Εργασία στα Μαθηματικά από τους μαθητές του 59ου Γυμνασίου Αθηνών στα Πολύγωνα Υπεύθυνη καθηγήτρια Ελένη Τσουκαλά Σχολικό έτος 2012-2013

1. ΔΙΑΘΕΜΑΤΙΚΗ ΕΡΓΑΣΙΑ ΜΕ ΘΕΜΑ
« »ΤΑ ΚΑΝΟΝΙΚΑ ΠΟΛΥΓΩΝΑ ΓΥΡΩ ΜΑΣ
. 2012-2013 1Πραγματοποιήθηκε κατά το σχ Έτος με μαθητές από τα τμήματα Β και
2 .Β του σχολείου μας
Συχνά έχουμε την εντύπωση ότι τα γεωμετρικά σχήματα έχουν σχέση μόνο με το
.μάθημα της Γεωμετρίας
Σ΄αυτή την εργασία ασχολούμαστε με τα .κανονικά πολύγωνα Είναι αυτά που έχουν
, .όλες τους τις πλευρές ίσες αλλά και όλες τις γωνίες τους ίσες
.Βρήκαμε τα κανονικά πολύγωνα εκεί που δεν μπορούσαμε να το φανταστούμε
, .Παντού γύρω μας αρκεί να τα προσέξουμε
,Σε κατασκευές
1

2. ,σε αντικείμενα
.στην τέχνη
1 η
:Ομάδα Αρχαιολόγοι
,Έχουμε ευρήματα από τα οποία καταλαβαίνουμε ότι από τα αρχαία χρόνια οι
άνθρωποι χρησιμοποιούσαν τα κανονικά πολύγωνα είτε σε αντικείμενα είτε στη
.διακόσμηση
, , , ,Αρχαία ιερά Ναοί Μαντεία Πόλεις Μνημεία και γενικά χώροι ιδιαίτερης σημασίας
για τους αρχαίους προγόνους μας βρίσκονται σε άμεση σχέση μεταξύ τους
( , ,σχηματίζοντας διάφορα γεωμετρικά σχήματα τρίγωνα τετράγωνα διάφορα
, ),πολύγωνα κύκλους καταδεικνύοντας πωςέχουν χτιστεί σε επιλεγμένες θέσεις σε
.ολόκληρο τον τότε γνωστό Ελληνικό κόσμο βάσει σχεδίου
2

3. Ολυμπία
Δωδώνη
Τροφώνιο
Το τρίγωνο Δωδώνης -Ολυμπίας – Τροφωνίου .μαντείου είναι ισοσκελές
Αλλά με πιο προσεκτική ματιά θα διαπιστώσουμε ότι ανήκει σε κανονικό δεκάγωνο
, ,του οποίου τα γεωμετρικά στοιχεία προεκτεινόμενα συναντούν το Ίλιον τη Σμύρνη
, , , ,την Κνωσό τη Λάρισα Τρωάδος τη Σπάρτη την Πάρο τη . . .Φαιστό κ λ π
Ο Ήλιος της Βεργίνας (αλλιώς " "Άστρο της Βεργίνας )είναι ένα σύμβολο που
βρέθηκε το 1977 σε χρυσή λάρνακα σε Βασιλικό τάφο που αποδίδεται στη
Μακεδονική Βασιλική Δυναστεία του 'Φιλίππου Β και του ΜεγάλουΑλεξάνδρου.
Τα άκρα των ακτίνων σχηματίζουν κανονικό δωδεκάγωνο.
3

4. Στο ναό της Αρτέμιδας ,βρέθηκε η πιο κάτω ροζέτα σχηματισμένη με
, .κανονικό εξάγωνο τετράγωνα και ισόπλευρα τρίγωνα
Σε αρκετούς πολιτισμούς η θρησκεία ήταν εκείνη που τους ώθησε σε αυτό το είδος
.τέχνης Για παράδειγμα η ισλαμιστική θρησκεία απαγορεύει την αναπαράσταση
. ,ζωντανών οργανισμών σε έργα τέχνης Για αυτό τον λόγο οι Μαυριτανοί
.δημιούργησαν μόνο αφηρημένα γεωμετρικά σχήματα
Αλλά και σε άλλους πολιτισμούς τα γεωμετρικά σχήματα αποτέλεσαν προσφιλές
.θέμα στη διακόσμηση
Οι Σουμέριοι ( 4000 . .)περίπου πΧ διακοσμούσαν τα σπίτια και τους ναούς τους με
.σχέδια από επαναλαμβανόμενα κανονικά πολύγωνα
4

5. ΠΕΝΤΑΛΦΑ
Η πεντάλφα πρωτοεμφανίστηκε στη Μεσοποταμία .και στους Σουμέριους Στην
Ελλάδα οι πρώτοι που ασχολήθηκαν ενδελεχώς με αυτό το σύμβολο ήταν ο
Πυθαγόρας και οι Πυθαγόρειοι φιλόσοφοι .οι οποίοι το ονόμαζαν πεντάγραμμο
Οι Νεοπυθαγόρειοι συμβόλιζαν τις άκρες του με τα τέσσερα στοιχεία της φύσης και
:την πέμπτη με το θείο
, , , ( ),Ύδωρ Γαία Ιδέα ή Ιερόν Ειλή θερμότητα του ήλιου Αήρ
Το Ωρολόγιο του Κυρρήστου
20) Το Ωρολόγιο του Κυρρήστου ανεγέρθηκε από τον Έλληνα αστρονόμο
1Ανδρόνικο το πρώτο μισό του ου
. .αιώνα πΧ
Πρόκειται για ένα πυργωτό οκτάγωνο ,οικοδόμημα από πεντελικό μάρμαρο μήκους
3,20 1 2 .πλευράς μέτρων και συνολικού ύψους μέτρων
2η
:Ομάδα Φυσικοί επιστήμονες
Τα κανονικά πολύγωνα συναντώνται στη φύση και γίνονται αντικείμενο μελέτης από
, (διάφορους κλάδους των Φυσικών Επιστημών όπως την Κρυσταλλογραφία με
), .ακτίνες Χ την Κβαντομηχανική και την Κβαντική Χημεία
5

6. .Ένα από τα πιο συνηθισμένα μετεωρολογικά φαινόμενα είναι η χιονόπτωση
E άν τοποθετήσουμε μία χιονονιφάδα σε μικροσκόπιο μπορούμε να παρατηρήσουμε
3 2 .ότι το σχήμα της περιλαμβάνει ή διαδοχικά κανονικά εξάγωνα
Κανονικά πολύγωνα στον Κρόνο
Ο Κρόνος είναι ο έκτος πλανήτης από τον Ήλιο και ο δεύτερος μεγαλύτερος
του . ’Ηλιακού Συστήματος μετά το Δία Σ αυτόν μπορούμε να παρατηρήσουμε ένα
.κανονικό εξάγωνο
Κανονικά πολύγωνα στην κρυσταλλογραφία
Ένας κρύσταλλος μπορεί να οριστεί ως ένα στερεό αντικείμενο με ομοιόμορφη
, .χημική σύσταση που διαμορφώνεται από επίπεδες έδρες Κρυσταλλικά σώματα
: , , .είναι ο πάγος ο ασβεστίτης το αλάτι και τα περισσότερα ορυκτά
Το πλέγμα του γραφίτη,( ), , 'μορφή άνθρακα αποτελείται από παράλληλες κερήθρες μ
.ένα άτομο άνθρακα σε κάθε γωνία Αυτά τα επίπεδα γλιστρούν εύκολα το ένα
, .πάνω από το άλλο γι΄ αυτό ο γραφίτης είναι μαλακός
6

7. Το διαμάντι,( ) 'κρυσταλλικός άνθρακας έχει διαφορετικό πλέγμα και γι αυτό είναι
.πολύ σκληρό
.Και στις δύο περιπτώσεις μπορούμε να παρατηρήσουμε κανονικά εξάγωνα
Το γραφένιο είναι ένα φύλλο ατόμων άνθρακα που είναι διευθετημένα σε
.κυψελοειδή διάταξη
Ο γραφίτης, ,το υλικό που αποτελεί τη μύτη ενός μολυβιού συνιστά μια
πολυστρωματική δομή από γραφένια τα οποία αλληλεπιδρούν πολύ ασθενικά μεταξύ
. 3τους Ο κρύσταλλος γραφίτη με πάχος ενός χιλιοστού αποτελείται από περίπου
εκατομμύρια φύλλα γραφενίου
7

8. Με τη νανοτεχνολογία καταφέραμε να ανακαλύψουμε πωςυπάρχουν κανονικά
, .πολύγωνα ακόμα και στο δέρμα μας που βέβαια δε διακρίνονται με γυμνό μάτι
Οι νανοσωλήνες είναι κυλινδρικοί κλωβοί από εξάγωνα κυρίως ατόμων άνθρακα με
.ένα ή πολλά τοιχώματα
3 :η ομάδα Καλλιτέχνες
, , ,Γενικά τα μαθηματικά και η τέχνη φαινομενικά τουλάχιστον αποτελούν δυο
– .ξεχωριστά διακριτά πεδία της ανθρώπινης δραστηριότητας Παρ΄όλα αυτά είναι
δυνατόν να συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες αποτελούν
αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς
.Συναντάμε τα κανονικά πολύγωνα στα κοσμήματα
…Σε έργα διάσημων ζωγράφων
8

9. ,Σε κεντήματα μοτίβα…
… .σε χαλιά
4 :η ομάδα Μαθηματικοί
1) Θα μελετήσουμε τις πλακοστρώσεις:
Το επίπεδο καλύπτεται τέλεια με πλακάκια σχήματος κανονικού τριγώνου ή
τετραγώνου ή εξαγώνου μόνο.
9

10. 360/ (Διότι πρέπει το πηλίκο φ να δίνει φυσικό αριθμό φη γωνία του κανονικού
).πολυγώνου Η μικρότερη τιμή για γωνία κανονικού πολυγώνου είναι του ισοπλεύρου
=60° .τριγώνου φ και ικανοποιεί την πιο πάνω σχέση Οι υπόλοιπες τιμές του φ που
90 ° 1 20 °, .ικανοποιούν την πιο πάνω προϋπόθεση είναι και δηλ οι γωνίες του
τετραγώνου και του κανονικού εξαγώνου
2) Τα κανονικά πολύγωνα στα κανονικά πολύεδρα:
Η πανάρχαια ελληνική Γεωμετρία δίδασκε ότι τα κανονικά πολύγωνα αποτελούν
.πλευρές κανονικών πολυέδρων
5 .Μόνο τέτοια στερεά μπορούν να υπάρξουν
Τετράεδρο, εξάεδρο, οκτάεδρο, δωδεκάεδρο, εικοσάεδρο.
10

11. µ µΣύ φωνα ε τον Πλάτωνα µ µη τελειότητα του κόσ ου μοιάζει ε την
.απαράμιλλη ομορφιά των κανονικών αυτών πολυέδρων
,Τα Πλατωνικά στερεά ονομάστηκαν έτσι επειδή μελετήθηκαν στηνΑκαδημία του
. ,Πλάτωνα Στη φιλοσοφία του Πλάτωνα τα στερεά αυτά συμβόλιζαν τα δομικά
:στοιχεία του σύμπαντος το τετράεδρο ,τη φωτιά
ο κύβος ,τη γη το εικοσάεδρο ,το νερό
το οκτάεδρο τον αέρα και το δωδεκάεδρο
τον αιθέρα.
1 1

12. 5η Ομάδα :Βιολόγοι
Κανονικά πολύγωνα στη φύση
.Στη φύση συναντάμε πολλές περιπτώσεις κανονικών πολυγώνων Παρατηρώντας
:προσεκτικά τα συναντήσαμε στα
Ζώα
Φίδια: ''Σε πολλά φίδια συναντάμε κανονικά πολύγωνα κυρίως στη βασιλική
'' .κόμπρα και στους κροταλίες
' 'Τα κανονικά πολύγωνα πολλές φορές εμφανίζονται στα φίδια κληρονομικά αφού η
.μητέρα μπορεί να διαθέτει παρόμοια σχήματα
Κροκόδειλοι: Η εμφάνιση κανονικών πολυγώνων στους κροκόδειλους είναι πιο
σπάνια όμως εκτός από κληρονομικότητα μπορεί να ευθύνεται σωματική ανωμαλία
.πχέλλειψη ασβεστίου
12

13. χελώνες: Οι χελώνες ανήκουν στην ίδια οικογένεια με τους κροκόδειλους αφού και
.τα δύο ζώα είναι σαύρες Οι λόγοι εμφάνισης
.κανονικών πολυγώνων είναι ίδιοι
Αστερίες: .Τα άκρα των αστεριών σχηματίζουν πολύγωνο
,Υπάρχουν πολλοί λόγοι εμφάνισης αυτού του σχήματος πχφύση προκειμένου να
.προστατευθούν
Κάβουρας: Ο κάβουρας είναι ένα οστρακόδερμο που ζεί στη θάλασσα και το
.κέλυφος σχηματίζει εντελώς φυσικά ένα κανονικό πολύγωνο
13

14. Νούφαρα: Το νούφαρο είναι επίσης ένα φυτό που
.τα άκρα των πετάλων του σχηματίζουν πολύγωνα
Κηρήθρες: Κανονικά πολύγωνα συναντάμε και στις κηρήθρες των μελισσών όπου
.παράγουν το μέλι Το σχήμα είναι εντελώς φυσικό και δεν έχει υποστεί καμία
.επεξεργασία ή αλλαγή
.Οι κερήθρες αποτελούνται από εξάγωνα που επαναλαμβάνονται
.Είναι ο πιο αποτελεσματικός τρόπος να κλείσει το επίπεδο χωρίς κενά
.Φαίνεται πωςκάποια σχήματα κατασκευάζονται πιο εύκολα από κάποια άλλα
.Είναι και το μοναδικό σχήμα με την μικρότερη περίμετρο Δηλαδή η μέλισσα δαπανά
.λιγότερο κερί για την κατασκευή των κελιών της
… , … , ;και στα άνθη και στα φρούτα κανονικά πολύγωνα
14

15. … .Τυχαία ή μη η φύση αγαπάει τα πολύγωνα
6 :η ομάδα Αρχιτέκτονες
Τα κανονικά πολύγωνα χρησιμοποιούνταν από την αρχαιότητα από πολλούς
( , , , . .διαφορετικούς πολιτισμούς πχελληνικός αιγυπτιακός ρωμαϊκός βυζαντινός κ ά για
, .τη διακόσμηση αλλά και για την κατασκευή κτιρίων
ΠΑΛΑΤΙ ALHABRA
Η Αλάμπρα είναι παλάτι και φρούριο των Μαυριτανών μοναρχών στην ,Γρανάδα στα
νότια της Ισπανίας .Το A l ha mbraπαλάτι της στη G ranada της Ισπανίας είναι το
15

16. , , .εξοχότερο ίσως δείγμα χρήσης των κανονικών πολυγώνων στην Τέχνη Έχει φτιαχτεί
όλο με ψηφιδωτά πάνω σε σχέδια που περιλαμβάνουν επαναλήψεις από συνθέσεις
.κανονικών πολυγώνων .
Πυργί Χίου
Το Πυργί είναι το μεγαλύτερο από τα χωριά της Χίου. Τα σπίτια της πλατείας και
,κάποια άλλα μέσα στο χωριό έχουν εξωτερικά ασβεστώδες επίχρισμα περίεργο με
( ), ,διάφορα γραμμικά εγχάρακτα σχέδια ήστολίδια τα οποία κατ΄ άλλους μεν είναι
.ανατολίτικη τεχνοτροπία κατ΄άλλους δε Ιταλικής προελεύσεως
16

17. 17

18. Μυκονιάτικοι Μύλοι
, ,Το κτίσμα είναι ένας κύλινδρος η σκεπή ένας κώνος κι η φτερωτή ένα κανονικό
( )πολύγωνο συνήθως δωδεκάγωνο
Κατά την επίσκεψή μας στο ιστορικό κέντρο της Αθήνας παρατηρούσαμε παντού
πολύγωνα σαν διακοσμητικά στοιχεία
.
Ο Πύργος τωνΑέρηδων
,Ο Πύργος τωνΑέρηδων είναι ο αρχαιότερος μετεωρολογικός σταθμός στον κόσμο
10 . . 3 .αφού χτίστηκε τον ο αιώνα πΧ Είναι ένα οκταγωνικό κτίριο με πλευρά μ και
, .στην κάθε πλευρά του απεικονίζεται ένας άνεμος όπως τους φαντάζονταν οι αρχαίοι
( ) ,Στην κορυφή του υπήρχε δεν σώζεται σήμερα αναπαράσταση του θεού Τρίτωνα
,γιου του Ποσειδώνα να κρατά ένα κοντάρι που δείχνει την πλευρά του ανέμου που
. , ,φυσούσε κάθε στιγμή Επίσης σε κάθε πλευρά λειτουργούσε ηλιακό ρολόι το οποίο
. ,δεν σώζεται σήμερα Στο εσωτερικό του υπήρχε υδραυλικό ρολόι το οποίο έδειχνε
.την ώρα τη νύχτα ή σε μέρες με συννεφιά
18

19. ,Την περίοδο της Τουρκοκρατίας ο λόρδος Έλγιν προσπάθησε να μεταφέρει
, ,ολόκληρο τον πύργο στην Αγγλία αλλά οι Οθωμανοί δεν του το επέτρεψαν αφού
( ).λειτουργούσε ως τζαμί ναός
2Η Δήμητρα η Κράββαρη μαθήτρια του Β εμπνεύστηκε από την εργασία και
δημιούργησε το v ideo.
:Για την εργασία αυτή εργάστηκαν οι
1η
ομάδα : αρχαιολόγοι
Αναστασίου Σταματίνα 1Β
Βέρρο Βασίλης 1Β
Βουλγαράκη Ευαγγελία 1Β
ΖιώγγαΆγγελε 1Β
Θεοφύλακτος Χρήστος 2Β
Θωμά Νίκη 2Β
Καλαποθαράκου Γιωγρία 2Β
Κλιούμης Γιώργος 2Β
Κώτσος Σπήλιος 3Β
2η ομάδα : φυσικοί επιστήμονες
Καπονικολού Χριστίνα 2Β
Κόκκορη Αθηνά 2Β
3η ομάδα : καλλιτέχνες
Αντωνέα Ελένη 1Β
Βαθίστα Ζαχρούλα 1Β
19

20. Βασίλεβα Νικόλ 1Β
Βυθούλκα Αθηνά 1Β
Δαβή Αικατερίνη 1Β
4η ομάδα: μαθηματικοί
Κατσάλη Εύα 2Β
Κουμουτσέας Ερρίκος 2Β
5η ομάδα: βιολόγοι
-Αλ Ινσάουι Κάις 1Β
ΓιαμαλήςΑλέξανδρος 1Β
Δημητρή Μαρίνα 1Β
Διαμαντής Μάνος 1Β
ΚαραγεώργουΛαμπρινή 2Β
Κατσούλη Μαρία 2Β
6η ομάδα: αρχιτέκτονες
Γεωργακόπουλος Σωτήρης 1Β
ΔανακούρτηςΔημήτρης 1Β
/Καρατζάς Κων νος 2Β
ΚαφετζήςΛάμπρος 2Β
ΚουκάςΑναστάσης 2Β
Κράββαρη Δήμητρα 2Β
: 03Υπεύθυνη καθηγήτρια Ελένη Τσουκαλά ΠΕ
20