Stat i cours11

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Stat i cours11

  1. 1. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Statistiques I Alexandre Caboussat alexandre.caboussat@hesge.ch Classe : Mercredi 8h15-10h00 Salle: C114 http://campus.hesge.ch/caboussata A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 1 / 27
  2. 2. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.2 1 Nuage de points 2 Relation? 3 Covariance: cov(x, y) = −60. 4 Corr´elation rxy = −0.9688. A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27
  3. 3. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.2 1 Nuage de points 2 Relation? 3 Covariance: cov(x, y) = −60. 4 Corr´elation rxy = −0.9688. A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27
  4. 4. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.2 1 Nuage de points 2 Relation? 3 Covariance: cov(x, y) = −60. 4 Corr´elation rxy = −0.9688. A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27
  5. 5. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.2 1 Nuage de points 2 Relation? 3 Covariance: cov(x, y) = −60. 4 Corr´elation rxy = −0.9688. A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 2 / 27
  6. 6. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.3 50 70 90 110 130 150 170 190 210 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Nbre glaces Température Nombre de glaces 1 R2 = 0.996 2 Si xi = 24, ˆyi = ... 3 Si xi = 5, ˆyi = ... A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 3 / 27
  7. 7. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.3 50 70 90 110 130 150 170 190 210 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Nbre glaces Température Nombre de glaces 1 R2 = 0.996 2 Si xi = 24, ˆyi = ... 3 Si xi = 5, ˆyi = ... A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 3 / 27
  8. 8. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exercice 8.3 50 70 90 110 130 150 170 190 210 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 Nbre glaces Température Nombre de glaces 1 R2 = 0.996 2 Si xi = 24, ˆyi = ... 3 Si xi = 5, ˆyi = ... A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 3 / 27
  9. 9. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Donn´ees group´ees D´efinition La covariance de donn´ees group´ees d’une population est cov(x, y) = 1 n i=1 c j=1 nij (xi − µx ) (yj − µy ) = 1 n i=1 c j=1 nij xi yj − µx µy o`u xi et yj sont les centres des classes et o`u µx et µy sont les moyennes des donn´ees group´ees. A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 4 / 27
  10. 10. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Donn´ees group´ees Corr´elation lin´eaire de Pearson : formule identique `a celle des donn´ees non-group´ees. Population Echantillon ρxy = σxy σx σy rxy = sxy sx sy A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 5 / 27
  11. 11. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple Relation entre les quantit´es d’aluminium et d’or achet´ees. Donn´ees group´ees en deux cat´egories pour l’aluminium et 3 cat´egories pour l’or. Aluminium [0;10[ [10;20] Total Or [0;2000[ 20 2 22 [2000;4000[ 5 2 7 [4000;6000] 0 3 3 Total 25 7 32 A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 6 / 27
  12. 12. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple (suite) Notons X pour l’or et Y pour l’aluminium. µx = 3·5000+7·3000+22·1000 32 = 1812.5 µy = 25·5+7·15 32 = 7.1875 var(x) = 3·50002+7·30002+22·10002 32 − 1812.52 = 1 714 843.75 var(y) = 25·52+7·152 32 − 7.18752 = 17.09 cov(x, y) = 0·5000·5+...+2·1000·15 32 − 1812.5 · 7.1875 = 3222.66 corr(x, y) = 3222.66√ 1 714 843.75·17.09 = 0.5953 A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 7 / 27
  13. 13. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Indicateurs de Concentration A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 8 / 27
  14. 14. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Objectifs Comprendre un indicateur de concentration Savoir construire la courbe de Lorenz Savoir calculer et interpr´eter l’indice de Gini A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 9 / 27
  15. 15. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Indicateurs de concentration Comment mesurer la r´epartition de richesse? Y a-t-il des in´egalit´es ou ´equit´e? Exemples Patrimoine culturel. Salaire des employ´es. Imposition des citoyens. Peuplement d’un pays. Offres d’emploi. . . . A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 10 / 27
  16. 16. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple Bonus distribu´es dans l’entreprise. Bonus en milliers de Frs 0.8 3 4 6 10 Effectifs 10 6 4 3 2 Cette r´epartition est-elle ´egalitaire? A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 11 / 27
  17. 17. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Rappel: Positionnement 1 observation vs les autres observations valeur la plus fr´equente: mode ou classe modale valeur qui divise en deux parties ´egales l’ensemble d’une s´erie statistique class´ee par ordre croissant (statistique d’ordre): m´ediane situation par rapport `a une tendance centrale: variables centr´ees r´eduites A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 12 / 27
  18. 18. Exercices Covariance Indicateurs de concentration R´epartition ´egalitaire ou in´egalitaire? Fr´equence relative cumul´ee Repr´esentation graphique en ogive A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 13 / 27
  19. 19. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple xi = Bonus en milliers de Frs 0.8 3 4 6 10 Total ni = Effectifs 10 6 4 3 2 25 Effectifs cumul´es 10 16 20 23 25 Effectif relatif cumul´e 0.4 0.64 0.8 0.92 1 Richesse par classe 8 18 16 18 20 80 Richesse cumul´ee 8 26 42 60 80 Richesse relative cumul´ee 0.1 0.325 0.525 0.75 1 Attention: Bonus class´es par ordre croissant. A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 14 / 27
  20. 20. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 15 / 27
  21. 21. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Courbe de Lorenz Consid´erons les parts de richesse par ordre croissant, avec leurs effectifs associ´es. La repr´esentation graphique en une ogive comprenant: en abscisse les effectifs relatifs cumul´es en ordonn´ee les parts de richesse relatives cumul´ees une courbe de concentration en joignant par des segments de droites les points (effectif relatif cumul´e, part relative cumul´ee) est la repr´esentation graphique de la courbe de Lorenz A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 16 / 27
  22. 22. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Courbe de Lorenz A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 17 / 27
  23. 23. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Aire de concentration A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 18 / 27
  24. 24. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Indice de Gini D´efinition L’indice de concentration de Gini, ou plus commun´ement l’indice de Gini, est d´efini par le rapport entre l’aire de concentration par l’aire du triangle sous la ligne d’´equipartition. Il est not´e IG . IG = Aire de concentration Aire du triangle sous la ligne d’´equipartition = 2 × Aire de concentration A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 19 / 27
  25. 25. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Indice de Gini D´efinition L’indice de concentration de Gini, ou plus commun´ement l’indice de Gini, est d´efini par le rapport entre l’aire de concentration par l’aire du triangle sous la ligne d’´equipartition. Il est not´e IG . IG = Aire de concentration Aire du triangle sous la ligne d’´equipartition = 2 × Aire de concentration ´Equipartition → 0 ≤ IG ≤ 1 ← In´egalit´e maximale A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 19 / 27
  26. 26. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Indice de Gini D´efinition L’indice de concentration de Gini, ou plus commun´ement l’indice de Gini, est d´efini par le rapport entre l’aire de concentration par l’aire du triangle sous la ligne d’´equipartition. Il est not´e IG . IG = Aire de concentration Aire du triangle sous la ligne d’´equipartition = 2 × Aire de concentration ´Equipartition → 0 ≤ IG ≤ 1 ← In´egalit´e maximale ´Equit´e ↓ ⇔ IG ↑ A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 19 / 27
  27. 27. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Concentration faible - forte Concentration faible Concentration forte 50% d´etient 40% de la richesse 95% d´etient 15% de la richesse 50% d´etient 60% de la richesse 5% d´etient 85% de la richesse A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 20 / 27
  28. 28. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemples 10% d´etient 90% de la richesse 30% d´etient 90% de la richesse 10% d´etient 70% de la richesse 30% d´etient 70% de la richesse 10% d´etient 50% de la richesse 30% d´etient 50% de la richesse A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 21 / 27
  29. 29. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Calcul de l’indice de Gini: M´ethode 1 1 Calculer l’aire A sous la courbe de Lorenz en additionnant les aires des trap`ezes (trap`eze d´eg´en´er´e en un triangle pour le premier calcul). 2 Soustraire de 0.5 l’aire trouv´ee: Aire de concentration = 0.5-A 3 Multiplier par 2 l’aire de concentration: IG = 2(0.5 − A) A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 22 / 27
  30. 30. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple de calcul: m´ethode 1 A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 23 / 27
  31. 31. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple de calcul: m´ethode 1 1 Aire du triangle = 0.5 · 0.4 · 0.1 = 0.02 Aire du trap`eze = 0.5(0.1+0.325)(0.64-0.4)=0.051 Aire du trap`eze = 0.5(0.325+0.525)(0.8-0.64)=0.068 Aire du trap`eze = 0.5(0.535+0.75)(0.92-0.8)=0.0765 Aire du trap`eze = 0.5(0.75+1)(1-0.92)=0.07 Aire sous la courbe = 0.2855 2 Aire de concentration = 0.5 − A = 0.2145 3 IG = 2(0.5 − A) = 0.429 A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 23 / 27
  32. 32. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Calcul de l’indice de Gini: M´ethode 2 F = fr´equence relative cumul´ee des individus G = part relative cumul´ee de la richesse. Fi = 1 n i j=1 nj ; Gi = i j=1 nj xj c j=1 nj xj IG = c−1 i=1 Fi Gi+1 − c−1 i=1 Fi+1Gi Courbe de Lorenz = lieu des points (Fi , Gi ) reli´es par des segments de droite A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 24 / 27
  33. 33. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Exemple de calcul: m´ethode 2 Bonus en milliers de Frs 0.8 3 4 6 10 Effectifs 10 6 4 3 2 Fi = Effectif relatif cumul´e 0.4 0.64 0.8 0.92 1 Gi = Richesse relative cumul´ee 0.1 0.325 0.525 0.75 1 IG = (0.4 · 0.325 + 0.64 · 0.525 + 0.8 · 0.75 + 0.92 · 1) −(0.64 · 0.1 + 0.8 · 0.325 + 0.92 · 525 + 1 · 0.75) = 1.986 − 1.557 = 0.429 A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 25 / 27
  34. 34. Exercices Covariance Indicateurs de concentration Pour le 15 d´ecembre: test en blanc. Pour le 23 d´ecembre: exercices 9.1 et 9.2 A. Caboussat, HEG STAT I, 2010 27 / 27

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