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UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE
UFR DE GESTION

MATHEMATIQUES APPLIQUEES
A L’ECONOMIE ET A LA GESTION
PARTIE II- ANALYSE
LICENCE 1° année

Cours de Marion GOFFIN
2° semestre
2012-2013

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Mathématiques
Partie II- Analyse

Sommaire

Semaine du 4 mars 1ère semaine: Fiches n°1 et n°2
Semaine du 11 mars 2ème semaine: Fiche n°3
Semaine du 18 mars 3ème semaine: Fiche n°4
Semaine du 25 avril 4ème semaine: Fiches n°5 et n°6
Semaine du 1 avril 5ème semaine: Interrogation écrite
Semaine du 8 avril 6ème semaine: semaine pédagogique
Examens de 1ère session : semaine du 15 avril

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Fiche n°1- Ensembles et applications (fonctions)

Notions à réviser :
- ensembles : généralités, opérations sur les ensembles
- relations binaires : relations réflexives, symétriques, antisymétriques,
transitives
- fonctions : généralités, fonctions réciproques, typologie des fonctions
(injections, surjections, bijections), composition des fonctions, ensemble de
définition d’une fonction.

Exercice 1 :
Déterminez à chaque fois l’ensemble de définition Df :
a)

b)

d)

e)

c)

ln

Exercice 2 :
Démontrez que la fonction numérique f de la variable réelle x définie par :
x
, f(x)=
détermine une bijection de
sur
.
Quelles est la bijection réciproque ? (on la notera g)

Exercice 3 :
Soient f(x) = 3x+1 et g(x)=
1- Déterminer l’application réciproque (ou inverse) de la fonction f.
2- Définir les applications composées g f et f g. Que peut-on conclure ?

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Fiche n°2- Limites et continuité

Notions à réviser :
- limites en un point, limite à droite, à gauche, limites en + et ,
opérations sur les limites.
- continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par
continuité
- fonction puissance, logarithme, exponentielle

Exercice 1 :
Etudiez les limites suivantes :

c)

d)

Exercice 2 : Etude de la continuité d’une fonction numérique réelle
Soit la fonction f telle que f (x)=
1 - Pour quelles valeurs de x, f(x) est-elle définie ?
2 - Calculer
f(x) et
.
3 - Montrer que f est continue sur D =
.
4 – Peut-on prolonger par continuité f en x = 0 et x = 1 ?

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Fiche n°3- Dérivées et différentielles
Notions à réviser :
- dérivabilité en un point, dérivée à droite, dérivée à gauche, dérivabilité sur

un intervalle
- calcul de dérivées
- différentielles

Exercice 1 :
Calculez les dérivées suivantes :
4
a) =(2
b) =
d)

=

3

e)

=

c)
f)

=

+

=

Exercice 2 :
Déterminez:
a) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation
coordonnées (0 ;+1)
b) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation
point de coordonnées (-1 ;0)

=

au point de

=

au

Exercice 3 :
Soit f f( )=
,
Déterminez:
- L’ensemble de définition de f,
- L’étude de la continuité,
- La fonction réciproque,
- Le nombre dérivé de f à un point déterminé,
- Le nombre dérivé de la fonction réciproque.

Exercice 4 :
Soit f f( )=
1- Quelle est l’expression de la différentielle de
2- Quelle est la différentielle de

?

au point 1 ?

Exercice 5 :
Déterminer la différentielle au point x=1 de la fonction
On suppose que l’on a

: déterminez la différentielle de

au point t=2.

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Fiche n°4- Etude de fonctions
Plan d’étude d’une fonction :
1. Recherche de l’ensemble de définition
2. Recherche de l’ensemble d’étude
3. Etude des limites et de la continuité (aux points où la fonction est non
définie, aux bornes des intervalles, en + et - )
4. Etude de la dérivabilité et construction du tableau de variations de f (avec
étude des points remarquables : points à tangente horizontale, points pour
lesquels la fonction n’est pas définie, pas dérivable…)
5. Compléments : concavité, convexité…
6. Représentation graphique

Exercice :
Etudiez les fonctions suivantes selon le plan d’étude indiqué ci-dessus :
b)

c)

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Fiche n°5- Primitives et intégrales

Exercice 1 :
Considérez la fonction
(étudiée dans la fiche 4, d) de l’exercice).
Calculez l’aire (et et faites la représentation graphique)de la partie définie par :

Exercice 2 :
Calculez les intégrales suivantes :

a)
b)
c)

d)

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
Fiche n°6- Théorème des accroissements finis et développements
limités

Exercice 1 :
Déterminez, quand x tend vers 0, la partie principale des expressions :

a)

b)

c)

Exercice 2 :
Soit la fonction f définie de la façon suivante :

1. Donnez son développement limité d’ordre 2, au voisinage de 0.
2. En déduire l’équation de la tangente en 0.

Exercice 3 :
Déterminez, au voisinage de
suivantes :
a)

,

=0 et

b)

c)

, le développement limité à l’ordre n des fonctions

et

,

et

Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013

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  • 1. UNIVERSITE PARIS 1 PANTHEON SORBONNE UFR DE GESTION MATHEMATIQUES APPLIQUEES A L’ECONOMIE ET A LA GESTION PARTIE II- ANALYSE LICENCE 1° année Cours de Marion GOFFIN 2° semestre 2012-2013 Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 2. Mathématiques Partie II- Analyse Sommaire Semaine du 4 mars 1ère semaine: Fiches n°1 et n°2 Semaine du 11 mars 2ème semaine: Fiche n°3 Semaine du 18 mars 3ème semaine: Fiche n°4 Semaine du 25 avril 4ème semaine: Fiches n°5 et n°6 Semaine du 1 avril 5ème semaine: Interrogation écrite Semaine du 8 avril 6ème semaine: semaine pédagogique Examens de 1ère session : semaine du 15 avril Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 3. Fiche n°1- Ensembles et applications (fonctions) Notions à réviser : - ensembles : généralités, opérations sur les ensembles - relations binaires : relations réflexives, symétriques, antisymétriques, transitives - fonctions : généralités, fonctions réciproques, typologie des fonctions (injections, surjections, bijections), composition des fonctions, ensemble de définition d’une fonction. Exercice 1 : Déterminez à chaque fois l’ensemble de définition Df : a) b) d) e) c) ln Exercice 2 : Démontrez que la fonction numérique f de la variable réelle x définie par : x , f(x)= détermine une bijection de sur . Quelles est la bijection réciproque ? (on la notera g) Exercice 3 : Soient f(x) = 3x+1 et g(x)= 1- Déterminer l’application réciproque (ou inverse) de la fonction f. 2- Définir les applications composées g f et f g. Que peut-on conclure ? Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 4. Fiche n°2- Limites et continuité Notions à réviser : - limites en un point, limite à droite, à gauche, limites en + et , opérations sur les limites. - continuité en un point, continuité sur un intervalle, prolongement par continuité - fonction puissance, logarithme, exponentielle Exercice 1 : Etudiez les limites suivantes : c) d) Exercice 2 : Etude de la continuité d’une fonction numérique réelle Soit la fonction f telle que f (x)= 1 - Pour quelles valeurs de x, f(x) est-elle définie ? 2 - Calculer f(x) et . 3 - Montrer que f est continue sur D = . 4 – Peut-on prolonger par continuité f en x = 0 et x = 1 ? Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 5. Fiche n°3- Dérivées et différentielles Notions à réviser : - dérivabilité en un point, dérivée à droite, dérivée à gauche, dérivabilité sur un intervalle - calcul de dérivées - différentielles Exercice 1 : Calculez les dérivées suivantes : 4 a) =(2 b) = d) = 3 e) = c) f) = + = Exercice 2 : Déterminez: a) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation coordonnées (0 ;+1) b) L’équation de la tangente à la courbe C d’équation point de coordonnées (-1 ;0) = au point de = au Exercice 3 : Soit f f( )= , Déterminez: - L’ensemble de définition de f, - L’étude de la continuité, - La fonction réciproque, - Le nombre dérivé de f à un point déterminé, - Le nombre dérivé de la fonction réciproque. Exercice 4 : Soit f f( )= 1- Quelle est l’expression de la différentielle de 2- Quelle est la différentielle de ? au point 1 ? Exercice 5 : Déterminer la différentielle au point x=1 de la fonction On suppose que l’on a : déterminez la différentielle de au point t=2. Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 6. Fiche n°4- Etude de fonctions Plan d’étude d’une fonction : 1. Recherche de l’ensemble de définition 2. Recherche de l’ensemble d’étude 3. Etude des limites et de la continuité (aux points où la fonction est non définie, aux bornes des intervalles, en + et - ) 4. Etude de la dérivabilité et construction du tableau de variations de f (avec étude des points remarquables : points à tangente horizontale, points pour lesquels la fonction n’est pas définie, pas dérivable…) 5. Compléments : concavité, convexité… 6. Représentation graphique Exercice : Etudiez les fonctions suivantes selon le plan d’étude indiqué ci-dessus : b) c) Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 7. Fiche n°5- Primitives et intégrales Exercice 1 : Considérez la fonction (étudiée dans la fiche 4, d) de l’exercice). Calculez l’aire (et et faites la représentation graphique)de la partie définie par : Exercice 2 : Calculez les intégrales suivantes : a) b) c) d) Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013
  • 8. Fiche n°6- Théorème des accroissements finis et développements limités Exercice 1 : Déterminez, quand x tend vers 0, la partie principale des expressions : a) b) c) Exercice 2 : Soit la fonction f définie de la façon suivante : 1. Donnez son développement limité d’ordre 2, au voisinage de 0. 2. En déduire l’équation de la tangente en 0. Exercice 3 : Déterminez, au voisinage de suivantes : a) , =0 et b) c) , le développement limité à l’ordre n des fonctions et , et Cours de Marion Goffin – Année universitaire 2012-2013