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LYCEE ZAHROUNI-TUNIS-
                                                          SCIENCES PHYSIQUES
                                                                  4ème MATH
                                                                      Cours
        Boussada .A                                                    2                    www.physiqueweb2.c4.fr

                                                               LE DIPÔLE RC
  I
                 Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension

                 1    Dipôle RC                                                                                    C
                                                                                                           R
 Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un
 résistor (conducteur ohmique).

                 2    Echelon de tension                                                                   u(V)
   U est une tension appliquée aux bornes du dipôle RC, à t=0 s on                                 E
 ferme le circuit. Si :
Pour t<0 ; u =0
Pour t  0 ; u = E.
 On dit alors qu’on applique un échelon de tension au dipôle RC.                                                           t(s)
                 3    Relation entre i(t) et uc(t)
                                               dq
            En courant variable :     i(t) =      .
                                               dt
            C
       +q        -q
   i                                                           dq                        d(Cuc )     du
                                                          i      avec q  C.uc donc i           C. c
                                                               dt                          dt         dt
            uC                                                                à retenir

                 4    Equation différentielle                                                                  K
(on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équation
différentielle).                                                                                       i               R   uR
   Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme
                                                                                                            uG
l’interrupteur K.                                                                              E                   i
d’après la loi des mailles :                                                                                           C
uR + uc + uG= 0 avec uR =Ri et uG= - E                                                                                     uC
                                  duc
Ri + uc - E = 0 or i  C.
                                   dt
       duc
RC          uc  E , on pose =RC
        dt
                                                          duc             duc uc E
                                                              uc  E ou      
                                                           dt              dt   
 5      Solution de l’équation différentielle
    a- Solution de l’équation différentielle :
 L’équation différentielle précédente a pour solution uC = A + Be-t.
Avec A ; B et  sont des constantes positives. Déterminons A ; B et  :

1ère étape : Le condensateur est initialement vide uC(0) = 0.
            A + Be0 =0  A + B =0 donc B= - A.            D’ou uC = A – Ae-t.
 ème
2     étape : lorsque t  + ∞ ; le condensateur est complètement chargé : uC (∞) = E.
                                             A – Ae-∞ = E or e-∞ =0.
                                          A – 0 = E d’où A=E et B= - E.
                                               Donc uC = E – Ee-t.
                                                 uC = E( 1 – e-t).

                                                                        /1
duc
3ème étape : Cette solution vérifie l’équation différentielle RC                                     uc  E
                                                                                                 dt
Donc : RCE(0 – (-)e-t) + E( 1 – e-t) = E
         RCEe-t + E -E e-t = E  RCEe-t -E e-t = 0  Ee-t( RC - 1 ) = 0.
Or Ee-t >0 d’où RC - 1 = 0  RC = 1   =  = .
                                                 RC 
                                                                              uC                                            = E(1- e-t/ ).
  6   Expression de uR(t) et de i(t)
                                                                               t                           t                         t
                                                                                                                               
Expression de uR(t) ;                  uR = E – uc = E - E(1  e  ) = E –E + E e                          
                                                                                                                d’où uR =E e         


Expression de i(t)
                                                                                                t
                                                                  u                         E 
                                                               i  R donc           i=        e
                                                                   R                        R
  7   Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t)
                                                   t                                    t                                    t
                                                                                                                       E 
                             uc  E(1  e  )                         uR =E e           
                                                                                                                    i=     e
                                                                                                                         R
                                                                          uR(V)                                     i(A)
                          uc
                                                                                                                E
                                   E                            E=URmax                                Imax 
                                                                                                                R




                                                   E                        t(s)                    t(s)

                                   0                            0                         0
                                                   X
                          t(s)          0         +     t(s)        0      +       t(s)      0     +
                                                   E                                          E
                         uc(V)          0          E    u (V)        E       0       i(A)             0
                                                   R R                                        R

     8 La constante de temps                      C
a- Définition :                                     I
 La constante de temps  est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapidité
avec laquelle s’effectue la charge ou laC           décharge d’un condensateur.
b- Unité de  :                                    E
                      uR                          V
                  R      donc R est en S
  R C  a v e c {     i                          A           d ' où  est en
                                                                                 V A.s
                                                                                   .     s
                                                                                            (seconde) donc  est un temps.
                   C
                       q                           D en
                         o r q  I.t d o n c C e s t
                                                         A.s                     A V
                      uc                                  V
c- Détermination de  :
                                                   E
                                                   S
 Par calcul : Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement (en s) ;  = RC .
                                                   Y
 Graphiquement : 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que  est
                                                   N
    l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la
    date t=0 avec l’asymptote (lorsque t+).
                                                   T
                                                   H                         u (V)               R

                                           TangenteE                    E=u             Rmax
                                   u (V
                                    )
                                       c
                                                   S               Tangente
                             E=Uc                  E
                             max                                                                     Asymptote
                   Point                           Asymptote
                                                       Ex                                                       t(s)
                   d’intersection                                                           0
                                                       er                                        
                                                       cic
                                                       e1                           Point
                                                        t(s)
                                                      E                            d’intersection
                                       0
                                                       X
                                                       E                       /2
o 2ème méthode (lecture graphique) :
 er
1 cas : à partir du graphe de uc(t)
Pour t=, quelle est la valeur de uc ?
                                
          uc()  E(1  e )  E(1  e 1)
                                
                                                         0, 63.E car e 1      0, 37
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est égale à 
                                                                      uc(V)

                                                                 4


                                                               2,52



                                                                                               t(s)
                                                                 0
2ème cas : à partir du graphe de uR(t)                                
                                                                                                          uR(V)
Pour t=, quelle est la valeur de uR ?
                                                                                                    4
          uR()  E.e   E.e 1               0, 37.E
Exemple :
On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point
d’ordonnée 1,48 V est égale à .                                                                1,48

      9     Durée de charge d’un condensateur                                                                     t(s)
                                                                                                      0 
 On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé                                                           lorsque
sa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée de charge t  5 = 5RC
 Le temps de charge augmente avec R et avec C.
 Pour t < 5, on a le régime transitoire.
 Pour t  5, on a le régime permanent.

Remarque :
 la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un
   phénomène transitoire.
 Charge d’un condensateur par une tension créneaux.
            K             Voie YA

             i                  R
 G.B.F                                    Voie YB
                       A
                        i       C                        uG
                                          uc
                        B


            T
Pour 5 <     , pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa valeur finale donc on observe les
            2
courbes suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) :
      u(V)
 Um


                                     uc
                 uG
                                                                  t(s)
                        T
            5          2
                            T
                                                                                        T
                                                                            Pour 5 >     , pendant une demi-période la tension uc
                                                                                        2
ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes :
                                                                          /3
u(V)
                                                                                        uG



                                                                     uc

                                                                                                               t(s)
                               0                              T                  5
                                                              2

                                                              T



  II
            La décharge d’un condensateur
    1- Equation différentielle :
(on doit garder la même orientation du circuit).                                                                                               K
 Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K.
d’après la loi des mailles :                                                                                                                                uR
uR + uc = 0 avec uR =Ri                                                                                                                  i              R
                                   duc
Ri + uc = 0 avec i  C.                                                                                                                             i
                                    dt                                                                                                                  C
       duc                                                                                                                                                  uC
RC         + uc = 0 , =RC
        dt
                                         duc             duc uc
                                             uc  0 ou      0
                                          dt              dt  
       2- Solution de l’équation différentielle :
                                                                                                    t
                                                                                                
 L’équation différentielle précédente a pour solution uc  Ee                                       
                                                                                                         .
Avec =RC.
   3- Expression de uR(t) et de i(t) :
       Expression de uR(t)
                          t                               t
                                                     
uR = 0 – uc =  Ee        
                              d’où uR =  E e             

                                                                              t
                                                  uR                     -E  
            Expression de i(t) : i                  donc           i=     e
                                                  R                      R
       4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) :



                                              t                                             t                                        t
                                                                                                                              -E  
                              uc  Ee         
                                                                          uR =  E e        
                                                                                                                           i=     e
                                                                                                                                R
                                uc(V)                                           uR(V)                                          i(A)

                                                                                                        t(s)                                 t(s)
                     E=Ucmax                                                0                                              0




                                                   t(s)           URmax  E                                               E
                                                                                                                Imax  
                                                                                                                           R
                               0




                                                                                  /4

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  • 1. LYCEE ZAHROUNI-TUNIS- SCIENCES PHYSIQUES 4ème MATH Cours Boussada .A 2 www.physiqueweb2.c4.fr LE DIPÔLE RC I Réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension 1 Dipôle RC C R Le dipôle RC est constitué d’un condensateur associé en série avec un résistor (conducteur ohmique). 2 Echelon de tension u(V) U est une tension appliquée aux bornes du dipôle RC, à t=0 s on E ferme le circuit. Si : Pour t<0 ; u =0 Pour t  0 ; u = E. On dit alors qu’on applique un échelon de tension au dipôle RC. t(s) 3 Relation entre i(t) et uc(t) dq En courant variable : i(t) = . dt C +q -q i dq d(Cuc ) du i avec q  C.uc donc i   C. c dt dt dt uC à retenir 4 Equation différentielle K (on doit représenter les flèches des tensions avant d’établir l’équation différentielle). i R uR Le condensateur est initialement déchargé, à la date t=0, on ferme uG l’interrupteur K. E i d’après la loi des mailles : C uR + uc + uG= 0 avec uR =Ri et uG= - E uC duc Ri + uc - E = 0 or i  C. dt duc RC  uc  E , on pose =RC dt duc duc uc E   uc  E ou   dt dt   5 Solution de l’équation différentielle a- Solution de l’équation différentielle : L’équation différentielle précédente a pour solution uC = A + Be-t. Avec A ; B et  sont des constantes positives. Déterminons A ; B et  : 1ère étape : Le condensateur est initialement vide uC(0) = 0. A + Be0 =0  A + B =0 donc B= - A. D’ou uC = A – Ae-t. ème 2 étape : lorsque t  + ∞ ; le condensateur est complètement chargé : uC (∞) = E. A – Ae-∞ = E or e-∞ =0. A – 0 = E d’où A=E et B= - E. Donc uC = E – Ee-t. uC = E( 1 – e-t). /1
  • 2. duc 3ème étape : Cette solution vérifie l’équation différentielle RC  uc  E dt Donc : RCE(0 – (-)e-t) + E( 1 – e-t) = E RCEe-t + E -E e-t = E  RCEe-t -E e-t = 0  Ee-t( RC - 1 ) = 0. Or Ee-t >0 d’où RC - 1 = 0  RC = 1   =  = . RC  uC = E(1- e-t/ ). 6 Expression de uR(t) et de i(t) t t t    Expression de uR(t) ; uR = E – uc = E - E(1  e  ) = E –E + E e  d’où uR =E e  Expression de i(t) t u E  i  R donc i= e R R 7 Graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) t t t   E  uc  E(1  e  ) uR =E e  i= e R uR(V) i(A) uc E E E=URmax Imax  R E t(s) t(s) 0 0 0 X t(s) 0 + t(s) 0 + t(s) 0 + E E uc(V) 0 E u (V) E 0 i(A) 0 R R R 8 La constante de temps  C a- Définition : I La constante de temps  est une grandeur caractéristique du dipôle RC, elle nous renseigne sur la rapidité avec laquelle s’effectue la charge ou laC décharge d’un condensateur. b- Unité de  : E uR V R donc R est en S   R C  a v e c { i A d ' où  est en V A.s .  s (seconde) donc  est un temps. C q D en o r q  I.t d o n c C e s t A.s A V uc V c- Détermination de  : E S  Par calcul : Ayant les valeurs de R(en Ω) et de C(en F), on peut calculer directement (en s) ;  = RC . Y  Graphiquement : 1ère méthode (utilisation de la tangente à l’origine) : on peut montrer que  est N l’abscisse du point d’intersection de la tangente à la courbe de uc (t)[de même pour uR(t), i(t) et q(t)] à la date t=0 avec l’asymptote (lorsque t+). T H u (V) R TangenteE E=u Rmax u (V ) c S Tangente E=Uc E max Asymptote Point Asymptote Ex t(s) d’intersection 0 er  cic e1 Point t(s)  E d’intersection 0 X E /2
  • 3. o 2ème méthode (lecture graphique) : er 1 cas : à partir du graphe de uc(t) Pour t=, quelle est la valeur de uc ?  uc()  E(1  e )  E(1  e 1)  0, 63.E car e 1 0, 37 Exemple : On a E= 4 V d’où 0,63.4 =2,52 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 2,52 V est égale à  uc(V) 4 2,52 t(s) 0 2ème cas : à partir du graphe de uR(t)  uR(V) Pour t=, quelle est la valeur de uR ?  4 uR()  E.e   E.e 1 0, 37.E Exemple : On a E= 4 V d’où 0,37.4 =1,48 V donc l’abscisse du point d’ordonnée 1,48 V est égale à . 1,48 9 Durée de charge d’un condensateur t(s) 0  On peut considérer qu’un condensateur est complètement chargé lorsque sa tension uc = 0,99E ce qui donne une durée de charge t  5 = 5RC Le temps de charge augmente avec R et avec C. Pour t < 5, on a le régime transitoire. Pour t  5, on a le régime permanent. Remarque :  la réponse d’un dipôle RC à un échelon de tension est la charge progressive du condensateur : c’est un phénomène transitoire.  Charge d’un condensateur par une tension créneaux. K Voie YA i R G.B.F Voie YB A i C uG uc B T Pour 5 < , pendant une demi-période la tension uc peut atteindre sa valeur finale donc on observe les 2 courbes suivantes (les deux voies ont la même sensibilité verticale) : u(V) Um uc uG t(s) T 5 2 T T Pour 5 > , pendant une demi-période la tension uc 2 ne peut pas atteindre sa valeur finale donc on observe les courbes suivantes : /3
  • 4. u(V) uG uc t(s) 0 T 5 2 T II La décharge d’un condensateur 1- Equation différentielle : (on doit garder la même orientation du circuit). K Le condensateur est initialement chargé, à la date t=0, on ferme l’interrupteur K. d’après la loi des mailles : uR uR + uc = 0 avec uR =Ri i R duc Ri + uc = 0 avec i  C. i dt C duc uC RC + uc = 0 , =RC dt duc duc uc   uc  0 ou  0 dt dt  2- Solution de l’équation différentielle : t  L’équation différentielle précédente a pour solution uc  Ee  . Avec =RC. 3- Expression de uR(t) et de i(t) : Expression de uR(t) t t   uR = 0 – uc =  Ee  d’où uR =  E e  t uR -E   Expression de i(t) : i  donc i= e R R 4- graphes de uc(t), uR(t) et de i(t) : t t t   -E   uc  Ee  uR =  E e  i= e R uc(V) uR(V) i(A) t(s) t(s) E=Ucmax 0 0 t(s) URmax  E E Imax   R 0 /4