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INTRODUCTION


Depuis quelques temps on assiste à un regain d’intérêt pour un certain nombre
de problèmes liés au domaine du traitement des images. On note aujourd’hui
une évolution dynamique dans la manière d’aborder et de résoudre une
certaine classe de problèmes très importants dans le domaine du traitement
des images et de celui de la vision par ordinateur.

En étudiant les articles les plus récents qui illustrent cette nouvelle tendance, il
s’avère qu’une grande partie de ces techniques nécessite l’utilisation
d’équations aux dérivées partielles.

Cette approche constitue l’objet de ce rapport qui présente l’implémentation
d’une équation aux dérivées partielles particulières pour le filtrage d’images
bruitées.

Ce rapport commence donc par une présentation de l’étude puis expose les
moyens utilisés avant de présenter l’implémentation de trois filtres possédant
des caractéristiques différentes.




     1
I.   Présentation de l’étude



         Un des buts principaux en traitement d’images est l’élimination du bruit
         et la détection des contours afin de pouvoir effectuer une
         interprétation de l’image sur une version simplifiée de l’image originale.
         De nombreuses méthodes ont été élaborées dont le formalisme des
         équations aux dérivées partielles visant à éliminer le bruit tout en
         gardant une certaine précision sur les contours.

         Ce projet à donc pour but d’implémenter une équation aux dérivées
         partielles permettant de filtrer une image bruitée.

         Pour atteindre cet objectif, j’ai dans un premier temps implémenté
         deux autres équations qui en sont des cas particuliers. Il s’agit donc
         d’un filtre gaussien qui est le premier modèle d’EDP introduit dans le
         traitement d’image et une d’une version améliorée proposée par
         Peronna et Malik.

         Pour atteindre ces objectifs, j’ai du exploiter plusieurs outils tels que les
         bibliothèques comme CImg élaborée pour manipuler les images et la
         bibliothèque OFELI conçue pour résoudre des équations aux dérivées
         partielles par la méthode des éléments finies.




     2
II.   Outils



      1. Bibliothèque CIMG

             CImg est une bibliothèque C++ Open Source conçue spécialement
          pour le traitement d’images réalisée par David TSCHUMPERLE à
          partir de 1999 à l’INRIA (Sophia Antipolis) et développée par la suite
          au sein de l’équipe Image du laboratoire CNRS CREYC à Caen. CImg
          est distribuée sous la licence CeCiLL (Licence commune
          CNRS/INRIA/CEA). La bibliothèque n’est composée que d’un unique
          fichier entête « CImg.h » fournissant l’ensemble de classes et de
          fonction qui, une fois inclus dans un projet, peuvent être utilisées
          pour changer/sauvegarder, traiter et afficher des images. La
          bibliothèque fonctionne sur de nombreux systèmes (Unix/X11,
          Windows, Mac OS X…).
          Le namespace cimg_library définit dans la bibliothèque englobe les
          classes templates suivantes :

          -CImg<T> : représente une image de dimension 4, chaque pixel est de
          type T.

          -CimgDisplay<T> : représente une fenêtre dans laquelle pourront
          être affichées des images CImg. Cette classe permet aussi de gérer les
          évènements clavier et souris.

          -CImgException<T> : exceptions levées lorsqu’une erreur survient
          lors de l’appel d’une fonction.

          -CImgList<T> : liste d’objets CImg.

          -CImgStats<T> : permet d’effectuer des statistiques sur les images de
          type CImg.




      3
III.   Image

       Avant de présenter les différents filtres implémentés il est
       nécessaire de préciser ce qu’est une image en l’occurrence une
       image bruitée et la type d’image sur laquelle j’ai travaillé.

       Une image est constituée d’un ensemble de points pixels
       (PICture ELement). Il représente ainsi le plus petit élément
       constitutif d’une image numérique (on parle d’image
       numérique lorsque les quantités physiques qui caractérisent
       l’image sont convertis valeur numérique). L’ensemble de ces
       pixels est contenu dans tableau à deux dimensions constituant
       l’image.
       Les axes de l’image sont orientés sont orientés de la façon
       suivante :

       -L’axe X est orienté à droite
       -L’axe Y est orienté de haut en bas contrairement aux notations
       conventionnelles en mathématiques, ou l’axe Y est orienté vers
       le haut.

       Pour représenter informatiquement une image, il suffit donc de
       créer un tableau de pixels dont chaque case contient une
       valeur. La valeur stockée dans une case est codée sur un certain
       nombre de bits déterminant la couleur ou l’intensité du pixel.
       Dans le cadre du projet j’ai travaillé sur des images numériques
       noire et blanc qui sont un cas simple à manipuler dans un
       programme. Elles constituées de pixels pouvant prendre des
       valeurs comprises entre 0 et 255. Cela représente le niveau de
       gris de l’image.


       4
IV.   Implémentation des filtres

      J’ai dans le cadre de ce projet implémenté trois différents filtres
      à savoir le filtre gaussien, de Peronna-Malik et le filtre de
      courbure moyenne. Chacun de ces filtres possèdent des
      caractéristiques différentes.

      1. Filtre gaussien.

          La première équation aux dérivées partielles à avoir été
          utilisée en traitement d’images est certainement l’équation
          de la chaleur. Elle correspond à une EDP parabolique.

                            − ∆    ,       =0,     ≥0
                                       0,      =



           Ici, représente l’image bruitée à filtrer.



           L’introduction de cette équation provient de la remarque
          suivante : si la donnée initiale est suffisamment régulière,
          la solution explicite de l’équation précédente est donnée par :



                ,   =      √      −                =         √   ∗



           Ou           désigne le noyau Gaussien en dimension 2 :

                                           1           | |
                                  =            exp −
                                       2               2
      5
L’opération de convolution par un noyau positif est une
opération de base en traitement d’image. Cela correspond à un
filtre passe bas.
J’ai appliqué le filtre ainsi crée sur une image noire et blanc
représentée en niveau de gris et qui a été bruitée.
La figure ci-dessous montre les résultats obtenus.




                     Figure1. Image bruitée




6
Figure2. Image filtrée à l’aide du filtre gaussien (delta=0.1)




7
Figure3. Image filtrée à l’aide du filtre gaussien (delta=0.4)




On peut ainsi remarquer que le filtre Gaussien a pour effet de flouter l’image
bruitée. De plus suivant le temps d’évolution on obtient une version plus ou
moins lissée de l’image de départ.




     8
2. Filtre de peronna-Malik

    Les filtres de diffusion non-linéaire fondés sur un formalisme
    EDP on été introduits par Peronna et Malik pour améliorer
    les résultats obtenus par l’EDP de la chaleur. Depuis ce type
    de d’équation est largement utilisé pour la préservation de
    contours, le filtrage et le rehaussement. Le formalisme EDP
    de ce type de filtre est donné par :


                   =          |∇ | ∇             × 0,

                           =0             × 0,
                         0,     =




    Ou l’opérateur |. | correspond à la norme euclidienne dans
    Ou est une fonction décroissante de        dans .

      .

    On remarque que si = 1, on retrouve l’équation de la

    On impose souvent que 0 = 1 et lim →                  = 0.
    chaleur.

    Ainsi, dans les régions de faible gradient, l’équation agit
    essentiellement comme une EDP de la chaleur, et dans les
    régions de fort gradient, la régularisation est stoppée (ce qui
    permet de préserver les bords).

    Dans le cadre du projet j’ai implémenté cette équation en
    prenant comme fonction :



9
1
                               |∇I| =
                                        |∇I|

     On montre que la formulation variationnelle associée à ce
     problème s’écrit comme suite :

                      tel que ∀
                                     1
     Rechercher                         ont ait :

                           .   +         ∇ .∇ = 0
                                    |∇ |



     On remarque que cela revient à résoudre une équation de la
     chaleur en prenant comme terme :

                               ∗    = |∇ |


     Par la suite comme précédemment, j’ai appliqué le filtre ainsi
     crée sur l’image précédente. Les résultats obtenus sont
     visualisable sur les images ci-dessous.




10
Figure4. Image filtrée à l’aide du filtre de Peronna-Malik




11
3. Filtre de courbure moyenne

     Lions, Morel et Alvarez ont proposés une modification non-linéaire de
     l’équation de la chaleur présentée précédemment afin d’améliorer la
     précision sur les contours que l’on n’obtient pas avec un filtre
     gaussien. Le modèle proposé à cet effet correspond à l’équation
     suivante :



                                                      ∇
                                      = |∇ |
                                                     |∇ |
                                       0,      =

     Concrètement cette équation correspond à une diffusion dégénérée
     dans la direction orthogonale au gradient de et non pas dans la
     direction du gradient. C’est pourquoi une telle diffusion permet de
     garder la localisation exacte et la précision de contours tout en lissant
     le reste de l’image.


     Le terme |∇ |
                         ∇
                        |∇ |
                               est un terme de diffusion dégénéré. En effet il
     diffuse dans la direction orthogonale à |∇ | (mais pas dans la
     direction de cette dernière). Le but de ce terme étant de lisser de la
     part et d’autre des bords, tout en préservant justement les bords (un
     bord est défini comme la ligne le long de laquelle le gradient est
     « grand »).




     On montre que la formulation variationnelle associée à ce problème

                              1                     1
     s’écrit :

                                  .     +               ∇ .∇ = 0
                             |∇ |                  |∇ |



12
Comme précédemment cela revient à résoudre l’équation de la
     chaleur en considérant les termes suivants :

                             ∗     = |∇ |       = |∇ |
     Par analogie avec les coefficients ci-dessus que l’on retrouve dans
     l’équation générale de la chaleur ou :

      : Représente la masse volumique
        : La capacité thermique
       : La diffusivité thermique



     Par la suite j’ai testé le filtre de courbure moyenne sur l’image
     précédente. Les résultats obtenus sont observables sur les figures ci-
     dessous.




13
Figure5. Image filtrée à l’aide du filtre de courbure moyenne (1 itération)




 14
Figure5. Image filtrée à l’aide du filtre de courbure moyenne (10 itération)



L’image présentée correspond donc à l’image de départ filtrée par le filtre de
courbure moyenne. J’ai donc obtenue une image très floue. En augmentant le
nombre d’itération je constate que l’image devient de plus en plus floue.




   15
V.    Bilan

      Durant cette année j’ai travaillé à l’implémentation d’une équation aux
      dérivées destiner à filtrer une image bruitée, à l’aide des bibliothèques
      OFELI et CImg. Pour une meilleur approche j’ai du implémenter des
      équations qui correspondent aux cas particuliers de cette dite équation.
      Ce rapport présente donc trois types de filtres et leurs caractéristiques.

      Ainsi j’ai obtenu avec le filtre gaussien une image qui devient de plus en
      plus floue en fonction du nombre d’itération temporelle. Avec le filtre de
      Peronna-Malik, j’ai pu constater que pour une itération, on obtient une
      image plus ou moins floue que celle obtenue avec le filtre gaussien.
      Enfin l’application du filtre de courbure moyenne sur le l’image bruitée a
      donnée en sortie une image qui est très floue. Cette caractéristique
      augmente avec le nombre d’itération.

      Enfin travailler sur ce projet m’a permis de découvrir les applications
      multiples des équations aux dérivées partielles dans le traitement
      d’image. J’ai également pu manipuler des bibliothèques telles qu’OFELI
      et en particulier CImg qui est une bibliothèque très utilisée en imagerie.

      Toutefois il aurait été souhaitable d’élargir l’étude sur les images en
      couleur. En effet cette étude a traitée uniquement des images
      numériques noire-blanc. Cela reviendrait à considérée chaque
      composante des pixels par exemple (RGB) et à appliquer les différents
      filtres à chacune de ses composantes.




     16
CONCLUSION


Ce rapport présente donc l’implémentation d’un filtre par l’approche EDP. Il
commence par introduire quelques cas particuliers de filtre et leurs résultats
avant de présenter le filtre de courbure moyenne ; Tous implémentés à l’aide
des bibliothèques CImg et OFELI. On a pu donc observer les différents résultats
que l’on pouvait obtenir à l’aide de ces différents filtres et la simplicité que
peut fournir l’approche des EDP en traitement d’image.




   17
Bibliographie

Rachid Deriche et Olivier Faugeras : Les EDP en Traitement des Images et Vision
par Ordinateur N° 2697 Novembre 1995.

Christophe Cudel, Bruno Colicchio, Alain Dieterlen: Sources de dégradations et
restauration d'images.

Jean-François Aujol : Traitement d’images par approches variationnelles et
équations aux dérivées partielles, Avril 2005, CMLA, ENS Cachan, CNRS, PRES
UniverSud.




   18

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  • 1. INTRODUCTION Depuis quelques temps on assiste à un regain d’intérêt pour un certain nombre de problèmes liés au domaine du traitement des images. On note aujourd’hui une évolution dynamique dans la manière d’aborder et de résoudre une certaine classe de problèmes très importants dans le domaine du traitement des images et de celui de la vision par ordinateur. En étudiant les articles les plus récents qui illustrent cette nouvelle tendance, il s’avère qu’une grande partie de ces techniques nécessite l’utilisation d’équations aux dérivées partielles. Cette approche constitue l’objet de ce rapport qui présente l’implémentation d’une équation aux dérivées partielles particulières pour le filtrage d’images bruitées. Ce rapport commence donc par une présentation de l’étude puis expose les moyens utilisés avant de présenter l’implémentation de trois filtres possédant des caractéristiques différentes. 1
  • 2. I. Présentation de l’étude Un des buts principaux en traitement d’images est l’élimination du bruit et la détection des contours afin de pouvoir effectuer une interprétation de l’image sur une version simplifiée de l’image originale. De nombreuses méthodes ont été élaborées dont le formalisme des équations aux dérivées partielles visant à éliminer le bruit tout en gardant une certaine précision sur les contours. Ce projet à donc pour but d’implémenter une équation aux dérivées partielles permettant de filtrer une image bruitée. Pour atteindre cet objectif, j’ai dans un premier temps implémenté deux autres équations qui en sont des cas particuliers. Il s’agit donc d’un filtre gaussien qui est le premier modèle d’EDP introduit dans le traitement d’image et une d’une version améliorée proposée par Peronna et Malik. Pour atteindre ces objectifs, j’ai du exploiter plusieurs outils tels que les bibliothèques comme CImg élaborée pour manipuler les images et la bibliothèque OFELI conçue pour résoudre des équations aux dérivées partielles par la méthode des éléments finies. 2
  • 3. II. Outils 1. Bibliothèque CIMG CImg est une bibliothèque C++ Open Source conçue spécialement pour le traitement d’images réalisée par David TSCHUMPERLE à partir de 1999 à l’INRIA (Sophia Antipolis) et développée par la suite au sein de l’équipe Image du laboratoire CNRS CREYC à Caen. CImg est distribuée sous la licence CeCiLL (Licence commune CNRS/INRIA/CEA). La bibliothèque n’est composée que d’un unique fichier entête « CImg.h » fournissant l’ensemble de classes et de fonction qui, une fois inclus dans un projet, peuvent être utilisées pour changer/sauvegarder, traiter et afficher des images. La bibliothèque fonctionne sur de nombreux systèmes (Unix/X11, Windows, Mac OS X…). Le namespace cimg_library définit dans la bibliothèque englobe les classes templates suivantes : -CImg<T> : représente une image de dimension 4, chaque pixel est de type T. -CimgDisplay<T> : représente une fenêtre dans laquelle pourront être affichées des images CImg. Cette classe permet aussi de gérer les évènements clavier et souris. -CImgException<T> : exceptions levées lorsqu’une erreur survient lors de l’appel d’une fonction. -CImgList<T> : liste d’objets CImg. -CImgStats<T> : permet d’effectuer des statistiques sur les images de type CImg. 3
  • 4. III. Image Avant de présenter les différents filtres implémentés il est nécessaire de préciser ce qu’est une image en l’occurrence une image bruitée et la type d’image sur laquelle j’ai travaillé. Une image est constituée d’un ensemble de points pixels (PICture ELement). Il représente ainsi le plus petit élément constitutif d’une image numérique (on parle d’image numérique lorsque les quantités physiques qui caractérisent l’image sont convertis valeur numérique). L’ensemble de ces pixels est contenu dans tableau à deux dimensions constituant l’image. Les axes de l’image sont orientés sont orientés de la façon suivante : -L’axe X est orienté à droite -L’axe Y est orienté de haut en bas contrairement aux notations conventionnelles en mathématiques, ou l’axe Y est orienté vers le haut. Pour représenter informatiquement une image, il suffit donc de créer un tableau de pixels dont chaque case contient une valeur. La valeur stockée dans une case est codée sur un certain nombre de bits déterminant la couleur ou l’intensité du pixel. Dans le cadre du projet j’ai travaillé sur des images numériques noire et blanc qui sont un cas simple à manipuler dans un programme. Elles constituées de pixels pouvant prendre des valeurs comprises entre 0 et 255. Cela représente le niveau de gris de l’image. 4
  • 5. IV. Implémentation des filtres J’ai dans le cadre de ce projet implémenté trois différents filtres à savoir le filtre gaussien, de Peronna-Malik et le filtre de courbure moyenne. Chacun de ces filtres possèdent des caractéristiques différentes. 1. Filtre gaussien. La première équation aux dérivées partielles à avoir été utilisée en traitement d’images est certainement l’équation de la chaleur. Elle correspond à une EDP parabolique. − ∆ , =0, ≥0 0, = Ici, représente l’image bruitée à filtrer. L’introduction de cette équation provient de la remarque suivante : si la donnée initiale est suffisamment régulière, la solution explicite de l’équation précédente est donnée par : , = √ − = √ ∗ Ou désigne le noyau Gaussien en dimension 2 : 1 | | = exp − 2 2 5
  • 6. L’opération de convolution par un noyau positif est une opération de base en traitement d’image. Cela correspond à un filtre passe bas. J’ai appliqué le filtre ainsi crée sur une image noire et blanc représentée en niveau de gris et qui a été bruitée. La figure ci-dessous montre les résultats obtenus. Figure1. Image bruitée 6
  • 7. Figure2. Image filtrée à l’aide du filtre gaussien (delta=0.1) 7
  • 8. Figure3. Image filtrée à l’aide du filtre gaussien (delta=0.4) On peut ainsi remarquer que le filtre Gaussien a pour effet de flouter l’image bruitée. De plus suivant le temps d’évolution on obtient une version plus ou moins lissée de l’image de départ. 8
  • 9. 2. Filtre de peronna-Malik Les filtres de diffusion non-linéaire fondés sur un formalisme EDP on été introduits par Peronna et Malik pour améliorer les résultats obtenus par l’EDP de la chaleur. Depuis ce type de d’équation est largement utilisé pour la préservation de contours, le filtrage et le rehaussement. Le formalisme EDP de ce type de filtre est donné par : = |∇ | ∇ × 0, =0 × 0, 0, = Ou l’opérateur |. | correspond à la norme euclidienne dans Ou est une fonction décroissante de dans . . On remarque que si = 1, on retrouve l’équation de la On impose souvent que 0 = 1 et lim → = 0. chaleur. Ainsi, dans les régions de faible gradient, l’équation agit essentiellement comme une EDP de la chaleur, et dans les régions de fort gradient, la régularisation est stoppée (ce qui permet de préserver les bords). Dans le cadre du projet j’ai implémenté cette équation en prenant comme fonction : 9
  • 10. 1 |∇I| = |∇I| On montre que la formulation variationnelle associée à ce problème s’écrit comme suite : tel que ∀ 1 Rechercher ont ait : . + ∇ .∇ = 0 |∇ | On remarque que cela revient à résoudre une équation de la chaleur en prenant comme terme : ∗ = |∇ | Par la suite comme précédemment, j’ai appliqué le filtre ainsi crée sur l’image précédente. Les résultats obtenus sont visualisable sur les images ci-dessous. 10
  • 11. Figure4. Image filtrée à l’aide du filtre de Peronna-Malik 11
  • 12. 3. Filtre de courbure moyenne Lions, Morel et Alvarez ont proposés une modification non-linéaire de l’équation de la chaleur présentée précédemment afin d’améliorer la précision sur les contours que l’on n’obtient pas avec un filtre gaussien. Le modèle proposé à cet effet correspond à l’équation suivante : ∇ = |∇ | |∇ | 0, = Concrètement cette équation correspond à une diffusion dégénérée dans la direction orthogonale au gradient de et non pas dans la direction du gradient. C’est pourquoi une telle diffusion permet de garder la localisation exacte et la précision de contours tout en lissant le reste de l’image. Le terme |∇ | ∇ |∇ | est un terme de diffusion dégénéré. En effet il diffuse dans la direction orthogonale à |∇ | (mais pas dans la direction de cette dernière). Le but de ce terme étant de lisser de la part et d’autre des bords, tout en préservant justement les bords (un bord est défini comme la ligne le long de laquelle le gradient est « grand »). On montre que la formulation variationnelle associée à ce problème 1 1 s’écrit : . + ∇ .∇ = 0 |∇ | |∇ | 12
  • 13. Comme précédemment cela revient à résoudre l’équation de la chaleur en considérant les termes suivants : ∗ = |∇ | = |∇ | Par analogie avec les coefficients ci-dessus que l’on retrouve dans l’équation générale de la chaleur ou : : Représente la masse volumique : La capacité thermique : La diffusivité thermique Par la suite j’ai testé le filtre de courbure moyenne sur l’image précédente. Les résultats obtenus sont observables sur les figures ci- dessous. 13
  • 14. Figure5. Image filtrée à l’aide du filtre de courbure moyenne (1 itération) 14
  • 15. Figure5. Image filtrée à l’aide du filtre de courbure moyenne (10 itération) L’image présentée correspond donc à l’image de départ filtrée par le filtre de courbure moyenne. J’ai donc obtenue une image très floue. En augmentant le nombre d’itération je constate que l’image devient de plus en plus floue. 15
  • 16. V. Bilan Durant cette année j’ai travaillé à l’implémentation d’une équation aux dérivées destiner à filtrer une image bruitée, à l’aide des bibliothèques OFELI et CImg. Pour une meilleur approche j’ai du implémenter des équations qui correspondent aux cas particuliers de cette dite équation. Ce rapport présente donc trois types de filtres et leurs caractéristiques. Ainsi j’ai obtenu avec le filtre gaussien une image qui devient de plus en plus floue en fonction du nombre d’itération temporelle. Avec le filtre de Peronna-Malik, j’ai pu constater que pour une itération, on obtient une image plus ou moins floue que celle obtenue avec le filtre gaussien. Enfin l’application du filtre de courbure moyenne sur le l’image bruitée a donnée en sortie une image qui est très floue. Cette caractéristique augmente avec le nombre d’itération. Enfin travailler sur ce projet m’a permis de découvrir les applications multiples des équations aux dérivées partielles dans le traitement d’image. J’ai également pu manipuler des bibliothèques telles qu’OFELI et en particulier CImg qui est une bibliothèque très utilisée en imagerie. Toutefois il aurait été souhaitable d’élargir l’étude sur les images en couleur. En effet cette étude a traitée uniquement des images numériques noire-blanc. Cela reviendrait à considérée chaque composante des pixels par exemple (RGB) et à appliquer les différents filtres à chacune de ses composantes. 16
  • 17. CONCLUSION Ce rapport présente donc l’implémentation d’un filtre par l’approche EDP. Il commence par introduire quelques cas particuliers de filtre et leurs résultats avant de présenter le filtre de courbure moyenne ; Tous implémentés à l’aide des bibliothèques CImg et OFELI. On a pu donc observer les différents résultats que l’on pouvait obtenir à l’aide de ces différents filtres et la simplicité que peut fournir l’approche des EDP en traitement d’image. 17
  • 18. Bibliographie Rachid Deriche et Olivier Faugeras : Les EDP en Traitement des Images et Vision par Ordinateur N° 2697 Novembre 1995. Christophe Cudel, Bruno Colicchio, Alain Dieterlen: Sources de dégradations et restauration d'images. Jean-François Aujol : Traitement d’images par approches variationnelles et équations aux dérivées partielles, Avril 2005, CMLA, ENS Cachan, CNRS, PRES UniverSud. 18