Traitement du signal
Page 1SEER1-TS
Jamila BAKKOURY

Chap2 : outils mathématiques pour le TS
SEER1-TS 2

Plan
• Introduction
• Séries de Fourier
• Transformée de Fourier
• Transformée de Laplace
3SEER1-TS

Séries de Fourier
Page 4SEER1-TS
Un signal périodique de période
peut être décomposé en une somme
d’ondes sinusoïdales dont les
fréquences sont multiples de
fréquence
Joseph Fourier
(1768-1830)
fo =
1
T
T

Séries de Fourier
Page 5SEER1-TS
fo =
1
T
Soit xT(t) un signal périodique de période . Son développement en séries
de Fourier est par définition:
xT t( ) = a0 + an
n=1
+∞
∑ cos 2π nf0t( ) + bn
n=1
+∞
∑ sin 2π nf0t( )
Où:
of0 est la fréquence fondamentale du signal.
oa0 est la valeur moyenne ou composante continue du signal .
oak et bk sont les coefficient de Fourier du développement en cosinus et sinus.
T

Calcul des coefficient de Fourier :
Remarque :
•xT(t) pair  bn=0
•xT(t) impair  an=0
Séries de Fourier
ao =
1
T
xT t( ) dt =xT
−
T
2
T
2
∫
an =
2
T
xT t( ) cos 2πnfot( ) dt
−
T
2
T
2
∫
bn =
2
T
xT t( ) sin 2πnfot( ) dt
−
T
2
T
2
∫ n ≥1

le développement en série de Fourier peut s’écrire:
où
En considérant la relation trigonométrique suivante:
avec
Acos(x)+ Bsin(x) = A2
+ B2
cos(x +φ)
φ = artg(
−B
A
)
xT (t)= A0 + An cos(2π nf0t
1
∞
∑ + αn )
A0 = a0 An = an
2
+ bn
2
αn = arctg(
−bn
an
)
Série de Fourier en cosinus
Séries de Fourier

- La représentation en cosinus est très importante car elle
correspond à la description des signaux en régime sinusoïdal
permanent où l’on représente un courant ou une tension par
son amplitude et sa phase.
- D’un point de vue pratique, cela revient à considérer que le
signal x(t) est créé de manière équivalente par une infinité de
générateur sinusoïdaux.
La représentation spectrale dans ce cas est unilatérale.
Remarques :
Séries de Fourier

Séries de Fourier
formules d’Euler :
xT t( ) = cn
n=−∞
+∞
∑ e
j 2πnfot( )
avec cn =
1
T
xT t( ) e
−j×2πnfot( )
dt
−
T
2
T
2
∫
co = ao
cn =
an − jbn
2
c−n =
an + jbn
2
Notation complexe :
fo =
1
T
la SF peut être transformée en SF complexe :
cos(x) =
ejx
+e− jx
2
, sin(x) =
ejx
−e− jx
2 j

Relation entre les trois formes :
cos-sin cos complexe
0=n 0a 00 aA = 00 ac =
0>n nn b,a
22
nnn baA +=
2
2
nn
n
nn
n
jba
c
jba
c
+
=
−
=
−
Séries de Fourier

La transformée de Fourier est une extension de la décomposition
en série de Fourier pour les signaux non périodiques.
En effet, la passage d’un signal périodique à un autre apériodique
peut se faire en considérant une période qui tend vers l’infini.
Transformée de Fourier

TF x(t){ } = X f( ) = x t( ) e− j2π ft
−∞
+∞
∫ dt
x t( ) = TF−1
X f( ){ } = X f( ) ej×2π ft
−∞
+∞
∫ df
Transformée de Fourier :
Transformée de Fourier inverse :
Transformée de Fourier

Linéarité :Linéarité :
( ) ( ) ( ) ( )fY.bfX.aty.btx.a F
+→←+
Homothétie :Homothétie :
( ) Ravec
1
∈





→← a
a
f
X
a
atx F
PropriétésPropriétés ::
Transformée de Fourier

Décalage en temps et en fréquence :Décalage en temps et en fréquence :
Dérivation :Dérivation :
x t −t0( ) F
¬ → X f( ).e− j2π ft0
et
x t( ).ej2π f0t F
¬ → X f − f0( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )fXfj
dt
txd
fX.fj
dt
tdx nF
n
n
F
ππ 2et2 →←→←
Propriétés :Propriétés :
Transformée de Fourier

Produit de convolution :Produit de convolution : ( ) ( ) τττ dtyxtyxtytx −== ∫
+∞
∞−
))(*()(*)(
( ) ( ) ( ) ( )fYtyfXtx FF
→←→← et
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )fY*fXty.tx
fY.fXty*tx
F
F
→
→
et
PropriétésPropriétés :
Transformée de Fourier

Transformée de Fourier & Systèmes :
Un SLTI est caractérisé par sa réponse impulsionnelle h(t)
La transformée de Fourier de h(t) donne la réponse en fréquence du système H(f)
et inversement.
h(t)
x(t) y(t)=x(t)*h(t)
H(f)
X(f) Y(f)=X(f) . H(f)
TF TF TF
Transformée de Fourier

Théorème de Parseval :Théorème de Parseval :
Propriétés :Propriétés :
Transformée de Fourier
E = x2
(t)dt
−∞
+∞
∫ = X(f )
2
df
−∞
+∞
∫
Densité Spectrale d ’Energie

)f(TF
δ→1
δ(t) TF
 → 1
ftjTF
e)tt( 02
0
π
δ −
→−
=
)ff(e TFtfj
0
2 0
−→ δπ
[ ])ff()ff()tfcos( TF
000
2
1
2 ++−→ δδπ
[ ])ff()ff(
j
)tfsin( TF
000
2
1
2 +−−→ δδπ
δTe
(t) TF
 →
1
Te
δ( f −
n
Te
)
−∞
+∞
∑
Distribution de DiracDistribution de Dirac :
Transformée de Fourier

Signal s(t)Signal s(t) Spectre fréquentiel S(f)Spectre fréquentiel S(f)
Réel quelconque Complexe (partie réelle paire, partie imaginaire impaire)
Réel pair Réel pair
Réel impair Imaginaire impair
Imaginaire quelconque Complexe (partie réelle impaire, partie imaginaire paire)
Imaginaire pair Imaginaire pair
Imaginaire impair Réel impair
Complexe pair Complexe pair
Complexe impair Complexe impair
Propriétés :
Transformée de Fourier

• Échantillonnage idéal
• Transformée de Fourier
périodisation en fréquence
xe (t) = x(t)δT (t) = x(t) δ(t − kT) = x[kT]δ(t − kT)
k=−∞
+∞
∑
k=−∞
+∞
∑
X f
T
X f f
T
X f
k
Te
T k
( ) ( )* ( ) ( )= = −
=−∞
+∞
∑
1 1
1δ
Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence
Transformée de Fourier

Analyse spectrale
La transformée de Fourier est l’outil mathématique permettant d’obtenir une
représentation fréquentielle des signaux déterministes.
Elle a pour but de représenter, l’amplitude, la phase, l’énergie ou la puissance
d’un signal en fonction de sa fréquence notée f et permet ainsi son
analyse spectrale ou harmonique.
Remarque : la transformée de Fourier permet d’analyse un signal sous forme
d’une infinité de composantes sinusoïdales.

• Forme exponentielle du développement en série de Fourier d’un signal
périodique xT(t) de période T :
o cn.exp(jnωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t)
o l’harmonique d’ordre1 est appelé le fondamental
o l’harmonique d’ordre 0 correspond à la valeur moyenne du signal xT(t).
22
Analyse spectrale
Signaux périodiques
fo =
1
T
xT t( ) = cn
n=−∞
+∞
∑ e
j2π nfot( )

• Transformée de Fourier XT(f) d’un signal périodique xT(t) de période T :
• Le spectre d’un signal périodique est donc un spectre de raies puisque
c’est la
somme d’impulsions de Dirac décalées de 1/T de poids pondérés par les
coefficients cn appelés composantes du spectre.
Si X(f) est la transformée de Fourier du motif x(t) de xT(t), alors :
• X(f) est appelée l’enveloppe complexe de XT(f) 23
Analyse spectrale
Signaux périodiques
XT ( f ) = cnδ( f −
n
T
)
n=−∞
+∞
∑
cn =
1
T
X(
n
T
)

• Forme réelle du développement en série de Fourier d’un signal périodique
xT(t) de période T :
Les coefficients an et bn sont les coefficients réels de la série de Fourier ou
coefficients de Fourier trigonométriques.
- ancos(nωt)+bnsin(nωt) est l’harmonique d’ordre n du signal xT(t).
- l’harmonique d’ordre 1 correspond au fondamental
- l’harmonique d’ordre 0, a0 est la composante continue qui correspond à la
valeur moyenne du signal xT(t).
24
Analyse spectrale
Signaux périodiques
xT t( ) = a0 + an
n=1
+∞
∑ cos 2π nf0t( ) + bn
n=1
+∞
∑ sin 2π nf0t( )

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
amplitude
Représentation en temps
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (Hz)
amplitude
Représentation en fréquence
Représentation des signaux
Exemples

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (Hz)
amplitude
Représentation en fréquence
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
amplitude
Représentation en temps
Représentation des signaux
Exemples

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-1
-0.5
0
0.5
1
temps (sec)
amplitude
Représentation en temps
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (Hz)
amplitude
Représentation en fréquence
0 5 10 15 20 25 30
Représentation des signaux
Exemples

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
0
0.5
1
temps (µsec)
amplitude
Repré sentation en temps
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
fréquence (MHz)
amplitude
Représentation en fréquence
Représentation des signaux
Exemples

On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t),
l’opération * (notée également ⊗) définie par :
(x*h)(t) = x(t)*h(t) = x(t)⊗ h(t)
= x(τ ).h(t −τ ).dτ
−∞
+∞
∫ = x(t −τ ).h(τ ).dτ
−∞
+∞
∫
Produit de convolution

Propriétés :
• Le produit de convolution est :
o commutatif: x(t)*h(t)=h(t)*x(t)
o distributif : x(t)*[h(t)+g(t)]=x(t)*h(t)+x(t)*g(t)
o associatif: x(t)*[h(t)*g(t)]=[x(t)*h(t)]*g
• Élément neutre : x(t)*δ(t) = x(t)
Produit de convolution

Expression simplifiée :
Si x(t) et h(t) sont causaux,
Alors :
x τ( ) =0 ∀τ <0
h t −τ( ) =0 ∀τ >t




( )( ) ∫ −=
t
dthxthx
0
)()(* τττ
Produit de convolution

La convolution est une opération fondamentale de traitement du
signal.
Elle indique que la réponse d'un SL à l’instant t est la somme
(intégrale) pondérée des valeurs antérieures de l'excitation x(t).
La fonction de pondération est la réponse impulsionnelle h(t) du SL.
Produit de convolution
Réponse d’un système linéaire :

Considérons l’exemple de x(t) et h(t) ci-dessous :
x(t)
t
h(t)
t
Produit de convolution
Interprétation graphique

h(τ)
τ
h(-τ)
τ
h(t-τ)
τt
Remarque : le signal h(t-τ) est tout simplement
le signal initial h(τ), retourné dans le temps
pour obtenir h(-τ) puis translaté de t .
Produit de convolution
Interprétation graphique

Interprétation graphique
x(τ).h(t-τ)
τt
h(t-τ)
La surface hachurée représente : ∫
+∞
∞−
−= τττ dthxthx ).().())(*(
Remarque : quand t varie de - à + , on obtient la fonction y(t),∝ ∝
convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non
nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies.
Produit de convolution
x(τ)

Domaine
temporel
Domaine
fréquentiel
Variable : t Variable : f
Convolution Produit
e(t) → s(t) = ? E(f) → S(f) = ?
T. de Fourier
11
Calculer:S(f)=?
22
TF inverse
33
Le calcul du produit de convolution se fait en 3 étapes
Produit de convolution

Interprétation graphique
x(τ).h(t-τ)
τt
h(t-τ)
La surface hachurée représente : ∫
+∞
∞−
−= τττ dthxthx ).().())(*(
Remarque : quand t varie de - à + , on obtient la fonction y(t),∝ ∝
convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non
nulles sur un support fini, donc l’intégrale a des bornes finies.
Produit de convolution
x(τ)