Este documento presenta la solución a varios problemas de cálculo. En la primera pregunta, se demuestra que la serie ∑1/n(n+1) es convergente y su suma es 1. En la segunda pregunta, se encuentra que el radio de convergencia de la serie ∑n(x+2)n/3n+1 es 3 y converge absolutamente en (-5,1). En la tercera pregunta, se prueba que la función f(x,y,z)=z/(xy+yz+xz) satisface la ecuación diferencial ∂f/∂x+

1. UNAB-PAUTADECORRECCI´ONCALCULO
II
Universidad Andr´es Bello.
Departamento de Matem´aticas.
Facultad de Ingenier´ıa.
C´alculo II fmm-030.
Coord: Pablo Gonz´alez Lever.
TERCERA PRUEBA SOLEMNE
2do
Semestre 2009
1. a) Demuestre que la serie
∞
n=1
1
n(n + 1)
, es convergente y determine su suma.
Soluci´on. Observe que:
1
n(n + 1)
=
1
n
−
1
n + 1
, ∀n ∈ N
Por lo tanto si aplicamos la definici´on de serie obtenems:
∞
n=1
1
n(n + 1)
= l´ım
n→∞
n
k=1
1
k(k + 1)
= l´ım
n→∞
n
k=1
1
k
−
1
k + 1
= l´ım
n→∞
1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+ ... +
1
n
−
1
n + 1
= l´ım
n→∞
1 −
1
n + 1
= 1
Por lo tanto la serie
∞
n=1
1
n(n + 1)
es convergente adem´as
∞
n=1
1
n(n + 1)
= 1.
b) Encuentre radio e intervalo de convergencia para:
∞
n=0
n(x + 2)n
3n+1
Soluci´on. Observe que an =
n
3n+1
, por lo tanto:
L = l´ım
n→∞
n
|an| = l´ım
n→∞
n
n
3n+1
=
1
3
As´ı de lo anterior podemos deducir que el radio de convergencia de la serie es R = 3. Adem´as la
serie converge absolutamente en ] − 5, 1[.
Analicemos la convergencia de la serie para x = −5 y x = 1.
Analisis para x = −5. Observe que si x = −5 entonces la serie dada se transforma en:
∞
n=0
n(−5 + 2)n
3n+1
=
∞
n=0
(−1)nn
3
1

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II
Universidad Andr´es Bello.
Departamento de Matem´aticas.
Facultad de Ingenier´ıa.
C´alculo II fmm-030.
Coord: Pablo Gonz´alez Lever.
Que es una serie divergente.
Analisis para x = 1. Observe que si x = 1 entonces la serie dada se transforma en:
∞
n=0
n(1 + 2)n
3n+1
=
∞
n=0
n
3
Que es una serie divergente.
As´ı de lo anterior se tiene que el radio de convergencia de la serie es R = 3. Adem´as la serie
converge absolutamente en ] − 5, 1[.
2. a) Encuentre si es que existe l´ım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
5x2 + 5y2
.
Soluci´on. Observe que al usar coordenadas polares obtenemos:
l´ım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
5x2 + 5y2
= l´ım
(r,θ)→(0,0)
sen(r2 cos2(θ) + r2 sen2(θ))
5r2 cos2(θ) + 5r2 sen(θ)
= l´ım
(r,θ)→(0,0)
sen(r2)
5r2
= l´ım
r→0
sen(r2)
5r2
=
1
5
POr lo tanto de lo anterior podemos deducir que l´ım
(x,y)→(0,0)
sen(x2 + y2)
5x2 + 5y2
=
1
5
.
b) Encuentre una trayectoria mediante la cual se cumpla que: l´ım
(x,y)→(0,0)
x2 + y4
x2 + y2
=
1
7
.
Soluci´on. Consideremos la trayectoria C:(x, mx) y analicemos el valor del limite a lo largo de la
trayectoria Cm.
l´ım
(x,y)→(0,0)
x2 + y4
x2 + y2
= l´ım
(x,mx)→(0,0)
x2 + (mx)4
x2 + (mx)2
= l´ım
(x,mx)→(0,0)
x2 + m4x4
x2 + m2x2
= l´ım
x→0
1 + m4x2
1 + m2
=
1
1 + m2
Por lo tanto si consideramos la trayectoria C√
6 podemos observar que:
l´ım
(x,y)→(0,0)
x2 + y4
x2 + y2
=
1
7
2

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II
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Departamento de Matem´aticas.
Facultad de Ingenier´ıa.
C´alculo II fmm-030.
Coord: Pablo Gonz´alez Lever.
3. a) Si f(x, y, z) =
z
xy + yz + xz
, probar que: x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
+ z
∂f
∂z
+ f(x, y, z) = 0,
Soluci´on. Observe que:
∂f
∂x
= −
z(y + z)
(xy + yz + xz)2
∂f
∂y
= −
z(x + z)
(xy + yz + xz)2
∂f
∂z
=
1
xy + yz + xz
−
z(y + x)
(xy + yz + xz)2
Por lo tanto:
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
+ z
∂f
∂z
+ f(x, y, z) = −z
x(y + z) + y(x + z) + z(y + x)
(xy + yz + xz)2
+
z
xy + yz + xz
+
z
xy + yz + xz
= −z
2(xy + yz + xz)
(xy + yz + xz)2
+
2z
xy + yz + xz
= −
2z
xy + yz + xz
+
2z
xy + yz + xz
= 0
As´ı de lo anterior podemos deducir que f(x, y, z) =
z
xy + yz + xz
satisface la ecuaci´on diferencial
x
∂f
∂x
+ y
∂f
∂y
+ z
∂f
∂z
+ f(x, y, z) = 0.
b) Muestre que la funci´on z = f(x) · g(y), satisface la ecuaci´on z
∂2z
∂x∂y
=
∂z
∂x
∂z
∂y
.
Soluci´on. OBserve que:
∂2z
∂x∂y
=
∂
∂x
∂
∂y
(f(x) · g(y))
=
∂
∂x
(f(x) · g (y))
= f (x) · g (y)
∂z
∂x
∂z
∂y
=
∂
∂x
(f(x) · g(y))
∂
∂y
(f(x) · g(y))
= [f (x) · g(y)] [f(x) · g (y)]
= f(x) · g(y) · f (x) g(y) = z
∂2z
∂x∂y
3

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Por lo tanto z = f(x) · g(y), satisface la ecuaci´on z
∂2z
∂x∂y
=
∂z
∂x
∂z
∂y
.
4. a) Si f(x, y, z) = x sen yz, determine el gradiente de f y encuentre la derivada direccional de f en
(1, 3, 0) en la direcci´on de v = i + 2j − k.
Soluci´on. Primero observemos que:
f(x, y, z) = (sen(yz), xz cos(yz), xy cos(yz))
Por otro lado observemos que el vector v no es unitario, por lo tanto la deriva a direccional de f
en (1, 3, 0) en la direcci´on de v = i + 2j − k est´a dada por
D v
v
f(1, 3, 0) = f(1, 3, 0) •
1
√
6
,
2
√
6
, −
1
√
6
= f(0, 0, 3) •
1
√
6
,
2
√
6
, −
1
√
6
= −
3
√
6
b) Encuentre las ecuaciones del plano tangente y recta normal a la superficie
x2
4
+ y2
+
z2
4
= 3 en
el punto (−2, 1, −3).
Soluci´on. Observe que la superficie est´a determinada por la funci´on f(x, y, z) =
x2
4
+y2
+
z2
4
−3,
por lo tanto la ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto (-2,1,-3) esta dada por:
π : fx(−2, 1, −3)(x + 2) + fy(−2, 1, −3)(y − 1) + fz(−2, 1, −3)(z + 3) = 0
Por otro lado tenemos:
fx(x, y, z) =
x
2
fy(x, y, z) = 2y
fz(x, y, z) =
z
2
As´ı la ecuaci´on del plano tangente a la superficie en el punto (-2,1,-3) es:
π : −(x + 2) + 2(y − 1) −
3
2
(z + 3) = 0
Por ´ultimo se tiene que la ecuaci´on de la recta normal a la superficie en el punto (-2,1,-3) est´a dada
por:
x = −2 − t
y = 1 + 2t
z = −3 −
3t
2
4

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5. a) Dado que la funci´on f(x, y) = 2x2+y2+x2y, tiene tres puntos cr´ıticos, encuentrelos y clasif´ıquelos.
Soluci´on. observe que:
fx(x, y) = 4x + 2xy
fy(x, y) = 2y + x2
fxx(x, y) = 4 + 2y
fxy(x, y) = 2x
fyy(x, y) = 2
Para determinar los puntos criticos de f resolvemos el sistema
4x + 2xy = 0
2y + x2 = 0
del sistema anterior obtenemos que los puntos criticos son:
(0, 0), (2, −2) , (−2, −2)
Por otro lado:
(0, 0) = 8 > 0 ∧ fxx(0, 0) = 2 =⇒ (0, 0) m´ınimo
(2, −2) = −4 < 0 =⇒ (2, −2) punto silla
(−2, −2) = −4 < 0 =⇒ (−2, −2) punto silla
Donde (x, y) = fxx(x, y)fyy(x, y) − [fxy(x, y)]2.
b) Encuentre los valores extremos de la funci´on f(x, y) = x2 − y2, sujeta a la restricci´on y − x2 = 0.
Sup´onga que x e y son positivos.
Soluci´on. Observe que debemos usar multiplicadores de Lagrange para resolver el problema, es
decir debemos resolver el sistema:
2x −2ax
−2y = a
y − x2 = 0
Observe que del sistema anterior podemos deducir que puntos extremos de f sujetos a la restric-
ci´on y − x2 = 0 son
(0, 0),
1
√
2
,
1
2
, −
1
√
2
,
1
2
Por otro lado
5

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f(0, 0) = 0 =⇒ (0, 0) m´ınimo
f
1
√
2
,
1
2
=
1
4
=⇒
1
√
2
,
1
2
m´aximo
f
1
√
2
,
1
2
=
1
4
=⇒ −
1
√
2
,
1
2
m´aximo
INSTRUCCIONES
1.- De cada problema debe responder A o B, no ambas
2.- No se aceptan consultas
3.- No se puede usar calculadora
4. .- Dispone de 100 minutos
6