva formira se iz dugačkog niza cifara, 0 - 9, koji se
“iseče” na brojeve sa istim odabranim brojem cifara (tablice iz literature najčešće sadrže
četvorocifrene brojeve). Svaka od cifara 0 - 9 se u polaznom nizu brojeva približno pojavljuje
jednak broj puta (dakle, sa relativnom frekvencom 0.1). Najjednostavniji postupak za formiranje
slučajnog uzorka je sledeći. Svi elementi populacije se numerišu. Ako recimo osnovni skup ima
manje od 100 elemenata, potreban je niz slučajnih dvocifrenih brojeva (ili se svaki četvorocifren
broj iz tablice interpretira kao dva dvocifrena). Počev od nasumce odabranog broja u tablici,
uzimaju se redom slučajni dvocifreni brojevi i u uzorak uključuju elementi označeni tim
brojevima. Ako takav element ne postoji, taj broj iz tablice jednostavno ispuštamo i nastavljamo
postupak.
Statistička analiza
Zadatak statističke analize je, kao što smo već naveli, da na osnovu informacija iz uzorka
izvede neke zaključke o osnovnom skupu. U postupku statističke analize mogu se izdvojiti
sledeće faze:
• statističko posmatranje
• sređivanje podataka
• obrada i naučna analiza rezultata
Statističko posmatranje se sastoji u planskom prikupljanju podataka o statističkim
jedinicama putem anketa, posmatranja, merenja itd. Tako na primer, iz slučajnog uzorka obima
n dobijamo niz od n vrednosti (xi, i = 1,...,n)
Sređivanje podataka se sastoji u njihovom tabelarnom i grafičkom prikazivanju, da bi smo
dobili neku predstavu o raspodeli posmatrane slučajne veličine. Prvi korak pri tom je
uređivanje po veličini dobijenog niza od n brojeva, a rezultat je uređen niz koji se u statistici
zove varijacioni niz:
x1 , x2 , , xn
Obrada i analiza rezultata obuhvata matematičku obradu sređenih podataka i njihovu
interpretaciju.
49

51. 3.2 Empirijska raspodela
Polazeći od varijacionog niza x1 , x2 , , xn za svaku od vrednosti u nizu može se odrediti
(apsolutna) frekvenca pojavljivanja, mi. Dobijeni rezultat je empirijska raspodela frekvenci, koja
predstavlja niz parova:
(x , m ), (x , m ), , (x , m ),
*
1 1
*
2 2
*
k k k≤n
za koji se takođe kaže da predstavlja grupisane podatke. Primetimo da je:
k
∗ ∗
x1 = x1 , xk = xn , ∑m
i =1
i =n
Ako se za grupisane podatke izračunaju relativne frekvence ωi = mi/n, dobija se empirijska
raspodela relativnih frekvenci u obliku niza parova:
( x1 , ω1 ),( x2 , ω2 ),…, ( xk , ωk ), k ≤ n
* * *
Jasno je da pri tome važi,
k k
∑ mi = n ,
i =1
∑ω
i =1
i =1
Ako su u pitanju vrednosti neke diskretne slučajne promenljive X, tada empirijska raspodela
relativnih frekvenci predstavlja aproksimaciju zakona raspodele verovatnoće slučajne
promenljive X tj. teorijske raspodele i može se prikazati tabelarno, u vidu trakastog dijagrama
ili poligona raspodele
Što se tiče rešavanja problema vezanih za empirijsku raspodelu, oni će se u Excelu svesti na
formiranje odgovarajućih tabela i crtanje dijagrama..
Primer 3.1.
U grupi od 25 studenata II godine studija su anketiranjem dobijeni podaci o starosti u godinama:
22, 21, 20, 23, 22, 24, 25, 21, 22, 23, 21, 22, 21, 23, 22, 22, 21, 25, 21, 26,
23, 21, 22, 21, 21
Treba formirati empirijsku raspodelu starosti studenata u apsolutnim i relativnim iznosima.
Rešenje
Prvo treba formirati varijacioni niz na sledeći način:
U kolonu C se upisuju se podaci o starosti u godinama, oni se mogu prepisati redom iz
zadataka, nakon toga sortirati. Sortiranje podatak u tabeli se vrši tako što se obeleže podaci i
klikne na ikonicu Sort Ascending
50

52. i kao rezultat dobija se kolona C koja izgleda kao na slici (desno).
Nakon toga korišćenjem funkcije COUNT prebrojavaju se podaci.
Funkcija se dobija iz padajućeg menija Insert, opcije Function, i iz
statističkih funkcija odabere COUNT.
Argumente funkcije predstavljaju članovi varijacionog niza.
U sledećem koraku formira se nova tabela, ona sadrži grupisane
podatke o broju godina.
Vrednosti za m se dobijaju opet korišćenjem funkcije COUNT, i to prebrojavanjem podataka za
određenu vrednost x*, na primer :
I na kraju se izračunavaju vrednosti ω, i to kao odnos m i n, za odgovarajuću grupu podataka.
Ovde se pri kopiranju formula na ostatak reda mora voditi računa o tome da je n konstanta, i da
njen položaj mora biti fiksiran, tj. da se ispred oznake reda i kolone mora staviti znak $.
Pošto je tabela konačno formirana crta se grafik. Iako je crtanje grafika već prethodno
objašnjeno, ovde će još jednom biti prikazano na konkretnom primeru. Crtanje se započinje ili
odabirom Chart iz padajućeg menija Insert, ili klikom na ikonicu Chart Wizard. Tada se otvara
novi prozor, u kome se bira tip grafika (Chart type), i odabere se XY (Scatter).
51

53. Klikne se na Next, i u sledećem prozoru odabere kartica Series, gde će se obeležiti podaci na
osnovu kojih se crta grafik. Na x osi treba da budu vrednosti za x*, a na y osi za m i ω. Serije
podataka se dodaju klikom na „dugme“ Add, a zatim se u poljima X values i Y values upisuju
odgovarajuće vrednosti.
Klikne se na Next, i u sledećem prozoru urade ostala podešavanja grafika, kao što su oznake za
x i y osu, naziv grafika i slično. Nakon toga se ponovo klikne na Next i u sledećem prozoru na
Finish, čime se crtanje grafika završava, a dodatna podešavanja se rade na grafiku, kada se
desnim tasterom miša klikne na grafik i odabere opcija format.
52

54. Pošto bi ovde trebalo prikazati zavisnost ω od x* na sekundarnoj osi, desnim tasterom se klikne
na seriju ω, Format Data Series, kada se otvori novi prozor klikne se na karticu Axis i odabere
opcija Plot Series on – Secondary axis, potvrđuje se sa OK.
Kao rezultat dobija se grafik sa primarnom i sekundarnom osom, tj. poligon raspodele starosti
studenata u apsolutnim i relativnim i znosima.
53

55. Intervalno sređivanje podataka
Ako je obim uzorka veliki i ako niz (4.1) sadrži veliki broj međusobno različitih vrednosti
obeležja X, vrši se tzv. intervalno sređivanje podataka. Intervalno sređivanje se inače praktikuje
kada su u pitanju podaci o neprekidnoj slučajnoj promenljivoj. Interval [a, b) kome pripadaju
sve vrednosti X za uzorak, deli se na k podintervala:
[a, u1), [ u 1, u 2), [ u 2, u 3), . . ., [ u k-1, b)
koji se nazivaju klase. Obično se uzima da su klase jednake širine. Sredine klasa ćemo označiti
sa xi* :
ui −1 + ui
xi* = , i = 1,..., k
2
Frekvence mi, i = 1,...,k sada predstavljaju broj vrednosti obeležja X koje pripadaju prvoj,
drugoj, …, k-toj klasi. Za broj klasa ne postoji striktno pravilo. Preporučuje se da ono bude od 5
– 21, zavisno od obima uzorka [Vukadinovic S., 1990.], a u literaturi se sreću i empirijske
formule za izbor k, [Ahnazarova S., Kafarov V., 1985.]. Tabelarni prikaz intervalno sređenih
podataka dat je u Tab. 4.1. Poslednje tri kolone daju empirijsku raspodelu apsolutnih i
empirijsku raspodelu relativnih frekvenci.
Tabela 4.1 Intervalno sređeni podaci
klase sredine frekvence relativne
klasa frekvence
1 [a, u1) *
x1 m1 ω1
2 [ u 1, u 2) *
x2 m2 ω2
k [ u k-1, b) *
xk mk ωk
∑ n 1
Pored
poligona raspodele, kao grafički prikaz intervalno sređenih podataka koristi se histogram
empirijske raspodele. To je niz pravougaonika čije su osnove intervali [ui-1, ui), a visine
odabrane tako da su im površine jednake relativnim frekvencama.
Primer 3.2.
Mereno je vreme izvođenja neke radne operacije u sekundama:
24 28 22 26 24 27 26 25 26 23
30 26 29 25 27 24 26 25 24 27
Formirati tabelu intervalno sređenih podataka u 5 klasa i histogram.
54

56. Rešenje
U pitanju je neprekidna slučajna promenljiva. Naravno, podaci iz uzorka su uvek
diskretni, ali samo obeležje može biti diskretno ili kontinualno (kao što je ovde slučaj).
Najmanji interval u kome leže svi podaci, a njegova širina je deljiva sa 5, je interval [22,
32), pa ćemo usvojiti klase širine,
d = (32 - 22)/5 = 2.
Kao i u prethodnom primeru formira se varijacioni niz (kolona D na slici),
na osnovu koga se formira nova tabela. Prva kolona nove tabele sadrži nazive klasa, druga
sredine klasa, treća frekvence, četvrta relativne frekvence, a peta visinu pravougaonika u
histogramu, tj. odnos ω/d.
U prvu kolonu se samo upišu podaci. Da bi se izračunale sredine klasa koristi se funkcija
AVERAGE. Ona se kao i ostale funkcija poziva iz menija Insert, opcije Function, a nalazi se u
statističim funkcijama. Argument predstavlja skup vrednosti čija se srednja vrednost traži.
55

57. Treća kolona se popunjava kao i prethodnom primeru pomoću funkcije COUNT, četvrta kao
odnos broja m i n, a peta kao odnos ω i d, u ova dva slučaja mora se voditi računa o tome kako
se zapisuju n i d, jer se radi o konstantama.
Dalje se pomoću Chart Wizard-a crta histogram. U prvom koraku (Chart Type) bira se Column.
Dalje se na Series – Add ubacuju podaci na osnovu koji se crta histogram, u polju Values se
označavaju vrednosti ω/d, u polju Category (X) axis labels klase, u konkretnom slučaju obeleži
se ćelije od E2 do E6.
U trećem koraku izvrše se podešavanja oko naslova, osa i legende, u četvrtom se završava
crtanje grafika.
Kao rezultat dobija se sledeći histogram.
56

58. Empirijska funkcija raspodele
Pretpostavimo da smo grupisanjem podataka iz varijacionog niza xi, i =1,...,n (4.1), dobili
empirijsku raspodelu frekvenci: ( xi* , mi ), i = 1,..., k pri čemu, u slučaju intervalno sređenih
podataka, vrednosti xi* predstavljaju sredine klasa (vidi tabelu 4.2). Neka je x bilo koja vrednost
na x-osi. Ukupan broj tačaka xi , koje leže levo od odabrane tačke x, zove se kumulativna
frekvenca N(x) i dobija se kao suma:
N ( x) = ∑m i
x i* < x
Deljenjem kumulativne frekvence za tačku x ukupnim brojem podataka n, dobijamo
relativnu kumulativnu frekvencu, Fn* ( x) ,
N ( x)
Fn* ( x) = = ∑ ωi (*)
n x i* < x
Jednačina (*) predstavlja definiciju empirijske funkcije raspodele. Grafik empirijske
funkcije raspodele Fn* ( x) , potpuno je analogan grafiku funkcije raspodele F(x) za diskretnu
slučajnu promenljivu (Sl. 2.3). Empirijska funkcija raspodele predstavlja aproksimacije funkcije
raspodele populacije (teorijska funkcija raspodele) i ukoliko je obim uzorka, n veći,
aproksimacija će biti bolja (teorema Glivenka).
Primer 3.3
Za uzorak iz primera 3.1 nacrtati grafik empirijske funkcije raspodele.
Rešenje
Prvo se formira varijacioni niz, kao i u primeru 3.1, odredi broj elemenata pomoću funkcije
COUNT, i na osnovu toga formira tabela. Prve tri kolone (x*, m i ω ili w) dobijaju se na već
poznat način. Četvrta kolona dobija se pomoću funkcije SUM i to za svaku ćeliju posebno.
57

59. Poslednja kolona F(x*+0) dobija se kao N(x*+0)/n, kao što se vidi na slici. Opet se mora uzeti u
obzir da je n konstanta i na odgovarajući način je obeležiti u formuli. Formula za prvi red u
koloni može se kopirati na preostale redove.
Pošto je formirana tabela crta se histogram za F(x*+0) pomoću Chart Wizard-a.
1
0.9
0.8
0.7
0.6
F(x*+0)
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
20 21 22 23 24 25 26
Primer 3.4
U tabeli je dat je uzorak sa grupisanim podacima. Proceniti
a) srednju vrednost i disperziju osnovnog skupa.
b) standardnu grešku srednje vrednosti uzorka
Tabela uz Primer 3.4
Sredina
Klase Frekvence
klasa
x* m
1. 1.45 - 1.95 1.7 2
2. 1.95 - 2.45 2.2 1
3. 2.45 - 2.95 2.7 4
4. 2.95 - 3.45 3.2 15
5. 3.45 - 3.95 3.7 10
6. 3.95 - 4.45 4.2 5
7. 4.45 - 4.95 4.7 3
58

60. Rešenje
Prvo se formira nova tabela:
a) Na osnovu tabele pomoću formula prikazanih na slici izračanuavaju se srednja vrednost i
disperzija.
b) Na sličan način se po odgovarajućim formulama se izračunava standardna greška
59

61. 4. Intervalne ocene parametara
raspodele
60

62. Interval poverenja
Ocene parametra θ, u vidu intervala, zovu se intervalne ocene. Intervalna ocena se zove i
( )
interval poverenja ili pouzdanosti. Interval θ1 , θ* je interval pouzdanosti ili interval poverenja
*
2
za parametar θ, sa nivoom pouzdanosti ili poverenja γ, ako sa unapred zadatom verovatnoćom,
γ možemo da tvrdimo da sadrži tačnu vrednost parametra, odnosno ako važi:
P (θ1 < θ < θ* ) = γ = 1 − α
*
2
Jasno je da je:
P (θ ≤ θ1 ∨ θ ≥ θ* ) = α
*
2
pa se verovatnoća α = 1 - γ naziva i rizik, jer predstavlja verovatnoću da tačna vrednost
parametra bude izvan procenjenog intervala. Granice intervala pouzdanosti θ1 , θ* se nazivaju
*
2
granice pouzdanosti ili poverenja, a širina intervala θ* − θ1 predstavlja meru preciznosti
2
*
intervalne ocene parametra (što je širina intervala manja, preciznost intervalne ocene je veća). Za
interval poverenja kažemo da je simetričan, ako važi:
P (θ < θ1 ) = P (θ > θ* ) = α / 2
*
2
4.1 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele sa poznatom
disperzijom
Pretpostavimo da je slučajni uzorak obima n uzet iz populacije sa normalnom raspodelom N
(µ,σ), čija je disperzija σ2 poznata. Uzoračka srednja vrednost X tada ima raspodelu ,
σ
X : N (µ, σ x ), σx =
n
Odredimo sada, za zadatu verovatnoću, γ granicu apsolutnog odstupanja aritmetičke sredine X
od njene srednje vrednosti µ, sa njenim standardnim odstupanjem σ x = σ n kao jedinicom
mere (koliko standardnih odstupanja σ x , iznosi ta granica?). Odredimo dakle faktor zα, takav
da važi:
( )
P X − µ < zα σ x = γ = 1 − α (4.1)
ε
gde je γ zadato. Uzećemo jednačinu P ( ∆X < ε) = 2Φ  i primeniti je na posmatrani problem.
σ
Znači da treba u jednačini,
61

63. • apsolutno odstupanje ∆X zameniti sa X − µ ,
• za granicu odstupanja ε uzeti zα σ x ,
• σ zameniti sa σ x
Rezultat je:
( )
P X − µ < zα σ x = 2Φ( zα ) = γ
Dakle, traženi faktor zα se dobija kao rešenje jednačine:
1− α
Φ ( zα ) =
2
odnosno predstavlja onu vrednost standardizovane slučajne promenljive sa normalnom
raspodelom za koju Laplasova funkcija dobija vrednost (1 − α ) 2 . Relaciji X − µ < zα σ x su
ekvivalentne sledeće relacije
µ − zα σ x < X < µ + zα σ x (4.2a)
X − zα σ x < µ < X + zα σ x (4.2b)
pa se jedn. (4.1) može interpretirati na dva različita načina:
• Relacija (4.2a) predstavlja događaj da uzoračka srednja vrednost, kao slučajna
promenljiva, upadne u interval sa fiksnim granicama (zα, σ x i µ su konstante), koga
možemo zvati verovatan interval za uzoračku srednju vrednost, X . Jednačina (4.1), tako
definiše granice verovatnog intervala za X , pod uslovom da je poznata srednja vrednost
µ
• Događaj (4.2b) uz zadatu verovatniću γ, po definiciji P (θ1 < θ < θ* ) = γ = 1 − α
*
2
predstavlja interval poverenja za nepoznatu srednju vrednost µ, izračunat iz datog
uzorka.
Zaključujemo da, pri poznatoj disperziji osnovnog skupa, interval pouzdanosti sa nivoom
pouzdanosti γ = 1 - α, za srednju vrednost osnovnog skupa µ, glasi:
(x − z σ /
α )
n , x + zα σ / n , ili µ = x ± zα σ / n (4.3)
1− α
gde je zα definisano jednačinom Φ ( zα ) = i zvaćemo ga koeficijent pouzdanosti (J.O.Bird).
2
Ekvivalentna definicija koeficijenta pouzdanosti je (vidi sliku 4.1): ona vrednost
standardizovane slučajne promenljive sa normalnom raspodelom za koju važi,
P ( X 0 ≥ zα ) = α (4.3a)
Zaista,
62

64.  X −µ 
( )
(6.5 )
α = P X − µ ≥ z α σ x = P
 σ ≥ zα  = P ( X 0 ≥ zα )

 x 
2
1 − x2
f 0 (x ) = e
2π
Slika 6.1. Ilustracija jednačine 4.3a
U Tab. 4.1. date su vrednosti koeficijenta pouzdanosti za tri nivoa pouzdanosti γ, koje se
najčešće koriste u praksi.
Tabela 4.1 - koeficijenti pozdanosti, zα
γ α zα
0.90 0.10 1.64
0.95 0.05 1.96
0.99 0.01 2.58
Treba zapaziti da su granice intervala poverenja (4.3) slučajne vrednosti ( X je slučajna
veličina). Dakle interval poverenja predstavlja jedan slučajan interval, koji sa zadatom
verovatnoćom γ obuhvata nepoznatu ali fiksnu vrednost µ. Tako, ako bi postupak uzimanja
uzorka i određivanja intervala poverenja ponavljali, svaki put bi dobili drugačiji interval
poverenja, ali bi mogli očekivati da će u (γ⋅100) % (recimo 95%) svih slučajeva izračunati interval
pouzdanosti obuhvatiti parametar µ. Jasno je sada zašto se za verovatnoću γ kaže da predstavlja
nivo pouzdanosti intervalne ocene.
Aritmetička sredina četiri izmerene temperature peći optičkim pirometrom je 22500C. Ako je
greška merne metode, σ = 100C,
a) Naći sa pouzdanošću od 95% interval u kome leži prava vrednost temperature.
b) Koliko je ponovljenih merenja temperature neophodno, da bi preciznost procene odstupanja
tačne temperature od izmerene (sa datim nivoom pouzdanosti) bila 50C?
Rešenje
a) Za γ = 0.95, iz tablice : z1−α 2 = z0.975 = 1.96 , pa je, interval poverenja srednje
vrednosti merenih temperatura peći:
63

65. odnosno, sa pouzdanošću od 95%, prava temperatura peći, t leži u intervalu
2240.2 < t <2259.8 0C
b) Preciznost procene predstavlja poluširinu intervala pouzdanosti, pa je uslov:
σ 10
z1−α 2 ⋅ = 1.96 ≤ 5 ⇒ n ≥ 3.92
n n
n ≥ 3.92 2 = 15.35
Odnosno u Excelu ovo izračunavanje izgleda ovako:
Usvaja se kao minimalan broj neophodnih merenja: n = 16
Aproksimacija za velike uzorke iz raspodele sa nepoznatom disperzijom
U skladu sa centralnom graničnom teoremom, za veće uzorke iz bilo koje raspodele sa
parametrima µ i σ, primenljiva je aproksimacija da aritmetička sredina X ima normalnu
raspodelu N ( µ, σ n ). S druge strane, za velike uzorke (n ≥ 30) je primenljiva i aproksimacija:
( ) ∗
s 2 = σ2 = σ2
pa se za veće uzorke (n ≥ 30) iz raspodele sa nepoznatom disperzijom, interval (4.3)
aproksimira intervalom:
(x − z s /
α )
n , x + zα s / n , ili µ = x ± zα s / n (4.4)
bez obzira na tip raspodele.
64

66. Primer 4.2
Obavljeno je 100 merenja mase čokolada, čija je deklarisana masa 100g (prva kolona
tabele).
a) Odrediti granice u kojima se nalazi srednja masa čokolada “od 100grama”, sa
pouzdanošću od 90%,
b) Ponoviti proračun za nivo pouzdanosti 99%.
c) Da li se sa pouzdanošću od 90% može tvrditi da je srednja masa čokolade “od
100grama” manja od nominalne (100g), tako da ukazuje na poremećaj u procesu? Da li
se ista tvrdnja može dati i sa sa pouzdanošću od 99% ?
Rešenje
Najpre izračunavamo uzoračku srednju vrednost i uzoračku disperziju iz
formula za grupisane podatke
a) Za pouzdanost 90%, zα = 1.64 , pa je poluširina intervala pouzdanosti:
65

67. µ = 99.06 ± 0.46 g
b) Za pouzdanost 99%, zα = 2.58 ,
Prema očekivanju, sa povećanjem nivoa pozdanosti smanjena je preciznost intervalne
ocene (širi interval)
c) Sa pouzdanošću γ = 0.9, srednja masa proizvedenih čokolada “od 100grama”
leži u intervalu:
(99.06 − 0.46, 99.06 + 0.46) ⇒ (98.60, 99.52 )
Pošto taj interval ne obuhvata nominalnu vrednost 100g i leži ispod te vrednosti, sa
datom pouzdanošću možemo da tvrdimo da je srednja vrednost populacije, tj. srednja
masa proizvedene čokolade manja od deklarisane.
4.2 Ocena srednje vrednosti normalne raspodele nepoznate
disperzije
U slučajevima kada je disperzija σ2 nepoznata i uzorak nije veliki (n < 30) određivanje
intervala pouzdanosti srednje vrednosti populacije sa normalnom raspodelom N (µ, σ), bazira
se na Studentovoj ili t - raspodeli.
Primer 4.3
Procenat bakra u nekoj supstanci meren je 6 puta i aritmetička sredina 6 merenja je x = 14.1 %.
Odrediti interval u kome sa pouzdanošću γ = 95% leži pravi sadržaj bakra,
a) Ako je poznata greška metode, σ = 2.5
b) Iz datog uzorka procenjena je greška metode, s = 2.1
66

68. Na osnovu ovih podataka prema formuli se na sledeći način izračunava interval:
Kada je poznata procenjena greška metode, izračunava se td,α pomoću funkcije TINV. Funkcija
se poziva iz padajućeg menije Insert, opcije Function, i odabirom TINV iz statističkih funkcija.
Sintaksa:
TINV(Probability, Deg_freedom)
Probability – verovatnoća da vrednost x bude izvan intervala (–x,x).
Deg_freedom – je broj koji označava broj stepeni slobode karakterističan za raspodelu.
Rezultat funkcije je vrednost za koju Studentova raspodela „t“ ima zadatu verovatnoću.
U konkretnom slučaju kako je pouzdanost 95%, verovtanoća je 1-0.95=0.05, što se i upisuje u
polje Probability, a broj stepeni slobode je n-1=6-1=5, i upisuje se u polje Deg_freedom. Dobijeni
rezultat je vrednost td,α, koja se dalje koristi za izračunavanje intervala po formuli:
67

69. Primer 4.4.
Radi provere tačnosti metode, fotometrijskom titracijom je određivan berilijum u probi sa
poznatom količinom berilijuma od 3.179mg. Rezultati ponovljenih analiza (mg) su:
3.167, 3.177, 3.177, 3.169, 3.173, 3.177, 3.177, 3.177, 3.171, 3.169
a) Proceniti interval pouzdanosti za sistematsku grešku (bias) metode, b:
b = µ − 3.179
sa 95% nivoom pouzdanosti, gde je µ srednja vrednost zamišljenog osnovnog skupa, koji sadrži
beskonačan broj svih mogućih rezultata određivanja berilijuma u datoj probi.
Rešenje
Prvo sve podatke treba uneti u tabelu na sledeći način:
a) Ocena sistematske greške iz datog uzorka od 10 merenja je:
b* = x − 3.179 .
Srednja vrednost x se izračunava pomoću funkcija AVERAGE.
interval pouzdanosti za njenu srednju vrednost b, dobija se kao
s
b = b* ± t9,0.05
10
Iz datog uzorka izračunava se:
x = 3.1733, b * = −0.0057
Zatim se pomoću funkcije TINV izračunava t:
68