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Presentation juin

Soutenance de Thèse

Presentation juin

1  sur  54
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives




          Taux de franchissements pour processus non
          gaussiens et applications aux comportements
                          de structures

                                                 Thomas Galtier

                                                       Directeurs
                                                    Valérie Monbet
                                                      Igor Rychlik
                                 Rapporteurs                             Examinateurs
                                   José León                             Emile Le Page
                                Marc Prevosto                            Evans Gouno




      T. Galtier                              LMA et Taux de Franchissements                                       1
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives



Déroulement de la thèse


                              Université de Chalmers, Gotebörg, Suède
                          Centre de Modélisation Mathématiques de Gotebörg

                                Project Européen Seamocs
                          Modèles Stochastiques Appliqués à l’ingénierie
                          océanographique, climatologie et sécurité


                              Université de Bretagne Sud (UBS)
                          Laboratoire Lab-Sticc, Vannes


                             Bourse Région Bretagne

      T. Galtier                              LMA et Taux de Franchissements                                       2
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives



Plan


       1       Introduction

       2       Laplace à Moyenne Mobile

       3       Taux de Franchissements pour LMA

       4       Processus de Réponse

       5       Perspectives




      T. Galtier                              LMA et Taux de Franchissements                                       3
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives



Contexte


                   Transport maritime international = 90 % du commerce
                   mondial
                   Dans ce contexte la fiabilité et le dimensionnement des
                   navires est important
       Sources d’inquiétudes :
                   Endommagement en fatigue accumulée
                          S’accumule dès que le navire est mis à l’eau
                          Apparaît lorsque le niveau maximum des efforts reste
                          inférieur à la résistance ultime
                   Fissures localisées
                          Niveau des efforts plus élevé, dépasse la résistance ultime



      T. Galtier                              LMA et Taux de Franchissements                                       4
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives



Whipping

       Il existe des règles de classification que les constructeurs
       doivent suivre.
       Mais nouveaux matériaux, taille des navires, changements de
       route du navire, etc. => possible sous estimation des risques.
       Exemple :


                   Whipping ≈ Vibrations
                   à hautes fréquences ;
                   Augmentation
                   des efforts extrêmes ;
                   Identifié mais pas
                   pris encore en compte.


      T. Galtier                              LMA et Taux de Franchissements                                       5
Introduction       Laplace à Moyenne Mobile   Taux de Franchissements pour LMA   Processus de Réponse   Perspectives



Processus étudiés



       Les problèmes auxquels nous nous intéressons sont relatifs
       aux processus non gaussiens.
           1       Excitation non gaussienne
                          Ex : houle non linéaire en faible profondeur
           2       Propriétés non linéaires du système
                          Ex : mouvement de cavalement d’un navire
           3       Réponse non linéaire à une excitation non gaussienne
                          Ex : réponse à une houle non linéaire




      T. Galtier                              LMA et Taux de Franchissements                                       6

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  • 1. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Taux de franchissements pour processus non gaussiens et applications aux comportements de structures Thomas Galtier Directeurs Valérie Monbet Igor Rychlik Rapporteurs Examinateurs José León Emile Le Page Marc Prevosto Evans Gouno T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 1
  • 2. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Déroulement de la thèse Université de Chalmers, Gotebörg, Suède Centre de Modélisation Mathématiques de Gotebörg Project Européen Seamocs Modèles Stochastiques Appliqués à l’ingénierie océanographique, climatologie et sécurité Université de Bretagne Sud (UBS) Laboratoire Lab-Sticc, Vannes Bourse Région Bretagne T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 2
  • 3. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Plan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 3
  • 4. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Contexte Transport maritime international = 90 % du commerce mondial Dans ce contexte la fiabilité et le dimensionnement des navires est important Sources d’inquiétudes : Endommagement en fatigue accumulée S’accumule dès que le navire est mis à l’eau Apparaît lorsque le niveau maximum des efforts reste inférieur à la résistance ultime Fissures localisées Niveau des efforts plus élevé, dépasse la résistance ultime T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 4
  • 5. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Whipping Il existe des règles de classification que les constructeurs doivent suivre. Mais nouveaux matériaux, taille des navires, changements de route du navire, etc. => possible sous estimation des risques. Exemple : Whipping ≈ Vibrations à hautes fréquences ; Augmentation des efforts extrêmes ; Identifié mais pas pris encore en compte. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 5
  • 6. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Processus étudiés Les problèmes auxquels nous nous intéressons sont relatifs aux processus non gaussiens. 1 Excitation non gaussienne Ex : houle non linéaire en faible profondeur 2 Propriétés non linéaires du système Ex : mouvement de cavalement d’un navire 3 Réponse non linéaire à une excitation non gaussienne Ex : réponse à une houle non linéaire T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 6
  • 7. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple I Élévation de surface libre à un point fixé (mouvement d’une bouée en un point fixe) Skewness ≈ 0.25 Kurtosis ≈ 3.17 Faiblement non gaussien T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 7
  • 8. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple II Efforts mesurés dans la partie arrière d’un porte conteneur Skewness ≈ 1.12 Kurtosis ≈ 7.65 Clairement non gaussien Classiquement considéré comme une réponse linéaire à une excitation non gaussienne T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 8
  • 9. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Avantage d’un processus gaussien Processus caractérisé par sa structure d’ordre 2 (spectre ou fonction d’auto-covariance) ; Inconvénients d’un processus gaussien Ne permet pas marginales asymétriques . . . ou ayant des queues plus lourdes. On cherche donc à utiliser un processus qui 1 Aurait une structure d’ordre 2 facilement estimable ; 2 Permettrait une flexibilité plus importante sur les marges. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 9
  • 10. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Une classe de processus nous permet cela : Processus de Laplace - [Kotz et al. 2001] En effet ce processus est caractérisé par : Sa densité spectrale Et 4 paramètres permettant de modéliser des marges asymétriques . . . et ayant des queues plus lourdes que les gaussiennes. Et admet comme cas particuliers : Marges gaussiennes, exponentielles, gamma T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 10
  • 11. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Taux de franchissements Une statistique très importante en ingénierie offshore E[NT (u)] Analyse de l’endommagement en fatigue +∞ nb 1 DT = 2m(2u)m−1 E[NT (u)] du, α 0 où α et m sont des paramètres définis par les règles de classification. Estimation risque de fissure : pour MT = max Xt , 0≤t≤T P(MT > u) ≤ P(X0 > u) + E[NT (u)]. Quand Xt stationnaire et p.s. continument différentiable alors E[NT (u)] = T · µ(u). T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 11
  • 12. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Formule de Rice [1944,1945] Le taux de franchissements croissants d’un niveau u est donné par ∞ µ(u) = zfX (0),X (0) (u, z) dz ˙ 0 où fX (0),X (0) est la densité jointe de X et de sa dérivée ˙ temporelle X . ˙ µ(u) dépend donc de fX ,X (rarement explicite) . . . ˙ . . . sauf quand X (t) gaussien où la formule de Rice devient 1 ˙ Var(X (0)) u2 µG (u) = exp{− }. 2π Var(X (0)) 2Var(X (0)) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 12
  • 13. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Quand X (t) n’est pas gaussien la formule de Rice n’est pas donnée de façon explicite ; De plus la densité jointe, fX ,X , souvent difficile à calculer ; ˙ Simulation de Monte Carlo pas efficace en temps de calcul ; Différentes méthodes existent pour approcher µ(u) quand fX ,X n’est pas explicite . . . ˙ . . . notamment quand la fonction caractéristique est calculable explicitement. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 13
  • 14. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Objectifs de la thèse 1 Proposer un modèle de processus non gaussien Caractérisé par sa structure d’ordre 2 Permettant une plus grande flexibilité sur les marges. 2 Développer des méthodes pour évaluer les taux de franchissements pour Ce processus non gaussien La réponse à ce processus par un système quadratique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 14
  • 15. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Plan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 15
  • 16. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Modèle Stochastique X (t) = f (t − s) dΛ(s), R où f est un noyau adapté de L2 et Λ une mesure stochastique. Convolution de f avec les accroissements dΛ : f ∗ dΛ ; Si Λ Gaussien (Mouvement Brownien) X (t) Gaussien ; Dans notre cas Λ sera un mouvement asymétrique de Laplace. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 16
  • 17. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Mouvement de Laplace Un processus stochastique Λ(t) est appelé mouvement asymétrique de Laplace si 1 il commence à l’origine : Λ(0) = 0 ; 2 ses accroissements sont indépendants et stationnaires ; 3 ses accroissements dΛ suivent une distribution asymétrique généralisée de Laplace (GAL(µ, σ, τ )) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 17
  • 18. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Distributions Asymétriques Généralisées de Laplace Mieux décrites par leurs fonctions caractéristiques que par leurs densités qui sont difficiles à obtenir Si dΛ ∼ GAL(µ, σ, τ ) alors τ 1 φdΛ (u) = 1 2 2 1 + 2 σ u − iµu µ paramètre de symétrie ; σ paramètre d’échelle ; τ paramètre de forme. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 18
  • 19. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Relation Spectre - Noyau Spectre de X donné par σ 2 + µ2 S(ω) = τ |Ff (ω)|2 2π f est symétrique Exemple I Spectre estimé Noyau correspondant T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 19
  • 20. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives LMA On définit alors le processus de Laplace à moyenne mobile (LMA) par X (t) = f (t − s) dΛ(s) R Les paramètres du LMA dépendent donc des paramètres (µ, σ, τ ) du processus de Laplace Λ . . . et du noyau f défini par le spectre du processus S(ω). T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 20
  • 21. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Moments La moyenne et la variance sont données par E[X (t)] = τ µ f (x) dx, Var[X (t)] = τ σ 2 + µ2 . (1) R Le skewness et le kurtosis par 3 (x) 2µ2 + 3σ 2 Rf dx s = µτ −1/2 , (2) (µ2 + σ 2 )3/2 2 3/2 R f (x) dx 4 3 σ4 R f (x) dx κ= 2− 2 + σ 2 )2 2 . (3) τ (µ f 2 (x) dx R T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 21
  • 22. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Dans la suite pour une série temporelle observée on utilisera la procédure suivante pour estimer les paramètres du LMA 1 Estimation de la moyenne, variance, skewness et kurtosis 2 Estimation du spectre 3 Par inversion de Fourier on obtient le noyau f En supposant f symétrique et R f 2 dx = 1 4 Les paramètres (µ, σ, τ ) sont alors obtenus en résolvant les Eq.(1-3) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 22
  • 23. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Plan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 23
  • 24. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Taux de Franchissements Formule de Rice : ∞ µ(u) = zfX (0),X (0) (u, z) dz ˙ 0 Pour le LMA la densité jointe, fX (0),X (0) difficile à calculer ; ˙ Mais pour le LMA la fonction φX (0),X (0) est explicite ! ˙ On pourrait utiliser méthode de Fourier inverse [Aberg 2010] Ici on adapte la méthode du point selle pour un LMA car Très efficace en temps de calcul Méthode reposant sur la connaissance de la fonction génératrice des cumulants (ou des moments) K (s, t) = ln{φX (0),X (0) (−is, −it)}. ˙ T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 24
  • 25. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Méthode du Point Selle Introduite par Daniels (1954) pour approcher la densité jointe fX (0),X (0) en utilisant la fonction K (s, t) ˙ ˆ 1 ¨ ˆ −1/2 fX (0),X (0) (u, z) = ˙ ˆ |K (s, t)| exp K (s, ˆ − su − ˆ , ˆ t) ˆ tz 2π ¨ où K est la matrice Hessienne de K et le point selle (s, ˆ est ˆ t) solution de : ∂K (s, t) = u, ∂s ∂K (s, t) = z. ∂t T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 25
  • 26. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Méthode du Point Selle [Machado 2003] Machado : variante pour approcher µ(u) par h(0)eg(0) g (0) h (0) 1 g (4) (0) µsd (u) = √ 1+ − , 2π 2π 2h(0)g (0) 24 g (0)2 avec si on note L(s, t) = K (s, t) − su − tz : −1/2 g(t) = L(st , t), h(t) = L (st , t) où L (st , t) est la dérivée seconde en s st minimum local de L(s, t) pour un t fixé T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 26
  • 27. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Méthode du Point Selle LMA Pour X ∼ LMA, K (s, t) est explicite et symétrique K (s, t) = −τ log (r (x; s, t)) dx, R 2 σ2 où r (x; s, t) = 1 − iµ sf (x) + tf (x) + 2 sf (x) + tf (x) . K (s, t) et ses dérivées dépendent donc du noyau f et des paramètres du mouvement de Laplace (µ, σ, τ ) Méthode bien établie en théorie mais . . . Problèmes numériques T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 27
  • 28. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Contribution [Galtier 2011] Pour évaluer µsd (u) on doit d’abord trouver s0 solution de ∂K (s, 0) =u ∂s Équation non linéaire On utilise la fonction inverse s → u = ∂K∂s (s,0) On choisit un vecteur s et on calcule u(s) pour déterminer µsd (u(s)) Sensible au noyau f et au vecteur s Difficile de trouver s pour les niveaux u qui nous intéressent Calcul de dérivées d’ordre très élevé de K (s, t) Développé et intégré dans la boite à outil Wafo de Matlab T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 28
  • 29. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple I - Élévation de surface libre à un point fixé Échelle log . µobs (u) (ligne solide irrégulière) µsd (u) (ligne solide régulière) µG (u) (ligne pointillée) Point selle précis. Avec une hypothèse gaus- sienne on a une sous- estimation pour les niveaux élevés. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 29
  • 30. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple II - Efforts mesurés dans la partie arrière d’un porte conteneur Échelle log . µobs (u) (ligne solide irrégulière) µsd (u) (ligne solide régulière) µG (u) (ligne pointillée) Ligne irrégulière à cause de la variance d’estimation T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 30
  • 31. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Avantages et Inconvénients Avantages : Pratique et précis quand K (s, t) est connue et symétrique ; Permet de simuler rapidement µsd (u) pour u très grand Prédiction sur toute la durée de vie d’un navire ; Beaucoup plus rapide que méthode de Fourier inverse. Inconvénients : K (s, t) et M(s, t) peuvent ne pas exister ; Difficultés numériques Nécessite de trouver un minimum local Calcul des dérivées d’ordre élevées de K (s, t) Contribution : Fonctions automatisées sous Matlab [Galtier 2011] T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 31
  • 32. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Plan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 32
  • 33. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Représentation La réponse, Y (t), d’un système quadratique soumis à une excitation, notée X (t), peut s’écrire en série de Volterra : Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t), (4) où Y1 (t) = h1 (s)X (t − s) ds, R Y2 (t) = h2 (s1 , s2 )X (t − s1 )X (t − s2 ) ds1 ds2 . R×R où h1 (·) fonction de transfert linéaire h2 (·, ·) fonction de transfert quadratique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 33
  • 34. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Présentation du Problème Dans cette partie Y (t) comme dans Eq.(4) avec X (t) de type LMA. 1 Ecrire Y (t) quand X (t) = f (t − x)dΛ(x), (LMA) R 2 Proposer une méthode pour calculer µY (u) Précise Et pas trop couteuse en temps de calcul T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 34
  • 35. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Analyse de la Réponse Réécriture de Y (t) Y (t) = Y1 (t) + Y2 (t), avec Y1 (t) = q(t − x) dΛ(x), R 1 Y2 (t) = Q(t − x1 , t − x2 ) dΛ(x1 ) dΛ(x2 ). 2 R×R Où q(t) = h1 (s)f (t − s) ds, R Q(t, s) = h2 (s1 , s2 )f (t − s1 )f (s − s2 ) ds1 ds2 . R×R T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 35
  • 36. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Kac-Siegert (1947) On projette la réponse au système du second ordre, Y (t), sur la base de fonctions propres normalisées φi (·) n λi 2 Y (t) ≈ ai Wi (t) + W (t), (5) 2 i i=1 n ˙ Y (t) ≈ ˙ ˙ ai Wi (t) + λi Wi (t)Wi (t). (6) i=1 T Wi (t) = φi (t − x) dΛ(x) ∼ LMA −T T Q(t, s)φi (s) ds = λi φi (t) −T T ai = φi (s)q(s) ds. −T T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 36
  • 37. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Calcul des taux de franchissements de Y ∞ µY (u) = zfY (0),Y (0) (u, z) dz ˙ 0 1 Simulations de Monte Carlo trop couteuses 2 La densité jointe, fY (0),Y (0) , est ici difficile à obtenir ˙ 3 La réponse est une transformation quadratique de vecteurs {Wi (t)}n de processus LMA. i=1 4 Fonction caractéristique, φY (0),Y (0) (s, t), difficile à calculer ! ˙ ˙ les {Wi (t)}n et les {Wi (t)}n ne sont pas indépendants i=1 i=1 T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 37
  • 38. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives 1 Cas Particulier Y (t) = W1 (t) ∼ LMA, avec n = 1, a1 = 1 et λ1 = 0 dans Eq. (5) φY (0),Y (0) (s, t) explicite ˙ Méthode du point selle, µsd (u), pour approcher µY (u) [Galtier 2011]. 2 Cas Général Développer méthode basée sur méthode du point selle pour approcher µY (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 38
  • 39. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Relation avec Processus gaussiens Suivant Kotz et al. un mouvement de Laplace asymétrique Λ(x) peut s’écrire Λ(t) = µΓ(t) + σB(Γ(t)), où Γ(t) est un processus Gamma avec accroissements : Indépendants et homogènes ; De distribution gamma de paramètres de forme τ et d’échelle 1. B(x) mouvement brownien standard. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 39
  • 40. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Méthode "hybride" - [Galtier 2010] Simulations de MC et méthode du point selle ˙ Utilise le fait que W (t)|Γ(·) et W (t)|Γ(·) gaussiens ! Λ(t)|Γ(t)=γ(t) = µγ(t) + σB(γ(t)) ˙ M(s, t|γ) = E[esY (0)+t Y (0) |Γ(·) = γ(·)] explicite. Contribution µY (u) = E [E [NY (u)|Γ(·) = γ(·)]] 1 Point selle 2 Simulations de MC (trajectoires gamma) pour calculer µY (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 40
  • 41. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives M(s, t|γ) n’est pas, en général, symétrique en t ! Y (t) est un processus réversible en temps si q(·) et Q(·, ·) symétriques Hypothèse faite au départ On définit le processus suivant ˜ 1 Y (t) = KY (t) + (1 − K )Y (t), K ∼ B( ) 2 M(s, t) symétrique pour ce processus et NY (u) = NY (u) ˜ Donc µY (u) = E E NY (u)|Γ(·) = γ(·) ˜ T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 41
  • 42. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Méthodologie - Rappels On note µ(u|γ) = E NY (u)|Γ(·) = γ(·) ˜ Alors on a N 1 µY (u) ≈ µ(u|γi ) N i=1 1 On simule N trajectoires d’un processus gamma 2 On calcule µ(u|γi ) en utilisant méthode du point selle 3 On fait la moyenne pour approximation de µY (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 42
  • 43. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives On va considérer 3 exemples 1 Cas particulier où Y (t) = Y1 (t) ∼ LMA Méthode du point selle utilisée comme référence 2 Y (t) = Y1 (t) + λ Y1 (t) 2 2 µY (u) calculé à partir de µY1 (u) Etude de la méthode avec ajout effet quadratique 3 Exemple général T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 43
  • 44. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 1 - Cas particulier Y (t) = q(t − x) dΛ(x) ∼ LMA R 1 M(s, t) définie et explicite σ2 M(s, t) = exp −τ log(1 − r (x; s, t) − r (x; s, t)2 ) dx R 2 ˙ r (x; s, t) = sq(x) + t q(x) 2 q(·) symétrique donc M(s, t) symétrique 3 Méthode point selle utilisable T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 44
  • 45. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 1 - Effort mesuré dans la partie arrière d’un porte conteneur Existence d’oscillations HF, principalement whipping µsd (u) N = estimateur de µY (u) avec méthode hybride µsd (u) = méthode point selle classique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 45
  • 46. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 1 - 1 réalisation de µsd (u) pour N N simulations de γi avec N = 102 (3.8 sec) N = 103 (≈ 38 sec) N = 104 (+ 6 min) Méthode point selle standard : µsd (u) (0.1 sec) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 46
  • 47. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 2 - λ 2 Y (t) = Y1 (t) + Y (t) 2 1 On montre que 1 2u 1 1 2u 1 µY (u) = µY1 − + + 2 + µY1 − − + 2 λ λ λ λ λ λ µY1 (u) calculé par méthode du point selle On prend Y1 (t) comme dans l’exemple I On choisit λ = 0.01 pour que contribution de la partie linéaire soit similaire à celle de la partie quadratique T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 47
  • 48. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 2 - 1 réalisation de µsd (u) pour N N simulations de γi avec N = 102 N = 103 N = 104 Méthode point selle standard : µsd (u) T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 48
  • 49. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 3 - Choix des fonctions q(·) et Q(·, ·) √ q(s) = exp(−s2 /50)/ 25π, −25 ≤ s ≤ 25 (s − t)2 Q(t, s) = 0.01 exp(− ) 50 T Paramètres de Λ(x) tels que Y1 (t) = −T q(t − s)dΛ(s) une moyenne nulle, variance 1, skewness 0.5 et kurtosis 4.5 Pour Q(t, s) seulement 12 λi = 0 de façon significative On prend N = 1000 simulations de γi ici car pour N = 100 la variabilité est trop importante T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 49
  • 50. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Exemple 3 - MC simulations et méthode hybride pour N = 1000 Comparaison avec excitation gaussienne et même fonctions de transferts. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 50
  • 51. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Remarques sur méthode hybride [Galtier 2010] Les niveaux de précision de la méthode dépendent du nombre de simulations N de trajectoires gamma. Sans prendre en compte le caractère non gaussien de l’excitation on peut faire une erreur ≈ 100% Méthode plus rapide que pures simulations Applicable quand q(·) et Q(·, ·) symétriques Sur les exemples testés, pour N ≤ 1000 simulations il y a une trop grande variabilité dans les résultats T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 51
  • 52. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Plan 1 Introduction 2 Laplace à Moyenne Mobile 3 Taux de Franchissements pour LMA 4 Processus de Réponse 5 Perspectives T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 52
  • 53. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives Sur la méthode hybride Intégrer la méthode hybride dans boite à outil Wafo Tester la méthode hybride sur des données rélles Etudier la convergence dans L1 de µsd (u) (obtenir un TCL) N Sur le modèle de Laplace à moyenne mobile Etudier statistiques d’ordre plus élevées (comme durée de persistance) Etendre à un modèle spatio-temporel Apport de ce modèle par rapport à ceux existants T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 53
  • 54. Introduction Laplace à Moyenne Mobile Taux de Franchissements pour LMA Processus de Réponse Perspectives T. Galtier. Note on the estimation of crossing intensity for laplace moving average. Extremes, 14(2) :157–166, 2011. T. Galtier, S. Gupta, and I. Rychlik. Approximation of crossing intensities for non linear responses subjected to non gaussian loadings. In OMAE 2010, Shanghai, 2010. T. Galtier, S. Gupta, and I. Rychlik. Crossings of second-order response processes subjected to lma loadings. Journal of Probability and Statistics, 2010 :22 pages, 2010. W. Mao, Z. Li, T. Galtier, J. Ringsberg, and I. Rychlik. Estimation of wave loading induced fatigue accumulation and extreme response of a container ship in severe seas. In OMAE 2010, Shanghai, 2010. T. Galtier LMA et Taux de Franchissements 54