IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Objetivos:
Identificar las identidades trigonométricas
fundamentales.
Aplicar las identidades fundamentales, en
la demostración y simplificación de
expresiones trigonométricas.

RELACIONES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES A PARTIR DEL
CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO UNITARIO
Fichas con las que se demostraran las
identidades trigonométricas.
x
r=1
𝜃
y 𝑠𝑒𝑛𝜃 =
𝑦
1
= 𝑦 𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1
𝑦
𝑐𝑠𝑐𝜃 =
1
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑥
𝑠𝑒𝑐𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 =
𝑥
1
= 𝑥
Utilizando el teorema
de pitágoras
𝑥2
+ 𝑦2
=1 𝑠𝑒𝑛2
𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2
𝜃 = 1
𝑐𝑠𝑐2
𝜃 = 1 + 𝑐𝑜𝑡2
𝜃 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑦
𝑥 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
𝑥
𝑦 𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
1
𝑐𝑜𝑡𝜃
𝑐𝑜𝑡𝜃 =
1
𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑠𝑒𝑛2 𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 𝑐𝑜𝑠2 𝜃 = 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃

Las relaciones deducidas anteriormente reciben el nombre
de identidades trigonométricas fundamentales, y son
las fichas con las cuales vamos a jugar para simplificar
expresiones trigonométricas y demostrar identidades
trigonométricas.
DEFINICIÓN: Una identidad trigonométrica es una igualdad
que se cumple para cualquier valor del ángulo.
DEMOSTRAR una identidad es un proceso de comprobar si
una identidad es realmente una identidad, para lo cual se
hacen transformaciones, se usan las identidades
fundamentales.
SIMPLIFICAR una expresión trigonométricas consiste en
convertir la expresión original en otra más simple y
elemental.

CONSEJOS AL DEMOSTRAR:
1. Algunas veces, conviene expresar las funciones en términos
de seno y coseno.
2. También, realizar operaciones aritméticas y
algebraicas(factorización y/o simplificación).
3. Ó utilizar algún artificio si es necesario.
4. Trabajar con el miembro más complejo para convertirlo en el
otro.

DEMOSTRACIÓN DE IDENTIDADES
TRIGONOMÉTRICAS

𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜 1: 𝐷𝑒𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 9𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 5𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 5 + 4𝑠𝑒𝑐2 𝜃
Demostración
9𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 5𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 9𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 5(𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 1), ya que
= 9 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 5𝑠𝑒𝑐2 𝜃 + 5 , destruyendo paréntesis
= 4𝑠𝑒𝑐2 𝜃 + 5 Reduciendo términos semejantes
= 5 + 4𝑠𝑒𝑐2
𝜃 Ordenando
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
 𝑠𝑒𝑐2
𝜃 = 1 + 𝑡𝑎𝑛2
𝜃
 𝑡𝑎𝑛2 𝜃 = 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 1

ejemplo 2: demuestre la siguiente identidad trigonométrica
DEMOSTRACIÓN
sustituyendo 𝑐𝑠𝑐2
𝑥 𝑝𝑜𝑟
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
= 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙
1
𝑠𝑒𝑛𝑥
, cancelando seno nos queda
= 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 1
= 𝑠𝑒𝑐2 𝑥 Ya que 1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 = 𝑠𝑒𝑐2 𝑥
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
xSecxCscxSenxTan 22

𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙ 𝑐𝑠𝑐𝑥 = 𝑡𝑎𝑛2
𝑥 + 𝑠𝑒𝑛𝑥 ∙
1
𝑠𝑒𝑛𝑥

Ejemplo 3.- Demostrar la siguiente identidad:
Demostración
Factorizando la suma de cubo
Simplificando el factor común
Agrupamos (𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 1)
como 𝑡𝑎𝑛2
θ + 1 = 𝑠𝑒𝑐2
𝜃, se tiene
Con lo que queda demostrada la identidad trigonométrica.
𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 1
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1
= 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃
𝑡𝑎𝑛3
𝜃 + 1
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1
=
(𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1)(𝑡𝑎𝑛2
𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 ∙ 1 + 12
)
𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1
=
(𝑡𝑎𝑛𝜃+1)(𝑡𝑎𝑛2 𝜃−𝑡𝑎𝑛𝜃∙1+1)
(𝑡𝑎𝑛𝜃+1)
= 𝑡𝑎𝑛2
𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃 + 1
= (𝑡𝑎𝑛2
𝜃 + 1) − 𝑡𝑎𝑛𝜃
= 𝑠𝑒𝑐2 𝜃 − 𝑡𝑎𝑛𝜃

Ejemplo 4.- Demostrar la siguiente identidad:
Demostración:
Multiplicando numerador y denominador por (1 + 𝑠𝑒𝑛𝜃)
Resolviendo el producto de la suma por la diferencia de dos
cantidades
sustituyendo 1 − 𝑠𝑒𝑛2 𝜃 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑠2 𝜃
Cancelando 𝑐𝑜𝑠𝜃
Con lo que hemos demostrado la identidad trigonométrica
1 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
1+𝑠𝑒𝑛𝜃
1 −𝑠𝑒𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
(1−𝑠𝑒𝑛𝜃)(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)
𝑐𝑜𝑠𝜃(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)
=
1−𝑠𝑒𝑛2 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)
=
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)
=
𝑐𝑜𝑠2 𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)
=
𝑐𝑜𝑠𝜃
(1+𝑠𝑒𝑛𝜃)