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Notions d’holographie classique et numérique

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La fréquence maximale que...
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L’utilisation d’une onde de reconstruction ayant une plus petite longueur d’onde λ ′
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Comme on le verra dans le chapitre concernant la microscopie, le calcul de l...
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Marquet Chap2

  1. 1. Chapitre 2 identique à l’onde objet O ( x, y, z ) mais déviée d’un angle −θ , produisant ainsi une image virtuelle de l’objet. La situation est similaire pour ψ 4 ( x, y, z ) , excepté que la fonction pupillaire qui est O ∗ ( x, y, z = 0) exp(k sin θ x) . L'onde ψ 4 ( x, y, z ) est donc diffracte l’onde A identique, non pas à l'onde objet originale, mais à son conjugué complexe O* ( x, y ) , dévié d’un angle θ , produisant ainsi une image virtuelle de l’objet. Les troisième et quatrième termes sont aussi appelés « les images jumelles » ou « l'ordre +1 et –1 de diffraction » respectivement. L'utilisation d'une onde de référence R faisant un angle θ ≠ 0 (Fig.2.2), va permettre donc la séparation des images réelle et virtuelle de l’ordre zéro de diffraction. Cette configuration, pour laquelle la direction de propagation de l’onde de référence n’est pas perpendiculaire à l’hologramme, s’appelle une configuration « hors axe ». 2.1.4 Critère de séparation spatiale des différents ordres de diffraction Nous venons de voir que l'enregistrement d'un hologramme dans une configuration hors axe, translate les spectres des fréquences spatiales des ordres 1 et -1 de diffraction. Nous avons vu également que cette translation de spectre correspond à une rotation des différentes directions de propagation des ondes planes qui composent ces différents ordres de diffraction. Il existe donc un angle minimal θ min de l’onde de référence, qui permet de séparer les spectres des différents ordres de diffractions et d’obtenir ainsi une séparation spatiale, à une certaine distance d de l’hologramme, des fronts d’ondes qui correspondent aux différents ordres de diffraction. Pour calculer cet angle minimal, supposons que l’objet n’ait pas de fréquences spatiales supérieures à B. Les spectres G3 (k x , k y ) et peuvent être séparées de G4 ( k x , k y ) G1 (k x , k y ) et G2 (k x , k y ) et à fortiori l'un de l'autre, si : 2-9
  2. 2. Notions d’holographie classique et numérique λ k sin θ ≥ 3B → sin θ ≥ 3B (2.17) 2π L'angle minimal pour qu'il y ait séparation est donc: 3Bλ θ min = Arc sin( (2.18) ) 2π Ce critère de séparation des ordres de diffraction ne peut être satisfait que si la bande passante de l'objet B est telle que: 1 2π B < Bsép = (2.19) 3λ Dans le cas d’une illumination monochromatique, la bande passante maximale 2π pouvant se propager d'un objet étant Bmax = , il est donc impossible d'éviter un λ 2π 2π recouvrement des spectres des différents ordres de diffraction si B ∈ [ , ]. 3λ λ La Fig.2.3 montre que si la bande passante de l’objet est telle que B < Bsép et que l’angle de l’onde de référence θ correspond à l’angle θ min (2.18), qui permet la séparation des spectres des différents ordres de diffraction, alors la bande passante de l’hologramme BHol vaut 4 fois la bande passante de l’objet. Par contre si B > Bsép , le recouvrement des différents spectres des différents ordres de diffraction implique que la bande passante de l’hologramme croisse comme ( B − Bsép ) . On peut donc écrire : si B ≤ Bsép et θ =θ min ( B ) BHol = 4 B (2.20) π si B > Bsép et θ = BHol = 4 Bsép + ( B − Bsép ) 2 L’équation (2.20) est représentée sur le graphe ci-après. 2-10
  3. 3. Chapitre 2 Fig.2.4 Bande passante de l’hologramme en fonction de celle de l’objet La fréquence maximale que peut avoir un hologramme dans la configuration hors axe vaut 2Bmax et correspond à un objet de bande passante Bmax et à un angle de l’onde de référence de π 2 . Cette situation correspond à un recouvrement total des spectres G3 et G4 par le spectre de G2 . Il est important de souligner que les fréquences de l’hologramme supérieures à Bmax vont générer, lors de son illumination, des ondes évanescentes qui ne vont donc pas se retrouver dans l’image reconstruite. On en conclut que dans une configuration 1 hors axe seules les fréquences de la bande passante de l’objet inférieures à Bmax 4 pourront être convenablement enregistrées sur l’hologramme au sens de (2.17), et restituées sans générer d’ondes évanescentes. 2-11
  4. 4. Notions d’holographie classique et numérique La Fig.2.5 ci-dessous, qui représente simultanément la bande passante émise par l’objet, enregistrée par l’hologramme, et du front d’onde de l’objet reconstruit, synthétise la situation. Fig.2.5 Spectres : A) de l’objet, B) de l’hologramme correspondant et C) du front d’onde de l’objet reconstruit. Bmax = bande passante maximale émise par l’objet; Bsép = bande passante émise par l’objet, qui permet la séparation des spectres des différents ordres de diffraction au niveau de l’hologramme; Bmax 4 = bande passante émise par l’objet, qui peut être correctement enregistrée sur l’hologramme et restituée. Les plages de fréquences sont représentées avec le code de couleur suivant : • Vert : fréquences correspondant à des ondes qui se propagent pour former une image lors de la reconstruction de l’hologramme et qui permettent la séparation fréquentielle des différents ordres de diffraction. • Orange : fréquences générant des ondes évanescentes lors de la reconstruction de l’hologramme, mais qui permettent la séparation fréquentielle des différents ordres de diffraction • Rouge : fréquences générant des ondes évanescentes lors de la reconstruction de l’hologramme et qui ne permettent pas la séparation fréquentielle des différents ordres de diffraction 2-12
  5. 5. Chapitre 2 L’utilisation d’une onde de reconstruction ayant une plus petite longueur d’onde λ ′ que les ondes objet et référence ( λ ) permettrait de repousser la limite de génération 4 2π 2π = d’ondes évanescentes lors de la reconstruction de l’hologramme. Si on a , 3λ λ′ 3 c’est-à-dire si λ ′ = λ , alors toutes les zones oranges de la Fig.2.5 peuvent être 4 converties en zones vertes. Les zones rouges de la Fig.2.5 ne peuvent toutefois être converties en zones vertes ou oranges car le changement de la longueur d’onde de l’onde de reconstruction n’affecte en rien le critère de séparation (2.18) des différents ordres de diffraction. Contrairement à l’holographie hors axe, l´holographie dans l'axe ne soumet pas la bande passante de l’objet à de telles limitations. Toutefois, le prix à payer en est la nécessité d’enregistrer plusieurs hologrammes pour reconstruire une image de la distribution de phase, ainsi que de réaliser un montage opto-mécanique plus complexe, qui permette d’effectuer des mouvements mécaniques de très grande précision. En effet, la séparation des ordres de diffraction se fait par l'enregistrement successif d'au moins quatre hologrammes dans l’axe, chacun correspondant à des différences de phase décalées entre l'onde de référence et l'onde objet. Une combinaison linéaire de ces quatre hologrammes permet alors l'élimination de l'ordre zéro de diffraction ainsi que de l'image jumelle. Expérimentalement, ces décalages de phase se font en insérant sur le faisceau de référence un miroir monté sur une translation piezzo-électrique. L’observation de la dynamique d’un processus transitoire est ainsi rendue plus complexe. 2-13
  6. 6. Notions d’holographie classique et numérique 2.1.5 Limitation de la résolution des franges par le support d’enregistrement en holographie hors axe Toute l’information du front d’onde objet est codée dans les franges d’interférence de l’hologramme. Pour reconstruire l’onde objet sans perte d'information, il est donc impératif que le support qui sert à enregistrer l’hologramme soit capable d’enregistrer correctement ces franges d’interférence, en d’autres termes que ce support d’enregistrement soit capable de résoudre ces franges d’interférence. La bande passante, ou la fréquence maximale k Hol de l’hologramme en fonction de la bande passante de l’objet est donnée par (2.20) et est représentée sur la Fig.2.4. Le film photographique qui sert à enregistrer l’hologramme est caractérisé lui-même par une fréquence de coupure kc correspondant au nombre maximal de lignes kc (minima et maxima des sinusoïdes) par unité de longueur N max = qu’il est capable 2π de résoudre. Pour que la plaque photographique puisse résoudre toutes les fréquences spatiales qui forment l’hologramme, il faut au moins que : kc ≥ k Hol (2.21) Malgré le fait que seules les fréquences de la bande passante de l’objet inférieures à 1 Bmax pourront être convenablement enregistrées sur l’hologramme au sens de 4 (2.17) et restituées sans générer d’ondes évanescentes, il est important que le support d’enregistrement de l’hologramme puisse quand même résoudre les franges de l’hologramme qui correspondent aux plus hautes fréquences de l’objet. Car, dans le cas contraire, l’énergie associée aux franges non résolues, qui correspond aux 1 fréquences de l’objet plus grandes que Bmax , va créer des alias, c’est-à-dire se 4 reporter sur les fréquences de l’objet qui correspondent aux franges résolues de l’hologramme. 2-14
  7. 7. Chapitre 2 On peut donc dire que, pour l’holographie hors axe, il est nécessaire et suffisant que le support qui sert à enregistrer l’hologramme ait la capacité de résoudre une bande passante de 2 ⋅ Bmax . Pour l'holographie dans l'axe, la condition kc = Bmax permet par contre d'enregistrer l'intégralité de la bande passante de n'importe quel objet et de la restituer nominalement. Application numérique : Pour λ = 633 nm , 2Bmax correspond à une résolution de 3165 lignes par mm. Une telle résolution est proche des meilleures émulsions photographiques disponibles sur le marché. Cette exigence de haute résolution de la plaque photographique a été pendant longtemps un des facteurs limitant de l’holographie. 2.2 Holographie numérique L’idée de reconstruire un hologramme numériquement a été proposée pour la première fois, en 1967 par J. W. Goodmann et R. W. Laurence [6]. Toutefois, à l'époque de cette proposition, le manque de puissance de calcul des ordinateurs et le manque de support adéquat pour l'enregistrement numérique des hologrammes ne permirent pas le développement de cette technique. Aujourd'hui, avec les progrès technologiques, les hologrammes peuvent être enregistrés par une caméra standard et leur reconstruction effectuée aisément par un ordinateur personnel. Il existe plusieurs méthodes numériques pour la reconstruction des hologrammes, selon leur configuration d’enregistrement [7]. Ces différentes techniques de reconstruction concernent essentiellement l'imagerie à contraste d'amplitude pour laquelle seule l'intensité du champ objet est reconstruite. Dans cette thèse, je vais utiliser une méthode de reconstruction numérique qui permet, à partir d'un seul hologramme enregistré dans une configuration hors axe, de calculer tout le front d’onde objet, c’est-à-dire non seulement la distribution de son amplitude mais aussi de sa phase. Cette technique, unique à l'heure actuelle a été développée par le Dr. Etienne Cuche [7, 8]. Comme on le verra, le calcul de la distribution de phase de l'onde objet permet 2-15
  8. 8. Notions d’holographie classique et numérique d'obtenir des images contenant des informations quantitatives sur les propriétés diélectriques et sur la morphologie tridimensionnelle des objets observés. 2.2.1 Enregistrement hors axe de l'hologramme par une caméra La matrice de détection d'une caméra peut être vue comme une grille carrée composée de N × N détecteurs carrés, appelés pixels, placés les uns à côté des autres. La dimension a de ces pixels varie, selon les modèles, de 3 à quelques dizaines de microns. L'espace entre les pixels est généralement petit par rapport à a (fill factor) et l'on peut considérer que la matrice échantillonne l'hologramme avec une périodicité de pas a . Cet échantillonnage définit la bande de fréquences spatiales de détection. Sa largeur est donnée par la fréquence de Nyquist kn définie par : 2π k n = kc = (2.22) 2a Par conséquent, si l’hologramme comporte des fréquences spatiales hors de la bande définie par la fréquence de Nyquist, l‘échantillonnage ramènera partiellement l'énergie rayonnée sur ces composantes dans la bande k < kn . Ce repliement de spectre se traduit par des alias qui ne correspondent pas à un signal physique. Dans tous les cas, l'information transportée par les fréquences spatiales en dehors de la bande limitée par Nyquist est perdue et vient corrompre l'information transportée à l'intérieur de la bande limitée par Nyquist. Compte tenu des résultats du paragraphe précédent sur les conditions d'enregistrement et de restitution des fréquences spatiales en holographie hors axe, l'objet observé devrait avoir, idéalement, une bande B telle que: kn π B≤ = (2.23) 4 4a 2-16
  9. 9. Chapitre 2 Aujourd’hui, les plus petites tailles de pixels disponibles pour des CCD sont d’environ 3 µ m . Ceci veut dire que l'holographie digitale hors axe, sur caméra CCD et sans optique additionnelle, permet d'enregistrer et de restituer des objets ayant des bandes passantes B ≤ 261.8 mm −1 Pour une longueur d’onde λ = 633 nm , cette bande passante ne représente que ~2.63% de Bmax = 9941.7 mm -1 . Cette discussion de la résolution fréquentielle en holographie hors axe sera reprise dans le contexte de la microscopie holographique qui, comme on le verra permet de reconstruire correctement des objets ayant des fréquences spatiales maximales plus élevées que 2.63% de Bmax . 2.2.2 Reconstruction numérique des hologrammes Le but de la reconstruction numérique est de pouvoir recalculer le front d’onde objet à partir de l’hologramme enregistré par la caméra. Cette procédure de calcul remplace donc l’illumination de l’hologramme par une onde A , c’est-à-dire la diffraction de l’onde A par l’hologramme, et sa propagation. Mathématiquement, le calculs de la diffraction de l’onde A dans le plan de l’hologramme revient à multiplier l’hologramme enregistré sous forme d’un tableau de nombres réels par une réplique numérique de l’onde de reconstruction A , représentée par un tableau de nombres complexes. Si le critère de séparation fréquentielle des ordres de diffraction (2.17) est satisfait, les différents ordres de diffraction seront séparés spatialement l'un de l'autre, à une certaine distance d de l'hologramme. S'il l'on est capable de calculer la propagation de cette onde diffractée à cette distance d , alors on pourra reconstruire le front d’onde objet. Comme il est montré dans la thèse du Dr Etienne Cuche [7], cette propagation du front d’onde diffracté par l’hologramme peut se calculer de manière simple et efficace par la théorie scalaire de la diffraction dans l’approximation de Fresnel. L’approximation de Fresnel permet de calculer la propagation de cette onde diffractée dans une large gamme de distances d , ce qui permet une grande souplesse dans le choix de la configuration expérimentale, comme on le verra dans le chapitre 4 concernant la Microscopie holographique. La satisfaction du critère (2.17) permet, en théorie, de filtrer sélectivement l'hologramme et de ne garder que les fréquences spatiales de l'onde objet. La 2-17
  10. 10. Notions d’holographie classique et numérique reconstruction du front d’onde objet pourrait se faire alors à n’importe quelle distance d de l'hologramme. L'hologramme I H ( x, y ) est d'abord enregistré par une caméra; puis digitalisé et sauvé sous la forme d'une matrice carrée de N×N nombres réels I H (m, n) par un programme informatique. On a donc N m= xy 2 I H (m, n) = I H ( x, y )rect[ , ] ∑ δ ( x − m∆x, y − n∆y ) , (2.24) L L m =− N 2 où L est la taille du détecteur de la caméra CCD, δ est une fonction de Dirac, xy rect[ , ] est une fonction égale à l'unité à l'intérieur de la surface du détecteur ( L2 ) LL et égale à zéro à l’extérieur, ∆x et ∆y sont les intervalles d’échantillonnage dans le plan de l’hologramme, c'est-à-dire la taille des pixels (carrés d'arrête a ). Ces grandeurs sont reliées par la relation: L ∆x = ∆y = a = . (2.25) N L’onde de reconstruction digitale est donnée par l'expression suivante: AD (m, n) = A0 exp {i (k cos α m∆x + k cos β n∆y )} , (2.26)  N N avec m, n ∈  − ,  et α et β les angles entre la direction de propagation de A et  2 2 ˆ ˆ les directions ex et e y respectivement. L’expression numérique du front d'onde diffracté dans le plan de l'hologramme ( z = 0) est donc: ψ (m, n) = AD (m, n)i I H (m, n) (2.27) 2-18
  11. 11. Chapitre 2 où la multiplication i correspond à une multiplication terme à terme et non pas à une multiplication matricielle. 2.2.2.1 Propagation du champ diffracté dans l’approximation de Fresnel Fig.2.6 Géométrie de la reconstruction de l’hologramme. Oxy , plan de l’hologramme; Oξη = plan d’observation; d = distance de reconstruction; ψ (ξ ,η , z = d ) = onde propagée dans le plan d’observation. Le calcul du front d’onde diffracté dans le plan d'observation ψ(ξ ,η , z = d ) peut se faire à partir du front d'onde diffracté dans le plan de l'hologramme ψ ( x, y, z = 0) en utilisant la formule de diffraction de « Fresnel-Kirchhoff »[9] : eikr 1 iλ ∫∫ ψ(ξ ,η ) = ψ ( x, y, 0) ˆ (2.28) cos(ez , r )dxdy r S avec r = r ( x, y, ξ ,η ) et ψ( x, y, z = 0) = I H ( x, y ) ⋅ A( x, y, z = 0) 2-19
  12. 12. Notions d’holographie classique et numérique L'approximation de Fresnel est satisfaite lorsque la distance d entre l'hologramme et le plan d'observation est bien plus grande que la plus grande dimension linéaire de l'hologramme et que la plus grande dimension linéaire de la région à laquelle on s'intéresse dans le plan d'observation. Si ces critères sont satisfaits, l'équation (2.28), peut s'écrire : ψ(ξ ,η ) =  (2.29) k  k 2 k  (ξ 2 + η 2 ))  ∫∫ ψ ( x, y, z = 0) exp i ( x + y 2 )  exp i ( xξ + yη )  dxdy B exp i  2d  2d d S   exp(ikd ) avec B = iλ d L’intégrale de l'équation (2.29) est en fait la transformée de Fourier, dans les ξ η fréquences spatiales et , de la fonction λd λd  iπ  A0 exp(i (k cos α x + k cos β y))I H ( x, y ) exp  ( x 2 + y 2 )  . (2.30)  λd  Par ce qui précède, l'expression digitale du front d'onde reconstruit à une distance d de l'hologramme s'obtient de manière directe sous forme d’une matrice de N×N nombres complexes : ψ (m∆ξ , n∆η ) =    ik  k B exp  (m 2 ∆ξ 2 + n 2 ∆η 2 )  FFT ψ (m′∆x, n′∆y, z = 0)iexp i (m′2 ∆x 2 + n′2 ∆y 2 )   2d  2d   m,n  (2.31) où FFT représente la transformée de Fourier rapide discrète bidimensionnelle. Les intervalles d'échantillonnage (∆ξ , ∆η ) dans le plan d'observation peuvent être directement déduits de la relation qui lie l'intervalle d'échantillonnage dans l'espace direct à l'intervalle d'échantillonnage dans l'espace de Fourier (Oν ) , lors d'une transformation de Fourier discrète standard : 2-20
  13. 13. Chapitre 2 1 1 1 ∆ν x , ∆ν y = = = . (2.32) N ∆x N ∆y Na Comme, dans notre cas, la transformation de Fourier est calculée pour les ξ η fréquences spatiales et , la relation (2.32) devient: λd λd λd λd ∆ξ = ∆η = = . (2.33) Na L Cette dernière relation montre que la taille du champ reconstruit dans le plan d'observation, qui est toujours représentée par une matrice N×N termes complexes, croît linéairement avec la distance de reconstruction d . 2.2.2.2 Calcul de l’intensité et de la phase de l’onde objet La distribution 2D de l'intensité de l'onde reconstruite I (m, n) dans le plan d'observation peut être obtenue directement à partir de cette matrice de nombres complexes en calculant I (m, n) = [Re(ψ (m, n))]2 + [Im(ψ (m, n))]2 , (2.34) où Re(ψ (m, n)) et Im(ψ (m, n)) sont respectivement la partie réelle et la partie imaginaire du front d'onde reconstruit. La distribution 2D de la phase dans le plan d'observation φ (m, n) peut être, quant à elle, obtenue en calculant l'argument du front d'onde reconstruit:  Im[ψ (m, n)]  φ (m, n) = arctan  . (2.35)  Re[ψ (m, n)]  2-21
  14. 14. Notions d’holographie classique et numérique Comme on le verra dans le chapitre concernant la microscopie, le calcul de l'intensité de l'onde reconstruite conduit à une image à contraste d’intensité et le calcul de la phase conduit à une image à « contraste de phase quantitative ». 2.2.2.3 Ajustement numérique de la direction de l'onde de reconstruction La propagation de Fresnel permet de calculer le champ diffracté par l’hologramme dans des plans parallèles au plan de l’hologramme. Regardons les Fig.2.1 et Fig.2.2, exemple où l’onde de référence, donnée par (2.4), se propage suivant la direction S R ,qui se trouve dans le plan (ex , ez ) et fait un angle θ avec Oz . On constate, ˆˆ géométriquement, que dans cette configuration les images correspondant aux ordres -1 et +1 de diffraction seront correctement reconstruites dans des plans formant des angles égaux à ±θ par rapport au plan de l’hologramme. Pour avoir une image correctement reconstruite par la transformée de Fresnel (2.29) on devra donc s’arranger pour ramener l'image reconstruite, à laquelle on s'intéresse, dans un plan parallèle à celui de l’hologramme. Ces angles ±θ proviennent en fait des translations ( ± k sin θ ) des spectres G3 (k x , k y ) et G4 (k x , k y ) (Fig.2.3), translations provoquées par l’angleθ que fait l’onde de référence R avec Oz lors du processus d'enregistrement. Or, d’après les équations (2.5) à (2.10) si l’onde de reconstruction A fait un angle α avec l’axe Oz ,( A( z , x) = A0 exp(i (k cos α z + k sin α x)) lors de la reconstruction, cet angle α − k sin α provoquera une translation d’amplitude de tout le spectre de l’hologramme ( G (k x , k y ) ) suivant la direction k x . On voit donc que, si α = θ , cette translation suivant k x aura pour effet de ramener G3 (k x , k y ) (Fig.2.3) autour de k = 0 . L’image virtuelle pourra alors être correctement reconstruite dans un plan parallèle à celui de l’hologramme. D’une manière plus géométrique, l’angle α que fait l’onde A avec Oz va simplement faire tourner d’un angle −α les différents ordres de diffraction. Tout le jeu va donc consister à ajuster numériquement la direction de propagation de l’onde digitale de reconstruction A , de façon à pouvoir reconstruire correctement 2-22
  15. 15. Chapitre 2 l’image qui nous intéresse dans un plan parallèle à celui de l’hologramme. Si l’on s’intéresse à la reconstruction de l’image virtuelle, il suffira que la direction de propagation de l’onde de reconstruction soit la même que celle de l’onde de référence. Par contre, pour l’image réelle, il faut que la direction de A soit symétrique, par rapport à l‘axe Oz à celle de R . Un mauvais ajustement de (α , β ) (2.26) se traduira par ce que l’on appelle une aberration de tilt sur le front d’onde reconstruit des images. L’élimination de cette aberration de tilt sera donc le critère pour ajuster numériquement les angles (α , β ) [7] Les détails de l’algorithme qui expliquent comment l'onde de reconstruction digitale A se calcule pour qu'elle corresponde bien à l'onde de référence expérimentale ou à sa conjuguée complexe, selon que l’on s’intéresse à la reconstruction respectivement de l'image virtuelle ou de l'image réelle, sont décrits dans la thèse du Dr Etienne Cuche[7]. Un point important à souligner ici et que l'onde de référence expérimentale est simplement ajustée de manière à ce que les différents ordres de diffraction soient séparés à la distance de reconstruction d choisie. En aucun cas, il n’est nécessaire de connaître l'inclinaison de l'onde de référence expérimentale. C'est, en fait, par un algorithme purement digital que l'onde A , servant à la reconstruction de l'hologramme, sera ajustée. Cette compensation digitale donne donc une très grande fiabilité à la méthode, car toute dérive angulaire expérimentale entre l'onde objet et l'onde de référence pourra être compensée numériquement a posteriori lors du processus de reconstruction. 2.3. Conclusion L’analyse fréquentielle des hologrammes et la description de la propagation des ondes électromagnétiques dans le vide à l’aide du spectre angulaire (appendice A) ont permis de montrer que la problématique de la restitution d’un front d’onde par la création d’un hologramme comprend deux étapes limitatives. La première est liée à la capacité d’échantillonnage spatial du support d’enregistrement des hologrammes, et la seconde découle du mode d’enregistrement hors axe qui, translatant les 2-23
  16. 16. Notions d’holographie classique et numérique spectres de diffraction d’ordre + 1 et –1, contribue à la génération d’un champ évanescent lors du processus de reconstruction. L’autre résultat important à commenter est celui du faible pourcentage (2.65%, pour λ=632 nm) du spectre de la lumière diffractée par un objet qu’un support dynamique ( par ex. une caméra CCD) a actuellement la capacité d’enregistrer correctement en holographie hors axe. Bien que ce résultat semble, à première vue, limiter sérieusement l’holographie digitale hors axe, nous verrons, au chapitre suivant, comment en microscopie holographique digitale hors axe, on peut considérablement l’améliorer. Il est important de mentionner que ces conclusions restent quelques peu académiques dans la mesure où il n’a pas été tenu compte des effets de la non- linéarité du film servant à l’enregistrement des hologrammes. 2.4 Références 1. Gabor, D., A new microscopic principle. nature, 1948. 4098. 2. Gabor, D., Microscopy by reconstructed wave fronts. The proceedings of the physical society, 1951. 64(378 B). 3. Leith, E.N. and J. Upatnieks, Reconstructed wavefronts and Communication Theory. J. Opt. Soc. Am., 1962(52): p. 1123. 4. Leith, E.N. and J. Upatnieks, Wavefront Reconstruction with Diffused Illumination and Three Dimensionnal Objects. J. Opt. Soc. Am., 1964(54): p. 1295. 5. Goodmann, J.W., Introduction to Fourier Optics, ed. McGraw-Hill. 1968, San Francisco, CA. 6. Goodmann, J.W. and R.W. Lawrence, Digital image ormation from electronically detected holograms. Appl. Phys. Lett., 1967(11): p. 77-79. 7. Cuche, E., Numerical reconstruction of digital holograms: application to phase- contrast imaging and microscopy. 2000, Swiss Federal Institute of technology: Lausanne. 8. Cuche, E., F. Bevilacqua, and C. Depeursinge, Digital holography for quantitative phase-contrast imaging. Optics Letters, 1999. 24(5): p. 291-293. 9. Born, M. and E. Wolf, Principles of optics, ed. C.U. Press. 1999. 2-24

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