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球面フィッティングの導出と実装
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1.
球面フィッテイングの 導出と実装 ロケット小僧 2018/2/20
2.
はじめに • 適当にやったから,合ってるかは保証できないです.
3.
やりたいこと • 球面に沿っているはずの3次元データから、中心と半径を求めたい 中心:(X0,Y0,Z0) 半径:r ロケットを飛ばして測定した 3次元地磁気データ(61800個)
4.
最小二乗法 1. データ列がどんな関数に一致するかは知っている • 例:𝑦
= 𝑎𝑥 + 𝑏 2. 残差の二乗和でコスト関数を設定する. • 例:i番目のデータを(Xi,Yi)とするとき • Σ 𝑎𝑋𝑖 + 𝑏 − 𝑌𝑖 2とか y = 1.9524x + 0.2508 R² = 0.9912 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=2x+1 + (-1から1までランダム)
5.
最小二乗法 3. コスト関数が最小になるように係数を決定する. • 例なら,aやbで偏微分して0になるときの値 • 𝜕Σ
𝑎𝑋 𝑖+𝑏 −𝑌 𝑖 2 𝜕𝑎 = 0 のときのaの値 • 𝜕Σ 𝑎𝑋 𝑖+𝑏 −𝑌 𝑖 2 𝜕𝑏 = 0 のときのbの値 y = 1.9524x + 0.2508 R² = 0.9912 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 y=2x+1 + (-1から1までランダム)
6.
球面の関数 • 中心を(X0,Y0,Z0)とする半径rの球面の式 𝑥 −
𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 = 𝑟2 • 右辺を左辺に移項 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 = 0
7.
𝑥 − 𝑋0 2 +
𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 の意味 • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 = 0のとき 点(x,y,z)が球面上 • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 > 0のとき 点(x,y,z)が中心より離れすぎている. • 𝑥 − 𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2 < 0のとき 点(x,y,z)が中心に近すぎている.
8.
コスト関数 • 𝑥 −
𝑋0 2 + 𝑦 − 𝑌0 2 + 𝑧 − 𝑍0 2 − 𝑟2は正負の値を持つので, コスト関数には不適 • 二乗して和をとってコスト関数とする. • コスト関数 Σ{ 𝑥𝑖 − 𝑋0 2 + 𝑦𝑖 − 𝑌0 2 + 𝑧𝑖 − 𝑍0 2 − 𝑟2 } 2
9.
コスト関数の書き換え • コスト関数 Σ{ 𝑥𝑖
− 𝑋0 2 + 𝑦𝑖 − 𝑌0 2 + 𝑧𝑖 − 𝑍0 2 − 𝑟2 } 2 X0,Y0,Z0,rに関して4次関数 →偏微分して0でも最小とは限らない.
10.
コスト関数の書き換え • 書き換える 𝐹 𝐴,
𝐵, 𝐶, 𝐷 = Σ(𝑥𝑖 2 +𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷)2 𝐴 = −2𝑋0 𝐵 = −2𝑌0 𝐶 = −2𝑍0 𝐷 = 𝑋0 2 + 𝑌0 2 + 𝑍0 2 − 𝑟2
11.
コスト関数が最小な条件を求める 𝜕𝐹 𝜕𝐴 = Σ2𝑥𝑖 𝑥𝑖 2 +
𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝐵 = Σ2𝑦𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝐶 = Σ2𝑧𝑖 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0 𝜕𝐹 𝜕𝐷 = Σ2 𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 + 𝐴𝑥𝑖 + 𝐵𝑦𝑖 + 𝐶𝑧𝑖 + 𝐷 = 0
12.
行列にする Σ𝑥𝑖 2 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖
𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑦𝑖 2 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑧𝑖 2 Σ𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑧𝑖 Σ1 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = −Σ𝑥𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑦𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑧𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ (𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 )
13.
行列にする 𝐴 𝐵 𝐶 𝐷 = Σ𝑥𝑖 2 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖
𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑦𝑖 Σ𝑦𝑖 2 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑥𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑦𝑖 𝑧𝑖 Σ𝑧𝑖 2 Σ𝑧𝑖 Σ𝑥𝑖 Σ𝑦𝑖 Σ𝑧𝑖 Σ1 −1 −Σ𝑥𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑦𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ𝑧𝑖(𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) −Σ (𝑥𝑖 2 + 𝑦𝑖 2 + 𝑧𝑖 2 ) A,B,C,DからX0,Y0,Z0,rが求められる.
14.
実装してみた • Python +
NumPy + matplot • SS_fit(data)に球面っぽいデータを与えると,中心と半径のベクトルを 返してくれる. • ソースコード https://github.com/J-ROCKET-BOY/SS-Fitting
15.
実行結果 中心 X0 = 57.3 Y0
= -10.4 Z0 = 39.2 半径 r = 40.7
16.
中心が原点になるように平行移動 原点(0,0,0)が中心っぽくなったし, たぶん合ってるんじゃないかな(適当
17.
参考文献 「一般式による最小二乗法(円の最小二乗法)」-画像処理ソリューション http://imagingsolution.blog107.fc2.com/blog-entry-16.html 「月読アイの理系なお話『最小二乗法』」-ニコニコ動画 http://www.nicovideo.jp/watch/sm30270214
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