Equilibrages des charges
Plusieurs types de produits et temps opératoires
stochastiques
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Equilibragedes charges: Plusieurstypes de produits et
temps opératoires stochastiques
Première partie : Fiche « connaissan...
I. Introduction
Une ligne d’assemblage est un ensemble de stations de travail (postes de travail)
interconnectées entre el...
Le problème de l’équilibrage d’une ligne d’assemblage consiste à affecter les opérations
d’assemblage aux stations de la l...
Quelques définitions de lignes d’assemblage
Opération (ou tâche) : C’est la plus petite unité de travail. Elle est pratiqu...
Temps mort : Le temps mort d’une station correspond à la différence entre son temps de
station et le temps de cycle de la ...
II. Problèmes d’équilibrage de lignes
d’assemblage
L’équilibrage d’une ligne d’assemblage est un problème d’optimisation
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Problèmes d’équilibrage de la ligne
d’assemblage
Modèle simple (SALBP) Modèle mixte
Les temps opératoires
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Temps opératoire : La durée nécessaire pour compléter une opération (taches)
Le mot stochastique est synonyme d'aléatoire ...
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Solutions pour équilibrer la charge de plusieurs types de produit
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Avantage Inconvénient
• Il est possible de substituer à cette
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Densité de probabilité triangulaire
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Dans la pratique, il suffira donc de définir a et b et de considérer que la loi ...
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Nous adoptons l’approximation des lois triangulaire par des lois
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Les temps opératoires sont déterministesils
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Les gammes de fabrication
Questions :
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1. On remarque que les points dont les coordonnéessont le nombre d’unité de produits et leurs
probabilitésont linéairement...
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Exemple :
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Question :
1. Calculer la probabilité de dépassement de chacune des stations de
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Solution
1. Nous appliquonsun programmequi fonctionneen temps stochastiqueset qui utilise
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Probabilitéde dépassement de la capacité:
Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Temps
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B
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équilibrage charges capacités : travail réalisé par Aboubakr MOUBARAK et youssef ELMOUKKADEM et encadré par MR. Fouad Jawab à l'école supérieure de technologie de FES Licence professionnelle logistique option logistique industrielle

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Gestion des flux internes équilibrage charges capacités ; plusieurs types de produit et temps opératoires stochastiques

  1. 1. Equilibrages des charges Plusieurs types de produits et temps opératoires stochastiques Encadré par : M. Fouad JAWAB Réalisé par : Aboubakr MOUBARAK etYoussef EL MOUKADDEM Licence professionnelle : Logistique industriel
  2. 2. Equilibragedes charges: Plusieurstypes de produits et temps opératoires stochastiques Première partie : Fiche « connaissances »
  3. 3. I. Introduction Une ligne d’assemblage est un ensemble de stations de travail (postes de travail) interconnectées entre elles à l’aide d’un moyen de transfert mécanisé (comme un convoyeur, un tapis roulant, un bol vibrant etc.). Le produit est transféré sur les stations pour subir les diverses opérations d’assemblage nécessaires. A la fin de la ligne, le produit assemblé sort de la ligne.
  4. 4. Le problème de l’équilibrage d’une ligne d’assemblage consiste à affecter les opérations d’assemblage aux stations de la ligne de façon à équilibrer les charges entre les stations tout en respectant des contraintes de production. Ce problème se pose lors de la conception préliminaire d’une nouvelle ligne, mais également au moment d’un changement important de la production. En effet, une mauvaise affectation des opérations aux stations peut entraîner un temps mort non justifié et donc des coûts supplémentaires inutiles pour chacune des pièces produites. Exemple : Dans l’exemple, les pièces des produits P passent par les quatre stations sur la ligne pour exécuter les opérations
  5. 5. Quelques définitions de lignes d’assemblage Opération (ou tâche) : C’est la plus petite unité de travail. Elle est pratiquement indivisible. Un travail à réaliser sur un produit peut être divisé en plusieurs opérations indivisibles. A chaque opération sont associés au moins deux types de paramètres qui correspondent à sa durée et à des contraintes. La durée nécessaire pour compléter une opération est dite temps d’opération ou temps opératoire. Temps de cycle : temps compris entre la production de deux unités sur une ligne d’assemblage. Généralement le temps de cycle est donné par la station qui a le temps de station le plus grand (station goulet). Il correspond à la productivité de la ligne d'assemblage. Remarquons qu’on le confond souvent avec le temps de réponse ou temps du système qui est le temps de présence d'un produit dans la ligne.
  6. 6. Temps mort : Le temps mort d’une station correspond à la différence entre son temps de station et le temps de cycle de la ligne. Le temps mort représente un gaspillage des ressources et par conséquent augmente le coût de production. Contraintes de précédence : ils présentent l’ordre partiel de réalisation des opérations, et ce en raison des restrictions technologiques (ex. dans une ligne d’assemblage des ordinateurs, la carte mère doit être fixée dans le boîtier d’ordinateur avant d’installer les cartes sur la carte mère). Station : c’est un élément de la ligne où les opérations sont réalisées sur un produit. La totalité du travail à réaliser sur une station est appelée la charge de cette station. La durée d’exécution de la charge d’une station s’appelle le temps de station.
  7. 7. II. Problèmes d’équilibrage de lignes d’assemblage L’équilibrage d’une ligne d’assemblage est un problème d’optimisation combinatoire Il s'agit d'affecter les opérations aux stations tout en respectant les différentes contraintes de façon à optimiser un critère d’efficacité donné. Ce problème se pose lors de la conception préliminaire d’une nouvelle ligne, mais également au moment d’un changement important de la production. Une mauvaise répartition des opérations aux stations peut entraîner un temps mort non justifié et des coûts supplémentaires inutiles pour chacune des pièces produites.
  8. 8. Problèmes d’équilibrage de la ligne d’assemblage Modèle simple (SALBP) Modèle mixte Les temps opératoires sont déterministe La ligne d’assemblage est dédiée à un seul produit ( Ou à des produits très similaires au plan de la gamme de fabrication et de temps opératoires Les temps opératoires sont stochastiques La ligne d’assemblage est dédier à plusieurs produits Rarement réaliser dans la pratique le modèle mixte où plusieurs types de produits sont fabriqués sur la ligne. Les produits de différents types sont lancés sur la ligne en respectant des ratios donnés, mais sans regroupement obligatoire par type, c’est-à-dire qu'à chaque instant un mélange de produits de différents types peut être présent sur la ligne
  9. 9. Temps opératoire : La durée nécessaire pour compléter une opération (taches) Le mot stochastique est synonyme d'aléatoire et s’oppose par définition au déterminisme. Qui dépend, qui résulte du hasard. Temps opératoires stochastique Exemple de ligne d’assemblage pour un modèle mixte Avec trois sortes de produits différents
  10. 10. modèle stochastique : dans une ligne manuelle, la performance de la ligne de production est forcément dépendante du travail des opérateurs. Le temps d’opération peuvent être très différents en raison des compétences et des motivations différentes des opérateurs. Même si le temps d’opération est presque constant dans une ligne automatisée, une variation des taux de production des stations peut se produire cause des pannes des machines. Dans la littérature, les temps des opérations d'une ligne manuelle sont souvent donnés selon une loi normale.
  11. 11. Solutions pour équilibrer la charge de plusieurs types de produit et temps opératoires stochastiques La loi de probabilité triangulaire La simulation Consiste à Fournir des bornes on supposant que le temps opératoire le plus probable se situe à égale distance de ces borne. Lorsque l’on ne souhaite pas introduire une approximation normale Lorsque interviennent des produits de variablesaléatoires Utilisée soit Opération difficile de traduire en uneloi de probabilité simple
  12. 12. Avantage Inconvénient • Il est possible de substituer à cette loi une loi normale de même moyenne et de même écart type sans pour autant perturber considérablement les résultats. • Il arrive parfois que l’approximation par loi normale ne soit pas possible (parfois le temps opératoire est donné à l’aide de deux bornes, mais le temps opératoire le plus probable ne soit pas équidistant des deux bornes) L’approche de la loi de probabilité triangulaire L’approche de la loi de probabilité triangulaire Temps opératoires Ils sont les valeurs prises par des variables aléatoirescontinues (densitésde probabilité) Compositiondu lot de fabrication Ils sont des valeurs prisespar des variablesaléatoires discrètes
  13. 13. Densité de probabilité triangulaire 𝐹 𝑥 = Dans la pratique, il suffira donc de définir a et b et de considérer que la loi de probabilité de temps opératoire a comme moyenne et écart type les valeurs m calculées
  14. 14. Le choix d’une telle répartition est raisonnable car il permet de rendre compte d’une valeur de base du temps opératoire (la valeur moyenne) et d’une dispersion d’une autour de cette valeur moyenne, la probabilité d’une valeur étant d’autant plus faible que cette valeur est éloignée de la moyenne. Dans la suite, une telle loi sera qualifiée de ¨Triangulaire¨ Un autre choix est l’approximation par une loi normale ayant même écart type que la loi triangulaire. L’avantage de ce choix est de pouvoir mener les calculs théoriques beaucoup plus loin (La convolution de loi normales est aisée) et la probabilité que la valeur prise reste comprise l’intervalle [a,b] est supérieure à 0,9855
  15. 15. Dépassement de la capacité d’une station Nous adoptons l’approximation des lois triangulaire par des lois normales pour les opérations à exécuter dans une stations K donnée. Soit i= 1,2…nk les opérations à exécuter dans cette station. Soit [ai, bi] l’intervalle dans lequel nous souhaitons contraindre le temps opératoires suit une loi normale : De moyenne 𝑀𝑘 = 𝑖=1 𝑛𝑘 𝑎𝑖+𝑏𝑖 2 De variance 𝑀𝑘 2 = 𝑖=1 𝑛𝑘 (𝑏𝑖+𝑎𝑖)2 24 La relation nous donne donc la probabilité que la station considérée ne soit pas en mesure d’exécuter les opérations qui lui sont assignées durant une période de cadencement.
  16. 16. Application1 : Conceptiond’une ligned’assemblageplusieurs produit avec temps de fabricationaléatoires Une ligned’assemblagefabrique des lots de Cinque produits noté : P1,P2,P3,P4 et P5. Les produits qui figurent dansun lot on à subir 14 opérationsnotées A,B,C,D,E,F,G,H,I,J,K,L,M et N. La compositionde ces lots est variable. Le nombre de produits Pi dans un lot est compris entre deux bornes (bornes exclues) et est réparti suivant une loitriangulaire, comme indiqué ci-dessous.Pour chaque valeur possibledu nombre d’unité de produit figurant dans un lot, la probabilitéest donnée entre parenthèses. P1: 5(1/6); 6(2/6) ; 7(2/6) ; 8(1/6) P2: 4(1/9) ; 5(2/9) ; 6(1/3) ; 7(2/9) ; 8(1/9) P3: 3(1/16) ; 4(1/8) ; 5(3/16) ; 5(1/4) ; 7(3/16) ; 8(1/8) ; 9(2/16) P4: 5(1/4) ; 6(1/2) ; 7(1/4) P5: 2(0,05) ; 3(0,1) ; 4(0,15) ; 5(0,2) ; 5(0,2) ; 7(0,15) ; 8(0,1) ; 9(0,05) La période de cadencementest égale à 400 unités de temps. Nous considéronsque l’approximationde la loi de répartitiontriangulairepar une loinormale est valide. Avec : (a/b) : C’est le nombre de produits Pi dans un lot.
  17. 17. Les temps opératoires sont déterministesils figurent dans ce tableau Les gammes de fabrication Questions : 1:Trouves pour chaque opération, les paramètres de la loinormale qui gouverne les temps opératoire du lot. 2. Calculerla probabilitéde dépassementde chacune des stations
  18. 18. 1. On remarque que les points dont les coordonnéessont le nombre d’unité de produits et leurs probabilitésont linéairement répartisjusqu’à la valeur médiane.Onremarque également que les bornes inférieuresdes répartitions sont respectivement4,3,2,4,1. Les bornessupérieures de répartitionsont respectivement9,9,10,8,10. Si j=1…, J sont les opérations à effectuer, si i=1…,I sont les différentstypes de produits, si 𝑇𝑖𝑗 le temps nécessairepour effectuer l’opérationj sur unité de produit i, et si 𝑛𝑖 est le nombre (variable)de produits de type i dans le lot. Alors 𝑆𝑗 = 𝑖=1 𝐼 𝑛𝑖. 𝑡𝑖𝑗 est le temps nécessairepour effectuer l’opération j sur l’ensembledes produits du lot. Donc sont écart type sera 𝑖=1 1 𝑡𝑖𝑗 2 𝜎𝑖 2 a. Calcul des paramètre qui gouvernent la variable aléatoire n1 qui correspondau produit P1. 𝜎1 2 = 1 24 52−3 = 11 12 si bienque 𝜎 = 33 6 Solution :
  19. 19. b. Calcul des paramètre qui gouvernent la variablealéatoire n1 qui correspondau produit P2. 𝜎2 2 = 1 24 62−4 = 4 3 Si bien que 𝜎2 = 2 3 3 c. La moyennede la variablealéatoire normale du temps nécessairepour faire subir l’opération A,B et C : 𝑚 𝐴 = 1 × 6, 5 + 3 × 6 = 24,5 𝑚 𝐵 = 5 × 6,5 + 1 × 6 = 38,5 𝑚 𝐶 = 2 × 6,5 + 3 × 6 = 31
  20. 20. Opérations A B C D E F G H I J K L M N Moyenne 70,5 98 60 114,5 114 78,5 73 96 85,5 83,5 92,5 30 60,5 109 Ecart type 8,77 8,25 6,26 11,94 10,39 10,46 7,02 9,69 7,86 10,39 7,75 2,92 5,88 12,31 Caractérisationdes temps opératoires du lot : Le problème completqui comportecinqproduits et 14 opérationsnécessitel’écriture d’un programme simple.Ce programme conduit aux résultats qui figurent dans le tableau suivant : La probabilitéde dépassement de la périodede cadencementest donnée par la formule classique: Pr 𝑋 > 4000 = 1 𝜎 2𝜋 400 +∞ 𝑒𝑥𝑝 − 𝑥 − 𝑚 2/(2𝜎2) 𝑑𝑥 = 1 2𝜋 𝑅 +∞ exp − 𝑥2 2 𝑑𝑥 Ou R = (400-m)/𝜎, m est le temps moyen et 𝜎 est l’écarttype. Avec : R : Vecteur des clés aléatoires. Pr(x) : La probabilitéde dépassement de la périodede cadencement m: est le temps moyen 𝜎 : est l’écarttype.
  21. 21. Exemple : Une compagniede textile fabrique 3 types de produits : chemises, sacs en cuir et des pantalons.Noté respectivementC, S et P . Ces produits sont fabriquésdans la même ligned’assemblage, répartie en 14 stations.  Pour fabriquerune chemise ilfaut 3 sortes de matières premières différentsnoté A, B et C  Pour fabriquerun sac en cuir il faut 5 sortes de matières premières différentsnoté A, C, D, E,F  Pour fabriquerun pantalonsil faut 3 sortes de matières premièresdifférents noté G, H et C Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Opérations A,E, B A,C, E, B E, B,D, H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G, H A,C, F, A,B, F,C C,F,G ,H Temps op. moyens 228, 5 200 300, 55 169 231,5 139 314 252, 5 261, 5 109 298 134 198 270,8
  22. 22. Question : 1. Calculer la probabilité de dépassement de chacune des stations de façons à maximiser l’utilisation des stations de la chaine d’assemblage La période de cadencement est égale à 400 unités de temps. Nous considérons que l’approximation de la loi de répartition triangulaire par une loi normale est valide et le coefficient de variationdes temps opératoires est de : CV = 0,5 Le responsable de production à estimer que les stations sont chargées à 60% de leur capacité
  23. 23. Solution 1. Nous appliquonsun programmequi fonctionneen temps stochastiqueset qui utilise les temps opératoires moyens. Puisque les stations sont chargéesà 60% de leur capacité,ce qui revient à dire que la période de cadencementest de 240 unités de temps. Pour chaque station, la moyenne est égale la somme des moyenneset l’écarttype est égalà la racine carrée de la somme des variances. 400 × 60% = 240 La ligned’assemblageavec chargementà 60% Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Opérations A,E, B A,C, E, B E, B,D, H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G, H A,C, F, A,B, F,C C,F,G ,H Temps op. moyens 228, 5 200 300, 55 169 231,5 139 314 252, 5 261, 5 109 298 134 198 270,8 Ecart type 114,25 100 150,275 84,5 115,75 69,5 157 126,25 130,75 54,5 149 67 99 135,4
  24. 24. Probabilitéde dépassement de la capacité: Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 A,E, B A,C, E, B E, B,D, H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G, H A,C, F, A,B, F,C C,F,G ,H Probabilité 12,6 4 14 13,78 19,3 11,8 20,63 15,6 4 18,1 3 21,78 19,3 16,8 22,6 3 24,64 16 R : Vecteur des clés aléatoires. R = (400-m)/𝜎 m: est le temps moyen 𝜎 : est l’écarttype. Ce tableau donneles valeurs de R pour les différentes stations. La probabilitéde dépassementse lit alors dansles tables. Dans ce cas, les tables nous indiquentque la probabilitéde dépassementde capacitéest pratiquement nulle.Cela signifiequ’ilest possiblede dépasser60% de charge.
  25. 25. Nous examinonsmaintenant le cas où les stations sont chargéesà 70% de leur capacité. Le résultat de la conceptionest donné de le tableausuivant : La ligned’assemblageavec chargementà 70% Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Opérations A,E, B A,C, E, B E, B,D, H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G, H A,C, F, A,B, F,C C,F,G ,H Temps op. moyens 2513,5 2200 3306,05 1859 2546,5 1529 3454 2777,5 2876,5 1199 3278 1474 2178 2978,8 Ecart type 1256,75 1100 1653,025 929,5 1273,25 764,5 1727 1388,75 1438,25 599,5 1639 737 1089 1489,4
  26. 26. Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 R A,E, B A,C, E, B E, B,D, H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G, H A,C, F, A,B, F,C C,F,G ,H Probabilité 12,6 4 14 13,78 19,3 11,8 20,63 15,6 4 18,1 3 21,78 19,3 16,8 22,6 3 24,64 16 Les probabilitésde dépassementde capacitésont calculéescomme précédemment. Elle sont rassembléesdans le tableau précédent. Nous sommes encore dans le cas où les probabilitésde dépassementsont pratiquement nulles. Nous examinonsenfin le cas où les stations sont chargéesà 80% de leur capacité. Le résultat de conceptionest donné dans le tableau suivant : Probabilitéde dépassement de la capacité:
  27. 27. La ligned’assemblageavec chargementà 80% Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Opérations A,E, B A,C,E, B E, B,D,H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G,H A,C,F, A,B, F,C C,F,G, H Temps op. moyens 228,5 200 300,55 169 231,5 139 314 252,5 261,5 109 298 134 198 270,8 Ecart type 114,25 100 150,275 84,5 115,75 69,5 157 126,25 130,75 54,5 149 67 99 135,4
  28. 28. Probabilitéde dépassement de la capacité: Stations 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Temps d’opérations A,E, B A,C,E , B E, B,D, H A,E, B F C,D G,E, H B,E, H C,B, H G,E, F A,B, C,G,H A,C, F, A,B, F,C C,F,G, H Probabilité 12,6 4 14 13,78 19,3 11,8 20,63 15,6 4 18,13 21,78 19,3 16,8 22,6 3 24,64 16 Nous tirons deux conclusionsde ce qui précédé :  Même chargées à 80% de leur capacité, les stations sont capables d’absorber la charge qui leur est impartie. Il y a à cela deux explications. Tout d’abord, la capacité affectée à la production n’est jamais utilisé complétement, ce qui laisse aux aléas une flexibilité supérieure à la flexibilité consentie. La seconde explication est que les aléas se compensent. En d’autres termes, plusieurs opérations exécutées dans la même station exigent rarement un temps opératoire maximal en même temps.  En observant l’évolution des bornes R, nous voyons qu’en augmentant le pourcentage de charge la probabilité de dépassement ne sera pas la même pour toutes les stations. Il faudrait donc pouvoir donner des pourcentages de chargements différentsd’une station à l’autre, ce qui n’est pas possible

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