1. [1]
Comprobaciónde soluciónde ecuaciónasociadade Legendre pormediode Series
Comprobación por Series de la solución a ecuación asociada
de Legendre
Abstract.- Este artículo muestra como es afectada la parte factorial de la solución al aumentar dos unidades
del exponencial de su literal que previamente disminuyó dos unidades del exponencial al ser derivada dos
veces; A la parte factorial llamada µ 𝑘 se le adicionó los dos factores que provienen de las dos derivaciones
sucesivas; la derivación de la solución de asociados de Legendre se hace considerando la solución como
producto de dos factores: ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐
; y el otro factor es el que el término factorial proveniente de derivar
n+m veces ( 𝑥2
− 1) 𝑛
.
Solución a la ecuación asociados de Legendre: 𝑃𝑛
𝑚
(x) = ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
Donde: µ 𝑘 =
(−1) 𝑘(2𝑛−2𝑘)!
2 𝑛 𝑘!( 𝑛−𝑘)!( 𝑛−2𝑘−𝑚)!
AJUSTE DE µ 𝑘 PARA AUMENTAR EL EXPONENCIAL DE X, DOS UNIDADES
Para k = k−𝟏 tenemos que para µ 𝑘 ∙ ( 𝑛 − 2𝑘 − 𝑚)( 𝑛 − 2𝑘 − 𝑚 − 1) 𝑥 𝑛−2𝑘−𝑚−2
= µ 𝑘 ∙
(−𝑘)(2𝑛−2𝑘+2)(2𝑛−2𝑘+1)∙( 𝒏−𝟐( 𝒌−𝟏)−𝒎)[ 𝒏−𝟐( 𝒌−𝟏)−𝒎−𝟏]
( 𝑛−𝑘+1)( 𝑛−2𝑘−𝑚+2)( 𝑛−2𝑘−𝑚+1)
∙ 𝑥 𝑛−2𝑘−𝑚
= µ 𝑘 ∙
(−𝑘)(2)( 𝑛−𝑘+1)(2𝑛−2𝑘+1)∙( 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐)[ 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟏]
( 𝑛−𝑘+1)( 𝑛−2𝑘−𝑚+2)( 𝑛−2𝑘−𝑚+1)
∙ 𝑥 𝑛−2𝑘−𝑚
= µ 𝑘 ∙ (−2𝑘)(2𝑛 − 2𝑘 + 1) 𝑥 𝑛−2𝑘−𝑚
incluidos los dos factores de derivación doble
DERIVACIÓN DE 𝑃𝑛
𝑚
𝑑𝑃 𝑛
𝑚
𝑑𝑥
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎−𝟏
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ (−𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟏
𝑑2 𝑃 𝑛
𝑚
𝑑𝑥2 = ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏− 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎−𝟐
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ (−𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ (−𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 + 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎

2. [2]
Comprobaciónde soluciónde ecuaciónasociadade Legendre pormediode Series
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
( 𝟏−𝒙 𝟐) 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ (−𝒎)(−𝟐𝒙)(
𝒎
𝟐
− 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟏
Entonces re-escribiendo
𝑑2 𝑃𝑛
𝑚
𝑑𝑥2
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏− 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎−𝟐
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ (−𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ (−𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 + 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
( 𝟏−𝒙 𝟐) 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟐) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐
∴ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐)
𝒅 𝟐 𝑷 𝒏
𝒎
𝒅𝒙 𝟐
=
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) {( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎−𝟐
} (1)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝒎)( 𝒏− 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(2)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 ∙ (−𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 + 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(3)
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ ( 𝒎)( 𝒎 − 𝟐) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐
(4)
−2𝑥
𝑑𝑃𝑛
𝑚
𝑑𝑥
=
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟐)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(5)
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝟐𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐
(6)
Ahora
𝑛( 𝑛 + 1) 𝑃𝑛
𝑚
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 𝟐
+ 𝒏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(7)
( 𝒎)( 𝒎 − 𝟐) 𝒙

3. [3]
Comprobaciónde soluciónde ecuaciónasociadade Legendre pormediode Series
Tomo los términos (1), (5) y (7) primero solamente para hacer analogía con la ecuación común de Legendre
( 𝟏 − 𝒙 𝟐) {( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎−𝟐
}
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟐)( 𝒏− 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 𝟐
+ 𝒏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
Desglosando el primer término en dos
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎−𝟐
(1)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟏)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(2)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟐)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(3)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 𝟐
+ 𝒏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(4)
Ajustando el exponente de término (1) utilizando el valor de µ 𝑘 de pg.1, y re-escribiendo (2), (3) y (4)
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟐𝒌)( 𝟐𝒏 − 𝟐𝒌 + 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟏)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎 − 𝟏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(2)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ (−𝟐)( 𝒏 − 𝟐𝒌 − 𝒎) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(3)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ ( 𝒏 𝟐
+ 𝒏) 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(4)
Estando en posición de anular algunos coeficientes ya que se homogenizó el exponente de “x”
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
∙
{−4𝑘 𝑛2
+ 4𝑘2
− 2𝑘 − 2𝑛 + 4𝑘 + 2𝑚 + 𝑛2
+ 𝑛 − 𝑛2
+ 4𝑛𝑘 + 2𝑚𝑛 + 𝑛 − 4𝑘2
− 4𝑚𝑘 − 2𝑘 − 𝑚2
− 𝑚}
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(m− 𝒎 𝟐
− 𝟒𝒎𝒌 + 𝟐𝒎𝒏) (8)
Este es un resultado esperado que depende de “m” y que es cero cuando m= 0
Sumo ecuaciones (2), (3) de pg.2 a resultado (8)
( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(m− 𝒎 𝟐
− 𝟒𝒎𝒌 + 𝟐𝒎𝒏)
+ ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎
(−𝒎𝒏 + 𝟐𝒎𝒌 + 𝒎 𝟐
− 𝒎𝒏 + 𝟐𝒎𝒌 + 𝒎 𝟐
− 𝒎) =
= ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎 ( 𝒎 𝟐) (9) De ∑(2), (3) 𝑦 (8)
Sumando (4) y (6) de pg. 2
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐
(𝒎 𝟐
− 𝟐𝒎 + 𝟐𝒎) =

4. [4]
Comprobaciónde soluciónde ecuaciónasociadade Legendre pormediode Series
=
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐
(𝒎 𝟐
) (10)
Cristo ahora multiplico resultado y divido resultado (9) por (1−𝑥2
) y desgloso en dos términos:
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎 ( 𝒎 𝟐) (11)
+
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐 (−𝒎 𝟐) (12)
Sumando (10) y (12)
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎+𝟐
(𝒎 𝟐
− 𝒎 𝟐
) = 0 Solamente permanece el resultado (11)
Escribiendo la ecuación diferencial de los asociados de Legendre:
( 𝟏 − 𝒙 𝟐)
𝒅 𝟐 𝑷 𝒏
𝒎
𝒅𝒙 𝟐 + −𝟐𝒙
𝒅𝑷 𝒏
𝒎
𝒅𝒙
+ 𝒏( 𝒏 + 𝟏) 𝑷 𝒏
𝒎
−
𝒎 𝟐
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝑷 𝒏
𝒎
=
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝒎/𝟐
𝟏−𝒙 𝟐
∑ µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎 ( 𝒎 𝟐) −
𝒎 𝟐
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝑷 𝒏
𝒎
= 0
Cristo este es el resultado esperado
Ya que ( 𝟏 − 𝒙 𝟐) 𝒎/𝟐 ∑µ 𝒌 ∙ 𝒙 𝒏−𝟐𝒌−𝒎 ( 𝒎 𝟐) = 𝒎 𝟐
𝑷 𝒏
𝒎
Resultando entonces:
𝒎 𝟐
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝑷 𝒏
𝒎
−
𝒎 𝟐
( 𝟏−𝒙 𝟐)
𝑷 𝒏
𝒎
= 0 Demostración completada
Resultado de multiplicar y
dividir (9) por (1−𝑥2
)