S3 algebre i (polycopie du cours)

Université Mohammed V – Agdal ‫– اآ ال‬ ‫ا‬
Faculté des Sciences Juridiques, ‫د‬ ‫وا‬ ‫ما‬ ‫ا‬ ‫آ‬
Economiques et sociales ‫وا‬
RABAT ‫اا ! ط‬
http://www.fsjesr.ac.ma

Filière de Sciences Économiques et de Gestion
Semestre : S3
Module : M 12 (Méthodes Quantitatives III)
Matière : Algèbre I

Syllabus

Objectif du cours
Introduire l’étudiant à l’algèbre linéaire par des notions sur les espaces vectoriels et les
applications linéaires ainsi que sur le calcul matriciel.

Pré-reqcuis recommandé Mode d’évaluation
Calcul dans Contrôle final (2h)
Notions élémentaires sur les ensembles contrôle de rattrapage (1h30)

Déroulement du cours Support du cours
Cours magistraux (26h) Polycopié du cours
Travaux dirigés (14h) Séries d’exercices corrigés

Contenu du cours
Chapitre 1 : Espaces vectoriels réels Chapitre 3 : Matrices
I- Structure d’espace vectoriel réel I- Généralités (définition, matrices particulières)
II- Sous espaces vectoriels II- Matrices carrées
III- Combinaison linéaire - Système générateur III- Opérations sur les matrices
IV- Système libre - système lié IV- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs V- Matrice associée à un système de vecteurs
VI- Base d’un espace vectoriel VI- Matrice d’une application linéaire
VII- Espace vectoriel de dimension fini VII- Changement de base
Chapitre 2 : Applications linéaires Chapitre 4 : Calcul de déterminants
I- Définitions et généralités I- Calcul d’un déterminant d’ordre n
II- Opérations sur les applications linéaires II- Propriétés des déterminants
III- Image et image réciproque III- Inversion d’une matrice par la méthode des
IV- Noyau et image d’une application linéaire cofacteurs
V- Applications linéaires injectives et surjectives IV- Rang d’une matrice, Rang d’une application
VI- Rang d’une application linéaire linéaire

Professeure Salma DASSER Session Automne-hiver
1

[S3, Module M12, Matière : Mathématiques II] Chapitre 1 : espace vectoriel réel

CHAPITRE 1 : ESPACE VECTORIEL RÉEL

I- Structure d’espace vectoriel réel .............................................................................................................. 2
I-1 L’espace vectoriel IRn...................................................................................................................................... 2
I-2 Espace vectoriel réel ........................................................................................................................................ 2
I-3 Propriétés ......................................................................................................................................................... 3
II- Sous espaces vectoriels ............................................................................................................................ 4
II-1 Définition et propriétés .................................................................................................................................. 4
II-1-1 Définition ......................................................................................................................................................................... 4
II-1-2 Propriétés : ....................................................................................................................................................................... 4
II-2 Intersection de sous espaces vectoriels ......................................................................................................... 4
II-3 Somme de sous espaces vectoriels ................................................................................................................. 5
III- Combinaison linéaire - système générateur ......................................................................................... 7
III-1 Combinaison linéaire.................................................................................................................................... 7
III-2 Système générateur ...................................................................................................................................... 7
IV- Système libre - système lié...................................................................................................................... 8
V- Ordre et rang d’un système de vecteurs .................................................................................................. 9
VI- Base d’un espace vectoriel ................................................................................................................... 10
VII- Espace vectoriel de dimension fini..................................................................................................... 11

1


I- Structure d’espace vectoriel réel

I-1 L’espace vectoriel IRn

Définition :
Les éléments de sont des suites finies de n termes réels :
, ,…, , , ,…,

Définition :
On peut définir sur une loi de composition interne, l'addition, notée + par :
, , ,…, , ,…, , ,…,

Propriétés de l'addition :
Elle est associative : , , ,
Elle est commutative : , ,
Elle a un élément neutre : 0 0,0, … ,0 , / 0 0
Tout élément X a un opposé noté , ,…, / 0

Définition :
On peut aussi définir sur une loi de composition externe, multiplication par un réel,
noté "." ou parfois sans signe, par :
, . , ,…, , ,…,

Propriétés de la multiplication par un réel :
1.
, , . . .
, , . . .
, , . . .

L'ensemble , muni de ces deux lois est un espace vectoriel sur . On le note ( ,+,.).

I-2 Espace vectoriel réel

Définition :
Un ensemble E, muni d'une loi de composition interne "+" (qui a deux éléments de E fait
correspondre un élément de E) et d'une loi de composition externe "." (qui à un élément de
et à un élément de E fait correspondre un élément de E) ayant les huit propriétés
énoncées précédemment est appelé espace vectoriel réel.
Ses éléments sont appelés vecteurs. On le note (E,+,.).

2


Exemples :
1) ( IR 3 ,+,.) est un e.v.r., où les lois " + " et " . " sont définies dans IR3 par :
∀x = ( x1 , x2 x3 ), ∀y = ( y1 , y2 , y3 ) ∈ IR 3 , ∀α ∈ IR :
 x + y = x1 , x2 x3 ) + ( y1 , y2 , y3 ) = ( x1 + y1 , x2 + y2 , x3 + y3 )
α .x = α .( x , x , x ) = (αx ,αx , αx )
 1 2 3 1 2 3

2) ( IF ( IR ),+,.) est un e.v.r., où les lois " + " et " . " sont définies dans IF (IR ) par :
∀f , g ∈ F ( IR ), ∀α ∈ IR, on a :
( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) ∀x ∈ IR

(α . f )( x ) = αf ( x ) ∀x ∈ IR

I-3 Propriétés

Si ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel, alors ∀α , β ∈ IR , ∀x, y ∈ E , on a :
1) α .0E = 0E
2) 0 IR. x = 0 E
3) α . x = 0E ⇒ α = 0 ou x = 0E
4) ( −α ). x = −(α . x )
5) (α − β ). x = (α . x ) − ( β . x )
6) α .( x − y ) = (α . x ) − (α . y )

3


II- Sous espaces vectoriels

II-1 Définition et propriétés

II-1-1 Définition

Définition :
Un sous ensemble F d’un espace vectoriel E est dit sous espace vectoriel (s.e.v.) de E ssi :
1) F ≠ φ
2) F est stable pour " + " : (∀x , y ∈ F x + y ∈ F)
3) F est stable pour " . " : (∀(α , x ) ∈ IR × F α.x ∈ F )
ssi :
1) F ≠ φ
2) ∀( x, y ) ∈ F 2 , ∀(α , β ) ∈ IR 2 α . x + β . y ∈ F

Exemples :
1) ( P ( IR ),+,.) (l’ensemble des polynômes de degré ≤ n ) est un s.e.v. de ( F ( IR ),+,.) .
2) ( IR × {0},+,.) et ({0}× IR,+,.) sont des s.e.v. de ( IR 2 ,+,.) .

II-1-2 Propriétés :

Si E est un espace vectoriel, alors :
1) Tout sous espace vectoriel de E est un espace vectoriel.
2) L’intersection de n sous espaces vectoriels de E est un espace vectoriel.
3) ({0 E },+,.) est un sous espace vectoriel de E .
4) 0 E appartient à tous les sous espaces vectoriels de E .

II-2 Intersection de sous espaces vectoriels

Théorème :
L'intersection de deux sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un sous
espace vectoriel de E .

Remarque :
La réunion de deux sous espaces vectoriels n'est en général pas un sous espace vectoriel.

Théorème :
L'intersection de plusieurs sous espaces vectoriels d'un espace vectoriel réel E est un
sous espace vectoriel de E .

4


II-3 Somme de sous espaces vectoriels

Définition :
Soit E un espace vectoriel et soient E1 et E2 deux sous espaces vectoriels de E .

• La somme des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 + E2 , est égale à :
E1 + E2 = {x ∈ E / ∃ ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 }
• La somme directe des sous espaces vectoriels E1 et E2 , notée par E1 ⊕ E2 , est égale à :
E1 ⊕ E2 = {x ∈ E / ∃! ( x1 , x2 ) ∈ E1 × E2 / x = x1 + x2 }
• Si E = E1 ⊕ E2 , alors les sous espaces vectoriels E1 et E2 sont dits sous espaces
supplémentaires de E .

Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E alors E1 + E2 et
E1 ⊕ E2 sont aussi des sous espaces vectoriels de E .

Théorème :
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel E , alors les
propositions suivantes sont équivalentes :
1) E = E1 ⊕ E2
2) E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0E }

Exemple :
E = F (IR ) : E = E1 ⊕ E2 , avec
o E1 = { f ∈ E / f ( x ) = f ( − x ) ∀x ∈ IR} (ensemble des fonctions paires)
o E2 = { f ∈ E / f ( x ) = − f ( − x ) ∀x ∈ IR} (ensemble des fonctions impaires)

Pour montrer que E = E1 ⊕ E2 , il suffit de vérifier que E = E1 + E2 et E1 ∩ E2 = {0 E } .
En effet :
1) E = E1 + E2 :
 1
 f1 ( x ) = 2 ( f ( x ) + f ( − x ))
• Soit f ∈ E . On pose 
1
 f 2 ( x ) = ( f ( x ) − f ( − x ))
 2
 1
 f1 ( − x ) = 2 ( f ( − x ) + f ( x )) = f1 ( x ) ⇒ f1 ∈ E1

• On a :  f ( − x ) = 1 ( f ( − x ) − f ( x )) = − f ( x ) ⇒ f ∈ E
 2 2
2 2 2

et f ( x ) = f ( x ) + f ( x )
 1 2

5


• Donc : ∀f ∈ E ∃ ( f1 , f 2 ) ∈ E1 × E2 / f = f1 + f 2

• D’où : E = E1 + E2

2) E1 ∩ E2 = {0E } :
 f 0 ( x ) = f 0 ( − x ) ∀x ∈ IR ( f 0 ∈ E1 )
• Si f 0 ∈ E1 ∩ E2 , alors : 
 f 0 ( x ) = − f 0 ( − x ) ∀x ∈ IR ( f 0 ∈ E2 )

• Donc : f 0 = OE , ( f0 ( x) = 0 ∀x ∈ IR )

• D’où : E1 ∩ E2 = {0E }

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III- Combinaison linéaire - système générateur

III-1 Combinaison linéaire

Définition :
Dans un espace vectoriel E , on appelle une combinaison linéaire de n vecteurs
u1 ,L, un , tout vecteur u de E qui peut s’écrire sous la forme :
n
u = α1u1 + L + α nun = ∑ α i ui , avec (α1 ,L, α n ) ∈ IR n
i =1

Théorème :
L’ensemble des combinaisons linéaires de n vecteurs d’un espace vectoriel E est un sous
espace vectoriel de E .

III-2 Système générateur

Définition :
Dans un espace vectoriel E , on dit qu’un système de n vecteurs {u1 , L , un } est un
système générateur de E (ou que les vecteurs u1 ,L, un sont des vecteurs générateurs
de E ) si tout vecteur u de E peut s’écrire comme une combinaison linéaire des
n
vecteurs u1 ,L, un : (∀u ∈ E ) (∃α1 ,L, α n ∈ IR ) / u = α1u1 + L + α n un = ∑α i ui
i =1

Le système {u1 , L , un } s’appelle aussi partie ou famille génératrice de E .
On dit aussi que le système {u1 , L , un } engendre E ou que E est engendré par le
système {u1 , L , un }.
On note E =< u1 , L , un > ou E = Vect {u1 ,L, un }

Remarque :

Le sous espace vectoriel des combinaisons linéaires des vecteurs u1 ,L, un est engendré par les
n 
vecteurs u1 ,L, un : En = ∑α i ui , α i ∈ IR, ui ∈ E  =< u1 ,L, un >
 i=1 

Exemple :

IR × {0} =< u1 , u2 > , avec u1 = (1,0) et u2 = ( −1,0) :
∀( x,0) ∈ IR × {0}, ∃α , β ∈ IR /( x,0) = α .(1,0) + β .( −1,0) = (α − β ,0)
il suffit de prendre par exemple α = x et β = 0

7


IV- Système libre - système lié
Définition :
n vecteurs u1 ,L, un d’un espace vectoriel E sont linéairement indépendants (le
système {u1 , L , un } est un système libre) si : α1u1 + L + α n un = 0 E ⇒ α1 = L = α n = 0
n vecteurs u1 ,L, un d’un espace vectoriel E sont linéairement dépendants (ole système
{u1 ,L , un } est un système lié) s’ils ne sont pas linéairement indépendants :
∃ (α1 ,L, α n ) ≠ (0,L,0) / α1u1 + L + α n un = 0 E

Exemples :
Les vecteurs u1 = (1,0,1) , u2 = ( −1,1,1) et u3 = ( 0,1,0) de IR3 sont linéairement indépendants.
Les vecteurs u1 = (1,0,1) , u2 = ( −1,1,1) et u3 = ( 0,1,2) de IR3 sont linéairement dépendants.

Théorème :
Un système de vecteurs est lié ssi un des vecteurs du système est combinaison linéaire
des autres vecteurs du système.
Si un des vecteurs d’un système est combinaison linéaire des autres vecteurs du système
alors tout vecteur de ce système est combinaison linéaire des autres vecteurs du
système.

Propriétés :
1) Le vecteur 0 E n’appartient à aucun système libre de E .
2) ∀u ∈ E / u ≠ 0 E , le système {u} est libre.
3) Tout système de vecteurs extrait d’un système libre est libre.
4) Tout système de vecteurs contenant un système lié est lié.

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V- Ordre et rang d’un système de vecteurs
Définition :
L’ordre d’un système est le nombre de vecteurs du système.
Le rang d’un système est égal au plus grand nombre de vecteurs linéairement
indépendants que l’on peut extraire de ce système.

Exemples : S1 = {( 2,1), (1,1), (0,−1)}
L’ordre de S1 est égal à 3 .
Le rang de S1 est égal à 2 car :
o Les vecteurs ( 2,1), (1,1) et (0,−1) sont linéairement dépendants (( 2,1) = 2.(1,1) + (0,−1)) , ce
qui implique que rang( S1 ) < 3 .
o Les vecteurs ( 2,1) et (1,1) sont linéairement indépendants, ce qui implique que rang( S1 ) = 2 .

Propriétés :
1) Un système de vecteurs est libre ssi son rang est égal à son ordre.
2) Dans un système lié de rang r , les vecteurs libres extraits en nombre r sont dits
vecteurs principaux, les autres sont dits non principaux et sont combinaison linéaire des
premiers.
3) Le rang d’un système de vecteurs est égal à la dimension de l’espace engendré par ces
vecteurs.

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VI- Base d’un espace vectoriel
Définition :
Une base d’un espace vectoriel E c’est tout système libre de vecteurs générateurs de E .

Exemples :
1) {(1,0), (0,1)} est une base de IR 2
2) {1,0), (0,1), (1,1)} n’est pas une base de IR2 .
3) {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} est une base de IR3 : on l'appelle la base canonique de IR3 .
4) En général, {(1,0,L0),L, (0,L,1,L,0),L, (0,L,0,1)} est la base canonique de IR n .

Théorème :
Un système de vecteurs {u1 , L , un } est une base de E ssi tout vecteur de E s’écrit de
manière unique comme combinaison linéaire des vecteurs u1 ,L, un :
n
(∀u ∈ E ) (∃!α1 ,L, α n ∈ IR ) / u = α1u1 + L + α n un = ∑α i ui
i =1

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VII- Espace vectoriel de dimension fini
Définition :
Un espace vectoriel réel est dit de dimension finie s’il admet une base constituée d’un
nombre fini n de vecteurs.
Ce nombre n s’appelle la dimension de l’espace. On note dim E = n .

Exemple :
IR n est un espace vectoriel réel de dimension n .

Propriétés :
Si E est un espace vectoriel réel de dimension n , alors :

1) Toutes les bases de E ont le même ordre égal à n .
2) L’ordre de tout système générateur de E est supérieur à n .
3) L’ordre de tout système libre de E est inférieur à n .
4) Si l’ordre d’un système libre ou générateur de E est égal à n , alors ce système est une base
de E .
5) Si F est un sous espace vectoriel de E , alors F est un espace vectoriel réel de dimension
fini m , avec m ≤ n . Si de plus m = n , alors F ≡ E .
6) Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels de E , alors :
• dim( E1 + E2 ) = dim E1 + dim E2 − dim( E1 ∩ E2 )
• dim(E1 ⊕ E2 ) = dim E1 + dim E2

Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini.
Si E1 et E2 sont deux sous espaces vectoriels supplémentaires de E , E = E1 ⊕ E2 , alors
dim E = dim E1 + dim E2 .
Si B1 = { 1 ,L, u p } et B2 = {v1 ,L, vq } sont deux bases respectives de E1 et E2 , alors
u
B = {u1 ,L, u p , v1 ,L, vq } est une base de E .

Théorème :
Soit E un espace vectoriel réel de dimension fini. Soient E1 et E2 deux sous espaces
vectoriels de E , de bases respectives B1 = { 1 ,L, u p } et B2 = {v1 ,L, vq }.
u
Si B = {u1 ,L, u p , v1 ,L, vq } est une base de E alors E = E1 ⊕ E2 .

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 2 : applications linéaires

CHAPITRE 2 : APPLICATIONS LINÉAIRES

I- Définitions et généralités ............................................................................................................... 13
I-1 Définitions ............................................................................................................................................ 13
I-2 Propriétés ............................................................................................................................................. 13
II- Opérations sur les applications linéaires ....................................................................................... 15
II-1 Addition .............................................................................................................................................. 15
II-2 Multiplication par un scalaire ............................................................................................................... 15
II-3 Composition de deux applications linéaires .......................................................................................... 15
III- Image et image réciproque par une application linéaire ............................................................... 16
IV- Noyau et image d’une application linéaire ................................................................................... 17
V- Applications linéaires injectives et surjectives ............................................................................... 18
VI- Rang d’une application linéaire ................................................................................................... 19

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I- Définitions et généralités

I-1 Définitions

Définition :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels. On dit qu’une application f de E vers
F est une application linéaire ssi :
i) ∀( x, y ) ∈ E 2 : f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )
ii) ∀(α , y ) ∈ IR × E : f (α . x ) = α . f ( x )
ssi ∀(α , β ) ∈ IR 2 , ∀( x, y ) ∈ E 2 : f (α . x + β . y ) = α . f ( x ) + β . f ( y )

Définition :
Soient E et F deux espaces vectoriels réels, et f une application linéaire de E vers F .
• On dit que f est un endomorphisme ssi E = F .
• On dit que f est un isomorphisme ssi f est bijective.
• On dit que f est un automorphisme ssi E = F et f est bijective.

Exemples :
1) L’application f définie de IR 2 vers IR par f (( x , y )) = x + y est une application linéaire.
2) L’application f définie de IR 2 vers IR 2 par f (( x , y )) = ( y , x ) est un automorphisme.

Définition : (égalité)
Deux applications linéaires f et g définies de E vers F sont égales, f ≡ g , ssi
∀x ∈ E : f ( x ) = g ( x )

I-2 Propriétés

I-2-1 Expression analytique d’une application linéaire

Théorème :
Soient ( E ,+ ,.) et ( F ,+,.) deux espaces vectoriels réels de dimensions finis. Toute
application linéaire de ( E ,+ ,.) vers ( F ,+,.) est complètement déterminée par la donnée

de l’image d’une base B = { 1 ,L, u p } de ( E ,+ ,.) : Si x = ∑ xi ui alors f ( x ) = ∑ xi f (ui ) .
p p
u
i =1 i =1

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Définition : (expression analytique)
p
L’écriture f ( x ) = ∑ ai xi , où ai xi f (ui ) , s’appelle l’expression analytique de f
i =1
relativement à la base B .

I-2-2 Autres propriétés

Soient E et F deux espaces vectoriels réels. Si f est une application linéaire de E vers F , alors :

1) f (0E ) = 0F : ∀x ∈ E , f (0 E ) = f ( x − x ) = f ( x ) − f ( x ) = 0 F
2) ∀x ∈ E , f ( − x ) = − f ( x ) : f ( − x ) = f (0 E − x ) = f (0 E ) − f ( x ) = 0 F − f ( x ) = − f ( x )
3) ∀(α1 ,L, α n ) ∈ IR n , ∀( x1 ,L , xn ) ∈ E n : f (α1. x1 + L + α n . xn ) = α1. f ( x1 ) + L + α n . f ( xn )

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II- Opérations sur les applications linéaires
Théorème :
L’ensemble L( E , F ) des applications linéaires définies de E vers F , muni de l’addition
et de la multiplication par un scalaire est un espace vectoriel réel.

II-1 Addition

Si f et g sont deux applications linéaires, définies de E vers F , alors l’application f + g ,
définie de E vers F par ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) , est une application linéaire.

II-2 Multiplication par un scalaire

Si f est une application linéaire définie de E vers F et α un réel, alors l’application (α . f )
définie de E vers F par (α . f )( x ) = α . f ( x ) est une application linéaire.

II-3 Composition de deux applications linéaires

Soient E , F et G trois espaces vectoriels réels.

• Si f est une application linéaire de E vers F et g une application linéaire de F vers G ,
alors l’application g o f est une application linéaire de E vers G .

15


III- Image et image réciproque par une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F .

Définition :
• Soit A un sous ensemble de E . On appelle l’image de A par f , et on note f ( A)
l’ensemble : f ( A) = { f ( x ) / x ∈ A} = {y ∈ F / ∃ x ∈ A : f ( x ) = y}
• Soit B un sous ensemble de F . On appelle l’image réciproque de B par f , et on
note f −1 ( B ) l’ensemble : f −1 ( B ) = {x ∈ E / f ( x ) ∈ B}

Théorème :
Si A est un sous espace vectoriel de E , alors f ( A) est un sous espace vectoriel de F .
Si B est un sous espace vectoriel de F , alors f −1 ( B ) est un sous espace vectoriel de E .

Théorème :
L’image d’un système générateur d’un sous espace vectoriel A de E est un système
générateur du sous espace vectoriel f ( A) de F .
L’image par f d’un système lié est un système lié.
Si l’image par f d’un système est libre alors ce système est libre.

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IV- Noyau et image d’une application linéaire
Soient E et F deux espaces vectoriels réels et f est une application linéaire de E vers F .

Définition :
• On appelle l’image de f , et on note Im( f ) , l’image de E par f :
Im( f ) = f ( E ) = { f ( x ) / x ∈ E} = {y ∈ F / ∃ x ∈ E : f ( x ) = y}
• On appelle le noyau de f et on note Ker ( f ) , l’image réciproque de {0F } par f :
Ker ( f ) = f −1 ({0 F }) = {x ∈ E / f ( x ) = 0 F }

Théorème :
Im( f ) est un sous espace vectoriel de F .
Ker ( f ) est un sous espace vectoriel de E .

Théorème :
Im( f ) est le sous espace vectoriel de F engendré par l’image d’une base quelconque de E

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V- Applications linéaires injectives et surjectives
E un espace vectoriel réel de dimension n et F un espace vectoriel réel de dimension p .
f une application linéaire de E vers F .

Théorème :
f est injective ssi Ker( f ) = {0E }
f est surjective ssi Im( f ) = F
f est bijective, dim E = dim F ssi f est injective ssi f est surjective

Corollaire :
Si l’application linéaire f est injective alors dim E ≤ dim F .
Si l’application linéaire f est surjective alors dim E ≥ dim F .
Si l’application linéaire f est bijective alors dim E = dim F .

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VI- Rang d’une application linéaire
Définition :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini et soit f une application
linéaire de E vers F .
On appelle le rang de l’application linéaire f , et on note rg ( f ) , la dimension de
l’image de f : rg ( f ) = dim Im( f )

Théorème :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini.
Si f est une application linéaire de E vers F , alors :
dim E = dim Ker ( f ) + dim Im( f ) = dim Ker ( f ) + rg ( f ) .

Théorème :
Soit E et F deux espaces vectoriels réels de dimension fini. Si f est une application
linéaire de E vers F , alors :
f est injective ssi rg ( f ) = dim E
f est surjective ssi rg ( f ) = dim F
f est bijective ssi rg ( f ) = dim E = dim F

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[S3, Module M10, Matière : Mathématiques II] Chapitre 3 : matrices

CHAPITRE 3 : MATRICES

I- Généralités .................................................................................................................................... 21
I-1 Définition ............................................................................................................................................. 21
I-2 Matrices particulières ........................................................................................................................... 22
II- Matrices carrées ........................................................................................................................... 23
II-1 Diagonale d’une matrice carrée ............................................................................................................ 23
II-2 Matrice diagonale ................................................................................................................................ 23
II-3 Matrice triangulaire ............................................................................................................................. 24
II-4 Matrice symétrique.............................................................................................................................. 25
II-5 Matrice antisymétrique........................................................................................................................ 25
III- Opérations sur les matrices .......................................................................................................... 26
III-1 Egalité ................................................................................................................................................ 26
III-2 Addition ............................................................................................................................................. 26
III-3 Multiplication par un scalaire .............................................................................................................. 26
III-4 Produit de deux matrices .................................................................................................................... 27
III-5 Puissance d’une matrice...................................................................................................................... 29
III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices................................................................................................. 31
IV- Matrice inversible........................................................................................................................ 32
V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan ................................................................................. 33
V-1 Principe de la méthode ........................................................................................................................ 33
V-2 Exemples ............................................................................................................................................. 33
VI- Matrice associée à un système de vecteurs .................................................................................. 36
VII- Matrice d’une application linéaire .............................................................................................. 37
VIII- Changement de base ................................................................................................................. 39
VIII-1 Matrice de passage ........................................................................................................................... 39
VIII-2 Coordonnés d’un vecteur .................................................................................................................. 40
VIII-3 Application linéaire........................................................................................................................... 41

20


I- Généralités

I-1 Définition

Définition :
• On appelle une matrice A , de type ( n, p ) ( n, p ∈ IN * ) à coefficients réels, un tableau
de n lignes et p colonnes constituées de nombres réels, dits coefficients de la
matrice A . On note par :
a11 L a1 j L a1 p 
 
M M M M M 
A = ai1 L aij L aip  ← ligne i
 
M M M M M 
a L anj L anp 
 n1 
↑
colonne j
• On appelle le coefficient aij ,1≤i≤n ,1≤ j ≤ p de la matrice A , l’élément d’intersection de la
ligne i et la colonne j .
• On note aussi la matrice A par :
i désigne l' indice de la ligne
A = ( aij ),1≤i≤n ,≤ j ≤ p ,

 j désigne l' indice de la colonne
• On note M ( n, p ) l’ensemble des matrices de type ( n, p ) .

Exemples :
1 4 
1 2 3   
♦ A=
 4 5 6  ∈ M ( 2,3)
 B =  2 5  ∈ M (3,2)
  3 6
 
1
♦ C =   ∈ M (2,1)
 2 D = (1 2 ) ∈ M (1,2) E = (1) ∈ M (1,1)
 

21


I-2 Matrices particulières

I-2-1 Matrice ligne
C’est toute matrice A de type (1, p ) , ( A ∈ M (1, p ))

I-2-2 Matrice colonne
C’est toute matrice A de type (n,1) , ( A ∈ M ( n,1))

I-2-3 Matrice nulle
C’est la matrice de M ( n, p ) dont tous les coefficients aij son nuls. On note 0n, p .

I-2-4 Matrice unité ou identité
aii = 1
C’est la matrice de M ( n, n ) dont les coefficients aij vérifient  . On note I n .
aij = 0 si i ≠ j
I-2-5 Matrice opposée
La matrice opposée d’une matrice A de M ( n, p ) c’est la matrice B de M ( n, p ) dont les
coefficients sont les opposés de ceux de la matrice A .
1≤ i ≤ n
On note B = ( − A) : bij = − aij , , B = ( − A) ssi A = (− B )
1≤ j ≤ p

I-2-6 Matrice transposée
La matrice transposée d’une matrice A de M ( n, p ) c’est la matrice B de M ( p, n ) dont les
lignes sont les colonnes de la matrice A et les colonnes sont les lignes de la matrice A .
1≤ j ≤ n
On note B=t A : bij = a ji , , B=t A ssi A=t B
1≤ i ≤ p

Exemples
♦ D et E sont des matrices lignes
♦ C et E sont des matrices colonnes
1
 
♦ A = (1 2 3) ∈ M (1,3) : (− A) = (− 1 − 2 − 3) ∈ M (1,3) t
A =  2  ∈ M (3,1)
 3
 
1 2  −1 − 2 1 3
♦ A=
 3 4  ∈ M ( 2,2) :
 ( − A) = 
 − 3 − 4  ∈ M (2,2)
 A=
2
t
 ∈ M ( 2,2)
     4
1 2
1 3 5   − 1 − 3 − 5  
♦ A=
 2 4 6  ∈ M ( 2,3) : ( − A) =  − 2 − 4 − 6  ∈ M ( 2,3) A =  3
  
t
4  ∈ M (3,2)
    5 6
 

22


II- Matrices carrées
Définition :
• On appelle matrice carrée d’ordre n toute matrice de type (n, n ) .
• On note M (n ) l’ensemble des matrices de type ( n , n ) .

II-1 Diagonale d’une matrice carrée

Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n . Les coefficients
( aii )1 ≤ i ≤ n sont dits éléments ou coefficients diagonaux de la matrice A et constitue la
diagonale principale de la matrice A .

Exemple :
1 2
♦ A=
 3 4  . Les éléments diagonaux de la matrice A sont a11 = 1 et a22 = 4 .

 

II-2 Matrice diagonale

Définition :
Soit A une matrice carrée d’ordre n : A = ( aij )1 ≤ i, j ≤ n .
On dit que la matrice A est une matrice diagonale si tous les éléments non diagonaux
de la matrice sont nuls : ( aij = 0 si i ≠ j )

Exemples :

1 0
♦ A=
 0 2

 
a 0 L 0
 
0 O O M 
♦ Matrice scalaire A= , ( a ∈ IR )
M O O 0

0 L 0 a
 
 1 0 L 0
 
0 O O M 
♦ Matrice unité ou matrice identité (matrice scalaire avec a = 1 ) : I n = 
M O O 0

 0 L 0 1

 

23


II-3 Matrice triangulaire

Définition :
• On dit que A est une matrice triangulaire inférieure si tous ses éléments au dessus de
la diagonale principale sont nuls ( aij = 0 si i < j ) :

 a11 0 L 0 
 
 a 21 O O M 
A= , (( aij )1≤i , j≤n ∈ IR )
M O O 0 
 
a L an ( n −1) ann 
 n1 

• On dit que A est une matrice triangulaire supérieure si tous ses éléments au dessous
de la diagonale principale sont nuls ( aij = 0 si i > j ) :
 a11 a12 L a1n 
 
0 O O M 
A= , (( aij )1≤i , j≤n ∈ IR )
M O O a( n−1) n 

0 
 L 0 a nn  

Exemples :
 0 0 0
  1 0
♦  0 − 1 0  et 
3  sont des matrices triangulaires inférieures.
 1 0 2  2

 
0 1 2
  1 3
♦  0 − 1 3 et 0  sont des matrices triangulaires supérieures.
0 0 2  2

 

Remarque :
♦ Si une matrice A est triangulaire supérieure alors sa matrice transposée t A est
triangulaire inférieure et inversement.

24


II-4 Matrice symétrique

Définition :
• On dit que la matrice A est une matrice symétrique si elle est égale à sa matrice
transposée : A=tA ( a ji = aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n )

Exemples :
 1 2 4 − 2
  0 1 2
 2 −3 5 3    1 3
♦ A= A =  1 − 1 3 A=
 3 2

4 5 −1 2 2  

− 2   3 2

 3 2 1


II-5 Matrice antisymétrique

Définition :
• On dit que la matrice A est une matrice antisymétrique si sa matrice transposée est
égale à sa matrice opposée : t
A = ( − A) ( a ji = −aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n )

Exemples :

 0 −2 4 2
   0 −1 2
 2 0 −5 3    0 − 3
♦ A= A =  1 0 − 3 A=
3 0  
−4 5 0 − 2 − 2  

− 2 − 3   3 0

 2 0


Remarque :
♦ Tous les éléments diagonaux d’une matrice antisymétrique sont nuls :
( a ji = −aij ∀ 1 ≤ i, j ≤ n ) ⇒ ( aii = 0 ∀ 1 ≤ i ≤ n )

25


III- Opérations sur les matrices

III-1 Egalité

Définition :
Deux matrices A et B de M ( n, p ) sont égales si elles ont les mêmes coefficients :
• A ≡ B ssi aij = bij , ∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p , avec A = ( aij ) et B = (bij )

Propriété :
♦ t A≡ t B ssi A≡ B

III-2 Addition

Définition :
• Soient A et B deux matrices de M ( n, p ) . La matrice C de M ( n, p ) définie par :
cij = aij + bij (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice somme des matrices A et
B.
• On note C = A + B .

Propriétés :
♦ ∀A, B, C ∈ M ( n, p ) : ( A + B) + C = A + (B + C )
♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) : A + B = B + A
♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) : t ( A + B ) = t A+ t B

Exemple :
 1 2 3  3 2 1  1 + 3 2 + 2 3 + 1  4 4 4 
A=
 4 5 6  et B =  − 1 − 2 − 3 ⇒ A + B =  4 − 1 5 − 2 6 − 3 =  3 3 3
      
       

III-3 Multiplication par un scalaire

Définition :
• Soient A une matrice de M ( n, p ) et α un réel (α ∈ IR ) . La matrice C de M ( n, p )
définie par : cij = αaij (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice produit externe de
la matrice A par le scalaire α .
• On note C = α . A .

26


Propriétés :
♦ ∀A ∈ M ( n, p ) , ∀α , β ∈ IR : (α + β ). A = α . A + β . A
♦ ∀A, B ∈ M ( n, p ) , ∀α ∈ IR : α .( A + B ) = α . A + α . B

Exemples :
♦ A ∈ M ( n, p ) et α = 1 ⇒ 1. A = A
♦ A ∈ M ( n, p ) et α = 0 ⇒ 0. A = 0n , p
 1 2 − 1
♦ A= 2 1 − 2  et α = −3 :

 
 ( −3) × 1 ( −3) × 2 ( −3) × ( −1)   − 3 − 6 3
( −3). A = 
 =
  

 ( −3) × 2 ( −3) × 1 ( −3) × ( −2)   − 6 − 3 6 

III-4 Produit de deux matrices

III-4-1 Définition et propriétés

Définition :
• Soient A une matrice de M ( n, m ) et B une matrice de M ( m, p ) . La matrice C de
m
M ( n, p ) définie par : cij = ∑ aik bkj (∀1 ≤ i ≤ n, ∀1 ≤ j ≤ p ) s’appelle la matrice
k =1

produit de la matrice A par la matrice B .
• On note C = A × B .
• On ne peut effectuer la multiplication de deux matrices A et B que si le nombre des
colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B (ici m ).

Propriétés :
♦ ∀A ∈ M ( n, m ) , B ∈ M ( m, p ) , C ∈ M ( p, q ) : ( A × B ) × C = A × ( B × C ) ∈ M ( n, q )
♦ ∀A ∈ M ( n, m ) , ∀B , C ∈ M ( m, p ) : A × ( B + C ) = ( A × B ) + ( A × C ) ∈ M (n, p )
♦ ∀A ∈ M ( n, m ) et ∀B ∈ M ( m, p ) : t
( A × B ) = t B×t A ∈ M ( p, n )

27


III-4-2 Produit d’une matrice ligne par une matrice colonne :
 b1 j 
 
M 
Soient A = ( ai1 ,L, aik ,L, aim ) une matrice ligne ( A ∈ M (1, m )) et B =  bkj  une matrice
 
M 
b 
 mj 
colonne ( B ∈ M ( m,1)) . La matrice C = A × B est alors égale au scalaire défini par :

C = ai1b1 j + L + aik bkj + L + aim bmj , ( A ∈ M (1,1))

 − 2
 
 0
Exemple : A = (1,2,−1,0,−2) et B =  2  :
 
 1
 − 1
 
A × B = 1 × ( −2) + 2 × 0 + ( −1) × 2 + 0 × 1 + ( −2) × ( −1) = −2

III-4-3 Calcul pratique du produit matriciel :

Soient A une matrice de M ( n, m ) et B une matrice de M ( m, p ) :
a11 L a1k L a1m  b11 L b1 j L b1 p 
M  
M M M M  M M M M M 
 
A =  a i1 L aik L aim  ← ligne Li , B = bk 1 L bkj L bkp 
   
M M M M M  M M M M M 
 a n1 L ank L a nm  b L bmj L bmp 
   m1 
↑
colonne C j
Pour obtenir le coefficient Pij de la matrice produit P = A × B ,on fait le produit de la ligne Li
de la matrice A ( Li : matrice ligne) par la colonne C j de la matrice B ( C j : matrice colonne) :
 L1C1 L L1C j L L1C p 
 
M M M M M 
P =  LiC1 L Li C j L LiC p  , P ∈ M ( n, p )
 
M M M M M 
L C L LnC j L LnC p 
 n 1 

28


Exemples :
 1 0
 1 2 − 1  
♦ A=
 2 1 − 2
 et B =  0 − 1 :
   1 0
 

A ∈ M ( 2,3) et B ∈ M (3,2) ⇒ ( A × B ) ∈ M ( 2,2) et ( B × A) ∈ M (3,3)

 L ×C L1 × C2   0 − 2 
A× B =  1 1
 L ×C = 
 2 1 L2 × C2   0 − 1
  

 L1 × C1 L1 × C2 L1 × C3   1 2 − 1
   
B × A =  L2 × C1 L2 × C2 L2 × C3  =  − 2 − 1 2 
 L ×C L2 × C3 L3 × C3   1 2 − 1
 3 1   

 1 0 0 1
 1 2 − 1  
♦ A=
 2 1 − 2
 et B= 0 1 1 0
   − 1 0 − 1 0
 

A ∈ M ( 2,3) et B ∈ M (3,4) ⇒ ( A × B ) ∈ M ( 2,4)

 L × C1 L1 × C2 L1 × C3 L1 × C4   2 2 3 1
A× B =  1 = 
L ×C
 2 1 L2 × C2 L2 × C3 L2 × C4   4 1 3 2 
  

On ne peut pas effectuer la multiplication B × A .

III-5 Puissance d’une matrice

Définition :
• Soit A une matrice carrée d’ordre n ( A ∈ M ( n )) . On définit les puissances de la
matrice A par : A p = 1 L4A (∀p ∈ IN * ), ∀A ∈ M ( n ) ,
A4 ×
×2 3 avec A0 = I n
p fois

29


Théorème :
Soient A et B deux matrices carrées d’ordre n ( A, B ∈ M ( n )) .

Si les matrices A et B commutent ( A × B = B × A) , alors :
p p
( A + B ) p = ∑C p Ak .B p − k = ∑ C p A p − k .B k
k k

k =0 k =0

Cette formule s’appelle la formule de Newton.

 2 0  1 0
Exemple : A=
 1 2
 et B=
 − 1 1

   

♦ Les matrices A et B commutent :

 2 0  2 0
A× B = 
 −1 2
 et B× A = 
 −1 2

   

♦ Le calcul direct de ( A + B ) 2 :

 3 0  9 0
A+ B = 
 0 3
 et ( A + B ) 2 = ( A + B ) × ( A + B ) ⇒ ( A + B) 2 = 
 0 9

   

♦ La formule de Newton pour le calcul de ( A + B ) 2 :

( A + B ) 2 = A2 + 2. A × B + B 2

 4 0 2  1 0  2 0
A2 = A × A =  , B = B× B = 
 4 4  et A × B = 
 − 2 1  −1 2

     

 9 0
⇒ ( A + B) 2 = 
 0 9

 

30


III-6 Propriétés de l’ensemble des matrices

♦ M (n ) est un espace vectoriel réel de dimension n 2 :

La matrice nulle est l’élément neutre pour la loi " + ".

Le symétrique de la matrice A pour la loi " + " est égal à sa matrice opposée.

B = {Eij , 1 ≤ i, j ≤ n } est une base de M (n ) ,
0 L 0 L 0
M M M M M
1 si ( m, n ) = (i, j )  
( Eij ) mn =  : Eij = 0 L 1 L 0 ← ligne i
0 sinon  
M M M M M
0
 L 0 L 0

↑
colonne j
La base B s’appelle la base canonique de M (n ) .

♦ La matrice identité est l’élément neutre pour la loi " × ".
1 0   0 1  0 1 1 0 
♦ En général A × B ≠ B × A : 1 0  ×  0 1 ≠  0 1 × 1 0 
       
       
 1 0  0 0  0 0
♦ En général A × B = 0n ⇒ A = 0n ou B = 0n :
/  0 0 ×  0 1 =  0 0
     
     

31


IV- Matrice inversible
Définition :
• Une matrice carrée A d’ordre n ( A ∈ M ( n )) est dite inversible s’il existe une matrice
carrée B d’ordre n ( B ∈ M ( n )) telle que : A × B = B × A = In
• On note B = A−1
• La matrice B = A−1 s’appelle la matrice inverse de la matrice A .

Exemples :
1 2   3 − 2  1 0
♦ A= ,
1 3  B=  −1  : A× B = B × A = 
 0 1 = I 2
   1
 


−1
La matrice A est alors inversible et A = B .

 0 1  a b c d  0 a
♦ A= ,
 0 0 ∀B = c d : A× B =   ≠ I2 & B × A = 
0 0   0 c  ≠ I2

       
La matrice A est alors non inversible.

Théorème :
Si deux matrices A et B de M ( n ) sont inversibles alors la matrice A × B est
inversible et ( A × B ) −1 = B −1 × A−1 .
En particulier si une matrice A de M (n ) est inversible alors la matrice ( A) p , p ∈ IN *
est inversible et ( A p ) −1 = ( A−1 ) p .

32


V- Matrice inverse : Méthode de Gauss-Jordan

V-1 Principe de la méthode

La majorité des méthodes de calcul de l’inverse d’une matrice font appel à la notion de
déterminant qu’on étudiera au chapitre suivant.
Dans ce paragraphe, on exposera une méthode ne faisant pas appel à cette notion. Cette
méthode, dite méthode de Gauss-Jordan, consiste à transformer la matrice A en I n et par la même
occasion la matrice I n en A−1 en utilisant des opérations élémentaires sur les lignes de la matrice, type
addition à chaque ligne d’une combinaison linéaire des autres lignes, multiplication d’une ligne par un
scalaire ou permutation des lignes.
Si au bout d’un certain nombre de transformations, on voit apparaître à la place de la matrice A ,
une matrice avec une ligne identiquement nulle, il devient alors impossible de faire apparaître les
coefficients de la matrice I n dans la matrice A . On en conclut que la matrice A est non inversible.

V-2 Exemples

 2 3 − 1
 
V-2-1 Matrice inversible : A =  −1 − 2 1
 2 4 − 1
 

Exposé de la méthode :

♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice I 3 dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice I 3
pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice I 3 à gauche et les
coefficients de la matrice A−1 apparaîtront ainsi à droite:

♦ On écrit A à gauche et I 3 à droite :
 2 3 − 1 1 0 0 
  
−1 − 2 1 0 1 0 
 2 4 − 1 0 0 1
  

♦ On multiplie la 1ère ligne par (1 / 2 ) : L1 → (1 / 2).L1 :
 1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0 
  
−1 − 2 1  0 1 0 
 2 4 − 1  0 0 1 
  

33


♦ On ajoute à la 2ème ligne la 1ère ligne : L2 → L2 + L1

♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (−2) : L3 → L3 − 2L1
 1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0 
  
 0 − 1/ 2 1 / 2  1 / 2 1 0 
 0  − 1 0 1
0 1  

♦ On échange la 2ème ligne et la 3ème ligne : L2 ↔ L3
 1 3 / 2 − 1 / 2  1 / 2 0 0 
  
0 1 0  − 1 0 1
 1 / 2  1 / 2 1 0 
 0 − 1/ 2  

♦ On ajoute à la 1ère ligne la 2ème ligne multipliée par (−3 / 2) : L1 → L1 − (3 / 2) L2

♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par (1 / 2) : L3 → L3 + (1 / 2) L2
 1 0 − 1 / 2  2 0 − 3 / 2 
  
0 1 0  − 1 0 1
 1 / 2  0 1 1/ 2 
0 0  

♦ On ajoute à la 1ère ligne la 3ème ligne : L1 → L1 + L3
1 0 0  2 1 − 1
  
0 1 0  − 1 0 1
 0 0 1 / 2  0 1 1 / 2 
  

♦ On multiplie la 3ème ligne par ( 2) : L3 → 2.L3
 1 0 0  2 1 − 1
  
 0 1 0  − 1 0 1
 0 0 1 0 2 1
  

♦ On voit ainsi apparaître à la place de la matrice A la matrice identité I 3 . La matrice qui
apparaît simultanément à la place de la matrice identité I 3 n’est autre que la matrice A−1 .

 2 3 − 1 2 1 − 1  2 1 − 1 2 3 − 1  1 0 0 
       
♦ En effet :  − 1 − 2 1 − 1 0 1 =  − 1 0 1 − 1 − 2 1 =  0 1 0 
 2 4 − 1 0 2
 1  0 2 1 2 4 − 1  0 0 1
       

34


1 0 1
 
V-2-2 Matrice non inversible : A =  0 1 0
1 1 1
 

Exposé de la méthode :

♦ On écrit la matrice A dans la colonne gauche et la matrice I 3 dans la colonne droite, et on
effectue les transformations adéquates sur les lignes de la matrice A et de la matrice I 3
pour faire apparaître au fur et à mesure les coefficients de la matrice I 3 à gauche et les
coefficients de la matrice A−1 apparaîtront ainsi à droite:

♦ On écrit A à gauche et I 3 à droite :
 1 0 1 1 0 0 
  
 0 1 0  0 1 0 
 1 1 1 0 0 1
  

♦ On ajoute à la 3ème ligne la 1ère ligne multipliée par (−1) : L3 → L3 − L1
 1 0 1 1 0 0 
  
 0 1 0  0 1 0 
 0 1 0  − 1 0 1
  

♦ On ajoute à la 3ème ligne la 2ème ligne multipliée par ( −1) : L3 → L3 − L2
 1 0 1 1 0 0 
  
 0 1 0  0 1 0
 0 0 0  − 1 − 1 1
  

♦ On voit apparaître à la place de la matrice A , une matrice avec une ligne identiquement
nulle ( L3 ), la matrice A est alors non inversible.

35


VI- Matrice associée à un système de vecteurs
Définition :
Soit ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base B = {e1 , L , en }.
Soit un système de p vecteurs de E , S = { 1 , L, u p }.
u

• On appelle la matrice du système S = { 1 , L, u p }, relativement à la base B = {e1 , L , en }
u
, la matrice suivante :

a11 L a1 j L a1 p  ← e1
 
M M M M M 
A =  ai 1 L aij L aip  ← ei
 
M M M M M 
a L anj L anp  ← en
 n1 
↑ ↑ ↑
u1 uj up
où la colonne j de la matrice A est formée des coordonnées du vecteur u j du système

S = { 1 , L, u p } dans la base B = {e1 , L , en }: u j = ∑ aij ei , j = 1, p
n
u
i =1

• On note A = M ( S / B ) : ( A ∈ M ( n, p ))

Remarque :
♦ La matrice A dépend de la base B choisie.

Exemple :
♦ E = IR3
♦ B = {e1 , e2 , e3 } la base canonique de IR3 : e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) et e3 = (0,0,1) .
♦ S = {u1 , u2 , u3 } : u1 = (2,0,−2) , u2 = (1,−2,1) et u3 = (0,−2,3) :

u1 = ( 2,0,−2) = 2.(1,0,0) + 0.(0,1,0) + ( −2).(0,0,1)  2 1 0 ← e1

  
u2 = (1,−2,1) = 1.(1,0,0) + ( −2).(0,1,0) + 1.(0,0,1) ⇒ A =  0 − 2 − 2 ← e2
 − 2
u3 = (0,−2,3) = 0.(1,0,0) + ( −2).(0,1,0) + 3.(0,0,1)  1 3 ← e3


↑ ↑ ↑
u1 u2 u3

36


VII- Matrice d’une application linéaire
Définition :
Soient ( E ,+ ,.) un espace vectoriel réel de dimension p , muni d’une base
B = { 1 ,L, u p } et ( F ,+,.) un espace vectoriel réel de dimension n , muni d’une base
u
B ' = {v1 ,L, vn }. Soit f une application linéaire de ( E ,+,.) vers ( F ,+,.) .

• La matrice de f relativement aux bases B et B ' , notée par M ( f / B, B ' ) c’est la
matrice du système S = {f (u1 ),L, f (u p )}, relativement à la base B' = {v1 , L , vn }.

Remarques :

♦ Si B = { 1 ,L, u p } et B ' = {v1 ,L, vn } alors :
u

a11 L a1 j L a1 p  ← v1
 
M M M M M 
M ( f / B , B ' ) =  a i1 L aij L aip  ← vi
 
M M M M M  , ( M ( f / B, B ' ) ∈ M ( n, p ))
a L anj L anp  ← vn
 n1 
↑ ↑ ↑
f (u1 ) f (u j ) f (u p )

♦ La colonne j de la matrice M ( f / B, B ' ) représente les coordonnées du vecteur
 f (u1 ) = a11v1 + L + ai1vi + L + an1vn

M
 f (u ) = a v + L + a v + L + a v
f (u j ) dans la base B ' :  j 1j 1 ij i nj n

M

 f (u p ) = a1 p v1 + L + aip vi + L + anp vn


♦ La matrice M ( f / B, B ' ) dépend des bases choisies B et B ' .

Exemple : E = IR 2 , F = IR3 : f ( x, y ) = ( x − y , x + y , y − x )

♦ B = {u1 ,u2 } la base canonique de IR 2 : u1 = (1,0) et u2 = (0,1) .
♦ B ' = {v1 , v2 , v3 } la base canonique de IR3 : v1 = (1,0,0) , v2 = (0,1,0) et v3 = ( 0,0,1) .

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