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INSTITUTO SUPERIOR DE ENGENHARIA DE LISBOA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL - MECÂNICA APLICADA

CAPÍTULO IV

Sistemas Triangulados ou Treliças

1 C

2

3
1

Esquema (1) Esquema (2)

SEMESTRE VERÃO 2004/2005

Manuela Gonçalves
Maria Idália Gomes 1/14


Capitulo IV – Sistemas Triangulados ou Treliças

4.1 Definição

Sistemas Triangulados ou Treliças são sistemas constituídos por elementos indeformáveis
unidos entre si por articulações, consideradas perfeitas, e sujeitos apenas a cargas aplicadas nas
articulações (nós). Assim os elementos (barras) ficam exclusivamente sujeitos a esforços
normais, de tracção ou compressão.

Quando os elementos da estrutura estão essencialmente num único plano a treliça é designada
plana.

Montantes

Cordão Superior
Diagonais

Cordão Inferior

Figura 1 – Cobertura de um pavilhão industrial

Cordão Inferior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte inferior;

Cordão Superior ⇒ conjunto de elementos que forma a parte superior;

Montantes ⇒ barra verticais;

Diagonais ⇒ barras inclinadas.

Manuela Gonçalves


A definição apoia-se em simplificações, barras rígidas, nós serem rótulas e ausência de acções
ao longo das barras, que conduzem a uma teoria aproximada no estudo destes sistema, desde
que a estrutura esteja bem concebida, isto é, as barras sejam concorrentes num único ponto de
cada nó.

Figura 2 – Exemplo de uma treliça

4.2 Estaticidade da estrutura

4.2.1 Estaticidade Interior

O sistema rígido mais simples é constituído por três barras articuladas entre si. Se cada nó for
agregado ao sistema por intermédio de apenas duas barras obtém-se um sistema rígido, por isso
invariante (não varia a sua configuração geométrica) e estaticamente determinado. Uma treliça
formada deste modo é designada por treliça simples e é isostática. Sendo b o número de barras
e n o número de nós então o número total de barras é dado por b = 2n – 3 . Esta relação é uma
condição necessária para a estabilidade da treliça, porém não é condição suficiente, porque uma
ou mais das barras podem estar dispostas de tal modo que não contribuem para uma
configuração estável da treliça simples.

Se b > 2n – 3 existem mais barras que as necessárias para evitar o colapso o que sugere que a
treliça seja interiormente hiperestática e por isso estaticamente indeterminada. É no entanto
necessário analisar se a disposição das barras lhe permite manter uma configuração estável.

Manuela Gonçalves


Assim sendo, as barras que não são necessárias para manter a posição de equilíbrio da treliça
designam-se por redundantes e o seu número traduz o grau de hiperestaticidade interior,
hi=b– (2n-3).

Se b < 2n – 3 há uma deficiência de barras, por isso a treliça é designada de interiormente
hipoestática. O equilíbrio apenas é possível mediante certas condições que não sendo
verificadas levará o sistema ao colapso.

Na figura 3 a aplicação da expressão b = 2n-3 levaria à conclusão que o sistema é isostático, o
que é falso, porque é a combinação de um sistema hiperestático (a) com um hipoestático (b).

a b c

Figura 3

4.2.2 Estaticidade Exterior

A estaticidade exterior é calculada a partir das condições de apoio do sistema. Os apoios
restringem os graus de liberdade e por isso o número de incógnitas que surgem , a, são
calculadas a partir das equações de equilíbrio da estática, três no plano. SE os apoios estiverem
colocados por forma a impedir qualquer movimento do sistema como corpo rígido o grau de
hiperestaticidade exterior é então he = a -3.

Sistema hipoestático ⇒ a < 3

Sistema isostático ⇒ a = 3

Sistema hiperstático ⇒ a > 3

Manuela Gonçalves


4.2.3 Estaticidade Global

A estaticidade global é dada pela soma da estaticidade interior e exterior;

hg = hi + he = (b – 2n + 3) + (a – 3) = b + a – 2n

Em determinadas treliças, assim como noutros sistemas, é possível que a hiperestaticidade
exterior seja compensada com a hipostaticidade interior, resultando um sistema globalmente
isostático e estável.

É o que se verifica na treliça representada na figura 4.

F1
R

F2

Figura 4

No entanto, se as ligações ao exterior estiverem inconrrectamente localizadas, resulta um
mecanismo, apesar de grau de hiperestaticidade exterior ser igual ao grau de hipostaticidade
interior.

F1
R

F2

Figura 5

Manuela Gonçalves


4.3 Classificação das treliças quanto à lei de formação

4.3.1 Treliças Simples

As treliças são formadas a partir de um triângulo base e por forma que cada novo nó seja
agregado através de duas barras. Estas são interiormente isostáticas, verificando-se a condição
b= 2n -3.

Figura 6 – Cobertura de uma habitação – Exemplo de uma treliça simples

4.3.2 Treliças Compostas

Resultam da associação de duas treliças simples por meio ou de três barras não paralelas nem
concorrentes num ponto (esquema 1), ou de um nó e uma barra que não concorra nesse nó
(esquema 2).
1 C

2

3
1


Figura 7 – Treliças compostas

Manuela Gonçalves


Figura 8 – Poste de alta tensão – Exemplo de uma treliça composta

As ligações entre as duas treliças simples restringem os três graus de liberdade que cada uma
teria relativamente à outra. Se as treliças fossem ligadas entre si por um maior número de
barras do que o indicados nos dois exemplos anteriores obtinham-se treliças compostas
hiperestáticas em vez de isostáticas.

Apesar de não seguir o modo de formação anteriormente referido, para as treliças compostas,
também se classificam deste modo as treliças que resultam da substituição de algumas barras de
uma treliça simples por uma outra treliça simples. Na treliça do esquema (3), as barras
superiores foram substituídas por treliças secundárias simples obtendo-se o esquema (4).


Figura 9 – Exemplos de treliças

Manuela Gonçalves


As vigas Gerber treliçadas são classificadas como treliças compostas.

Figura 10 – Viga Gerber treliçada

Figura 11- Ponte BNSF RR Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada

Figura 12 - Ponte Hawthorne Portland, Oregon – Exemplo de uma Viga Gerber treliçada

Manuela Gonçalves


4.3.3 Treliças Complexas

Estas treliças embora satisfazendo a condição básica da isostaticidade interior b= 2n – 3, não se
identificam com as leis de formação das treliças simples ou compostas, por isso classificam-se
como complexas.

Figura 13 – Treliças complexas

4.4 Determinação dos esforços nas barras de treliças

4.4.1 Considerações

Considera-se a treliça simples sujeita ao carregamento indicado na figura, e com as reacções de
apoio calculadas a partir das equações universais da Estática.

A determinação dos esforços nas barras pode ser feita utilizando-se um dos dois métodos
analíticos, “Equilíbrio dos nós” ou “Ritter”.

4 P2 P3

2 6

HA 1 8
3 5 7
P1
VA VB

Cada uma das barras da treliça faz a ligação entre dois nós. Assim, se a barra está sujeita à
compressão a força que a comprime converge para os nós e, se está à tracção, a força que a
tracciona sai dos nós.

Manuela Gonçalves


4.4.2 Equilíbrio dos nós

A treliça encontra-se em equilíbrio, por isso todos os seus nós também o estão.

Este método consiste em isolarmos sucessivamente cada um dos nós, marcar as forças
exteriores, activas e reactivas, e os esforços normais das barras que nele concorrem. Os
esforços normais das barras serão assim determinados como forças que garantem o equilíbrio
do nó.

Assim, aplica-se a equação ∑ F=0 que garante o equilíbrio de forças concorrentes num ponto
material, à qual correspondem as equações de projecção ∑Fx=0 e ∑Fy=0, tendo o referencial
de eixos ortogonais Ox Oy uma qualquer orientação.

A sucessão de nós é feita de modo a que surjam apenas dois esforços (incógnitas) em cada
novo nó. É aconselhável, no caso da nossa sensibilidade estática não nos permitir antever a
natureza do esforço que sejam todos considerados à tracção, e assim, os sinais obtidos já serão
os sinais dos esforços actuantes: se for positivo (confirma o sentido arbitrado) indica tracção e
se for negativo indica compressão.

Exemplifica-se a seguir o equilíbrio do nó 1 e nó 3.

Nó 1

N12 ∑F y = 0 ⇒ N12 senθ + VA = 0 ⇒ N12

HA 1
θ N13
∑F x = 0 ⇒ N12 cos θ + N13 + H A = 0 ⇒ N13

VA

A primeira equação permite concluir que a barra 12 está sujeita a um esforço de compressão.

Nó 3
N32
∑F y = 0 ⇒ N 32 − P = 0 ⇒ N 32
1

N31 N35
3 ∑F x = 0 ⇒ N 31 + N 35 = 0 ⇒ N 35

P1

Manuela Gonçalves


4.4.3 Método de Ritter

Consiste em cortar a treliça por uma secção, cortando apenas três barras, não devendo estas ser
paralelas nem concorrentes num ponto. Como a treliça está em equilíbrio, qualquer das partes
resultantes do corte ficam em equilíbrio, porque os esforços normais actuantes nas barras
cortadas as equilibram.

Cortando a treliça por essas barras através da secção SS’, nada se altera sob o ponto de vista
estático, desde que se substituam as barras cortadas pelos esforços normais nelas actuantes e
que são determinados como as forças que garantem o equilíbrio da parte cortada da treliça.

É indiferente analisar a parte esquerda [esquema (5)] ou a parte direita da treliça [esquema (6)].
Escolhe-se, aquela que conduzirá a um menor trabalho numérico na obtenção dos esforços
normais.

S S P2

4 4 P3
N24 N42
2 6
N25 2
N52
HA 1 8
5 3
3 N35 N53 5 7

VA P1
VB
S’ S’
Esquema (6)
Esquema (5)

A determinação das incógnitas é a partir das equações universais da estática plana, devendo ser
escolhidas e usadas de uma ordem tal que permita a determinação directa de cada uma das
incógnitas. Assim são usadas três equações de momentos relativamente a três pontos não
colineares, sendo, cada um destes (pontos), a intersecção das linhas de acção de duas forças
incógnitas.

Manuela Gonçalves


Usando o esquema (5) temos que:

∑M 5 = 0 ⇒ N 24

∑M 1 = 0 ⇒ N 25

∑M 2 = 0 ⇒ N 35

As forças obtidas com sinal positivo confirmarão os sentidos arbitrados (sendo de tracção),
caso o sinal seja negativo são de compressão.

As secções de Ritter podem ter qualquer forma desde que sejam continuas e atravessem toda a
treliça.

Excepções

(1) Quando se deseja conhecer o esforço numa só barra não é condição obrigatória fazer o
corte apanhando apenas três barras. Efectivamente se as demais, em qualquer número, se
intersectarem num único ponto, escolhe-se a equação de momentos relativamente a esse
ponto, calculando-se directamente o esforço na barra em questão.

Pretendemos saber N24 ⇒ ∑ M 5 = 0

N24
S
N54
2
S’
N56
HA 1
N57
3 5
S’

VA P1

Então ∑M 5 = 0 ⇒ N 24

Manuela Gonçalves


(2) Quando duas barras cortadas por uma secção de Ritter são paralelas é mais cómodo
utilizar duas equações de momentos e uma equação de projecção numa direcção, como
equações de equilíbrio da estática.

S P2

2 4
6

HA 1
5
3

S’ P1
VA VB

2 N24
∑M 3 = 0 ⇒ N 24
N23

HA
∑M 2 = 0 ⇒ N13
1 3
N13
∑F y = 0 ⇒ N 23
VA

Manuela Gonçalves


Exercício de Aplicação
Enunciado Figura

Para a estrutura apresentada:

a) calcule os esforços nas barras

b) confirme o esforço para a barra
EC.

Manuela Gonçalves

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