Javier Solis Noyola diseña y desarrolla presentación: Sistemas de ecuaciones lineales por la Inversa de una Matriz.

1. r r
A* x  b
r r
1 x A *b  
Mtro. Javier Solis Noyola

2. Objetivos
 Conocer y comprender el concepto de Matriz
Inversa.
 Conocer y comprender El Método de Solución de la
Matriz Inversa para la solución de sistemas de
Ecuaciones Lineales.
 Aplicar la el Método de Solución de la Matriz Inversa
para la solución de ejercicios de sistemas de
ecuaciones lineales.

3. ¿Qué es un Sistema de Ecuaciones Lineales?
Cuando nos planteamos la resolución de varias ecuaciones a la vez con varias
incógnitas, estamos ante un sistema y en el caso más sencillo, donde todas las
ecuaciones sean lineales, se llama sistema de ecuaciones lineales. Existen
muchas formas de resolver dichos sistemas, empezando por las clásicas de
reducción, sustitución e igualación que son las primeras que nos enseñan, puesto
que son muy fáciles de asimilar.
donde x1, ..., xn son las incógnitas, b1, ..., bm se denominan términos
independientes y los números aij se llaman coeficientes de las incógnitas.

4. •Dado un sistema de ecuaciones, el objetivo principal es hallar todas sus
soluciones, es decir, hallar todos los valores de x1, ..., xn que verifican todas las
ecuaciones.
•Atendiendo al número de soluciones, los sistemas de ecuaciones lineales
podemos clasificarlos en tres tipos:
•Sistema incompatible: son aquellos que no poseen solución.
•Sistema compatible: son aquellos que poseen solución. Dentro de ellos,
podemos hablar de:
Sistema compatible determinado: sistemas con una única solución.
Sistema compatible indeterminado: sistemas con infinitas soluciones..
a) Solución única b) Sin solución c) Infinidad de soluciones
Los ejemplos gráficos presentados corresponden a un sistema de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas

5. Las Soluciones gráficas de un sistema de ecuaciones lineales de tres
ecuaciones con tres incógnitas, son: Solución única con tres planos se cruzan en
un punto (x,y,z). Infinidad de soluciones con tres planos coincidentes. Y sin
solución con tres planos paralelos, 2 planos paralelos cortados por un plano, etc.
Solución
Única
(x,y,z)

6. Definición de Matriz Inversa
La Matriz Inversa de una Matriz Cuadrada A de orden n, es la matriz A-1 también
de orden n que verifica:
A A-1 = I
Donde:
A es la matriz de Coeficientes A-1 es la matriz inversa I es la matriz identidad

7. Existencia de la Matriz Inversa
•Las matrices que tienen inversa se llaman regulares, y las que NO tienen
inversa, singulares.
•Una Matriz A (coeficientes) de orden n es regular, si su determinate ≠ 0,
por lo tanto tendrá inversa y será regular .
•Una matriz cuadrada de orden n es singular si, y solo si, su determinante es
cero.

8. Proceso de Obtención de la Matriz de Inversa por el
Método de la Adjunta
Para obtener la inversa de una matriz se aplica la siguiente fórmula:
│A│=
1 adjA
A
a a ... a
a a ... a
|
... ... ...
11 12 1n
21 22 2n
a
ij
a a ...
a
n 1 n 2
nn
A
 
Matriz Adjunta
Cálculo de
componentes de
la Matriz de
Cofactores Ac
ij:
Aij
c = (-1)i+j │Mij│
Obtención de la
Matriz Adjunta:
Adj (Aij
c) = (Aij
c)t

9. Cálculo de la matriz de Cofactores Ac
Primeramente, para calcular la Matriz de Cofactores Ac debemos obtener la matriz de los
determinantes de los Menores │Mij│. Un menor Mij es una matriz de orden n-1 de la
matriz A (coeficientes), el cual resulta de suprimir el renglón (fila) i y la columna j de la
componente correspondiente aij. De cada Matriz del Menor Mij se obtendrá su
determinante │Mij│, el cual finalmente quedará como una componente
(escalar).Finalmente a la Matriz compuesta por los Menores (ya como escalares) se
multiplicarán por un signo (+) ó (-), cuya secuencia será dada por (-1)i+j (ver siguiente
diapositiva). Lo que dará como resultado de todo esto, la Matriz de Cofactores Ac .
Ac = (-1)i+j │Mij│
|M11| |M12| …… |M1n|
|M21| |M22| …… |M2n|
………………………….
|Mn1| |Mn2| …… |Mnn|
Ac = (-1)i+j

10. Matriz de Cofactores Ac
Ac = (-1)i+j │Mij│
Ac = (-1)i+j
|M11| |M12| …… |M1n|
|M21| |M22| …… |M2n|
………………………….
|Mn1| |Mn2| …… |Mnn|
Ac =
Ejemplo de una Matriz A de 3x3
A =
c = (-1)i+j|M11|
A11
c = (-1)1+1
A11
c = (-1)2
A11
c = +
A11
c = (-1)i+j |M32|
A32
c = (-1)3+2
A32
c = (-1)5
A32
c = -
A32
Matriz de Cofactores de 3x3

11. Ejemplo de cálculo de la matriz de cofactores de 3x3
Ac = (-1)i+j │Mij│
Ac = (-1)i+j │Mij│=
Ac = (-1)i+j │Mij│=
-3 6 -3
6 -12 6
-3 6 -3

12. Matriz Adjunta
Se llama Matriz Adjunta a la Matriz transpuesta de Cofactores: (Ac)t
Obtención de la Matriz Adjunta:
Adj (Ac) = (Ac)t
Ac = (-1)i+j │Mij│=
-3 6 -3
6 -12 6
-3 6 -3
c = (Aij
Adj Aij
c)t = Aji
c =
c =
Matriz de cofactores Aij
c =(Aij
Adj Aij
c)t= Aji
c=

13. Ejemplo de Cálculo de la Matriz Inversa. Obtener A-1
c = (-1)i+j │Mij│=
Aij
-48 42 -3
24 -21 6
-3 6 -3
c = (Aij
Adj Aij
c)t = Aji
c =
c =
Matriz de cofactores Aij
c =(Aij
Adj Aij
c)t= Aji
c=
Det A = Det A = 27
-48 24 -3
42 -21 6
-3 6 -3
-48 24 -3
42 -21 6 =
-3 6 -3
= 1
27
-48 24 -3
27 27 27
42 -21 6 =
27 27 27
-3 6 -3
27 27 27
-16 8 -1
9 9 9
14 -7 2
9 9 9
-1 2 -1
9 9 9
http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/inverse1/

14. Comprobación de que Matriz Inversa es correcta
A A-1 = I
Multiplicación de Matrices en Línea:
http://es.onlinemschool.com/math/assistance/matrix/multiply/

15. Consideremos la aplicación del Método de la Matriz Inversa para
obtener su solución en un sistema de n ecuaciones lineales
con n incógnitas, cuya expresión general es la siguiente:
r r
A* x  b
r r
1 x A *b  

16. Ejemplo de Solución de un sistema de Ecuaciones Lineales
r r
A* x  b
r r
1 x A *b  
Ac =
c =
Adj Aij
5
1 adjA
A
A-1= 1
5
http://es.onlinemschool.com/math/assistance/equation/matr/
A
 
A-1 =
r r
1 x A *b  
=

17. Ejemplo por Regla de Cramer:
Matriz Aumentada
Determinante de la Matriz de
Coeficientes (matriz del sistema)
Determinantes de las Matrices
asociadas:
│A1 │ ó │ Ax │
│A2 │ ó │ Ay │
│A3 │ ó │ Az │
Soluciones a: x, y, z ó x1,x2,x3

18. REFERENCIAS INFORMÁTICAS (textos):
•Cárdenas, Humberto y Emilio Luis R., y Francisco Tomas. ÁLGEBRA
SUPERIOR. Editorial Trillas, 2002.
•Frank S Budnick. MATEMÁTICAS APLICADAS PARA ADMINISTTRACIÓN,
ECONOMÍA Y CIENCIAS SOCIALES. Editorial Mc Graw Hill.
•Haeussler, Ernest F.. MATEMÁTICAS PARA LA ADMINISTRACIÓN,
ECONOMÍA, CIENCIAS SOCIALES Y DE LA VIDA. Editorial Prentice Hall.
•Reyes Guerrero, Araceli. ÁLGEBRA LINEAL. Editorial Thomson, 2005.
•Richar Hill. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Prentice Hall.
•Stanley I Grossman. ÁLGEBRA LINEAL CON APLICACIONES. Editorial Mc
Graw Hill