Tugas tmtt matematika statistika sapta

TUGAS TMTT STATISTIKA SAPTA (SN7) Page 1
TUGAS TMTT MATEMATIKA STATISTIKA
Disusun Oleh :
SAPTA NURIANA
0899
PROGRM KEAHLIAN GEOLOGI PERTAMBANGAN
SEKOLAH MENENGAH KEJURUAN NEGERI 1 TEMON
KULON PROGO
November 2014

1. Untuk Data Tunggal
a. Rata-rata Hitung (Mean)
Menghitung rata-rata data tunggal dibedakan antara data tunggal yang berfrekuensi satu
dengan data tunggal yang berfrekuensi lebih dari satu.
 Menghitung rata-rata yang berfrekuensi satu dengan rumus :
iX
X
n


dimana : X = Mean (rata-rata)
iX = Jumlah tiap data
n = Jumlah data
Contoh :
Tabel
Distribusi Frekuensi Nilai Statistik dari 7 Mahasiswa
X f
4
5
6
7
8
9
10
1
1
1
1
1
1
1
iX = 49 n = 7
Meannya adalah :
iX
X
n

 =
49
7
= 7
 Menghitung rata-rata yang berfrekuensi lebih dari satu dengan rumus :
 i i
i
x n
X
n



Dimana : X = Mean (rata-rata)
iX = Jumlah rata-rata data
in = Jumlah data

Contoh :
Tabel
Wartel CJDW Kalianyar
No Kota Jumlah Wartel (
in )
Rata-rata
penghasilan
pertahun dalam
jutaan rupiah ( ix )
Jumlah (Jutaan
Rupiah) ( i ix n )
1
2
3
4
Menado
Bandung
Bangil
Makasar
2
4
4
5
10
15
20
25
20
60
80
125
Total in = 15 ( )i ix n = 285
Meannya adalah :
 i i
i
x n
X
n



=
285
15
= Rp. 19 juta/tahun
b. Median (Me)
Mencari median data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil
sampai data terbesar atau sebaliknya dari data terbesar sampai data terkecil, dengan rumus :
Me = ½ (n + 1), dimana n = jumlah data
Menghitung median data tunggal dibedakan menjadi median data tunggal dengan data
ganjil dan median data tunggal dengan data genap.
Contoh : Data Ganjil
Diketahui data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, dan 50
Langkah-langkah menjawab :
i) Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar
35, 40, 45, 50, 65, 70, 70, 80, 90
ii) Carilah posisi median dengan rumus : Me = ½ (n + 1)
Me = ½ (9 + 1) = 5 (posisi pada data ke-5)
Jadi, Me = 65
Contoh : Data Genap
Diketahui data : 50, 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, dan 50

a) Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar
35, 40, 45, 50, 50, 65, 70, 70, 80, 90
ii) Carilah posisi median dengan rumus : Me = ½ (n + 1)
Me = ½ (10 + 1) = 5,5 (posisi pada data ke-5,5)
Jadi, Me = ½ (50 + 65) = 57,5
c. Modus (Mo)
Menghitung modus dengan data tunggal dilakukan sangat sederhana, yaitu dengan cara
mencari nilai yang sering muncul diantara sebaran data. Penggunaan modus bagi data kualitatif
maupun kuantitatif dengan cara menentukan frekuensi terbanyak diantara data yang ada.
Contoh :
Diketahui nilai Ujian Akhir Semester (UAS) untuk pelajaran statistika bagi 10 mahasiswa,
data sebagai berikut : 40, 60, 60, 65, 72, 60, 70, 60, 80, dan 90.
Jawab : Modus nilai UAS pelajaran Statistika, yaitu pada nilai 60, karena muncul 4 kali.
d. Quartil (Q)
Mencari kuartil data tunggal dengan cara pertama menyusun atau mengurutkan data
tersebut dari data terkecil sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi kuartil dicari
dengan rumus :
( 1)
4
i
i n
Q


Dimana :i = 1, 2, 3 n = jumlah data
Contoh :
Berikut ini adalah data nilai Satistik dari 13 mahasiswa, yaitu : 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35,
85, 95, 100. Carilah nilai 1Q , 2Q , dan 3Q .
i) Urutkan data dari data terkecil sampai data terbesar
30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 70, 80, 85, 95, 100
ii) Cari nilai 1Q , 2Q , dan 3Q dengan rumus :
iQ  nilai yang ke
( 1)
4
i n 
= nilai ke
1(13 1)
4

= nilai ke-
1
3
2
(nilai yang ke-
1
3
2
, berarti rata-rata dari 3X dan 4X )
Jadi :

 1 3 4
1
2
Q X X 
=
1
2
(40 + 45)
= 42,5
2Q  nilai ke
2(13 1)
4

= nilai ke-7, nilai X7
Jadi :
2Q  X7 = 60
3Q  nilai ke
3(13 1)
4

= nilai ke-10
1
2
(nilai yang ke-10
1
2
, berarti rata-rata dari 10X dan 11X )
Jadi :
 3 10 11
1
2
Q X X 
=
1
2
(80 + 85)
= 82,5 (nilai kuartil tidak perlu sesuai dengan nilai data yang asli)
e. Desil (D)
Mencari desil datatunggal dengancara mengurutkandatatersebutdari dataterkecil sampai
data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi kuartil dicari dengan rumus :
iD  nilai yang ke
 1
10
i n 
, i = 1, 2, ..., 9
Contoh :
Berdasarkan data pada contoh desil, hitunglah 1D , 2D , dan 3D .
Jawab :
1D  nilai ke
 1 13 1
10

= nilai ke-1
4
10
, berarti  1 2 1
4
10
X X X 

= 30 +  
2
35 30
10

= 31
2D  nilai ke
 2 13 1
10

= nilai ke-2
8
10
, berarti  2 3 2
8
10
X X X 
= 35 +  
8
40 35
10

= 39
3D  nilai ke
 9 13 1
10

= nilai ke-12
6
10
, berarti  12 13 12
6
10
X X X 
= 95 +  
6
100 95
10

= 98
f. Persentil (P)
Mencari persentil data tunggal dengan cara mengurutkan data tersebut dari data terkecil
sampai data terbesar atau sebaliknya, kemudian posisi persentil dicari dengan rumus :
iP nilai yang ke
( 1)
100
i n 
, i = 1, 2, ..., 100
Contoh :
Diketahui data : 65, 70, 90, 40, 35, 45, 70, 80, 75, dan 50
Carilah letak pada posisi ( 20P dan 80P )
i) Urutkan data terkecil sampai data terbesar.
35, 40, 45, 50, 65, 70,70, 75, 80, 90
ii) Hitunglah dan cari posisi persentil ( 20P dan 80P ) dengan rumus :
Posisi 20P =
20( 1)
100
n 
=
20(10 1)
100


= 2,2 artinya persentil 2,2 terletak pada posisi data ke 2,2.
Jadi :
20P = data ke 2 + data 0,2 (data ke-3 – data ke-2)
= 40 + 0,2 (45 – 40)
= 41
Jadi, posisi 20P berada pada nilai 41
Posisi 80P =
80( 1)
100
n 
=
80(10 1)
100

= 8,8 artinya persentil 8,8 terletak pada posisi data ke-8,8.
Jadi : 80P = data ke 8 + data 0,8 (data ke-8 – data ke-7)
= 75 + 0,8 (80 -75) = 79
Jadi : posisi 80P berada pada nilai 79
2. Untuk Data Berkelompok
a. Rata-rata Hitung (Mean)
Jikadata sudahdikelompokkandalamdistribusifrekuensi,makadata tersebut akan berbaur
sehinggakeasliandataitu akan hilang bercampur dengan data lain menurut kelasnya, hanya dalam
perhitunganmeankelompokdiambiltitik tengahnya yaitu setengah dari jumlah ujung bawah kelas
dan ujungatas kelasuntukmewakili setiap kelas interval. Hal ini menunjukkan untuk menghindari
kemungkinandatayangada disetiapinterval mempunyai nilai yang lebih besar atau lebih kecil dari
titik tengah. Perhitungan data mean kelompok dapat dicari dengan rumus :
i i
i
f X
X
f



Contoh :
Misalkan upah karyawan per bulan dalam ribuan rupiah, dan f adalah banyaknya karyawan yang
menerima upah X, yang disusun pada tabel :
X 55 65 75 85 95 110 150
f 8 10 16 15 10 8 3
Jawab :
i i
i
f X
X
f




=
8(55) 10(65) 3(150)
8 10 3
  
  
= 83,50
Jadi rata-rata upah karyawan per bulan adalah Rp. 83.500,-
b. Median (Me)
Untuk data yangberkelompok,nilai median dapat dicari dengan interpolasi yang rumusnya
adalah sebagai berikut :
1
2
n F
Me b P
f
 
 
   
 
 
dimana :
b = tepi batas bawah kelas median n = jumlah seluruh frekuensi
P = panjang kelas/interval
F = jumlah frekuensi sebelum kelas median F = frekuensi kelas median
Contoh :
Diketahui tabel distribusi frekuensi dibawah ini :
Kelas interval f
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 5
73f 
Berdasarkan tabel diatas, kelas mediannya adalah :
73/2 = 36,5 (angka 36,5 terletak dikelas interval ke 5) sehingga didapat : b = 70, 5 p =
10 F = 23 f = 20 n = 73
Kelas Median

Jadi :
1
2
n F
Me b P
f
 
 
   
 
 
1
73 23
270,5 10
20
 
 
   
 
 
= 77,25
c. Modus (Mo)
Apabiladatasudahdikelompokkandandisajikandalamtabel frekuensi,makadalammencari
modus digunakan rumus :
1
1 2
b
Mo b P
b b
 

Dimana :
b = tepi batas bawah kelas modus
P = panjang kelas/interval
b1 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas sebelumnya
b2 = frekuensi kelas modus dikurangi frekuensi kelas berikutnya
Contoh :
Diketahui tabel distribusi frekuensi dibawah ini :
Kelas interval f
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 5
73f 
Jawab :
Berdasarkan tabel diatas, didapat :
Kelas Modus

b1 = 25 – 20 = 5
b2 = 25 – 5 = 20
b = 80,5
P = 10
Sehingga modusnya adalah :
5
80,5 10 82,5
5 20
Mo   

d. Kuartil (Q)
Rumus untuk mencari nilai kuartil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi
frekuensi adalah :
4
i
i
n F
Q b P
f
 
 
   
 
 
Dimana : iQ = kuartil ke i
i = 1, 2, 3
b = batas bawah kelas kuartil ke i
P = interval kelas
F = jumlah frekuensi sebelum kelas kuartil ke i
f = jumlah frekuensi
n = banyaknya data
Contoh : Cari letak dan nilai 1Q , 2Q , dan 3Q dari data sebagai berikut :
Kelas interval f
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 12
80f 
Kelas Modus

Jawab :
Berdasarkan tabel diatas didapat :
Letak 1Q = (k/4).n
= ¼ x 80 = 20
Letak 2Q = 2/4 x 80 = 40
Letak 3Q = ¾ x 80 = 60
Untuk 1Q : i = 1, F = 8, b = 60,5, p = 10, f = 15, n = 80
1
20 8
60,5 10 68,5
15
Q
 
   
 
Untuk 2Q : i = 2, F = 23, b = 70,5, p = 10, f = 20, n = 80
2
40 23
70,5 10 79
20
Q
 
   
 
Untuk 3Q : i = 1, F = 48, b = 80,5, p = 10, f = 25, n = 80
3
60 43
80,5 10 87,3
25
Q
 
   
 
e. Desil
Jikakelompoksuatudatadapatdibagi menjadi 10 bagian yang sama didapat 9 pembagi dan
tiap pembagi disebut desil.
Mencari desil berbentukdatakelompokdibuatsusunandistribusi frekuensiterlebih dahulu,
supaya mempermudah perhitungan. Proses mencari desil hampir sama dengan proses mencari
kuartil, kalau kuartil mencari nilai yang membagi data kelompok dalam empat bagian yang sama,
sedangkan desil mencari nilai yang membagi data kelompok dalam 10 bagian yang sama.
Caranya urutkan terlebih dahulu mulai dari data terkecil sampai data terbesar atau
sebaliknya.Rumusuntukmencari nilai Desil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi
frekuensi adalah : 10
i
in
F
D b p
f
 
 
   
 
 
Dimana :Di = Desil ke-i
b = batas bawah kelas Di, ialah kelas interval dimana Di akan terletak
p = panjang kelas Di
F = jumlah frekuensi dengan tanda kelas lebih kecil dari tanda kelas Di
f = frekuensi kelas Di

Contoh :
Tentukan letak dan nilai D4 dari tabel diatas.
Jawab :
40% x 80 = 32 data, dapat dilihatbahwaD4 berimpitdengankelasintervalke-5.Sehingga b =
70,5, p = 10, f = 25, F = 23, i = 4, n = 80
Jadi :
4.80
23
1070,5 10
25
iD
 
 
   
 
 
= 28,98
f. Persentil
Rumus untuk mencari nilai Desil untuk data yang telah dikelompokkan dalam distribusi
frekuensi adalah :
100
i
in
F
P b p
f
 
 
   
 
 
Contoh :
Cari letak dan nilai P50 dan P75 dari data berikut
Kelas interval f
31 – 40 1
41 – 50 2
51 – 60 5
61 – 70 15
71 – 80 20
81 – 90 25
91 – 100 12
80f 
Penyelesaian :
Letak P50 (50 x 80)/100 = 40
Sehingga b = 70,5, p = 10, F = 23, f = 20, i = 50, n = 80
Kelas Modus

Jadi :
50.80
23
10070,5 10
20
iP
 
 
   
 
 
= 68,4
Letak P75 = (75 x 80)/100 = 60
Sehingga b = 80,5, p = 10, F = 43, f = 25, i = 75, n = 80
Jadi :
75.80
43
10080,5 10
25
iP
 
 
   
 
 
= 61,54
C. Ukuran Simpangan
Ukuran simpanganyaitusuatuukuranyang menunjukkan tinggi rendahnya perbedaan data
yang diperoleh dari rata-ratanya.
1. Rentangan (Range), Rentangan antar Kuartil, dan Simpangan Kuartil
Rentangan adalah data tertinggi dikurangi data terbesar, dengan rumus :
R = data tertinggi – data terkecil
Contoh :
Data nilai UAS Statistika 90, 80, 70, 90, 70, 100, 80, 50, 75, 70
Maka rentangnya = 100 – 50 = 50.
Rentang antar Kuartil adalah selisih antar kuartil ketiga dengan kuartil pertama, dengan rumus :
RAK = K3 – K1
Dimana : RAK = rentang antar kuartil
K3 = kuartil ketiga
K1 = kuartil pertama
Contoh :
Diketahui data pada contoh kuartil berkelompok, maka didapat :
K1 = 68,5 K3 = 87,3
Jadi : RAK = 87,3 – 68,5 = 18,8
Simpangan Kuartil adalah setengah dari RAK, dengan rumus :
SK = ½ RAK atau SK = ½ (K3 – K1)

Contoh :
Diketahui data pada contoh kuartil berkelompok, maka didapat :
K1 = 68,5 K3 = 87,3
Jadi :
SK = ½ (87,3 – 68,5) = 9,4
2. Varians
Varians adalah kuadrat dari standar deviasi. Simbol varans untuk populasi = 2
 atau 2
n
sedangkan untuk sampel 2
1n  atau (S2
) atau S.
a. Rumus varians (S) untuk data tunggal :
 Sampel
 
2
2
2
2
1
1
1
n
fx
fx
f
f
 
 
 
 
  
 
 
 
 




atau
22
1
x
S
n
 
    

Populasi=
 
22
2
2
n
x
x
n
n

 
 
 
  
 
 
 


atau
22
2
x
n

 
   
 

Contoh :
Jika (standar deviasi) : s = 12,12 (data sampel)
Maka (varians) : S = (12,12)2
= 146,89
b. Rumus varians (S) untuk data distribusi (dikelompokkan) :
 Sampel
2
2
.
1
f x
S
f
 
    


 Populasi
2
2
2
.
n
f x
f

 
   
 


Contoh : Jika (standar deviasi) : s = 7,016 (data sampel)
Maka (varians) : S = (7,016)2
= 49,22

3. Simpangan Baku (Standar Deviasi)
Standar deviasi adalahsuatu nilai yang menunjukkan tingkat atau derajat variasi kelompok
data atau ukuran standar penyimpangan dari meannya.
a. Standar Deviasi untuk Data Tunggal
 Sampel
 
2
2
1
1
n
x
x
n
n
 





atau
2
1
x
s
n



 Populasi
 
2
2
n
x
x
n
n





atau
2
x
n
 

Contoh :
Diketahui nilai UTS Statistika Mahasiswa Unindra
No X X2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
75
70
80
85
60
75
100
90
95
75
5625
4900
6400
7225
3600
5625
10000
8100
9025
5625
n = 10 X = 805
2
X = 66125
b. Standar Deviasi untuk Data Berkelompok
 Sampel
 
2
2
1
.
.
1
1
n
f x
f x
f
f
 








atau
2
.
1
f x
s
f




 
2
2
1
X
X
ns
n





=
 
2
805
66125
10
10 1


648025
66125
66125 64802,5 1322,510
9 9 9
s


  
146,9 12,12s   (datasampel)

 Populasi
 
2
2
.
.
n
f x
f x
f
f







atau
2
.f x
f
 


Contoh :
Diketahui data distribusi sebagai berikut :
Nilai f Batas
kelas atas
X  X X
2
X 2
.f X
60 – 64
65 – 69
70 – 74
75 – 79
80 – 84
85 – 89
90 – 94
2
6
15
20
16
7
4
64,5
69,5
74,5
79,5
84,5
89,5
94,5
79,5
-15
-10
-5
0
5
10
15
225
100
25
0
25
100
225
450
600
375
0
400
700
900
Jumlah 70 556,5 0 700 3425
X
X
n

 =
556,5
7
= 79,5
2
.
1
f x
s
f




=
3425
70 1
=
3425
69
= 49,64 = 7,045 (sampel)
Jadi, standar deviasi nilai statistika dari 70 mahasiswa sebesar 7,045.
B. Model Populasi
Model populasi ini biasanya didekati oleh atau diturunkan dari kurva frekuensi yang
diperoleh dari sampel representatif yang diambil dari populasi
1. Kemencengan
Kurva halus atau model yang bentuknya bisa positif, negatif atau simetrik. Model positif
terjadi bila kurvanya mempunyai ekor yang memanjang kesebelah kanan. Sebaliknya, jika
memanjangkesesebelahkiri didapatmodel negatif. Dalam kedua hal terjadi sifat taksimetri. Untuk
mengetahui derajattaksimetrisebuahmodel,digunakan ukuran kemiringan yang ditentukan oleh :
modRata rata us
Kemiringan
Simpanganbaku



Rumus empirik untuk kemiringan adalah :
 3 rata rata median
Kemiringan
simpanganbaku
 

Dikatakan bahwa model positif jika kemiringan positif, negatif jika kemiringan negatif dan
simetrik jika kemiringan sama dengan nol.
Contoh : Dari data berikut didapat X =76,62, Me = 77,3 Mo = 77,17 dan simpangan baku s =
13,07.
Nilai Ujian fi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100
1
2
5
15
25
20
12
Jumlah 80
2. Keruncingan
Bertitiktolakdari kurva model normal atau distribusi normal, tinggi rendahnya atau runcing
datanyabentukkurvadisebutkurtosis,dapatditentukan.Kurvadistribusi normal, yang tidak terlalu
runcing atau tidak terlalu datar, dinamakan mesokurtik. Kurva yang runcing dinamakan leptokurtik
sedangkan yang datar disebut platikurtik.
Salah satu ukuran kurtosis ialah koefesien kurtosis, diberi simbol a4, dengan rumus :
a4 = (m4/m2
2
)
Kriteria yang didapat dari rumus diatas adalah :
Karena kemiringan negatif dan dekat kepada nol
maka modelnya sedikit miring ke kiri.

a) a4 = 3 distribusi normal
b) a4 ˃ 3 distribusi leptokurtik
c) a4 < 3 distribusi platikurtik
Untuk menyelidiki apakahdistribusi normal atautidak,seringpuladipakai koefesien kurtosis
persentil, diberi simbol  , yang rumusnya :
 3 1
90 10 90 10
1/2 K KSK
P P P P


 
 
dimana :
SK = rentang semi antar kuartil
K1 = kuartil kesatu
K3 = kuartil ketiga
P10 = persentil kesepuluh
P90 = persentil ke-90
P90 – P10 = rentang 10 – rentang 90
Untuk model distribusi normal, harga  = 0,263

Tugas tmtt matematika statistika sapta

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

Similaire à Tugas tmtt matematika statistika sapta

Similaire à Tugas tmtt matematika statistika sapta (20)

Tugas tmtt matematika statistika sapta