1.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
1) Véc tơ pháp tuyến, phương trình tổng quát của mặt phẳng
( ) 2 2 2
; ; , 0= + + >n A B C A B C có phương vuông góc với (P) được gọi là véc tơ pháp tuyến của (P).
(P) đi qua điểm ( )0 0 0; ;M x y z và có véc tơ pháp tuyến ( ); ;=n A B C thì có phương trình được viết dạng
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0: 0.P A x x B y y C z z− + − + − =
(P) có véc tơ pháp tuyến ( ); ;=n A B C thì có phương trình tổng quát ( ): 0.P Ax By Cz D+ + + =
(P) đi qua ba điểm phân biệt A, B, C thì có véc tơ pháp tuyến ;Pn AB AC =  
(P) đi qua điểm A và song song với (Q) thì ta chọn cho =P Qn n
(P) đi qua điểm A và vuông góc với hai mặt phẳng phân biệt (α), (β) thì ;
α
α β
β
 ⊥  → =  ⊥
P
P
P
n n
n n n
n n
(P) đi qua điểm A và song song với hai véc tơ ;a b thì ;
 ⊥  → =  
⊥
P
P
P
n a
n a b
n b
(P) đi qua điểm A, B và vuông góc với (α) thì ; α
α
 ⊥  → =  
⊥
P
P
P
n AB
n AB n
n n
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) trong các trường hợp sau:
a) qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ( )= −1; 2;1 .n
b) qua M(2; 0; 1) và song song với (Q): x + 2y + 5z −−−− 1 = 0.
c) qua M(3; −−−−1; 0) và vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z −−−− 1 = 0; (R): 2x + 3y −−−− z −−−− 5 = 0.
Hướng dẫn giải:
a) (P) đi qua M(1; 1; 2) và có véc tơ pháp tuyến ( )1; 2;1= −n nên có phương trình
( ) ( ) ( ) ( ): 1. 1 2. 1 1. 2 0 2 1 0− − − + − = ⇔ − + − =P x y z x y z
b) (P) // (Q) nên // ,P Qn n chọn ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1;2;5 :1. 2 2. 0 5. 1 0= = → − + − + − =P Qn n P x y z
( ): 2 5 7 0.→ + + − =P x y z
c) (P) qua vuông góc với hai mặt phẳng (Q): 4x + z − 1 = 0; (R): 2x + 3y − z − 5 = 0 nên có véc tơ pháp tuyến
( ) ( ) ( )
4 0 1
; 3;6;12 3 1; 2; 4 1; 2; 4
2 3 1
 ⊥   → = = = − = − − − ⇒ = − −   −⊥
P Q
P Q R P
P R
n n
n n n n
n n
Khi đó (P) có phương trình ( ) ( )1. 3 2. 1 4 0 2 4 5 0− − + − = ⇔ − − − =x y z x y z
Ví dụ 2. Cho A(–1; 2; 3), B(2; –4; 3), C(4; 5; 6).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và nhận vectơ ( )1; 1;5−n làm vectơ pháp tuyến
b) Viết phương trình mặt phẳng đi qua A biết rằng hai véctơ có giá song song hoặt nằm trong mặt phẳng đó là
( ) ( )1;2; 1 , 2; 1;3− −a b
c) Viết phương trình mặt phẳng qua C và vuông góc với đường thẳng AB.
d) Viết phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn AC.
e) Viết phương trình (ABC).
Ví dụ 3. Cho A(–1; 2; 1), B(1; –4; 3), C(–4; –1; –2).
a) Viết phương trình mặt phẳng đi qua I(2; 1; 1) và song song với (ABC).
b) Viết phương trình mặt phẳng qua A và song song với (P): 2x – y – 3z – 2 = 0.
03. PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG
Thầy Đặng Việt Hùng

2.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
c) Viết phương trình mặt phẳng qua hai điểm A, B và vuông góc với (Q): 2x – y + 2z – 2 = 0.
d) Viết phương trình mặt phẳng qua A, song song với Oy và vuông góc với (R): 3x – y – 3z – 1 = 0.
e) Viết phương trình mặt phẳng qua C song song với (Oyz).
Ví dụ 4. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (β) cho trước, với:
a)
( )
3 1 1 2 1 4
2 3 1 0
 − −

− + − = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
b)
( )
2 1 3 4 2 1
2 3 2 5 0
 − − −

+ − + = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
c)
( )
2 1 3 4 7 9
3 4 8 5 0
 − − −

+ − − = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
d)
( )
3 1 2 3 1 2
2 2 2 5 0
 − − −

− − + = β
( ; ; ), ( ; ; )
:
A B
x y z
Ví dụ 5. Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua điểm M và giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q) cho trước, với:
a) ( ) ( ) ( )1 2 3 2 3 5 0 3 2 5 1 0− − + − = − + − =; ; , : ,M P x y z Q : x y z
b) ( ) ( ) ( )2 1 1 4 0 3 1 0− − + − = − + − =; ; , : ,M P x y z Q : x y z
c) ( ) ( ) ( )3 4 1 19 6 4 27 0 42 8 3 11 0− − + = − + + =; ; , : ,M P x y z Q : x y z
d) ( ) ( ) ( )0 0 1 5 3 2 5 0 2 1 0− + − = − − − =; ; , : , :M P x y z Q x y z
Ví dụ 6. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời song song với mặt
phẳng (R) cho trước, với:
a) 2 4 0 3 0 2 0P y z Q x y z R x y z( ): , ( ): , ( ) :+ − = + − − = + + − =
b) 4 2 5 0 4 5 0 2 19 0P x y z Q y z R x y( ) : , ( ): , ( ):− + − = + − = − + =
c) 3 2 0 4 5 0 2 7 0P x y z Q x y R x z( ): , ( ) : , ( ):− + − = + − = − + =
Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng (α) qua giao tuyến của hai mặt phẳng (P), (Q), đồng thời vuông góc với mặt
phẳng (R) cho trước, với:
a) 2 3 4 0 2 3 5 0 2 3 2 0P x y Q y z R x y z( ) : , ( ) : , ( ) :+ − = − − = + − − =
b) 2 4 0 3 0 2 0P y z Q x y z R x y z( ): , ( ): , ( ):+ − = + − + = + + − =
c) 2 4 0 2 5 0 2 3 6 0P x y z Q x y z R x y z( ) : , ( ): , ( ) :+ − − = + + + = − − + =
d) 3 2 0 4 5 0 2 7 0P x y z Q x y R x z( ): , ( ) : , ( ):− + − = + − = − + =
2) Một số dạng phương trình mặt phẳng đặc biệt
Mặt phẳng (xOy): véc tơ pháp tuyến là Oz và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là z = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxy) có phương trình
là z − a = 0.
Mặt phẳng (yOz): véc tơ pháp tuyến là Ox và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là x = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oyz) có phương trình
là x − a = 0.
Mặt phẳng (xOz): véc tơ pháp tuyến là Oy và đi qua
gốc tạo độ nên có phương trình là y = 0.
Đặc biệt, mặt phẳng song song với (Oxz) có phương trình
là y − a = 0.
Mặt phẳng trung trực:
Cho hai điểm A, B. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB
đi qua trung điểm I của AB và nhận AB làm véc tơ pháp
tuyến.
Phương trình mặt chắn:
Nếu mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ lần lượt tại các

3.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
điểm ( ) ( ) ( );0;0 , 0; ;0 , 0;0;A a B b C c thì (P) có phương
trình đoạn chắn: ( ): 1+ + =
x y z
P
a b c
.
Một số đặc điểm của mặt chắn:
+ Độ dài ; ;= = =OA a OB b OC c
+ Thế tích tứ diện
1 1
. .
6 6
= =OABCV OAOB OC abc
+ Chân đường cao hạ từ O xuống (ABC) trùng với trực
tâm H của tam giác ABC.
Ví dụ 1. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể
tích tứ diện OABC nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải:
• Giả sử mặt phẳng cần lập cắt các tia Ox, Oy, Oz tại A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c). Do mặt phẳng cắt các tia nên
Ta có a, b, c > 0
Phương trình mặt chắn( ): 1.+ + =
x y z
P
a b c
• Do ( )
2 2 2 1 1 1 1
1
2
∈ → + + = ⇔ + + =M P
a b c a b c
Ta có
1
; ;
6
= = = → =OABCOA a OB b OC c V abc
• Do a, b, c là ba số dương nên theo Côsi ta có 3
3 3
1 1 1 3 1 3
6 216
2
+ + ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥ ⇔ ≥abc abc
a b c abc abc
min
1
.216 36 36 6
6
→ ≥ = ⇒ = ⇔ = = =OABCV V a b c , từ đó ta được phương trình (P): x + y + z – 6 = 0
Ví dụ 2. Cho điểm A(1; 0; 0) và mặt phẳng (P): y – z + 1 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với
(P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho diện tích tam giác ABC bằng 6.
Đ/s: ( ): 1
2 2
y z
ABC x ± ± =
Ví dụ 3. Cho điểm A(2; 0; 0) và điểm M(2; 3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua A, M sao cho (α) cắt các trục
Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 2OABCV = , với O là gốc tọa độ.
Đ/s: ( ): 1; 1
2 3 2 2 3 2
x y z x y z
ABC + − = − + =
Ví dụ 4. Cho điểm A(–2; 0; 0) và mặt phẳng (P): x + 2z + 3 = 0. Viết phương trình mặt phẳng đi qua A, vuông góc với
(P) và cắt các trục Oy, Oz lần lược tại các điểm B, C sao cho 4OABCV =
Đ/s: ( ): 1
2 3 4
x y z
ABC − + + =
Ví dụ 5. Cho điểm B(0; 3; 0) và điểm M(1; -3; 2). Viết phương trình mặt phẳng (α) đi qua B, M sao cho (α) cắt các
trục Ox, Oz lần lược tại các điểm A, C sao cho
7
2
ABCS = , với O là gốc tọa độ.
Đ/s: ( )α : 1
3 2
y z
x + + =
Ví dụ 6. Viết pt mp đi qua M(2; 1; 4) và cắt các trục Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C sao cho OA = OB = OC.

4.
LUYỆN THI ĐẠI HỌC MÔN TOÁN – Thầy Hùng Chuyên đề HÌNH HỌC GIẢI TÍCH KHÔNG GIAN
Học trực tuyến tại: www.moon.vn Mobile: 0985.074.831
Ví dụ 7. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(2; 2; 2) cắt các tia Ox, Oy,Oz tại các điểm A, B, C sao cho thể tích tứ
diện OABC nhỏ nhất.
Ví dụ 8. Viết phương trình mặt phẳng đi qua M(1; 1; 1) cắt các tia Ox, Oy,Oz lần lược tại các điểm A, B, C sao cho
tam giác ABC cân tại A, đồng thời M là trọng tâm tam giác ABC.