Cientifico Matemático Apolonio Paerga

1. TRABAJO ESPECIAL BIOGRAFÍA DE L MATEMÁTICO Apolonio de Perga – GEOMETRÍA Nombre :Victor BerríosRodriguez Escuela Rafael Quiñonez Vidal (Caguas) Grado: 9-2 Maestra: Fecha de entrega: 15 de marzodel 2011 8:00 a.m.

2. INDICE 1- IntroduccionMatemáticoApolonioParga………………………………………….-1-2- 2- Foto del Matemático…………………………………………………………………………..-3- 3- Historia del matemático……………………………………………………........-4-5-6-7-8-9-10-11 - 4- Datos de su Vida …………………………………………………………………………....-12-13-14 5- Conclusión ……………………………………………………………………………………….-15 6- bibliografía-……………………………………………………………………………………..-16

3. Introducción El lenguaje de Apolonio es, por supuesto, un lenguaje sintético, utilizando a la perfección los viejos procedimientos pitagóricos de la aplicación de áreas. Los resultados sin embargo son fácilmente traducibles al lenguaje de la geometría analítica. Lo que resulta profundamente sorprendente y llamativo es que Apolonio sea capaz de llegar tan lejos sin asomo de utilización de los métodos avanzados de la geometría y del cálculo de los que nosotros disponemos. En su forma más elemental, la geometría se preocupa de problemas métricos como el cálculo del área y diámetro de figuras planas y de la superficie y volumen de cuerpos sólidos. En la actualidad ya no cabe hablar de geometría en el antiguo sentido de una rama autónoma de la matemática, sino más bien de un "lenguaje geométrico", aplicado a un grupo de propiedades integrantes de una matemática unificada y unificadora. Según la naturaleza de esas propiedades se tienen distintas geometrías, que con sus caracteres generales son: Geometría analítica: Es más un método que una geometría, pues consiste en el estudio de las figuras con recursos algebraicos, mediante la introducción de coordenadas que en general establecen una correspondencia entre los entes geométricos: puntos, curvas, superficies y los números y ecuaciones. Geometría diferencial: En cierto sentido es una aplicación de la anterior, ya que consiste en estudiar las propiedades de las curvas y de las superficies con los recursos del análisis infinitesimal. Geometría euclidiana: Se basa en los postulados de los Elementos de Euclides y en ella es válida la propiedad de que por un punto puede trazarse una sola paralela a una recta. Geometría no euclidiana: En ésta no vale el postulado de la paralela única, por tanto admite que por un punto pueden trazarse dos paralelas a una recta (Geometría hiperbólica) o ninguna paralela (Geometría elíptica); así tenemos también la Geometría de dimensiones, descriptiva, métrica, afine y proyectiva, la topología, etcétera. Pagína-1-

4. El problema de Apolonio (Apolonio de Perga, 262-190 a.C.), se plantea en el tratado sobre tangencias y se enuncia de la siguiente forma: Dados tres objetos, cada uno de los cuales puede ser punto, recta o circunferencia, construir una circunferencia que sea tangente a los tres objetos dados. (o que los contenga en el caso de los puntos) Al hacer las combinaciones de tres objetos (puntos, rectas o circunferencias) resultan los casossiguientes: 1. Dados tres puntos no colineales, construir una circunferencia que los contenga. 2. Dadas tres rectas, construir una circunferencia que sea tangente a las tres rectas. 3. Dados dos puntos y una recta, construir una circunferencia tangente a la recta y que contenga a los dos puntos. 4. Dadas dos rectas y un punto, construir una circunferencia que sea tangente a las dos rectas y que contenga al punto. 5. Dados dos puntos y una circunferencia, construir una circunferencia que contenga a los dos puntos y sea tangente a la circunferencia dada. Pagína -2-

5. Foto del Matemático Apolonio de Perga Matemático griego Floreció hacia 250-220 a de C. Pagína -3-

6. Historia del Matemático El problema de Apolonio- Dados tres objetos que pueden ser, cada uno de ellos, puntos, rectas o circunferencias, dibujar una circunferencia tangente a las tres.- presenta 10 casos: 1. Tres puntos tratado en el Libro IV de los Elementos de Euclides 2. Tres rectas tratado en el Libro IV de los Elementos de Euclides 3. Dos puntos y una recta 4. Dos rectas y un punto 5. Dos puntos y una circunferencia 6. Dos circunferencias y un punto 7. Dos rectas y una circunferencia 8. Dos circunferencias y una recta 9. Un punto, una recta y una circunferencia 10. Tres circunferencias. Su mayor reconocimento es la resolución de "El problema de Apolonio", problema que planteó y que buscaba las circunferencias tangentes a tres circunferencias y que aparece en su obra "Las Tangencias o Los Contactos". Precisamente sobre la obra del "Gran Geómetra", y sobre todo del problema de Apolonio se tratará a lo largo de las diferentes entradas. Pagína -4-

7. Entre los estudiosos de la historia de la matemática las cuatro figuras más descollantes de la antigüedad clásica son: Euclides, Arquímedes, Apolonio y Pitágoras. La mayor parte de la obra de estos autores y escuelas se han preservado gracias al aporte de las cultura árabe, por medio de traducciones a esa lengua. Por ejemplo Ibn al-Haytham (965-1041) hace una reconstrucción del libro VIII de las Cónicas. Desafortunadamente en gran medida se han perdido incluso las fuentes árabes. Existe alguna posibilidad de encontrarse algún manuscrito en la Biblioteca del Vaticano o en San Lorenzo del Escorial, el tiempo lo dirá. Esas cajas selladas llenas de documentos deben poseer verdaderas maravillas. Pagína -5-

8. Glosario Una cónica o sección cónica es una de las curvas (círculo, parábola, hipérbola o elipse) que pueden obtenerse intersectando un plano y un cono (de doble lado). Una parábola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran a la misma distancia de una recta fija (directriz) y de un punto fijo (foco). También se puede definir usando coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación y = x2. Una elipse es una de las secciones cónicas. Puede definirse como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e que es < 1. A e se le llama la excentricidad de la elipse. También se le puede definir mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 + by2 = 1. Una hipérbola es una de las secciones cónicas. Se puede definir como el lugar geométrico de todos los puntos tales que la suma de sus distancias a dos puntos fijos (focos) es siempre igual a una constante e > 1, o mediante coordenadas cartesianas como el conjunto de puntos en un plano que satisfacen la ecuación ax2 - by2 = 1. Una tangente a una curva en el punto p es la mejor aproximación lineal a la curva cerca de ese punto. Puede verse como el límite de todas las secantes desde el punto p a otros puntos cercanos a p. Si dos curvas tienen una tangente común en el punto de intersección, entonces se dice que las curvas se tocan o son tangentes. Una asíntota a una curva es una línea recta (o, de manera más general, otra curva) que está arbitrariamente cerca de la curva. Una hipérbola tiene un par de líneas rectas como asíntotas. Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que comparten una propiedad común. Por ejemplo, una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a un punto fijo (centro) es constante. Pagína -6-

9. Las cónicas se definen ahora como lugares de puntos en el plano para los que las distancias a una recta –directriz– y a un punto –foco– están en una determinada razón –excentricidad–. Esta definición se traslada de forma muy simple al lenguaje algebraico de ecuaciones de nuestra Geometría Analítica y además, la trigonometría permite mediante la rotación de ejes pasar fácilmente de la ecuación de la hipérbola referida a sus ejes a la referida a sus asíntotas. De modo que realmente impresiona la extraordinaria habilidad de Menecmo descubriendo la más útil familia de curvas de toda la Matemática y de toda la Ciencia y en ausencia del instrumento y el simbolismo algebraicos. Pero no sólo esto, sino que, independiente de su origen plano o estereométrico, Menecmo fue capaz de vincular ambos aspectos de las cónicas, mostrando que las secciones de los conos tenían importantes propiedades como lugares planos, traducibles en básicas expresiones geométricas (equivalentes a nuestras ecuaciones), que permitían deducir, a su vez, otras innumerables propiedades de las cónicas, que serían plasmadas por Apolonio en los primeros libros de Las Cónicas. Es bajo esta visión sobre el trabajo de Menecmo que algunos historiadores modernos (Zeuthen, Coolidge, Loria y Heath) reclaman para los griegos, y empezando por Menecmo, la paternidad de la Geometría Analítica, al establecer como la esencia de esta rama de la Matemática el estudio de los lugares por medio de ecuaciones. LA GENERACIÓN DE LAS CÓNICAS DE APOLONIO Construcción de Apolonio de las tres secciones cónicas mediante un cono único, variando la inclinación del plano que corta al cono. Parábola: el plano de corte es paralelo a una sola generatriz. Elipse: el plano de corte no es paralelo a ninguna generatriz. Hipérbola: el plano de corte es paralelo a dos de sus generatrices. Pagína -7-

10. normal La evolutade una curva es la envolvente de las normales a la curva. También puede considerarse como el lugar geométrico de los centros de curvatura. Un dodecaedro es un poliedro regular con 12 caras, cada una de las cuales es un pentágono regular. Un icosaedro es un poliedro regular con 20 caras, cada una de las cuales es un triángulo equilátero. Se dice que un círculo está inscrito en un triángulo u otro polígono si los lados de éste último son tangentes al círculo. Se dice entonces que el polígono está circunscrito al círculo. Al círculo inscrito en un triángulo se le llama incírculo y a su centro, incentro. Un número irracional es un número real que no es racional, es decir, que no puede escribirse como el cociente (división) de dos números enteros. Ejemplos: π, e, √2. La teoría excéntrica es la que plantea que los planetas se mueven en círculos cuyos centros no coinciden con la Tierra. Una epicicloide es la curva que dibuja el centro de un círculo que se arrastra alrededor de otro círculo. Los epiciclos fueron introducidos originalmente para explicar las órbitas de cuerpos planetarios entre las estrellas fijas. Pagína -8-

11. Sus Obras Los dos Libros sobre Los Lugares Planos estudiaban lugares geométricos rectilíneos o circulares. Mediante un lenguaje geométrico moderno buena parte del Libro I se puede resumir diciendo que la homotecia, la traslación, la rotación, la semejanza y la inversión, transforman un lugar plano en otro lugar plano. En el Libro II aparecen dos importantes lugares geométricos: A-«El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de los cuadrados de sus distancias a dos puntos fijos A, B, es constante, es una recta perpendicular al segmento AB». B- m«Ellugar geométrico de los puntos cuya razón de distancias a dos puntos fijoses constante, es una circunferencia». Pagína -9-

12. Portada de las edición de Paul Ver Eecke de Les Coniquesd’Apollonius de Perge. A. Blanchard. París, 1963. Esta magnífica versión de Paul Ver Eecke de la obra principal de Apolonio, publicada por La Librairiescientifique et technique Albert Blanchard de París es la primera traducción del griego al francés y dispone de una brillante introducción y de unas generosas notas de carácter histórico, filológico y matemático, aclaratorias y extensivas del texto original de Apolonio, que coadyuvan sobremanera a su intelección. La traducción al idioma francés de Ver Eecke de los siete Libros conservados de las Cónicas de Apolonio es literal, completa y fiel. «La traducción literal de las Cónicas de Apolonio que presentamos por primera vez en francés [Octubre de 1921] está basada sobre el texto griego de la edición crítica del gran helenista danés J.L. Heiberg (ApolloniiPergaeiquaeexstant, cum commentariisantiquisedidit et latine interpretatusest J.L. Heiberg, Lipsiae, 1891-93, 3 vol. ....)en lo que concierne a los cuatro primeros libros, y sobre la versión latina de Halley, realizada sobre el árabe, en lo que concierne a los tres libros siguientes cuyo texto griego se ha perdido». Pagína-10-

13. Las Cónicas está formado por 8 libros. Fue escrito cuando Apolonio estaba en Alejandría pero posteriormente, ya en Pérgamo (hoy Bergama en Turquía), lo mejoró. El libro I: trata de las propiedades fundamentales de estas curvas. El libro II trata de los diámetros conjugados y de las tangentes de estas curvas. El libro III: El libro IV: trata de las maneras en que pueden cortarse las secciones de conos. El libro V: estudia segmentos máximos y mínimos trazados respecto a una cónica. El libro VI: trata sobre cónicas semejante. El libro VII: trata sobre los diámetros conjugados. El libro VIII: se ha perdido, se cree que era un apéndice. Los métodos que utiliza Apolonio (uso de rectas como sistemas de referencia) son muy parecidos a los utilizados por Descartes en su Geometría y se considera una anticipación de la Geometría analítica actual. Pagína-11-

14. Datos de su Vida También, se le atribuye la hipótesis de las órbitas excéntricas o teoría de los epiciclos para intentar explicar el movimiento aparente de los planetas, así como la variabilidad de la velocidad de la luna. Conocido como "el gran geómetra" tuvo gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, introduciendo términos como parábola, elipse e hipérbola. Nació: alrededor del 262 a. de C. en Perga, Panfilia, Grecia Jónica (ahora Murtina, Antalia, Turquía) Murió: alrededor del 190 a. de C. en Alejandría, Egipto. Apolonio de Perga era conocido como 'el gran geómetra'. Sabemos poco de su vida pero sus trabajos tuvieron una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas, en particular su famoso libro Las cónicas1 introdujo términos tan familiares hoy en día como parábola2, elipse3 e hipérbola4. Apolonio de Perga, que había sido alumno del Museo, es autor de un libro sobre cónicas (las elipses, hipérbolas y parábolas), en ocho volúmenes, de los que se han conservado únicamente siete. El nombre de estas curvas se debe al hecho de que todas se obtienen mediante la sección, para ángulos distintos, del cono. Los descubrimientos geométricos de este matemático tendrán una importancia decisiva para el establecimiento de las formas de las órbitas (elípticas) seguidas por los planetas alrededor del Sol. Pagína -12-

15. Apolonio de Perga y las Cónicas Estudió en el Museo de Alejandría con los discípulos de Euclides y residió tanto en Alejandría como en Éfeso y Pérgamo. Esta última poseía una biblioteca y una escuela del Saber, similares a los de Alejandría, ciudad donde murió hacia el 190 a.C. Entre sus muchas obras la más conocida es Las cónicas, obra cumbre de la matemática griega junto con Los elementos de Euclides, los grandes tratados de Arquímedes, el Almagesto de Ptolomeo, etc. Apolonio demostró en sus Cónicas que de un cono pueden obtenerse cuatro tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono; esto fue un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los diferentes tipos de curvas y esta importancia se reveló casi 2000 años después cuando Kepler o Newton descubrieron su papel fundamental en la mecánica celeste. Si en muchos ámbitos hay que conceder a Apolonio el valor de pionero, entre todos ellos hay que destacar su papel trascendental en el advenimiento de la revolución científica a partir del Renacimiento. Así pues tenemos que Las Cónicas son: Un círculo: corte con un plano paralelo a la base del cono. Una elipse: corte oblicuo con respecto a la base. Una parábola: corte paralelo a una generatriz el cono que atraviesa su base. Una hipérbola: corte más o menos paralelo a la altura del cono enfrentado a su imagen unido por el vértice. Pagína -13-

16. La obra geométrica de Apolonio. ElTesoro del Análisis de La Colección Matemática de Pappus estaba constituido en gran parte por obras de Apolonio, perdidas o conservadas entonces de forma fragmentaria, que debían de incluir mucho material geométrico cuyo estudio forma parte hoy de la Geometría Analítica. Como se sabe, durante el siglo XVII hubo una auténtica obsesión, en particular por Fermat, por la reconstrucción de muchas de las obras perdidas de Apolonio y precisamente en esta labor estuvo el origen de su Geometría Analítica. Según Pappus debemos a Apolonio la clasificación clásica de los problemas geométricos en planos, sólidos y lineales –según sean resolubles, respectivamente, con rectas y circunferencias, cónicas u otras curvas superiores–, que perseguía la idea de ajustar la envergadura de los instrumentos geométricos a utilizar a la enjundia de los problemas geométricos a resolver. Pagína -14-

17. Conclusión Entre sus muchas obras la más conocida es Las cónicas, obra cumbre de la matemática griega junto con Los elementos de Euclides, los grandes tratados de Arquímedes, el Almagesto de Ptolomeo, etc. Apolonio demostró en sus Cónicas que de un cono pueden obtenerse cuatro tipos de secciones, variando la inclinación del plano que corta al cono; esto fue un paso importante en el proceso de unificar el estudio de los diferentes tipos de curvas y esta importancia se reveló casi 2000 años después cuando Kepler o Newton descubrieron su papel fundamental en la mecánica celeste. Si en muchos ámbitos hay que conceder a Apolonio el valor de pionero, entre todos ellos hay que destacar su papel trascendental en el advenimiento de la revolución científica a partir del Renacimiento. Pagína -15-

18. Bibliografía 1- es.wikipedia.org/wiki/Apolonio_de_Perge 2- www.cidse.itcr.ac.cr/revistamate/.../apolonio/pag1.htm 3- www.astroseti.org/articulo/.../biografia-de-apolonio-de-perga 4- historiadelaciencia.idoneos.com/index.php/366694 5- www.fisicanet.com.ar/biografias/.../a/apolonio.php 6- www2.infotelecom.es/.../Apolonio%20de%20Perga.htm 7- divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/.../Apolonio.asp 8- www.artehistoria.jcyl.es/historia/ Pagína 16