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  1. 1. www.tifawt.com Chapitre IIG´n´ralit´s sur la th´orie des ensembles e e e e
  2. 2. www.tifawt.comTable des mati`res eChapitre II G´n´ralit´s sur la th´orie des ensembles e e e e 11 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 II.1 Principe de la th´orie des ensembles . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 11 II.1.1 Ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 a/ D´finition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 11 b/ Appartenance ` un ensemble . . . . . . . . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . 11 c/ D´termination d’un ensemble . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 12 d/ Types d’ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 e/ Cardinal d’un ensemble fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 ´ f/ Egalit´ de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 12 g/ Inclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 II.1.2 Intersection et r´union . . . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 13 a/ Intersection de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 b/ R´union de deux ensembles . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 14 c/ G´n´ralisation de l’intersection et de la r´union . . e e e . . . . . . . . . . . . . . 14 II.1.3 Diff´rence et diff´rence sym´trique de deux ensembles e e e . . . . . . . . . . . . . . 14 II.1.4 Ensemble compl´mentaire . . . . . . . . . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 15 II.1.5 Ensemble des parties d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 II.1.6 Partition d’un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 II.1.7 Ensemble produit (ou produit cart´sien) . . . . . . . . e . . . . . . . . . . . . . . 16 II.2 Relations entre les classes des fonctions propositionnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 i
  3. 3. www.tifawt.comChapitre IIG´n´ralit´s sur la th´orie des e e e eensemblesIntroduction Nous pr´sentons dans ce chapitre les notions essentielles relatives ` la th´orie des ensembles qui e a econstitue la base de toutes les math´matiques d’aujourd’hui. eII.1 Principe de la th´orie des ensembles eII.1.1 Ensemblea/ D´finition d’un ensemble eD´finition II.1.1 En math´matiques, comme dans la vie courante, on est souvent amen´ ` rassembler e e eades ˆtres a, b, c, . . . poss´dant quelques caract`res communs ou destin´s ` un mˆme usage : on parle e e e e a ede l’ensemble E de ces ˆtres, on dit de ceux-ci qu’ils sont les ´l´ments de E. On ´crit : e ee e E = {a, b, c, . . .} On notera que l’ordre des ´l´ments compris dans un ensemble n’a pas d’importance et n’intervient eepas pour distinguer les ensembles. Ainsi, les ensembles {a, b} et {b, a} sont identiques.Exemples : - L’ensemble des entiers naturels N = {0, 1, 2, 3, · · · , n, · · · } ; - l’ensemble des entiers relatifs Z = {· · · , −n, · · · , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, · · · , n, · · · } ; - Q ensemble des nombres rationnels ; - R ensemble des nombres r´els ;e - l’ensemble de tous les chiffres est {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} ; - l’ensemble des nombres pairs est {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, . . .} ; - l’ensemble des nombres premiers inf´rieurs ` 10 est {2, 3, 5, 7}. e aNotation : A, B, C, . . . (lettres en majuscule) : r´serv´es aux noms des ensembles ; e e a, b, c, . . . (lettres en minuscule) : r´serv´es aux ´l´ments de l’ensemble. e e eeb/ Appartenance ` un ensemble a Si l’ˆtre a est un ´l´ment de E, on dit que a appartient ` E, et on note a ∈ E. On ´crit m ∈ E e ee a epour exprimer que l’ˆtre m n’est pas un ´l´ment de E. e ee 11
  4. 4. 12 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre II : G´n´ralit´s sur la th´orie des ensembles e e e eL’ensemble qui ne contient aucun ´l´ment est appel´ ensemble vide et sera not´ ∅ (ou {}). ee e e √ 2Exemples : 2 ∈ R, −3 ∈ N, ∈ Q, {x ∈ R/x > 10 et x < 10} = ∅. 5c/ D´termination d’un ensemble e Un ensemnble peut ˆtre caract´ris´ par l’une des deux mani`res suivantes : e e e e – en extension : par ´num´ration compl`te de ses ´l´ments. e e e ee Exemples : – E = {1, 2, 3, 4, 6, 12} ; – F = { bleu, vert, jaune, 7}. – en compr´hension : par la donn´e de la propri´t´ d’appartenance. e e ee Exemples : – E = {n ∈ N / n est un diviseur de 12} ; – F = {x ∈ R / 4 ≤ x ≤ 20}.d/ Types d’ensembles Etant donn´ un ensemble E non vide. On appelle E un ensemble fini si le nombre de ses ´l´ments e eeest fini. Dans le cas contraire, on dit que E est un ensemble infini et dans ce cas on peut se r´f´rer ` ee aune propri´t´. eeExemples : - E = {a, e, i, o, u} est un ensemble fini form´ par des voyelles ; e - N est un ensemble infini.e/ Cardinal d’un ensemble fini Le nombre d’´l´ments appartenant ` un ensemble fini E s’appelle le cardinal de E, not´ card(E). ee a ePar convention, card(∅) = 0.Exemple : Si E = {1, 5, 9, 14}, alors card(E) = 4. ´f/ Egalit´ de deux ensembles e Deux ensembles E et F sont identiques ou ´gaux, si chaque ´l´ment de l’un appartient ` l’autre. e ee aOn ´crit : e E=F ⇐⇒ [∀x, x ∈ E ⇔ x ∈ F]g/ Inclusion On dit qu’un ensemble A est un sous-ensemble ou partie d’un ensemble E (ou encore : A estcontenu dans E, A est inclus dans E, ou E contient A) si tout ´l´ment de A appartient ` E, et l’on ee anote : A ⊆ E.On ´crit : e A⊆E ⇐⇒ [∀x, x ∈ A ⇒ x ∈ E] .
  5. 5. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 13On ´crit A ⊂ E pour exprimer que l’ensemble A est contenu dans E sans co¨ e ıncider avec lui. L’´galit´ e eA = B signifie (A ⊆ E et (E ⊆ A).L’une des plus importantes propri´t´s de l’inclusion est la transitivit´ : pour tous ensembles A, B et ee eC on a, [(A ⊆ B) et (B ⊆ C)] =⇒ (A ⊆ C).Exemples : − N ⊂ Z ⊂ R ⊂ R; − {2, 5} ⊆ {2, 5, 8}; − {1, 2, 6} = {2, 6, 1}.II.1.2 Intersection et r´union ea/ Intersection de deux ensemblesD´finition II.1.2 Soient A et B deux parties d’un mˆme ensemble E. On appelle intersection de A e eet B, l’ensemble des ´l´ments de E qui appartiennent ` la fois ` A et ` B. ee a a aOn note : A∩BOn lit : “ A inter B ”On ´crit : e x ∈ A ∩ B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ BOn peut figurer l’ensemble A ∩ B par la partie hachur´e : e Si l’on a A∩B = ∅, alors A et B n’ont aucun ´l´ment en commun. On dit que A et B sont disjoints. eeExemple :Si A = {1, 2, 3} et B = {2, 4}, alors A ∩ B = {2}. On montre facilement que pour toute partie A de E, on a : A ∩ ∅ = ∅, A∩A=A et A ∩ E = A.
  6. 6. 14 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre II : G´n´ralit´s sur la th´orie des ensembles e e e eb/ R´union de deux ensembles eD´finition II.1.3 Soient A et B deux parties d’un mˆme ensemble E. On appelle r´union de A et e e eB, l’ensemble des ´l´ments de E qui appartiennent ` l’un au moins des ensembles A et B. ee aOn note : A∪BOn lit : “ A union B ”On ´crit : e x ∈ A ∪ B ⇐⇒ x ∈ A ou x ∈ BOn peut figurer l’ensemble A ∪ B par la partie hachur´e : eExemple :Si A = {1, 2, 3} et B = {2, 4}, alors A ∪ B = {1, 2, 3, 4}. On montre facilement que pour toute partie A de E, on a : A ∪ ∅ = A, A∪A=A et A ∪ E = E.c/ G´n´ralisation de l’intersection et de la r´union e e e Consid´rons de fa¸on g´n´rale une famille non vide de sous-ensembles (Ai )i∈I de E o` I une partie e c e e unon vide de N. On prend ` titre d’exemple I = {1, 2, 3, . . . , n}. aOn note : n Ai = Ai = A1 ∩ A2 ∩ A3 ∩ . . . ∩ An ; i∈I i=1 n Ai = Ai = A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ∪ . . . An . i∈I i=1On ´crit : e n x∈ Ai ⇐⇒ ∀i = 1, 2, · · · , n x ∈ Ai ; i=1 n x∈ Ai ⇐⇒ ∃i ∈ {1, 2, · · · , n} x ∈ Ai . i=1II.1.3 Diff´rence et diff´rence sym´trique de deux ensembles e e eD´finition II.1.4 On appelle diff´rence de deux ensembles A et B, l’ensemble des ´l´ments apparte- e e eenant ` A et non ` B. a aOn note : A−BOn ´crit : e x ∈ A − B ⇐⇒ x ∈ A et x ∈ BOn peut figurer l’ensemble A − B par la partie hachur´e : e
  7. 7. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 15D´finition II.1.5 On appelle diff´rence sym´trique de deux ensembles A et B, l’ensemble des ´l´ments e e e eeappartenant ` A ou ` B sans appartenir ` l’intersection A ∩ B. a a aOn note : A BOn ´crit : e x ∈ A B ⇐⇒ x ∈ A ∪ B et x ∈ A ∩ BOn peut figurer l’ensemble A B par la partie hachur´e : e On montre que : A B = (A ∪ B) − (A ∩ B) = (A − B) ∪ (B − A).II.1.4 Ensemble compl´mentaire eD´finition II.1.6 A ´tant une partie de E. L’ensemble des ´l´ments de E qui n’appartiennent pas ` e e ee aA est un sous-ensemble de E appel´ compl´ment (ou sous-ensemble compl´mentaire) de A dans E. e e eOn note : Ac , CE A, E − A.On ´crit : e x ∈ CE A ⇐⇒ x ∈ E et x ∈ AOn peut figurer l’ensemble CE A par la partie hachur´e : e On montre que : A ∩ CE A = ∅ et A ∪ CE A = E.II.1.5 Ensemble des parties d’un ensembleD´finition II.1.7 Etant donn´ un ensemble non vide E. On note par P(E) l’ensemble de toutes les e eparties de E (la partie vide et l’ensemble E sont inclus).On ´crit : e A ∈ P(E) ⇐⇒ A⊆EExemples : − Si E = ∅ alors, P(E) = {∅} − Si E = {a} alors, P(E) = {∅, E} − Si E = {a, b} alors, P(E) = {∅, {a}, {b}, E} − Si E = {a, b, c} alors, P(E) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, E}Remarque : ∅ = {∅}.Th´or`me II.1.8 Soit A une partie d’un ensemble fini E. Si card(E) = n alors, P(E) est aussi un e eensemble fini et card (P(E)) = 2n .
  8. 8. 16 Professeure : Amale LAHLOU Chapitre II : G´n´ralit´s sur la th´orie des ensembles e e e eII.1.6 Partition d’un ensemble On dit que la famille (Ai )i∈I o` I ⊆ N forme une partition d’un ensemble E si et seulement si les utrois assertions suivantes sont bien v´rifi´es : e e i) aucune des parties Ai n’est vide : Ai = ∅ pour tout i ∈ I; ii) tous les ensembles de la famille sont disjoints deux ` deux : a Ai ∩ Aj = ∅ pour tous i, j ∈ I avec i = j; iii) E est exactement la r´union de tous les ensembles de la famille : e Ai = E. i∈I La repr´sentation sous forme d’un diagramme d’une partition peut alors ˆtre la suivante : e eExemple : Si on note P , l’ensemble des entiers naturels pairs et I, l’ensemble des entiers naturelsimpairs. Alors, P et I forment une partition de N.Th´or`me II.1.9 Si E est un ensemble fini, alors pour toute partition (Ai )i∈I o` I = {1, 2, . . . , n} e e ude E, n card(E) = card(Ai ) = card(A1 ) + card(A2 ) + card(A3 ) + . . . + card(An ). i=1II.1.7 Ensemble produit (ou produit cart´sien) eD´finition II.1.10 Soient A et B deux ensembles pouvant ˆtre distints ou non. On note par A × B e el’ensemble produit de A par B form´ par des couples ordonn´s (a, b)1 tels que a ∈ A et b ∈ B. e eOn note : A×BOn lit : “A croix B”On ´crit : e A × B = {(x, y) / x ∈ A et y ∈ B}Exemple : Soient A = {a, b, c} et B = {1, 2}. Alors, A × B = {(a, 1), (a, 2), (b, 1), (b, 2), (c, 1), (c, 2)} On d´ finit de mˆme le produit A × B × C comme ´tant l’ensemble des triples (a, b, c) tels que a ∈ A, e eb ∈ B et c ∈ C. Pour simlifier les notations, le produit A × A sera simplement not´ A2 . De mˆme e eA×A×A=A 3.Th´or`me II.1.11 Soient A et B deux ensembles finis et non vides. Alors, e e card(A × B) = card(A) × card(B).Exemple : Dans l’exemple pr´c´dent, e e card(A) = 3, card(B) = 2 et on a bien card(A × B) = 6 = 3 × 2. 1 (a, b) = (b, a)
  9. 9. ´Mati`re : Instruments d’Analyse Economique/Module 3/Semestre I e Session : Automne–Hiver 2008-2009 17Repr´sentation graphique : e Une repr´sentation g´om´trique des ´l´ments du produit cart´sien A × B est possible. On utilise e e e ee etrois type de repr´sentations : e • tableau cart´sien ; e • diagramme cart´sien ; e • diagramme sagittal.II.2 Relations entre les classes des fonctions propositionnelles On montre facilement les relations suivantes : ¯ • Cl(P ) = CE (Cl(P )) u ¯ o` P est la n´gation de la fonction propositionnelle P (x) ; e • Cl(P ∧ Q) = Cl(P ) ∩ Cl(Q) ; • Cl(P ∨ Q) = Cl(P ) ∪ Cl(Q) ; ¯ • Cl(P ⇒ Q) = Cl(P ) ∪ Cl(Q) ; • Si ∀x ∈ E, P (x) ≡ Q(x) alors, Cl(P ) = Cl(Q). www.tifawt.com un site pour lautoformation

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