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La conductivité hydraulique sera dans ce cas un tenseur euclidien d...
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En général, en trois dimensions et dans les axes principaux (Ox, Oy, Oz) la loi de Darcy
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Chapitre 2 equations_du_mouvement_d_un_fluide_homogene

  1. 1. Source : www.almohandiss.com 1 EQUATIONS DU MOUVEMENT POUR UN FLUIDE HOMOGENE I. LOI EXPERIMENTALE DE DARCY Les figures 1 et 2 schématisent le principe de cette expérience. En faisant varier la charge (h1 – h2), Darcy a pu établir une relation (loi de Darcy), permettant de déterminer le débit transitant par la matrice poreuse homogène: L hh AKQ 21 ..   (1) où K est un coefficient de proportionnalité. h désigne en réalité la charge totale qui se réduit ici à la somme de la hauteur de pression et de la position par rapport à un plan de référence horizontal. La même expérience conduite sur une matrice poreuse homogène inclinée (figure 2) montre la validité de la relation plus générale suivante : L AKQ 21 ..    (2) qui détermine le débit transitant par la colonne. Dans l’expression (2) :   i ii p z  (3) Le débit spécifique correspondant est : L Kq 21 .    (4) Il est à noter que le débit spécifique ainsi calculé est apparent dans le sens qu’il considère la section brute de l’échantillon et non la section effective se réduisant à l’espace vide offert à l’écoulement interstitiel. Source: www.almohandiss.com
  2. 2. Source : www.almohandiss.com 2 Figure 1. Figure 2. A L h2 h1 Q L  1p  2p1 2 z1 z2 21   Q Source: www.almohandiss.com
  3. 3. Source : www.almohandiss.com 3 Les termes constituant l’équation (4) se rangent comme suit:  -  est une perte d’énergie causée par les frottements dans les espaces intergranulaires; c’est la charge hydraulique ou la charge motrice. - J = (1 – 2)/L est le gradient moteur ou gradient hydraulique. - K est la conductivité hydraulique ou perméabilité. Admettant pour le moment la constance du paramètre K, la relation (4) peut s’écrire sur un parcours infinitésimal suivant la direction x supposée de l’écoulement en considérant le gradient hydralique au point considéré: dx d KKJq   II. LOI DE DARCY GENERALISEE II.1. Milieu isotrope La loi de Darcy peut en réalité être étendue à un écoulement étudié en trois dimensions en commençant par l’exprimer sur une direction  donnée ; le débit spécifique suivant cette direction sera :  JKq . Le milieu isotrope offre la même résistance à l’écoulement dans toutes les directions ; ceci permet d’écrire la loi de Darcy sous la forme : ii JKq . (5) où qi et Ji sont les composantes du débit spécifique et du gradient hydraulique. Nous pouvons écrire, dans un repère orthonormé d’axes Ox1, Ox2 et Ox3, la relation de Darcy généralisée sous la forme vectorielle suivante : JKq  . i i x Kq     . (6) où la conductivité hydraulique apparaît comme un scalaire. Source: www.almohandiss.com
  4. 4. Source : www.almohandiss.com 4 II.2. Milieu anisotrope La conductivité hydraulique sera dans ce cas un tenseur euclidien de composantes Kij ; nous parlerons de tenseur de conductivité hydraulique ; il s’exprime explicitement dans l’espace rapporté au système Oxi ; i = 1, 2, 3 :            333231 232221 131211 KKK KKK KKK K (7) Le débit spécifique s’exprimera alors par :  .Kq  (8) ou explicitement par : j iji x Kq     . (9) III. MASSIFS POREUX STRATIFIES SIMPLES Les massifs poreux constituant les aquifères sont généralement non homogènes et rarement isotropes. Quand un massif est constitué de couches (ou strates), il est cependant possibles dans certains cas, particuliers mais assez fréquents dans la nature, de l’approcher par un ensemble de strates poreuses homogènes et, selon la nature des calculs, de le remplacer par un seul massif homogène équivalent ; ci-après deux exemples de massifs stratifiés où l’écoulement est supposé horizontal. Ceci suppose que l’aquifère est emprisonné entre deux couches imperméables, le plafond et l’assise étant horizontaux. III.1 Ecoulement parallèle aux strates. Il s’agit de l’écoulement de Darcy dans un massif stratifié où les strates sont horizontales et reposant sur un font imperméable horizontal (Figure 3.) Source: www.almohandiss.com
  5. 5. Source : www.almohandiss.com 5 Figure 3. Les couches de terrain composant le massif sont supposées homogènes et isotropes ; sur une unité de largeur, le débit total Q écoulé par le massif peut être calculé comme la somme des débits Qi écoulés par les différentes couches constituant le massif. Nous avons les relations suivantes :                  L bKQ bb QQ iii N i i N i i  .. 1 1 (10) où le gradient J = /L est maintenu constant. Q K1 K2 2 K3 Q3 Q2 Q1 b    Source: www.almohandiss.com
  6. 6. Source : www.almohandiss.com 6 Le débit total Q peut s’exprimer comme : L bKQQ N i ii N i i     11 Soit :    N i iT L Q 1  (11) Ti est la transmissivité de la couche i, et on parlera ultérieurement de ce paramètre. iii bKT  (12) La conductivité hydraulique (ou la transmissivité) équivalente permet de remplacer le massif stratifié réel par un massif homogène filtrant le même débit Q sous le même gradient hydraulique, et ayant la même épaisseur, soit : L T L bKQ ee      Ceci permet décrire :      N i i N i ii e b bK K 1 1 et   N i i e TT 1 (13) Dans le cas où la conductivité hydraulique réelle du massif se présente comme une fonction de la position z, K = K(z), un calcul similaire est présenté ci-après : Débit élémentaire sur une épaisseur dz de massif : dz L zKdQ     )( . Débit total filtré par une unité de largeur de massif :    b dzzK L Q 0 )(  Source: www.almohandiss.com
  7. 7. Source : www.almohandiss.com 7 Conductivité et transmissivité équivalentes :  b e dzzK b K 0 )( 1 ;  b ee dzzKbKT 0 )( (14) III.1 Ecoulement perpendiculaire aux strates. Il s’agit de l’écoulement de Darcy dans un massif stratifié où les strates sont verticales et reposant sur une assise imperméable horizontale (Figure 4.) Figure 4. Les couches de terrain composant le massif sont supposées là aussi homogènes et isotropes. Q K1 K2 2 K3b      Source: www.almohandiss.com
  8. 8. Source : www.almohandiss.com 8 En écrivant que la chute totale de la hauteur piézométrique entre la section d’entrée et la section de sortie du massif est la somme des chutes partielles dans les différentes couches le composant, il vient :   N i i 1  L’épaisseur totale du massif est :   N i iLL 1 Le débit commun à toutes les couches est : i i i L bKQ   La différence de charges entre l’entrée et la sortie d’une couche i est : b Q K L i i i  La différence de charge totale est calculée comme la somme sur les couches traversées par le débit Q :    N i i i N i i K L b Q 11  La conductivité équivalente Ke est la suivante :   N i i i e K L K L 1 (15) IV. ANALYSE DE LA LOI DE DARCY IV.1 Porosités absolue et effective La porosité n dont il est question est celle qui correspond au fluide interstitiel libre au mouvement. Source: www.almohandiss.com
  9. 9. Source : www.almohandiss.com 9 Si n0 est le rapport des vides au volume total apparent et si n’ est le rapport du volume du fluide de rétention (fluide non égouttable par gravité) au volume total apparent, alors la porosité n en question ici est : '0 nnn  (16) Le paramètre n est appelé coefficient d’emmagasinement ou porosité efficace ou encore porosité effective. Quand il n’y a pas de confusion on parlera de porosité tout court. Citons à titre indicatif la formule de C.E. Jacob pour les nappes donnant n pour les nappes captives :        0 0 ... n Hnn   (17) n0 porosité totale ou absolue poids volumique de l’eau H épaisseur de la nappe  compressibilité verticale du terrain  compressibilité volumique de l’eau Le rangement et l’enchevêtrement des grains constituant le squelette solide influencent beaucoup la porosité. En réalité, les grains sont de dimensions diverses et réparties de manière aléatoire, ce qui rend n dépendant fortement de la granulométrie en ce sens que les mêmes grains peuvent générer des porosités différentes pour des rangements différents. Pour les sables et graviers, n varie de 0.4 à 0.3 ; n peut même descendre jusqu’à 0.25 pour les graviers sableux très compacts et peut monter jusqu’à 0.5 pour des sols très meubles à granulométrie très fine. Les dimensions des vides intergranulaires auront, dans le même ordre d’idées, un effet déterminant sur les caractères de l’écoulement interstitiel. Ces dimensions dépendent de celles des grains, ceci implique que les grains fins réduisent la perméabilité plus par l’effet des dimensions que par la réduction de la porosité. En effet, dans la réalité, à porosité égale, un milieu formé de grains fins est moins perméable qu’un milieu formé de gros grains. En conclusion, les facteurs à considérer au sujet de la porosité sont principalement : - la dimension des grains (diamètre représentatif) - la courbe granulométrique - l’enchevêtrement - la compacité Source: www.almohandiss.com
  10. 10. Source : www.almohandiss.com 10 IV.2 Perméabilité intrinsèque IV.2.1 Généralités sur les modèles Plusieurs modèles ont simulé l’écoulement dans un milieu poreux dans le but d’en déterminer la forme mathématique et d’en dégager l’influence des paramètres qui le gouvernent. Parmi ces modèles, il y en a qui simulent directement l’écoulement interstitiel en étudiant l’écoulement laminaire à travers une matrice poreuse de géométrie interne simple à déterminer tel que le modèle capillaire, d’autre sont de nature stochastique en liaison avec la nature de la géométrie réelle interne de la matrice solide et d’autre semi empiriques dont un plus simple est présenté ci-après. IV.2.2 Modèle capillaire La matrice solide témoin est remplacée par un parallélépipède formé par des tubes de Poiseuille distribués selon une densité déterminée et dont les axes parallèles sont orientés suivant la direction moyenne de l’écoulement interstitiel réel (figure 5.) Chaque tube est supposé donc écouler, en régime laminaire, un débit propre qui peut être calculé à partir d’une relation linéaire entre la vitesse moyenne et la perte de charge. Figure 5. Supposant un gradient hydraulique constant d/ds, le débit spécifique à travers la section apparente du parallélépipède peut s’exprimer par : ds dgd N ba Q q    . .128 ... . 4  (18) où N est le nombre de tubes contenus dans la section considérée. dsQ D a b Source: www.almohandiss.com
  11. 11. Source : www.almohandiss.com 11 Introduisons la porosité absolue de la matrice solide qui se calcule comme :        4 2 d Nn  dans l’expression du débit spécifique :         32 2 nd k ds dg kq    (19) La formule précédente est analogue à celle de Darcy. La conductivité hydraulique apparaît comme le produit de deux paramètres : - k, qui ne dépend que de la matrice solide -  g , qui ne dépend que du fluide Le modèle capillaire ci-dessus peut être amélioré dans le sens d’une meilleure approche de l’écoulement interstitiel réel en considérant cette fois-ci des diamètres non uniformément répartis sur la section ab. Si Ni est le nombre de tubes de diamètre di et si m est le nombre de diamètres présents dans la matrice, alors le débit spécifique s’exprime par : ds dgd Nq i m i i    128 4 1   (18’) En séparant les termes relatifs à chaque constituant matrice solide et fluide, on peut exprimer le débit spécifique sous la forme analogue à celle du modèle à diamètre uniforme :  128 ; 4 i i d Nk ds dg kq    (19’) Le modèle capillaire est exposé ici dans sa forme la plus simple vu qu’on a pas tenu compte du caractère microscopique tridimensionnel de l’écoulement d’infiltration ; quoiqu’il en soit, on dispose maintenant d’une forme générale de la loi exprimant la conductivité hydraulique du milieu poreux dans le cas où l’écoulement y est laminaire. Source: www.almohandiss.com
  12. 12. Source : www.almohandiss.com 12 IV.2.3 Modèle adimensionnel La théorie de l’analyse dimensionnelle permet de déterminer la forme de la dépendance de la conductivité hydraulique K. En collectant tous les paramètres pouvant influencer cette grandeur (sauf la température et le gradient hydraulique), on peut écrire : K = F(, , d, n) (20) n étant un paramètre sans dimensions, les grandeurs ,  et d étant indépendantes en dimensions, on peut chercher K sous la forme : 321 ).( xxx dnfK  (21) où f est une fonction quelconque mais sans dimension de la porosité. Les dimensions suivantes :         010111 221110 .... .... TLMdTLM TLMTLMK       Impliquent, après résolution que la conductivité hydraulique doit prendre la forme suivante :  2 ).( dnfK  (22) IV.2.4 Perméabilité intrinsèque La forme généralement admise pour la conductivité hydraulique K est en effet :   kK  (23) k est la perméabilité intrinsèque. k ne dépend que de la matrice solide véhiculant le fluide interstitiel et elle possède la dimension d’une surface. Source: www.almohandiss.com
  13. 13. Source : www.almohandiss.com 13 A titre d’indication, pour l’eau à 20 °C, nous avons approximativement la correspondance suivante : K = 1 cm/s ; k = 1.02x10-5 cm2 (24) IV.3 Quelques formules pour K La formule générale de K fait intervenir une dépendance fonctionnelle de la porosité n, qui peut être représentée par f(n). La fonction f est généralement déterminée par l’expérience, ce qui conduit à une formulation semi empirique pour la conductivité hydraulique. La fonction f dépend en outre de la granulométrie du sol en question et des dimensions caractéristiques usuelles des grains ainsi que de l’enchevêtrement. Dans la pratique, les essais in-situ sont souvent incontournables pour une estimation réelle de la conductivité hydraulique d’un sol donné, ceci sera abordé dans un chapitre ultérieur. Des formules empiriques existent cependant pour une approche de ce paramètre et elles sont nombreuses ; pour les utiliser, il faut tout de même être attentif à leur domaine de validité et éventuellement aux conditions dans lesquelles elles étaient établies. Formule de Hazen L’auteur remplace le sol réel par un sol fictif de granulométrie uniforme dont la conductivité K serait la même. Il définit K en fonction du diamètre du grain de ce sable qu’il prend égal au diamètre effectif d10 du sol en question. Il a enfin mené ses expériences sur l’eau à la température de 10°C et une porosité n = 0.45. Ses essais aboutissent à la formule suivante : 2 10.dAK  (25) où K est en cm/s et d10 en cm. Le coefficient A varie de 45.8 pour les sables très argileux à 142 pour les sables non argileux ; on peut prendre pour une approximation la valeur moyenne de 100. La formule de Hazen est valable pour 0.1 mm < d10 < 3 mm et d60/d10 < 5. Formule de Casagrande La formule précédente ne fait pas figurer explicitement la porosité. Casagrande propose à cet effet pour un sable sa formule suivante : 2 85.04.1 nKKn  (26) Source: www.almohandiss.com
  14. 14. Source : www.almohandiss.com 14 Dans cette formule : - Kn est la conductivité hydraulique pour un sable de porosité n - K0.85 est la conductivité hydraulique pour un sable de porosité 0.85. IV.4 Dépendance de la température Pour un fluide interstitiel donné dans une matrice solide spécifiée, la conductivité dépendra de la température puisqu’elle contient dans sa formule générale les paramètres rhéologiques du fluide. Pour l’eau qui nous concerne en tant qu’ingénieurs civils, si les fluctuations de la température sont assez faibles, leurs effets sur la conductivité hydraulique peuvent parfois être source d’erreur en les négligeant. Si on désigne par K0 et 0 respectivement la conductivité et la viscosité cinématique du fluide à la température de 0°C, K et  seront telles que : 00 KK  et la conductivité à la température  sera :    0 0KK  (27) Pour avoir un ordre de grandeur de l’influence de la température sur K, pour l’eau :  = 0.018 Stoke et 3 = 0.008 Stoke ; 030 25.2 KK  IV.5 Validité de la loi de Darcy Il est observé qu’au fur et à mesure que le débit spécifique augmente à travers l’échantillon de l’expérience de Darcy, la loi de Darcy cesse de décrire l’écoulement d’infiltration (disparition de la proportionnalité entre q et J.) Ceci est prévisible puisque la vitesse effective dans les canaux élémentaires constitués par les interstices du milieu poreux en question devient très grande au point que l’écoulement y devient turbulent. Il existe en effet une valeur limite d’un nombre de Reynolds (analogue au nombre de Reynolds pour les conduites en charge) au-delà de laquelle la loi de Darcy cesse de décrire l’écoulement ; ce nombre est généralement défini sous sa forme usuelle : Source: www.almohandiss.com
  15. 15. Source : www.almohandiss.com 15  qd Re  (28) d étant une longueur caractérisant la matrice poreuse, c’est une grandeur qui doit renseigner sur l’espace offert par la matrice à l’écoulement interstitiel du fluide considéré. Citons à titre indicatif les expressions suivantes pour d : - d = d10 - d = d50 - n k d  k est la perméabilité intrinsèque, n est la porosité, les indices sont ceux usuellement utilisés en géotechnique. Figure 6. Dans la pratique, on situe la valeur limite du nombre de Reynolds entre 1. et 10. A grands nombres de Reynolds, plusieurs formules sont proposées dont on cite deux pour mémoire : 2 ..;. qqJqJ m   (29) Pour plus de détails le lecteur est invité à consulter la littérature spécialisée ; en ce qui concerne cependant la première loi, l’exposant est situé entre les valeurs 1 et 2. Ehrenberger a à ce sujet mené des essais à travers lesquel il s’est avéré que la loi de Darcy est applicable pour des débits spécifiques q inférieurs à 0.4 cm/s. Les résultats de ces expériences sont résumés sur le tableau de la figure 7. q J Loi de Darcy Recr Source: www.almohandiss.com
  16. 16. Source : www.almohandiss.com 16 IV.6 Quelques valeurs indicatives (à saturation) Nature du sol Conductivité hydraulique K en m/s en m/j Argile de surface 10-7 à 10-6 0.01 à 0.1 Limon de surface 10-6 à 10-5 0.1 à 1 Sable fin 10-5 à 5.10-5 1 à 5 Sable moyen 5.10-5 à 2.5.10-4 5 à 20 Sable grossier 2.5.10-4 à 10-3 20 à 100 Gravier > 10-3 > 100 V. QUELQUES PROPRIETES DE LA CONDUCTIVITE HYDRAULIQUE V.1 Directions principales de K Les composantes du tenseur K jouissent des propriétés des tenseurs euclidiens dans un espace orthonormé. Il est intéressant de déterminer les directions propres de K et d’écrire les équations du mouvement dans le repère propre. Rappelons à ce propos que  et x  sont respectivement valeur propre et vecteur propre du tenseur de composantes ijK dans la base  ji ee  , si : ijij xxK ..  (30) En outre,  est déterminé comme racine du polynôme caractéristique :   0.det  ijijK  (31) Si on considère les deux groupes de composantes du tenseur K dans deux bases  ie  et  ' ie  sont liés par la transformation : ijqjpipq KK ..'  (32) où :  nmmn ee  ,cos '  (33) Source: www.almohandiss.com
  17. 17. Source : www.almohandiss.com 17 L’application de (32) au tenseur de second ordre en deux dimensions :       2221 1211 KK KK donne les relations entre groupes de composantes,  étant l’angle  1 ' 1 ,ee  et le tenseur étant symétrique :                                     .2cos..2sin. 2 .2sin..2cos. 22 .2sin..2cos. 22 12 2211' 12 12 22112211' 11 12 22112211' 11 K KK K K KKKK K K KKKK K (34) Les directions principales sont déterminées en annulant la composante non diagonale dans le système ci-dessus :   2211 12.2 .2tan KK K   (35) Les composante principales de K sont après ce calcul :                                              2 1 2 12 2 22112211' 22 2 1 2 12 2 22112211' 11 22 22 K KKKK K K KKKK K (36) Dans le système propre, le tenseur K s’écrit :         ' 22 ' 11 0 0 K K (37) Source: www.almohandiss.com
  18. 18. Source : www.almohandiss.com 18 En général, en trois dimensions et dans les axes principaux (Ox, Oy, Oz) la loi de Darcy s’écrit :         zzz yyy xx JKq JKq JKq . . .1 (38) V.2 Conductivités hydrauliques directionnelles La relation de Darcy sous sa forme générale (9) montre que le débit spécifique q  et le gradient hydraulique J  ne sont pas nécessairement colinéaires, et les lignes de courants ne sont pas forcément perpendiculaires aux surfaces d’égale charge (équipotentielles.) Soit en l’occurrence          zyx T zyx T JJJJ qqqq (39) L’angle  entre ces deux vecteurs est donné par : Jq Jq . . cos   (40) où : JJqq   et (41) Si maintenant Ox, Oy et Oz sont les axes principaux de la conductivité hydraulique, alors (41) s’écrit : Jq JKJKJK zzyyxx . ... cos 222   (42) La non colinéarité du débit spécifique et du gradient hydraulique a conduit à définir deux conductivités hydrauliques dites directionnelles : Source: www.almohandiss.com
  19. 19. Source : www.almohandiss.com 19 - Une conductivité hydraulique directionnelle dans la direction de l’écoulement ou du débit spécifique  qK - Une conductivité hydraulique directionnelle dans la direction du gradient hydraulique  JK Conductivité hydraulique directionnelle qK Kq est définie en un point comme le rapport du débit spécifique à la projection du gradient hydraulique sur la direction de q  . Selon la figure ci-dessous, on peut écrire successivement : cos.J q Kq     JJK q Jq q Kq  ... 22  222 222222 ... ... zzyyxx zzyyxx q JKJKJK JKJKJK K    Notons i l’angle  ieq  , où i désigne une des directions x, y ou z ; les composantes du débit spécifique peuvent s’exprimer comme suit :         zz yy xx qq qq qq    cos. cos. cos. Ceci donne la conductivité directionnelle : z z y y x x q KKKK  222 coscoscos1  Conductivité hydraulique directionnelle JK Supposons maintenant que l’on connaisse la direction du gradient hydrauliqueJ  . Source: www.almohandiss.com
  20. 20. Source : www.almohandiss.com 20 La conductivité hydraulique directionnelle dans la direction du gradient, JK , est définie comme le rapport de la projection du débit spécifique sur la direction du gradient, au gradient hydraulique : J q KJ cos.  Si i, est l’angle  ieJ  , , alors la conductivité JK sera donnée par : 2 222 ... J JKJKJK K zzyyxx J   y x  J  q  2 1 yK 2 1 xK qz qy qx  J  q  z y x cos.J Source: www.almohandiss.com
  21. 21. Source : www.almohandiss.com 21 Source: www.almohandiss.com

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