1. Intervalos de Confiança p/ Médias e Proporções
I.C. p/ a média µ de uma população Normal com variância σ²
conhecida X:N(?, σ²)
Procedimento p/ Construção do I.C.:
1. Retirar uma amostra casual simples de n elementos;
2. Calcular a média da amostra ‫;ݔ‬
ഥ
ఙమ ఙ
3. Calc. desvio padrão da média amostral: ߪ௫̅ =ට = ;
௡ √௡
4. Fixar o nível de significância α e com ele determina ܼ஑ tal
que P(|Z|>ܼ஑ )= α ou P(Z>ܼ஑ )= α/2 e P(Z<-ܼ஑ )= α/2.

2. Como Z = (‫ߤ − ̅ݔ‬௫̅ )/ߪ௫̅ ou Z = (‫ߪ/)ߤ − ̅ݔ‬௫̅ →
P(|(‫ߪ/)ߤ − ̅ݔ‬௫̅ | < ܼ஑ ) = 1− α →
P(‫ܼ − ̅ݔ‬α ߪ௫̅ < ߤ < ‫ܼ + ̅ݔ‬α ߪ௫̅ ) = 1− α
Significa que de 100 amostras do mesmo tamanho n
Para α = 5% esperamos que 95 dos I.C. assim construídos
contenham o verdadeiro valor de ߤ
Exemplos de aplicação:

3. 1. De uma população Normal X com ߪ ₂ =9, tiramos uma
amostra de 25 observações, obtendo ∑௡ ‫ݔ‬௜ =152
௜ୀଵ
Determinar um IC de 90% para ߤ
2. População de 1000 elementos c/ distribuição aprox.
normal com ߪ ₂ =400, tira-se uma amostra de 25
elementos sem reposição, obtendo-se ‫ .051= ̅ݔ‬Elaborar um
IC para ߤ, ao nível de 5%

4. 3. De uma população Normal com σ=5, retiramos uma
amostra de 50 elementos e obtemos ‫24= ̅ݔ‬
a)Fazer um IC para a média ao nível de 5%;
b)Qual o erro de estimação ao nível de 5%?
c)Para que o erro seja ≤1, com prob. de acerto de 95%,
qual deverá ser o tamanho da amostra?

5. Intervalo de Confiança para grandes Amostras
Estimação de Proporções
Quando proporção p populacional é conhecida,
௫ ௣௤ ොି௣
௣
‫= ̂݌‬ tem distribuição ‫ ≈ ̂݌‬N(p, ) ou : N(0,1)
௡ ௡ ఙ೛
ෝ
Para construir I.C. para p desconhecida, determinar ‫ ̂݌‬଴ na
ො ෝ
௣బ.೜బ
amostra e considerar ߪ௣ ≈ ට
ො → ao nível α
௡
ො
௣బ ି௣
de significância, P(|‫ݖ≤|ݖ‬ఈ )=1 – α sendo z= →
ఙ೛
ෝ
P(‫ ̂݌‬଴ − ‫ݖ‬ఈ . ߪ௣ ≤ p ≤‫ ̂݌‬଴ + ‫ݖ‬ఈ . ߪ௣ ) = 1 – α
ො ො

6. Exemplos
1. Uma amostra de 100 elementos encontrou-se 20
sucessos. Ao nível de 1% contruir IC para a proporção
real de sucessos na população.
2. Para estimar a percentagem de alunos favoráveis à
modificação do currículo, tomou-se uma amostra de
100 alunos e 80 deles foram favoráveis.
a) Fazer um IC para a proporção de todos os alunos
do curso favoráveis à mudança ao nível de 4%.
b) Qual o valor do erro de estimação cometido em a?
IC para média de populações Normais com
Variâncias Desconhecidas

7. Dois procedimentos
• Se n ≤ 30 usa-se a distribuição t de Student (Later)
• Se n > 30 usa-se Normal com o estimador ܵ ଶ de ߪ ₂
ଵ
ܵଶ = ሾ∑௡ ‫ݔ‬௜ ଶ − ݊‫ ̅ݔ‬ଶ ሿ
௜ୀଵ
௡ିଵ
Como a amostra é grande, ܵ ଶ ≈ ߪ ₂
ௌమ ௌ
ߪ௫̅ ≈ට ≈ →
௡ √௡
P(‫ݖ − ̅ݔ‬ఈ . ߪ௫̅ < μ < ‫ݖ + ̅ݔ‬ఈ . ߪ௫̅ ) = 1 – α
Exemplos

8. 1)De população Normal com parâmetros desconhecidos,
tiramos uma amostra de tamanho 100 obtendo ‫݁ 211 = ̅ݔ‬
ܵ ଶ = 11. Fazer IC para µ ao nível α = 10%
2)A altura dos homens de uma cidade apresenta uma
distribuição Normal. Para estimar μ levantou-se uma amostra
de 150 homens. Obtendo :
∑ଵହ଴ ‫ݔ‬௜ =25800 cm e ∑‫ݔ‬௜ ଶ =4.440.075 ܿ݉ଶ . Ao nível de 2%
௜ୀଵ
determine um IC para a altura média dos homens da cidade.
3)De uma população normal com ߪ ₂ =16, levantou-se uma
amostra obtendo-se as observações 10, 5, 10, 15. Determinar
ao nível de 13% um I.C. para a média da população.

9. 4)A experiência com trabalhadores de uma indústria indica
que o tempo necessário para que um trabalhador,
aleatoriamente selecionado, realize uma tarefa é distribuído
de maneira aproximadamente normal, com σ=12 mins.. Uma
amostra de 25 trabalhadores forneceu ‫= ̅ݔ‬
140 ݉݅݊‫ .ݏ‬Determinar os limites de confiança de 95% para a
média µ da população.
5)Em uma linha de produção de certa peça mecânica, colheu-
se uma amostra de 100 itens, constatando-se que 4 peças
eram defeituosas. Construir o IC para a proporção “p” das
peças defeituosas ao nível de 10%.

10. 6)Uma votação realizada entre 400 eleitores, escolhidos ao
acaso dentre todos eleitores de um determinado distrito,
indicou que 55% deles são a favor do candidato A.
Det. Os limites de confiança de 99% para a proporção de
todos os eleitores do distrito favorável ao candidato A.
Se o número de eleitores deste distrito fosse de 230.000
pessoas, qual seria a votação esperada pelo candidato?
7)Uma amostra aleatória de 80 notas de matemática de uma
população com distribuição normal de 5000 notas apresenta
média de 5,5 e desvio padrão de 1,25.
a)Quais os limites de confiança de 95% para a média das
5000 notas?
b)Com que grau de confiança diríamos que a média das
notas é maior que 5,0 e menor que 6,0?

11. 8)Para estimar a proporção de defeitos de uma linha de
produção de uma peça, examinou-se uma amostra de 100
peças,encontrando-se 30 defeituosas. Sabe-se que o
estimador ‫ ̂݌‬para este tamanho de amostra tem desvio
padrão de 3%. Encontrar os limites de confiança de 95% para
p e o respectivo erro de estimação.
9)Querendo estimar a média de idade de uma população X
com distribuição normal, levantou-se uma amostra de 100
observações obtendo ‫ 03= ̅ݔ‬e s = 4. Ao nível de 90%,
determinar o limite de confiança para a verdadeira
média da população.

12. 10)Que tamanho de amostra seria necessário retirar de uma
população normal X com σ=12, a fim de estimar a duração
média de uma tarefa em minutos, com um erro de, no
máximo, 2 minutos e com probabilidade de 95% de estar
correto?
11)A ingestão de um remédio adormece os pacientes. O
tempo decorrido entre a ingestão do remédio e o
adormecimento é distribuído normalmente com σ=10min. De
uma amostra de 25 pacientes, observou-se que ∑ଶହ ‫ݔ‬௜ = 1375
௜ୀଵ
min.
a)Construir um IC para µ, com limites ߤଵ e ߤଶ (ߤଵ < ߤଶ ), de
forma que seja observada a seguinte especificação: à

13. desconfiança que µ < ߤଵ , atribuímos o nível de 5%, enquanto
à desconfiança que µ > ߤଶ , atribuímos o nível de 10%. Obs.:
IC com limites assimétricos.
b)Qual é a probabilidade deste intervalo conter o µ?