Azzi These

UNIVERSITE DES SCIENCES ET DE LA TECHNOLOGIE
MOHAMMED BOUDIAF D’ORAN

FACULTE DE GENIE-MECANIQUE

Département de Génie-Maritime

Thèse de DOCTORAT D’ETAT

Spécialité : Energétique

INVESTIGATION NUMERIQUE DU
REFROIDISSEMENT PAR FILM APPLIQUE AUX
AUBES DES TURBINES A GAZ

Présenté et soutenue publiquement par :

Azzi Abbès
Chargé de cours au Département de Génie-Maritime, Faculté de Génie-Mécanique, USTO

Devant le jury composé de :

Président : Pr. A. Youcefi USTO, Oran, Algérie
Examinateurs :
Pr. F. Leboeuf ECL, France
Pr. S. Benmanssour USTHB, Alger, Algérie
Dr O. Imine USTO, Oran, Algérie
Invité : Dr A. Liazid ENSET, Oran, Algérie
Directeurs de thèse :
Pr. M. Abidat USTO, Oran, Algérie
Dr D. Lakehal IET, ETH-Zurich, Suisse.

Octobre 2001

A la mémoire de mon père

A ma mère

A mes frères et sœurs

A ma femme et mes enfants

A ma famille

quot;Nobody believes in the results of the numerical simulation except the researcher himself. But
everybody believes in the experimental data except the researcher himself.quot;

quot;If you want a new idea, read an old bookquot;
extrait du quot;netquot;

Remerciements

Je tiens à exprimer ma gratitude à mon premier directeur de thèse Monsieur Abidat Miloud
qui m’a accompagné durant toutes ces années de travail. J’aimerais le remercier pour son
soutien et ses conseils. Je remercie également mon second directeur de thèse Monsieur
Bassam Ali Jubran pour m’avoir orienté dans ce thème et m’avoir facilité le contact avec
d’autres laboratoires. Je tiens aussi à remercier profondément mon troisième directeur de
thèse Monsieur Lakehal Djamel avec qui j’ai beaucoup appris et grâce à qui mes efforts ont
pu aboutir. Je lui suis reconnaissant pour le suivi de mon travail, et pour sa grande
compétence qui m'a donné le goût de la recherche. Mes remerciements vont aussi à Monsieur
G. Theodoridis de l’Université de Thessaloniki pour son soutien et ses conseils durant mes
séjours à l’Université de Thessaloniki en Grèce.

D’autre part, je tiens à remercier le Professeur Habil N. Moussiopoulos directeur du
''Laboratory of Heat and Environmental Engineering'' de l’Université Aristotle Thessaloniki
en Grèce, et le Professeur G. Yadigaroglu, directeur du ''Nuclear Engineering Laboratory'' de
l’école polytechnique fédérale de Zurich en Suisse pour leurs soutiens matériels durant mes
séjours dans leurs laboratoires. Mes remerciements vont aussi à Monsieur Philipe Ligrani
(Utah University, USA) et Monsieur W. Haslinger (University of Darmstadt, Germany) pour
m’avoir permis d’utiliser leurs résultats expérimentaux pour la validation de mes calculs.

Un remerciement chaleureux est adressé à Monsieur Liazid Abdelkrim, Directeur du
Laboratoire des Technologies de l'Environnement (ENSET, Oran), pour m’avoir aidé à
structurer ce rapport et transformé avec patience mon script en un rapport clair et lisible.

Je tiens également à remercier Monsieur Francis Leboeuf pour l'intérêt qu'il a bien voulu
porter à ce travail en acceptant de l'examiner et d'être membre de jury de cette thèse.
Mes vifs remerciements s'adressent également à Monsieur A. Youcefi, Monsieur S.
Benmanssour, Monsieur O. Imine, pour avoir accepté d'être membres du jury de cette thèse.

Toute ma reconnaissance à tous mes amis et mes collègues de travail.

Résumé

Cette thèse constitue une étude numérique pour la simulation du refroidissement par film en
trois dimensions. Le code utilisé est basé sur la méthode des volumes finis pour la résolution
des équations moyennes de Reynolds ainsi que l’équation de l’énergie pour la prédiction du
champ thermique. Le modèle utilise une grille de calcul multi-blocs, de type structuré,
curvilinaire épousant parfaitement la géométrie complexe du domaine de calcul. Un
algorithme de couplage pression-vitesse de type SIMPLEC à maillage non entrelacé a été
utilisé pour la conduite des calculs itératifs. Les termes convectifs ont été approximés par des
schémas de convection de haute précision à limiteurs et appliqués à toutes les équations de
l'écoulement, y compris celles du modèle de turbulence. Les essais conduits sur une série de
cas de tests incluant l’écoulement pleinement développé entre deux plaques parallèles, la
cavité dont la face haute est entraînée (lid driven case), et le cas d'une marche descendante ont
permis de valider l'approche globale avec des résultats de la simulation numérique directe
(DNS).
Les configurations de refroidissement par film étudiées sont :
• Une plaque plane munie d’une ou de deux rangées d'orifices d'injection inclinées suivant
des angles simples ou composés, l'intérieur des trous d'injection étant inclus dans le
domaine de calcul.
• Une plaque plane munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle
simple, (Le domaine de calcul couvre aussi bien le trou d'injection que le quot;plenumquot;).
• Une aube symétrique munie d'une rangée d'orifices d’injections inclinées suivant un angle
simple de part et d'autre du bord d'attaque.
Le premier but de cette thèse est d'étudier l'influence d'un certain nombre de paramètres sur la
distribution de l'efficacité de refroidissement. Cette première partie a été faite en utilisant un
modèle k − ε à haut nombre de Reynolds combiné à une approche loi de paroi. Les résultats
montrent que, hormis une sous-estimation de la dispersion latérale du jet, le modèle basé sur
la version standard du modèle k − ε reflète assez fidèlement les phénomènes physiques
accompagnants le refroidissement par film.
Le second but de cette étude est de comparer les performances de deux nouvelles classes de
modèle de turbulence, récemment développées, à prédire convenablement la physique de ce
type d'écoulement et qui consistent en une modification anisotropique de la

viscosité/diffusivité turbulente et une série de modèles algébriques explicites développés
jusqu'aux termes cubiques.
Dans La première classe de modèles on s'est basé sur des résultats d’un calcul DNS pour
améliorer le comportement du modèle Standard k − ε en lui affectant des coefficients de
transport anisotropiques. Cette technique est employée conjointement avec une approche bi-
couche résolvant la sous couche visqueuse par un model à une seule équation. Ce dernier est
lui-même basé sur des distributions de fluctuations normales tirées directement des calculs
DNS. Le second groupe de modèles est connu sous le nom de EASM. Des variantes
quadratiques et cubiques ont été testées. Ces modèles sont eux aussi utilisés conjointement
avec l'approche bi-couche (DNS) citée plus haut. La comparaison des distributions de
l'efficacité de refroidissement par film calculées par ces modèles aux mesures expérimentales
a montré que seule l'approche anisotropique de la viscosité/diffusivité peut reproduire
fidèlement la dispersion latérale du champ de température en réduisant l'intensité des deux
vortex contre rotatifs. Les modèles EASM quant à eux n’ont pas permis une nette conclusion
concernant leur supériorité (ou non) sur les modèles à deux équations.

Mots clefs : Refroidissement par film - Méthode des volumes finis - Modélisation de la
turbulence - EASM modèles - Approche quot;bi-couchequot; - Méthode multi-zones - Schémas de
convection à limiteurs.

Abstract

Typical film-cooling configurations are numerically investigated using a three-dimensional
finite volume method. The computational method uses arbitrary curvilinear, body-fitted,
multi-block, structured, non-staggered grids for implicitly solving the incompressible
averaged Navier-Stokes equations. An appropriate momentum-interpolation technique is used
to prevent pressure-field oscillations. The pressure-velocity coupling is achieved using the
SIMPLEC algorithm. The accuracy of the code is improved by using a second order-bounded
scheme for convection terms for all equations including the k and ε turbulence model
equations. The code is calibrated through applications to a wide range of flows such a 2D
channel flow, a lid driven cavity and a back step flow and the results are compared to DNS
data (Direct Numerical Simulation).
The thesis compares measured and calculated temperature and velocity fields obtained with
various classes of recently developed turbulence models. The film cooling configurations
studied are respectively:
• Simple and compound angle injections from one and two staggered rows of holes on a flat
plate (the holes are included in the computational domain).
• Simple angle injection from one row of holes on a flat plate (the hole and the plenum are
both included in the computational domain).
• Simple angle injection from one row of holes placed on each side near the leading edge of
a symmetrical turbine-blade.
The first aim of the thesis is to use a standard k − ε model with wall function in order to
investigate the physics of the flow. The influence of the number of rows and the injection
angles as well as the blowing ratio on the film cooling protection has been investigated and
compared with experimental data. Comparison between predicted and experimental results
indicates that the trends of the streamwise mean velocity and thermal fields are well predicted
in most cases. However, the spanwise-averaged film cooling effectiveness is globally
underpredicted by the model.
The second aim is to investigate the capability of some new trends in modelling jets-in-cross
flow with relevance to film cooling of turbine blades. The aim is to compare two classes of
recently developed turbulence models with respect to their predictive performance in
reproducing flow physics. The study focuses on anisotropic eddy-viscosity/diffusivity models

and explicit algebraic stress models up to cubic fragments of strain and vorticity tensors. The
first class of model is DNS-based two-layer approach transcending the conventional k − ε
model by means of a non-isotropic representation of the turbulent transport coefficients; this
is employed in connection with the near-wall one-equation model resolving the semi-viscous
sublayer only. The aspects of this new strategy are based on known DNS statistics of channel
flows and boundary layers. The other class of turbulence models is quadratic and cubic
explicit algebraic stress models rigorously derived from second-moment closure models. The
stress-strain relations are solved in the context of a two layer strategy resolving the near-wall
region by means of a non-linear one-equation model; the outer core flow is treated by use of
the two-equation model. The models are tested for the case of film cooling of a flat plate.
Comparison of the calculated and measured wall-temperature distributions shows that only
the anisotropoic eddy viscosity/diffusivity model can correctly predict the spanwise spreading
of the temperature field and reduces the strength of the secondary vortices. Unlike in the
shear-flow case, the non-linear stress models were of a mixing quality in film cooling
calculations.

Keywords : Film cooling - Volume finite method - Turbulence modelling - EASM models -
Two-layer model - Multi-bloc method - Bounded convective schemes.

Nomenclature

Lettres latines
cp, chaleur spécifique à pression constante
D , diamètre du trou d'injection
g, accélération de la pesanteur
h, coefficient d'échange thermique par convection
I, taux de quantité de mouvement, I = ρ cU c2 ρ ∞U ∞
2

J , jacobien de la transformation
k, énergie cinétique turbulente
M, taux d'injection, ρcU c ρ∞U ∞
p, pression statique
Pr, nombre de Prandtl laminaire
Prt , nombre de Prandtl turbulent

Pij , production mécanique de la turbulence

p D , espacement entre deux rangées de trous
q, densité du flux thermique
ReD, nombre de Reynolds basé sur le diamètre du trou, Re D = U ∞ D ν ∞
S, espacement entre deux trous dans une même rangée
s D , espacement latéral de deux trous sur la même rangée
T, température
t, temps
2
Tu, intensité de turbulence, Tu = u ' U ∞
2

ui , composante de la vitesse dans la direction xi
x1, 2,3 , coordonnées curvilignes non-orthogonales, ≡ ξ ,η , ζ

y1, 2,3 , coordonnées cartésiennes, ≡ x, y, z

Lettres grecques
δ , épaisseur de la couche limite
δ ij , symbole de Kronecker.
ε , taux de dissipation de l'énergie cinétique
Γ , coefficient de diffusion.

η, efficacité de refroidissement adiabatique
ρ , masse volumique
ν , viscosité cinématique moléculaire
ν t , viscosité cinématique turbulente
ν eff , viscosité cinématique effective
µ , viscosité dynamique moléculaire
µ t , viscosité dynamique turbulente
µ eff , viscosité dynamique effective
λ , conductivité thermique du fluide
α , diffusivité thermique
Π ij , terme de corrélation pression-vitesse

τ ij , tenseur des contraintes de Reynolds

S ij , tenseur des taux de déformation

κ , constante de Von Karman
Ω ij , tenseur des taux de rotation

φ , variable associée à une quantité scalaire
Indices
‘, composante fluctuante
∞, condition à l'infini, à l'entrée de l'écoulement principal.
c, condition à l'injection
w, condition sur la paroi solide.
, valeur moyenne
eff, effective

Sommaire
Introduction générale ........................................................................................................1

Chapitre I : Aspect du refroidissement par film.............................................................3
1.1. Introduction ......................................................................................................................3
1.2. Procédés de refroidissement .............................................................................................6
1.2.1. Refroidissement par convection.................................................................................7
1.2.2. Refroidissement par jet (impact)................................................................................7
1.2.3. Refroidissement par film ...........................................................................................8
1.2.4. Refroidissement par transpiration à travers une paroi poreuse..................................8
1.3. Processus de refroidissement par film ..............................................................................9
1.4. Paramètres qui influencent le processus de refroidissement ..........................................10
1.4.1. Influence du taux d’injection .................................................................................10
1.4.2. Influence du gradient de pression longitudinal........................................................11
1.4.3. Influence du nombre de Reynolds ...........................................................................12
1.4.4. Influence du rapport des masses volumiques...........................................................12
1.4.5. Influence de l’épaisseur de la couche limite ............................................................12
1.4.6. Influence de l’intensité de turbulence .....................................................................12
1.4.7. Influence des paramètres géométriques de l’injection.............................................13
1.5. Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant................................................15
1.6. Etude thermique du refroidissement par film .................................................................16
1.7. Analyse théorique du refroidissement par film ..............................................................17
1.7.1. Trajectoire du jet ......................................................................................................17
1.7.2. Prédiction de l’efficacité du refroidissement ...........................................................20
1.8. Etude numérique du refroidissement par film ................................................................24

Chapitre II : Modélisation de la turbulence ..................................................................25
2.1. Introduction ....................................................................................................................25
2.2. Description de la turbulence .........................................................................................25
2.3. Equations de transport ....................................................................................................27
2.3.1. Equations de Navier-Stokes.....................................................................................27
2.3.2. Equation de l’énergie ...............................................................................................28
2.4. Equations de la turbulence..............................................................................................29
2.4.1. Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence ..........................................29
2.4.2. Equations moyennes de Navier Stokes ....................................................................29
2.4.3. Equation moyenne de l’énergie de Reynolds...........................................................30
2.4.4. Equations de transport des tensions turbulentes de Reynolds .................................30
2.4.5. Equation de transport de la dissipation de la turbulence..........................................34
2.4.6. Equation de transport de l’énergie cinétique turbulente ..........................................36
2.5. Modèles de turbulence à deux équations........................................................................36
2.5.1. Modèle de turbulence standard k − ε ......................................................................37
2.5.2. Approche ‘loi de paroi ’...........................................................................................37
2.5.3. Approche à bas nombre de Reynolds.......................................................................39
2.5.4. Approche '' bi-couche''. ............................................................................................40
2.6. Faiblesses des modèles de viscosité turbulentes (EVM) ................................................42
2.7. Modèles des tensions turbulentes algébriques ASM ......................................................43
2.8. Modèle anisotropique de Bergeles .................................................................................46
2.9. Modèle anisotropique bi-couche ....................................................................................46
2.10. Récapitulation des modèles utilisés lors de cette étude..................................................47

Chapitre III : Présentation de la méthode numérique .................................................51
3.1. Transformation des équations en coordonnées généralisées (body fitted coordinates)..51
3.2. Méthode des volumes finis .............................................................................................54
3.3. Schémas de convection...................................................................................................57
3.3.1. Schémas de haute précisions....................................................................................58
3.3.2. Schémas de haute précision à limiteurs ...................................................................59
3.4. Traitement du gradient de pression ................................................................................62
3.5. Interpolation de Rhie et Chow........................................................................................64
3.6. Couplage vitesse-pression (SIMPLE et SIMPLEC).......................................................65
3.7. Introduction de la sous-relaxation ..................................................................................68
3.8. Résolution du système d’équations algébriques.............................................................68
3.9. Techniques de génération du maillage ...........................................................................70
3.10. Description de la version améliorée de FAST-3D........................................................74

Chapitre IV : Validation de l'outil de calcul .................................................................77
4.1. Introduction ......................................................................................................................77
4.2. Erreurs de discrétisations..................................................................................................78
4.2.1. Etude de la qualité du maillage ...................................................................................78
4.2.2. Etude des schémas de convection ...............................................................................83
4.3. Erreurs de modélisation....................................................................................................89
4.3.1. Simulation de l’écoulement turbulent pleinement développé entre deux plaques
parallèles ...............................................................................................................................89
4.3.2. Simulation de l’écoulement turbulent sur une Marche descendante (turbulent
backward facing step flow) ...................................................................................................94

Chapitre V : Simulation 3D du refroidissement par film ..........................................101
5.1. Injection sur une plaque plane .........................................................................................101
5.1.1. Motivations ...............................................................................................................101
5.1.2. Présentation du problème ..........................................................................................101
5.1.3. Domaine de calcul.....................................................................................................103
5.1.4. Conditions aux limites...............................................................................................104
5.1.5. Grilles de calcul.........................................................................................................105
5.1.6. Analyse des résultats .................................................................................................107
5.2. Injection sur une plaque plane avec plenum....................................................................117
5.2.1. Motivations ...............................................................................................................117
5.2.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................117
5.2.4. Analyse des Résultats................................................................................................119
5.3. Refroidissement d'une aube de turbine symétrique .........................................................126
5.3.1. Motivations ...............................................................................................................126
5.3.3. Domaine de calcul et conditions aux limites.............................................................126
5.3.4. Analyse des Résultats................................................................................................128
5.4. Conclusion des trois simulations .....................................................................................129

Conclusions et perspectives...........................................................................................135

ANNEXE A : Développement des équations de transport.....................................................141
ANNEXE B : Développement des termes des tensions de turbulences des modèles EASM 144
Références.......................................................................................................................149

Introduction générale

Les performances des turbines à gaz et notamment leur efficacité thermique n'ont pas cessé de
subir de spectaculaires progrès depuis la seconde guerre mondiale. En aéronautique, les
applications militaires ont vu augmenter le rapport puissance/poids alors que dans l'aviation
civile, la consommation du combustible a sensiblement diminué. La technologie
turbomachine est aussi importante dans les systèmes de production d'énergie, si bien que la
dualité rendement des turbines/efficacité de refroidissement des aubes s'impose de la même
manière qu'en aéronautique. En effet, les progrès enregistrés dans la conception des turbines à
gaz sont liés directement à l’augmentation de la température maximale de fonctionnement du
cycle thermique de la machine. Néanmoins, en augmentant la température à l'entrée des
turbines, les aubes de celle-ci (leur bord d'attaque en particulier) s'exposent à des charges
thermiques pouvant les détériorer. Celles appartenants aux premiers étages (HP) sont
exposées aux plus hautes températures en plus d'un champ thermique à caractère fortement
non homogène. Ce dernier favorise l'apparition des points chauds et provoque la détérioration
prématurée des aubes. Ces aubes de turbines doivent donc être protégées par un moyen qui
n'affecterait (ou faiblement) ni le rendement de la turbine (en terme de pertes) ni ces autres
caractéristiques (en terme de charges thermiques). On comprend alors pourquoi le choix du
moyen de refroidissement des aubes est au cœur du processus de design.

L’objectif de ce travail est de contribuer à la compréhension des phénomènes complexes qui
accompagnent l’un des procédés les plus employés dans les turbines à gaz, à savoir le
refroidissement par film. L'étude est orientée vers la contribution au développement des
méthodes de calcul relatives à ce sujet et de tester quelques nouvelles approches de
modélisation de la turbulence, pour différentes configurations (de la plus simple à la plus
proche d'une turbine réelle) et pour différentes conditions d'écoulement. Les écoulements dans
les turbomachines sont généralement fortement turbulents, et en tant que tels ils nécessitent
une attention particulière. Par ailleurs, le choix de la méthode de refroidissement peut altérer
la structure de l'écoulement moyen, de sorte que le modèle de turbulence soit plus approprie à
un type de refroidissement qu'à un autre. Le but est de dégager des conclusions pratiques
quant à l'utilité d'un modèle complexe par rapport à un autre plus simple, mais conçu pour
prendre en charge les mécanismes physiques les plus pertinents à ce type d'écoulement.
Ainsi, nous avons consacré le premier chapitre pour expliquer les motivations et les aspects
théoriques relatifs au refroidissement par film. Une description exhaustive des différents

Introduction générale

paramètres géométriques, hydromécaniques et thermodynamiques qui influencent directement
l’efficacité de refroidissement est également présentée. Ensuite, nous avons effectué un
aperçu des différentes corrélations utilisées dans l’étude théorique de ce phénomène. Enfin, ce
chapitre est clôturé par un exposé rapide des études numériques précédentes.

La description du modèle mathématique et plus spécialement des modèles de turbulence
utilisés dans cette étude sont exposés avec détail dans le second chapitre.

Le troisième chapitre décrit la méthode numérique utilisée. Tous les aspects relatifs à la
méthode des volumes finis sont exposés en détail, en particulier la génération des grilles de
calcul, la discrétisation des équations du problème, les schémas de convection, l’algorithme et
la méthode de résolution des équations algébriques finales.

Au quatrième chapitre nous avons validé et calibré le code de calcul par les résultats DNS
(Direct Numerical Simulation), sur une série d'applications (cas-tests), incluant l’écoulement
turbulent complètement développé entre deux plaques parallèles, la cavité ouverte de type quot;lid
driven cavityquot; et l'écoulement turbulent sur une marche descendante.

Les applications numériques conduites dans le cadre de cette étude sont présentées en trois
parties distinctes au cinquième chapitre. La première application concerne trois
configurations géométriques d’une plaque tridimensionnelle, auxquelles on a appliqué le
modèle de turbulence standard k − ε et la loi de paroi. Le but étant de ressortir les
caractéristiques globales de cet écoulement. La seconde application concerne aussi une plaque
où l'on a inclus le quot;plenumquot; dans le domaine de calcul. L’approche bi-couche à bas nombre de
Reynolds ainsi que les modèles EASM (Explicit Algebraic Stress Models) et la modification
anisotropique de Bergeles sont toutes appliquées à ce cas. Enfin, une aube réelle avec
injection près du bord d’attaque a fait l’objet de la troisième application.

L’étude est couronnée par une synthèse des conclusions les plus marquantes de ce travail, tout
en proposant des axes de recherches pour l'avenir.

2

CHAPITRE I. Le refroidissement par film

Chapitre I

Le refroidissement par film

1.1 Introduction
La turbine à gaz nécessite une étude approfondie de son comportement thermique, du fait
qu’elle est particulièrement exposée aux gaz chauds en provenance de la chambre de
combustion. L’analyse du transfert de chaleur par convection d’une aube de turbine à gaz peut
être scindée en trois grandes parties (Lakshminarayana, 1996) : le transfert interne pour une
aube stationnaire, le transfert interne pour une aube en rotation et le transfert de chaleur
externe. Cette thèse envisage l’étude de cette dernière partie.

Le transfert de chaleur externe concerne les échanges thermiques entre les gaz chauds
émanant de la chambre de combustion et la surface externe de l’aube, avec ou sans
refroidissement. Cet échange se fait principalement par convection forcée. Il est très complexe
car il dépend de plusieurs facteurs dont la nature de la couche limite (laminaire ou turbulente)
qui se développe sur le profil de l’aube, le point de stagnation, le gradient de pression imposé,
la séparation et le ré-attachement de la couche limite, l’intensité et la structure de la
turbulence de l’écoulement en amont, la compressibilité, l’interaction des ondes de chocs avec
la couche limite pour les écoulements supersoniques ainsi que les effets induits par la nature
tri dimensionnelle de l’écoulement. Les paramètres de l’aube tels que la courbure, l’aspect
géométrique (hauteur/corde), l’incidence par rapport à l’écoulement en amont, la rotation, la
rugosité de la surface et le rayon de courbure du bord d’attaque jouent également un rôle non
négligeable sur le transfert thermique.

Les figures (I-1) et (I-2) représentent la structure générale de l’écoulement et la densité du
flux thermique autour d’une aube.
On peut en dégager les constatations suivantes :
• En raison de la faible épaisseur de la couche limite sur le bord d’attaque, un fort taux de
transfert de chaleur s’y développe. L’échange thermique autour de cette partie de l’aube
peut être étudié théoriquement en adoptant différentes corrélations établies pour le cas
d’un écoulement en stagnation sur un cylindre solide exposé à un écoulement transversal
(Lakshminarayana, 1996, page : 649).
• Sur l’extrados de l’aube, on remarque le développement d’une zone de transition
laminaire/turbulente conduisant à la formation d’une couche limite turbulente. Le taux de

3


transfert de chaleur a naturellement tendance à augmenter dans la zone de transition et
diminuer un peu plus loin.
• Sur l’intrados, la couche limite est généralement laminaire, transitionnel ou relaminarisé.

Figure I-1 : Détails du taux du transfert de chaleur autour d’une aube de turbine,
(Adapté de Daniels et Schultz, 1982, par Lakshminarayana, 1996)

L’intensité de turbulence de l’écoulement en amont de l’aube, la rugosité de sa surface
d’échange et sa courbure affectent directement la zone de transition et par conséquent le taux
de transfert de chaleur. L’augmentation de l’intensité de la turbulence contribue à un
développement prématuré de cette zone. Pour de forts taux de turbulence en amont de l’aube
la zone de transition se développe près de son bord d’attaque de façon prématurée.

La courbure de l’aube et la rotation influent simultanément sur la stabilité de la couche limite.
Une surface convexe empêche la génération de la turbulence alors qu’une surface concave
augmente la génération de l’énergie turbulente. La conséquence est que le transfert de chaleur
augmente dans la zone d’une surface concave (intrados) et diminue dans la partie convexe
(extrados).

4


Figure I-2 : évolution du coefficient du transfert de chaleur.
(Nealy et al., 1984 ; NASA CR 168015, d’après Lakshminarayana, 1996)

Le gradient de pression étouffe ou favorise le développement de la couche limite suivant qu’il
est favorable ou inverse. Il influe directement sur le gradient de la vitesse et de la température
sur la paroi, sur la séparation et le ré-attachement de la couche limite. Une nette augmentation
du taux de transfert de chaleur existe près du point de ré-attachement juste après la zone de
recirculation. Cette dernière est normalement une zone à faible échange thermique. Par
ailleurs, un gradient de pression favorable stabilise la couche limite, retarde et rallonge la
zone de transition. L’écoulement dans la zone du bord d’attaque est caractérisé par une faible
épaisseur de la couche limite si elle se développe, une forte accélération de l’écoulement et un
fort effet de la courbature de la surface d’échange. Souvent, ceci conduit à un décollement
local de la couche limite. Comme annoncé plus haut, les études théoriques et analytiques du
point de stagnation d’un cylindre exposé à un écoulement transversal sont applicables sur
cette zone de l’aube. Le taux de transfert de chaleur dans cette partie de l’aube est très
sensible à l’intensité de turbulence de l’écoulement incident.

Dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996 et Schlichting, 1979), plus de détails
sont développés sur l’influence de ces différents paramètres sur le taux de transfert de chaleur.
A la différence du transfert de chaleur interne entre l’aube et le fluide refroidissant qui peut
être facilement prédit par des corrélations plus ou moins simples, le transfert de chaleur
externe est difficilement prévisible. La difficulté vient du fait de l’incapacité de localiser les

5


zones de transition et de recirculation ainsi que les effets de la turbulence. Ce qui fait que la
prédiction du transfert de chaleur externe est orientée aujourd’hui vers les méthodes
expérimentales et récemment vers les méthodes numériques basées sur la solution des
équations de transport gouvernant l’écoulement moyen et la turbulence.
En réalité, le problème est plus complexe puisqu’on est généralement amené à augmenter la
température maximale du cycle thermique de la turbine à gaz afin d’améliorer les
performances et le rendement de la machine. Il est bien établi que l’augmentation de la
température maximale du cycle thermodynamique d’une turbine à gaz augmente
considérablement ses performances.
Si on conjugue cet accroissement de température au caractère fortement non uniforme du
champ thermique décrit ci dessus, il devient indispensable d’adopter un procédé de
refroidissement judicieusement optimisé afin d’assurer une répartition de température aussi
uniforme que possible de telle façon que l’efficacité globale ne soit pas moins altérée.
L’adoption d’un procédé de refroidissement est indispensable si on veut garder une durée de
vie acceptable de la turbine, puisqu’elle est directement liée à la charge thermique. En effet, le
refroidissement des surfaces en contact avec les gaz chauds permet d’augmenter la
température maximale du cycle tout en gardant la température des surfaces dans des limites
acceptables. D’après Lakshminarayana, (1996), les progrès réalisés dans le domaine du
refroidissement ainsi que la sélection des alliages métalliques utilisés ont permis un gain
considérable au niveau du cycle thermodynamique des turbines à gaz (750°K en l’espace
d’une vingtaine d’années). Il faut aussi souligner que la température d’une chambre de
combustion d’un turboréacteur peut atteindre 1600°K dans le domaine du transport civil, et
jusqu’à 1800°K dans le secteur militaire.

1.2 Procédés de refroidissement
Les différentes techniques de refroidissement utilisées pour les aubes des turbines à gaz sont
présentées sur la figure (I-3).
Bien évidement, l’air constitue le fluide refroidissant employé dans le domaine de l’aviation.
Ce sera aussi la seule variante considérée dans cette étude. L’air de refroidissement est
généralement soutiré à la sortie du compresseur introduisant ainsi, suivant le cas, soit une
diminution du rendement de la machine, soit une augmentation de la consommation en
combustible. Il est ainsi requis des ingénieurs d’optimiser la quantité d’air extraite de sorte

6


que la performance globale du turboréacteur n’en serait que légèrement affectée, tout en
gagnant sur la protection des aubes par le biais du refroidissement.

Figure I-3 : Différentes techniques de refroidissement des aubes de turbines à gaz.
(Lakshminarayana, 1996)

Les travaux de Lakshminarayana (1996), classent les procédés de refroidissement en deux
grandes catégories : les refroidissements internes et les refroidissements externes. La première
catégorie englobe la convection forcée et le jet interne. Ces procédés sont moins efficaces que
le refroidissement externe et sont par conséquents utilisés pour les turbines dont la
température amont varie entre 1300 et 1600°K. Ceci est en partie imputé au fait que les
caractéristiques thermiques de l’air sont assez limitées. Le refroidissement externe, tel que le
refroidissement par film et par transpiration à travers des surfaces poreuses, sont plus
efficaces et sont par conséquent réservés pour des températures amont dépassant 1600°K.

1.2.1 Refroidissement par convection

Le refroidissement par convection est la plus simple technique à réaliser. C’est d’ailleurs le
premier procédé utilisé pour les premières générations des turbines à gaz. Le fluide
refroidissant passe à plusieurs reprises à travers des conduites judicieusement aménagées dans
le corps des aubes et du rotor. Il est ensuite éjecté par des trous positionnés sur les bords de
fuites des aubes. Le refroidissement se fait alors par convection forcée.

1.2.2 Refroidissement par impact

Ce procédé est une amélioration du refroidissement par convection, figure (I-3). Il est réalisé
par un aménagement spécial à l’intérieur des aubes de telle manière à créer des jets internes

7


permettant un refroidissement plus efficace que par convection. Cette technique est
généralement utilisée dans la zone du bord d’attaque de l’aube, une région particulièrement
vulnérable du fait qu’elle est exposée directement aux gaz à hautes températures.

1.2.3 Refroidissement par film

Dans ce cas, l’air de refroidissement est injecté directement dans l’espace inter-aube, figure
(I-3). La fine couche de fluide froid ainsi formée sur la surface de l’aube joue le rôle d’un
tampon protégeant la surface du fluide chaud. L’injection se fait à travers une ou plusieurs
rangées de trous reliant le passage interne de l’air froid à la surface extérieure. Plusieurs
configurations peuvent être envisagées : (i) forme et disposition variables des orifices
d’injections, (ii) l’espacement entre trous, rangées et leurs angles d’injection par rapport à
l’axe de l’aube.

1.2.4 Refroidissement par transpiration

Pour ce fait, on utilise un matériau poreux permettant à l’air de refroidissement de s’infiltrer à
travers les parois à refroidir, figure (I-3). Ce procédé permet entre autre une distribution plus
homogène du fluide refroidissant sur la surface que par le biais du refroidissement par film,
d’où une meilleure efficacité de refroidissement. Néanmoins, à cause des difficultés de
construction, ce procédé reste réservé à des applications très restreintes.
Une analyse des différents procédés de refroidissement introduits plus haut nous amène à dire
que le principe le plus simple est sans doute celui effectué par convection, surtout que les
autres procédés fragilisent l’aube et que les orifices sont susceptibles de provoquer des
vibrations de la turbine. Des corps étrangers peuvent aussi obturer ces trous d’où une
influence sur le comportement thermique de la turbine. Ces corps étrangers peuvent être dus à
l’oxydation ou transportés par l’air lui-même. Néanmoins, les trois premiers procédés sont
largement utilisés dans les turbines modernes et sont souvent utilisés conjointement comme le
montre la figure (I-4).

8


Figure I-4 : Exemple typique d’une aube à haute pression utilisant conjointement le refroidissement
par film, par jet interne et par convection, (Elovic, 1976).

1.3 Refroidissement par film
Ce procédé consiste à soutirer un certain débit d’air froid du compresseur et l’injecter dans
l’espace inter-aube à travers des orifices judicieusement aménagés sur le corps de l’aube à
refroidir. Le jet d’air froid entre en interaction directe avec l’écoulement principal. Le but à
atteindre est de former une fine couche d’air qui joue le rôle d’un tampon protégeant la
surface du fluide à haute température. L’interaction directe entre le jet et l’écoulement
principal est très compliquée et donne lieu à une structure de l’écoulement en aval fortement
tridimensionnelle, turbulente, avec présence de tourbillons secondaires. L’avantage de ce
procédé ne peut être perceptible que si le débit d’air utilisé pour le refroidissement est
soigneusement optimisé. Il est nécessaire que ce débit soit minimisé tout en gardant un bon
niveau de refroidissement des aubes de la turbine à gaz. Il faut noter que chaque débit d’air
soutiré pour le refroidissement représente une augmentation de consommation en combustible
qu’il faut estimer et donc optimiser. En plus du souci économique, l’injection du fluide
refroidissant dans l’espace inter-aube doit être bien contrôlée de sorte à ne pas perturber
l’aérodynamique du passage inter-aube et détériorer les performances de la turbine en
augmentant les pertes de charges. Le processus de refroidissement par film est à ce jour un
des sujets les plus complexes en turbomachines, d’où l’intérêt croissant des chercheurs à
comprendre et améliorer ce procédé.

9


A la différence du refroidissement par convection, le refroidissement par film induit une
interaction directe entre l'air froid et les gaz chauds. Une forte interaction peut aussi exister
entre les jets voisins d’une même rangée ou de rangées différentes. Cette interaction influe
directement sur la structure de la couche limite qui se développe sur l’aube.
La complexité du phénomène est due aux aspects suivants :
• La température, la masse volumique et la vitesse du fluide refroidissant sont différentes de
celles de l’écoulement principal.
• L'interaction des jets avec l’écoulement principal influe directement sur la turbulence de
l’écoulement aval, par exemple en augmentant considérablement la production et la
dissipation de l’énergie cinétique turbulente près du point d’injection.
• La configuration géométrique est souvent assez complexe. La forme de l’aube et la
rugosité de surface interviennent directement sur la distribution de la pression autour de
l’aube.
• Le nombre de rangées de trous utilisés, le diamètre des trous d’injection, l’espace entre les
rangées ainsi que celui entre les trous, l’angle d’inclinaison des trous d’injection, leurs
positions relatives (carré ou en quinconce).
• Le plus souvent, le caractère non stationnaire de l’écoulement principal ainsi que l’effet
des forces de Coriolis dues à la rotation de l’aube augmentent la complexité du processus.
• L’injection du fluide refroidissant provoque une transition laminaire/turbulente
prématurée de l’écoulement, avec possibilité de relaminarisation sous certaines
circonstances.

1.4 Paramètres qui influencent le processus de refroidissement
On trouve dans la littérature spécialisée (Lakshminarayana, 1996, et Hartnett, 1985), une
revue exhaustive des différents paramètres qui agissent sur le processus du refroidissement
par film. Ces paramètres peuvent être classés en deux grandes catégories : les paramètres
thermo- et hydro-dynamiques de l’écoulement principal et du jet, ainsi que les paramètres
géométriques des orifices d’injection (diamètre, angles d’inclinaisons, nombre de rangées,
etc…)

10


1.4.1 Influence du taux d’injection

L’écoulement principal est caractérisé par l’indice “∞”, alors que celui du fluide refroidissant
par l’indice “c”. Le rapport M = ρ cU c ρ ∞U ∞ , est appelé taux d’injection, alors que

I = ρ cU c2 ρ ∞U ∞ , représente le taux de la quantité de mouvement. Des chercheurs comme
2

Ligrani et al. (1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), Jubran et al. (1997
et 1999) ont pu montrer que l’efficacité du refroidissement augmente avec l'accroissement du
taux d’injection jusqu’à une certaine limite au-delà de laquelle elle diminue. Ce phénomène
appelé quot;Blow-offquot; est expliqué par le fait qu’à faible taux d’injection, le jet est pratiquement
plaqué contre la surface à protéger et remplit donc son rôle de façon correcte alors qu’à fort
taux d’injection, le jet pénètre profondément dans l’écoulement principal en se décollant de la
surface. Cette dernière est alors directement exposée aux gaz chauds d’où une mauvaise
protection. Pour une configuration à une seule rangée de trous inclinés à 35° et un rapport de
masse volumique avoisinant l’unité, la valeur optimale du taux d’injection est de l’ordre de
0.4 à 0.5, (Ligrani et al., 1992, 1994a & 1994b). Pour les configurations de refroidissement bi-
dimensionnelles et dans le cas où le jet resterait attaché à la surface, l’efficacité dépend du
taux d’injection (Demuren et al., 1986a). Cependant, dans le cas où le jet se détacherait de la
surface, le paramètre influençant l’efficacité devient le taux de la quantité de mouvement
(Sinha et al., 1991a). Ce taux est donc directement responsable de la trajectoire que prendra le
jet. Ce résultat a été confirmé par plusieurs études aussi bien expérimentales que numériques
(Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b, 1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997
et 1999), (Lakehal et al., 1998) et (Theodoridis et al., 2001).

1.4.2 Influence du gradient de pression longitudinal

L’influence du gradient de pression longitudinal sur l’efficacité du refroidissement par film a
été explorée expérimentalement par chercheurs cités par Hartnett (1985). L’étude de
l’influence de ce paramètre est très importante puisque dans l’espace inter-aube, il existe un
gradient de pression favorable sur une première partie du canal, suivi par un gradient inverse
sur la dernière partie. Hartnett (1985) rapporte que certains chercheurs ont détecté une
augmentation de l’efficacité pour un gradient de pression favorable, alors que d’autres ont
exprimé l’effet inverse. Il nous semble que d’autres paramètres interviennent dans le
processus en parallèle avec le gradient de pression, de telle sorte que ce dernier influe
différemment suivant leurs importances. En effet, dans l’étude expérimentale présentée par

11


Maiteh et Jubran (1999), il ressort que le gradient de pression influe différemment sur
l’efficacité du refroidissement suivant que le taux d’injection est faible ou important. Pour les
faibles taux d’injection, un faible gradient de pression favorable diminuerait la protection de
la surface, alors qu’un gradient de pression inverse augmenterait l’efficacité latérale moyenne.
Le phénomène inverse est observé pour le cas des grandes valeurs du taux d’injection.

1.4.3 Influence du nombre de Reynolds

Les études rapportées par Hartnett (1985) s’accordent sur le fait qu’il n'y a qu’une très faible
influence du nombre de Reynolds ( Re D = U ∞ D ν ∞ ) sur l’efficacité du refroidissement par
film. Néanmoins, l'étude menée récemment par Haslinger (1997), a montré que
l'augmentation du nombre de Reynolds permet de maintenir le corps du jet plus proche de la
surface à refroidir, ce qui ce traduit directement par une augmentation de l'efficacité de
refroidissement.

1.4.4 Influence du rapport des masses volumiques

L’influence de ce paramètre est très importante, puisqu’il conditionne le taux de quantité de
mouvement I qui est directement responsable de la trajectoire du jet et par conséquent sur son
décollement ou son attachement à la paroi. En pratique, l’air injecté est plus dense que
l’écoulement principal, le rapport est de l’ordre de 2. Dans de telles conditions, la valeur
optimale du taux d’injection est supérieure à 0.5 (valeur pour ρ c ρ ∞ = 1 ), d’où une meilleure
efficacité de refroidissement. Pour le même taux d’injection, un gaz plus dense a un faible
taux de quantité de mouvement, donc sa pénétration est plus faible et son efficacité de
refroidissement est meilleure.

1.4.5 Influence de l’épaisseur de la couche limite

L’augmentation de l’épaisseur de la couche limite turbulente a pour effet de diminuer la
distribution de l’efficacité du refroidissement sur la ligne centrale qui passe par le centre du
trou d’injection. Ceci est expliqué par le fait que l’augmentation de l’épaisseur de la couche
limite diminue le module de la vitesse près de la paroi ce qui augmente l’épaisseur moyenne
de la couche limite thermique. Par conséquent, la valeur de l’efficacité sur la ligne centrale
diminue. Par contre, l’efficacité augmente sur la ligne médiane entre deux trous d’une même
rangée, puisqu’une couche limite plus épaisse permet une meilleure dispersion latérale du jet.

12


La compensation entre ces deux effets fait que l’efficacité moyenne latérale est finalement
peu influencée par ce paramètre.

1.4.6 Influence de l’intensité de turbulence

Hartnett (1985) présente quelques études qui montrent une légère diminution de l’efficacité de
2
refroidissement avec l’augmentation de l’intensité de turbulence ( Tu = u ' U ∞ ). La même
2

conclusion a été trouvée expérimentalement par Maiteh et Jubran (1999). Ce résultat
s’explique par le fait que l’augmentation du mélange entre le jet froid et les gaz chauds
participe à la dilution graduelle du jet et par conséquent diminue l’effet protecteur du jet sur la
surface.

1.4.7 Influence des paramètres géométriques de l’injection

Le comportement d’un jet isolé, confiné à un écoulement transversal a été largement étudié
aussi bien expérimentalement que numériquement. Il découle de ces études que suivant le
taux d’injection du jet, il se produit un décollement de la couche limite juste en aval du point
d’injection. Une zone de très haut niveau de turbulence est immédiatement crée dans cette
partie de l’écoulement. Le jet se comporte comme un corps solide flexible à structure
fortement tridimensionnelle. En amont du jet, l’écoulement est freiné comme s’il s’abattait
contre une paroi solide (impingement). Une zone de basse pression se crée immédiatement en
aval du jet. Cette dépression est directement responsable de la déviation (courbure) du jet dans
la direction de l’écoulement principal.
L’écoulement aux environs du jet se caractérise par un ensemble de vortex d’intensité et
d’importance différente en forme d’un fer à cheval appelé ‘horseshoe vortice’ (Andreopoulos,
1982). Sous l’effet de deux vortex longitudinaux tournant en sens inverse l’un par rapport à
l’autre (counter rotating vortices), la section droite du jet prend une forme rappelant celle
d’un rein (kidney shape). Ces deux vortex ont l’effet néfaste de ramener le fluide chaud de
l’écoulement principal vers la paroi plane ce qui va à l’encontre du but souhaité. Juste après le
point d’injection, il se développe un sillage tridimensionnel très complexe. Dans cette région,
la vitesse longitudinale est faible et la zone du sillage augmente proportionnellement avec le
taux d’injection. La chute de pression dans cette région cause un écoulement inverse ramenant
le fluide vers le plan de symétrie. En augmentant la vitesse du jet, cet effet devient de plus en

13


plus intense et prend la forme d’un jet contre une paroi. Cet effet est ensuite responsable du
décollement du sillage de la surface. Pour tous les taux d‘injection, il existe une couche de
cisaillement au-dessus de la région du sillage, où la vitesse longitudinale subit un changement
très rapide (zone de très forte intensité de turbulence). En se déplaçant dans la direction de
l’écoulement principal le jet se dissipe graduellement pour laisser se rétablir une structure
normale de couche limite sur une plaque plane (zone pleinement développée).
L’angle d’injection a une très grande influence sur la structure de l’écoulement près du point
d’injection. Un jet perpendiculaire perturbe plus intensément la structure de l’écoulement et
en particulier la taille des structures vorticales qui, dans ce cas sont plus grosses que celles
induites par un jet incliné. Différentes études (Sinha et al., 1991a) ont montré que la
trajectoire du jet est liée au taux de quantité de mouvement cité plus haut. Une méthode très
simple pour éviter le phénomène du quot;Blow-offquot; est donc de diminuer la vitesse du jet au point
d’injection sans toutefois diminuer le débit d’injection. Ceci peut être réalisé par
l’élargissement de la section de l’orifice d’injection par une sorte de chanfrein local. Cette
technique est connue sous le nom de quot;Shaped holesquot;. Elle améliore considérablement
l’efficacité du refroidissement puisqu’elle permet d’utiliser un fort débit refroidissant tout en
évitant le décollement du jet. Ce paramètre est cité ici à titre indicatif, il ne sera pas traité dans
cette étude.
En pratique, pour le refroidissement des aubes de turbine à gaz, les orifices d’injection sont
disposés en rangée. Puisque les jets voisins entrent en interaction mutuelle, cette disposition
géométrique introduit un changement profond du comportement individuel de chaque jet.
Sinha et al. (1991a) ont observé que le jet issu d’une rangée est plus plaqué contre la paroi
solide qu’un jet isolé. Dans le cas de plusieurs rangées de trous, la structure de l’écoulement
devient de plus en plus complexe. Des études comme celles de Sinha et al. (1991b) montrent
en effet que la couche limite au voisinage de la deuxième rangée est plus épaisse que celle de
la première rangée. Une conséquence directe de cette structure se traduit par un décollement
plus significatif du jet issu de la deuxième rangée par rapport à celui de la première rangée.
Par ailleurs, il a été observé aussi qu’un jet incliné dans la direction longitudinale (angle
simple) produit une efficacité de refroidissement meilleure que celle produite par une
injection perpendiculaire du fait que l’inclinaison favorise l’adhésion du jet sur la plaque et
minimise l’effet du décollement de celui ci. Ce type de configuration est appelé trou a
inclinaison simple. Une inclinaison composée, constituée d’une inclinaison transversale
supplémentaire par rapport au plan transversal (angle composé) s’est avérée encore plus
performante, puisqu’elle permet aux différents jets de la même rangé de couvrir une plus

14


grande surface de l’aube à refroidir (Ligrani et al., 1992, 1994a, 1994b, 1995, 1996a, 1996b,
1997a et 1997b), (Jubran et al., 1997 et 1999), (Lakehal et al., 1998), (Theodoridis et al.,
2001) et (Azzi et al., 1998 et 2001a). L’utilisation de deux rangées de trou en quinconce a
montré une nette amélioration puisqu’elle contribue à minimiser les effets du phénomène
quot;Blow-offquot;. Une configuration à deux rangées de trous produit une meilleure efficacité de
refroidissement comparée à celle d’une seule rangée, pour le même taux d’injection.
L’utilisation d’un arrangement de trous en quinconce est préférable à un arrangement en ligne
puisqu’il permet d’avoir une distribution latérale plus uniforme de l’efficacité de
refroidissement. L’étude faite par Jubran et Maiteh (1999) a la particularité d’expérimenter
deux rangées de trous à inclinaisons différentes. Il en découle qu’une disposition d’une
première rangée à inclinaison simple suivie d’une deuxième rangée à inclinaison composée
procure une meilleure protection de la surface, comparativement aux dispositions classiques
où les deux rangées sont simples ou composées. Il faut toutefois noter que les configurations
expérimentées présentent un espacement inter-trou de deux fois le diamètre seulement.
Récemment, Leylek et Zerkle (1994), Walters et Leylek (1996 et 1997) ont mené plusieurs
études numériques proches aux cas réels des turbines à gaz avec deux rapports
longueur/diamètre du trou d’injection. Ces études ont montré une très grande différence de
comportement suivant que le tube est long ou court. Pour des tubes d’injection assez court,
l’angle d’injection effectif se trouve amplifié et par conséquent le décollement du jet se
manifeste pour des valeurs assez basses du taux d’injection. Plus récemment, Lutum et
Johnson (1999) ont confirmé ces constatations en menant une investigation expérimentale qui
a montré que les plus faibles valeurs de l’efficacité de refroidissement sont enregistrées pour
les plus courts tubes d’injection. Les mêmes constatations ont été enregistrées par l'étude
numérique menée récemment par Azzi, et al. (2001c).

1.5 Pertes hydrodynamiques causées par le jet refroidissant
Bien que ce thème ne fasse pas partie de notre étude, nous lui consacrons ce paragraphe ne
serait ce que pour marquer son importance lors de la conception des turbines à gaz. Plus de
détails sont fournis dans (Lakshminarayana, 1996). En effet, le jet de refroidissement
provoque un détachement et un rattachement de la couche limite avec création d’une zone de
recirculation. Un tel phénomène provoque des pertes hydro dynamiques majeures. Les
modifications apportées à la couche limite sont liées à plusieurs paramètres, aussi bien
hydrodynamiques que géométriques. Les pertes associées à la position du jet peuvent être

15


optimisées à travers la détermination de la distribution de pression, de la transition, et de la
structure de la couche limite. L’un des paramètres les plus important est la position du jet. En
effet, comme le montre la figure (I-5), la position du jet dans l’aube est critique : elle est
souvent contradictoire avec l’optimisation du transfert thermique. Selon cette figure, le jet au
bord d’attaque quot;shower headquot; et l’injection perpendiculaire à 90° provoque les plus grandes
pertes hydrodynamiques. Ce résultat est dû au fait que ces configurations perturbent
radicalement la structure de la couche limite. Par contre, l’étude menée par Holmes (1985),
rapportée par Lakshminarayana (1996), montre une amélioration apportée par le jet dans le
bord de fuite. C’est pour cette raison que l’air de refroidissement par convection est
généralement évacué à travers une rangée de trous aménagés sur le bord de fuite de l’aube.

Figure I-5 : Influence de la position et de l’inclinaison du jet sur les pertes hydro dynamique dans un
passage inter aube, (Heiser, 1978) (d'après Lakshminarayana (1996).

1.6. Etude thermique du refroidissement par film
La densité du flux thermique échangé par convection entre la paroi solide de l’aube et le
fluide s’écrit :
q0 = h0 (T∞ − Tw ) (I-1)

où h0 est le coefficient de transfert thermique local sans le jet secondaire, Tw est la température

locale de la paroi, et T∞ la température du fluide dans la zone externe non perturbée (bulk). En
présence du film refroidissant, la densité locale du flux thermique s’écrit :
q = h f (T f − Tw ) (I-2)

16


où h f est le coefficient de transfert thermique local en présence du film refroidissant, et T f la

température locale du film (mélange entre le jet et l’écoulement principal).
Dans ce qui précède, la détermination de la température du film résultant du mélange entre le
jet froid et les gaz chauds de l’écoulement principal est difficile. Le problème est détourné en
définissant une température adimensionnelle.

T∞ − T f
(I-3)
T∞ − Tc
où Tc est la température du jet froid au point d’injection.
Puisque les différentes températures citées ci-dessus vérifient toujours l’inégalité suivante
Tc < T f < T∞ , le rapport des températures dans la relation (I-3) est toujours inférieur à l’unité.

Pour les faibles nombre de Mach et pour une paroi adiabatique la température de la paroi en
l’absence du film refroidissant vérifie l’égalité suivante :
Taw = T∞ (I-4)
où Taw est appelée la température adiabatique de la paroi. En remplaçant T f par Taw , on

définit une température adimensionnelle appelée efficacité adiabatique du refroidissement par
film. Elle est exprimée par :
T∞ − Taw
η= (I-5)
T∞ − Tc
L’efficacitéη , vérifie bien les conditions aux limites logiques, c’est à dire η = 0 en absence de
refroidissement ( Taw = T∞ ), et η = 1 , près du point d’injection où Taw = Tc .
En pratique, on s’intéresse généralement à la moyenne transversale de l’efficacité de
refroidissement communément définie par :
L
η = ∫ η ( z ) dz
1
(I-6)
L0
où, L est la largeur de la surface à refroidir.
En plus de l’étude de l’efficacité adiabatique du refroidissement par film, l’étude thermique
porte sur la détermination de l’évolution du coefficient de transfert thermique pour voir si le
gain réalisé par la diminution de la température ( T f au lieu de T∞ ) n’est pas annulé par

l’augmentation du taux de transfert thermique étant donnée que généralement h f > h0 .

1.7 Analyse théorique du refroidissement par film
Le but recherché est de proposer des corrélations simples pour prédire quantitativement aussi
bien la trajectoire du jet que la distribution de l’efficacité du refroidissement par film sous

17


certaines conditions et cela sans trop perdre de la qualité. Dans ce paragraphe, nous allons
citer quelques-unes de ces corrélations.

1.7.1 Trajectoire du jet

L’étude du refroidissement par film se réduit à celle du jet dans un milieu non confiné.
L’étude théorique d’une telle configuration passe inévitablement par une idéalisation du
processus comme cela est schématisé par la figure (I-6).

Figure I-6 : Jet turbulent dans un écoulement transversal (adaptée de Demuren (1986b).

L’écoulement principal est perturbé par le jet de manière proche que celle d’un cylindre solide
exposé à un écoulement transversal. Les vortex issus du jet transversal sont généralement
compressés par l’écoulement principal. Ces deux vortex longitudinaux, tournants en sens
inverse pénètrent profondément dans l’écoulement global avant de s’estamper graduellement
suivant le taux d’injection de l’écoulement secondaire. Ce phénomène est directement
responsable de la section droite du jet en forme de rein. L’écoulement dans les environs du jet
est fortement turbulent et le jet est entraîné par l’écoulement principal pour lui être
pratiquement aligné, loin du point d’injection. Cependant, la structure du jet caractérisé par la
forme du rein est souvent préservée sur une longue distance en aval du jet. Dans le cas de
l’injection à partir de plusieurs trous disposés en une ou plusieurs rangées, les jets entrent en
interaction mutuelle et la structure devient de plus en plus complexe. La figure (6) montre un
plan de symétrie d’un jet simple perpendiculaire à l’écoulement transversal. On définit l’axe
du jet comme étant la trajectoire de la vitesse maximale à l’intérieur du jet que l’on appelle quot;la
trajectoire du jetquot;. D’après l’étude théorique présentée par Demuren et al. (1986b), on peut
décomposer le jet en trois régions distinctes. La première zone, appelée corps du jet,

18


représente la partie non perturbée par l’écoulement principal. Sa longueur est liée directement
au taux d’injection et elle n’est significative que pour les fortes valeurs de ce dernier
(pratiquement, M > 4). Il est à rappeler que pour un jet libre, c’est à dire sans écoulement
transversal, les études expérimentales mentionnent une valeur de la longueur avoisinant 6D
pour cette zone. On peut citer les quelques corrélations empiriques pour l’évaluation de cette
longueur :

l j = 6.2 D −3.3 M
Fan (1967) (I-7)
6.4
lj =
Kamotani et Greber (1974) (I-8)
1 + 4.608 M
Les relations (I-7) et (I-8) sont pratiquement équivalentes pour les fortes valeurs du taux
d’injection, alors qu’elles différent sensiblement pour les faibles valeurs.
La seconde région du jet est celle déviée de la trajectoire caractérisée par une forte courbure
du jet. La troisième et dernière région du jet englobe la partie du jet qui est pratiquement
parallèle à la direction principale de l’écoulement.
Les modèles empiriques de prédiction de la trajectoire d’un jet sont évidemment les plus
simples du point de vue pratique, mais ils ont l’inconvénient d’avoir un domaine de validité
étroit. Ceci est dû au fait que ces modèles sont toujours liés aux conditions expérimentales qui
leurs ont donné naissance. L’un des modèles utilisés pour la prédiction de la trajectoire d’un
jet issu d’un trou circulaire et perpendiculaire à l’écoulement transversal s’écrit (Demuren,
1986b) :
c
⎛x⎞
y
=a Mb⎜ ⎟ (I-9)
⎝D⎠
D
où :
a = 0.75 ÷1.31
b = 0.74 ÷1.0
c = 0.33 ÷ 0.39
La plage d’application de ce type de modèle est : M = 1.4 ÷ 50
Dans cette catégorie, le modèle de Kamotani et Greber (1974) est applicable pour M = 4 ÷10 ,
b = 0.94 , c = 0.36 , a = 0.89 pour un jet issu d’une fente à profil plat, et a = 0.81 pour un jet issu
d’un tube à profil complètement développé. Si le jet est chauffé, sa trajectoire sera affectée
par le rapport des masses volumiques entre l’écoulement principal est celui du jet.
L’expression de la trajectoire prendra ainsi la forme :
0.11
⎛ρ ⎞
0.29
⎛x⎞
y
= 0.73 ⎜ c ⎟ I 0.52 ⎜ ⎟ (I-10)
⎜ρ ⎟
⎝D⎠
⎝ ∞⎠
D
où I est le taux de la quantité de mouvement définit précédemment.

19


Pour le cas d’un jet incliné d’un angle θ , on peut citer la corrélation de Shandorov (1957) :
2.55

( )
⎛ y⎞
x y
1 + I −1 cot θ
= I −1 ⎜ ⎟ + (I-11)
⎝D⎠
D D

Cette loi fût construite à partir de l’expérience du jet froid dans un écoulement chaud pour un
taux de quantité de mouvement I variant de 2 à 22, et θ allant de 45° à 90° (Demuren,
1986b).

1.7.2 Prédiction de l’efficacité du refroidissement

Hartnett (1985) présente une revue bibliographique de plusieurs corrélations semi–empiriques
déterminant l’efficacité du refroidissement. Ces formulations, qui sont aussi reprises par
Leontiev, (1999), titulaire du prix Max Jacob1998, se distinguent entre elles par la prise en
compte de plus ou moins de paramètres influençant le refroidissement par film. Il faut
toutefois noter que les corrélations proposées reposent sur un raisonnement bi-dimensionnel
n’incluant que le jet issu d’une fente bi-dimensionnel. Cette configuration dont quelques
variantes sont illustrées sur la figure (I-7), n’est pas souvent utilisée pour le refroidissement
des turbines à gaz en raison des difficultés de constructions.

La configuration la plus attractive est celle de l’injection à travers des rangées de trous
distincts (c’est aussi l’unique configuration explorée dans notre étude). Parmi ces formules
empiriques nous citons :
Librizzi et Cresci, (1964)
1
( )[
η=
] (I-12)
0.329(4.01 + ζ ) − 1
1 + C p∞ C pc
0.8

Kutaeladze et Leontiev, (1963)
1
η=
1 + 0.329(C p∞ C pc )ζ 0.8
(I-13)

Goldstein et Haji-Sheikh, (1967)
1.9 Pr 2 3
η=
1 + 0.329(C p∞ C pc )ζ 0.8
(I-14)

où ζ est le taux d’injection définit par:
−1 4
x ⎛µ ⎞
ζ = c ⎜ c Rec ⎟ (I-15)
⎜µ ⎟
Fs ⎝ ∞ ⎠
où
ρ cU c s ρ cU c
Rec = F=
et (I-16)
µc ρ ∞U ∞

20


U c : vitesse moyenne du jet refroidissant

xc : distance du bord de la fente d’injection.
L'équation (I-12) par exemple, tient compte du gradient de pression longitudinal, la
compressibilité et la non isothermalité du fluide, la rugosité de la surface d’échange, et
l’organisation des trous d’injection.

Figure I-7 : Plusieurs configurations de refroidissement par film de type fente,
Hartnett (1985)

Une autre technique, basée également sur l’hypothèse de bi-dimensionnalité, a été proposée
par Brown (1967) :
η = f1 (I ) f 21 ( A) (I-17)
où
f 2 ( A, I ) = Aγ ; γ = f 3 (I ) (I-18)

21


⎛ ms ⎞
⎟(Rex )
⎜
0.2

A= ⎝
x⎠
(I-19)
xi
1−
x
où x est la distance mesurée à partir du bord d’attaque de la plaque, xi est la distance jusqu’au
point d’injection. La largeur de la fente “s” utilisée dans l’équation (I-19), est généralement
prise égale à
πD 2
s= (I-20)
4p

1.8 Etude numérique du refroidissement par film
L’objectif de notre travail étant principalement à caractère numérique, tous les aspects relatifs
à cette approche pour le refroidissement par film seront traités avec détail le long des
chapitres qui suivent. Ceci inclu la formulation des équations de transport, la génération du
maillage, l’algorithme de résolution, l’approximation des termes non-linéaires, ainsi que la
modélisation de la turbulence. Notre but est de faire de ce document une référence assez
complète pour la modélisation numérique des écoulements et du transfert de chaleur, sans
toutefois être excessivement longue. Mais avant cela, nous devons rappeler et commenter les
différentes contributions disponibles à ce sujet.
Le transfert par convection forcée peut être traité par la résolution numérique des équations de
Navier-Stokes et l’équation de l’énergie. Plusieurs simplifications peuvent être faites afin de
rendre l’approche numérique plus aisée et adaptée aux capacités de calcul disponibles. Ainsi,
une simplification majeure peut être réalisée en assimilant la courbure de l’aube à une plaque
plane, et en négligeant l’effet de rotation.
En raison de la faible capacité de stockage des premiers calculateurs, les premiers modèles
mathématiques utilisés sont de type parabolique. Ces modèles présentent l’inconvénient d’être
applicable aux situations à faibles taux d’injection, où le jet reste plaqué contre la paroi de la
surface de l’aube. Bergles et al. (1976, 1981) ont proposé un modèle semi-parabolique qui
s’est avéré relativement efficace pour ce type de conditions. Ce modèle basé sur les mêmes
équations paraboliques de la couche limite permet le stockage des variables sur un seul plan,
sauf pour la pression. L’effet de celle-ci est introduit dans les équations de quantité de
mouvement par un processus itératif jusqu’à la convergence. La vitesse de l’écoulement est
maintenue positive ou nulle. De plus, les écoulements de retour ne sont pas captés. Demuren
(1983) a utilisé un modèle complément elliptique limité aux zones proches du point
d’injection et parabolique loin de l’injection. Dans la même stratégie, Shönung et Rodi (1987)

22


ont proposé un modèle bi- dimensionnel basé sur le même principe, mais étendu aux
équations de la turbulence. Chaque variable est décomposée en une moyenne d’espace latérale
et une fluctuation (Dans les équations de Reynolds la moyenne est temporelle). L’introduction
d’une telle décomposition dans les équations de Navier Stokes donne naissance à de nouveaux
termes qu’il faut modéliser afin de tenir compte de l’effet tri dimensionnel.
Avec l’essor de l’informatique et l’augmentation de la capacité de stockage des calculateurs
modernes, les modèles mathématiques pour le refroidissement par film sont devenus de plus
en plus complets, utilisant des procédures complètements elliptiques, dans lesquels le
domaine de calcul est étendu à l’intérieur des trous d’injection et parfois au plenum. La
courbure des aubes et les formes des trous d’injection sont fidèlement reproduites, avec de
surcroît des modèles de turbulence plus élaborés (Theodoridis, et al. 2001), (Lakehal, et al.
2001), (Azzi, et al. 2001b). Andreopoulos (1982), a par exemple montré que l’écoulement à
l’intérieur du tube d’injection est largement influencé par l’écoulement principal et que la
spécification des conditions aux limites aux points d’injection sous forme de profil de vitesse
ou autres ne correspondent pas exactement à la réalité. Ainsi, la résolution de l’écoulement à
l’intérieur des tubes d’injection devient nécessaire pour une bonne prédiction numérique.
Leylek et Zerkle (1994), ont montré aussi qu’un bon modèle numérique pour la prédiction du
refroidissement par film doit inclure le plenum situé avant l’entrée du tube d’injection.
L’importance de ce point est plus accentuée pour les cas à faible rapport entre la longueur et
le diamètre des trous d’injection.
L’approximation des termes de convection dans les premiers modèles se limitait à des
schémas de discrétisation de premier ordre (Demuren, 1983) et (Leylek et Zerkle 1994). Plus
récemment des schémas d’ordre supérieur et à limiteur sont systématiquement utilisés pour
l’ensemble des équations de transport, y compris ceux de la turbulence (voir le chapitre II).
Au registre de la modélisation de la turbulence, le modèle à deux équations k − ε est de loin
le modèle le plus utilisé bien qu’il s’est avéré que cette approche présente des faiblesses plus
ou moins importantes, suivant la complexité de l’écoulement. Le principal défaut de ce
modèle est lié à l’approximation de Boussinesq sur laquelle il est basé (hypothèse de viscosité
turbulente). Il est ainsi incapable de capter l’effet anisotrope de la turbulence responsable de
la dispersion latérale du jet. Amer et al. (1992) ont mené une étude comparative entre les
modèles k − ω et k − ε . Leur conclusion était que chaque modèle est mieux adapté que
l’autre, dans des situations différentes. Bergeles (1981) a corrigé avec succès cette défaillance
par un modèle simple, basé sur la multiplication des composantes latérales du tenseur de
Reynolds par un coefficient déduit des mesures expérimentales. Lakehal et al. (2001) et Azzi

23


& Lakehal (2001b), ont récemment utilisé un modèle de type bi-couche à bas nombre de
Reynolds tout en adaptant la modification de Bergeles par le biais des résultats DNS. Le
modèle aide à capter plus de détails associés au champ de température. Les mêmes
constatations sont obtenues de l’étude menée par Ferguson et al. (1998) utilisant un autre type
de modèle bi-couche. Les investigations menées par le groupe de Leylek, utilisant certaines
variantes du modèle RSM (Reynolds Stress Models) ont montré que ces modèles ne sont pas
plus performants que ceux du premier ordre.
Il ressort des études numériques disponibles à ce jour que les modèles basés sur l'hypothèse
de la viscosité turbulente (Eddy Viscosity Models) appliqués suivant l'approche loi de paroi,
ne sont pas adaptés pour les configurations du refroidissement par film. En particulier la
dispersion latérale du jet est sous estimée, ce qui conduit directement à une sous estimation de
l'efficacité latérale moyenne sur la paroi solide. Cette réalité a poussé le groupe de Rodi
travaillant sur ce domaine (Lakehal, et al., 2001; Theodoridis et al., 2001) a opter pour une
modification anisotropique des termes du tenseur de Reynolds appliquée en combinaison avec
une technique bi-couche à bas nombre de Reynolds. Les facteurs de multiplication ont été
inspirés directement des calculs DNS.

24

CHAPITRE II. Modélisation de la turbulence

Chapitre II

Modélisation de la turbulence

2.1 Introduction

L'étude de la turbulence est une science interdisciplinaire à large domaine d’application. On
peut citer à titre d'exemple : le comportement de l’aile d’un avion ou d’une aube de
turbomachine, la pulvérisation d’un combustible dans une chambre de combustion ou le jet
d’un réacteur d’avion ainsi que les différents types de jets aussi bien naturels qu’industriels.
Du coté des applications relatives à l'étude de l'environnement on peut citer : la fumée sortant
d’une cheminée d’usine, les gaz d’échappement d’une voiture, le développement d’un feu de
foret sous l’influence du vent, le vent dans une ‘rue canyon’, l'écoulement de l’eau dans une
rivière et bien d’autres exemples. D'un autre coté les mouvements des océans, les écoulements
biologiques sont aussi des applications où l’étude de la turbulence est nécessaire à la
compréhension des divers mécanismes d’influence et de contrôles. Cette branche de la
mécanique des fluides est très complexe et reste méconnue ou du moins par quelques aspects,
même après un siècle de recherche, depuis les premiers travaux de Reynolds (1895).
En définissant la turbulence par opposition à l’écoulement laminaire, on peut dire que
l’écoulement turbulent est caractérisé par des variations temporelles et spatiales aléatoires de
la vitesse, de la pression et de la température. L’autre caractéristique de l’écoulement
turbulent est que les fluctuations du champ de vorticité sont très fortes et le mélange est
intense. Au contact d’une paroi solide, le coefficient de frottement et d’échange thermique
sont augmentés par rapport au régime laminaire.

2.2 Description de la turbulence

Le problème des écoulements et du transfert de chaleur relève de la résolution des équations
de conservation de la masse, de la quantité de mouvement et de l’énergie. Actuellement, il
existe deux techniques pour approcher le problème de la turbulence dans le fluide. La
première méthode est dite ''modélisation de la turbulence''. Elle consiste à décomposer le
champ de la vitesse et de la température en une composante moyenne et une fluctuation
turbulente. Le système d’équations résultant (Reynolds Averaged Navier-Stokes equations,

25


RANS) quantifie ainsi le comportement de l’écoulement moyen. Mais la non-linéarité des
équations fait apparaître un nouveau terme, reflétant l’effet de la turbulence sur le champ
moyen, qu’il faut modéliser. Ce problème est connu sous l’acronyme de ''problème de
fermeture'' où l’on dispose d’un nombre d’équations inférieur au nombre d’inconnues. Une
variété de modèles est à présent disponible dans la littérature, allant du plus simple (à zéro
équation) au plus complexe (Reynolds Stress Model, RSM). Malheureusement aucun de ces
modèles n’est optimisé pour tous les cas de figures. La règle générale consiste à adapter le
modèle au problème posé. Toutefois, le modèle à deux équations k − ε de Launder &
Spalding (1974) est de loin le modèle le plus utilisé et considéré comme étant universel.
Malgré un certain nombre de limites que nous développerons un peu plus loin, ce modèle est
pratiquement implémenté dans tous les codes de calcul commerciaux.
L’idée maîtresse derrière la modélisation de la turbulence repose sur l’analogie que l’on fait
avec la phénoménologie de celle-ci : on se base ainsi sur la description des structures dont les
tailles des plus grosses pouvant avoir celles de la géométrie du domaine de l’écoulement aux
plus petites dites de Kolmogorov. Les premières sont appelées structures énergétiques parce
qu’elles transmettent l’énergie reçue aux structures de taille plus faible (phénomène de
cascade). Elles sont fortement anisotropes. Les plus petites sont appelées structures
dissipatrices (ou de Kolmogorov) ; Ainsi l’énergie reçue des macro-structures est directement
dissipée sous forme de chaleur. Les micro-structures sont par contre isotropes et
indépendantes de la spécificité de l’écoulement. L'approche par cette logique indique que la
turbulence peut être définie par deux échelles : une échelle de longueur et une deuxième de
temps. La première est en rapport avec la taille des structures turbulentes, et la deuxième avec
leur durée de vie, et c’est principalement l’idée des modèles de turbulences conventionnels.
La seconde méthode est la simulation directe (Direct Numerical Simulation, DNS). Dans
laquelle toutes les structures de la turbulence (macro- et micro-structures) sont résolues
directement et sans le recours à des approximations. Ceci n’est possible que par le biais d’une
résolution très fine des équations instantanées de Navier-Stokes. C’est à dire que l’algorithme
utilisé devra être suffisamment précis (en espace et en temps) pour capter toutes les échelles
de longueur et de temps de la turbulence. Malheureusement, le spectre des échelles de la
turbulence est tellement large (proportionnel au nombre de Reynolds) que les pas de
discretisation (espace et temps) indispensables dépassent de loin les capacités de stockage et
de calcul des meilleurs calculateurs actuels.
Une autre méthode aussi sophistiquée que la DNS, mais moins onéreuse est connue sous le
nom de ''simulation des macro-echelles'' (LES, Large Eddy Simulation). Elle consiste à filtrer

26


(en espace) les échelles de la turbulence pour ne résoudre ''directement'' que les macro
structures, et modéliser les petites structures par le biais de modèles plus ou moins simples,
dits ''modèles de sous-maille'' (subgrid models). Cette technique (LES) a le mérite de donner
des résultats d’une précision comparable à celle de la DNS, mais à moindre coût. Pour des
raisons strictement techniques (puissance de calcul) les méthodes de simulation (DNS et LES)
sont réservées aux écoulements à faible nombre de Reynolds et pour des configurations
géométriques simples. Pour les applications pratiques et industrielles les méthodes statistiques
de modélisation à partir des équations moyennes de Reynolds sont incontournables et le
seront probablement pour assez longtemps.
Dans le but d’être explicite et plus complet nous évoquons certains chercheurs de renommée
qui ont compilé des ouvrages plus ou moins complet sur la turbulence et les méthodes liées à
son étude. Nous citons, à titre d’exemple : Launder (1972), Bradshaw (1981), Nallasamy
(1987), Hinze (1975), Rodi (1980) etc. Dans les ouvrages de Schlichting (1979), et de
Cousteix (1989), la couche limite turbulente est amplement étudiée. Alors que Mohammadi
(1994), a consacré son ouvrage à la présentation mathématique du modèle k − ε . Lakehal
(1999), dans son récent rapport a introduit pratiquement toutes les méthodes actuelles de
traitement numérique de la turbulence, y compris les modèles algébriques et la LES.
Le but visé dans ce chapitre est de présenter le plus clairement possible et sans trop de détails
le modèle mathématique utilisé dans ce travail ayant servi à la prédiction du refroidissement
par film. Ce modèle repose sur les équations de Navier-Stokes et un modèle de turbulence, en
l’occurrence le modèle k − ε . Nous consacrerons une attention particulière à la modification
de Bergeles et cinq modèles algébriques de type EASM (Explicit Algebraic Stress Model).

2.3 Equations de transport

2.3.1 Equations de Navier-Stokes

Pour un fluide Newtonien, incompressible, isotherme et à propriétés constantes, les équations
de Navier-Stokes s’écrivent sous la forme :
∂vi
= 0; (II-1)
∂xi

∂p
Dvi
ρ + µ∇ 2 vi + ρg i ;
=− i = 1,2,3 (II-2)
∂xi
Dt

27


∂ ∂
D
représente la dérivée substantielle (totale), ρ la masse volumique,
= + vj
où
Dt ∂t ∂x j

g l'accélération de la pesanteur, et µ la viscosité dynamique,
La sommation d’Einstein s’applique, dans le sens où pour chaque index i, une sommation
∂φ i ∂φ i ∂φ i ∂φ i
= + +
suivant l’index j est nécessaire. Par exemple,
∂x j ∂x1 ∂x 2 ∂x 3

Le premier terme de l’équation (II-2) correspond à l’accélération du fluide comprenant une
première partie dépendante du temps et une deuxième décrivant la convection par la vitesse
⎛ ∂v ⎞
vi . Le terme non linéaire ⎜ v j i ⎟ de l’équation (II-2) représente la principale difficulté dans
⎜ ∂x ⎟
⎝ j⎠

la résolution de ce système.

2.3.2 Equation de l’énergie

Cette équation peut s’exprimer aussi bien en fonction de la température statique ou de
l’enthalpie de stagnation. Pour un fluide incompressible on a :
⎛ ∂T ⎞
∂
DT ⎜λ ⎟
ρ cp = (II-4)
⎜ ∂x ⎟
Dt ∂x j ⎝ ⎠
j

où c p est la chaleur spécifique à pression constante, et λ la conductivité thermique du fluide.

Cette équation traduit le bilan énergétique entre la convection et la conduction moléculaire à
l’intérieur du fluide. L’équation est écrite pour un fluide incompressible (La déformation
volumique est nulle, vk ,k = 0 ) où on a négligé l’augmentation de l’énergie interne par

compression. On a aussi négligé l’augmentation de l’énergie interne par dissipation visqueuse
qui est très faible dans le cas d’un fluide incompressible.
Si de surcroît la conductivité thermique est constante, l’équation (II-4) s’écrit sous la forme :
⎛ ∂T ⎞
∂
DT ⎜α ⎟
= (II-5)
⎜ ∂x ⎟
Dt ∂x j ⎝ j⎠

λ ν
avec α = = (II-6)
ρ c p Pr
cpµ
où Pr = est le nombre de Prandtl laminaire.
λ
Le transfert de chaleur par convection est un phénomène complexe et étroitement lié à la
structure de l’écoulement (turbulence, géométrie de la paroi solide, état de surface). Dans tous

28


les cas, la distribution de la température sera fonction de celle du champ de vitesse, mais si en
plus ce dernier dépend de celui de la température, la convection est dite naturelle, sinon elle
est dite forcée.
2.4 Equations de la turbulence

2.4.1 Méthodes statistiques de modélisation de la turbulence

Comme évoqué un peu plus haut, la modélisation de la turbulence est basée sur le principe de
décomposition de chaque variable du champ dynamique et thermique en une valeur moyenne
et une fluctuation, décomposition de Reynolds, (Hinze, 1975). En pratique, on choisi un
intervalle de temps T grand devant l'échelle de temps des fluctuations turbulentes et
suffisamment petit devant l'échelle de temps des autres fluctuations (écoulement non
stationnaire).
La moyenne temporelle de la variable φ s’écrit :
t +T
φ (t )dt
1
T∫
φ= (II-7)
t

φ = φ +φ ' φ = vi , p, T , ...; (II-8)

vi = vi + u i' ; p = p + p ' ; T = T + θ ' (II-9)

où φ est la valeur moyenne de la variable φ et φ ' sa fluctuation temporelle. Suivant la
décomposition de Reynolds, les lois de la statistique impliquent les relations suivantes :

φ ' = ψ ' = 0.

φψ = φ ψ + φ 'ψ ' ,

φ 'ψ = ψ ' φ = 0 (II-10)

2.4.2 Equations moyennes de Navier-Stokes

L’application de la décomposition des variables aux équations de Navier-Stokes (II-1) et (II-
2) conduit aux équations moyennes de Reynodls (Reynolds Averaged Navier-Stokes -RANS) :
∂ vi
= 0; (II-11)
∂xi

∂τ ij
1 ∂p
D vi
+ ν∇ 2 vi −
=− i = 1,2,3 (II-12)
;
ρ ∂xi ∂x j
Dt

29

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