Métodos Quant. Aplic. a Gestão

Métodos Quantitativos
Aplicados à Gestão

Autor

Eduardo Araújo

2.ª edição
2009

© 2006-2008 – IESDE Brasil S.A. É proibida a reprodução, mesmo parcial, por qualquer processo, sem autorização por escrito dos autores e do detentor
dos direitos autorais.

A663M Araújo, Eduardo. / Métodos Quantitativos Aplicados à Gestão.
/ Eduardo Araújo. 2 ed. — Curitiba : IESDE Brasil S.A. ,
2009.
188 p.

ISBN: 978-85-7638-956-9

1. Matemática Financeira. 2. Matemática. 3. Estatística.
I. Título.

CDD 650.01513

Todos os direitos reservados.
IESDE Brasil S.A.
Al. Dr. Carlos de Carvalho, 1.482 • Batel
80730-200 • Curitiba • PR
www.iesde.com.br

Em nosso cotidiano, estamos cercados de situações que nos exigem pro-
ximidade com o universo matemático e quantitativo. Expressões como
juros, taxas percentuais, indicadores, déficit, entre outras são componen-
tes de comunicação apresentadas nas ruas, no rádio, na TV e nos jornais
a todo momento.

Os negócios, cuja importância é indiscutível em tempos de globalização,
encontram-se diretamente vinculados à evidência de decisões quantita-
tivas. Os gráficos instrumentalizados e as análises numéricas realizadas
pelos gestores mediante o levantamento de dados, proporcionam um
conhecimento mais profundo e detalhado de sua realidade, minimizan-
do o erro na tomada de decisão.

O papel dos métodos quantitativos nas empresas está intimamente li-
gado aos processos decisórios estratégicos das mais diferentes áreas da
administração, desde os recursos humanos, passando pelas finanças,
marketing, produção e logística. O uso deste conhecimento é uma ferra-
menta fundamental a ser incorporada à experiência, inteligência e intui-
ção no diagnóstico, avaliação e tomada de decisão.

Os métodos explicados aqui – alguns advindos da economia, finanças e
de outras áreas – compõem o objeto de estudo deste livro, cuja principal
função é a de ser um guia para a compreensão do correto funcionamen-
to de tais métodos e a melhor forma de aplicá-los às possíveis situações
de sua rotina.

Boa leitura!

Resumo
Existem fundamentos de Matemática que são imprescindíveis nas diversas formações profissio-
nais. Médicos, arquitetos, engenheiros, administradores, gestores e tantos outros profissionais utilizam
a Matemática para resolver, diariamente, problemas pessoais e profissionais. Esta aula tratará, dessa
forma, dos principais conceitos de Matemática básica que são fundamentais para a sua formação.

Fundamentos da Matemática
Eduardo Araújo*

Equação do 1.º grau
Chamamos de equação do 1.º grau na incógnita x toda equação que pode ser escrita na forma
ax=b, sendo a e b números racionais, com a diferente de zero.
Vamos entender a definição?
Equação: é toda sentença composta por uma (ou mais) incógnita(s) e uma igualdade.
Incógnita: é o que desejamos descobrir (em geral representada por uma letra).
Grau: é dado pelo maior expoente da incógnita.
O valor da incógnita, que torna uma equação verdadeira, recebe o nome de zero ou raiz da equação.
Em igualdades matemáticas, podemos adicionar, multiplicar, subtrair ou dividir elementos iguais
aos dois membros dessa igualdade que a identidade se mantém. É claro, se fizermos as mesmas opera-
ções, com os mesmos valores, o resultado tem de permanecer o mesmo. Dessa forma, para resolvermos
equações do primeiro grau, utilizaremos operações matemáticas de ambos os lados da igualdade até
que a incógnita fique isolada. Vamos ver um exemplo:

* Mestre em Ensino de Ciências e Matemática pela Universidade Luterana do Brasil (ULBRA). Especialista em Educação a Distância pelo Serviço
Nacional de Aprendizagem Comercial (Senac). Graduado em Matemática pela ULBRA.

8 | Métodos Quantitativos Aplicados à Gestão

2x + 10 = 18
Para isolarmos o termo “2x”, iniciaremos subtraindo 10 unidades de cada lado da igualdade. Veja:
2x + 10 – 10 = 18 – 10
2x + 0 = 8
2x = 8
Para eliminarmos o valor “2” que multiplica nossa incógnita, dividiremos ambos os lados da igual-
dade por “2”, e ficamos com:

2x 8
=
2 2
x=4
Dessa forma, sempre que realizarmos as mesmas operações em ambos os membros da igualda-
de com os mesmos valores, a igualdade permanecerá verdadeira.
Como nosso objetivo sempre é isolar a incógnita, podemos eliminar esses termos conforme nossa
necessidade. Veja outro exemplo:

y y
+ = 15
3 2
2y +3y 90
=
6 6
(nesse caso fizemos o MMC entre 3 e 2)
5y = 90
5y 90
=
5 5
y =18

Uma maneira simplificada de resolver equações dessa forma é passando termos semelhantes de
um lado para o outro da igualdade, invertendo, sempre, a operação matemática que está sendo reali-
zada (lembre-se: adição é o inverso de subtração e multiplicação é o inverso de divisão). Observe:
Se 3x + 4 =19, qual é o valor de “x” que resolve essa equação?
Solução:
3x = 19 – 4 (enviando o elemento 4 e invertendo a operação de adição)
3x = 15 (resolvendo 19 – 4)
15
x= (enviando o elemento 3 e invertendo a operação de multiplicação)
3
x=5
Veja outros exemplos:
Ex: –3x + 5 = –7


Solução:
–3x = –7 –5
–3x = –12
–12
x=
–3
x = +4

Testando a resposta encontrada:
–3 . 4 + 5 = –7
–12 + 5 = –7
–7 = –7
Ok!
Ex: 4 – 2k = 4k – 8

Solução:
–2k – 4k = –8 – 4
–6k = –12
–12
k=
–6
k = +2
Como você pode perceber, resolver equações do primeiro grau é bastante simples. O método
simplificado permite apenas enviar elementos de um lado a outro da igualdade, invertendo a operação
que estamos realizando, até que tenhamos nossa incógnita isolada.

Razão
A palavra razão é derivada do latim ratio e significa divisão. Ou seja, para obtermos a razão entre
dois termos quaisquer basta dividirmos um pelo outro. Imagine que, em um condomínio com 40 apar-
tamentos, 12 sejam de 3 dormitórios, 18 sejam de 2 dormitórios e 10 de 1 dormitório. Qual será a razão
entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios?
Razão entre o número de apartamentos de 3 e de 2 dormitórios

12: 6 2
=
18: 6 3
Isso quer dizer que, para cada 2 apartamentos de 3 dormitórios, há 3 apartamentos de 2 dormi-
tórios.


Razão entre o número de apartamentos de 3 dormitórios e o total de apartamentos:

12: 4 3
=
40: 4 10

Portanto, essa razão será: para cada 10 apartamentos do edifício, 3 são de 3 dormitórios.
Esse conceito de razão, que nada mais é do que a divisão entre dois elementos, será fundamental
para que possamos entender o conceito de proporção que veremos a seguir.

Proporção
Uma proporção é uma igualdade entre duas razões. Podemos dizer que 1/2 e 2/4, por exemplo,
formam uma proporção, pois representam uma mesma quantidade. Então, quando falamos que duas
coisas são proporcionais, estamos dizendo que elas formam uma proporção entre si. Veja um outro
exemplo:

2 3
e representam a mesma quantidade, pois ambas se referem a 0,25 ou 1/4.
8 12
Propriedade:
Em toda proporção o produto dos extremos é igual ao produto dos meios, ou seja:
a c
Se = (ou ainda, a : b = c : d), sempre será verdadeiro que:
b d
a c
=
b d
a.d=b.c
Vamos aplicar a propriedade acima nos exemplos anteriores?
2 3
Se e formam uma proporção, então 2 . 12 tem de ser igual a 8 . 3, e são, pois ambos
8 12
geram o mesmo resultado, que é 24. Podemos, ainda, calcular o termo desconhecido em uma propor-
ção, veja:
x 3
Se = então:
4 2
2x = 3 . 4
2x = 12
12
x= =6
2
O conceito de razão foi importante para entendermos o de proporção. O conceito de proporção, que
agora estudamos, será a base para compreendermos o conceito de regra de três, nosso próximo tema.


Regra de três
A regra de três é, possivelmente, um dos conceitos básicos de Matemática mais utilizados
hoje em dia. Ela trata de uma simples relação linear na qual conhecemos três elementos, relaciona-
dos entre si, e queremos descobrir o quarto elemento dessa proporção. Como você pode notar, re-
gra de três e proporções são conceitos totalmente relacionados. Na verdade, uma regra de três nada
mais é do que uma proporção, que pode ser direta ou inversa. Vamos ver como devem ficar dispostos
os dados em uma regra de três:
:::: os dados devem ficar dispostos como em uma tabela, cujos valores de mesmo tipo ficam na
mesma coluna;
:::: para analisarmos se a proporção é direta ou inversa, seguiremos os seguintes critérios:
:::: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra também aumentar seu valor (ou vice-
versa), a relação será direta e resolvemos o problema como em uma proporção: trata-se de
uma regra de três direta;
:::: se, ao aumentarmos o valor de uma variável, a outra diminuir (ou vice-versa), a relação será
inversa. Nesse caso, invertemos a posição dos elementos de uma das razões e resolvemos o
problema como em uma proporção: trata-se de uma regra de três inversa.
Para podermos aplicar as definições vistas, vamos ver alguns exemplos em que a regra de três
é utilizada?
Ex.: Se um corretor de imóveis roda em média 60 quilômetros em 3 horas de trabalho, quanto, em
média, ele deverá ter rodado em 8 horas trabalhando?
Solução:
Quanto mais horas de trabalho, mais quilometragem o corretor rodará, portanto, a regra é direta:

km h
60 3
x 8
3x = 60 . 8
x = 480 = 160km
3

Ex.: Imagine agora que, esse mesmo corretor, dirigindo a uma velocidade média de 60km/h, con-
siga percorrer certa distância em 20 minutos. Caso ele tenha apenas 15 minutos, com que velocidade
ele deverá dirigir?
Solução:
Quanto mais velocidade, menos tempo, portanto a relação é inversa.
Dados do problema:
Vel. t
60 20
x 15


Invertendo uma das razões (já que a regra é inversa):

60 15
=
x 20
15x = 60 . 20
15x = 1200
x = 1200 = 80km
15

Como você pode perceber, realizar cálculos com regra de três é bastante simples: basta identifi-
carmos os elementos envolvidos, montarmos a tabela e verificarmos se a relação é direta ou inversa. No
caso da direta, tratamos como uma proporção; no caso da inversa, invertemos uma das razões e trata-
mos, novamente, como uma proporção normal.

Função do 1.º grau
Veremos agora algumas noções de função do primeiro grau. Para tanto, partiremos da definição
e, em seguida, entenderemos cada um de seus elementos.

Chama-se função polinomial do 1.º grau qualquer função f de IR em IR, dada por uma lei da forma
f(x) = ax + b, em que a e b são números reais quaisquer e a 0.

Na função f(x) = ax + b, “a” é chamado de coeficiente de x e o “b” é chamado termo constante.

Uma função, dessa forma, pode ser entendida simplificadamente como uma relação entre dois
valores.

Veja alguns exemplos de funções polinomiais do 1.º grau:

f(x) = 5x em que a = 5 e b = 0
f(x) = –2x –7 em que a = –2 e b = –7

As funções do primeiro grau são separadas em três tipos: linear e afim. Veja qual a definição de
cada uma delas:
Função linear
É um tipo de função do 1.º grau em que o termo b é nulo (y = ax). Um exemplo de função linear é
a primeira das duas anteriores, (f(x) = 5x).
Função afim
É um tipo de função do 1.º grau na qual o termo b não é nulo (y = ax + b).
Um exemplo de função afim é a segunda das anteriores: – f(x) = –2x – 7.


De uma maneira simplificada, podemos representar graficamente funções do primeiro grau arbi-
trando valores para a variável “x” e calculando os correspondentes valores de “y”. Veja:
y = 3x – 6
Construindo uma tabela e arbitrando valores para “x”:

x y = f(x)
–2
–1
0
1
2

A partir dos valores arbitrados para “x” (falamos em arbitrados porque podem ser quaisquer valo-
res), podemos obter os valores de “y”. Veja:

x y = f(x)
–2 y = 3 . (–2) – 6 = –6 – 6 = –12
–1 y = 3 . (–1) – 6 = –3 – 6 = –9
0 y = 3 . (0) – 6 = 0 – 6 = –6
1 y = 3 . (1) – 6 = 3 – 6 = –3
2 y = 3 . (2) – 6 = 6 – 6 = 0

A tabela fica com o seguinte formato:

x y = f(x)
–2 –12
–1 –9
0 –6
1 –3
2 0

E a representação gráfica fica:

�1 5 � 10 �5 5 10 15

�5

Podemos, ainda, arbitrar o valor “zero” para “x” e calcular “y”, arbitrar “zero” para “y” e calcular “x”,
unindo esses pontos em uma reta. Veja:


y = 3x – 6
Quando x = 0, teremos: Quando y = 0, teremos:
y=3. 0–6 0 = 3x – 6
y=0–6 –3x = –6
y = –6 x=2
E, portanto, o ponto (0, –6) E, portanto, o ponto (2,0)

2

-6

E, unindo estes pontos, teremos:

É a mesma representação gráfica anterior, uma vez que podemos prolongar infinitamente a reta
em ambas as direções.


Atividades
1. Uma secretária precisa digitar 26 páginas de um arquivo. Se, em duas horas de serviço ela conse-
gue digitar 8 páginas, quanto tempo deverá levar para concluir sua tarefa?

2. Para se produzir 60kg de uma certa liga metálica são necessários 16kg de cobre. Se você tiver
disponível 20kg de cobre, quantos kg dessa mesma liga conseguirá produzir?

3. Para produzir 20 estribos, um certo ferreiro leva, em média, 16 minutos. Continuando nesse mes-
mo ritmo, em 20 minutos, ele deverá produzir quantos estribos?

4. Para construir uma ponte, 16 operários trabalham durante 120 dias. Se o prazo de entrega fosse
de 80 dias, quantos operários seriam necessários?

5. Em um certo supermercado, o pacote de 2kg de açúcar custa R$3,24. Quanto deverá custar, no
máximo, o pacote de 5kg?


6. Em geral, uma família de três pessoas consome, por dia, 300g de gás de cozinha. Considerando
um botijão com 13kg, podemos escrever: (obs.: 300g = 0,3kg):

Dias consumindo gás (x) Quantidade de gás no botijão (y)
0 dia 13kg

1 dia 12,7kg

2 dias 12,4kg

3 dias 12,1kg

4 dias 11,8kg

5 dias 11,5kg

Considerando “x” como a quantidade de dias consumindo gás e “y” a quantidade de gás no boti-
jão, responda às questões que seguem:
a) A função matemática que explica essa situação é:

b) No 12.º dia de consumo, quantos quilogramas de gás há no botijão?

c) Após quantos dias consumindo gás a quantidade no botijão será de 7kg?

d) A partir da instalação do botijão, aproximadamente quantos dias o gás deverá durar?


7. Caminhando a “passos largos”, uma pessoa leva, em média, 20 minutos para percorrer 2,5km.
Para percorrer 4km, quanto tempo deverá levar?

8. Um automóvel, andando a uma velocidade média de 80km/h, leva 12 minutos para percorrer
uma certa distância. Se ele andasse a 60km/h, que tempo levaria para percorrer a mesma distân-
cia?

9. Um representante comercial vendeu 520 exemplares de seu produto e com isso lucrou R$546,00.
Se em uma nova venda do mesmo produto ele lucrou R$420,00, quantos exemplares ele vendeu?

10. Um médico leva, em média, 20 minutos para atender um paciente em sua clínica. Em um dia
inteiro de trabalho, esse médico consegue atender, no máximo, 24 pessoas. Para aumentar sua
renda, ele pretende atender 30 pessoas por dia. Dessa forma, ele precisa que suas consultas du-
rem quanto tempo?

11. Em um hemocentro foi constatado que, para coletar 200ml de sangue, uma máquina leva, em
média, 24 minutos. Quanto tempo essa mesma máquina levará para coletar 150ml de sangue?


12. Associe cada função com sua possível representação gráfica:
a) y = 4x –4 b) y = 4x + 4 c) y = –4x – 4 d) y = –4x + 4
e) y = 4x f ) y = –4x g) y = 4 h) y = –4
( ) ( )

4

2

�1 0 �8 �6 �4 �2 2 4 6 8 10

�2

�4

�6

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )
y
y

4 4

2 2

�1 0 �8 �6 �4 �2 2 4 6 8 10 x -10 -8 -6 -4 -2 2 4 6 8 10 x

�2 -2

�4 -4

�6 -6


13. Suponha que a quantidade média de litros de gasolina (y) em um tanque cheio de combustível
com relação à quantidade de quilômetros rodados (x) de um automóvel popular seja dado pela
equação:
y = 35 – 0,0625x
a) Após percorrer 200km, quanto haverá de gasolina no tanque?

b) Estando com o tanque cheio, esse automóvel conseguirá percorrer 600km? Por quê?

c) Com que quilometragem deverá acabar o combustível?

Ampliando conhecimentos
Os conceitos vistos nesta unidade são fundamentais para sua formação. Dessa forma, procure
retomar todos os conceitos estudados e só avançar após dirimir todas as suas dúvidas. É importante
entender, por exemplo, que o valor encontrado em uma equação do primeiro grau significa o único nú-
mero real que, ao ser substituído na equação, torna a igualdade verdadeira e que, em uma regra de três,
se a relação for direta tratamos como uma proporção e se for inversa, precisa ter a proporção invertida.

Resumo
Em nosso cotidiano estamos cercados de situações nas quais os cálculos com porcentagens são
fundamentais. Todos os dias vemos em jornais, revistas e na televisão taxas percentuais sendo utilizadas
pelos mais diversos setores. A partir dessa realidade é que será desenvolvida esta aula. Iniciaremos de-
finindo e relembrando o que é porcentagem e, em seguida, veremos situações-problema em que esse
conceito, tão importante e que nos será útil ao longo de toda a disciplina, se faz necessário.

A porcentagem:
considerações básicas
e importantes
Definição e generalizações
Como o próprio nome diz, porcentagem vem de “por cento”, ou seja, uma razão em que o deno-
minador é 100.
Ex.: 20% = 20 , ou seja, vinte partes em cem.
100
Não importa o que temos, dividimos em cem partes e retiramos 20. Veja:


Aqui, como da forma anterior, mas com 75 partes pintadas.

75% = 75
100

Calculando diretamente
Para calcularmos o valor percentual de uma certa quantia, simplesmente multiplicamos o valor
em questão pela taxa percentual. Veja os exemplos:

a) 20% de 400 = 400 . 20% = 80

b) Um produto que custava R$400,00 teve um aumento de 12% e, em seguida, um desconto de
12%. Qual o seu valor final?
Podemos efetuar esses cálculos diretamente na calculadora:
Com o aumento de 12%:
400 + 12% =
400 + 48 =
448
Reduzindo 12%:
448 – 12% =
448 – 53,76 =
394,24
Como você pode perceber, o valor final não foi R$400,00, pois o aumento de 12% incidiu sobre o
valor de R$400,00, enquanto o desconto de 12% incidiu em um valor maior, que foi o de R$448,00. Logo,
o valor final foi diferente do inicial. Para facilitar essa visualização, veja graficamente:

Aumenta 12% Diminui 12%
R$400,00 R$448,00 R$394,24
sobre R$400,00 sobre R$448,00


A porcentagem como uma parte do todo
Para sabermos que taxa percentual uma quantidade representa com relação ao todo, fazemos a
razão entre essa parte e o todo e multiplicamos o valor encontrado por cem, ou seja:
parte
. 100
todo
Veja as situações que seguem:

1.ª situação
A tabela abaixo mostra a quantidade de funcionários que trabalham em cada um dos setores de
uma determinada empresa.

Setor Quantidade de pessoas

Fonte hipotética.
Fábrica 106
Atendimento ao cliente 15
RH 6
Administrativo 63
Financeiro 8
Gerência 2
Total 200
A partir desses dados, podemos dizer que:
:::: O total de pessoas que trabalham na fábrica em relação ao todo é 106 em 200, ou ainda,
106 53
= 0, 53 = = 53% .
200 100
15 75
Atendimento ao cliente: = 0, 075 = = 7, 5%
200 1000
6 3 63 315
RH: = 0, 03 = = 3% Administrativo: = 0, 315 = = 31, 5%
200 100 200 1000

8 4 2 1
Financeiro: = 0, 04 = = 4% Gerência: = 0, 01 = = 1%
200 100 200 100

E podemos reescrever a tabela anterior da seguinte forma:

Setor Percentual de funcionários
Fonte hipotética.

Fábrica 53%
Atendimento ao cliente 7,5%
RH 3%
Administrativo 31,5%
Financeiro 4%
Gerência 1%
Total 100%


2.ª situação
Na compra de um terreno de R$52.000,00, foi solicitado que o comprador desse de entrada
R$17.680,00. Qual o percentual de entrada que essa empresa exige?

Solução:
A partir da definição que vimos, podemos facilmente calcular o que foi solicitado:
Valor percentual pago = 17.680 . 100 = 0,34 . 100 = 34%
52.000
Ou seja, o valor de R$17.680,00 representa 34% dos R$52.000,00.

3.ª situação
Um bem teve um aumento de R$12.400,00 para R$14.198,00. Qual a taxa percentual de aumento?

Solução:
Valor do aumento em moeda: R$1.798,00

Aumento percentual: 1.798 . 100 = 14,5%
12.400
O cálculo de porcentagens está diretamente ligado ao nosso cotidiano, veja a reportagem que
segue.

Crédito para habitação vai crescer
(JASPER, 2006)
O volume de crédito imobiliário liberado no ano passado pelos bancos privados atingiu R$4,8
bilhões, o maior desde o início da década. O cálculo é da Associação Brasileira das Entidades de Crédi-
to Imobiliário e Poupança (Abecip), que anuncia perspectivas ainda melhores para 2006: o montante
financiado pode crescer cerca de 50%, chegando a quase R$7 bilhões. Nas contas do Ministério das
Cidades, serão R$6,7 bilhões – que, somados aos recursos da Caixa Econômica Federal, atingem R$17
bilhões, volume 21% superior ao total de R$14 bilhões liberados em 2005.
[...] Em 2004 e 2005, os empréstimos cresceram 36% e 57%, respectivamente.
Há, ainda, outro estímulo para que os bancos se agilizem na aplicação de recursos em crédito
imobiliário: uma determinação do Banco Central os obriga a direcionar 65% de todo o dinheiro cap-
tado em caderneta de poupança para o financiamento da casa própria.

A partir dessa notícia podemos fazer as seguintes considerações:

1.ª consideração
A previsão de investimento para o ano de 2006 foi de R$17 bilhões. O valor investido foi de
R$14 bilhões. Também foi dito que o aumento seria de 21%. Como calcularíamos essa taxa percentual?
Solução:


Para responder a essa questão, primeiramente veremos de quanto (em reais) foi o aumento e, em
seguida, veremos quanto isso representa em relação ao valor inicial (R$14 bilhões), veja:
Aumento: R$3 bilhões
Valor inicial: R$14 bilhões
Taxa de aumento: 3 . 100 = 21,4%
14

2.ª consideração
No ano de 2005, o valor liberado foi de R$14 bilhões. Se houve um crescimento de 57% com relação
a 2004, como poderemos calcular o valor deste ano? E de 2003, que cresceu 36% com relação a 2004?
Para respondermos a questões como essas, elaboraremos uma regra prática que nos auxiliará em
cálculos de aumento/desconto de valores:
:::: Quando o valor que queremos teve um desconto e queremos calcular o valor original, basta
dividirmos o valor em questão por (1 - taxa centesimal de aumento).
Ex.: Um bem teve um desconto de 15% = 15 = 0,15 = e passou a custar R$760,00.
100
Qual o valor original?
Solução:

760 760
= = 894,12
(1- 0,15) 0,85

:::: Quando o valor que queremos teve um aumento e queremos calcular o valor original, basta
dividirmos o valor em questão por (1 + taxa centesimal de aumento).
Ex.: Um bem teve um aumento de 15% e passou a custar R$760,00. Qual o valor original?
Solução:

760 760
= = 660, 87
(1+0,15) 1,15

A partir das definições vistas, poderemos responder às questões anteriores.
Segundo o texto:
:::: Ano de 2005 = 14 bilhões
:::: Crescimento relativo a 2004 = 57% = 57 = 0,57 .
100
:::: E respondendo à pergunta:
:::: Valor original = 14 = 14 = 8,92
1 + 0,59 1,57
:::: Logo, no ano de 2004, o volume de crédito liberado foi de 8,92 bilhões de reais.
Agora vamos ao cálculo do ano de 2003:
:::: Ano de 2004: R$8,92 bi (calculado anteriormente).


:::: Crescimento relativo a 2003 (segundo o texto): 36%.
Respondendo à pergunta:
8 , 92 8 , 92
Valor original = = = 6 , 56 .
1+ 0 , 36 1, 36
Podemos, então, representar graficamente os valores obtidos e, a partir deles, verificar uma gran-
de tendência de crescimento nos investimentos neste setor. Observe a curva:

Crédito imobiliário liberado pelos bancos no Brasil

16
14
12
R$(em bilhões)

10
8
6
4
2
0
2003 2003 2004 2004 2005 2005 2006

Ano

[...] A dívida mobiliária federal (em títulos públicos) fechou 2005 em R$979,7 bilhões. O estoque
teve um aumento de 2,1% entre novembro e dezembro. [...]
(Disponível em: <www.clickrbs.com.br>)

A partir da notícia anterior, podemos calcular quanto era a dívida mobiliária em novembro de
2005:
Valor original = 979,7 = 979,7 = 959,55 bilhões de reais.
1 + 0,021 1,021

Regras de arredondamento
Como você já deve ter percebido, muitas vezes precisamos dividir valores que não têm como
resultado uma divisão exata. Para tanto, utilizaremos a legislação vigente que regulamente a maneira
correta de arredondar essas quantias.
De acordo com a Resolução 886, de 26 de outubro de 1966, do Instituto Brasileiro de Geografia e
Estatística (IBGE), o arredondamento é feito da seguinte maneira:
:::: Quando o primeiro algarismo a ser arredondado é o 0, 1, 2, 3 ou 4, fica inalterado o último
algarismo a permanecer:
Ex.: 43,24 passa a 43,2


:::: Quando o primeiro algarismo a ser abandonado é o 5, há duas soluções:
a) Se ao 5 seguir em qualquer casa um algarismo diferente de zero, aumenta-se uma unidade
ao algarismo a permanecer. Ex.:
:::: 4,757 = 4,76
:::: 6,750008 = 6,8
b) Se o 5 for o último algarismo ou se ao 5 só seguirem zeros, o último algarismo a ser conser-
vado só será aumentado de uma unidade se for ímpar. Ex.:
:: 14,75 = 14,8
:: 12,65 = 12,6
Porém, em geral, essa última regra não é respeitada e, se o último algarismo for igual a 5, se
mantém ou acrescenta um ao algarismo anterior.
Vamos simplificar o que diz a Resolução? Para arredondarmos valores, utilizamos a seguinte regra:
:::: Quando o valor do numeral após a casa decimal que queremos arredondar for menor do que 5,
mantemos este valor. Ex.: 3,762 = 3,76.
:::: Quando for maior do que 5, aumentamos em uma unidade este valor. Ex: 3,762 = 3,8.
:::: Quando for igual a 5 e não for o último valor, também aumentamos. Ex.: 3,76252 = 3,763.
:::: Quando for igual a 5 e for o último valor, deixamos o 5 ou aumentamos. Ex: 3,7625 = 3,7625
ou 3,763.

A porcentagem e a tabela do Imposto de Renda
Todos os meses, os trabalhadores vinculados ao Instituto Nacional do Seguro Social (INSS) pagam
uma alíquota para este instituto proporcional ao seu salário bruto. A tabela válida para o ano de 2005
é a que segue:

Tabela de contribuição dos segurados empregados, empregado doméstico e trabalhador avulso, para paga-
(Portaria 822, 11 maio 2005.)

mento de remuneração a partir de 1.º de maio de 2005
Salário de contribuição (R$) Alíquota para fins de recolhimento ao INSS (%)
até R$800,45 7,65

de R$800,46 a R$900,00 8,65

de R$900,01 a R$1.334,07 9,00

de R$1.334,08 até R$2.668,15 11,00

Para salários acima de R$2.668,15, a contribuição é fixada em R$293,50, que é o chamado teto má-
ximo para contribuição. A partir da tabela anterior, pode-se calcular o valor que qualquer trabalhador
vinculado ao INSS paga mensalmente. Veja os exemplos:


:::: Salário bruto de R$840,00 2.ª faixa salarial contribuição de 8,65%, logo:
840 . 8,65% = R$72,66
:::: Salário bruto de R$1.800,00 4.ª faixa salarial contribuição de 11%:
1 800 . 11% = R$198,00
Além da contribuição paga ao INSS, mensalmente todo trabalhador que recebe um salário bruto,
descontada a contribuição paga ao INSS, acima de R$1.058,00 (válido para o ano de 2005), contribui
com o Imposto de Renda Pessoa Física (IRPF) segundo a tabela abaixo:

Rendimento Alíquota Deduzir – R$
Até R$1.058,00 isento -
Acima de R$1.058,01 até R$2.115,00 15% 158,00
Acima de R$2.115,01 27,5% 423,08

A parcela a deduzir é o valor que devemos descontar do valor a ser pago por meio da alíquota.
Dessa forma, para o trabalhador do primeiro exemplo citado anteriormente, temos:
:::: Salário bruto = R$840,00
:::: Contribuição ao INSS = R$72,66
:::: Salário líquido parcial = R$840,00 – R$72,66 = R$767,34
:::: Contribuição ao IRPF = isento, já que seus rendimentos ficaram aquém de R$1.058,00.
:::: Salário líquido final = R$767,34, já que não contribui com o IRPF.
Para o segundo exemplo:
:::: Salário bruto = R$1.800,00
:::: Contribuição ao INSS = R$198,00
:::: Salário líquido parcial = R$1.602,00
:::: Contribuição ao IRPF (segunda faixa – 15%, pois está entre R$1.058,01 e R$2.115,00): 15% de
R$1.602,00 = R$240,30 menos a parcela a deduzir (R$158,00)
:::: Contribuição: R$240,30 – R$158,00 = R$82,30
:::: Salário líquido final = R$1.602,00 – R$82,30 = R$1.519,70
A partir desse valor, podemos calcular a redução percentual que este trabalhador teve em seu salário:
:::: Valor pago de impostos:
INSS = R$198,00
IRPF = R$82,30
Total = R$198,00 + R$82,30 = R$280,30
:::: Valor percentual pago sobre seu salário inicial:
280,30 = 0,1557 . 100 = 15,57%
1800


Vamos, agora, calcular a perda percentual que tem em seu salário um trabalhador que teve renda
mensal bruta de R$2.600,00.
INSS = 11% de R$2.600,00 = R$286,00
Salário líquido parcial = 2600 – 286 = R$2.314,00
Contribuição ao IRPF = 3.ª faixa (27,5%) = 27,5% de R$2.314 = R$636,35
R$636,35 – R$423,08 (parcela a deduzir)
Valor a contribuir = R$213,27
Salário líquido final = R$2.314,00 – R$213,27 = R$2.100,73
Redução percentual sobre o salário bruto:
Total de impostos = R$286,00 + R$213,27 = R$499,27
Redução percentual = 19,20%
Desta forma, um trabalhador que tem uma renda bruta de R$2.600,00 tem, de encargos governa-
mentais, diretamente em sua fonte de renda, 19,20% de seu salário retido.
Como pode perceber, situações em que conceitos de porcentagens estão presentes ocorrem no
nosso cotidiano e é importante salientarmos e atentarmos para pequenos detalhes, pois, muitas vezes,
são eles que fazem uma grande diferença. Como vimos, se aumentarmos um certo valor percentual, e
diminuirmos esse mesmo percentual, chegaremos em valores iniciais diferentes. Dessa forma, é de ex-
trema importância que atentemos para os menores detalhes para que, em momento algum, possamos
gerenciar de forma inadequada nossos negócios ou finanças.

Atividades
1. Uma companhia financiadora dava as seguintes instruções em seu carnê de pagamentos de um
automóvel:

Valor do documento: R$485,00.
Após o vencimento serão acrescidos ao valor do documento:
multa fixa de R$9,71 mais juros de 0,4% do valor do documento por cada dia de atraso.

Responda:
a) O valor da multa representa que percentagem do valor do documento?


b) Se uma pessoa atrasar 15 dias da data de vencimento, quanto pagará?

c) Esse valor pago representa que valor percentual acima do valor do documento?

2. Imagine que o preço da gasolina tenha oscilado bastante em alguns dias de um determinado mês:

Dia 1.º → R$2,50 Dia 15 → R$2,94 Dia 30 → R$2,72

A partir dessas informações, responda:
a) Qual foi o aumento percentual do dia 1.º para o dia 15?

b) Qual foi a redução percentual do dia 15 para o dia 30?

c) No dia 1.º a gasolina estava que valor percentual a menos do que no dia 30?


3. Os gastos para o pagamento da Habite-se de um certo imóvel custava, em um determinado mês,
R$140,00. No mês seguinte, a taxa passou para R$145,95. Qual foi o percentual de aumento?

4. Em uma pesquisa de opinião pública no RS, foram entrevistadas 300 pessoas que responderam
à seguinte pergunta: “Qual o time de futebol de sua preferência?”. As respostas foram tabuladas
em um gráfico tipo pizza conforme abaixo:

Time de preferência

9% 3% Grêmio

24% Inter

Juventude
64%
Outros/nenhum

A partir da representação anterior, calcule quantas pessoas votaram em cada um desses times e
quantas votaram em outros ou nenhum time.

5. Um imóvel teve um percentual de 12% de aumento e agora custa R$184.800,00. Qual era o seu
valor antes do aumento?


6. O valor total pago pelos moradores de um certo condomínio no mês de dezembro foi de
R$12.600,00. O condômino, em sua planilha de custos, distribuiu a receita da seguinte forma:

Destino da Aplicação Valor Gasto

Fonte hipotética.
Jardinagem e limpeza R$2.340,00
Luz R$5.680,00
Manutenções R$1.260,00
Segurança R$1.620,00
Total de gastos R$10.900,00
Caixa do condomínio R$1.700,00
Total R$12.600,00

A partir dessa tabela, calcule o percentual gasto com cada uma das aplicações.

Destino da Aplicação % Gasto
Jardinagem e limpeza
Luz
Manutenções
Segurança
Total de gastos
Caixa do condomínio


7. Nestes últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores mé-
dios praticados por um certo posto de gasolina.

Mês Valor cobrado (R$)

Fonte hipotética.
Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72

Com base nesses valores, calcule o percentual de variação da gasolina entre cada um dos me-
ses do ano.


8. Calcule, utilizando os procedimentos de cálculo vistos no decorrer desta aula, o salário líquido e a
perda percentual no salário bruto de um trabalhador que recebe uma renda bruta de:
a) R$1.200,00;
b) R$2.000,00;
c) R$3.000,00;
d) R$5.400,00.

Verifique se a tabela de Imposto de Renda atualmente utilizada permanece a mesma da que foi
apresentada neste capítulo. Pegue seu contracheque, caso você possua um, e verifique se os valores
que lhe descontam de INSS e de IRPF estão de acordo com as tabelas apresentadas. Verifique em jor-
nais e revistas situações envolvendo cálculos de porcentagem. É no nosso cotidiano que aprendemos o
quanto essas situações são importantes.

Estatística I
A Estatística é a ciência que se preocupa com a coleta, a organização, a análise e a interpretação
de dados, em geral, obtidos de pesquisas e medições. A Estatística é, basicamente, dividida em duas
grandes áreas: a estatística descritiva e a estatística inferencial. A primeira, como seu próprio nome
diz, estuda a descrição, a síntese e a organização de dados, em geral dispostos em tabelas e gráficos. A
segunda preocupa-se em retirar uma parte do todo e tirar conclusões a partir desses dados, o que cha-
mamos de “fazer inferências”. É o que mais ouvimos falar, por exemplo, em eleições para presidentes,
governadores, prefeitos e demais situações nas quais não podemos entrevistar toda a população, mas
somente uma parte dela que represente esse todo.
A partir dessa realidade, definiremos alguns termos utilizados em Estatística.
:::: População: é o conjunto de elementos que possui alguma característica em comum. No nosso
exemplo das eleições presidenciais, é “ser brasileiro”.
:::: Amostra: é uma parte da população que representa o todo. Esta amostra deve ser o que a
Estatística define como representativa, ou seja, deve poder representar o todo, sem que haja
maiores distorções nos resultados. Para o exemplo das eleições presidenciais, podemos dizer
que uma amostra representativa deve ter homens e mulheres de diversos estados (preferen-
cialmente todos), de diversas idades e de classes socioeconômicas distintas.
:::: Amostragem: é o processo de obtenção da amostra.
:::: Parâmetros: são medidas que caracterizam a população. Por exemplo: raça, sexo, salário, ida-
de, preço, entre outros.
:::: Variáveis: é a medida que se busca com a pesquisa. Por exemplo, “qual o candidato a presiden-
te de sua preferência?”. Essas variáveis podem ser classificadas como quantitativas, quando
expressam uma quantidade, ou qualitativas, quando expressam uma qualidade.


Distribuição de freqüências para dados não-agrupados
Como já citamos, a estatística descritiva se preocupa em organizar e tabular dados em gráficos e
tabelas, com o objetivo de sintetizar as informações e fornecer respostas claras e objetivas com relação
ao estudo de interesse. Dessa forma, neste capítulo, nos preocuparemos em organizar os dados em
uma tabela chamada tabela de freqüências e, para tanto, definiremos os tipos de freqüência utilizados
em estatística:
:::: Freqüência absoluta (f): é o número de observações que ocorreram em cada classe.
:::: Freqüência absoluta acumulada (F): é o somatório das freqüências ocorridas até a classe em
que estamos.
:::: Freqüência relativa (fr ): é o quociente (resultado da divisão) entre a freqüência absoluta e o
total de elementos.
:::: Freqüência relativa acumulada (Fr): é o somatório das freqüências relativas ocorridas até a clas-
se em que estamos.
Para a elaboração da tabela, deve-se obedecer à Resolução 886, de 26 de outubro de 1966, do
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), que determina que toda tabela deve ter:
:::: Título: conjunto de informações que precisa responder, de forma sucinta, o que se busca na
pesquisa.
:::: Cabeçalho: parte superior da tabela que dá nome às colunas.
:::: Corpo: conjunto de linhas e colunas que contém as informações sobre a pesquisa.
:::: Rodapé: é o local onde se coloca a fonte e possíveis notas.
Veja um exemplo de tabela:
Tabela – População residente, por sexo e situação do domicílio, população residente segun-
do os Municípios – RS.
População residente
Municípios
Homens Mulheres
Rio Grande do Sul 4.994.719 5.193.079
Canoas 148.860 157.233
Carlos Gomes 985 927
Caxias do Sul 176.959 183.460
Porto Alegre 635.820 724.770
Presidente Lucena 1.087 982
Protásio Alves 1.132 980
Fonte adaptada: Censo Demográfico 2000 – IBGE.

Veja um outro exemplo em que podemos aplicar as definições de freqüência citadas:
Em uma universidade pesquisou-se o número médio de horas que os acadêmicos estudavam,
sem considerar os momentos em sala de aula. Para tanto, 80 estudantes de diversos cursos foram entre-
vistados. Os resultados estão dispostos na tabela a seguir:

Estatística I | 37

Tabela – número de horas de dedicação semanal para estudo extraclasse.

Fonte hipotética.
Número médio de horas Número de estudantes
Até 1 hora 2
Em torno de 2 horas 8
Mais de 5 horas 24

A partir da tabela anterior, podemos distribuir os dados em uma tabela de freqüências. Veja:
Tabela – número de horas de dedicação semanal para estudo extraclasse.

Fonte hipotética.
H fi fri Fi Fri
Até 1 hora 2 2 : 80 = 0,025 = 2,5% 2 0,025 = 2,5%
Em torno de 2 horas 8 8 : 80 = 0,1 = 10% 10 0,125 = 12,5%
Em torno de 3 horas 16 16 : 80 = 0,2 = 20% 26 0,325 = 32,5%
Em torno de 4 horas 10 10 : 80 = 0,125 = 12,5% 36 0,45 = 45%
Em torno de 5 horas 20 20 : 80 = 0,25 = 25% 56 0,7 = 70%
Mais de 5 horas 24 24 : 80 = 0,3 = 30% 80 1 = 100%

Dica
Na tabela anterior, podemos destacar alguns pontos importantes.
:::: No cálculo da freqüência relativa (fr), dividimos a freqüência da classe pelo total de elemen-
tos em questão; para expressarmos em taxa percentual, multiplicamos esse resultado por
100;
:::: O elemento da última classe relativo à freqüência acumulada (Fi) sempre tem valor igual ao
total de elementos (no nosso caso, 80 pessoas);
:::: O elemento da última classe relativo à freqüência relativa acumulada (Fri) sempre tem valor
igual a um ou, em taxa percentual, 100%.

A partir da tabela anterior, podemos explorar algumas importantes questões:
:::: Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam em torno de quatro horas?
Dez pessoas, já que é a freqüência absoluta em quatro horas.
:::: Entre os entrevistados, quantas pessoas estudam até quatro horas?
É a freqüência acumulada em quatro horas, que é de 36 pessoas.
:::: Entre os entrevistados, qual é o percentual de pessoas que estudam, em média, três horas?
É a freqüência relativa em três horas = 20%.


:::: Entre os entrevistados, qual é o percentual de pessoas que estudam até três horas?
É a freqüência relativa acumulada em três horas = 32,5%.

Representação gráfica de dados não-agrupados
Representarmos dados graficamente nos permite uma fácil e direta visualização do assunto que
estamos estudando. Neste momento veremos os tipos mais utilizados de gráficos, utilizando a situação
estudada anteriormente: número de horas de estudo semanal.

Gráfico de colunas
Esse tipo de gráfico representa os dados através de uma série de colunas que variam de altura de
acordo com a freqüência com que os valores se repetem em cada categoria.

Gráfico de setores
Nesse tipo de gráfico, o conjunto de dados é representado por um círculo em que cada categoria
representa uma parte dos 360º, que é o total dos dados. Em geral, para que não haja poluição visual,
esse tipo de gráfico é muito utilizado para um número pequeno de categorias. Essa representação é
bastante útil e muito usada por apresentar, visualmente, o quanto cada classe ocupa em relação ao todo
e às demais classes. Na maioria das vezes são utilizadas porcentagens.

Estatística I | 39

Gráfico de barras
É bastante parecido com o gráfico de colunas, porém as barras ficam com suas variações no
eixo horizontal.

Gráfico de linhas
Esse tipo de representação gráfica é muito utilizado quando o objetivo é avaliar a variação de
tendência de um ponto para outro, ou estimar valores entre dois pontos quaisquer.

Como podemos perceber, as tabulações – um dos objetos de estudo da Estatística – são de
grande valia para organizarmos dados e para que tenhamos, além de uma melhor visualização, uma
fácil busca de informações. Associadas a elas, o uso de gráficos é de extrema importância para que
se tenha uma proporção e uma boa comparação entre as variáveis em estudo. Eles auxiliam, assim,
tanto para podermos comparar informações quanto para verificarmos tendências de uma determi-
nada situação.


Atividades
1. Pesquise em sua sala de aula o número de dormitórios das residências de cada um de seus cole-
gas (de zero a “n”), incluindo você. Faça uma planilha de dados não agrupados com essas infor-
mações, contendo freqüência absoluta, absoluta relativa, acumulada e acumulada relativa. Veja o
exemplo:

n. de filhos fi fri Fi Fri
0
1
2
3
4
...

2. Represente em um gráfico de colunas e em um de pizza as informações coletadas. No de pizza é
importante que apareça o percentual de cada uma das partes.

3. A tabela abaixo refere-se a uma pesquisa feita sobre salário (em milhares de reais) de gestores de
20 grandes empresas de uma determinada capital brasileira. A primeira linha refere-se aos primei-
ros dez entrevistados e a segunda, aos últimos dez.

5 4 5 5,5 5 4,5 6 6 4 5
4,5 4,5 5 4 5 4,5 5 5,5 5 4,5

Estatística I | 41

a) A partir desses dados, construa uma tabela de freqüências.

A partir da tabela construída, responda às questões:
b) Dentre os 20 gestores entrevistados, quantos tinham salário menor do que R$5 mil?

c) Quantos tinham salário menor ou igual a R$5 mil?

d) Qual o percentual de entrevistados com o salário menor ou igual a R$5 mil?

e) Qual o percentual de entrevistados com o salário igual a R$5,5 mil?


4. Abaixo segue uma tabela de freqüência que nos traz a distribuição de salários em uma determi-
nada empresa:
Salários mínimos Número de funcionários
2 30
3 20
4 12
5 6
6 4
7 4
8 2

A partir dos dados anteriores, construa uma tabela de freqüências completa (com freqüências
acumuladas e relativas) e responda às questões que seguem:

a) Quantos funcionários recebem até sete salários mínimos?

b) Quantos funcionários recebem sete salários mínimos?

c) Qual o percentual de funcionários que recebem até cinco salários mínimos?

Estatística I | 43

d) Qual o percentual de funcionários que recebem cinco salários mínimos?

e) Qual o percentual de funcionários que recebem dois salários mínimos?

5. Nestes últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores mé-

Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72

a) Utilizando uma planilha eletrônica, represente em um gráfico de barras e em um gráfico de
linhas os dados apresentados nessa tabela.
b) Elabore uma planilha de freqüências para dados não-agrupados.


6. O gráfico abaixo representa o grau de satisfação dos clientes de uma determinada empresa com
relação a um certo produto. Foram entrevistados 435 clientes e os resultados estão expressos no
gráfico de setores abaixo.

A partir da representação gráfica dada, responda às questões que seguem:
a) Quantos clientes disseram estar muito satisfeitos com esse produto?

b) Quantos disseram estar pouco satisfeitos ou insatisfeitos?

c) Com as informações contidas nesse gráfico, elabore, em uma planilha eletrônica, um gráfico
de colunas com o eixo horizontal contendo o grau de satisfação dos clientes e, na coluna ver-
tical, quantas pessoas responderam a cada nível de satisfação.

É importante que você tenha prática no uso da planilha Excel, pois ela é uma poderosa ferramen-
ta na geração e formatação de gráficos como os que estudamos. Vá ao botão “assistente de gráfico” do
programa Excel e gere seus próprios gráficos. É uma opção de muito fácil uso e que, com certeza, lhe
auxiliará em muitas situações.

Resumo
Medidas de tendência central e variabilidade são valores que caracterizam os dados que estamos
estudando, em geral, para que se saibam valores médios e dispersões em torno desses valores. Os mais
importantes são a média aritmética, a média ponderada, a moda, a mediana, a variância e o desvio-
padrão. Neste capítulo, faremos um importante estudo das medidas de tendência central.

Estatística II
A média aritmética para dados não-agrupados
A média aritmética é, com certeza, a medida de tendência central mais utilizada no nosso coti-
diano. É calculada pela soma dos elementos dividido pela quantidade de elementos. Os símbolos que
utilizamos para a média são:
Para a população: a letra grega µ
Para a amostra: x
Veja um simples exemplo:
Em uma sala de aula (sala “x”) com 15 alunos, as notas na primeira avaliação de Matemática foram
as seguintes:

Nome do aluno Nota na avaliação 1
Afrânio 3,0
Alfredo 5,0
Carla 7,0
Cristiane 6,0
Denise 9,0


Nome do aluno Nota na avaliação 1
Eduardo 10,0

Fonte hipotética.
Éverton 7,0
Fabrício 4,0
Felipe 8,0
Gabriel 9,0
Natália 7,0
Pedro 2,0
Rafaela 6,0
Sandro 7,0
Sílvia 3,0

A partir dessas informações, podemos calcular a média obtida por essa turma:

3+5+7+6+ 9+10+7+ 4 +8+9+7+2+6+7+3 93
µ= = = 6, 2
15 15

Como você pode perceber, para calcularmos a média aritmética dessa turma apenas somamos
todas as notas e dividimos pelo número de alunos que, para essa situação, é igual a 15.

A moda para dados não-agrupados (Mo)
A moda é o valor que mais aparece em um conjunto de dados.
No exemplo anterior, ela é a nota 7,0, pois é a que mais aparece, num total de quatro vezes. Em
um evento em que temos dois valores que aparecem em uma mesma quantidade e são os que mais
aparecem, dizemos que ele é bimodal.
Ex.: No conjunto {1, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 10} os valores “2” e “3” aparecem, ambos, 3 vezes. Di-
zemos, dessa forma, que esse conjunto é bimodal.

A mediana para dados não-agrupados (Md)
A mediana é a medida de tendência central que divide os dados ordenados em duas partes de
mesma freqüência. Para obtermos a mediana, ordenamos os dados em ordem crescente e tomamos o
termo central. A posição dessa medida também pode ser obtida pela expressão P= n+1 , em que “P”
representa a posição do elemento da mediana e “n” o número de elementos. 2

Veja como fica a mediana no exemplo das notas utilizado anteriormente:
Notas dos 15 alunos: 3; 5; 7; 6; 9; 10; 7; 4; 8; 9; 7; 2; 6; 7; 3.
Ordenando as notas em ordem crescente: 2; 3; 3; 4; 5; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 8; 9; 9; 10.


Como você pode notar, para essa situação temos 15 elementos, logo o elemento central (media-
na) ocupará a posição 8, ou ainda, pela expressão P= n+1 , temos 15+1 16 , ou seja, 8.ª posição,
P= = =8
veja: 2 2 2

Esse é o elemento que ocupa
a 8.ª posição.
Para esse exemplo,
a mediana, então, é igual a 7.

Observação importante
Caso tenhamos um número par de elementos, dizemos que a mediana se encontra entre os
dois valores.

Veja:
Para a seqüência 1; 1; 2; 2; 3; 4; 5; 5; 5; 6; 7; 7 qual o valor da mediana?
n+1 12 + 1 13
Aplicando a expressão P = , temos que P = = = 6, 5 , ou seja, a mediana se encon-
2 2 2
tra entre o 6.º e o 7.º elemento, logo, entre os valores “4” e “5” e, para calculá-la, fazemos a média entre
esses dois valores.

A média ponderada para dados não-agrupados (X ) w
Média ponderada é uma medida utilizada quando se fazem necessárias diferentes importâncias
para determinados elementos. É uma medida muito usada quando temos “pesos” diferentes para dife-
rentes valores. Para calcularmos a média ponderada, multiplicamos cada valor pelo seu “peso”, soma-
mos esses valores e dividimos pela soma dos “pesos”. Assim, a expressão fica:

w 1 . x 1 +w 2 . x 2 +w 3 . x 3 +... w n . x n
x =
w w 1 + w 2 + w 3 +...+ w n

Um exemplo muito comum é o de notas em avaliações e trabalhos na vida escolar. Veja:
Em uma determinada disciplina, o professor trabalha com uma avaliação individual, um trabalho
de apresentação em grupo e um trabalho individual escrito. Para tanto, ele aplica peso 4 para a avalia-
ção individual, peso 3 para a apresentação em grupo e peso 2 para o trabalho escrito.


Aluno x
Notas obtidas:
Avaliação individual: 9,0
Apresentação do trabalho: 5,0
Trabalho escrito: 6,0

Cálculo da média final desse aluno:

4 . 9 + 3 . 5 + 2 . 6 36 + 15 + 12 63
xw = = = = 7, 0
4 +3+2 9 9

Logo, a nota final desse aluno será 7,0.
Suponha que um outro colega tenha também tirado 9,0; 5,0 e 6,0, mas não nas mesmas tarefas.
Veja:

Aluno z
Notas obtidas:
Avaliação individual: 5,0
Apresentação do trabalho: 6,0
Trabalho escrito: 9,0

Cálculo da média final desse aluno:

4 . 5 + 3 . 6 + 2 . 9 20 + 18 + 18 56
xw = = = = 6, 2
4+3+2 9 9

Logo, a nota final deste aluno será 6,2.
Como você pode perceber, de acordo com os pesos arbitrados aos diferentes valores temos uma
variação nos resultados obtidos. Dessa forma, a média ponderada é bastante útil quando queremos
distinguir graus de importância a certos dados.

Agrupando os conhecimentos
A seguir seguem cinco salários dos maiores gestores das cinco maiores empresas do ramo calça-
dista de uma determinada cidade.


Empresa Salário (R$)

Fonte hipotética.
A 8.000,00
B 10.000,00
C 12.000,00
D 15.000,00
E 40.000,00

A partir desses dados, podemos verificar qual medida de tendência central nos dá uma melhor
noção da realidade salarial dessas empresas.
Moda: não há valor modal distinto.
Mediana: R$12.000,00.
Média: 8 .000 + 10 .000 + 12 .000 + 15 .000 + 40 .000 85. 000
= = R$17.000,00
5 5
Como podemos facilmente perceber, o valor atípico de R$40.000,00 levou a média para cima e,
analisando apenas essa medida, poderíamos pensar que o salário usual giraria perto dessa quantidade,
o que não é verdade. Nesse caso, o valor mais representativo seria a mediana de R$12.000,00.

Curiosidade
Para cálculo do Índice Geral de Preços (IGP-DI), assim como o cálculo de diversos outros índices,
utiliza-se média ponderada.
O Índice Geral de Preços, tão comentado atualmente e usado em contratos com prazos relativa-
mente longos, como o aluguel de imóveis, é calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) por meio
de uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que tem peso 6; o Índice de Preços
ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e em São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo da Construção
Civil (INCC), com peso 1. Assim, o cálculo desse índice é:

6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC 6 . IPA + 3 . IPC + 1 . INCC
IGP= =
6 + 3+1 10

Atividades
1. Em uma empresa hipotética, com 13 funcionários, são aplicados os seguintes níveis salariais:

Cargo Número de funcionários Salário (R$)
Fonte hipotética.

Gerente 1 2.300,00
Coordenador 2 1.500,00
Caixas 4 530,00
Atendentes 6 420,00


Com relação a essa situação, responda às questões que seguem:
a) Qual o salário médio nessa empresa?

b) Qual o salário modal?

c) Qual o salário mediano?

d) Suponha que a empresa opte por demitir um dos coordenadores e contratar mais um aten-
dente, quanto ficará o salário médio?

2. Nesses últimos meses, a gasolina sofreu grandes reajustes. A tabela abaixo mostra os valores mé-

Janeiro 2,36
Fevereiro 2,44
Março 2,53
Abril 2,59
Maio 2,67
Junho 2,59
Julho 2,59
Agosto 2,67
Setembro 2,72


Com base nesses dados, elabore uma planilha de freqüência para dados não-agrupados e calcule
a média, a moda e a mediana dessa situação.

3. A tabela abaixo mostra os valores dos aluguéis para locação em uma imobiliária, com valores
entre R$1.200,00 e R$1.500,00 das casas disponíveis com três dormitórios, garagem para um au-
tomóvel, em um certo bairro.

Endereço Valor do aluguel (R$)
Fonte hipotética.

Av. Independência, 234 R$1.500,00
Av. Independência, 1250 R$1.300,00
Av. Nações Unidas, 111 R$1.500,00
Rua Alvará, 234 R$1.200,00
Rua Mossoró, 30 R$1.400,00
Rua Mossoró, 1246 R$1.350,00
Rua Pará, 324 R$1.250,00
Rua Pilão, 36 R$1.300,00
Rua Pitan, 450 R$1.250,00
Rua Tuiuti, 36 R$1.250,00


A partir dessa tabela, obtenha:
a) o valor médio dos aluguéis apresentados;
b) o valor moda;
c) o valor mediano.

4. Calcule a idade média, a idade mediana e a idade modal das pessoas, incluindo você, que com-
põem a sua turma.

5. O Índice Geral de Preços (IGP-M) é calculado pela Fundação Getúlio Vargas (FGV) por meio
de uma média ponderada entre o Índice de Preços no Atacado (IPA), que tem peso 6; o Índice de
Preços ao Consumidor (IPC) no Rio de Janeiro e em São Paulo, com peso 3; e o Índice de Custo
da Construção Civil (INCC), com peso 1. Imagine que, em um determinado mês, o valor do IGP-M
tenha sido de alta de 0,992%, do IPA tenha sido de alta de 1,2%, do INCC, alta de 0,32%. Qual será
a alta registrada para o IPC?

Dica: Escreva a expressão para a média ponderada do IGP-M e substitua os valores nessa expres-
são.


6. Imagine que, em uma pesquisa de 11 casas de materiais de construção, os valores do saco de
cimento de 50kg tenham sido os seguintes:

R$15,00 R$18,00 R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,00
R$16,50 R$17,00 R$18,00 R$15,50 R$17,50

A partir desses dados, obtenha:
a) O valor médio.

b) O valor modal.


c) O valor mediano.

Prefeitura divulga balanço do Carnaval 2005
(RIOTUR, 2005. Adaptado)
A Prefeitura do Rio fez um balanço positivo do Carnaval 2005, consagrado como o melhor even-
to popular do mundo. Para os cariocas e os visitantes, a Prefeitura investiu R$27 milhões no Carnaval
Carioca, promovendo, além do espetáculo no Sambódromo, eventos como os Bailes Populares [...]
[...] Em uma pesquisa para conhecer a origem e avaliar a satisfação do público com o evento
foram entrevistadas 1.603 pessoas[...]
Para tanto foi calculada uma Média Ponderada da Avaliação de Serviços da Cidade: Limpeza Públi-
ca, Segurança Pública, Informações Turísticas, Diversão Noturna, Restaurantes e Transporte Urbano.
Escala usada:
ótimo = 5 bom = 4 regular = 3
ruim = 2 péssimo = 1

A partir da curiosidade acima, responda às questões 1, 2 e 3.
7. Suponha que, das 1 603 pessoas entrevistadas, com relação ao item limpeza pública, 812 tenham
respondido ótimo, 545 bom, 172 regular, 66 ruim e 8 péssimo. Qual seria a nota para esse índice?

8. Se as respostas estivessem em outra ordem, ou seja, 8 ótimo, 66 bom, 172 regular, 545 ruim e 812
péssimo, como ficaria a situação anterior? Será que esse índice seria tão bom assim?


9. Os índices divulgados pela empresa, com relação a essa pesquisa, para turistas estrangeiros, fo-
ram os seguintes (RIOTUR, 2005):

limpeza pública – 3,9 segurança pública – 3,8
informações turísticas – 4,1 diversão noturna – 4,4
restaurantes – 4,4 transporte urbano – 4,1

Com base nessas informações, reflita:
a) O que significa a nota para segurança pública ter ficado em 3,8?

b) O que significa a nota para diversão noturna ter ficado em 4,4?

Livros de estatística básica sempre apresentam esses conceitos. Caso tenha dúvidas, procure um
livro em alguma biblioteca perto de sua residência ou cidade. O site <www.somatematica.com.br>, que
é de uso gratuito, oferece várias dicas e downloads sobre esses conceitos.

Resumo
As medidas de tendência central como média, moda e mediana nos fornecem bons resultados
quando os valores estudados não têm grandes variações entre si; porém, muitas vezes, elas podem não
representar bem a amostra que temos.

Medidas de variabilidade
para dados não-agrupados
Simplificando a definição
Para simplificar a definição e justificar a necessidade das medidas de variabilidade, partiremos de
uma situação bem simples. Veja:
Suponha que nos cinco primeiros dias de um certo mês o dólar comercial teve imensas variações
e assumiu cinco distintos valores, conforme tabela abaixo:

Dia Valor do dólar em R$
Fonte hipotética.

1.º R$1,93
2.º R$1,98
3.º R$2,65
4.º R$2,74
5.º R$2,00

Qual o valor médio do dólar nesses cinco dias?

1,93 + 1,98 + 2,65 + 2,74 + 2,00 11,3
µ= = = 2, 26
5 5


Suponha, agora, outra situação:
No mês seguinte ao que citamos anteriormente, imagine que o dólar tenha assumido os se-
guintes valores:


Fonte hipotética.
1.º R$2,24
2.º R$2,25
3.º R$2,27
4.º R$2,28
5.º R$2,26

Qual o valor médio do dólar nesses cinco dias?

2,24 + 2,25 + 2,27 + 2,28 + 2,26 11,3
µ= = = 2, 26
5 5

Como você pode perceber, em ambos os casos o dólar, nos cinco primeiros dias, teve o mesmo
valor médio. Será que esses valores foram constantes neste período? Para diferenciar situações como
essas e tantas outras é que, em Estatística, utilizamos as medidas de variabilidade. São elas que, asso-
ciadas aos valores das medidas de tendência central, dão-nos uma noção da variabilidade da situação
que estamos estudando.

A variância (σ2 ), o desvio-padrão (σ)
e a amplitude (A) para dados não-agrupados (X ) w
A amplitude é a medida de variabilidade que nos diz em quanto os valores variaram; logo, é dada
pela diferença entre o maior e o menor dos dados, assim:
A = Lmáx - Lmín
A variância (σ2) é uma medida de variabilidade que serve para calcularmos a média dos quadra-
dos dos valores afastados da média, ou seja, para uma população:

S(xi - x )2
s2 =
n
O símbolo “Σ” significa “somatório”, ou seja, soma dos termos.

Importante
Quando o que temos não é uma população, mas apenas uma amostra (ou seja, uma parte
da população), devemos utilizar um fator de correção, multiplicando o resultado da variância por
n
um fator .
n-1

Medidas de variabilidade para dados não-agrupados | 59

Para diferenciar o símbolo σ2, que significa variância da população, utilizaremos o símbolo s2 para
variância da amostra. Assim ficamos com:
S(xi - x)2
Variância para uma população: s2 =
n
n
Variância para uma amostra da população: s2 = ⋅ σ2
n-1
Porém, essa não é uma medida de variabilidade muito utilizada. Em geral, a medida usada é o
desvio-padrão (σ) que significa o quanto, em média, os valores estão afastados do valor médio e, como
podemos perceber, o desvio-padrão (σ), por não ter o termo ao quadrado (σ2), é dado pela raiz quadra-
da da variância, ou seja:
Desvio-padrão para uma população (ou seja, para todos os elementos envolvidos)

S(xi - x)2
s=
n

Da mesma forma que na variância, o desvio-padrão, para a amostra, deverá ser corrigido.
Para simplificarmos todas essas definições, calcularemos o desvio-padrão para as duas situações
trazidas no início deste capítulo (variação do dólar).

1.º R$1,93
2.º R$1,98
3.º R$2,65
4.º R$2,74
5.º R$2,00

Para tanto, constrói-se uma tabela na qual colocaremos, em cada coluna, os valores que precisa-
2
mos até chegarmos à expressão S(xi - x) :
n
Para a primeira situação:

xi xi – x= xi – 2,26 (xi – x )2
R$1,93 –0,33 0,1089
R$1,98 –0,28 0,0784
R$2,65 0,39 0,1521
R$2,74 0,48 0,2304
R$2,00 –0,26 0,0676
Somatório (Σ) 0,6374

Dessa forma, podemos calcular a variância e, conseqüentemente, o desvio-padrão para esta situação:


Σ(xi - x)2
σ2 =
n
0,6374
σ2 = = 0,12748
5
σ = 0,12748 = 0, 357 ≅ 0, 36

Ou seja, em média, os valores dos cinco primeiros dias deste mês ficaram afastados da média
(R$2,26) em 36 centavos (R$0,36), o que, como já era de se esperar, a partir dos valores assumidos nos
cinco primeiros dias, é uma grande variação. Nota-se que o valor da variância não precisou ser corrigido,
porque pegamos todos os valores dos cinco primeiros dias e calculamos a variação nestes dias; logo, a
nossa população eram os dias 1.º a 5 do mês em questão.
E a amplitude, para esse caso, fica:
A = 2,74 – 1,93
A = 0,81
Para a segunda situação:

xi xi – x = xi – 2,26 (xi - x )2

R$2,24 –0,02 0,0004
R$2,25 –0,01 0,0001
R$2,27 0,01 0,0001
R$2,28 0,02 0,0004
R$2,26 0 0
Somatório (Σ) 0,001

Desta forma, podemos calcular a variância e, conseqüentemente, o desvio-padrão para essa situ-
ação:

Σ(xi - x)2
σ2 =
n
0,001
σ2 = = 0,0002
5
σ= 0,0002 = 0, 0, 014 ≅ 0, 01

Ou seja, em média, os valores dos cinco primeiros dias deste mês ficaram afastados da média
(R$2,26) em pouco mais de um centavo (R$0,014), o que, como já era de se esperar, a partir dos valo-
res assumidos nos cinco primeiros dias, é uma baixíssima variação.
Também aqui, o que temos é uma população e não uma amostra, logo, é desnecessário o fator
de correção.

Métodos Quant. Aplic. a Gestão

Métodos Quant. Aplic. a Gestão

Recommandé

Recommandé

Contenu connexe

Tendances

Tendances (20)

En vedette

En vedette (18)

Similaire à Métodos Quant. Aplic. a Gestão

Similaire à Métodos Quant. Aplic. a Gestão (20)

Métodos Quant. Aplic. a Gestão