1. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
a - ®Æt vÊn ®Ò
I-Lêi më ®Çu :
Trong trêng phæ th«ng m«n To¸n cã mét vÞ trÝ rÊt quan
träng. C¸c kiÕn thøc vµ ph¬ng ph¸p To¸n häc lµ c«ng cô thiÕt
yÕu gióp häc sinh häc tèt c¸c m«n häc kh¸c, ho¹t ®éng cã
hiÖu qu¶ trong mäi lÜnh vùc. §ång thêi m«n To¸n cßn gióp
häc sinh ph¸t triÓn nh÷ng n¨ng lùc vµ phÈm chÊt trÝ tuÖ; rÌn
luyÖn cho häc sinh kh¶ n¨ng t duy tÝch cùc, ®éc lËp, s¸ng
t¹o; gi¸o dôc cho häc sinh t tëng ®¹o ®øc vµ thÈm mü cña
ngêi c«ng d©n.
ë trßng THCS, trong d¹y häc To¸n: cïng víi viÖc h×nh
thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng v÷ng ch¾c c¸c kh¸i niÖm,
c¸c ®Þnh lÝ; th× viÖc d¹y häc gi¶i c¸c bµi to¸n cã tÇm quan
träng ®Æc biÖt vµ lµ mét trong nh÷ng vÊn ®Ò trung t©m cña
ph¬ng ph¸p d¹y häc To¸n ë trêng phæ th«ng. §èi víi häc sinh
THCS, cã thÓ coi viÖc gi¶i bµi to¸n lµ mét h×nh thøc chñ
yÕu cña viÖc häc to¸n.
Cïng víi viÖc h×nh thµnh cho häc sinh mét hÖ thèng
v÷ng ch¾c c¸c kiÕn thøc c¬ b¶n ®Ó häc sinh cã thÓ vËn
dông vµo lµm bµi tËp th× viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái lµ
môc tiªu quan träng cña ngµnh gi¸o dôc nãi chung vµ bËc
häc THCS nãi riªng. Do ®ã viÖc híng dÉn häc sinh kÜ n¨ng
t×m tßi s¸ng t¹o trong qu¸ tr×nh gi¶i to¸n lµ rÊt cÇn thiÕt vµ
kh«ng thÓ thiÕu ®îc.
Lµ mét gi¸o viªn trùc tiÕp gi¶ng d¹y m«n to¸n ë trêng
THCS t«i ®i s©u nghiªn cøu néi dung ch¬ng tr×nh vµ qua
thùc tÕ d¹y häc t«i thÊy: trong ch¬ng tr×nh To¸n THCS "C¸c
bµi to¸n vÒ cùc trÞ trong ®¹i sè" rÊt ®a d¹ng, phong phó vµ
1

2. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
thó vÞ, cã mét ý nghÜa rÊt quan träng ®èi víi c¸c em häc
sinh ë bËc häc nµy.ë THPT ®Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ
cùc trÞ ®¹i sè ngêi ta thêng dïng ®Õn "c«ng cô cao cÊp" cña
to¸n häc lµ: ®¹o hµm cña hµm sè. ë THCS,
v× kh«ng cã (hay nãi chÝnh x¸c h¬n lµ kh«ng ®îc phÐp dïng)
"c«ng cô cao cÊp" cña To¸n häc nãi trªn, nªn ngêi ta ph¶i
b»ng c¸c c¸ch gi¶i th«ng minh nhÊt, t×m ra c¸c biÖn ph¸p h÷u
hiÖu vµ phï hîp víi tr×nh ®é kiÕn thøc ë bËc häc THCS ®Ó
gi¶i quÕt c¸c bµi to¸n lo¹i nµy. ChÝnh v× vËy, c¸c bµi to¸n
cùc trÞ ®¹i sè ë THCS kh«ng theo quy t¾c hoÆc khu«n mÉu
nµo c¶, nã ®ßi hái ngêi häc ph¶i cã mét c¸ch suy nghÜ logic
s¸ng t¹o, biÕt kÕt hîp kiÕn thøc cò víi kiÕn thøc míi mét c¸ch
logic cã hÖ thèng.
Trªn thùc tÕ gi¶ng d¹y To¸n 8-9 nh÷ng n¨m qua t«i nhËn
thÊy: phÇn "C¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè" lµ mét trong
nh÷ng phÇn träng t©m cña viÖc båi dìng häc sinh kh¸ giái ë
trêng THCS. ThÕ nhng thùc tr¹ng häc sinh trêng chóng t«i vµ
nh÷ng trêng t«i ®· tõng d¹y lµ: häc sinh kh«ng cã høng thó
víi lo¹i to¸n nµy, bëi lÏ c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë trêng
THCS kh«ng theo mét ph¬ng ph¸p nhÊt ®Þnh nªn c¸c em rÊt
lóng tóng khi lµm to¸n vÒ cùc trÞ, c¸c em kh«ng biÕt b¾t
®Çu tõ ®©u vµ ®i theo híng nµo. HÇu hÕt häc sinh rÊt ng¹i
khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ vµ kh«ng biÕt vËn dông ®Ó gi¶i
quyÕt c¸c bµi tËp kh¸c.
Thùc tr¹ng ®ã khiÕn t«i lu«n b¨n kho¨n suy nghÜ: "Lµm
thÕ nµo ®Ó häc sinh kh«ng thÊy ng¹i vµ cã høng thó víi lo¹i
to¸n nµy". Víi tr¸ch nhiÖm cña ngêi gi¸o viªn t«i thÊy m×nh
cÇn gióp c¸c em häc tèt h¬n phÇn nµy.
2

3. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
T«i ®· dµnh thêi gian ®äc tµi liÖu, nghiªn cøu thùc tÕ
gi¶ng d¹y cña b¶n th©n vµ cña mét sè ®ång nghiÖp; qua sù
t×m tßi thö nghiÖm, ®îc sù gióp ®ì cña c¸c b¹n ®ång nghiÖp.
§Æc biÖt lµ nh÷ng bµi häc sau nh÷ng n¨m ë trêng s ph¹m.
T«i m¹nh d¹n chän nghiªn cøu ®Ò tµi: "Híng dÉn häc sinh
THCS gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè".
Víi ®Ò tµi nµy t«i hi väng sÏ gióp häc sinh kh«ng bì ngì
khi gÆp c¸c bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè, gióp c¸c em häc tèt h¬n.
§ång thêi h×nh thµnh ë häc sinh t duy tÝch cùc, ®éc lËp,
s¸ng t¹o, n©ng cao n¨ng lùc ph¸t hiÖn vµ gi¶i quyÕt vÊn ®Ò,
rÌn luyÖn kh¶ n¨ng vËn
dông kiÕn thøc vµo ho¹t ®éng thùc tiÔn, rÌn luyÖn nÕp nghÜ
khoa häc lu«n mong muèn lµm ®îc nh÷ng viÖc ®¹t kÕt qu¶
cao nhÊt, tèt nhÊt.
II. Thùc tr¹ng cña vÊn ®Ò nghiªn cøu.
1, §èi víi häc sinh :. Thùc tr¹ng khi nhËn chuyªn m«n
ph©n c«ng d¹y to¸n 8 ë nh÷ng tiÕt ®Çu tiªn t«i c¶m thÊy hôt
hÈng tríc c¸ch häc cña häc sinh.
§Ó Thèng kª n¨ng lùc tiÕp thu bµi cña häc sinh t«i dïng
nhiÒu h×nh thøc ph¸t vÊn tr¾c nghiÖm rót ra mét hiÖn tîng
næi bËt häc sinh tr¶ lêi râ rµng m¹ch l¹c nhng mang tÝnh
chÊt häc vÑt chÊp hµnh ®óng nguyªn b¶n, qu¸ tr×nh d¹y ®Ó
kiÓm tra viÖc thùc hµnh øng dông cña häc sinh t«i ®a ra mét
sè vÝ dô th× häc sinh lóng tóng kh«ng biÕt chøng minh nh
thÕ nµo.
Tríc thùc tr¹ng trªn t«i ®· ®iÒu tra häc sinh qua nhiÒu
biÖn ph¸p kÕt qu¶ cho thÊy.
Líp
SØ
sè
Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 02 06 31 10
3

4. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
Sau khi kiÓm tra t«i thÊy r»ng häc sinh hiÓu vµ lµm rÊt
m¬ hå, mét s« häc sinh lµm ®îc chØ n»m vµo mét sè häc
sinh kh¸- giái. Sè cßn l¹i chñ yÕu lµ häc sinh TB, YÕu, kÐm
kh«ng biÕt gi¶i thÝch bµi to¸n nh thÕ nµo.
2, §èi víi gi¸o viªn :
Thùc tr¹ng nµy kh«ng thÓ ®æ lçi cho tÊt c¶ häc sinh bëi
v× ngêi gi¸o viªn lµ ngêi chñ ®éng, chñ ®¹o kiÕn thøc, còng
chØ tu©n theo SGK mµ d¹y bµi to¸n nµy ®ßi hái häc sinh
ph¶i t duy tèt vµ ph¶i th©u tãm ®îc kiÕn thøc ®· häc ®Ó tËn
dông vµo lµm bµi tËp .
§«i khi gi¸o viªn ¸p ®Æt gß bã c¸c em ph¶i thª nµy, ph¶i
thÕ nä mµ kh«ng ®a ra thùc tÕ ®Ó c¸c em nh×n nhËn vÊn
®Ò.
VÒ phÝ häc sinh c¶m thÊy khã tiÕp thu bëi v× ®©y lµ
d¹ng to¸n mµ c¸c em rÊt Ýt ®îc gÆp chÝnh v× lÝ do ®ã mµ
ngêi thÇy ph¶i t×m ra PP phï hîp nhÊt ®Ó häc sinh cã høng
häc, bíc ®Çu häc sinh lµm quen víi d¹ng bµi to¸n “ To¸n Cùc
chØ” nªn c¶m thÊy m¬ hå ph©n v©n t¹i sai l¹i ph¶i lµm nh
vËy. NÕu kh«ng biÕn ®æi th× cã t×m ®îc kÕt qu¶ kh«ng.
Tõ nh÷ng b¨n kho¨n ®ã cña häc sinh gi¸o viªn kh¼ng ®Þnh
nÕu kh«ng biÕn ®æi nh vËy th× kh«ng tr¶ lêi yªu cÇu cña
bµi to¸n.
Sau ®©y t«i xin ®a ra mét sè kinh nghiÖm híng dÉn häc
sinh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8.
4

5. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
B- gi¶i quyÕt vÊn ®Ò
I - c¸c gi¶i ph¸p thùc hiÖn
1. Kh¸i niÖm vÒ cùc trÞ cña mét biÓu thøc
Cho biÓu thøc nhiÒu biÕn sè P(x, y, ..., z) víi x, y, ..., z
thuéc miÒn S nµo ®ã x¸c ®Þnh. NÕu víi bé gi¸ trÞ cña c¸c
biÕn (x0, y0, ...z0) ∈ S mµ ta cã: P(x0, y0, ...z0) ≥ P(x,
y, ..., z) hoÆc P(x0, y0, ...z0) ≤ P(x, y, ..., z) th× ta nãi P(x,
y, ..., z) lín nhÊt hoÆc nhá nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0) trªn miÒn S.
P(x, y, ..., z) ®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0) ∈ S cßn
gäi lµ P ®¹t cùc ®¹i t¹i (x0, y0, ...z0) hoÆc Pmax t¹i (x0,
y0, ...z0). T¬ng tù ta cã: P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt t¹i (x0, y0, ...z0)
∈ S cßn gäi lµ P ®¹t cùc tiÓu t¹i (x0, y0, ...z0) hoÆc Pmin t¹i
(x0, y0, ...z0).
Gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña P trªn miÒn x¸c ®Þnh S
gäi lµ c¸c cùc trÞ cña P trªn miÒn S.
2. Nguyªn t¾c chung t×m cùc trÞ cña mét biÓu
thøc
5

6. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
T×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc trªn mét miÒn x¸c ®Þnh
nµo ®ã lµ vÊn ®Ò réng vµ phøc t¹p, nguyªn t¾c chung lµ:
*) §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z)
trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai bíc:
- Chøng tá r»ng P ≥ k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ
cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
*) §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét biÓu thøc P(x, y, ..., z)
trªn miÒn x¸c ®Þnh S, ta cÇn chøng minh hai bíc:
- Chøng tá r»ng P ≤ k ( víi k lµ h»ng sè ) víi mäi gi¸ trÞ
cña c¸c biÕn trªn miÒn x¸c ®Þnh S
- ChØ ra trêng hîp x¶y ra dÊu ®¼ng thøc.
Chó ý r»ng kh«ng ®îc thiÕu mét bíc nµo trong hai bíc trªn.
VÝ dô: Cho biÓu thøc A = x2
+ (x - 2)2
Mét häc sinh t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A nh
sau:
Ta cã x2
≥ 0 ; (x - 2)2
≥ 0 nªn A ≥ 0.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 0.
Lêi gi¶i trªn cã ®óng kh«ng?
Gi¶i:
Lêi gi¶i trªn kh«ng ®óng. Sai lÇm cña lêi gi¶i trªn lµ míi
chøng tá r»ng A ≥ 0 nhng cha chØ ra ®îc trêng hîp x¶y ra
dÊu ®¼ng thøc. DÊu ®¼ng thøc kh«ng x¶y ra, v× kh«ng thÓ
cã ®ång thêi:
x2
= 0 vµ (x - 2)2
= 0 .
Lêi gi¶i ®óng lµ:
A = x2
+ (x - 2)2
= x2
+ x2
- 4x +4 = 2x2
- 4x +
4
6

7. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
= 2(x2
-2x - +1) + 2 = 2(x - 1)2
+ 2
Ta cã: (x - 1)2
≥ 0 , ∀x
⇒ 2(x - 1)2
+ 2 ≥ 2 ∀x
⇒ A ≥ 2 ∀x
Do ®ã A = 2 ⇔ x = 1.
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A b»ng 2 víi x
= 1.
3. KiÕn thøc cÇn nhí:
§Ó t×m cùc trÞ cña mét biÓu thøc ®¹i sè, ta cÇn
n¾m v÷ng:
a) C¸c tÝnh chÊt cña bÊt ®¼ng thøc, c¸c c¸ch chøng
minh bÊt ®¼ng thøc.
b) Sö dông thµnh th¹o mét sè bÊt ®¼ng thøc quen
thuéc:
* a2
≥ 0, tæng qu¸t: a2k
≥ 0 (k nguyªn d¬ng)
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0
* -a2
≤ 0, tæng qu¸t: -a2k
≤ 0 (k nguyªn d¬ng)
X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0
* 0≥a . (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0)
* - aaa ≤≤ . (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = 0)
* baba +≥+ (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ ab ≥ 0)
* baba −≥−
(X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a ≥ b ≥ 0 hoÆc a ≤ b ≤ 0)
* 2
1
≥+
a
a , ∀a >0 vµ 2
1
−≤+
a
a , ∀a <0
7

8. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
* ab
baba
≥




 +
≥
+
22
22
∀a,b (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a = b)
* a ≥ b, ab >0 ⇒
ba
11
≤ (X¶y ra dÊu ®¼ng thøc ⇔ a =
b)
II - c¸c biÖn ph¸p thùc hiÖn
(Mét sè d¹ng bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè)
Th«ng qua c¸c bµi to¸n trong s¸ch gi¸o khoa (s¸ch tham
kh¶o) t«i tiÕn hµnh ph©n lo¹i thµnh mét sè d¹ng c¬ b¶n nhÊt
vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè ë THCS råi híng dÉn häc
sinh t×m kiÕn thøc cã liªn quan cÇn thiÕt ®Ó gi¶i tõng d¹ng
to¸n ®ã. Sau ®©y lµ mét sè d¹ng c¬ b¶n thêng gÆp:
D¹ng 1: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña mét
biÓu thøc lµ tam thøc bËc hai.
VÝ dô 1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc.
A(x) = x2
- 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy c¸c gi¸ trÞ thùc bÊt
kú.
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A(x) ta
cÇn ph¶i biÕn ®æi vÒ d¹ng A(x) ≥k (k lµ h»ng sè) víi mäi
gÝa trÞ cña biÕn vµ chØ ra trêng hîp x¶y ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i: A(x) = x2
- 4x+1
= x2
- 2.2x+1
= (x2
- 2.2x+4)- 3
8

9. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
= (x- 2)2
- 3
Víi mäi gi¸ trÞ cña x: (x - 2)2
≥0 nªn ta cã:
A(x) = (x- 2)2
- 3 ≥-3
VËy A(x) ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng -3 khi x=2
§¸p sè: A(x)nhá nhÊt = - 3 víi x=2
VÝ dô 2: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc
B(x) = -5x2
- 4x+1
Trong ®ã x lµ biÕn sè lÊy gi¸ trÞ thùc bÊt kú
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc B(x) ta cÇn
ph¶i biÕn ®æi ®a B(x) vÒ d¹ng B(x) ≤ k (k lµ h»ng sè) víi
mäi gi¸ trÞ cña biÕn khi ®ã gi¸ trÞ lín nhÊt cña B(x)= k vµ
chØ ra khi nµo x¶y ra ®¼ng thøc
Lêi gi¶i: B(x) = -5x2
– 4x+1
= -5 (x2
+ 5
4
x) +1
= -5 1
5
2
5
2
5
2
.2
22
2
+














−





++ xx
= 1
25
4
5
2
5
2
+








−





+− x
= -5 1
5
4
5
2
2
++





+x
= -5 5
9
5
2
2
+





+x
Víi mäi gi¸ trÞ cña x:
2
5
2






+x ≥ 0 nªn -5
2
5
2






+x ≤ 0
9

10. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
suy ra: B(x)= -5
2
5
2






+x + 5
9
≤
5
9
VËy B(x)®¹t gi¸ trÞ lín nhÊt khi B(x)= 5
9
, khi x = - 5
2
§¸p sè: B(x)lín nhÊt = 5
9
víi x = - 5
2
VÝ dô 3: (Tæng qu¸t)
Cho tam thøc bËc hai P = ax2
+bx + c
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P nÕu a > 0
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña P nÕu a < 0
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt (lín nhÊt) cña P ta cÇn
ph¶i biÕn ®æi sao cho P = a.A2
(x) + k. Sau ®ã xÐt víi tõng
trêng hîp a>0 hoÆc a<0 ®Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt hoÆc lín
nhÊt.
Lêi gi¶i:
P = a.A2
(x) + k
= a (x2
+ a
b
x) + c
2
2
2
2
2
442
..2
a
b
c
a
b
a
b
xxa −+





++=
k
a
b
xa +





+=
2
2
víi 2
2
4a
b
ck −=
Do 0
2
2
≥





+
a
b
x nªn:
+NÕu a>0 th× 0
2
2
≥





+
a
b
xa do ®ã P ≥ k
+NÕu a<0 th× 0
2
2
≥





+
a
b
xa do ®ã P ≤ k
10

11. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
VËy khi x = - a
b
2
th× P cã gi¸ trÞ nhá nhÊt b»ng k (nÕu
a>0)
hoÆc gi¸ trÞ lín nhÊt b»ng k (nÕu a<0)
D¹ng 2: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt,gi¸ tri lín nhÊt cña ®a
thøc bËc cao:
VÝ dô4:
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = (x2
+ x + 1)2
Híng dÉn gi¶i:
(?) Ta nhËn thÊy A = (x2
+ x + 1)2
≥ 0, nhng gi¸ trÞ nhá
nhÊt cña A cã ph¶i b»ng 0 hay kh«ng? V× sao?
Tr¶ lêi : MÆc dï A ≥ 0 nhng gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A
kh«ng ph¶i b»ng 0 v×: x2
+ x +1 ≠ 0
Do ®ã Amin  (x2
+ x +1)min
(?) H·y t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2
+ x +1? vµ t×m gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña A?
Tr¶ lêi: Ta cã x2
+ x +1 = x2
+ 2x. 2
1
+ 4
1
- 4
1
+ 1
=
2
2
1






+x + 4
3
≥
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña x2
+ x + 1 b»ng 4
3
víi x = - 2
1
Tr¶ lêi: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 16
9
4
3
2
=





víi x = -
2
1
VÝ dô 5:
11

12. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
x4
– 6x3
+ 10x2
– 6x + 9
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: -H·y viÕt biÓu thøc díi d¹ng A2
(x) + B2
(x) ≥ 0
-XÐt xem x¶y ra dÊu ®¼ng thøc khi nµo? Gi¸ trÞ
nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng bao nhiªu?
Lêi gi¶i: x4
- 6x3
+ 10x2
- 6x +9
= x4
- 2.x2
.3x + (3x)2
+ x2
- 2x.3 +32
= (x2
- 3x)2
+ (x - 3)2
≥ 0
X¶y ra ®¼ng thøc khi vµ chØ khi:
x2
–3x = 0 x(x-3) = 0 x = 0
  x = 3  x = 3
x – 3 = 0 x – 3 = 0 x = 3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
§¸p sè: Gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc b»ng 0 víi x = 3
D¹ng 3: bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, gi¸ trÞ lín nhÊt cña ®a
thøc cã chøa dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi
VÝ dô6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = ι x - 1ι + ιx - 3ι
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: Bµi to¸n ®Ò cËp tíi dÊu gi¸ trÞ tuyÖt ®èi do ®ã
chóng ta ph¶i nghØ tíi c¸c kho¶ng nghiÖm vµ ®Þnh nghÜa
gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña mét biÓu thøc.
A NÕu A ≥ 0
ιAι =
12

13. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
- A NÕu A ≤ 0
C¸ch 1: §Ó t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A, ta tÝnh gi¸ trÞ
cña A trong c¸c kho¶ng nghiÖm. So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A
trong c¸c kho¶ng nghiÖm ®ã ®Ó t×m ra gi¸ trÞ nhá nhÊt cña
A.
Lêi gi¶i
+ Trong kho¶ng x < 1 th× ιx - 2ι = - (x -2) = 2 - x
ιx - 5ι = - (x - 5) = 5 - x
⇒ A = 2 - x + 5- x = 7 - 2x
Do x < 2 nªn -2x > -4 do ®ã A = 7 - 2x >3
+ Trong kho¶ng 2 ≤ x ≤ 5 th× ιx - 2ι = x - 2
ιx - 5ι = - (x - 5) = 5 - x
⇒ A = x - 2 + 5 - x = 3
+ Trong kho¶ng x > 5 th× ιx - 2ι = x - 2
ιx - 5ι = x - 5
⇒ A = x - 2 + x - 5 = 2x - 7
Do x > 5 nªn 2x > 10 do ®ã A = 2x – 7 > 3
So s¸nh c¸c gi¸ trÞ cña A trong c¸c kho¶ng trªn, ta
thÊy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x
≤ 5
§¸p sè: Amin = 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x ≤ 5
C¸ch 2: Ta cã thÓ sö dông tÝnh chÊt: gi¸ trÞ tuyÖt ®èi cña
mét tæng nhá h¬n hoÆc b»ng tæng c¸c gi¸ trÞ tuyÖt ®èi.Tõ
®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc A.
Lêi gi¶i: A = ιx - 2ι+ 5−x = ιx - 2ι+ x−5
13

14. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
Ta cã: ιx - 2ι + ι5 - xι ≥ιx - 2 + 5 - xι = 3
ιx - 2ι ≥ 0
A = 3   (x - 2) (5 - x) ≥ 0
ι5 - xι ≥ 0
 2 ≤ x ≤ 5
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 3 khi vµ chØ khi 2 ≤ x
≤ 5
d¹ng 4: Bµi to¸n T×m gtnn, gtln cña ph©n thøc cã tö lµ h»ng
sè, mÉu lµ tam thøc bËc hai
VÝ dô 7: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña M =
54x-4x
3
2
+
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: Sö dông tÝnh chÊt a ≥ b, ab >0 ⇒
ba
11
≤ hoÆc
theo quy t¾c so s¸nh hai ph©n sè cïng tö, tö vµ mÉu
®Òu d¬ng.
Lêi gi¶i:
XÐt M =
54x-4x
3
2
+
= 414)2(
3
2
++− xx = 41)-(2x
3
2
+
Ta thÊy (2x - 1)2
≥ 0 nªn (2x - 1)2
+ 4 ≥ 4
Do ®ã: 41)-(2x
3
2
+
≤
4
3
Tr¶ lêi: VËy M lín nhÊt b»ng 4
3
khi 2x – 1 = 0 => x = 2
1
14

15. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
§¸p sè: Mlín nhÊt= 4
3
víi x = 2
1
VÝ dô 8: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña B =
4-x-2x
1
2
Híng dÉn gi¶i:
Ta cã: B =
4-x-2x
1
2 = -
42x-x
1
2
+
= - 31)-(x
1
2
+
V× (x - 1)2
≥ 0 => (x + 1)2
+ 3 ≥ 3
=> 31)-(x
1
2
+
≤
3
1
=> - 31)-(x
1
2
+
≥ - 3
1
VËy B nhá nhÊt b»ng - 3
1
khi x – 1= 0 => x =1
§¸p sè: Mnhá nhÊt = - 3
1
víi x = 1
Chó ý: Khi gÆp d¹ng bµi tËp nµy c¸c em thêng xuyªn
lËp luËn r»ng M (hoÆc B) cã tö lµ h»ng sè nªn M (hoÆc B)
lín nhÊt (nhá nhÊt) khi mÉu nhá nhÊt (lín nhÊt)
LËp luËn trªn cã thÓ dÉn ®Õn sai lÇm, ch¼ng h¹n víi
ph©n thøc
3
1
2
−x
MÉu thøc x2
- 3 cã gi¸ trÞ nhá nhÊt lµ -3 khi x = 0
Nhng víi x = 0 th×
3
1
2
−x
= - 3
1
kh«ng ph¶i lµ gi¸ trÞ lín
nhÊt cña ph©n thøc
Ch¼ng h¹n víi x = 2 th×
3
1
2
−x
= 1 > - 3
1
Nh vËy tõ -3 < 1 kh«ng thÓ suy ra - 3
1
> 1
1
15

16. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
VËy tõ a < b chØ suy ra ®îc a
1
> b
1
khi a vµ b cïng
dÊu .
d¹ng 5:Bµi to¸n T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña ph©n thøc
cã mÉu lµ b×nh ph¬ng cña nhÞ thøc
VÝ dô 9 T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A = 2
2
)1(
1
+
++
x
xx
C¸ch1:
Gîi ý: H·y viÕt tö thøc díi d¹ng lòy thõa cña x + 1, råi
®æi biÕn b»ng c¸ch viÕt A díi d¹ng tæng c¸c biÓu thøc lµ
lòy thõa cña 1
1
+x
. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i: Ta cã: x2
+ x + 1 = (x2
+ 2x + 1) - (x +1) +
1
= (x + 1)2
- (x + 1) + 1
Do ®ã A = −
+
+
2
2
)1(
)1(
x
x
+
+
+
2
)1(
)1(
x
x
2
)1(
1
+x = 1 - 1
1
+x
+ 2
)1(
1
+x
§Æt y= 1
1
+x
khi ®ã biÓu thøc A trë thµnh: A = 1 - y +
y2
Ta cã: A = 1 - y + y2
= y2
– 2.y. 2
1
+ ( 2
1
)2
+ 4
3
=
2
2
1






−y + 4
3
≥
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 4
3
khi vµ chØ khi:
2
1
1
1
2
1
0
2
1
=
+
⇔=⇒=−=
x
yy
⇔ x + 1 = 2
16

17. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
⇔ x = 1
§¸p sè: Anhá nhÊt =
4
3
khi x = 1
C¸ch 2:
Gîi ý: Ta cã thÓ viÕt A díi d¹ng tæng cña mét sè víi mét
biÓu thøc kh«ng ©m. Tõ ®ã t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A.
Lêi gi¶i:
( ) ( ) ( )2
22
2
2
2
2
14
12363
14
144
1
1
+
+−+++
=
+
++
=
+
++
=
x
xxxx
x
xx
x
xx
A
2
22
)1(4
)1()1(3
+
−++
=
x
xx
A
2
2
)1(4
)1(
4
3
+
−
+=
x
x
A
2
)1(2
1
4
3






+
−
+=
x
x
A
A= 4
3
+ 





+
−
)1(2
1
x
x 2
≥
4
3
VËy gi¸ trÞ nhá nhÊt cña A b»ng 4
3
khi x-1=0 ⇒ x=1
§¸p sè: AnhánhÊt=
4
3
khi x=1
d¹ng 6: bµi to¸n t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt, lín nhÊt cña mét biÓu
thøc ®¹i sè b»ng c¸ch ®a vÒ d¹ng 2
)(
k
xA
≥ 0 (hoÆc 2
)(
k
xA
≤ 0)
VÝ dô 10:
T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: M(x) =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
(Víi x thuéc tËp hîp sè thùc)
17

18. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
Híng dÉn gi¶i:
Gîi ý: Tõ M(x) =
32
1063
2
2
++
++
xx
xx
ta cã:
M(x) =
32
1963
2
2
++
+++
xx
xx
=
32
1)32(3
2
2
++
+++
xx
xx
(?) Ta cã thÓ chia c¶ tö thøc vµ mÉu thøc cña biÓu
thøc cho x2
+ 2x + 3 ®îc kh«ng? V× sao?
Tr¶ lêi: V× x2
+ 2x + 3 = x2
+ 2x + 1 + 2 = (x+1)2
> 0 víi
mäi gi¸ trÞ cña x. nªn sau khi chia c¶ tö vµ mÉu cho x2
+ 2x +
3 ta ®îc
M(x) = 3 + 2)1(
1
2
++x
(?) Bµi to¸n xuÊt hiÖn ®iÒu g× míi?
Tr¶ lêi: Bµi to¸n trë thµnh t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu
thøc
2)2(
1
2
++x
(?) H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña 2)(
1
2
++x
tõ ®ã suy ra
gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x)
Tr¶ lêi: V× (x+1)2
≥ 0 Víi mäi x
Nªn (x+1)2
+ 2 ≥ 2 víi mäi x
Do ®ã 2)1(
1
2
++x
≤
2
1
Tõ ®ã ta cã:
M(x) = 3 + 2)1(
1
2
++x
≤ 3 + 2
1
= 3 2
1
DÊu “=” x¶y ra khi x+1=0 hay x=-1
18

19. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
VËy gi¸ trÞ lín nhÊt cña M(x) = 3 2
1
khi vµ chØ khi x=-1
§¸p sè: M(x)Lín nhÊt =3
2
1
víi x = -1
C. KÕt luËn
1. Thùc tiÔn kh¶o s¸t sau khi ¸p dông.
Sauk hi ¸p dôngc¸c c¸ch gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8
thùc tÕ häc sinh dÇn dÇn chó träng khi gi¶i to¸n chø kh«ng
lóng tóng nh tríc.
KÕt qu¶ t«i ®· thu ®îc sau khi ¸p dông ®Ò tµi nµy ®îc thÓ
hiÖn ë b¶ng sau:
Líp
SØ
sè
Giái Kh¸ TB YÕu- kÐm
SL % SL % Sl % SL %
8 49 05 10 34 0
19

20. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
2. KÕt qu¶:
Sau khi thùc hiÖn gi¶ng d¹y phÇn “ C¸c bµi to¸n cùc trÞ
trong ®¹i sè 8” theo néi dung ®Ò tµi nµy kÕt qu¶ mµ t«i thu
®îc kh¸ kh¶ quan.
§Ó gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ ®¹i sè ë líp 8 c¸c em
ph¶i biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c biÓu thøc ®aÞ sè, ph¶i biÕn
®æi vµ sö dông kh¸ nhiÒu c¸c h»ng ®¼ng thøc ®¸ng nhí tõ
d¹y ®¬n gi¶n ®Õn phøc t¹p. Ngoµi ra cßn liªn quan mËt thiÕt
®Õn c¸c kiÕn thøc chøng minh ®¼ng thøc bëi thÕ nãi c¸c
bµi to¸n cùc trÞ ®¹i sè 8 t¹o ra kh¶ n¨ng gióp häc sinh cã
®iÒu kiÖn ®Ó rÌn luyÖn kÜ n¨ng biÕn ®æi ®ång nhÊt c¸c
biÓu thøc ®¹i sè, kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t duy.
§Ò tµi nµy gióp häc sinh gi¶i quyÕt c¸c bµi to¸n vÒ cùc trÞ
trong ®¹i sè 8 cã PP h¬n, cã hiÖu qu¶ h¬n vµ vËn dông vµo
gi¶i quyÕt c¸c bµi tËp cã liªn quan kÝch thÝch ®îc sù ®am
mª häc to¸n nãi chung vµ sù say mª gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ
nãi riªng.
Yªu cÇu vÒ ph¸t huy tÝnh tù gi¸c rÌn luyÖn kh¶ n¨ng t duy
tÝch cùc ®éc lËp, s¸ng t¹o cña häc sinh th«ng qua ho¹t ®éng
gi¶i to¸n ®· ®îc häc.
VÒ mÆt t tëng c¸c bµi to¸n cùc trÞ gióp häc sinh thªm gÇn
gòi víi kݪn thøc thùc tÕ cña ®êi sèng, rÌn luyÖn nÕp nghØ
khoa häc . lu«n mong muèn lµm ®îc nh÷ng c«ng viÖc ®¹t
hiÖu qu¶ cao nh©t, tèt nhÊt.
3. Bµi häc kinh nghiÖm:
Víi ®Ò tµi “ Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n
cùc trÞ trong ®¹i sè” T«i ®· cè g¾ng hÖ thèng mét sè d¹ng c¬
b¶n nhÊt vÒ c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. Trong mçi
giê d¹y t«i cã ®a ra c¬ së lÝ thuyÕt vµ nh÷ng vÝ dô trong
mçi vÝ dô ®ã cã gîi ý vµ híng dÉn häc sinh c¸ch gi¶i vµ
nh÷ng chó ý cÇn thiÕt ®Ó khi gÆp c¸c vÝ dô kh¸c c¸c em cã
thÓ gi¶i ®îc.
20

21. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
C¸c d¹ng bµi tËp ®a ra tõ dÔ ®Õn khã, tõ ®¬n gi¶n
®Õn phøc t¹p nh»m gióp cho häc sinh cã nh÷ng kiÕn thøc c¬
b¶n vÒ gi¶i bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè 8. Bªn c¹nh ®ã t«i
cßn ®a ra c¸c vÝ dô lµ c¸c bµi to¸n tæng hîp c¸c kiÕn thøc vµ
kÜ n¨ng tÝnh to¸n, kh¶ n¨ng t duy ë cÊp häc nµy, qua ®ã lµm
cho c¸c em say mª høng thó häc tËp bé m«n To¸n.
Tuy nhiªn trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y vÉn cã rÊt nhiÒu
häc sinh cßn bì ngì trong qóa tr×nh gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ,
lËp luËn cha cã c¨n cø, suy diÔn cha hîp logic vµ ®Æc biÖt
lµ mét sè d¹ng cha phï hîp víi häc sinh trung b×nh, yÕu.
MÆc dï cã rÊt nhiÒu cè g¾ng nhng do thêi gian
kh«ng nhiÒu, do tr×nh ®é n¨ng lùc cña b¶n th©n vµ tµi liÖu
tham kh¶o cßn h¹n chÕ l¹i cha cã kinh nghiÖm trong lÜnh
vùc nghiªn cøu khoa häc nªn trong c¸ch tr×nh bµy kh«ng
tr¸nh khái nh÷ng s¬ xuÊt thiÕu sãt . RÊt mong nhËn ® îc sù
gióp ®ì, gãp ý cña c¸c thÇy , c« vµ vµ b¹n ®ång nghiÖp ®Ó
t«i cã thÓ rót kinh nghiÖm trong qu¸ tr×nh gi¶ng d¹y cña
m×nh trong thêi gian sau.
ThiÖu Minh, ngµy 08 th¸ng 3 n¨m 2009
Ngêi viÕt
NguyÔn ThÞ HuyÒn
Tµi liÖu tham kh¶o:
1. SGK To¸n 8- NXB Gi¸o dôc- Phan §øc ChÝnh, T«n
Th©n.
2. SBT To¸n 8 – NXB Gi¸o dôc- T«n Th©n chñ biªn
21

22. Híng dÉn häc sinh líp 8 gi¶i c¸c bµi to¸n cùc trÞ trong ®¹i sè
3. To¸n n©ng cao tù luËn vµ tr¾c nghiÖm §¹i sè 8- NXB
Gi¸o dôc- NguyÔn V¨n Léc.
4.To¸n båi dìng häc sinh líp 8 §¹i sè-NXB Gi¸o dôc
TrÇn San
5. §Ó häc tèt ®¹i sè 8- NXB Gi¸o dôc Hoµng Chóng Chñ
biªn
6. C¸c bµi to¸n ®¹i sè hay vµ khã – NXB Gi¸o dôc NguyÔn
§Ô
7. PP d¹y häc m«n to¸n – NXB Gi¸o dôc Ph¹m Gia §øc.
22