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UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE DI MILANO
                 FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE
         CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA


              Giovanni Lariccia
                         Matelsup1

    MATEMATICA ELEMENTARE
      CON ESERCITAZIONI
(Esame obbligatorio per gli studenti del
      secondo anno di corso)
           Anno Accademico 2012 – 2013
               Guida1A (2012 – 2013)
(Guida provvisoriaalla preparazione all’ esame
   dell’ esame di Matematica Elementarecon
         esercitazioni del secondo anno)
             Percorso A (frequentanti e assimilati)
Sommario
Obiettivi del corso ...................................................................................... 4
Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture, operazioni, algoritmi .......... 4
    Bibliografia .......................................................................................................5
    Testi obbligatori .............................................................................................................................. 5
    Testi facoltativi (o alternativi)......................................................................................................... 5
Un programma, due percorsi ....................................................................... 5
La presente Guida A ................................................................................... 6
    Alcuni assiomi di base ........................................................................................6
        Assioma numero 1 – “Se faccio, capisco”....................................................................................... 6
        Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica! ............................................. 7
    Assioma numero 2 – Imparare collaborando con gli altri, come in un grande gioco ....8
Obiettivo finale del corso Matelsup1 ............................................................. 9
Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica ......................................... 9
I principi a cui si ispira questo corso ............................................................. 9
In che cosa consiste l’ esame..................................................................... 10
Lavori individuali e lavori di gruppo ............................................................ 11
Le tre fasi dell’ apprendimento matematico ................................................. 11
Informatica della mente ............................................................................ 12
I siti per costruire le conoscenze ................................................................ 12
    I siti wiki - Wikispaces...................................................................................... 13
I blog ..................................................................................................... 14
Le undici prove del percorso principale (percorso A) ..................................... 15
    Il magazzino personale su Box.net .................................................................... 15
    La pagina personale sul sito di riferimento (matelsup1) ........................................ 16
    I-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di apprendimento e di studio .. 16
    G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’ educazione matematica nei
    paesi emergenti .............................................................................................. 16
    I-AB-02 – Io e la matematica ............................................................................ 17
    I-AB-03 – Il genio della porta accanto ................................................................ 18
    IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico ....................................................... 19
    I-AB-05 – La mia famiglia ................................................................................. 19
    G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale ....................................... 21
    G-A-07 – Le figure di Sierpinski......................................................................... 22
Bibliografia essenziale ............................................................................... 24
Bibliografia generale ................................................................................. 26
Appendice Numero 1 ................................................................................ 32
Appendice Numero 2 ................................................................................ 34
Appendice Numero 3 ................................................................................ 35
Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto ................... 36
    Premessa ....................................................................................................... 36
    La scoperta della matematica ............................................................................ 36
    Studi, curriculum ............................................................................................. 36
                                                                      Pagina 2
Familiarita’ ..................................................................................................... 37
    Personalita’ ..................................................................................................... 37
    La professione scelta ....................................................................................... 37
    Concorsi, gare................................................................................................. 37
    Matematica e societa’ ...................................................................................... 38
    Computer, internet .......................................................................................... 38
    Memoria ......................................................................................................... 38
    Numeri, calcolo mentale ................................................................................... 38
    Sogni nel cassetto ........................................................................................... 38
Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello ................................. 39
    Come va condotta l' intervista ........................................................................... 39
    Domande di base ............................................................................................ 39
        Esperienze relative all' insegnamento della matematica ............................................................. 39
        Esperienze relative alla formazione degli insegnanti ................................................................... 40
        Rapporti con la matematica ......................................................................................................... 40
        Innatismo (domanda opzionale)................................................................................................... 40
        Costruttivismo (domanda opzionale) ........................................................................................... 40
        Paura della matematica ................................................................................................................ 40
        Il mondo dei giochi e il mondo della matematica ........................................................................ 40
        La questione dei videogiochi ........................................................................................................ 41
    Il computer..................................................................................................... 41
    Attrezzature .................................................................................................................................. 41
    Ambiente ...................................................................................................................................... 41
    Disabilità (discalculia) ................................................................................................................... 41
Appendice Numero 6 - Keith Devlin: pensare la matematica .......................... 42
    Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin ........................................................ 42
    Pensare la matematica, di Keith Devlin .............................................................. 44
Appendice Numero 7 - Il rapporto Oecd – Pisa: una ricerca tra i 15enni di 57
paesi del mondo ...................................................................................... 52
Appendice Numero 8 – Rapporto PISA: flop della scuola o questione
settentrionale? ......................................................................................... 53




                                                                      Pagina 3
Obiettivi del corso
Acquisire una piena consapevolezza del ruolo giocato dalla matematica nello sviluppo della
civiltà e nello sviluppo cognitivo individuale, con particolare riguardo alle abilità numeriche.
Acquisire o rinfrescare le competenze di base relative alle strutture aritmetiche elementari e
ai relativi algoritmi. Saper osservare, registrare ed analizzare il comportamento di bambini e
di adulti che svolgono semplici operazioni aritmetiche anche in una base di numerazione
diversa da dieci, eventualmente con sussidi o strumenti di calcolo appropriati. Esplorare le
principali strategie proposte dagli esperti per imparare ed insegnare le tabelline, per
imparare a svolgere calcoli mentali e prendere familiarità con i numeri da 1 a 1000. Strategie
di apprendimento e di insegnamento delle frazioni e dei problemi con le frazioni. Saper
leggere ed interpretare i programmi e le indicazioni ministeriali alla luce delle impostazioni
epistemologiche sopra indicate. Saper leggere e descrivere la professionalità di un
insegnante esperto che insegna questa materia nella scuola primaria. Saper interpretare lo
stile cognitivo di un bambino ed il suo atteggiamento nei confronti della matematica
partendo dall’ analisi dei suoi lavori sui quaderni o su altri supporti.
(dalla Guida al Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria)


Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture,
operazioni, algoritmi
La rappresentazione delle conoscenze, il costruttivismo e la metacognizione nello studio dei
processi di apprendimento - insegnamento della matematica: se faccio, capisco, imparare a
imparare. La natura duale (dichiarativo-procedurale) del sapere matematico: sapere e saper
fare. Cosa ci dicono la scienza cognitiva della matematica e l’informatica della mente sulle
nostre capacità numeriche (innate, acquisite). L’aritmetica dei libri scolastici e l’aritmetica di
strada: cosa si deve sapere e cosa si deve saper fare per sopravvivere nella nostra civiltà.
Importanza della didattica metacognitiva per favorire l’apprendimento dell’aritmetica.
Giocare con i numeri e con le loro rappresentazioni negli spazi reali e virtuali. Calcolare a
mente, calcolare con l’abaco cinese: rappresentazioni e strategie. I polimini. La
rappresentazione delle conoscenze sulla propria famiglia realizzando un albero di famiglia
con www.myheritage.it o con CmapTools. Strategie di calcolo mentale. Sussidi e strumenti di
calcolo. Il paese di matelandia: come condurre i bambini ad essere matematici piuttosto che
insegnare loro la matematica. Brevi cenni allo sviluppo della matematica nella storia e alla
vita di alcuni geni della matematica. Sistemi di numerazione in base diversa da dieci. Abaci e
supporti per il calcolo nella storia dell’umanità. Come si costruiscono, si raffinano e si


                                              Pagina 4
mantengono le abilità matematica (brain training). Intervista strutturata alla "maestra
modello".

Bibliografia
Testi obbligatori
   G. Lariccia, Informatica della mente, Book-jay.it (2010)
   G. Lariccia, I fantastici mondi di Iperlogo, Book-jay.it (2010)
   L. Gherarducci, I bambini e i numeri, Book-jay.it (2010)

Testi facoltativi o alternativi
   L. Girelli, Noi e i numeri, Il Mulino, Bologna (2007)
   S. Ferrario, La vera storia di QQ.storie, Book-jay.it (2010)
   B. Gigliotti, A scuola con QQ.polimini, Book-jay.it (in preparazione)
   C. Bortolato, Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico-intuitivo, Erickson,
       Trento (2002)
   C. Colombo Bozzolo-A. Costa, Nel mondo dei numeri e delle operazioni,Erickson, Trento,
       (2002), (un volume da scegliere, d' accordo con il docente, tra i vol. 1 - 5).


Un programma, due percorsi
Per preparare l’ esame di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore (SE) – d’ ora
in avanti abbreviato con la sigla Matelsup1 – gli studenti possono seguire due percorsi
distinti, contraddistinti dalle lettere A e B.I due percorsi sono assolutamente coerenti tra di
loro e derivano entrambi dallo stessoprogramma ufficiale del corsopubblicato sulle guide di
facoltà, che abbiamo appena riportato.
Lo studente che ha scelto uno dei due piani può comunque, anche a metà del piano, passare
all’ altro piano. Se una persona passa dal Percorso A al Percorso B deve soltanto comunciarlo
al docente. Se invece si vuole passare dal Percorso B al Percorso A - eventualmente
conservando alcuni lavori già svolti per il Percorso B - occorre negoziare con il docente la
personalizzazione del proprio percorso.
Scegliere il Percorso A piuttosto che il Percorso B non comporta alcun privilegio o vantaggio,
in termini sia di tempo che di quantità di studio e, di conseguenza, in termini di risultato
finale. Una persona che ha seguito la Guida A può effettuare una preparazione affrettata ed
ottenere un cattivo risultato all' esame, così come una persona che segue la Guida B,
studiando con intelligenza ed impegno, può ottenere comunque il massimo dei voti e la lode.




                                              Pagina 5
La presente Guida A
La presente Guida A riguarda dunque in modo specifico il Percorso A. Il Percorso A - che
abbiamo definito sperimentale - si rivolge principalmente a coloro che hanno frequentato il
corso ed hanno accettato la sfida di un piano di lavoro dinamico, creativo ed interattivo,
basato sul dialogo e sulla iniziativa da parte dello studente a cui corrisponde una risposta
flessibile da parte del docente.

Alcuni assiomi di base
Prima di parlare di come si deve preparare il programma del corso di Matematiche
Elementari da un Punto di Vista Superiore vogliamo o fissare alcuni assiomi di base..
Ci sono due versanti in questo in questo corso e quindi due sezioni degli assiomi di base.
Il primo versante lo chiameremoversante apprendimento. Sul versante dell'apprendimento,
la mia impostazione segue i principi del costruttivismo, rivisitato all’ epoca del cosiddetto
web 2.0 e dei cosiddetti “nativi digitali”.
I miei assiomi di base sono i seguenti.

Assioma numero 1 – “Se faccio, capisco”
La matematica si capisce soltanto facendola. Questo assioma è stato assunto come base per
un importantissimo progetto di apprendimento - insegnamento della matematica della
matematica chiamato "Se faccio, capisco".. Il progetto di cui parliamo si chiama Progetto
Nuffield. Risale alla seconda metà degli anni 60 ed è stato finanziato in Gran Bretagna dalla
fondazione Nuffield. Le guide per gli allievi e per gli insegnanti del progetto Nuffield sono
state tradottein Italia dalla casa editrice Zanichelli ed hanno avuto un grande rilievo negli
ambienti dei cultori della Didattica della matematica all'inizio degli anni 70.
Ma non sono soltanto gli esperti di didattica che asseriscono che la matematica si capisce
facendola. Anche la maggior parte dei ricercatori matematici concordano su questo assioma.
Ecco come si esprime a questo proposito il presidente del Festival internazionale della
matematica che si è tenuto nel 2007 a Roma e si ripete ogni anno, sempre a Roma , durante
il mese di marzo. Questo scienziato afferma più o meno testualmente: “ perché noi
matematici sappiamo bene che la matematica si comprende soltanto facendola. Quando uno
di noi deve rivedere una pubblicazione scientifica fatta da un collega, deve ripercorrere passo
passo tutte le dimostrazioni che il collega ha fatto per potere capire quello che egli afferma di
avere scoperto”.




                                             Pagina 6
E bene ricordare che la frase “Se faccio capisco” rappresenta la conclusione di un noto
proverbio cinese che preso nella sua interezza dice “ Se ascolto dimentico, se vedo ricordo,
se faccio capisco”.
Dunque io ho deciso di prendere come assioma – ovvero come una asserzione di base di cui
non intendo fornire la dimostrazione perché sin troppo evidente! - il fatto che la matematica
per capirla bisogna farla.

Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica!
Un altro supporto a questo assioma viene fornito da Seymour Papert, un illustre matematico
ed epistemologo sudafricano che ha lavorato per due anni con il grande psicologo Jean
Piaget, uno dei maggiori psicologi del „900, che ha studiato la nascita e lo sviluppo dell
intelligenza nel bambino fondando quella branca del sapere che si chiama epistemologia
genetica.
Seymour Papert ha lavorato per due anni con Jean Piaget, occupandosi di della nascita dei
concetti della cibernetica nei bambini e contribuendo alla stesura di saggi molto importanti
in questo settore in collaborazione con Piageted altri collaboratori.
SuccessivamentePapert si recò negli Stati Uniti dove insieme a Marvin Minsky è uno dei
pionieri degli studi che vanno sotto il nome di Intelligenza Artificiale e fonda un laboratorio
di ricerca sull Intelligenza Artificiale presso il Massachusetts Institute of Technology, una
delle più prestigiose università americane con sede a Cambridge, Massachussetts.
Dopo avere collaborato alla stesura di importanti contributi allo sviluppo della intelligenza
artificiale - ricordiamo un'opera fondamentale chiamata Perceptrons, scritta con Marvin
Minsky, Papert entra a far parte del progetto Logo sviluppato presso la società Bolt
Beranek& Newman per conto del governo americano.
Il progetto Logo si propone di sviluppare un contesto in cui i bambini diventano capaci di
progettare programmi per computer allo scopo di interagire in modo autorevole con il
computer stesso. Lo scopo del progetto Logo non è quello di creare dei programmatori ma di
rivolgersi a dei bambini piccoli a partire da 6 - 7 anni per metterli in condizione di dominare
la logica del computer.
Al progetto partecipano diversi specialisti del settore della intelligenza artificiale dell'epoca.
Tra questi citiamo Daniel Bobrow.
Seymour Papert in una pubblicazione per il Mit della serie dei Logo Memo del 1969 dichiara
semplicemente che “è meglio allevare dei piccoli matematici piuttosto che insegnare la
matematica”.




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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
           Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                     Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

Questa affermazione all epoca apparì piuttosto provocatoria – ed in effetti voleva proprio
essere tale! - ma dopo alcuni decenni in cui gli psicologi hanno continuato ad investigare
sulle difficoltà connesse all’ apprendimento della matematica e sui metodi per superarle,
appare come profetica
Oggi si parla infatti di metacognizione e di didattica metacognitiva per intendere il fatto
che l apprendimento della matematica, per essere efficace, deve essere consapevole.
E si lavora molto sulla possibilità di favorire questa consapevolezza e questo pieno
coinvolgimento dell allievo usando il gioco come metodologia di coinvolgimento.
Dunque la dichiarazione rivoluzionaria di Seymour Papert ha avuto un seguito, sia pure in
modo indiretto, ed oggi verrebbe sottoscritta dalla maggior parte degli esperti di didattica
della matematica.
Noi la prendiamo come uno degli assiomi del nostro corso.

Assioma numero 2 – Imparare collaborando con gli altri,
come in un grande gioco
Il secondo “assioma” nasce dalle teorie dell’ apprendimento collaborativo (cooperative
learning) e dal fatto che ormai viviamo in un’ epoca in cui essere in collegamento con i
propri simili è molto più facile di prima.
Nasce anche dal fatto che l’ apprendimento è tanto più efficace se viene vissuto come un
gioco in cui si entra volontariamente e di cui si accettano consapevolmente le regole.
Diversi autori sostengono che se la matematica viene affrontata come un gioco simbolico,
viene accettata più facilmente.
La teoria delle intelligenze multiple *GARDNER+ suffraga l’ ipotesi che diverse persone con
diversi talenti possano, complessivamente, affrontare meglio le difficoltà connesse con l’
apprendimento della matematica, socializzandole e scoprendo le ragioni che giocano a
favore della diffusione delle abilità matematiche nel nostro mondo.




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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
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Obiettivo finale del corso Matelsup1
L’ obiettivo finale del corso MatelSup1 è quello di avvicinare gli allievi alla matematica, alle
sue metodologie e alle sue strategie, dando loro la percezione di quanto questa disciplina
sia importante per la costruzione e la manutenzione della nostra civiltà e di quanti ambiti
disciplinari si occupino oggi della questione.
Riteniamo che in un corso di trenta ore, a cui si aggiungeranno mediamente altre sessanta
ore di preparazione all’ esame, non sia possibile in alcun modo costruire delle competenze
significative in ordine alla struttura delle conoscenze matematiche e, soprattutto, ai
problemi relativi all’ apprendimento e all’ insegnamento di questa materia nella scuola
primaria.
Crediamo che l’ unico modo di ottenere un risultato significativo, il più esteso possibile, sia
quello di far provare in modo diretto agli allievi un certo numero di esperienze di
apprendimento.
Al tempo stesso pensiamo che sia estremamente utile dare a tutti coloro che sosterranno
questo esame che di fronte al compito immane di costruire delle competenze
matematiche adeguate alla nostra epoca e al nostro paese non siamo soli, ma possiamo
con relativa facilità entrare a far parte di alcune reti di costruzione e condivisione di
conoscenze e competenze che ci potranno accompagnare per tutta la durata della nostra
vita professionale.


Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica
Questo corso è centrato sui numeri e sulla aritmetica elementare con tutto quello che
intorno ai numeri si può sapere e saper fare.
Una parte centrale del corso è dedicata alla rappresentazione delle conoscenze ed alla
soluzione dei problemi.


I principi a cui si ispira questo corso
Il corso di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore (secondo anno) parte
dal presupposto che, in qualche modo, tutti noi abbiamo una base innata di competenze
matematiche anche se queste competenze possono, negli anni essere state “soffocate sul

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nascere” o addirittura “sterilizzate”, dando luogo addirittura a delle avversioni e in qualche
caso ad un vero e proprio terrore per la matematica.
D’ altra parte un insegnante di scuola primaria non può in alcun modo avere un rapporto
incerto o ambiguo con questa disciplina, che è importantissima per l’equilibrio cognitivo
dei suoi futuri allievi.
Durante il corso – ovvero durante il periodo di preparazione dell’ esame - gli allievi
dovranno quindi compiere un percorso di avvicinamento o riavvicinamento alla
matematica documentandolocon precisione attraverso un blog1.
Dovranno inoltre sperimentare in prima persona alcuni processi di apprendimento della
matematica. Per farlo dovranno esplorare, osservare e costruire degli artefatti
comunicabili e scambiabili con tutti gli altri allievi del corso
Ciascuno di tali artefatti rappresenterà quindi tassello di un sapere comune e condiviso
costruito dagli stessi allievi sotto la guida del docente. Per consentire questa costruzione
cooperativa abbiamo pertanto scelto uno strumento chiamato Wikispaces, che
rappresenta una delle modalità in cui si può costruire un wiki. Per capire il rilievo di questa
forma di comunicazione in cui tutti sono sia lettori che potenziali autori basterà citare l’
esempio più conosciuto che è l’ enciclopedia Wikipedia. Ma anche diverse comunità di
matematici professionisti hanno costruito dei wiki, uno dei quali (mathforum.org), a cui
possono partecipare con naturalezza soltanto coloro che parlano inglese, è servito da
modello concettuale e da punto di partenza per la costruzione del nostro wiki in
Wikispaces.


In che cosa consiste l’ esame
Nel momento in cui l’ allievo ha superato tutte le prove - di cui parleremo in modo
dettagliato più avanti in questo documento - ed ha documentato concretamente il suo
percorso di apprendimento, partecipando attivamente alla costruzione del sapere
condiviso attraverso la costruzione del sito wiki– Wikispacesrelativo a questo corso, può
essere ammesso a sostenere l’ esame.




1
 La parola blog è un acronimo di Web Log e deriva dalle parole weblog. In realtà non è altro che un diario pubblicato
su internet che, grazie ai potenti mezzi oggi disponibili sul web equivale ad un sito vero e proprio realizzato con mezzi
artigianali!
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Durante l’ esame il candidato sarà invitato a sostenere una conversazione sulle prove
realizzate: ma potrà anche essere invitato a sostenere prove analoghe ed ovviamente non
identiche a quelle che ha sostenuto nel corso della sua preparazione.


Lavori individuali e lavoridi gruppo
Due delle otto prove indicate nel seguito - e precisamente la prova B06 e la prova B07 -
possono essere svolte da un piccolo gruppo di persone. Questo non rappresenta uno
“sconto”, quanto una metodologia di apprendimento: in generale la matematica si impara
meglio facendola, e per superare ostacoli ed indecisioni il lavorare in gruppo può aiutare
molto.
I gruppi, di regola, non dovrebbero mai superare le quattro unità, perché al di sopra di
questo numero si rischia di aumentare la complessità della comunicazione all’ interno del
gruppo e poi non tutti i partecipanti possono riuscire ad esprimersi.
L’ ideale è mettere insieme un gruppo con cui svolgere tutte le prove. Ma in linea di
principio uno potrebbe anche avere diversi gruppi per le due prove.
Ogni candidato deve rispondere personalmente del lavoro del gruppo ed essere in grado di
spiegare i risultati raggiunti e di difendere le posizioni assunte dall’ intero gruppo.


Le tre fasi dell’ apprendimento matematico
L’ intero corso e ciascuna delle prove in cui esso è organizzato possono essere articolate in
tre fasi distinte.
Fase A: Esplorazione - Rendersi conto di quello che esiste, nella realtà, dentro e fuori di
noi, nella letteratura generale e specifica
Fase B: Osservazione– Osservazione diretta dei fenomeni in oggetto o delle prestazioni
proprie e di altri con riferimento alla prova in questione.
Fase C: Costruzione– Costruzione di un albero delle competenze necessarie per ottenere
un buon risultato nella prova in oggetto. Costruzione di un percorso di avvicinamento alla
performance desiderata.




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Informatica della mente
Per rappresentare le conoscenze relative ad una prova o all’ intero programma possono
essere utilizzati alcuni programmi di computer come:
Cmaptools – Una applicazione di pubblico dominio che consente di costruire in modo
molto semplice ed intuitivo delle mappe concettuali praticamente su qualunque
argomento.
Microsoft Power Point – Uno strumento classico per costruire presentazioni. Ma anche
una serie di scatole degli attrezzi per realizzare diagrammi di varia complessità.
Iplozero 2009– Un linguaggio di programmazione ideato e sviluppato da G. Lariccia e G.
Toffoli con una interfaccia ad icone che consente di creare programmi interattivi e storie
matematiche praticamente su qualunque argomento.
QQ.storie, una applicazione contenitore che consente di costruire storie di contenuto
matematico, con il testo scritto in word ed i disegni o le animazioni scritte nel linguaggio
Iperlogo oppure in una delle tante “scatole degli attrezzi” create apposta per qq.storie nell’
ambito di un progetto quadro chiamato IperQQ.
I programmi Iplozero 2009 e QQ.storie non sono obbligatori per il Percorso B: ma li
abbiamo qui riportati in quanto una persona che sta seguendo il Percorso B può in
qualunque momento - magari perché ha trovato un collega con cui fare gruppo – ritornare
sul Percorso A.
E comunque perché non si esclude che una persona che segue il percorso B e che quindi
per motivi comunque validi non è in grado di interagire con il docente, desideri e possa
usare i programmi Iperlogo e QQ.storie anche da solo. E’ successo in passato e potrebbe
succedere nuovamente in futuro.
Conviene segnalare, a questo proposito, che il sito di riferimento per QQ.storiesi trova all’
indirizzo qqstorie.wikispaces.com.


I siti per costruire le conoscenze
Per costruire conoscenze condivise facilmente accessibili da una rete di persone con
obiettivi comuni abbiamo deciso di un tipo di sito chiamato Wiki.
Il modello più conosciuto di questo tipo di siti è la famosa enciclopedia Wikipedia. Non
potendo pretendere che gli allievi del corso diventassero in poco tempo autori di articoli di

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Wikipedia, abbiamo deciso di adottare un modello simile, ispirato agli stessi principi di
Wikipedia, proposto dagli ideatori di Wikispaces (www.wikispaces.com).
Tra le finalità previste da Wikispaces ci sono proprio quelle di consentire la costruzione e la
manutenzione di siti di supporto a dei corsi come il nostro.
Ci è sembrato che i siti educativi di Wikispaces rispondessero particolarmente bene allo
scopo di consentire la costruizione collaborativa di un sapere condiviso sui fondamenti
della matematica da approfondire in vista del suo insegnamento nella scuola primaria e
dell’ infanzia.

I siti wiki - Wikispaces
Abbiamo così creato un sito contenitore per consentire a tutti gli studenti di Matelsup1 di
familiarizzarsi con la tecnica Wiki – Wikispaces. A questo sito si può accedere attraverso l’
indirizzo
       matelsup1.wikispaces.com
Andando su questo indirizzo potete facilmente iscrivervi da soli (cliccando sul pulsante
JOIN THIS GROUP e fornendo quindi le vostre generalità). Oppure potete chiedere al
docente di invitarvi.
A questo sito se ne sono aggiunti tanti altri, raggiungibili dal primo attraverso opportuni
collegamenti ipertestuali, per trattare argomenti specifici in modo semplice e trasparente.
Possiamo fare una distinzione tra i wiki – Wikispaces di tipo “generalista” – quelli che
accolgono tutte le persone afferenti ad un corso o un laboratorio; ed i wiki – Wikispaces di
tipo “specialista” – quelliche nascono attorno ad un argomento specifico.
Al momento attuale i gruppi wiki-Wikispaces che ruotano attorno alla matematica ed al
suo insegnamento, sia di tipo generalista che di tipo specialista, creati dal docente o da
gruppi di allievi con il supporto del docente, sono i seguenti:
SITI WIKI – WIKISPACES GENERALISTA
       Didalab 07 (2007 – 2008): http://didalab7.wikispaces.com
       Didalab DM85 Infanzia: http://didalab85infanzia.wikispaces.com
       Didamat 07 (2007 - 2008): http://didamat7.wikispaces.com
       Didamat DM85 Primaria:http://didamat85.wikispaces.com
       Matelsup1 (aritmetica) – Vetrina: http://matelsup1.wikispaces.com
       MatElSup2 - Geometria: http://matelsup2.Wikispaces.com
SITI WIKI – WIKISPACESDI TIPO SPECIALISTA
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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
           Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                     Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

       Fare pratica con QQ.storie: http://qqstorie.Wikispaces.com
       Frattali: http://frattali.Wikispaces.com
       Giochi matematici: http://giochi-matematici.Wikispaces.com
       I blocchi logici nella didattica: http://blocchi-logici.Wikispaces.com
       Il tangram nella scuola primaria: http://tangram.Wikispaces.com
       Imparare a imparare: http://imparareaimparare.Wikispaces.com
       La felce come oggetto frattale: http://felce.Wikispaces.com
       Primi passi in Iperlogo: http://primi-passi-in-iperlogo.Wikispaces.com
       Primi passi in QQ.storie: http://primi-passi-in-qqstorie.Wikispaces.com
       Primi passi su Blackboard: http://primi-passi-su-blackboard.Wikispaces.com
       Sei personaggi in cerca di math: http://sei-personaggi.Wikispaces.com
       Sierpinski: http://sierpinski.Wikispaces.com
       Il cavolfiore come forma frattale: http://cavolfiori.Wikispaces.com
       Il fiocco di neve come frattale: http://fioccodineve.Wikispaces.com
       http://primi-passi-su-blackboard.Wikispaces.com/


I blog
I blog sono un genere letterario molto diffuso su internet. Il nome blog è un acronimo (cioè
in buona sostanza una abbreviazione) che sta per web log, che vuol dire registro su web. In
altre parole è un diario, che una persona scrive perché altri la vadano a consultare. Famosi
sono alcuni blog come quelli di Luca Sofri, o di alcuni testimoni oculari di fatti importanti e
drammatici. Molti giornalisti o esperti tengono da anni il loro blog che funziona un po’
come la posta del direttore di un quotidiano o di una rivista, sia pure con le regole di
internet.
Per documentare il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto durante la
preparazione dell’ esame, l’ allievo è invitato a costruirsi e a mantenere un blog sull’
argomento.
Il blog può essere facilmente costruito
       dotandosi di un account di wordpress
       registrandosi, con questo account, un blog in lingua italianache avrà un indirizzo del
       tipo annettaelamatematica.wordpress.com
Nell’ esempio abbiamo immaginato che la studentessa si chiami Annetta, e per cognome
abbiamo immaginato un fantasioso “Laqualunque”.
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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
           Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
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Se Annetta Laqualunquenon ha un indirizzo di posta elettronica può farsene uno molto
rapidamente andando sul sito www.gmail.com. Di solito gli indirizzi di gmail sono formati
dal nome seguito dal punto, seguito dal cognome,
Dunque Annetta Laqualunque, se non ha già un’ indirizzo di posta elettronica può farsene
uno immediatamente del tipo annetta.laqualunque@gmail.com.
Con questa identità può registrarsi sul sito www.wordpress.com, e costruire un blog che
abbiamo immaginato abbia il nome di annettaelamatematica. In questo modo il suo blog
sarà raggiungibile da chiunque all’ indirizzo
       annettaelamatematica.wordpress.com


Le undiciprove del percorso principale (percorso A)
Elenchiamo qui di seguito le provedel percorso principale, che per continuità con gli anni
precedenti chiameremo Percorso A. Chiameremo prove di tipo A le prove di questo
percorso.
Vedremo più avanti che i non frequentanti possono sostenere delle prove alternative che
possono sostituire quelle del percorso A. Le chiameremo prove di tipo B.
Le prove sono inoltre distinte in prove individuali (I) e prove di gruppo (G).

Il magazzino personale su Box.net
Tutte le prove comportano un certo tipo di attività e si concludono con la creazione di un
documento, che dovrebbe essere di uno dei seguenti formati:
       Power Point (con estensione ppt o pptx)
       Word (con estensione doc o docx)
       CmapTools (con estensione cmap)
       Immagine (con estensione jpg o png o pdf)
       Filmato (con estensione mp4)
Ogni allievo deve farsi un magazzino virtuale in cui caricherà le prove. Il magazzino virtuale
va costruito su Box.net. Su questo sito è possibile creare un account gratuito che dà diritto
ad utilizzare uno spazio, organizzabile in cartelle, delle dimensioni ragguardevoli di 2 GB.
Va precisato che ogni documento caricato non deve superare i 25 MB di peso.



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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
           Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
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La pagina personale sul sito di riferimento (matelsup1)


I-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di
apprendimento e di studio
L’ allievo dovrà, all’ inizio della preparazione di questo esame, dotarsi di un blog come
quello indicato in precedenza.Su questo blog lo studente dovrà documentare il percorso di
avvicinamento alla matematica cheha luogo durante la preparazione dell’ esame.
Il blog potrà ovviamente incrociarsi con i siti ed i documenti relativi alle varie prove
successive, descritte nel seguito di questo documento.
Questo documento, come tutti gli altri, va caricato su Blackboard, nello spazio dedicato al
corso di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore, nella cartella dei lavori
individuali.
Il blog ha lo scopo di consentire all’ allievo di esprimere le emozioni che prova nel venire a
contatto con una materia, la matematica, che spesso viene percepita in modo distorto e
generalmente negativo dalla maggior parte delle persone.
Il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto attraverso il corso suggerisce di
considerare la matematica come una disciplina amica, anzi, addirittura in qualche modo
connaturata con noi.
E’ come se scoprissimo che nel profondo della nostra mente ci sono delle radici
matematiche in parte addirittura innate. Scoprire la matematica in modo libero e
spontaneo è come ritrovare dentro di sé la capacità di comprendere e parlare una lingua
universale di cui avevamo perso le tracce.

G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’
educazione matematica nei paesi emergenti
Lo scopo di questa prova è quello difare in modo che gli studenti si rendano conto di
quanto è importante la matematica nel nostro mondo e di quale peso deve essere, di
conseguenza, attribuito all’ educazione matematica.




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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
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In questa Guida presentiamo questa prova in una modalità che è adatta ad essere svolta a
livello di gruppo. Chi non si sente di svolgere la prova in questo modo può sempre fare
riferimento alla corrispondente prova del percorso B.
Per svolgere correttamente questa prova dovete innanzitutto leggere il libro “Noi e i
numeri” di Luisa Girelli [GIRELLI 2006]. E’ bene che ciascuno dei componenti del gruppo
legga il libro con molta attenzione. Può essere utile,dopo la lettura, organizzare una
discussione per confrontarsi sui temi sollevati dal libro.
Il secondo passo da compiere è l’ analisi del rapporto Oecd – Pisa 2006 che ha valutato,
comparandole, le competenze matematiche degli studenti di 57 diversi paesi all’ età di
15 anni. In fatto di competenze matematiche l’Italia si classifica al 38° posto (vedi
appendice 6), ovvero decisamente male!
Nel libro “Centomila punture di spillo” pubblicato di recente, Carlo De Benedetti e Federico
Rampini sottolineano il fatto che nei paesi ad economia emergente, l’ educazione
matematica viene considerata molto più che da noi. Il basso livello di competenza
matematica dei nostri quindicenni sarebbe quindi un segno del declino del nostro paese,
mentre per invertire la tendenza dovremmo – sostengono gli autori! – dare molto
maggiore peso all’educazione matematica elementare.
In una ricerca sulla educazione matematica in India e Singapore svolta da alcuni ricercatori
statunitensi viene sottolineato inoltre il ruolo della pressione sociale da parte delle
famiglie. In India e a Singapore i genitori fanno capire ai loro figli essere bravi in
matematica è molto importante.
Provate a scoprire in quale modo questa importanza si traduce in pratica cercando di
scoprire quale e quanta matematica ed in quale modo si insegna nelle scuole dell’
infanzia ed elementare in Cina, in India, in Brasile o in Russia. Oppure nei paesi che, come
la Finlandia, il Canada, risultano ai primi posti nella classifica del rapporto Oecd – Pisa.

I-AB-02 – Io e la matematica
In questa prova devi tracciare una storia dei tuoi rapporti con la matematica, dalle origini -
ovvero dalla tua nascita! - ai nostri giorni.
In questo documento devi mettere a fuoco, suddividendola in periodi corrispondenti ai
livelli prescolari e scolari, la storia delle attrazioni e repulsioni tra te e la matematica.
Dovrai quindi raccontare in modo preciso ma possibilmente anche abbastanza vivace e
colorito:
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l’ evoluzione della tua idea di matematica: quandohai sentito per la prima volta questa
parola, a cosa l’ hai associata; quando e come hai eventualmente cambiato idea sulla
matematica;
cosapensi, oggi, che sia la matematica e cosa rappresenta per te
parladelle esperienze, positive e negative, di apprendimento e di insegnamento con cui sei
venuto a contatto, dei tuoi maestri buoni e cattivi
chi e come ha influito sulla tua competenza matematica in senso positivo o negativo
(amici, parenti, libri, articoli, personaggi pubblici, attori, etc.)
chi sono e cosa fanno oggi i matematici - secondo te e limitatamente a quello che puoi
capire
Forme suggerite:
un documento Word di un paio di cartelle;
meglio: una presentazione di Power Point di una ventina di slides
Questa prova va svolta assolutamente prima della prossima, perché l’ intervista al genio
della porta accanto potrebbe modificare la vostra concezione attuale della matematica,
che vi abbiamo chiesto di descrivere

I-AB-03 – Il genio della porta accanto
Una intervista oppure una descrizione precisa e dettagliata della personalità di una
persona a noi vicina che ha avuto con la matematica un rapporto positivo e costruttivo,
fino a farne in qualche modo una ragione di vita.
La persona da descrivere o intervistare tuttavia potrebbe anche essere una persona che ha
avuto difficoltà oggettive nell’ apprendimento della matematica, in quanto portatore di un
handicap generico o specifico come la discalculia.
Nell’ Appendice Numero 4 viene tracciato lo schema di una possibile intervista. E’ inutile
sottolineare che l’ intervista va concepita su misura del soggetto da intervistare, sia per
non metterlo in difficoltà o in imbarazzo; sia per ottenere da lui la maggiore quantità di
informazioni possibile, anche in forma confidenziale!




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IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico
Questa prova consiste nella ricerca e nel racconto del profilo di un grande matematico. Per
l’esame di Matelsup1 dovete scegliere una figura di matematico che si è occupato in
modo particolare di numeri o di aritmetica.
La prova può essere superata facendo riferimento ad un libro o ad un film che descrive la
vita del matematico. Dovrete cercare nella figura da voi scelta tutte le caratteristiche che
lo rendono vicino o lontano dalle persone comuni, in termini sia cognitivi che di
personalità.
Può essere utile, prima di svolgere questa prova, leggere l’ intervista a Keith Devlin, un
matematico grande divulgatore della matematica, fatta da Paolo Lolli e ripresa dal sito
Polymath del Politecnico di Torino. La riportiamo nell’ appendice 5.

I-AB-05 – La mia famiglia
La rappresentazione della struttura della propriafamiglia, se fatta in modo preciso e
rigoroso, può costituire il modo più naturale di introdurre il concetto matematico di
relazione e di creare in modo semplice ed intuitivo delle relazioni su un insieme.
Le relazioni familiari, dal punto di vista matematico, sono dello stesso tipo delle relazioni
che si possono stabilire tra numeri o tra enti di natura geometrica. Quindi imparare a
rappresentare la propria famiglia in modo formalmente rigoroso e corretto può
rappresentare il primo esempio di matematizzazione a bassissimo costo ed anche una delle
prime occasioni per compiere un processo di astrazione.
L’ esperienza che abbiamo fatto negli ultimi anni del corso di Didattica della Matematica
con centinaia di allievi dimostra che la prova viene facilmente compresa e realizzata con
interesse e con gusto.
Una rappresentazione matematicamente e semanticamente corretta della propria
famiglia, come può essere ottenuta con un programma specializzato come Genopro
oppure con un programma generico come Cmaptools.
GenoPro 2007 si può scaricare, in prova gratuita per 30 giorni 2, dal sito




2
 Gli studenti e i docenti di corsi in cui si usa GenoPro 2007 hanno diritto, secondo quanto riporta il sito,ad una licenza
di prova che vale per sei mesi. Abbiamo inoltrato domanda per ottenere questa licenza e pubblicheremo su
Blackboard quando questa licenza sarà disponibile.
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       http://www.genopro.com/
Il suo funzionamento, basato su icone, è talmente intuitivo che non vale la pena di
spiegarlo. Basta piuttosto riportare un esempio per rendere evidente l’ uso dei simboli. Il
programma stesso si prende cura del fatto che le relazioni vengano stabilite in modo
corretto.
A titolo di esempio, vi mostriamo l’ albero di famiglia dello scrivente esteso fino ai due
nipoti, senza i genitori. Anche voi nella vostra prova dovreste provare a rappresentare
almeno tre generazioni di persone, cominciando per esempio dai vostri nonni.




I documenti (= gli alberi genealogici) realizzati con GenoPro 2007 si possono salvare nel
formato .gno. Con questo formato dovranno essere quindi caricati su Blackboard.




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Cmaptoolssiscarica dalla pagina
       http://cmap.ihmc.us/download/
e per scopi educativi è completamente gratuito. Peraltro abbiamo inserito una copia del
programma anche nella cartella Materiali  Altre applicazioni del sito di Blackboard.
Cmaptoolstratta di un programma assai più generale di GenoPro, costruito per realizzare
mappe concettuali, ovvero strutture di concetti legati da relazioni.
Cmaptoolsè stato sviluppato soprattutto per costruire mappe concettuali, ma è un
programma molto versatile che può essere usato benissimo anche per costruire degli
alberi genealogici, ovvero gli alberi di famiglia. Vale la pena, allora, usarlo per descrivere la
propria famiglia che è una struttura assai ... familiare!
Qui sotto rappresentiamo la stessa famiglia già vista in GenoPro realizzata con Cmaptools.




Questo argomento, su cui tra l’ altro dovrebbe partire almeno una tesi di laurea nei
prossimi mesi, sarà ampiamente approfondito nelle dispense in preparazione.

G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale
Il fatto che noi rappresentiamo i numeri in base 10, ovvero usando le cifre 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,
7, 8 e 9 in modo posizionale, dipende dal fatto che le nostre mani hanno dieci dita.
La notazione posizionale, come è noto, è stata resa possibile dall’ introduzione dello zero,
dovuta agli arabi che l’ hanno forse ereditata dagli indiani. In questo modo, usando lo
zero, il numero 10 esprime una unità di ordine superiore e zero unità; il numero 12
esprime una decina e due unità, e via dicendo.


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Se avessimo tre dita in tutto, useremmo la base tre: possiamo immaginare che ci siano
degli extraterrestri che hanno tre dita in tutto e che contano raggruppando gli oggetti a tre
a tre (terzine), quindi raggruppando le terzine a tre a tre (nonetti) e via dicendo.
In questa prova, che va svolta preferibilmente in gruppo, dovete imparare a rappresentare
in base tre i numeri da 1 a 100 raggruppandoli per gruppi di tre (terzine), poi per terzine di
terzine (nonetti), quindi per terzine di terzine di terzine (ventisettetti) e finalmente per
terzine di terzine di terzine di terzine (ottantunetti).
Per documentare questa capacità vi suggeriamo di usare le palline di sale e di fotografare
alcuni insiemi di numerosità crescente fino a 100, racchiudendo i vari raggruppamenti con
un filo di lana o con una fettuccia o simili.

G-A-07 – Le figure di Sierpinski
WacławFranciszekSierpioski è un famoso matematico polacco conosciuto per diversi
importanti contributi alla teoria degli insiemi, alla teoria dei numeri, alla teoria delle
funzioni e alla topologia. Tra le scoperte matematiche associate c’ è una bellissima figura
frattale chiamata triangolo di Sierpinski.
Il triangolo o figura di Sierpinski è una figura frattale, ovvero una figura generata da uno
“schema ricorsivo” un meccanismo costruttivo che si ripete allo stesso modo su scale
diverse. Possiamo vedere la successione dei triangoli di Sierpinski come vengono disegnati
da una applicazione scritta nel linguaggioJava accessibile direttamente online all’
indirizzo http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html
Un triangolo di Sierpinski di livello 0 non è altro che un normale triangolo equilatero:




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Cliccando sul pulsante di avanzamento                        si ottengono le figure di Sierpinski di livello
superiore.
L’insegnante americana CynthiaLanius ha provato a presentare il triangolo di Sierpinski
alla sua classe: ne è scaturito un progetto spettacolare, in cui i bambini, divisi per gruppi
hanno disegnato sul pavimento un triangolo di Sierpinski gigantesco di livello molto
elevato.




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L’esperienza di disegnare, lavorando in gruppo, i successivi triangoli di Sierpinski è una esperienza molto bella, che
abbiamo riproposto nell’ ambito del corso di Didattica della Matematica che ho tenuto nel 2007 – 2008 all’ Università
dell’ Aquila.
Ma ci sono anche diverse scuole italiane che hanno provato a fare queste figure. Un forum molto interessante che
documenta questo tipo di esperienze si trova su http://www.scuolamatica.net/moodle/mod/forum/discuss.php?d=314



Bibliografia essenziale
Indichiamo qui appresso i volumi essenziali da studiare per prepararsi all’ esame seguendo
il Percorso A. Si tratta del materiale minimo indispensabile che permette di arrivare al
momento in cui le dispense ufficiali del corso saranno pubblicate e disponibili per tutti.
Ribadiamo il fatto che per superare l’ esame non è sufficiente studiare i tre volumi nel
modo tradizionale, anche perché il secondo ed il terzo sono volumi costituiti in larga
misura da schede di lavoro per bambini di sei, sette e otto anni. Sarebbe ovviamente
assurdo- o se vogliamo grottesco! – basare la preparazione adun esame universitario sullo
studio tradizionale di testi in larga parte costruiti per dei bambini!
Ed infatti non è così. Se, ancora non vi fosse chiaro, provate a rileggere ancora una volta il
programma e la Guida che avete appena letto: vi renderete conto, ci auguriamo, che

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questo esame, anche nella forma tradizionale, presuppone che uno la matematica, per
capirla, la deve fare, non basta leggerla e ripeterla cento o duecento volte (“Se faccio,
capisco”).
E fare la matematica su un testo per bambini non può significare soltanto “giocare a fare i
bambini” ma vuol dire andare in profondità, passare a raggi x le schede create per i
bambini per capire a fondo cosa gli autori delle schede si aspettano che i bambini facciano.
E cosa si aspettano che sappiano fare, prima e dopo ogni singola scheda.
Questa radiografia del materiale per bambini, in definitiva, è la sostanza di quanto viene
richiesto come competenza finale di questo corso. Nel percorso A viene accentuato l’
aspetto autoriale e costruttivo. In questo Percorso B viene invece accentuato l’ aspetto
strutturale. La struttura concettuale sottostante ad una scheda di lavoro per bambini - o di
un intero volume di schede - può essere descritta in modo formalmente ineccepibile sotto
forma di mappa concettuale. Ma può essere anche tradotta in una QQ.storia, per chi
desidera cimentarsi con la dimensione del disegno di una interfaccia per il computer.

[GIRELLI 2006]
      Luisa GIRELLI
      Noi e i numeri
      Collana “Farsi un’ idea”
      Bologna: Il mulino, 2006
[BORTOLATO 2002]
      Camillo BORTOLATO
      Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico - intuitivo
      Erickson, 2002
[COLOMBO BOZZOLO, COSTA 2002]
      Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA
      Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1. I numeri fino a 100
      Erickson, 2002
Ricordiamo inoltre, che sono in preparazione, da parte del docente, delle dispense
complete per questo corso, che però non è stato possibile mettere a punto in tempo utile
per l’ esame - e questo, tra l’ altro è il motivo della preparazione della presente Guida.




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Bibliografia generale
Nel seguito di questo capitolo presentiamo un’ ampia bibliografia generale, di sfondo, che
potrà interessare chi voglia approfondire gli argomenti trattati dal corso o per chi desideri
considerare un possibile percorso di approfondimento, magari in vista di una tesi di laurea.
[ANTINUCCI, 1999 ]
      Francesco ANTINUCCI
      Computer per un figlio. Giocare, apprendere, creare.
      Bari, 1999 (Laterza)
[ANTONIETTI, CANTOIA, 2001]
      Alessandro ANTONIETTI, Manuela CANTOIA
      Imparare con il computer. Come costruire contesti di apprendimento per il
      software.
      Erikson 2001
[BOZZI, 1956 ]
      Paolo BOZZI
      Sulla rappresentazione grafica di concetti temporali nei bambini.
      Euro
[BUTTERWORTH, 1999 ]
      Brian BUTTERWORTH
      Intelligenza matematica
      Rizzoli 1999
[CALDELLI, ]
      Luisa CALDELLI
      Percorsi, labirinti, mappe esperienze proto matematiche nella scuola
      dell’infanzia.
      La Nuova Italia
[CALDELLI, 1986]
      Luisa CALDELLI
      La matematica dalla scuola dell’infanzia alla scuola elementare.
      La Nuova Italia 1986
[CALDELLI,]
      Luisa CALDELLI
      Il bambino matematizza il mondo: esperienze protomatematiche nella scuola
      dell’infanzia.
      La Nuova Italia
                                                 Pagina 26 su 53 pagine
Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
         Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                   Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

[CALVANI, 1988]
     Antonio CALVANI
     Il bambino, il tempo la storia.
     La Nuova Italia 1988
[CASTELNUOVO 1963]
     CASTELNUOVO Emma.
     Didattica della matematica
     Firenze: La Nuova Italia, 1963
[CASTELNUOVO, 1993]
     Emma CASTELNUOVO
     Pentole, ombre, formiche. In viaggio con la matematica.
     Firenze: La Nuova Italia, 1993
[CORNOLDI, 2004]
     Cesare CORNOLDI
     Matematica e metacognizione: atteggiamenti metacognitivi e processi di
     controllo.
     Erickson, 2004
[CORNOLDI, 1995]
     Cesare CORNOLDI
     Metacognizione e apprendimento.
     Bologna: Il Mulino, 1995
*D’AMORE, 1981+
     Bruno D’AMORE
     Educazione matematica e sviluppo mentale. La matematica dalla scuola dell’
     infanzia all’ università
     Roma Armando 1981
*D’AMORE, 2004 +
     Bruno D’AMORE
     Infanzia e matematica: didattica della matematica nella scuola dell’infanzia.
     Pitagora Ed. Bologna 2004
*D’AMORE, 2005+
     Bruno D’AMORE
     Didattica della matematica.
     Bologna: Pitagora, 2005
*D'AMORE, D'AGLI’, 1999+
     Bruno D' AMORE, Francesco D'AGLI’
                                               Pagina 27 su 53 pagine
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         Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                   Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

     Matematica nella scuola materna
     Edizioni Juvenilia
[DEHAENE, 2000]
     Stanislas DEHAENE
     Il pallino della matematica: scoprire il genio dei numeri che è in noi.
     Mondatori 2000
[DEVLIN 2007]
     Keith DEVLIN
     L’ istinto matematico. Perché sei anche tu un genio dei numeri.
     Collana Scienza e Idee, diretta da Giulio Giorello
     Milano: Raffaello Cortina editore, 2007
[DOMANDOMAN, 1998]
     Glenn DOMAN, Janet DOMAN
     Imparare la matematica a tre anni
     Armando Editore, 1998
[GALLO, VEZZANI, 2007]
     Paola GALLO e Cristina VEZZANI
     Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica.
     Milano: Associazione Culturale Mimesis, 2007
[GILBERT, 1974]
     Robert GILBERT- a cura di Giovanni LARICCIA
     Il bambino e la matematica moderna.
     Roma: Armando Armando editore, 1974
[GIRELLI 2006]
     Luisa GIRELLI
     Noi e i numeri
     Collana “Farsi un’ idea”
     Bologna: Il mulino, 2006
[GARDNER, 1983]
     Howard GARDNER
     Formae Mentis. Saggio sulla pluralità delle intelligenze.
     Milano: Feltrinelli, 2007
     Edizioneoriginale: New York, Basic Books, 1983
[LARICCIA, 1988]
     Giovanni LARICCIA
     Le radici dell’ informatica
                                               Pagina 28 su 53 pagine
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         Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                   Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

     Milano: Nuova Sansoni, 1988 (prima edizione; 1984)
[LARICCIA, 2010a]
     Giovanni LARICCIA
     I fantastici mondi di Iperlogo
     Torino: Book-jay.it, 2010
[LARICCIA, 2010b]
     Giovanni LARICCIA
     Informatica della mente
     Torino: Book-jay.it, 2010
[LEGRENZI, 2002]
     Paolo LEGRENZI
     La mente. Anima, cervello o qualcosa di più?
     Il Mulino, 2002
[LAKOFF, NUNEZ, 2005]
     George LAKOFF e Rafael NUNEZ
     Da dove viene la matematica. Come la mente embodied porta in essere la
     matematica.
     Torino: Bollati, 2005
[LINDSAY, NORMAN, 1984]
     Peter H. LINDSAY e Donald A. NORMAN
     L’ uomo come elaboratore di informazioni
     Firenze: Giunti Barbera, 1984
[LOVELL, 1970]
     Kenneth LOVELL
     La formazione matematica.
     La Nuova Italia, 1970
[NORMAN,1995]
     Donald A. NORMAN
     Le cose ci fanno intelligenti. Il posto della tecnologia nel mondo dell’uomo.
     Milano: Feltrinelli 1995
[NORMAN, 2000]
     NORMAN
     Il computer invisibile. La tecnologia migliore è quella che non si vede.
     Milano: Apogeo 2000
[NORMAN, 1997]
     Donald A. NORMAN
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                   Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

     La caffettiera del masochista. Psicopatologia degli oggetti quotidiani.
     Firenze: Giunti 1997
     (Titolooriginale: the design of everyday things)
[OLIVERIO, 1997]
     Alberto OLIVERIO
     L’ arte di pensare. Per imparare a decidere, per usare la forza della mente.
     Milano: Rizzoli, 1997
[OLIVERIO, 1998]
     Alberto OLIVERIO
     L’ arte di ricordare. La memoria e i suoi segreti
     Milano: Rizzoli, 1998
[OLIVERIO, 1999]
     Alberto OLIVERIO
     L’ artedi imparare. A scuola e dopo
     Milano: Rizzoli, 1999
[OLIVERIO, 2001]
     Alberto OLIVERIO
     La mente: istruzioni per l’ uso
     Rizzoli, 2001
[OLIVERIO, OLIVERIO FERRARIS, 2004]
     Alberto OLIVERIO, Anna OLIVERIO FERRARIS
     Le età della mente
     Rizzoli, 2004
[PAPERT, 1984]
     Seymour PAPERT
     Mindstorms. Bambini, computers e creatività.
     Milano: Emmeedizioni, 1984 (New York: Basic Books, 1980)
[PAPERT, 1994]
     Seymour PAPERT
     I bambini e il computer. Nuove idee per i nuovi strumenti dell’educazione.
     Rizzoli, 1994
[PEA, 2001]
     Beppe PEA
     Matematica nella scuola di base, i concetti dello spazio e del tempo nella scuola
     moderna e nel primo ciclo della scuola di base.
     Tannini, 2001
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                   Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012

[PETTER, 1996]
     Guido PETTER
     Il bambino impara a pensare: introduzione alla ricerca sullo sviluppo cognitivo.
     Firenze: Giunti, 1996
[PIAGET, 1968]
     Jean PIAGET
     La genesi del numero nel bambino.
     La Nuova Italia, 1968
[PIAGET, 1979]
     Jean PIAGET
     Lo sviluppo della nozione di tempo nel bambino.
     La Nuova Italia, 1979
[PIAGET, 1985]
     Jean PIAGET
     Precalcolo.
     La Scuola, 1985
[RICHTERMAN, 1986]
     Tamara Davydovna RICHTERMAN
     Il senso del tempo nei bambini in età pre-scolare
     La Nuova Italia, 1986
[TANONI GRACIOTTI, 1997]
     Italo TANONI, Rossano GRACIOTTI
     L’immagine bambina: proposte per l’educazione multimediale nella scuola
     dell’infanzia.
     Bergamo Junior 1997
[THAGARD, 1996]
     Paul THAGARD
     La mente. Introduzione alla scienza cognitiva
     Guerini studio 1996
[TOURET, 1987]
     Lise TOURET
     Percorsi alla scoperta della matematica. 53 situazioni-problema per i bambini
     della scuola materna.
     La Scuola, 1987




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Appendice Numero1
Libro fondamentale numero 1AB
Luisa GIRELLI, Noi e i numeri. Bologna: Il Mulino, 2006
Questo libro va studiato a fondo sia per nel Percorso A che nel percorso B. Per motivare lo
studente, presentiamo una breve recensione del libro fatta da Nadia Rossi, laureata nel
2007 in Didattica della matematica, riveduta e pubblicata su Blackboarddal Prof. Lariccia
Questo agile libro divulgativodovuto a Luisa Girelli, ricercatrice all' Università di Milano
Bicocca, riassume in modo sintetico e brillante, mettendole in una prospettiva storica, le
ricerche della scienza neurocognitiva degli ultimi venti anni e fornisce una prospettiva che
è fondamentale, oggi, per chiunque si occupa di apprendimento e insegnamento della
matematica.
Il libro prende in considerazione l’importanza della matematica, e spiega come essa faccia
parte della nostra vita quotidiana e di come in ogni momento facciamo uso dei numeri.
Ripercorre così la storia dei numeri seguendo l’evoluzione della specie. Nel primo capitolo
viene preso appunto in considerazione il fatto che sin dall’antichità i popoli contavano, non
utilizzavano ancora il concetto di numero, ma attraverso alcuni ritrovamenti di disegni con
incise delle tacche sul muro indicavano appunto le prime esigenze di tener traccia di una
numerosità. Prende poi in considerazione il modo in cui ogni popolo ha raggiunto il
concetto di numerosità su base 10 o 20 fino al conteggio con parti del corpo. Nel capitolo
successivo viene presentata la matematica come oggetto di studio su animali. Qui viene
data una spiegazione completa del concetto di numero “…possedere il concetto di numero
significa non solo rappresentarsi delle numerosità, ma cogliere la relazione ordinale tra i
diversi numeri e svolgere operazioni con essi”. Un esempio per chiarire: possedere il
concetto di numero non vuol solo dire riconoscere che 3 banane e 3 suoni hanno la stessa
numerosità, ma anche che mangiando 1 banana ne rimangono 2 o che se ho 4 bambini a
cui devo dare le banane o ne procuro altre 2 o divido in parti uguali quelle rimanenti. In
questo capitolo si parla però di numerosità relativa agli animali e si studia in base a che
punto gli animali possono apprendere attraverso un addestramento oppure studiarli nel
loro mondo naturale e vedere se hanno un minimo di concetto di numerosità.La domanda
che ci si pone è se anche i neonati hanno capacità numeriche innate. A questo concetto si
sono fatti studi a partire dagli anni ottanta. Vengono presentati alcuni libri fondamentali
sulla genesi del concetto di numero, primo tra tutti il libro di Piagete Szeminska”La genesi
del numero nel bambino” in cui gli autori descrivono gli stadi che conducono il bambino a
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formare una rappresentazione astratta del numero attraverso le interazioni con l’esterno.
Si passa attraverso i prerequisiti di acquisizioni di nozioni logiche quali: conservazione,
classificazione, seriazione. Con i suoi studi Piaget dimostra che i bambini di 5 anni sono in
grado di rendersi conto che le proprietà percettive di un insieme (ossia la forma, il colore,
ecc) non influenzano la numerosità.Questi studi hanno avuto diverse critiche in quanto si
consideravano esempi troppo lontani dalla vita reale di un bambini.I bambini con il tempo
impareranno a capire i numeri anche se prima li attribuiranno ad eventi a loro conosciuti
(esempio le 2 candeline sulla torta in dicano un compleanno). Solo col tempo impareranno
il concetto di sequenziale (il 2 è prima del 3), ordinale (2 è meno di 3), cardinale (2 indica
un insieme di numerosità 2). Secondo studi effettuati i bambini iniziano ad usare i numeri
sin da due anni, anche se iniziano a contare senza conoscere il significato del
numero.Verso i tre anni iniziano a sommare piccole quantità di oggetti utilizzando molto le
dita come base di conto. Questo modo di contare verrà presto abbandonato per avvicinarsi
a procedure più veloci (il conteggio dal numero maggiore esempio 2+4 si parte dal 4 e si
aggiunge 2. Qui deriva già una importante regola matematica quella commutativa per cui
cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia). Il libro continua parlando della
distinzione fra soggetti superdotati in matematica che con pochi e semplici passaggi
risolvono grandi problemi, a soggetti che presentano invece gravi problemi quali la
discalculia evolutiva cioè con difficoltà nei calcolo più semplici. Nell' ultima parte del libro
viene presa in considerazione la capacità di insegnare matematica, non facendo studiare a
memoria regole su regole, ma facendo applicare alcuni semplici calcoli alla vita reale (viene
chiamata matematica da strada).




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Appendice Numero 2
Libro fondamentale numero 2B
Camillo BORTOLATO, Calcolare a mente. Esercizi secondo l' approccio analogico - intuitivo.
Trento: Erickson, 2002.
Questo libro è raccomandato,ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece
obbligatorio e va studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Riportiamo qui di
seguito la scheda descrittiva del libro tratta dal catalogo della Erickson.
Il libro tratta della teoria e della pratica del calcolo mentale, visto come uno strumento
utile a far capire pienamente i numeri ai bambini. Rappresenta un modo per entrare a
fondo nella problematica della rappresentazione delle consocenzerelative ai numeri nella
nostra memoria. Il libro parte dalla considerazione che nel calcolo mentale, i bambini di
oggi utilizzano le stesse tecniche che usavano i loro coetanei fin dall' antichità: operano
cioè senza fare riferimento al codice dei numeri arabi, senza vedere le cifre, ma basandosi
solo sul codice semantico e su quello lessicale. Ancora oggi, prima di incontrare i numeri
scritti, ogni bambino conserva un "genio innato" per la numerosità, che precede qualsiasi
nozione impartita da genitori o insegnanti. Partendo dq questa teoria, il volume presenta
le strategie del calcolo mentale, che sono diverse e indipendenti dalle procedure del
calcolo scritto. L' approccio analogico - intuitivo mira a sviluppare una struttura di
riferimenti ordinati che funzioni nella mente dell' alunno come una carta geografica per
orientarsi nel calcolo, una struttura semplice,regolare e replicabile in tutte le dimensioni,
che permetta all' alunno di riconoscere quantità anche elevate in modo istantaneo, senza
contare.




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Appendice Numero 3
Libro fondamentale numero 3B
Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA, Nel mondo dei numeri e delle operazioni.
Volume 1 - I numeri fino a 100. Trento: Erickson, 2002.
Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece
obbligatorio e va studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Su questo libro è
basata la prova B06
Questo è il primo volume della nuova collana Erickson "Ri-costruiamo la matematica"
(rivolta agli insegnanti di scuola elementare). La collana prevede complessivamente sei
titoli relativi all' aritmetica e sei relativi alla geometria, più altri relativi alle abilità richieste
per risolvere i problemi.
Il libro contiene indicazioni teoriche, didattiche e operative in merito ai concetti
matematici relativi ai numeri naturali da 0 a 100. Ricco di schede operative diversificate nei
contenuti e nei livelli di difficoltà e basato sul modello teorico della didattica per concetti, il
programma si caratterizza per una reale coordinazione fra il punto di vista teorico
disciplinare, quello pedagogico e quello didattico. Ogni proposta operativa è inserita in un
contesto di riferimento che permette di valutarne l’opportunità didattica, le conoscenze e
le competenze implicate come prerequisiti e come elementi di scoperta. Per superare il
distacco tra forma e contenuto, che talvolta caratterizza l’insegnamento dell’aritmetica,
l’itinerario didattico proposto è ben graduato a partire dal mondo esperienziale del
bambino, secondo una scala di progressiva schematizzazione, astrazione, sintesi e
formalizzazione.




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Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto
 (Traccia di una intervista diretta ad un adulto, giovane o meno giovane, uomo
o donna, che ha compiuto studi scientifici ed usa correntemente la matematica
nella sua professione)

Premessa
Lo scopo principale di questa intervista è quello di far parlare liberamente il soggetto
intervistato fino a fargli rivelare dei particolari intriganti, in modo particolare riguardo alla
incubazione della sua passione, alla sua iniziazione alla matematica ed al suo rapporto con
il resto del mondo.
L’ intervista non può rappresentare una indagine scientifica e va condotta con naturalezza
e con tranquillità, senza enfatizzazioni ed esagerazioni.
Il rapporto con i compagni di studi e con i coetanei non va enfatizzato troppo, ma
attraverso il modo stesso in cui si svolge la conversazione l’ intervistatore potrà
aggiungere, a margine dell’ intervista, alcune impressioni sulla socievolezza e sul carattere
dell’ intervistato.

La scoperta della matematica
A che età hai scoperto l’ esistenza della matematica?
Attraverso quali esperienze?
Insieme con chi? Grazie a chi?
Che importanza ha avuto la scuola nella scoperta della matematica?
Quali altre esperienze al di fuori della scuola (prima della scuola, durante la scuola) ti
hanno fatto scoprire la matematica?
Quando e come hai scoperto la tua passione per la matematica?
Come andavi in matematica a scuola? Sei sempre andato bene?
Che ricordo hai dei tuoi insegnanti di matematica? Hanno riconosciuto il tuo talento? Ti
hanno incoraggiato?

Studi, curriculum
Che tipo di studi hai svolto?

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Hai scelto tu questo tipo di studi?
Come andavi nelle altre materie?
La passione per la matematica ha mai compromesso il rendimento nelle altre materie?
Come ti vedevano i tuoi insegnanti, i tuoi professori?

Familiarita’
Nella tua famiglia ci sono altri “geni” della matematica?
Il tuo carattere (la tua personalità) sono caratteristici secondo te di un matematico o di
uno che ama la matematica? Puoi descriverci alcuni aspetti?

Personalita’
Ti ritieni una persona socievole?
Ritieni di essere creativo?
Parlaci della tua fantasia
Qual è il tuo rapporto con il computer?
Ti piace giocare? Quali tipi di giochi?

La professione scelta
Sotto quale aspetto la tua professione attuale ha una relazione con la matematica?
Cosa pensavi (sognavi) di fare da grande
Pensi di avere realizzato i tuoi sogni?

Concorsi, gare
Hai mai partecipato a delle gare di matematica? Se si, come sei andato? Come ti sei
preparato?
Hai mai partecipato a dei concorsi con prove di carattere matematico o coinvolgenti la
matematica? Se si, in quale modo ti sei preparato?
Hai mai partecipato a delle selezioni interne in cui la matematica fosse determinante?
Come è stato il tuo rendimento in queste circostanze?



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Matematica e societa’
Qual è il ruolo della matematica nella società moderna?
Pensi che l’ insegnamento della matematica sia adeguato alle esigenze della nostra società
(civiltà)?

Computer, internet
Che rapporto hai con il computer?
Che rapporto hai con internet?
Che rapporto pensi che ci sia tra il computer e la matematica?
Conosci qualche linguaggio di programmazione?

Memoria
Come consideri la tua memoria? (Normale, Buona, Ottima)
Che tipo di memoria hai? (Uditiva, Visiva)
Secondo te come deve essere la memoria di un matematico (di un genio matematico della
porta accanto)?

Numeri, calcolo mentale
Esegui mai calcoli a mente?
Quando e quanto usi la calcolatrice per fare i calcoli della vita quotidiana?
Quali grandi numeri conosci?
Qual è il numero più grande che hai mai incontrato?
Qual è il numero più interessante che hai conosciuto? E perché lo consideri tale?

Sogni nel cassetto
Quali sono i tuoi sogni nel cassetto, dal punto di vista matematico?




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Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello
Nell' Analisi della Funzione Docente la prima fase è quella della intervista alla maestra
modello, ovvero ad un docente o ad una docente che presenta delle caratteristiche di
eccellenza unite ad una disponibilità a parlare della sua professione e della sua
professionalità in termini aperti e costruttivi.
La maestra modello deve essere selezionata sulla basi delle caratteristiche che indichiamo
qui di seguito., Deve essere innanzitutto
    disponibile e comunicativa
    esperta e relativamente matura
    insegnare o avere insegnato matematica La potete cercare tra i docenti della scuola in
    cuieffettuate il vostro tirocinio.
Contattatela con garbo e presentatele, se occorre, il progetto di indagine che state
effettuando. Lamaestra modello deve essere disponibile a collaborare anche nelle
successive fasi dell' indagine, quelleche riguardano il libro di testo ed i sussidi didattici, i
risultati visibili sui quaderni degli allievi e l'interazione con l' ambiente.

Come va condotta l' intervista
L' intervista va condotta cercando di mettere a suo agio la persona intervistata. Le
domande non vanno quindi fatte in modo meccanico, qui non si tratta di domande di tipo
statistico, ma di una indagine che deve assomigliare alle indagini fatte dai grandi giornalisti
piuttosto che dagli istituti demoscopici.

Domande di base
Esperienze relative all' insegnamento della matematica
    Lei insegna attualmente matematica nella scuola elementare? Ci può dire da quanto tempo?
    Oppure per quanto tempo complessivamente lo ha fatto?
    Ha una laurea in matematica o in una materia scientifica? Se si, dove e quando l' ha
    conseguita?
    Con chi ha svolto la tesi?
    Ha seguito corsi di specializzazione sull' insegnamento della matematica? Se si, può dirci
    quali? In quale ambiente o organizzazione? Condotti da chi?
    Fa parte di associazioni o di reti di docenti che coltivano l' interesse per la matematica e per il
    suo apprendimento - insegnamento?


                                                 Pagina 39 su 53 pagine
Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
          Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                    Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012


Esperienze relative alla formazione degli insegnanti
   Ha svolto, svolge o conta di svolgere corsi di formazione per insegnanti della scuola primaria?
   Dove? Come? Con chi? Con quale organizzazione?

Rapporti con la matematica
   Le piace la matematica? La trova utile? Piacevole? O altro?
   Supponiamo che i suoi rapporti con la matematica oggi siano buoni. Lo sono stati sin da
   quando era bambina? O da quando era adolescente? O da quando ha cominciato ad
   insegnarla?
   Chi sono i suoi "modelli" tra i grandi matematici?
   Chi sono i suoi maestri nel campo della didattica della matematica?

Innatismo (domanda opzionale)
   Alcuni ricercatori (Dehaene, Butterworth, Girelli, Wynn) sostengono che alcune competenze
   matematiche siano innate ed il campo delle competenze matematiche innate si estende
   continuamente. Lei ritiene che le competenze matematiche siano in parte innate?

Costruttivismo (domanda opzionale)
   Seymour Papert, uno degli "apostoli del linguaggio Logo" asseriva che tutti i bambini
   dovrebbero, nel loro piccolo, poter in qualche fare i matematici?
   Lei concorda o meno? Ritiene che ognuno di noi possa, nel suo piccolo, essere un piccolo
   matematico?

Paura della matematica
   Gli psicologi ci dicono che molti bambini maturano un atteggiamento di paura, se non
   addirittura di terrore verso la matematica. Lo conferma? Ne ha avuto una esperienza diretta?
   Quali possono essere, secondo lei, le cause della paura della matematica?
   Il metodo adottato dall' insegnante può influire in senso positivo o negativo?
   Ritiene che La personalità dell' insegnante può influenzare la paura della matematica?
   Quali esperienze formative possono avvicinare in modo sereno il bambino alla matematica?

Il mondo dei giochi e il mondo della matematica
   Ritiene che il mondo dei giochi e il mondo della matematica possano avere dei punti in
   comune?
   Ad esempio, negli Stati Uniti c' è un intero curriculum di avviamento alla matematica che
   poggia sul gioco degli scacchi. Lo ritiene interessante? Utile? Applicabile anche in Italia?


                                                Pagina 40 su 53 pagine
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                     Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012


La questione dei videogiochi
    Lei ha mai provato i videogiochi?
    Ha dei figli o dei nipoti che usano i videogiochi?
    Moltissimi bambini usano i videogiochi: lo ritiene un fatto positivo? Ritiene che questa
    esperienza possa favorire o meno un sano rapporto con la matematica?

Il computer
    Quale ruolo può avere il computer nell' apprendimento - insegnamento della matematica?
    Lei usa il computer per insegnare la matematica? Se non lo usa, per quale motivo?

Attrezzature
    insufficienti? Difficoltà organizzative? O contrarietà nei confronti del mezzo?
    Conosce programmi per il computer orientati a favorire o facilitare l' apprendimento
    dellamatematica?
    Considera il computer come un semplice supporto per materiali didatticimultimediali o
    qualcosa di più profondo?

Ambiente
Risponda liberamente, e solo se lo ritiene opportuno.
    L' ambiente scolastico l'aiuta nella sua missione?
    Ha buoni rapporti con i colleghi sul tema dell' insegnamento della matematica?
    Ci sono forme di collaborazione tra tutti gli insegnanti che, nella scuola, insegnano
    matematica?
    La dirigenza della scuola considera in modo adeguato le esigenze relative all' apprendimento
    della matematica? Le favorisce in qualche modo?
    Sempre sul tema dell' apprendimento della matematica, esiste qualche forma di
    collaborazione, diretta o indiretta, con i genitori?

Disabilità (discalculia)
    Si è mai imbattuta in soggetti che presentavano disturbi specifici nell' apprendimento legati in
    modo particolare alla matematica (tipo discalculia)?
    Ha avuto modo di collaborare con degli psicologi? Quali figure di psicologi in particolare? Ha
    trovato proficua la collaborazione con gli psicologi?
    Ha avuto modo di conoscere ed apprezzare dei test per la diagnosi precoce della discalculia?




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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
           Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
                     Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012


Appendice Numero 6 - Keith Devlin: pensare la
matematica
(da una conferenza del Prof. Keith Devlin riportata nel sito Polymathdell’
Universita’ di Torino)

Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin
Keith J.Devlin è un vero polymath, dovrebbe essere il primo socio onorario del sito, se è
prevista questa figura. Ha dato e continua a dare contributi importanti sia nella ricerca sia
nella divulgazione.
Ha conseguito il dottorato in matematica nel 1971 presso l'Università di Bristol, nel settore
della teoria degli insiemi - sono ricerche molto difficili e affascinanti quelle dell'attuale
teoria degli insiemi, veri e propri esperimenti mentali di coraggiose estrapolazioni verso
infiniti sempre più grandi e per studiare le conseguenze della loro esistenza sulla
matematica concreta e per affinare l'intuizione dell'infinito (secondo un suggerimento che
risale a Gödel).
Alcuni suoi libri ed esposizioni relative agli argomenti studiati in quegli anni sono presenti
in tutte le biblioteche universitarie del mondo (in particolare Constructibility, Springer,
1984).
Negli anni Ottanta Devlin è stato una delle vittime della Thachter, ha perso il posto con la
motivazione che le sue ricerche non si rivolgevano a questioni utili. A differenza dei
minatori, l'emigrazione negli Stati Uniti è stata per lui, e forse per noi, una fortuna. Ha
continuato sì ad interessarsi di logica, sia pure in una direzione diversa: sotto l'influenza di
Jon K. Barwise, che lo aveva invitato come ricercatore al Centro di studi sul linguaggio CSLI
di Stanford (lo stesso centro che ora dirige, dopo la morte prematura di Barwise) si è
dedicato all'impegnativo (e per ora purtroppo poco più che tentative, a tentoni)
argomento di una fondazione di una nuova logica dell'informazione. Ma soprattutto,
avendo poi ottenuto un posto in una università che non aveva un programma di dottorato
(questa è una nostra congettura, non sappiamo quale sia la causa e quale l'effetto), ha
colto l'occasione di dare maggiore sfogo ad un'attività di science writer multimediale per
cui aveva già manifestato interesse e spiccate attitudini mentre viveva in Gran Bretagna.
Ivi era stata un grande successo la sua rubrica periodica di matematica Micromaths sul
Manchester Guardian, così come un famoso documentario televisivo A Mathematical

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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
           Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano
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Mystery Tour per la BBC. Ora continua la sua collaborazione con la televisione ed ha
aggiunto una rubrica sul Los Angeles Time.
Frutto di questa attività di divulgazione sono diversi libri di cui alcuni tradotti in italiano
(Matematica - La nuova età dell'oro, Dove va la matematica, Addio Cartesio, Il linguaggio
della matematica, Il gene della matematica).
Devlin ha anche ripetutamente messo le sue capacità organizzative ed espositive al servizio
della comunità, ad esempio dirigendo dal 1991 per alcuni anni l'importante rubrica
Computers and Mathematics sulle Notices dell'American Mathematical Society, e
dirigendo per qualche tempo la rivista Focus della Mathematical Association of America.
Il libro che viene oggi presentato (Il gene della matematica, Longanesi) può essere
affiancato a quelli di S. Dehaene, Il pallino della matematica (come sono fini gli editori
italiani a inventarsi titoli di richiamo; il libro di Dehaene è tutto dedicato a dimostrare che il
cosiddetto "pallino" non esiste), e di B. Butterworth, Intelligenza matematica, a costituire
una trilogia di indagini su quello che si può indurre dalle conoscenze attuali sul cervello
relativamente alle capacità matematiche umane. Ma mentre gli altri due si limitano a
discutere le risultanze delle ultime ricerche neurofisiologiche (e al massimo etnologiche, in
Butterworth) sulla capacità innata di riconoscimento e manipolazione di quantità piccole,
in gran parte comune agli animali superiori, Devlin affronta il problema molto più difficile e
problematico, e importante (soprattutto per la didattica), dell'innesto e della crescita della
matematica simbolica sulla base delle capacità cerebrali matematiche che sono
sostanzialmente analogiche.
Nella sua analisi gioca un ruolo fondamentale la discussione della crescita progressiva del
cervello nel corso dell'evoluzione umana; in particolare, visto che la matematica che
conosciamo è troppo recente per risentire dell'evoluzione biologica, un elemento decisivo
appare essere la nascita del linguaggio, in seguito alla crescita dimensionale del cervello
(soprattutto della corteccia frontale) in un periodo che va da 200.000 a 75.000 anni fa. La
lunga e approfondita discussione di Devlin, che costituisce la parte centrale
dell'esposizione, è un importante contributo al problema della nascita del linguaggio; la
sua tesi è che per la matematica non sono necessarie altre capacità di quelle che
permettono il linguaggio; l'argomento centrale è che con il linguaggio evoluto si è resa
possibile agli umani una forma di pensiero astratto superiore, che egli chiama off-line: la
capacità non solo di descrivere fatti elementari, anche già articolati nelle affermazioni
soggetto-predicato che coinvolgono nomi comuni, astratti, ma la possibilità ulteriore di
immaginare e descrivere situazioni di fantasia. Il vantaggio evolutivo connesso a questa

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Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE)
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capacità è quello della pianificazione, che richiede di inventare scenari possibili (se le cose
stessero), e di sviluppare logicamente le conseguenze delle ipotesi immaginate.
Sulla base di questa tesi, e come elemento di conferma, Devlin presenta una visione della
matematica dove prevale la costruzione e la comunicazione di storie, non essenzialmente
diverse dalle telenovele e dallo scambio di pettegolezzi, relative a mondi formati da
personaggi che sono questa volta gli oggetti astratti matematici, i quali sono gli schemi, i
pattern, che si incontrano in tutte le trattazioni matematiche.

Pensare la matematica, di Keith Devlin
Sono circa trent'anni che mi occupo di matematica e da almeno cinque cerco di capire in
che modo il mio cervello, e quello degli altri matematici, riesca a fare matematica. Per
molti motivi questa è una domanda interessante e inconsueta. Il motivo più interessante
riguarda il tempo. L'evoluzione ha avuto luogo attraverso centinaia, migliaia e milioni di
anni, mentre la matematica è molto recente. I numeri hanno diecimila anni e la maggior
parte della matematica ha, al massimo, duemila anni. Questo tempo è troppo breve
perché possano avvenire grandi cambiamenti nel cervello umano. Quindi, quando
facciamo matematica, quando i nostri cervelli pensano in modo matematico, dobbiamo
necessariamente usare delle abilità mentali che sono state acquisite centinaia di migliaia di
anni prima che la matematica venisse inventata. E la domanda che mi sono posto, quando
ho scritto Il Gene delle Matematica è la seguente: "Come hanno fatto i nostri antenati ad
acquisire il pensiero matematico?" Ho impiegato parecchi anni per riuscire a trovare una
spiegazione convincente: quella che ho pubblicato nel libro Il Gene delle Matematica, edito
in Italia da Longanesi.
Non sostengo che ci sia un gene particolare che ci consente di fare matematica, quindi se
voi non siete capaci di fare matematica, non potete trovare la scusa che non possedete
quel gene.
Quello che voglio dire, è invece che siamo nati con l'abilità matematica, e questa è in noi, e
aspetta soltanto di emergere. Il pensiero matematico è un'abilità innata, che abbiamo fin
dalla nascita. Le domande specifiche che mi pongo sull'abilità matematica sono le seguenti.
Come ha fatto il cervello umano ad acquisirla? Quando, in termini di evoluzione, il cervello
ha acquisito questa abilità? E quale vantaggio può aver dato questa abilità ai nostri
antenati, nella selezione naturale?
Come per qualunque altra spiegazione riguardante l'evoluzione, non possiamo essere
sicuri che io abbia dato la spiegazione corretta. Comunque, sappiamo molto sull'evoluzione
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Guida 1a [2012 2013]

  • 1. UNIVERSITÀ CATTOLICA DEL SACRO CUORE DI MILANO FACOLTÀ DI SCIENZE DELLA FORMAZIONE CORSO DI LAUREA IN SCIENZE DELLA FORMAZIONE PRIMARIA Giovanni Lariccia Matelsup1 MATEMATICA ELEMENTARE CON ESERCITAZIONI (Esame obbligatorio per gli studenti del secondo anno di corso) Anno Accademico 2012 – 2013 Guida1A (2012 – 2013) (Guida provvisoriaalla preparazione all’ esame dell’ esame di Matematica Elementarecon esercitazioni del secondo anno) Percorso A (frequentanti e assimilati)
  • 2. Sommario Obiettivi del corso ...................................................................................... 4 Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture, operazioni, algoritmi .......... 4 Bibliografia .......................................................................................................5 Testi obbligatori .............................................................................................................................. 5 Testi facoltativi (o alternativi)......................................................................................................... 5 Un programma, due percorsi ....................................................................... 5 La presente Guida A ................................................................................... 6 Alcuni assiomi di base ........................................................................................6 Assioma numero 1 – “Se faccio, capisco”....................................................................................... 6 Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica! ............................................. 7 Assioma numero 2 – Imparare collaborando con gli altri, come in un grande gioco ....8 Obiettivo finale del corso Matelsup1 ............................................................. 9 Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica ......................................... 9 I principi a cui si ispira questo corso ............................................................. 9 In che cosa consiste l’ esame..................................................................... 10 Lavori individuali e lavori di gruppo ............................................................ 11 Le tre fasi dell’ apprendimento matematico ................................................. 11 Informatica della mente ............................................................................ 12 I siti per costruire le conoscenze ................................................................ 12 I siti wiki - Wikispaces...................................................................................... 13 I blog ..................................................................................................... 14 Le undici prove del percorso principale (percorso A) ..................................... 15 Il magazzino personale su Box.net .................................................................... 15 La pagina personale sul sito di riferimento (matelsup1) ........................................ 16 I-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di apprendimento e di studio .. 16 G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’ educazione matematica nei paesi emergenti .............................................................................................. 16 I-AB-02 – Io e la matematica ............................................................................ 17 I-AB-03 – Il genio della porta accanto ................................................................ 18 IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico ....................................................... 19 I-AB-05 – La mia famiglia ................................................................................. 19 G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale ....................................... 21 G-A-07 – Le figure di Sierpinski......................................................................... 22 Bibliografia essenziale ............................................................................... 24 Bibliografia generale ................................................................................. 26 Appendice Numero 1 ................................................................................ 32 Appendice Numero 2 ................................................................................ 34 Appendice Numero 3 ................................................................................ 35 Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto ................... 36 Premessa ....................................................................................................... 36 La scoperta della matematica ............................................................................ 36 Studi, curriculum ............................................................................................. 36 Pagina 2
  • 3. Familiarita’ ..................................................................................................... 37 Personalita’ ..................................................................................................... 37 La professione scelta ....................................................................................... 37 Concorsi, gare................................................................................................. 37 Matematica e societa’ ...................................................................................... 38 Computer, internet .......................................................................................... 38 Memoria ......................................................................................................... 38 Numeri, calcolo mentale ................................................................................... 38 Sogni nel cassetto ........................................................................................... 38 Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello ................................. 39 Come va condotta l' intervista ........................................................................... 39 Domande di base ............................................................................................ 39 Esperienze relative all' insegnamento della matematica ............................................................. 39 Esperienze relative alla formazione degli insegnanti ................................................................... 40 Rapporti con la matematica ......................................................................................................... 40 Innatismo (domanda opzionale)................................................................................................... 40 Costruttivismo (domanda opzionale) ........................................................................................... 40 Paura della matematica ................................................................................................................ 40 Il mondo dei giochi e il mondo della matematica ........................................................................ 40 La questione dei videogiochi ........................................................................................................ 41 Il computer..................................................................................................... 41 Attrezzature .................................................................................................................................. 41 Ambiente ...................................................................................................................................... 41 Disabilità (discalculia) ................................................................................................................... 41 Appendice Numero 6 - Keith Devlin: pensare la matematica .......................... 42 Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin ........................................................ 42 Pensare la matematica, di Keith Devlin .............................................................. 44 Appendice Numero 7 - Il rapporto Oecd – Pisa: una ricerca tra i 15enni di 57 paesi del mondo ...................................................................................... 52 Appendice Numero 8 – Rapporto PISA: flop della scuola o questione settentrionale? ......................................................................................... 53 Pagina 3
  • 4. Obiettivi del corso Acquisire una piena consapevolezza del ruolo giocato dalla matematica nello sviluppo della civiltà e nello sviluppo cognitivo individuale, con particolare riguardo alle abilità numeriche. Acquisire o rinfrescare le competenze di base relative alle strutture aritmetiche elementari e ai relativi algoritmi. Saper osservare, registrare ed analizzare il comportamento di bambini e di adulti che svolgono semplici operazioni aritmetiche anche in una base di numerazione diversa da dieci, eventualmente con sussidi o strumenti di calcolo appropriati. Esplorare le principali strategie proposte dagli esperti per imparare ed insegnare le tabelline, per imparare a svolgere calcoli mentali e prendere familiarità con i numeri da 1 a 1000. Strategie di apprendimento e di insegnamento delle frazioni e dei problemi con le frazioni. Saper leggere ed interpretare i programmi e le indicazioni ministeriali alla luce delle impostazioni epistemologiche sopra indicate. Saper leggere e descrivere la professionalità di un insegnante esperto che insegna questa materia nella scuola primaria. Saper interpretare lo stile cognitivo di un bambino ed il suo atteggiamento nei confronti della matematica partendo dall’ analisi dei suoi lavori sui quaderni o su altri supporti. (dalla Guida al Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria) Il programma ufficiale del corso: numeri, strutture, operazioni, algoritmi La rappresentazione delle conoscenze, il costruttivismo e la metacognizione nello studio dei processi di apprendimento - insegnamento della matematica: se faccio, capisco, imparare a imparare. La natura duale (dichiarativo-procedurale) del sapere matematico: sapere e saper fare. Cosa ci dicono la scienza cognitiva della matematica e l’informatica della mente sulle nostre capacità numeriche (innate, acquisite). L’aritmetica dei libri scolastici e l’aritmetica di strada: cosa si deve sapere e cosa si deve saper fare per sopravvivere nella nostra civiltà. Importanza della didattica metacognitiva per favorire l’apprendimento dell’aritmetica. Giocare con i numeri e con le loro rappresentazioni negli spazi reali e virtuali. Calcolare a mente, calcolare con l’abaco cinese: rappresentazioni e strategie. I polimini. La rappresentazione delle conoscenze sulla propria famiglia realizzando un albero di famiglia con www.myheritage.it o con CmapTools. Strategie di calcolo mentale. Sussidi e strumenti di calcolo. Il paese di matelandia: come condurre i bambini ad essere matematici piuttosto che insegnare loro la matematica. Brevi cenni allo sviluppo della matematica nella storia e alla vita di alcuni geni della matematica. Sistemi di numerazione in base diversa da dieci. Abaci e supporti per il calcolo nella storia dell’umanità. Come si costruiscono, si raffinano e si Pagina 4
  • 5. mantengono le abilità matematica (brain training). Intervista strutturata alla "maestra modello". Bibliografia Testi obbligatori G. Lariccia, Informatica della mente, Book-jay.it (2010) G. Lariccia, I fantastici mondi di Iperlogo, Book-jay.it (2010) L. Gherarducci, I bambini e i numeri, Book-jay.it (2010) Testi facoltativi o alternativi L. Girelli, Noi e i numeri, Il Mulino, Bologna (2007) S. Ferrario, La vera storia di QQ.storie, Book-jay.it (2010) B. Gigliotti, A scuola con QQ.polimini, Book-jay.it (in preparazione) C. Bortolato, Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico-intuitivo, Erickson, Trento (2002) C. Colombo Bozzolo-A. Costa, Nel mondo dei numeri e delle operazioni,Erickson, Trento, (2002), (un volume da scegliere, d' accordo con il docente, tra i vol. 1 - 5). Un programma, due percorsi Per preparare l’ esame di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore (SE) – d’ ora in avanti abbreviato con la sigla Matelsup1 – gli studenti possono seguire due percorsi distinti, contraddistinti dalle lettere A e B.I due percorsi sono assolutamente coerenti tra di loro e derivano entrambi dallo stessoprogramma ufficiale del corsopubblicato sulle guide di facoltà, che abbiamo appena riportato. Lo studente che ha scelto uno dei due piani può comunque, anche a metà del piano, passare all’ altro piano. Se una persona passa dal Percorso A al Percorso B deve soltanto comunciarlo al docente. Se invece si vuole passare dal Percorso B al Percorso A - eventualmente conservando alcuni lavori già svolti per il Percorso B - occorre negoziare con il docente la personalizzazione del proprio percorso. Scegliere il Percorso A piuttosto che il Percorso B non comporta alcun privilegio o vantaggio, in termini sia di tempo che di quantità di studio e, di conseguenza, in termini di risultato finale. Una persona che ha seguito la Guida A può effettuare una preparazione affrettata ed ottenere un cattivo risultato all' esame, così come una persona che segue la Guida B, studiando con intelligenza ed impegno, può ottenere comunque il massimo dei voti e la lode. Pagina 5
  • 6. La presente Guida A La presente Guida A riguarda dunque in modo specifico il Percorso A. Il Percorso A - che abbiamo definito sperimentale - si rivolge principalmente a coloro che hanno frequentato il corso ed hanno accettato la sfida di un piano di lavoro dinamico, creativo ed interattivo, basato sul dialogo e sulla iniziativa da parte dello studente a cui corrisponde una risposta flessibile da parte del docente. Alcuni assiomi di base Prima di parlare di come si deve preparare il programma del corso di Matematiche Elementari da un Punto di Vista Superiore vogliamo o fissare alcuni assiomi di base.. Ci sono due versanti in questo in questo corso e quindi due sezioni degli assiomi di base. Il primo versante lo chiameremoversante apprendimento. Sul versante dell'apprendimento, la mia impostazione segue i principi del costruttivismo, rivisitato all’ epoca del cosiddetto web 2.0 e dei cosiddetti “nativi digitali”. I miei assiomi di base sono i seguenti. Assioma numero 1 – “Se faccio, capisco” La matematica si capisce soltanto facendola. Questo assioma è stato assunto come base per un importantissimo progetto di apprendimento - insegnamento della matematica della matematica chiamato "Se faccio, capisco".. Il progetto di cui parliamo si chiama Progetto Nuffield. Risale alla seconda metà degli anni 60 ed è stato finanziato in Gran Bretagna dalla fondazione Nuffield. Le guide per gli allievi e per gli insegnanti del progetto Nuffield sono state tradottein Italia dalla casa editrice Zanichelli ed hanno avuto un grande rilievo negli ambienti dei cultori della Didattica della matematica all'inizio degli anni 70. Ma non sono soltanto gli esperti di didattica che asseriscono che la matematica si capisce facendola. Anche la maggior parte dei ricercatori matematici concordano su questo assioma. Ecco come si esprime a questo proposito il presidente del Festival internazionale della matematica che si è tenuto nel 2007 a Roma e si ripete ogni anno, sempre a Roma , durante il mese di marzo. Questo scienziato afferma più o meno testualmente: “ perché noi matematici sappiamo bene che la matematica si comprende soltanto facendola. Quando uno di noi deve rivedere una pubblicazione scientifica fatta da un collega, deve ripercorrere passo passo tutte le dimostrazioni che il collega ha fatto per potere capire quello che egli afferma di avere scoperto”. Pagina 6
  • 7. E bene ricordare che la frase “Se faccio capisco” rappresenta la conclusione di un noto proverbio cinese che preso nella sua interezza dice “ Se ascolto dimentico, se vedo ricordo, se faccio capisco”. Dunque io ho deciso di prendere come assioma – ovvero come una asserzione di base di cui non intendo fornire la dimostrazione perché sin troppo evidente! - il fatto che la matematica per capirla bisogna farla. Allevare piccoli matematici è meglio che insegnare la matematica! Un altro supporto a questo assioma viene fornito da Seymour Papert, un illustre matematico ed epistemologo sudafricano che ha lavorato per due anni con il grande psicologo Jean Piaget, uno dei maggiori psicologi del „900, che ha studiato la nascita e lo sviluppo dell intelligenza nel bambino fondando quella branca del sapere che si chiama epistemologia genetica. Seymour Papert ha lavorato per due anni con Jean Piaget, occupandosi di della nascita dei concetti della cibernetica nei bambini e contribuendo alla stesura di saggi molto importanti in questo settore in collaborazione con Piageted altri collaboratori. SuccessivamentePapert si recò negli Stati Uniti dove insieme a Marvin Minsky è uno dei pionieri degli studi che vanno sotto il nome di Intelligenza Artificiale e fonda un laboratorio di ricerca sull Intelligenza Artificiale presso il Massachusetts Institute of Technology, una delle più prestigiose università americane con sede a Cambridge, Massachussetts. Dopo avere collaborato alla stesura di importanti contributi allo sviluppo della intelligenza artificiale - ricordiamo un'opera fondamentale chiamata Perceptrons, scritta con Marvin Minsky, Papert entra a far parte del progetto Logo sviluppato presso la società Bolt Beranek& Newman per conto del governo americano. Il progetto Logo si propone di sviluppare un contesto in cui i bambini diventano capaci di progettare programmi per computer allo scopo di interagire in modo autorevole con il computer stesso. Lo scopo del progetto Logo non è quello di creare dei programmatori ma di rivolgersi a dei bambini piccoli a partire da 6 - 7 anni per metterli in condizione di dominare la logica del computer. Al progetto partecipano diversi specialisti del settore della intelligenza artificiale dell'epoca. Tra questi citiamo Daniel Bobrow. Seymour Papert in una pubblicazione per il Mit della serie dei Logo Memo del 1969 dichiara semplicemente che “è meglio allevare dei piccoli matematici piuttosto che insegnare la matematica”. Pagina 7
  • 8. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Questa affermazione all epoca apparì piuttosto provocatoria – ed in effetti voleva proprio essere tale! - ma dopo alcuni decenni in cui gli psicologi hanno continuato ad investigare sulle difficoltà connesse all’ apprendimento della matematica e sui metodi per superarle, appare come profetica Oggi si parla infatti di metacognizione e di didattica metacognitiva per intendere il fatto che l apprendimento della matematica, per essere efficace, deve essere consapevole. E si lavora molto sulla possibilità di favorire questa consapevolezza e questo pieno coinvolgimento dell allievo usando il gioco come metodologia di coinvolgimento. Dunque la dichiarazione rivoluzionaria di Seymour Papert ha avuto un seguito, sia pure in modo indiretto, ed oggi verrebbe sottoscritta dalla maggior parte degli esperti di didattica della matematica. Noi la prendiamo come uno degli assiomi del nostro corso. Assioma numero 2 – Imparare collaborando con gli altri, come in un grande gioco Il secondo “assioma” nasce dalle teorie dell’ apprendimento collaborativo (cooperative learning) e dal fatto che ormai viviamo in un’ epoca in cui essere in collegamento con i propri simili è molto più facile di prima. Nasce anche dal fatto che l’ apprendimento è tanto più efficace se viene vissuto come un gioco in cui si entra volontariamente e di cui si accettano consapevolmente le regole. Diversi autori sostengono che se la matematica viene affrontata come un gioco simbolico, viene accettata più facilmente. La teoria delle intelligenze multiple *GARDNER+ suffraga l’ ipotesi che diverse persone con diversi talenti possano, complessivamente, affrontare meglio le difficoltà connesse con l’ apprendimento della matematica, socializzandole e scoprendo le ragioni che giocano a favore della diffusione delle abilità matematiche nel nostro mondo. Pagina 8 su 53 pagine
  • 9. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Obiettivo finale del corso Matelsup1 L’ obiettivo finale del corso MatelSup1 è quello di avvicinare gli allievi alla matematica, alle sue metodologie e alle sue strategie, dando loro la percezione di quanto questa disciplina sia importante per la costruzione e la manutenzione della nostra civiltà e di quanti ambiti disciplinari si occupino oggi della questione. Riteniamo che in un corso di trenta ore, a cui si aggiungeranno mediamente altre sessanta ore di preparazione all’ esame, non sia possibile in alcun modo costruire delle competenze significative in ordine alla struttura delle conoscenze matematiche e, soprattutto, ai problemi relativi all’ apprendimento e all’ insegnamento di questa materia nella scuola primaria. Crediamo che l’ unico modo di ottenere un risultato significativo, il più esteso possibile, sia quello di far provare in modo diretto agli allievi un certo numero di esperienze di apprendimento. Al tempo stesso pensiamo che sia estremamente utile dare a tutti coloro che sosterranno questo esame che di fronte al compito immane di costruire delle competenze matematiche adeguate alla nostra epoca e al nostro paese non siamo soli, ma possiamo con relativa facilità entrare a far parte di alcune reti di costruzione e condivisione di conoscenze e competenze che ci potranno accompagnare per tutta la durata della nostra vita professionale. Il contenuto specifico di questo corso: l’ aritmetica Questo corso è centrato sui numeri e sulla aritmetica elementare con tutto quello che intorno ai numeri si può sapere e saper fare. Una parte centrale del corso è dedicata alla rappresentazione delle conoscenze ed alla soluzione dei problemi. I principi a cui si ispira questo corso Il corso di Matematiche Elementari da un punto di vista superiore (secondo anno) parte dal presupposto che, in qualche modo, tutti noi abbiamo una base innata di competenze matematiche anche se queste competenze possono, negli anni essere state “soffocate sul Pagina 9 su 53 pagine
  • 10. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 nascere” o addirittura “sterilizzate”, dando luogo addirittura a delle avversioni e in qualche caso ad un vero e proprio terrore per la matematica. D’ altra parte un insegnante di scuola primaria non può in alcun modo avere un rapporto incerto o ambiguo con questa disciplina, che è importantissima per l’equilibrio cognitivo dei suoi futuri allievi. Durante il corso – ovvero durante il periodo di preparazione dell’ esame - gli allievi dovranno quindi compiere un percorso di avvicinamento o riavvicinamento alla matematica documentandolocon precisione attraverso un blog1. Dovranno inoltre sperimentare in prima persona alcuni processi di apprendimento della matematica. Per farlo dovranno esplorare, osservare e costruire degli artefatti comunicabili e scambiabili con tutti gli altri allievi del corso Ciascuno di tali artefatti rappresenterà quindi tassello di un sapere comune e condiviso costruito dagli stessi allievi sotto la guida del docente. Per consentire questa costruzione cooperativa abbiamo pertanto scelto uno strumento chiamato Wikispaces, che rappresenta una delle modalità in cui si può costruire un wiki. Per capire il rilievo di questa forma di comunicazione in cui tutti sono sia lettori che potenziali autori basterà citare l’ esempio più conosciuto che è l’ enciclopedia Wikipedia. Ma anche diverse comunità di matematici professionisti hanno costruito dei wiki, uno dei quali (mathforum.org), a cui possono partecipare con naturalezza soltanto coloro che parlano inglese, è servito da modello concettuale e da punto di partenza per la costruzione del nostro wiki in Wikispaces. In che cosa consiste l’ esame Nel momento in cui l’ allievo ha superato tutte le prove - di cui parleremo in modo dettagliato più avanti in questo documento - ed ha documentato concretamente il suo percorso di apprendimento, partecipando attivamente alla costruzione del sapere condiviso attraverso la costruzione del sito wiki– Wikispacesrelativo a questo corso, può essere ammesso a sostenere l’ esame. 1 La parola blog è un acronimo di Web Log e deriva dalle parole weblog. In realtà non è altro che un diario pubblicato su internet che, grazie ai potenti mezzi oggi disponibili sul web equivale ad un sito vero e proprio realizzato con mezzi artigianali! Pagina 10 su 53 pagine
  • 11. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Durante l’ esame il candidato sarà invitato a sostenere una conversazione sulle prove realizzate: ma potrà anche essere invitato a sostenere prove analoghe ed ovviamente non identiche a quelle che ha sostenuto nel corso della sua preparazione. Lavori individuali e lavoridi gruppo Due delle otto prove indicate nel seguito - e precisamente la prova B06 e la prova B07 - possono essere svolte da un piccolo gruppo di persone. Questo non rappresenta uno “sconto”, quanto una metodologia di apprendimento: in generale la matematica si impara meglio facendola, e per superare ostacoli ed indecisioni il lavorare in gruppo può aiutare molto. I gruppi, di regola, non dovrebbero mai superare le quattro unità, perché al di sopra di questo numero si rischia di aumentare la complessità della comunicazione all’ interno del gruppo e poi non tutti i partecipanti possono riuscire ad esprimersi. L’ ideale è mettere insieme un gruppo con cui svolgere tutte le prove. Ma in linea di principio uno potrebbe anche avere diversi gruppi per le due prove. Ogni candidato deve rispondere personalmente del lavoro del gruppo ed essere in grado di spiegare i risultati raggiunti e di difendere le posizioni assunte dall’ intero gruppo. Le tre fasi dell’ apprendimento matematico L’ intero corso e ciascuna delle prove in cui esso è organizzato possono essere articolate in tre fasi distinte. Fase A: Esplorazione - Rendersi conto di quello che esiste, nella realtà, dentro e fuori di noi, nella letteratura generale e specifica Fase B: Osservazione– Osservazione diretta dei fenomeni in oggetto o delle prestazioni proprie e di altri con riferimento alla prova in questione. Fase C: Costruzione– Costruzione di un albero delle competenze necessarie per ottenere un buon risultato nella prova in oggetto. Costruzione di un percorso di avvicinamento alla performance desiderata. Pagina 11 su 53 pagine
  • 12. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Informatica della mente Per rappresentare le conoscenze relative ad una prova o all’ intero programma possono essere utilizzati alcuni programmi di computer come: Cmaptools – Una applicazione di pubblico dominio che consente di costruire in modo molto semplice ed intuitivo delle mappe concettuali praticamente su qualunque argomento. Microsoft Power Point – Uno strumento classico per costruire presentazioni. Ma anche una serie di scatole degli attrezzi per realizzare diagrammi di varia complessità. Iplozero 2009– Un linguaggio di programmazione ideato e sviluppato da G. Lariccia e G. Toffoli con una interfaccia ad icone che consente di creare programmi interattivi e storie matematiche praticamente su qualunque argomento. QQ.storie, una applicazione contenitore che consente di costruire storie di contenuto matematico, con il testo scritto in word ed i disegni o le animazioni scritte nel linguaggio Iperlogo oppure in una delle tante “scatole degli attrezzi” create apposta per qq.storie nell’ ambito di un progetto quadro chiamato IperQQ. I programmi Iplozero 2009 e QQ.storie non sono obbligatori per il Percorso B: ma li abbiamo qui riportati in quanto una persona che sta seguendo il Percorso B può in qualunque momento - magari perché ha trovato un collega con cui fare gruppo – ritornare sul Percorso A. E comunque perché non si esclude che una persona che segue il percorso B e che quindi per motivi comunque validi non è in grado di interagire con il docente, desideri e possa usare i programmi Iperlogo e QQ.storie anche da solo. E’ successo in passato e potrebbe succedere nuovamente in futuro. Conviene segnalare, a questo proposito, che il sito di riferimento per QQ.storiesi trova all’ indirizzo qqstorie.wikispaces.com. I siti per costruire le conoscenze Per costruire conoscenze condivise facilmente accessibili da una rete di persone con obiettivi comuni abbiamo deciso di un tipo di sito chiamato Wiki. Il modello più conosciuto di questo tipo di siti è la famosa enciclopedia Wikipedia. Non potendo pretendere che gli allievi del corso diventassero in poco tempo autori di articoli di Pagina 12 su 53 pagine
  • 13. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Wikipedia, abbiamo deciso di adottare un modello simile, ispirato agli stessi principi di Wikipedia, proposto dagli ideatori di Wikispaces (www.wikispaces.com). Tra le finalità previste da Wikispaces ci sono proprio quelle di consentire la costruzione e la manutenzione di siti di supporto a dei corsi come il nostro. Ci è sembrato che i siti educativi di Wikispaces rispondessero particolarmente bene allo scopo di consentire la costruizione collaborativa di un sapere condiviso sui fondamenti della matematica da approfondire in vista del suo insegnamento nella scuola primaria e dell’ infanzia. I siti wiki - Wikispaces Abbiamo così creato un sito contenitore per consentire a tutti gli studenti di Matelsup1 di familiarizzarsi con la tecnica Wiki – Wikispaces. A questo sito si può accedere attraverso l’ indirizzo matelsup1.wikispaces.com Andando su questo indirizzo potete facilmente iscrivervi da soli (cliccando sul pulsante JOIN THIS GROUP e fornendo quindi le vostre generalità). Oppure potete chiedere al docente di invitarvi. A questo sito se ne sono aggiunti tanti altri, raggiungibili dal primo attraverso opportuni collegamenti ipertestuali, per trattare argomenti specifici in modo semplice e trasparente. Possiamo fare una distinzione tra i wiki – Wikispaces di tipo “generalista” – quelli che accolgono tutte le persone afferenti ad un corso o un laboratorio; ed i wiki – Wikispaces di tipo “specialista” – quelliche nascono attorno ad un argomento specifico. Al momento attuale i gruppi wiki-Wikispaces che ruotano attorno alla matematica ed al suo insegnamento, sia di tipo generalista che di tipo specialista, creati dal docente o da gruppi di allievi con il supporto del docente, sono i seguenti: SITI WIKI – WIKISPACES GENERALISTA Didalab 07 (2007 – 2008): http://didalab7.wikispaces.com Didalab DM85 Infanzia: http://didalab85infanzia.wikispaces.com Didamat 07 (2007 - 2008): http://didamat7.wikispaces.com Didamat DM85 Primaria:http://didamat85.wikispaces.com Matelsup1 (aritmetica) – Vetrina: http://matelsup1.wikispaces.com MatElSup2 - Geometria: http://matelsup2.Wikispaces.com SITI WIKI – WIKISPACESDI TIPO SPECIALISTA Pagina 13 su 53 pagine
  • 14. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Fare pratica con QQ.storie: http://qqstorie.Wikispaces.com Frattali: http://frattali.Wikispaces.com Giochi matematici: http://giochi-matematici.Wikispaces.com I blocchi logici nella didattica: http://blocchi-logici.Wikispaces.com Il tangram nella scuola primaria: http://tangram.Wikispaces.com Imparare a imparare: http://imparareaimparare.Wikispaces.com La felce come oggetto frattale: http://felce.Wikispaces.com Primi passi in Iperlogo: http://primi-passi-in-iperlogo.Wikispaces.com Primi passi in QQ.storie: http://primi-passi-in-qqstorie.Wikispaces.com Primi passi su Blackboard: http://primi-passi-su-blackboard.Wikispaces.com Sei personaggi in cerca di math: http://sei-personaggi.Wikispaces.com Sierpinski: http://sierpinski.Wikispaces.com Il cavolfiore come forma frattale: http://cavolfiori.Wikispaces.com Il fiocco di neve come frattale: http://fioccodineve.Wikispaces.com http://primi-passi-su-blackboard.Wikispaces.com/ I blog I blog sono un genere letterario molto diffuso su internet. Il nome blog è un acronimo (cioè in buona sostanza una abbreviazione) che sta per web log, che vuol dire registro su web. In altre parole è un diario, che una persona scrive perché altri la vadano a consultare. Famosi sono alcuni blog come quelli di Luca Sofri, o di alcuni testimoni oculari di fatti importanti e drammatici. Molti giornalisti o esperti tengono da anni il loro blog che funziona un po’ come la posta del direttore di un quotidiano o di una rivista, sia pure con le regole di internet. Per documentare il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto durante la preparazione dell’ esame, l’ allievo è invitato a costruirsi e a mantenere un blog sull’ argomento. Il blog può essere facilmente costruito dotandosi di un account di wordpress registrandosi, con questo account, un blog in lingua italianache avrà un indirizzo del tipo annettaelamatematica.wordpress.com Nell’ esempio abbiamo immaginato che la studentessa si chiami Annetta, e per cognome abbiamo immaginato un fantasioso “Laqualunque”. Pagina 14 su 53 pagine
  • 15. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Se Annetta Laqualunquenon ha un indirizzo di posta elettronica può farsene uno molto rapidamente andando sul sito www.gmail.com. Di solito gli indirizzi di gmail sono formati dal nome seguito dal punto, seguito dal cognome, Dunque Annetta Laqualunque, se non ha già un’ indirizzo di posta elettronica può farsene uno immediatamente del tipo annetta.laqualunque@gmail.com. Con questa identità può registrarsi sul sito www.wordpress.com, e costruire un blog che abbiamo immaginato abbia il nome di annettaelamatematica. In questo modo il suo blog sarà raggiungibile da chiunque all’ indirizzo annettaelamatematica.wordpress.com Le undiciprove del percorso principale (percorso A) Elenchiamo qui di seguito le provedel percorso principale, che per continuità con gli anni precedenti chiameremo Percorso A. Chiameremo prove di tipo A le prove di questo percorso. Vedremo più avanti che i non frequentanti possono sostenere delle prove alternative che possono sostituire quelle del percorso A. Le chiameremo prove di tipo B. Le prove sono inoltre distinte in prove individuali (I) e prove di gruppo (G). Il magazzino personale su Box.net Tutte le prove comportano un certo tipo di attività e si concludono con la creazione di un documento, che dovrebbe essere di uno dei seguenti formati: Power Point (con estensione ppt o pptx) Word (con estensione doc o docx) CmapTools (con estensione cmap) Immagine (con estensione jpg o png o pdf) Filmato (con estensione mp4) Ogni allievo deve farsi un magazzino virtuale in cui caricherà le prove. Il magazzino virtuale va costruito su Box.net. Su questo sito è possibile creare un account gratuito che dà diritto ad utilizzare uno spazio, organizzabile in cartelle, delle dimensioni ragguardevoli di 2 GB. Va precisato che ogni documento caricato non deve superare i 25 MB di peso. Pagina 15 su 53 pagine
  • 16. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 La pagina personale sul sito di riferimento (matelsup1) I-00 – Blog o diario personale che documenta le fasi di apprendimento e di studio L’ allievo dovrà, all’ inizio della preparazione di questo esame, dotarsi di un blog come quello indicato in precedenza.Su questo blog lo studente dovrà documentare il percorso di avvicinamento alla matematica cheha luogo durante la preparazione dell’ esame. Il blog potrà ovviamente incrociarsi con i siti ed i documenti relativi alle varie prove successive, descritte nel seguito di questo documento. Questo documento, come tutti gli altri, va caricato su Blackboard, nello spazio dedicato al corso di Matematiche Elementari dal Punto di Vista Superiore, nella cartella dei lavori individuali. Il blog ha lo scopo di consentire all’ allievo di esprimere le emozioni che prova nel venire a contatto con una materia, la matematica, che spesso viene percepita in modo distorto e generalmente negativo dalla maggior parte delle persone. Il percorso di avvicinamento alla matematica compiuto attraverso il corso suggerisce di considerare la matematica come una disciplina amica, anzi, addirittura in qualche modo connaturata con noi. E’ come se scoprissimo che nel profondo della nostra mente ci sono delle radici matematiche in parte addirittura innate. Scoprire la matematica in modo libero e spontaneo è come ritrovare dentro di sé la capacità di comprendere e parlare una lingua universale di cui avevamo perso le tracce. G-A-01 – Noi e i numeri: l’ importanza che viene data all’ educazione matematica nei paesi emergenti Lo scopo di questa prova è quello difare in modo che gli studenti si rendano conto di quanto è importante la matematica nel nostro mondo e di quale peso deve essere, di conseguenza, attribuito all’ educazione matematica. Pagina 16 su 53 pagine
  • 17. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 In questa Guida presentiamo questa prova in una modalità che è adatta ad essere svolta a livello di gruppo. Chi non si sente di svolgere la prova in questo modo può sempre fare riferimento alla corrispondente prova del percorso B. Per svolgere correttamente questa prova dovete innanzitutto leggere il libro “Noi e i numeri” di Luisa Girelli [GIRELLI 2006]. E’ bene che ciascuno dei componenti del gruppo legga il libro con molta attenzione. Può essere utile,dopo la lettura, organizzare una discussione per confrontarsi sui temi sollevati dal libro. Il secondo passo da compiere è l’ analisi del rapporto Oecd – Pisa 2006 che ha valutato, comparandole, le competenze matematiche degli studenti di 57 diversi paesi all’ età di 15 anni. In fatto di competenze matematiche l’Italia si classifica al 38° posto (vedi appendice 6), ovvero decisamente male! Nel libro “Centomila punture di spillo” pubblicato di recente, Carlo De Benedetti e Federico Rampini sottolineano il fatto che nei paesi ad economia emergente, l’ educazione matematica viene considerata molto più che da noi. Il basso livello di competenza matematica dei nostri quindicenni sarebbe quindi un segno del declino del nostro paese, mentre per invertire la tendenza dovremmo – sostengono gli autori! – dare molto maggiore peso all’educazione matematica elementare. In una ricerca sulla educazione matematica in India e Singapore svolta da alcuni ricercatori statunitensi viene sottolineato inoltre il ruolo della pressione sociale da parte delle famiglie. In India e a Singapore i genitori fanno capire ai loro figli essere bravi in matematica è molto importante. Provate a scoprire in quale modo questa importanza si traduce in pratica cercando di scoprire quale e quanta matematica ed in quale modo si insegna nelle scuole dell’ infanzia ed elementare in Cina, in India, in Brasile o in Russia. Oppure nei paesi che, come la Finlandia, il Canada, risultano ai primi posti nella classifica del rapporto Oecd – Pisa. I-AB-02 – Io e la matematica In questa prova devi tracciare una storia dei tuoi rapporti con la matematica, dalle origini - ovvero dalla tua nascita! - ai nostri giorni. In questo documento devi mettere a fuoco, suddividendola in periodi corrispondenti ai livelli prescolari e scolari, la storia delle attrazioni e repulsioni tra te e la matematica. Dovrai quindi raccontare in modo preciso ma possibilmente anche abbastanza vivace e colorito: Pagina 17 su 53 pagine
  • 18. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 l’ evoluzione della tua idea di matematica: quandohai sentito per la prima volta questa parola, a cosa l’ hai associata; quando e come hai eventualmente cambiato idea sulla matematica; cosapensi, oggi, che sia la matematica e cosa rappresenta per te parladelle esperienze, positive e negative, di apprendimento e di insegnamento con cui sei venuto a contatto, dei tuoi maestri buoni e cattivi chi e come ha influito sulla tua competenza matematica in senso positivo o negativo (amici, parenti, libri, articoli, personaggi pubblici, attori, etc.) chi sono e cosa fanno oggi i matematici - secondo te e limitatamente a quello che puoi capire Forme suggerite: un documento Word di un paio di cartelle; meglio: una presentazione di Power Point di una ventina di slides Questa prova va svolta assolutamente prima della prossima, perché l’ intervista al genio della porta accanto potrebbe modificare la vostra concezione attuale della matematica, che vi abbiamo chiesto di descrivere I-AB-03 – Il genio della porta accanto Una intervista oppure una descrizione precisa e dettagliata della personalità di una persona a noi vicina che ha avuto con la matematica un rapporto positivo e costruttivo, fino a farne in qualche modo una ragione di vita. La persona da descrivere o intervistare tuttavia potrebbe anche essere una persona che ha avuto difficoltà oggettive nell’ apprendimento della matematica, in quanto portatore di un handicap generico o specifico come la discalculia. Nell’ Appendice Numero 4 viene tracciato lo schema di una possibile intervista. E’ inutile sottolineare che l’ intervista va concepita su misura del soggetto da intervistare, sia per non metterlo in difficoltà o in imbarazzo; sia per ottenere da lui la maggiore quantità di informazioni possibile, anche in forma confidenziale! Pagina 18 su 53 pagine
  • 19. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 IG-AB-04 – Profilo di un grande matematico Questa prova consiste nella ricerca e nel racconto del profilo di un grande matematico. Per l’esame di Matelsup1 dovete scegliere una figura di matematico che si è occupato in modo particolare di numeri o di aritmetica. La prova può essere superata facendo riferimento ad un libro o ad un film che descrive la vita del matematico. Dovrete cercare nella figura da voi scelta tutte le caratteristiche che lo rendono vicino o lontano dalle persone comuni, in termini sia cognitivi che di personalità. Può essere utile, prima di svolgere questa prova, leggere l’ intervista a Keith Devlin, un matematico grande divulgatore della matematica, fatta da Paolo Lolli e ripresa dal sito Polymath del Politecnico di Torino. La riportiamo nell’ appendice 5. I-AB-05 – La mia famiglia La rappresentazione della struttura della propriafamiglia, se fatta in modo preciso e rigoroso, può costituire il modo più naturale di introdurre il concetto matematico di relazione e di creare in modo semplice ed intuitivo delle relazioni su un insieme. Le relazioni familiari, dal punto di vista matematico, sono dello stesso tipo delle relazioni che si possono stabilire tra numeri o tra enti di natura geometrica. Quindi imparare a rappresentare la propria famiglia in modo formalmente rigoroso e corretto può rappresentare il primo esempio di matematizzazione a bassissimo costo ed anche una delle prime occasioni per compiere un processo di astrazione. L’ esperienza che abbiamo fatto negli ultimi anni del corso di Didattica della Matematica con centinaia di allievi dimostra che la prova viene facilmente compresa e realizzata con interesse e con gusto. Una rappresentazione matematicamente e semanticamente corretta della propria famiglia, come può essere ottenuta con un programma specializzato come Genopro oppure con un programma generico come Cmaptools. GenoPro 2007 si può scaricare, in prova gratuita per 30 giorni 2, dal sito 2 Gli studenti e i docenti di corsi in cui si usa GenoPro 2007 hanno diritto, secondo quanto riporta il sito,ad una licenza di prova che vale per sei mesi. Abbiamo inoltrato domanda per ottenere questa licenza e pubblicheremo su Blackboard quando questa licenza sarà disponibile. Pagina 19 su 53 pagine
  • 20. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 http://www.genopro.com/ Il suo funzionamento, basato su icone, è talmente intuitivo che non vale la pena di spiegarlo. Basta piuttosto riportare un esempio per rendere evidente l’ uso dei simboli. Il programma stesso si prende cura del fatto che le relazioni vengano stabilite in modo corretto. A titolo di esempio, vi mostriamo l’ albero di famiglia dello scrivente esteso fino ai due nipoti, senza i genitori. Anche voi nella vostra prova dovreste provare a rappresentare almeno tre generazioni di persone, cominciando per esempio dai vostri nonni. I documenti (= gli alberi genealogici) realizzati con GenoPro 2007 si possono salvare nel formato .gno. Con questo formato dovranno essere quindi caricati su Blackboard. Pagina 20 su 53 pagine
  • 21. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Cmaptoolssiscarica dalla pagina http://cmap.ihmc.us/download/ e per scopi educativi è completamente gratuito. Peraltro abbiamo inserito una copia del programma anche nella cartella Materiali Altre applicazioni del sito di Blackboard. Cmaptoolstratta di un programma assai più generale di GenoPro, costruito per realizzare mappe concettuali, ovvero strutture di concetti legati da relazioni. Cmaptoolsè stato sviluppato soprattutto per costruire mappe concettuali, ma è un programma molto versatile che può essere usato benissimo anche per costruire degli alberi genealogici, ovvero gli alberi di famiglia. Vale la pena, allora, usarlo per descrivere la propria famiglia che è una struttura assai ... familiare! Qui sotto rappresentiamo la stessa famiglia già vista in GenoPro realizzata con Cmaptools. Questo argomento, su cui tra l’ altro dovrebbe partire almeno una tesi di laurea nei prossimi mesi, sarà ampiamente approfondito nelle dispense in preparazione. G-A-06 – Numerazione in base tre con le palline di sale Il fatto che noi rappresentiamo i numeri in base 10, ovvero usando le cifre 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9 in modo posizionale, dipende dal fatto che le nostre mani hanno dieci dita. La notazione posizionale, come è noto, è stata resa possibile dall’ introduzione dello zero, dovuta agli arabi che l’ hanno forse ereditata dagli indiani. In questo modo, usando lo zero, il numero 10 esprime una unità di ordine superiore e zero unità; il numero 12 esprime una decina e due unità, e via dicendo. Pagina 21 su 53 pagine
  • 22. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Se avessimo tre dita in tutto, useremmo la base tre: possiamo immaginare che ci siano degli extraterrestri che hanno tre dita in tutto e che contano raggruppando gli oggetti a tre a tre (terzine), quindi raggruppando le terzine a tre a tre (nonetti) e via dicendo. In questa prova, che va svolta preferibilmente in gruppo, dovete imparare a rappresentare in base tre i numeri da 1 a 100 raggruppandoli per gruppi di tre (terzine), poi per terzine di terzine (nonetti), quindi per terzine di terzine di terzine (ventisettetti) e finalmente per terzine di terzine di terzine di terzine (ottantunetti). Per documentare questa capacità vi suggeriamo di usare le palline di sale e di fotografare alcuni insiemi di numerosità crescente fino a 100, racchiudendo i vari raggruppamenti con un filo di lana o con una fettuccia o simili. G-A-07 – Le figure di Sierpinski WacławFranciszekSierpioski è un famoso matematico polacco conosciuto per diversi importanti contributi alla teoria degli insiemi, alla teoria dei numeri, alla teoria delle funzioni e alla topologia. Tra le scoperte matematiche associate c’ è una bellissima figura frattale chiamata triangolo di Sierpinski. Il triangolo o figura di Sierpinski è una figura frattale, ovvero una figura generata da uno “schema ricorsivo” un meccanismo costruttivo che si ripete allo stesso modo su scale diverse. Possiamo vedere la successione dei triangoli di Sierpinski come vengono disegnati da una applicazione scritta nel linguaggioJava accessibile direttamente online all’ indirizzo http://math.rice.edu/~lanius/fractals/sierjava.html Un triangolo di Sierpinski di livello 0 non è altro che un normale triangolo equilatero: Pagina 22 su 53 pagine
  • 23. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Cliccando sul pulsante di avanzamento si ottengono le figure di Sierpinski di livello superiore. L’insegnante americana CynthiaLanius ha provato a presentare il triangolo di Sierpinski alla sua classe: ne è scaturito un progetto spettacolare, in cui i bambini, divisi per gruppi hanno disegnato sul pavimento un triangolo di Sierpinski gigantesco di livello molto elevato. Pagina 23 su 53 pagine
  • 24. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 L’esperienza di disegnare, lavorando in gruppo, i successivi triangoli di Sierpinski è una esperienza molto bella, che abbiamo riproposto nell’ ambito del corso di Didattica della Matematica che ho tenuto nel 2007 – 2008 all’ Università dell’ Aquila. Ma ci sono anche diverse scuole italiane che hanno provato a fare queste figure. Un forum molto interessante che documenta questo tipo di esperienze si trova su http://www.scuolamatica.net/moodle/mod/forum/discuss.php?d=314 Bibliografia essenziale Indichiamo qui appresso i volumi essenziali da studiare per prepararsi all’ esame seguendo il Percorso A. Si tratta del materiale minimo indispensabile che permette di arrivare al momento in cui le dispense ufficiali del corso saranno pubblicate e disponibili per tutti. Ribadiamo il fatto che per superare l’ esame non è sufficiente studiare i tre volumi nel modo tradizionale, anche perché il secondo ed il terzo sono volumi costituiti in larga misura da schede di lavoro per bambini di sei, sette e otto anni. Sarebbe ovviamente assurdo- o se vogliamo grottesco! – basare la preparazione adun esame universitario sullo studio tradizionale di testi in larga parte costruiti per dei bambini! Ed infatti non è così. Se, ancora non vi fosse chiaro, provate a rileggere ancora una volta il programma e la Guida che avete appena letto: vi renderete conto, ci auguriamo, che Pagina 24 su 53 pagine
  • 25. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 questo esame, anche nella forma tradizionale, presuppone che uno la matematica, per capirla, la deve fare, non basta leggerla e ripeterla cento o duecento volte (“Se faccio, capisco”). E fare la matematica su un testo per bambini non può significare soltanto “giocare a fare i bambini” ma vuol dire andare in profondità, passare a raggi x le schede create per i bambini per capire a fondo cosa gli autori delle schede si aspettano che i bambini facciano. E cosa si aspettano che sappiano fare, prima e dopo ogni singola scheda. Questa radiografia del materiale per bambini, in definitiva, è la sostanza di quanto viene richiesto come competenza finale di questo corso. Nel percorso A viene accentuato l’ aspetto autoriale e costruttivo. In questo Percorso B viene invece accentuato l’ aspetto strutturale. La struttura concettuale sottostante ad una scheda di lavoro per bambini - o di un intero volume di schede - può essere descritta in modo formalmente ineccepibile sotto forma di mappa concettuale. Ma può essere anche tradotta in una QQ.storia, per chi desidera cimentarsi con la dimensione del disegno di una interfaccia per il computer. [GIRELLI 2006] Luisa GIRELLI Noi e i numeri Collana “Farsi un’ idea” Bologna: Il mulino, 2006 [BORTOLATO 2002] Camillo BORTOLATO Calcolare a mente. Esercizi secondo l’approccio analogico - intuitivo Erickson, 2002 [COLOMBO BOZZOLO, COSTA 2002] Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1. I numeri fino a 100 Erickson, 2002 Ricordiamo inoltre, che sono in preparazione, da parte del docente, delle dispense complete per questo corso, che però non è stato possibile mettere a punto in tempo utile per l’ esame - e questo, tra l’ altro è il motivo della preparazione della presente Guida. Pagina 25 su 53 pagine
  • 26. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Bibliografia generale Nel seguito di questo capitolo presentiamo un’ ampia bibliografia generale, di sfondo, che potrà interessare chi voglia approfondire gli argomenti trattati dal corso o per chi desideri considerare un possibile percorso di approfondimento, magari in vista di una tesi di laurea. [ANTINUCCI, 1999 ] Francesco ANTINUCCI Computer per un figlio. Giocare, apprendere, creare. Bari, 1999 (Laterza) [ANTONIETTI, CANTOIA, 2001] Alessandro ANTONIETTI, Manuela CANTOIA Imparare con il computer. Come costruire contesti di apprendimento per il software. Erikson 2001 [BOZZI, 1956 ] Paolo BOZZI Sulla rappresentazione grafica di concetti temporali nei bambini. Euro [BUTTERWORTH, 1999 ] Brian BUTTERWORTH Intelligenza matematica Rizzoli 1999 [CALDELLI, ] Luisa CALDELLI Percorsi, labirinti, mappe esperienze proto matematiche nella scuola dell’infanzia. La Nuova Italia [CALDELLI, 1986] Luisa CALDELLI La matematica dalla scuola dell’infanzia alla scuola elementare. La Nuova Italia 1986 [CALDELLI,] Luisa CALDELLI Il bambino matematizza il mondo: esperienze protomatematiche nella scuola dell’infanzia. La Nuova Italia Pagina 26 su 53 pagine
  • 27. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 [CALVANI, 1988] Antonio CALVANI Il bambino, il tempo la storia. La Nuova Italia 1988 [CASTELNUOVO 1963] CASTELNUOVO Emma. Didattica della matematica Firenze: La Nuova Italia, 1963 [CASTELNUOVO, 1993] Emma CASTELNUOVO Pentole, ombre, formiche. In viaggio con la matematica. Firenze: La Nuova Italia, 1993 [CORNOLDI, 2004] Cesare CORNOLDI Matematica e metacognizione: atteggiamenti metacognitivi e processi di controllo. Erickson, 2004 [CORNOLDI, 1995] Cesare CORNOLDI Metacognizione e apprendimento. Bologna: Il Mulino, 1995 *D’AMORE, 1981+ Bruno D’AMORE Educazione matematica e sviluppo mentale. La matematica dalla scuola dell’ infanzia all’ università Roma Armando 1981 *D’AMORE, 2004 + Bruno D’AMORE Infanzia e matematica: didattica della matematica nella scuola dell’infanzia. Pitagora Ed. Bologna 2004 *D’AMORE, 2005+ Bruno D’AMORE Didattica della matematica. Bologna: Pitagora, 2005 *D'AMORE, D'AGLI’, 1999+ Bruno D' AMORE, Francesco D'AGLI’ Pagina 27 su 53 pagine
  • 28. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Matematica nella scuola materna Edizioni Juvenilia [DEHAENE, 2000] Stanislas DEHAENE Il pallino della matematica: scoprire il genio dei numeri che è in noi. Mondatori 2000 [DEVLIN 2007] Keith DEVLIN L’ istinto matematico. Perché sei anche tu un genio dei numeri. Collana Scienza e Idee, diretta da Giulio Giorello Milano: Raffaello Cortina editore, 2007 [DOMANDOMAN, 1998] Glenn DOMAN, Janet DOMAN Imparare la matematica a tre anni Armando Editore, 1998 [GALLO, VEZZANI, 2007] Paola GALLO e Cristina VEZZANI Mondi nel mondo. Fra gioco e matematica. Milano: Associazione Culturale Mimesis, 2007 [GILBERT, 1974] Robert GILBERT- a cura di Giovanni LARICCIA Il bambino e la matematica moderna. Roma: Armando Armando editore, 1974 [GIRELLI 2006] Luisa GIRELLI Noi e i numeri Collana “Farsi un’ idea” Bologna: Il mulino, 2006 [GARDNER, 1983] Howard GARDNER Formae Mentis. Saggio sulla pluralità delle intelligenze. Milano: Feltrinelli, 2007 Edizioneoriginale: New York, Basic Books, 1983 [LARICCIA, 1988] Giovanni LARICCIA Le radici dell’ informatica Pagina 28 su 53 pagine
  • 29. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Milano: Nuova Sansoni, 1988 (prima edizione; 1984) [LARICCIA, 2010a] Giovanni LARICCIA I fantastici mondi di Iperlogo Torino: Book-jay.it, 2010 [LARICCIA, 2010b] Giovanni LARICCIA Informatica della mente Torino: Book-jay.it, 2010 [LEGRENZI, 2002] Paolo LEGRENZI La mente. Anima, cervello o qualcosa di più? Il Mulino, 2002 [LAKOFF, NUNEZ, 2005] George LAKOFF e Rafael NUNEZ Da dove viene la matematica. Come la mente embodied porta in essere la matematica. Torino: Bollati, 2005 [LINDSAY, NORMAN, 1984] Peter H. LINDSAY e Donald A. NORMAN L’ uomo come elaboratore di informazioni Firenze: Giunti Barbera, 1984 [LOVELL, 1970] Kenneth LOVELL La formazione matematica. La Nuova Italia, 1970 [NORMAN,1995] Donald A. NORMAN Le cose ci fanno intelligenti. Il posto della tecnologia nel mondo dell’uomo. Milano: Feltrinelli 1995 [NORMAN, 2000] NORMAN Il computer invisibile. La tecnologia migliore è quella che non si vede. Milano: Apogeo 2000 [NORMAN, 1997] Donald A. NORMAN Pagina 29 su 53 pagine
  • 30. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 La caffettiera del masochista. Psicopatologia degli oggetti quotidiani. Firenze: Giunti 1997 (Titolooriginale: the design of everyday things) [OLIVERIO, 1997] Alberto OLIVERIO L’ arte di pensare. Per imparare a decidere, per usare la forza della mente. Milano: Rizzoli, 1997 [OLIVERIO, 1998] Alberto OLIVERIO L’ arte di ricordare. La memoria e i suoi segreti Milano: Rizzoli, 1998 [OLIVERIO, 1999] Alberto OLIVERIO L’ artedi imparare. A scuola e dopo Milano: Rizzoli, 1999 [OLIVERIO, 2001] Alberto OLIVERIO La mente: istruzioni per l’ uso Rizzoli, 2001 [OLIVERIO, OLIVERIO FERRARIS, 2004] Alberto OLIVERIO, Anna OLIVERIO FERRARIS Le età della mente Rizzoli, 2004 [PAPERT, 1984] Seymour PAPERT Mindstorms. Bambini, computers e creatività. Milano: Emmeedizioni, 1984 (New York: Basic Books, 1980) [PAPERT, 1994] Seymour PAPERT I bambini e il computer. Nuove idee per i nuovi strumenti dell’educazione. Rizzoli, 1994 [PEA, 2001] Beppe PEA Matematica nella scuola di base, i concetti dello spazio e del tempo nella scuola moderna e nel primo ciclo della scuola di base. Tannini, 2001 Pagina 30 su 53 pagine
  • 31. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 [PETTER, 1996] Guido PETTER Il bambino impara a pensare: introduzione alla ricerca sullo sviluppo cognitivo. Firenze: Giunti, 1996 [PIAGET, 1968] Jean PIAGET La genesi del numero nel bambino. La Nuova Italia, 1968 [PIAGET, 1979] Jean PIAGET Lo sviluppo della nozione di tempo nel bambino. La Nuova Italia, 1979 [PIAGET, 1985] Jean PIAGET Precalcolo. La Scuola, 1985 [RICHTERMAN, 1986] Tamara Davydovna RICHTERMAN Il senso del tempo nei bambini in età pre-scolare La Nuova Italia, 1986 [TANONI GRACIOTTI, 1997] Italo TANONI, Rossano GRACIOTTI L’immagine bambina: proposte per l’educazione multimediale nella scuola dell’infanzia. Bergamo Junior 1997 [THAGARD, 1996] Paul THAGARD La mente. Introduzione alla scienza cognitiva Guerini studio 1996 [TOURET, 1987] Lise TOURET Percorsi alla scoperta della matematica. 53 situazioni-problema per i bambini della scuola materna. La Scuola, 1987 Pagina 31 su 53 pagine
  • 32. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Appendice Numero1 Libro fondamentale numero 1AB Luisa GIRELLI, Noi e i numeri. Bologna: Il Mulino, 2006 Questo libro va studiato a fondo sia per nel Percorso A che nel percorso B. Per motivare lo studente, presentiamo una breve recensione del libro fatta da Nadia Rossi, laureata nel 2007 in Didattica della matematica, riveduta e pubblicata su Blackboarddal Prof. Lariccia Questo agile libro divulgativodovuto a Luisa Girelli, ricercatrice all' Università di Milano Bicocca, riassume in modo sintetico e brillante, mettendole in una prospettiva storica, le ricerche della scienza neurocognitiva degli ultimi venti anni e fornisce una prospettiva che è fondamentale, oggi, per chiunque si occupa di apprendimento e insegnamento della matematica. Il libro prende in considerazione l’importanza della matematica, e spiega come essa faccia parte della nostra vita quotidiana e di come in ogni momento facciamo uso dei numeri. Ripercorre così la storia dei numeri seguendo l’evoluzione della specie. Nel primo capitolo viene preso appunto in considerazione il fatto che sin dall’antichità i popoli contavano, non utilizzavano ancora il concetto di numero, ma attraverso alcuni ritrovamenti di disegni con incise delle tacche sul muro indicavano appunto le prime esigenze di tener traccia di una numerosità. Prende poi in considerazione il modo in cui ogni popolo ha raggiunto il concetto di numerosità su base 10 o 20 fino al conteggio con parti del corpo. Nel capitolo successivo viene presentata la matematica come oggetto di studio su animali. Qui viene data una spiegazione completa del concetto di numero “…possedere il concetto di numero significa non solo rappresentarsi delle numerosità, ma cogliere la relazione ordinale tra i diversi numeri e svolgere operazioni con essi”. Un esempio per chiarire: possedere il concetto di numero non vuol solo dire riconoscere che 3 banane e 3 suoni hanno la stessa numerosità, ma anche che mangiando 1 banana ne rimangono 2 o che se ho 4 bambini a cui devo dare le banane o ne procuro altre 2 o divido in parti uguali quelle rimanenti. In questo capitolo si parla però di numerosità relativa agli animali e si studia in base a che punto gli animali possono apprendere attraverso un addestramento oppure studiarli nel loro mondo naturale e vedere se hanno un minimo di concetto di numerosità.La domanda che ci si pone è se anche i neonati hanno capacità numeriche innate. A questo concetto si sono fatti studi a partire dagli anni ottanta. Vengono presentati alcuni libri fondamentali sulla genesi del concetto di numero, primo tra tutti il libro di Piagete Szeminska”La genesi del numero nel bambino” in cui gli autori descrivono gli stadi che conducono il bambino a Pagina 32 su 53 pagine
  • 33. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 formare una rappresentazione astratta del numero attraverso le interazioni con l’esterno. Si passa attraverso i prerequisiti di acquisizioni di nozioni logiche quali: conservazione, classificazione, seriazione. Con i suoi studi Piaget dimostra che i bambini di 5 anni sono in grado di rendersi conto che le proprietà percettive di un insieme (ossia la forma, il colore, ecc) non influenzano la numerosità.Questi studi hanno avuto diverse critiche in quanto si consideravano esempi troppo lontani dalla vita reale di un bambini.I bambini con il tempo impareranno a capire i numeri anche se prima li attribuiranno ad eventi a loro conosciuti (esempio le 2 candeline sulla torta in dicano un compleanno). Solo col tempo impareranno il concetto di sequenziale (il 2 è prima del 3), ordinale (2 è meno di 3), cardinale (2 indica un insieme di numerosità 2). Secondo studi effettuati i bambini iniziano ad usare i numeri sin da due anni, anche se iniziano a contare senza conoscere il significato del numero.Verso i tre anni iniziano a sommare piccole quantità di oggetti utilizzando molto le dita come base di conto. Questo modo di contare verrà presto abbandonato per avvicinarsi a procedure più veloci (il conteggio dal numero maggiore esempio 2+4 si parte dal 4 e si aggiunge 2. Qui deriva già una importante regola matematica quella commutativa per cui cambiando l’ordine degli addendi il risultato non cambia). Il libro continua parlando della distinzione fra soggetti superdotati in matematica che con pochi e semplici passaggi risolvono grandi problemi, a soggetti che presentano invece gravi problemi quali la discalculia evolutiva cioè con difficoltà nei calcolo più semplici. Nell' ultima parte del libro viene presa in considerazione la capacità di insegnare matematica, non facendo studiare a memoria regole su regole, ma facendo applicare alcuni semplici calcoli alla vita reale (viene chiamata matematica da strada). Pagina 33 su 53 pagine
  • 34. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Appendice Numero 2 Libro fondamentale numero 2B Camillo BORTOLATO, Calcolare a mente. Esercizi secondo l' approccio analogico - intuitivo. Trento: Erickson, 2002. Questo libro è raccomandato,ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece obbligatorio e va studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Riportiamo qui di seguito la scheda descrittiva del libro tratta dal catalogo della Erickson. Il libro tratta della teoria e della pratica del calcolo mentale, visto come uno strumento utile a far capire pienamente i numeri ai bambini. Rappresenta un modo per entrare a fondo nella problematica della rappresentazione delle consocenzerelative ai numeri nella nostra memoria. Il libro parte dalla considerazione che nel calcolo mentale, i bambini di oggi utilizzano le stesse tecniche che usavano i loro coetanei fin dall' antichità: operano cioè senza fare riferimento al codice dei numeri arabi, senza vedere le cifre, ma basandosi solo sul codice semantico e su quello lessicale. Ancora oggi, prima di incontrare i numeri scritti, ogni bambino conserva un "genio innato" per la numerosità, che precede qualsiasi nozione impartita da genitori o insegnanti. Partendo dq questa teoria, il volume presenta le strategie del calcolo mentale, che sono diverse e indipendenti dalle procedure del calcolo scritto. L' approccio analogico - intuitivo mira a sviluppare una struttura di riferimenti ordinati che funzioni nella mente dell' alunno come una carta geografica per orientarsi nel calcolo, una struttura semplice,regolare e replicabile in tutte le dimensioni, che permetta all' alunno di riconoscere quantità anche elevate in modo istantaneo, senza contare. Pagina 34 su 53 pagine
  • 35. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Appendice Numero 3 Libro fondamentale numero 3B Clara COLOMBO BOZZOLO e Angela COSTA, Nel mondo dei numeri e delle operazioni. Volume 1 - I numeri fino a 100. Trento: Erickson, 2002. Questo libro è raccomandato, ma facoltativo, per chi ha scelto il Percorso A, è invece obbligatorio e va studiato integralmente per chi ha scelto il Percorso B. Su questo libro è basata la prova B06 Questo è il primo volume della nuova collana Erickson "Ri-costruiamo la matematica" (rivolta agli insegnanti di scuola elementare). La collana prevede complessivamente sei titoli relativi all' aritmetica e sei relativi alla geometria, più altri relativi alle abilità richieste per risolvere i problemi. Il libro contiene indicazioni teoriche, didattiche e operative in merito ai concetti matematici relativi ai numeri naturali da 0 a 100. Ricco di schede operative diversificate nei contenuti e nei livelli di difficoltà e basato sul modello teorico della didattica per concetti, il programma si caratterizza per una reale coordinazione fra il punto di vista teorico disciplinare, quello pedagogico e quello didattico. Ogni proposta operativa è inserita in un contesto di riferimento che permette di valutarne l’opportunità didattica, le conoscenze e le competenze implicate come prerequisiti e come elementi di scoperta. Per superare il distacco tra forma e contenuto, che talvolta caratterizza l’insegnamento dell’aritmetica, l’itinerario didattico proposto è ben graduato a partire dal mondo esperienziale del bambino, secondo una scala di progressiva schematizzazione, astrazione, sintesi e formalizzazione. Pagina 35 su 53 pagine
  • 36. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Appendice Numero 4 - Intervista al “genio” della porta accanto (Traccia di una intervista diretta ad un adulto, giovane o meno giovane, uomo o donna, che ha compiuto studi scientifici ed usa correntemente la matematica nella sua professione) Premessa Lo scopo principale di questa intervista è quello di far parlare liberamente il soggetto intervistato fino a fargli rivelare dei particolari intriganti, in modo particolare riguardo alla incubazione della sua passione, alla sua iniziazione alla matematica ed al suo rapporto con il resto del mondo. L’ intervista non può rappresentare una indagine scientifica e va condotta con naturalezza e con tranquillità, senza enfatizzazioni ed esagerazioni. Il rapporto con i compagni di studi e con i coetanei non va enfatizzato troppo, ma attraverso il modo stesso in cui si svolge la conversazione l’ intervistatore potrà aggiungere, a margine dell’ intervista, alcune impressioni sulla socievolezza e sul carattere dell’ intervistato. La scoperta della matematica A che età hai scoperto l’ esistenza della matematica? Attraverso quali esperienze? Insieme con chi? Grazie a chi? Che importanza ha avuto la scuola nella scoperta della matematica? Quali altre esperienze al di fuori della scuola (prima della scuola, durante la scuola) ti hanno fatto scoprire la matematica? Quando e come hai scoperto la tua passione per la matematica? Come andavi in matematica a scuola? Sei sempre andato bene? Che ricordo hai dei tuoi insegnanti di matematica? Hanno riconosciuto il tuo talento? Ti hanno incoraggiato? Studi, curriculum Che tipo di studi hai svolto? Pagina 36 su 53 pagine
  • 37. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Hai scelto tu questo tipo di studi? Come andavi nelle altre materie? La passione per la matematica ha mai compromesso il rendimento nelle altre materie? Come ti vedevano i tuoi insegnanti, i tuoi professori? Familiarita’ Nella tua famiglia ci sono altri “geni” della matematica? Il tuo carattere (la tua personalità) sono caratteristici secondo te di un matematico o di uno che ama la matematica? Puoi descriverci alcuni aspetti? Personalita’ Ti ritieni una persona socievole? Ritieni di essere creativo? Parlaci della tua fantasia Qual è il tuo rapporto con il computer? Ti piace giocare? Quali tipi di giochi? La professione scelta Sotto quale aspetto la tua professione attuale ha una relazione con la matematica? Cosa pensavi (sognavi) di fare da grande Pensi di avere realizzato i tuoi sogni? Concorsi, gare Hai mai partecipato a delle gare di matematica? Se si, come sei andato? Come ti sei preparato? Hai mai partecipato a dei concorsi con prove di carattere matematico o coinvolgenti la matematica? Se si, in quale modo ti sei preparato? Hai mai partecipato a delle selezioni interne in cui la matematica fosse determinante? Come è stato il tuo rendimento in queste circostanze? Pagina 37 su 53 pagine
  • 38. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Matematica e societa’ Qual è il ruolo della matematica nella società moderna? Pensi che l’ insegnamento della matematica sia adeguato alle esigenze della nostra società (civiltà)? Computer, internet Che rapporto hai con il computer? Che rapporto hai con internet? Che rapporto pensi che ci sia tra il computer e la matematica? Conosci qualche linguaggio di programmazione? Memoria Come consideri la tua memoria? (Normale, Buona, Ottima) Che tipo di memoria hai? (Uditiva, Visiva) Secondo te come deve essere la memoria di un matematico (di un genio matematico della porta accanto)? Numeri, calcolo mentale Esegui mai calcoli a mente? Quando e quanto usi la calcolatrice per fare i calcoli della vita quotidiana? Quali grandi numeri conosci? Qual è il numero più grande che hai mai incontrato? Qual è il numero più interessante che hai conosciuto? E perché lo consideri tale? Sogni nel cassetto Quali sono i tuoi sogni nel cassetto, dal punto di vista matematico? Pagina 38 su 53 pagine
  • 39. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Appendice Numero 5 - Intervista alla maestra modello Nell' Analisi della Funzione Docente la prima fase è quella della intervista alla maestra modello, ovvero ad un docente o ad una docente che presenta delle caratteristiche di eccellenza unite ad una disponibilità a parlare della sua professione e della sua professionalità in termini aperti e costruttivi. La maestra modello deve essere selezionata sulla basi delle caratteristiche che indichiamo qui di seguito., Deve essere innanzitutto disponibile e comunicativa esperta e relativamente matura insegnare o avere insegnato matematica La potete cercare tra i docenti della scuola in cuieffettuate il vostro tirocinio. Contattatela con garbo e presentatele, se occorre, il progetto di indagine che state effettuando. Lamaestra modello deve essere disponibile a collaborare anche nelle successive fasi dell' indagine, quelleche riguardano il libro di testo ed i sussidi didattici, i risultati visibili sui quaderni degli allievi e l'interazione con l' ambiente. Come va condotta l' intervista L' intervista va condotta cercando di mettere a suo agio la persona intervistata. Le domande non vanno quindi fatte in modo meccanico, qui non si tratta di domande di tipo statistico, ma di una indagine che deve assomigliare alle indagini fatte dai grandi giornalisti piuttosto che dagli istituti demoscopici. Domande di base Esperienze relative all' insegnamento della matematica Lei insegna attualmente matematica nella scuola elementare? Ci può dire da quanto tempo? Oppure per quanto tempo complessivamente lo ha fatto? Ha una laurea in matematica o in una materia scientifica? Se si, dove e quando l' ha conseguita? Con chi ha svolto la tesi? Ha seguito corsi di specializzazione sull' insegnamento della matematica? Se si, può dirci quali? In quale ambiente o organizzazione? Condotti da chi? Fa parte di associazioni o di reti di docenti che coltivano l' interesse per la matematica e per il suo apprendimento - insegnamento? Pagina 39 su 53 pagine
  • 40. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Esperienze relative alla formazione degli insegnanti Ha svolto, svolge o conta di svolgere corsi di formazione per insegnanti della scuola primaria? Dove? Come? Con chi? Con quale organizzazione? Rapporti con la matematica Le piace la matematica? La trova utile? Piacevole? O altro? Supponiamo che i suoi rapporti con la matematica oggi siano buoni. Lo sono stati sin da quando era bambina? O da quando era adolescente? O da quando ha cominciato ad insegnarla? Chi sono i suoi "modelli" tra i grandi matematici? Chi sono i suoi maestri nel campo della didattica della matematica? Innatismo (domanda opzionale) Alcuni ricercatori (Dehaene, Butterworth, Girelli, Wynn) sostengono che alcune competenze matematiche siano innate ed il campo delle competenze matematiche innate si estende continuamente. Lei ritiene che le competenze matematiche siano in parte innate? Costruttivismo (domanda opzionale) Seymour Papert, uno degli "apostoli del linguaggio Logo" asseriva che tutti i bambini dovrebbero, nel loro piccolo, poter in qualche fare i matematici? Lei concorda o meno? Ritiene che ognuno di noi possa, nel suo piccolo, essere un piccolo matematico? Paura della matematica Gli psicologi ci dicono che molti bambini maturano un atteggiamento di paura, se non addirittura di terrore verso la matematica. Lo conferma? Ne ha avuto una esperienza diretta? Quali possono essere, secondo lei, le cause della paura della matematica? Il metodo adottato dall' insegnante può influire in senso positivo o negativo? Ritiene che La personalità dell' insegnante può influenzare la paura della matematica? Quali esperienze formative possono avvicinare in modo sereno il bambino alla matematica? Il mondo dei giochi e il mondo della matematica Ritiene che il mondo dei giochi e il mondo della matematica possano avere dei punti in comune? Ad esempio, negli Stati Uniti c' è un intero curriculum di avviamento alla matematica che poggia sul gioco degli scacchi. Lo ritiene interessante? Utile? Applicabile anche in Italia? Pagina 40 su 53 pagine
  • 41. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 La questione dei videogiochi Lei ha mai provato i videogiochi? Ha dei figli o dei nipoti che usano i videogiochi? Moltissimi bambini usano i videogiochi: lo ritiene un fatto positivo? Ritiene che questa esperienza possa favorire o meno un sano rapporto con la matematica? Il computer Quale ruolo può avere il computer nell' apprendimento - insegnamento della matematica? Lei usa il computer per insegnare la matematica? Se non lo usa, per quale motivo? Attrezzature insufficienti? Difficoltà organizzative? O contrarietà nei confronti del mezzo? Conosce programmi per il computer orientati a favorire o facilitare l' apprendimento dellamatematica? Considera il computer come un semplice supporto per materiali didatticimultimediali o qualcosa di più profondo? Ambiente Risponda liberamente, e solo se lo ritiene opportuno. L' ambiente scolastico l'aiuta nella sua missione? Ha buoni rapporti con i colleghi sul tema dell' insegnamento della matematica? Ci sono forme di collaborazione tra tutti gli insegnanti che, nella scuola, insegnano matematica? La dirigenza della scuola considera in modo adeguato le esigenze relative all' apprendimento della matematica? Le favorisce in qualche modo? Sempre sul tema dell' apprendimento della matematica, esiste qualche forma di collaborazione, diretta o indiretta, con i genitori? Disabilità (discalculia) Si è mai imbattuta in soggetti che presentavano disturbi specifici nell' apprendimento legati in modo particolare alla matematica (tipo discalculia)? Ha avuto modo di collaborare con degli psicologi? Quali figure di psicologi in particolare? Ha trovato proficua la collaborazione con gli psicologi? Ha avuto modo di conoscere ed apprezzare dei test per la diagnosi precoce della discalculia? Pagina 41 su 53 pagine
  • 42. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Appendice Numero 6 - Keith Devlin: pensare la matematica (da una conferenza del Prof. Keith Devlin riportata nel sito Polymathdell’ Universita’ di Torino) Il prof. Gabriele Lolli introduce Keith Devlin Keith J.Devlin è un vero polymath, dovrebbe essere il primo socio onorario del sito, se è prevista questa figura. Ha dato e continua a dare contributi importanti sia nella ricerca sia nella divulgazione. Ha conseguito il dottorato in matematica nel 1971 presso l'Università di Bristol, nel settore della teoria degli insiemi - sono ricerche molto difficili e affascinanti quelle dell'attuale teoria degli insiemi, veri e propri esperimenti mentali di coraggiose estrapolazioni verso infiniti sempre più grandi e per studiare le conseguenze della loro esistenza sulla matematica concreta e per affinare l'intuizione dell'infinito (secondo un suggerimento che risale a Gödel). Alcuni suoi libri ed esposizioni relative agli argomenti studiati in quegli anni sono presenti in tutte le biblioteche universitarie del mondo (in particolare Constructibility, Springer, 1984). Negli anni Ottanta Devlin è stato una delle vittime della Thachter, ha perso il posto con la motivazione che le sue ricerche non si rivolgevano a questioni utili. A differenza dei minatori, l'emigrazione negli Stati Uniti è stata per lui, e forse per noi, una fortuna. Ha continuato sì ad interessarsi di logica, sia pure in una direzione diversa: sotto l'influenza di Jon K. Barwise, che lo aveva invitato come ricercatore al Centro di studi sul linguaggio CSLI di Stanford (lo stesso centro che ora dirige, dopo la morte prematura di Barwise) si è dedicato all'impegnativo (e per ora purtroppo poco più che tentative, a tentoni) argomento di una fondazione di una nuova logica dell'informazione. Ma soprattutto, avendo poi ottenuto un posto in una università che non aveva un programma di dottorato (questa è una nostra congettura, non sappiamo quale sia la causa e quale l'effetto), ha colto l'occasione di dare maggiore sfogo ad un'attività di science writer multimediale per cui aveva già manifestato interesse e spiccate attitudini mentre viveva in Gran Bretagna. Ivi era stata un grande successo la sua rubrica periodica di matematica Micromaths sul Manchester Guardian, così come un famoso documentario televisivo A Mathematical Pagina 42 su 53 pagine
  • 43. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 Mystery Tour per la BBC. Ora continua la sua collaborazione con la televisione ed ha aggiunto una rubrica sul Los Angeles Time. Frutto di questa attività di divulgazione sono diversi libri di cui alcuni tradotti in italiano (Matematica - La nuova età dell'oro, Dove va la matematica, Addio Cartesio, Il linguaggio della matematica, Il gene della matematica). Devlin ha anche ripetutamente messo le sue capacità organizzative ed espositive al servizio della comunità, ad esempio dirigendo dal 1991 per alcuni anni l'importante rubrica Computers and Mathematics sulle Notices dell'American Mathematical Society, e dirigendo per qualche tempo la rivista Focus della Mathematical Association of America. Il libro che viene oggi presentato (Il gene della matematica, Longanesi) può essere affiancato a quelli di S. Dehaene, Il pallino della matematica (come sono fini gli editori italiani a inventarsi titoli di richiamo; il libro di Dehaene è tutto dedicato a dimostrare che il cosiddetto "pallino" non esiste), e di B. Butterworth, Intelligenza matematica, a costituire una trilogia di indagini su quello che si può indurre dalle conoscenze attuali sul cervello relativamente alle capacità matematiche umane. Ma mentre gli altri due si limitano a discutere le risultanze delle ultime ricerche neurofisiologiche (e al massimo etnologiche, in Butterworth) sulla capacità innata di riconoscimento e manipolazione di quantità piccole, in gran parte comune agli animali superiori, Devlin affronta il problema molto più difficile e problematico, e importante (soprattutto per la didattica), dell'innesto e della crescita della matematica simbolica sulla base delle capacità cerebrali matematiche che sono sostanzialmente analogiche. Nella sua analisi gioca un ruolo fondamentale la discussione della crescita progressiva del cervello nel corso dell'evoluzione umana; in particolare, visto che la matematica che conosciamo è troppo recente per risentire dell'evoluzione biologica, un elemento decisivo appare essere la nascita del linguaggio, in seguito alla crescita dimensionale del cervello (soprattutto della corteccia frontale) in un periodo che va da 200.000 a 75.000 anni fa. La lunga e approfondita discussione di Devlin, che costituisce la parte centrale dell'esposizione, è un importante contributo al problema della nascita del linguaggio; la sua tesi è che per la matematica non sono necessarie altre capacità di quelle che permettono il linguaggio; l'argomento centrale è che con il linguaggio evoluto si è resa possibile agli umani una forma di pensiero astratto superiore, che egli chiama off-line: la capacità non solo di descrivere fatti elementari, anche già articolati nelle affermazioni soggetto-predicato che coinvolgono nomi comuni, astratti, ma la possibilità ulteriore di immaginare e descrivere situazioni di fantasia. Il vantaggio evolutivo connesso a questa Pagina 43 su 53 pagine
  • 44. Guida alla preparazione dell’ esame di Matematiche Elementari da unPunto di Vista Superiore (SE) Corso di laurea in Scienze della Formazione Primaria, Università Cattolica del Sacro Cuore di Milano Esame fondamentale per il secondo anno di corso, anno accademico 2011 – 2012 capacità è quello della pianificazione, che richiede di inventare scenari possibili (se le cose stessero), e di sviluppare logicamente le conseguenze delle ipotesi immaginate. Sulla base di questa tesi, e come elemento di conferma, Devlin presenta una visione della matematica dove prevale la costruzione e la comunicazione di storie, non essenzialmente diverse dalle telenovele e dallo scambio di pettegolezzi, relative a mondi formati da personaggi che sono questa volta gli oggetti astratti matematici, i quali sono gli schemi, i pattern, che si incontrano in tutte le trattazioni matematiche. Pensare la matematica, di Keith Devlin Sono circa trent'anni che mi occupo di matematica e da almeno cinque cerco di capire in che modo il mio cervello, e quello degli altri matematici, riesca a fare matematica. Per molti motivi questa è una domanda interessante e inconsueta. Il motivo più interessante riguarda il tempo. L'evoluzione ha avuto luogo attraverso centinaia, migliaia e milioni di anni, mentre la matematica è molto recente. I numeri hanno diecimila anni e la maggior parte della matematica ha, al massimo, duemila anni. Questo tempo è troppo breve perché possano avvenire grandi cambiamenti nel cervello umano. Quindi, quando facciamo matematica, quando i nostri cervelli pensano in modo matematico, dobbiamo necessariamente usare delle abilità mentali che sono state acquisite centinaia di migliaia di anni prima che la matematica venisse inventata. E la domanda che mi sono posto, quando ho scritto Il Gene delle Matematica è la seguente: "Come hanno fatto i nostri antenati ad acquisire il pensiero matematico?" Ho impiegato parecchi anni per riuscire a trovare una spiegazione convincente: quella che ho pubblicato nel libro Il Gene delle Matematica, edito in Italia da Longanesi. Non sostengo che ci sia un gene particolare che ci consente di fare matematica, quindi se voi non siete capaci di fare matematica, non potete trovare la scusa che non possedete quel gene. Quello che voglio dire, è invece che siamo nati con l'abilità matematica, e questa è in noi, e aspetta soltanto di emergere. Il pensiero matematico è un'abilità innata, che abbiamo fin dalla nascita. Le domande specifiche che mi pongo sull'abilità matematica sono le seguenti. Come ha fatto il cervello umano ad acquisirla? Quando, in termini di evoluzione, il cervello ha acquisito questa abilità? E quale vantaggio può aver dato questa abilità ai nostri antenati, nella selezione naturale? Come per qualunque altra spiegazione riguardante l'evoluzione, non possiamo essere sicuri che io abbia dato la spiegazione corretta. Comunque, sappiamo molto sull'evoluzione Pagina 44 su 53 pagine