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ALGEBRA
Conjuntodelosnúmerosreales(R):Launióndelosnúmerosracionalesconlosirracionales
NúmerosNaturales(N:{1,2,3,...}.
Núme...
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
ValorAbsoluto
Esladistanciaalacualseencuentraelelpuntocorrespondient...
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Radicales
RaízCuadrada:Engeneral,dadounnúmerorealpositivoX,laraízcua...
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
ExpresionesAlgebraicas
Laadición,sustracción,multiplicaciónyextracci...
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
MultiplicaciónyFactorizacióndePolinomios
Paramultiplicarpolinomiosse...
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FormulaNotable
Enestecasoelpolinomioaparecedesarrolladoysipodemosver...
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Ecuacionescuadráticasconunaincógnita:
Unaecuacióncuadráticaodesegund...
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Así,elconjuntosolucióndelaecuaciónes.
c)Factorizamoselladoizquierdoy...
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Ejemplos:
1.
Solución:Enestecaso,,.Entonces∆==
16-60=-44.Comoeldiscr...
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Pasospararesolverelproblema:
1.Leacuidadosamenteelproblema,parapoder...
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puestoqueparacadanúmeroreal,existeunnúmerodelaformaenRysolouno.
Enes...
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Dadaunafunciónrealdevariablereal,siconocemosunaecuaciónquedefinelama...
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Ejemplo:Tomandoelejemploanteriortomamoscualquierparordenadoysustitui...
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Métododeeliminación()odeSumayresta):Estemétodoconsisteenmultiplicarc...
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ConcavidaddelaParábola:
oSia>0.Escóncavahaciaarriba.
oSia<0.Escóncav...
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Ejemplos2:ParalaFunción,talque
Tenemos.Si16
a)Vertiese:
b)Ejedesimet...
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FunciónSobreyectiva
Unafuncióntalquetodoelementoenelcodominiotieneal...
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FunciónExponencialyLogarítmica
FunciónExponencial
Seaunnúmerorealpos...
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Caso1:
Dominio:
Rango:
Intersecciónconeje“x”:ninguno
Interseccióncon...
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FunciónLogarítmica
Seaunnúmerorealymayorquecero()ydiferentede1(,Sell...
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Base:
Dominio:
Codominio:
Intersecciónconeje“x”:(1,0)
Intersecciónco...
RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño
Propiedadeslogarítmicas:
1.
Ejemplo:
2.
Ejemplo:
3.
Ejemplo:
4.
Ejem...
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EcuacionesExponenciales
Consuforma.
Cuandolaincógnitaseencuentraenel...
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Resumen matem tica 20holiwiii14 ingenioso cr sbs

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Resumen matem tica 20holiwiii14 ingenioso cr sbs

  1. 1. ALGEBRA Conjuntodelosnúmerosreales(R):Launióndelosnúmerosracionalesconlosirracionales NúmerosNaturales(N:{1,2,3,...}. NúmerosEnteros(Z...,-3,-2,-1,0,1,2,3,...}. NúmerosRacionales(Q):{/aesenteroybesentero,b≠0}.Expansióndecimalfinitae infinitaperiódica. NúmerosIrracionales(I):{,π,etc.…)Expansióndecimalinfinitanoperiódica. PROPIEDADESDELAADICIÓNYMULTIPLICACIÓNDENÚMEROSREALES Propiedadadiciónmultiplicación Conmutatividada+b=b+aa•b=b•a Asociatividad(a+b)+c=a(b+c)(a•b)•c=a•(b•c) Elementoneutroa+0=aa•1=a Inversoa+(-a)=0a•=1(sia≠0) Distributividada•(b+c)=a•b+a•c,también(a+b)•c=a•c+b•c Notas: 0=Neutroaditivo 1=NeutroMultiplicativo =Inversomultiplicativodeaorecíprocodea -a=Inversoaditivodeauopuestodea (a-b)=Diferenciaorestadeayb (,otambiénab)=Cocientedeayb OTRASPROPIEDADESDELASOPERACIONESCONNÚMEROSREALES 1)Sia=byc=d,a+c=b+dya•c=b•d 2)Sia=b,entoncesa+c=b+cya•c=b•c 3)a•0=0 4)Sia•b=0,entonces(a=0)o(b=0) RESUMENDEBACHILLERATO MATEMÁTICAS 2014 Pasospararealizaroperacionescombinadas: 1)Realizamoslasoperacionesdentrodelparéntesisutilizandoelsiguienteorden: 2)Multiplicacionesydivisiones.(Deizquierdaaderecha). 3)Sumasyrestas(Deizquierdaaderecha) Ejemplo:(5–6)(4-3•2)+3[2-3•(-3+6)]= -1•-2+3[2-3•0+6]=2+3[2-0+6]= 2+3•8=2+24= Reglasparaoperacionesconsignos Paraaybnúmerosrealescualesquieraquesea: -(-a)=a (-a)b=-(ab)=a(-b) (-a)(-b)=ab (-1)a=–a -(a+b)=-a–b OperacionesconFracciones Siaybsonnúmerosreales,conb≠0,entonces:==- Podemoscancelarfactorescomunes:=(sabiendob≠0,c≠0) oSimplificacióndelafracción== oAmplificacióndelafracción== oSiunafracciónnosepuedesimplificarlaconocemoscomoirreducible. MultiplicacióndeFracciones:•= DivisióndeFr4acciones:= Adiciónysustraccióndefracciones:+= o+= o-= o+=+= o-=-= OsverFV1
  2. 2. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño ValorAbsoluto Esladistanciaalacualseencuentraelelpuntocorrespondientea0ysedenotapor Porejemplo:=4,=3,=-()= Exponentes Estudiaremoselsignificadodeexpresionesdetipoan ,llamadaspotencias. ExponentesNaturales Dadosunnúmerorealayunnúmeronaturaln,definimoslapotenciadebaseay exponentendelasiguientemanera: POTENCIAan CONnNATURAL Sin=1,entoncesa1 =a Sin=2,entoncesa2 =a•a Sin=3,entoncesa3 =a•a•a Yasísucesivamente,an =a•a•a…….a(nvecesacomofactor) ExponentesEnteros Considerandoigualmenteexponentesnegativosycero.Siendonunnúmeroreal, tenemoslosiguiente: POTENCIAan CONnENTERO Sinespositivo,entoncesan sedefinecomoenelcuadroanterior. Sin=0,entoncesa0 =1,siemprequea≠0. Sin=-1,entoncesa-1 =,siemprequea≠0. Finalmentesi“n”espositivo,entoncesn=-mcon“m”positivoy definimosa-m =1/am ,siemprequea≠0. Lasexpresiones00 ,0-1 y0n si“n”esnegativo,nosedefinen. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño POTENCIAan CONnENTERO Consideremosx,ynúmerosrealesyn,mnúmerosenteros. xn xm =xn+m (paramultiplicarpotenciasdeigualbaseseconservala baseysesumanlosexponentes) (xn )m =xnm (paraelevarapotenciaunapotenciaseconservalabasey semultiplicanlosexponentes) =xn-m (paradividirpotenciasdeigualbaseseconservalabaseyse restanlosexponentes) (xy)n =xn yn (lapotenciadeunproductoesigualalproductodela potencia.) =(lapotenciadeuncocienteesigualalcocientedelapotencia.) Ejemplo1:(x3 y2 )4 (x4 y)-1 (x3 y2 )4 (x4 y)-1 =(x3•4 y2•4 )(x4•-1 y1•-1 ) =x12 y8 x-4 y-1 =(x12 x-4 )(y8 y-1 ) =x12+-4 y8+-1 =x8 y7 Ejemplo2: = =() = = = == OsverFV2
  3. 3. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Radicales RaízCuadrada:Engeneral,dadounnúmerorealpositivoX,laraízcuadradadexesunnúmero realpositivoptalquep2 =X.Laexpresiónselee:“raízcuadradadex” Ejemplos: A.=4,pues42 =16 B.=,pues= C.=0,03,pues(0,03)2 =0,0009 Raícesn–ESÍMAS SeaXunnúmerorealynunnúmeronaturalmayorque1.Entonces: RAÍZENESIMA Si“n”esunnúmeroparyxespositivoocero,laraízn-ésimadexeselnúmeroreal positivo,ocero,ptalquepn =x Si“n”esunnúmeroimparyxescualquiernúmeroreal,laraízn-ésimadexeselnúmero realptalquepn =x. Enamboscasosescribimos: =p Sin=3,laexpresiónselee:“raízterceradex”o“raízcúbicadex” Sin=4,laexpresiónselee:“raízcuartadex”. Sin=5,laexpresiónselee:“raízquintadex”. Laexpresiónselee:“raízenésimadex”. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño PROPIEDADESDELOSRADICALES Laexpresiónsellamaradical;nrecibeelnombredeíndicedelradicalyxsellamasubradical. Consideremosx,ynúmerosrealesyn,m,knúmerosenterospositivos. 1.= 2.== 3.= 4.= 5.== 6.=sinesimpar. 7.=sinespar. 8.= EXPONENTESFRACCIONARIOS Veremoselsignificadode,para POTENCIADEEXPONENTEFRACCIONARIO Seaunnúmeroracional,dondeesunafracciónirreducibleysea;definimos,la potenciadebaseyexponente,delasiguientemanera. ,= Esdecir,esigualalaraíz–ésimade. Ejemplos: a)====8•2=16 b)==== c)=== OsverFV3
  4. 4. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño ExpresionesAlgebraicas Laadición,sustracción,multiplicaciónyextracciónderaícessonconocidascomo operacionesalgebraicas.Cualquiercombinaciónqueresultedeoperarconnúmeros,yasean representadosporlossímboloscorrespondientesoporletras,esconocidacomoexpresión algebraica.Lassiguientessonexpresionesalgebraicas: a.3x2 +5x+10 b.+8ª–3b c. Enlasexpresionesalgebraicaspodránaparecernúmerosexplícitos;estosrecibenel nombredeconstantesenlaexpresión.Laletrapuedeserconstanteovariable,cuandodecimos queunaletraesconstanteesporquesuvalor,aunqueseaarbitrario,nocambiaráatravésdela discusióndelasituaciónoproblema;sinembargocuandohablamosdeunavariableestaesuna letraquepuedesersustituidaporcualquiernúmeroquepertenezcaaciertoconjuntode números.ElconjuntodenúmeroscuyosvalorespuedetomarunavariablesellamaDominiodela variable. MonomiosyPolinomios Expresionesalgebraicasenlasquesolamenteaparecenlasoperacionesdesumarestay multiplicacióndeconstantesyvariablessedenominaunpolinomio. Ejemplo: a.3x3 y3 +5xy–2y b.a4 +3abc+ RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño SumayRestadePolinomios Cuandosumamosyrestamospolinomiosloquehacemosescombinartérminossemejantes mediantelaconmutatividaddelaadiciónylaleydistributiva. Dosomástérminossemejantespuedensumarseorestarseusandolapropiedaddistributiva;por estarazón,sesumanorestanloscoeficientesyseconservaelfactorliteral. Ejemplos: Monomios: a.3x4 y+5x4 y=(3+4)x4 y=8x4 y b.16m2 +12m2 –10m2 =(16+12-10)m2 =18m2 Polinomios: a.(3x2 y+5xy-4xy2 )+(5x2 +x2 y-2xy)= 3x2 y+x2 y+5xy-2xy-4xy2 +5x2 = x2 y+3xy-4xy2 +5x2 b.(-2ab+3a2 b+4a3 b2 +1)–(4ab-2a2 b+7a3 b2 -5)= (-2ab+3a2 b+4a3 b2 +1)+(-4ab+2a2 b-7a3 b2 +5)= -2ab-4ab+3a2 b+2a2 b+4a3 b2 -7a3 b2 +1+5 -2ab-4ab+3a2 b+2a2 b+4a3 b2 -7a3 b2 +1+5 -6ab+5a2 b- 3a3 b2 +6 OsverFV4
  5. 5. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño MultiplicaciónyFactorizacióndePolinomios Paramultiplicarpolinomiosseutilizavariasveceslapropiedaddistributiva.Recuerdeque a(b+c)=ab+ac (b+c)a=ba+ca Segúnestotenemosque: (x+y)(p+q)=(x+y)p+(x+y)q=xp+yp+xq+yq Loquehacemosesmultiplicartodoslostérminosdelaizquierdaconlosdeladerechaysumar. Ejemplos: a.x2 y(xy2 +2x-3y)=(x2 y)(xy2 )+(x2 y)(2x)-(x2 y)(3y)=x3 y3 +2x3 y-3x2 y2 b.(2xy+3y2 )(5x-2xy+y)=(2xy+3y2 )(5x)+(2xy+3y2 )(-2xy)+(2xy+3y2 )(y)= 10x2 y+15y2 x-4x2 y2 -6y3 x+2xy2 +3y3 10x2 y+17y2 x-4x2 y2 -6y3 x+3y3 RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FactorizaciónDePolinomios FormulasNotables FormulasNotables 1)(a+b)2 =a2 +2ab+b2 5)(a+b)3 =+3+3a2 +b3 2)(a-b)2 =a2 -2ab+b2 6)(a+b)(a2 +ab+b2 )=+b3 3)(a+b)(a-b)=-7)(a-b)(a2 +ab+b2 )=-b3 4)(a+b)3 =+3+3a2 +b3 Factorización Elprocesodefactorizarsimplificaeltrabajo.Elfactorizarunpolinomioesescribirlocomo elproductodeotrospolinomiosnoconstantes.Siunpolinomiosepuedeescribircomoel productodeotrospolinomiosnotodosconstantes,cadaunodeestossellamanfactordel primero.Siunpolinomionosepuedefactorizarsedicequeesirreducible. Existenvariasformasdefactorizar. Porfactorcomún PorFormulaNotable PorAgrupación PorInspección FactorComún Dadounpolinomioparafactorizar,primeroobservamossisustérminoscontienenalgún factorencomún.Siesasí,laleydistributivanospermiteescribirelpolinomiocomoelproductode esefactorcomúnporotropolinomio. Ejemplos: 3+6+9=3•+3•2+3•3=8 3(2 ()-4()-2()=()(-4-2)= ()(-3-)=-()(3+) OsverFV5
  6. 6. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FormulaNotable Enestecasoelpolinomioaparecedesarrolladoysipodemosverificarquesustérminos satisfacenlascondicionesdealgunadelasformulasnotables,yutilizarlaquecarrespondapara establecerlafactorización. Ejemplos: a)4+12++9= b)-=(a+b-ab)(+(a+b)(ab)+)= (a+b-ab)(+2ab++b+a+) c)3-3=3(-)=3(+)(-) d)=()()=ambosfactoressonfactorizables: ()=(x+z)() ()=(x-z)() Porlotanto: ()()=(x+z)()(x-z)() PorAgrupación: Enalgunasocasionesdadounpolinomio,sepuedeagruparsustérminos,factorizarcada grupoyluegoaplicarlatécnicadelfactorcomún,paraobtenerunafactorizacióndelpolinomio dado. Ejemplos: a)x+bx-z–bz=(x+bx)+(-z–bz) =x(+b)+-z(+b)=(+b)(x-z) b)+--= -+-= + RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Inspecciónotanteo Unprocedimientomuyútilparafactorizartrinomioseselconocidocomo inspección.Estabasadodelasiguienterelacióndadaparaa,b,c,d,xnúmerosreales: :Elprimercoeficientees1,entoncesdebemosbuscardosnúmeros cuyoproductosea12ycuyasumasea7.Estosnúmerosson4y3,porloqueelpolinomio sefactorizacomo:= = 4x+3x=7x Ejemplos: a)= -6x+x=-5x b)=(+1) = +1 += Lossignoslossabremossegúnla sumalorequieraparaobtenerel valordelmonomioqueseubicaen elcentrodeltrinomio. OsverFV6
  7. 7. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ecuacionescuadráticasconunaincógnita: Unaecuacióncuadráticaodesegundogradoenunavariableconcoeficientesrealesesuna ecuaciónquepuedeescribirsecomo: =0 Dondesonconstantesreales,con≠0. Algunosejemplosdeecuacionescuadráticas: 1.=0aquí,,(elsignodecseincluye) 2.=0aquí,, 3.Desarrollandolaexpresióndelladoizquierdotenemos ,, 4..Desarrollandoalaizquierdatenemos;ahora restandotenemos=0yporlotanto=0. ,, RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Existeunafórmulapararesolverlasecuacionescuadráticas,peroprimeroveremosuna formamássimple:Sisonnúmerosreales,entonces=0 Así,sitenemosunaecuacióndesegundogrado=0,elprocedimientoconsiste enfactorizar,siesquesepuede,elmiembrodelaizquierda,usualmenteutilizandoelmétodo deinspecciónvistoanteriormente.Deestafactorizaciónseobtendrándosfactoreslineales.Cada factorseigualaaceroyseobtienendossolucionesdelaecuaciónqueeventualmentepodránser iguales.Estemétodofuncionaadecuadamentecuandolaecuacióntienesolucionesracionales. Ejemplos: a)=0 Sefactoriza:==0deaquíobtenemosdosecuacioneslineales yqueseresuelvensegúnlovistoenlasecciónanterior: Así,elconjuntosolucióndelaecuaciónes. b)=-6primerosedesarrollalaecuación: Factorizamosenlaúltimaecuaciónyprocedemosdelmismomodoqueenelejemploanterior. OsverFV7
  8. 8. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Así,elconjuntosolucióndelaecuaciónes. c)Factorizamoselladoizquierdoyobtenemos Elconjuntosolucióndelaecuaciónes. Estemétodoesmuysencillo,sinembargonoesaplicableentodosloscasos.Porloqueveremos laformulagenerallacualeslamásefectivapararesolverlasecuacionescuadráticas. FormulaGeneral Unaecuaciónlinealtieneunasolasolución.Losejemplosanterioresnosmuestrandossoluciones paracadaecuacióndada.Engeneral,unaecuacióncuadráticapuedetenerunasolasolución(en estecasosedicequeesunasolucióndoble)odossolucionesdiferenteso,también,ninguna soluciónenR.Veamoseldiscriminanteparaestudiarlassolucionesdelasecuacionesdesegundo gradoocuadráticas. Discriminante Sea=0unaecuacióndesegundogrado.Sellamadiscriminantedelaecuaciónal número,quedenotamosconelsímbolo∆(selee“delta”) ∆= Comoeldiscriminante∆deunaecuacióncuadráticaesunnúmero,entoncespuedeser0, negativoopositiva.Sunombresedebeaque,dependiendodesusigno,podemosdeterminarel númerodesolucionesdelaecuación. NÚMERODESOLUCIONESDEUNAECUACIÓNCUADRÁTICA Sea∆eldiscriminantedeunaecuacióncuadrática,entonces: Si∆esnegativo(∆<0),laecuaciónNOtienesolucionesreales. Si∆=0,laecuacióntieneUNAsoluciónrealúnica. Si∆espositiva(∆>0),laecuacióntieneDOSsolucionesreales. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplos: ∆==9+32=41 ∆=41>0.Laecuacióntienedossoluciones. ,siladesarrollamos: ∆==9-28=-19 ∆=-19<0.Laecuaciónnotienesolucionesreales. siladesarrollamos: ∆==16-16=0 ∆=0.Laecuacióntieneunaúnicasoluciónreal. FORMULAGENERALPARARESOLVERUNAECUACIÓNCUADRATICA Si∆=>0,entonceslassolucionesdelaecuación=0,con,son Observequeloquevadentrodelradicalesprecisamenteeldiscriminante;porestarazónsiél negativonohaysolucionesreales.Además,si∆==0,entoncesambassolucionesson igualesy,enestecasotenemos. == OsverFV8
  9. 9. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplos: 1. Solución:Enestecaso,,.Entonces∆== 16-60=-44.Comoeldiscriminanteesnegativonotienesolucionesreales. 2. Tenemos =-5 =-5 =-5 =0 Entonces,,,porloque∆==49-20=29. Luegolassolucionesson: =0,8075=-6,193 3. = = =0 Entonces,,,porloque∆== 9+72=81.Deaquílassoluciones: =0,8075=-6,193 RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Problemasquerequierenparasusolución,ecuacionescuadráticasconunaincógnita. Podemosencontrarfrasescomunesqueseutilizanenelplaneamientodesituaciones problemáticas,cuyatraducciónalasimbologíayellenguajematemáticodebensermanejados correctamenteparapodertenerdeéxitotantoenlamodelacióndelproblemacomoensu respectivasolución. Listadefrasesylaformaenquepuedensertraducidasallenguajematemático: “Dadounnúmero(ounacantidad)…”paraelloasignamosunaletracualquieraque representaráaesenúmeroocantidad;porejemplo:. Laspalabras“suma”,“mas”o“agregar”serepresentanconelsímbolo+.Porejemplo:los enunciados“lasumadedosnúmeros(ocantidades)..”o“unnúmeromásotro”o“auna cantidadleagregamosotracantidad”seescribecomo(donderepresentan losdosnúmerosocantidades). Laspalabras“resta”,“sustracción”o“diferencia”o“disminuir”serepresentanconel símbolo-.Porejemplo:losenunciados“ladiferenciadedosnúmeros(ocantidades)..”o “unnúmerodisminuidoenotro”,seescribecomo(donderepresentanlos dosnúmerosocantidades). “Elproducto(omultiplicación)dedoscantidades(onúmeros)…”seescribecomoo (donderepresentanlascantidades). “Eldobledeunacantidad(onumero)…”seescribe “Eltripledeunacantidad(onumero)…”seescribe “Sietevecesunacantidad(onumero)…”seescribe “ElsalariodeManueles4veceselsalariodeEnrique”.SeescribeDondeesel salariodeManuelyeselsalariodeEnrique. “Lasumadeunnumeroysurecíproco…”seescribecomo,puessieselnúmero entoncessurecíprocoesysusumaes. “Elingresodeunapersonaquegana2000colonesporhorasitrabajaciertonúmerode horas….”Seescribe(Donderepresentaelnúmerodehorastrabajadas). OsverFV9
  10. 10. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Pasospararesolverelproblema: 1.Leacuidadosamenteelproblema,parapodercomprenderexactamenteloqueseday queseestápidiendo.Puedeayudarreescribirloutilizandosuspropiaspalabras. 2.Siesposiblerealiceundibujoocuadrodelasituación. 3.Determineconclaridadcuálessonlosdatosqueleestándandoycuálessonlas variablesoincógnitas;asigneunaletraacadaincógnita. 4.Establezcalasrelacionesentrelasconstantesyvariables,paradeterminarlaecuación oecuacionesaresolver. 5.Resuelvaestasecuaciones. 6.Elaboreunarespuestaquecontesteexactamentealoqueselepreguntaenel enunciado. 7.Verifiquesurespuestaalaluzdelainformacióndada.Sinosatisfacelascondiciones delproblemaoriginal,revisedóndepodríaestarelerrorensuprocedimiento, corríjaloyvuelvaaverificar. Ejemplo1:Ciertanotasecalculacomoelpromediodecuatroexámenes;enlostresprimerosJorge obtuvo¿Cuáldebeserlanotadesucuartoexamenparapromediarun75? Enestecasonosdancuatrotérminos(tresnotasyelpromedio)yunaincógnita(lacuartanota), denotemoslacuartanotacomo.Elpromedioeslasumadelascuatronotasdivididopor cuatro. Asiespromedioes:queremosqueestepromediosea75,esdecir: Resolvemoslaecuaciónparaobtenerloquenospiden: → → Sicomprobamoslarespuesta.Verificamosquecumpleque Larespuestaserá:Jorgedebeobtenerunanotade83enelcuartoexamenparaquesupromedio sea75. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Funciones Enunafunciónsimpleestaráninvolucradasdosvariables: Variableindependiente:quevaríalibremente. Variabledependiente:quevaríadependiendodelaanterior. Sedicequeestasfuncionessondeunavariableporquesoloseencuentraunavariable independiente. ElementosdeunaFunción:Unconjuntollamadodominioyotrocodominio,yunamanerao criteriopararelacionarelementosdeambosconjuntos. ConceptodeFunción: UnafuncióndedominioAycodominioBesunarelacióntalqueacadaelemento enAlehacecorresponderunúnicoelementoenB. ParadistinguirunafuncióndedominioAycodominioBselee“esunafunciónde AenByseutilizalanotación:o ImágenesyPrimágenes SiesunelementodeAyesunelementodeBqueseleasignaamediantela función,escribimos.Esteelementodeselellamaimagendeovalordela funciónen;tambiénsedicequeespreimagende.Decimosqueeslavariable independienteylavariabledependiente. Ejemplo:SeaAyBigualesaN,elconjuntodelosnúmerosnaturales,yconsideremosunarelación talqueacadaelementodeA(cadanumeronatural)leasociasudoble.Tenemosporejemploque a1seleasocia2,a2seleasocia4yasísucesivamente.Estarelaciónesunafunción,talquecada númeronaturaltieneundobleysolamenteuno. Muchasveceselcriterioparadeterminarimágenessepuedeescribirmedianteuna ecuación.Tomandoelejemploanterior,observamosquelaimagende1es2=2•1,laimagende 3es6=2•3.Entotallaimagendees,Sidenotamosporaestafunción,entonceslaimagen dees.Esdecirenestecaso,elcriterioquerelacionaunelementoconsuimagense puedeescribirmedianteunaecuacióndedosvariableso,también,que permitecalcularlaimagendecualquieradeloselementosdeldominio.Paraello,dadounvalor cualquierade,loreemplazamosenlafórmulaparaobtenerelvalorcorrespondientede. Ejemplo1:SeaA=RyB=Rcon:R→Rcon.Estarelaciónesunafunción OsverFV10
  11. 11. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño puestoqueparacadanúmeroreal,existeunnúmerodelaformaenRysolouno. Enestecasotenemos: =0 =21 Ejemplo2:Sea:[1,]→Rtalque Enestecaso,lafuncióntienecomodominioelintervalo[1,],elcodominioRydisponemos deunafórmulaparalaasignacióndeimágenes;alelementoleasignamos. Porejemplo: Ejemplo2:Sea:R→Rcon.Determine,,, ==15 ==0 == === Ámbitoorango Seaunafunción,alsubconjuntodeBformadoportodosloselementosque sonimagendealgúnelementodeAselellamaámbitoorangode(A).Dichodeotramanera,el ámbitoorangodeeselconjuntoformadoportodaslasimágenesdeloselementosdeA. Ejemplo:SeaA=y:A→Ntalqueparacada Deestamaneraelrangodees:= DominioMáximo RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño RecuerdequesisetieneunafuncióndefinidadeunconjuntoAenunconjuntoB,entoncesAse llamaeldominiodelafunción.Porotraparte,cuandotratamosconfuncionesrealesdevariable real,usualmenteelcriteriosepuedeescribirmedianteunafórmulaquenospermiteasignarla imagenacadaunodeloselementosdeldominio. Cuandosedefineunafunción,sonelcriteriocomoeldominioyelcodominio.Porejemplo,noes lomismolafunciónde:→R,con,quelafunción:→R,con .Aunqueenambaslaformuladeasignarimágeneseslamisma,susdominios difieren;enparticulartodonúmeromayorque6tieneunaimagenbajoynotieneimagenbajo Porotraparte,observequesiunafuncióntienecomofórmula,entonces, obligatoriamentedebemostener,esdeciry,porlotanto,eldominiomás grandequepodemostomarparaes Ejemplo1:Dominiomáximodelafuncióndefinidapor , Lafórmuladadatienesentidosiysolosielsubradicalesmayoroigualque0.Esdecir,debemos tener,osea,o.Concluimosqueeldominiomáximodees. Ejemplo2:Dominiomáximodelafuncióndefinidapor Paraquelaexpresiónquedefineaestafuncióntengasentido,debemostenerqueeldenominador tienequeserdiferentedecero.Hacemos=0→o Demaneraqueeldominiomáximodeestáformadoportodoslosnúmerosreales exceptuando1y2,esdecir,esR-. Ejemplo3:Dominiomáximodelafuncióndefinidapor Debemostener0.Factorizandoalaizquierdatenemos(Deaquí lassolucionesdeentonces=0sonooycomo,entonces 0seestáen;esteeseldominiomáximodelafunción. RepresentaciónGráficadelafunción OsverFV11
  12. 12. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Dadaunafunciónrealdevariablereal,siconocemosunaecuaciónquedefinelamaneraenque seobtienenlasimágenes,podemos,enmuchoscasos,representarlasgráficamente.Está representacióngráficaserealizaobteniendolosparesordenadosdelafunciónsegúnlas solucionesdesuecuacióntrazamosunalíneaenlospuntosqueseformandelosparesordenados. Lagráficadeunafunciónesdegranutilidadyaquenospermiteobtenerinformaciónsobreuna función,nosolamentesobrelasimágenesdeciertosvaloresespecíficossinotambiénsobre aspectosmásgeneralesquesonimportantes,especialmenteenalgunasaplicaciones. Ejemplo:RepresentaciónGráficadelafunción Observemosquesi:eslaecuaciónquedefinelafunción,entoncesdebemos representarlaecuación:.Paradibujarlagráficadelaecuacióndebemosconocer algunospuntos,enestecasoalsersencillanoocupamosmuchos.Lasiguientetablatienelos valoresde:yloscorrespondientesvaloresde -2-112 -3-135 (-2,-3)(-1,-1)(1,3)(2,5) Ejemplo2:Aldibujarlagráficade,talque DebemosdibujarlagráficadelaecuaciónTomandoalgunosvaloresdey calculandosusimágenes,paraloqueconstruimoslatabla. -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 -3-2-10123 RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño -10123 30-103 (-1,3)(0,0)(1,-1)(2,0)(3,3) Dibujamoslospuntosresultantesdelaecuaciónylostrazamoslacurvaquelosuneenlagráfica. Enestecasonoseráunarecta,sinoqueseformaraunacurvasuave. FunciónLineal Estafunciónesdeforma,donde“m”esconocidacomopendientey“b”comopunto deintersección.Dondesonconstantesreales. Ejemplo: . Esunafunciónlineal.Dondesony. CálculodedelaPendiente“m” Para()Y) Ejemplo:Seaunafunciónlinealtalque=4y;determinarsupendiente. Cálculodede“b” Paraelcálculodebsetienelasiguienteecuación. OsverFV12
  13. 13. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplo:Tomandoelejemploanteriortomamoscualquierparordenadoysustituimoslaecuación asísitomamos(2,-6) =-2 RectasParalelas:Dosrectassonparalelassisuspendientessoniguales. RectasParalelas:Lasrectassonperpendicularessisuspendientessonrecíprocasyconsignos opuestos. Intersecciónconlosejes.Eje“x”,0Eje“y”, Ejemplo: RégimendeVariación: Dadalafunciónlineal escrecientesi esconstantesi esdecrecientesi Haydoscasosparticularesendelafunciónlineal Lafunciónidentidad:si Ejemplo:,talque,esunafunciónlineal.Aquítenemos Lafunciónconstantesi Ejemplo:,talque,dondeCesunnúmerorealcualquiera,esuna funciónlineal.Donde Criteriodeunafunción: Parahallarelcriteriodebemosresolverunsistemadeecuaciones. Unsistemadedosecuacioneslinealescondosvariableses: RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Dondesonconstantes;sonincognitas.UnaSolucióndelsistemaesunpar ordenado()queessolución,simultáneamente,deambasecuaciones.Siunconjuntono tienesolucionessedicequeesinconciente. Solucionesdeunsistemadedosecuacioneslinealescondosvariableses: Métododesustitución:Estemétodoconsisteendespejarunadelasincógnitasenunaecuación ysustituirenlaotraecuación.Deestaformaseobtieneunaecuaciónenunasolaincógnita;se determinaelvalordeéstayseutilizaparaencontrarelvalordelaotraincógnita. Ejemplo: Despejamosenlaprimerecuación:,losustituimosenlasegundaecuación: .Resolvemosestaúltimaecuación: → Usamosestevalorparaencontrar;como;entonces=2(-11)+4=-18.Asíelsistema tieneunaúnicasolución=(-11,18) OsverFV13
  14. 14. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Métododeeliminación()odeSumayresta):Estemétodoconsisteenmultiplicarcadaecuación porunnúmeroadecuadodemodoquelasumarambasecuaciones,unadelasincógnitas desaparezcaobteniéndoseasíunaecuaciónconunaincógnitacuyovalorsedeterminayseusa paraencontrarelvalordelaotraincógnita. Ejemplo:Paradeterminarelpuntodeinterseccióndelasecuacionesy . Eslomismoqueresolverelsiguientesistemadeecuaciones. Ysegúnelmétodoplanteado,Paraqueambasecuacionestengancoeficienteopuestopar, multiplicamoslaprimeraecuaciónpor;obtenemosunnuevosistema Sisumamosambasecuacionesobtenemosunaecuaciónsoloparalaincógnitade = Asísustituimosestevalorencualquieradelasecuacionesoriginalesypodemosobtenerelvalorde .Utilizandolaprimerecuación: → Lasolucióndelsistematieneunaúnicasolución=,portantolasrectassecortanenese punto RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FunciónCuadrática UnafunciónR→Rtalque: Dondea,,sonconstantesrealesya≠0. Lagraficatieneformadeparábola. Intersecciónconlosejes: oEje“y”(0,c) oEje“x”Elcriterioseigualaa0yseresuelvelaecuacióncuaraticaparaobtenerlos pares()y().Ycomovimosanteriormenteenecuacionescuadráticas segúnelvalordel∆,yaseaeste>,<,o=0,asíserálacantidaddeintersecciones coneleje”x”. Ejedesimetría:Eslarectaquedividealaparábolaendospartesiguales.Lopodemos calcularconlaformula: Elvérticedelaparábola:Esteeselpunto.Lopodemosconsiderarpuntomáximosi a<0,ypuntomínimosia>0. OsverFV14
  15. 15. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño ConcavidaddelaParábola: oSia>0.Escóncavahaciaarriba. oSia<0.Escóncavahaciaabajo a>0;Concavahaciaarribaypuntominimo.a<0;Concavahaciaabajoypuntomáximo. Intervalosdemonotonía a-)Siescóncavahaciaarriba: esestrictamentedecrecienteen esestrictamentecrecienteen a-)Siescóncavahaciaabajo: esestrictamentecrecienteen esestrictamentedecrecienteen RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ámbitodelafunción. SielámbitoesSielámbitoes Ejemplos1:ParalaFunción,talque Tenemos.Si-3 a)Vertiese: b)Ejedesimetría: c)Concavidad:,laparábolaescóncavahaciaarriba. d)Grafica: x y OsverFV15
  16. 16. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplos2:ParalaFunción,talque Tenemos.Si16 a)Vertiese: b)Ejedesimetría: c)Concavidad:,laparábolaescóncavahaciaabajo. d)Grafica: x y 4 1 RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejerciciosyproblemasconfuncionescuadráticas: ImágenesyPreimagenes: Sientonces-1espreimagende: Sientonceselnúmero5esimagende: 169 Problemas Pararesolverlosproblemasdebemosanalizarloquenossolicitanyrelacionarlosconlas propiedadesdelafuncióncuadrática. ElprecioPenmilesdecolonesparaproducir“x”unidadesdepantalonesestá dadopor¿Cuáleselmínimoprecio,enmilesde colones,quesepuedealcanzarenlaproduccióndepantalones? Primerodebemossacarelvalordexquehaceelpuntomínimodelafunción ==205 Siguiendolaspropiedadesdelafuncióncuadráticaobtuvimosqueespreciomínimo “P”quesepuedealcanzarenlaproduccióndepantaloneses365. Enunaseestablecequeelcosto“C”deproducir“x”artículos,estádadopor .¿Cuáldebeserlacantidaddeartículosquesedeben producirparaobtenerelcostomáximo? Enestecasoloquenossolicitaneslacantidadquemaximizaelcostoportantoes soloobtenerelvalorde“x”quees: ==90 Portantolacantidaddeartículosquedebeproducirparaobtenerelmáximocosto son90artículos. OsverFV16
  17. 17. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FunciónSobreyectiva Unafuncióntalquetodoelementoenelcodominiotienealmenosuna preimagen,esdecir(A)=B,sedicequeessobreyectiva.Estosignificaqueparatodo, existetalque. Ejemplo:Lafuncióntalqueessobreyectivapuestoquesi(el codominio)yescribimosentonces Perosilafunciónfueratalque,noessobreyectiva.Siporejemplo tomamos3enelcodominio,noexisteningúnnúmeronaturaltalque. FunciónInyectiva Unafunciónesinyectivasicadaelementodelcodominiotienealosumouna preimagen,esdecirparacadaexistealosumountalque. Ejemplo:Lafuncióntalqueesinyectiva.Efectivamente,si, entonces=yporlotanto=. Perosilafunciónfueratalque,noesinyectiva.Bastaverque,por ejemplo=9y,sinembargo. FunciónBiyectiva Esunafunciónqueesalavezinyectivaysobreyectiva. Lafuncióntalqueesbiyectivapuestoqueesinyectivaysobreyectiva. Lafuncióntalquenoesbiyectivapuestonoessobreyectiva. Lafuncióntalquenoesbiyectivapuestoquenoesinyectiva. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FunciónInversa Unafunciónesbiyectiva.Lafuncióntalquesiy solosiestoesfuncióninversade. Ejemplo1:Lafuncióntalque Suinversa:segúnlaecuación,esdecirydespejamos. Portantotalque Ejemplo:Lafuncióntalque Suinversa:ydespejamos. Así,con. OsverFV17
  18. 18. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FunciónExponencialyLogarítmica FunciónExponencial Seaunnúmerorealpositivo()ydiferentede1(,yelexponenteeslavariable independiente.Sellamafunciónexponencialdebasealafuncióntalque Existendoscasos Caso1: Dominio: Rango: Intersecciónconeje“x”:nohay Intersecciónconeje“y”:(0,1) Asíntotahorizontal:eje“x”cuando“x”seacercaa+ Régimendevariación:estrictamentedecreciente. Deacuerdoalcodominio:biyectiva Sugraficaes: x y RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplo: Lafunción Elaboramoslatabla -2-1012 (-2,4)(-1,2)(0,1)(1,)(2,) 4 2 1 0,5 0,25 4 2 1 0,5 0,25 x y OsverFV18
  19. 19. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Caso1: Dominio: Rango: Intersecciónconeje“x”:ninguno Intersecciónconeje“y”:(0,1) Asíntotahorizontal:eje“x”cuando“x”seacercaa- Régimendevariación:estrictamentecreciente. Deacuerdoalcodominio:biyectiva Sugraficaes: x y RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplo: Lafunción Elaboramoslatabla -2-1012 (-2,)(-1,)(0,1)(1,2)(2,4) SiLafunciónexponencialesinyectiva,secumpleque: 0,25 0,5 1 2 4 0,25 0,5 1 2 4 x y OsverFV19
  20. 20. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño FunciónLogarítmica Seaunnúmerorealymayorquecero()ydiferentede1(,Sellamafunción logarítmicadebasede“x”alafuncióninversadelafunciónexponencialdebase.Estoes,la funcióntalque Existendoscasos Base: Dominio: Codominio: Intersecciónconeje“x”:(1,0) Intersecciónconeje“y”:nohay Asíntotavertical:eje“y” Régimendevariación:estrictamentecrecienteen Deacuerdoalcodominio:biyectiva Sugraficaes: x y RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplo: Lafunción Elaboramoslatabla 124 ,-2)(,-1)(1,0)(2,1)(4,2) -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 1 2 x y OsverFV20
  21. 21. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Base: Dominio: Codominio: Intersecciónconeje“x”:(1,0) Intersecciónconeje“y”:nohay Asíntotavertical:eje“y” Régimendevariación:estrictamentedecrecienteen Deacuerdoalcodominio:biyectiva Sugraficaes: x y RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Ejemplo: Lafunción Elaboramoslatabla 124 ,2)(,1)(1,0)(2,-1)(4,-2) Paralasgráficasdeotrasfuncioneslogarítmicaslasencontraremossimilaresalasanteriores. 2 1 0 -1 -2 2 1 0 -1 -2 x y OsverFV21
  22. 22. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño Propiedadeslogarítmicas: 1. Ejemplo: 2. Ejemplo: 3. Ejemplo: 4. Ejemplo: 5. Ejemplo: 6. Ejemplo:: 7. 8.. (Enlacalculadoralateclalnloquehaceescalcularellogaritmoenbasee CambiodeBase: ParaconvertiraBase10unnúmeroa,seaplica: Ejemplo: =2 RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño EcuacionesLogarítmicasconunaodosoperaciones Ejemplo1: = = = Ejemplo2: =- Estassonalgunasaplicacionesdelaspropiedadeslogarítmicas. Lanotaciónexponencialsepuedepasaralogarítmicayviceversa,esdecirlocual esequivalenteaescribir. Ejemplo:Paraobtenerlasolucióndelasiguienteecuación: Primerodebemosllevarlaalaformasimplificada →(Unavezconlaexpresiónreducida,seaplicala equivalenciadellogaritmoanotaciónexponencial:→ OsverFV22
  23. 23. RESUMENMatemáticasBasadoProgramadeEstudiosparaIVyVaño EcuacionesExponenciales Consuforma. Cuandolaincógnitaseencuentraenelíndicedeunaraíz,tambiénselaconsideraexponencial,ya quesólobastaescribirlacomoexponentefraccionario.Sealaecuación: Utilizandolaspropiedadesdelaradicación,vamosaescribirlaasí: Aplicamoselmétododeigualacióndebases,pararesolverlaecuación: Seeliminanlasbasesysetomalaecuaciónigualandolosexponentesyseresuelvelaecuación. OsverFV23

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