investigacion corta

1. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEON
C: 1 6 6 1 9 1 3
1° ADMÓN DE EMPRESAS.
AULA MERK
RAZONES, PROPORCIONES Y PORCENTAJES.
Razón:
Resultado de comparar dos cantidades.
Dos cantidades se pueden comparar de dos maneras: Hallando en cuando excede uno del
otro, restándolos, o hallando cuántas veces contiene uno al otro, es decir dividiéndolas.
• Razón aritmética: Es la diferencia entre dos cantidades.
• Razón geométrica: Es el cociente de dos cantidades.
Por ejemplo, la razón aritmética de 6 a 4 se escribe 6-4 y la razón geométrica de 8 a 4 se
escribe 8/4. En términos de razón geométrica 8 se le llama antecedente y al 4 consecuente.
Propiedades de la razón aritmética
Como la razón aritmética de dos cantidades no es más que la resta indicada de dichas
cantidades, las propiedades de las razones aritméticas serán las propiedades de toda suma y
resta.
PRIMERA PROPIEDAD: Si al antecedente de le suma o resta una cantidad la razón aritmética
queda aumentada o disminuida en dicha cantidad.
Sea la razón aritmética 15 - 5= 10, si le sumamos al antecedente el número 3 entonces
tendríamos (15+3)-5=13. Como se observa el resultado aumento 3.
Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al antecendente el número 4 entonces
tendríamos (54-4)-27=23. Como se observa el resultado disminuyo 4.
SEGUNDA PROPIEDAD: Si al consecuente de una razón aritmética se suma o se resta una
cantidad cualquiera, la razón queda disminuida en el primer caso y aumentada en el segundo en la
cantidad de veces que indica dicho número.
Sea la razón aritmética 15 - 5= 10, si le sumamos al consecuente el número 3 entonces
tendríamos 15 - (5+3)=7. Como se observa el resultado disminuyo 3.
Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al consecuente el número 4 entonces
tendríamos 54 - (27-4)=23. Como se observa el resultado aumento 4.
TERCERA PROPIEDAD: Si al antecedente y consecuente de una razón aritmética se le suma o se
le resta un mismo número, la razón no varía.
Sea la razón aritmética 15 - 5= 10, si le sumamos al antecedente y consecuente el número 3
entonces tendríamos (15+3) - (5+3)=10. Como se observa el resultado no cambia.
Sea la razón aritmética 54 - 27=27, si le restamos al antecedente y consecuente el número 4
entonces tendríamos (54-4) - (27-4)=27. Como se observa el resultado no cambia.
Propiedades de la razón geométrica

2. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEON
C: 1 6 6 1 9 1 3
1° ADMÓN DE EMPRESAS.
AULA MERK
Como la razón geométrica o por cociente de dos cantidades no es más que una división
indicada o un quebrado, las propiedades de las razones geométricas serán las propiedades de los
quebrados.
PRIMERA PROPIEDAD: Si al antecedente de una razón geométrica se multiplica o divide por un
número, la razón queda multiplicada o dividida por ese número.
Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al antecedente el número 3 entonces tendríamos
(15*3)/5=9. Como se observa el resultado quedo multiplicado por 3. (3*3)=9
Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al antecedente el número 4 entonces tendríamos
(54/4)/27=0.5. Como se observa el resultado quedo dividido por 4. (2/4)=0.5
SEGUNDA PROPIEDAD: Si al consecuente de una razón geométrica se multiplica o divide por un
número, la razón queda dividida en el primer caso y multiplicada en el segundo por ese mismo
número.
Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al consecuente el número 3 entonces
tendríamos 15/(5*3)=1. Como se observa el resultado quedo dividido por 3. (3/3)=1
Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al consecuente el número 4 entonces tendríamos
54/(27/4)=8. Como se observa el resultado quedo multiplicado por 4. (2*4)=8
TERCERA PROPIEDAD: Si al antecedente y consecuente de una razón geométrica se multiplican
o dividen por un mismo número, la razón no varía.
Sea la razón aritmética 15 / 5= 3, si multiplicamos al antecedente y consecuente el número 3
entonces tendríamos (15*3)/(5*3)=3. Como se observa el resultado no cambio.
Sea la razón aritmética 54 / 27=2, si dividimos al antecedente y consecuente el número 4 entonces
tendríamos (54/4)/(27/4)=2. Como se observa el resultado no cambio.
NOTA: Una razón es una relación entre dos números, que dan un cociente abstracto, es decir, no
especifica unidades de referencia. Una fracción especifica un número concreto, es decir, su
cociente expresa las partes de una unidad. Por ejemplo, no es lo mismo una naranja/dos naranjas
a 1/2 naranja.
Proporciones
Proporción: Igualdad de dos razones.
• Proporción aritmética: Es la igualdad de dos razones aritméticas.
• Proporción geométrica: Esla igualdad de dos razones geométricas.
Por ejemplo a-b=c-d y a/b=c/d, donde sus elementos son a, c antecedentes, b, d
consecuentes o b, c medios y a, d extremos. Cuando los extremos o los medios de una proporción
son iguales decimos que la proporción es contínua y las que no, ordinarias.
Propiedades de las proporciones aritméticas
PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporción aritmética, la suma de los extremos es igual a
la suma de los medios a-b=c-d.
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8+7=9+6 o sea 15=15.

3. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEON
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SEGUNDA PROPIEDAD: En toda proporción aritmética, la suma o la diferencia de antecedentes
es la suma o la diferencia de consecuentes, como un antecedente es a su consecuente (a-b)=(c-
d)=(a+/-c)-(b+/-d)
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8- 6=9-7=(8+9)-(6+7)=(17-13)
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8- 6=9-7=(8-9)-(6-7)=(2-2)
Corolarios de las proporciones aritméticas
1) En toda proporción aritmética, un extremo es igual a la diferencia de sus medios, menos el otro
extremo. a-b=c-d, a=c-d+b.
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 8=9-7+6.
2) En toda proporción aritmética, un medio es igual a la suma de sus extremos, menos el medio. a-
b=c-d, b=a+d-c.
Sea la proporción aritmética 8- 6=9-7, tenemos: 6=8+7-9.
3) Media aritmética, es cada uno de los términos medios de una proporción aritmética continua. a-
b=b-c, la media aritmética es b. La media aritmética es igual a la semisuma de los extremos
b=(a+c)/2.
Sea la proporción aritmética 8- 6=6-4, la media aritmética es 6, 6=(8+4)/2.
Propiedades de las proporciones geométricas
PROPIEDAD FUNDAMENTAL: En toda proporción geométrica, el producto de los extremos es
igual al producto de los medios, a/b=c/d, axd=cxb.
Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6x2=3x4 o sea 12=12.
SEGUNDA PROPIEDAD: En toda proporción geométrica, la suma o la diferencia de antecedentes
es la suma o la diferencia de consecuentes, como un antecendente es a su consecuente
a/b=c/d=(a+/-c)/b+/-d)
Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6/4=3/2=(6+3)/(4+2)=11/6
Sea la proporción aritmética 6/4=3/2, tenemos: 6/4=3/2=(6-3)/(4-2)=3/2
Corolarios de las proporciones geométricas
1) En toda proporción geométrica, un extremo es igual al producto de los medios dividido por el
otro extremo a/b=c/d, a=(b*c)/d.
Sea la proporción geométrica 6/4=3/2, tenemos: 6=(4*3)/2.
2) En toda proporción geométrica, un medio es igual al producto de los extremos dividido por el
otro medio a/b=c/d, b=(a*d)c.
Sea la proporción geométrica 6/4=3/2, tenemos: 4=(6*2)/3.

4. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEON
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3) Media geométrica, es cada uno de los términos medios de una proporción geométrica continua.
a/b=b/c, la media geométrica es b. La media geométrica es igual a la raíz cuadrada del producto de
los extremos. b=RAIZ((a*c),2).
Sea la proporción geométrica 9/6=6/4, la media geométrica es 6, 6=RAIZ((9*6),2).
4) Cuarta proporcional, al cálculo de un término cualquiera de una proporción ordinaria, conocidos
los otros tres se le llama cuarta proporcional.
Sea la proporción geométrica 8/b=4/5, la cuarta proporcional es b=10.
5) Tercera proporcional, al cálculo de uno cualquiera de los términos que no se repiten en una
proporción contínua.
Sea la proporción geométrica a/8=8/4, la tercera proporcional es a=16
Porcentaje
En matemáticas, un porcentaje es una forma de expresar un número como una fracción que tiene
el número 100 como denominador. También se le llama comúnmente tanto por ciento, donde por
ciento significa “de cada cien unidades”. Se usa para definir relaciones entre dos cantidades, de
forma que el tanto por ciento de una cantidad, donde tanto es un número, se refiere a la parte
proporcional a ese número de unidades de cada cien de esa cantidad. el porcentaje sirve también
para sacar un porciento de una cantidad ...
El porcentaje se denota utilizando el símbolo %, que matemáticamente equivale al factor 0,01 y
que se debe escribir después del número al que se refiere, dejando un espacio de separación.1
Por
ejemplo, "treinta y dos por ciento" se representa mediante 32 % y significa 'treinta y dos de cada
cien'. También puede ser representado:
y, operando:
El 32 % de 2000, significa la parte proporcional a 32 unidades de cada 100 de esas 2000,
es decir:

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640 unidades en total.
El porcentaje se usa para comparar una fracción (que indica la relación entre dos cantidades) con
otra, expresándolas mediante porcentajes para usar 100 como denominador común. Por ejemplo,
si en un país hay 500 000 enfermos de gripe de un total de 10 millones de personas, y en otro hay
150 000 enfermos de un total de un millón de personas, resulta más claro expresar que en el
primer país hay un 5 % de personas con gripe, y en el segundo hay un 15 %, resultando una
proporción mayor en el segundo país.
El símbolo % es una forma estilizada de los dos ceros. Evolucionó a partir de un símbolo similar
sólo que presentaba una línea horizontal en lugar de diagonal (c. 1650), que a su vez proviene de
un símbolo que representaba "P cento" (c. 1425).
Signos relacionados incluyen ‰ (por mil) y e ‱ (por diez mil, también conocido como un punto
básico), que indican que un número se divide por mil o diez mil, respectivamente.
Representación
Tanto por ciento como fracción
El tanto por ciento se divide entre 100 y se simplifica la fracción. Ejemplo:
Para saber cómo se representa el 10 % en fracción se divide y luego se simplifica:
Porcentaje
La fracción común se multiplica por 100 y se resuelve la operación, como resultado
será el porcentaje.
Ejemplo: Para representar 1/10 como un porcentaje se hace la operación siguiente:
Obtener un tanto por ciento de un número
Para obtener un tanto por ciento de un número simplemente se multiplica. Por
ejemplo, el 25 % de 150 es . Una forma equivalente
de tratar esta operación es considerar que se multiplica por la cifra y se divide por
cien (pues 0,01 = 1/100).

6. JORGE ENRIQUE CHAVARRIA DE LEON
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AULA MERK
Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de
tres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres:
simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción
con el restado.
Por tanto: 37,5 es el 25% de 150
1. ↑ «Aunque el símbolo % [...] se ve frecuentemente escrito sin separación de la cifra que lo
precede, la norma establecida por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas determina que
se escribe precedido de un espacio», Ortografía de la lengua española, 2010, p. 590. Antes de
la última Ortografía, la Asale recomendó no dejar espacio (Sección Números del Diccionario
panhispánico de dudas).
B.B: ENCICLOPEDIA VIRTUAL ¨WIKIPEDIA¨

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Alternativamente, en un método muy habitual antaño, se construye una regla de
tres simple directa. Así, para calcular el 25% de 150 se hace la regla de tres:
simplemente se multiplica cruzado y divide por el que queda solo o en conjunción
con el restado.
Por tanto: 37,5 es el 25% de 150
1. ↑ «Aunque el símbolo % [...] se ve frecuentemente escrito sin separación de la cifra que lo
precede, la norma establecida por la Oficina Internacional de Pesos y Medidas determina que
se escribe precedido de un espacio», Ortografía de la lengua española, 2010, p. 590. Antes de
la última Ortografía, la Asale recomendó no dejar espacio (Sección Números del Diccionario
panhispánico de dudas).
B.B: ENCICLOPEDIA VIRTUAL ¨WIKIPEDIA¨