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Traitement du signal
Page 1SEER1-TS
Jamila BAKKOURY
Chap3 : numérisation des signaux
SEER1-TS 2
Plan
• Introduction
• Echantillonnage
• Restitution
• Quantification
3SEER1-TS
• Échantillonnage
– Échantillonnage idéal - Théorème de Shannon
– Filtre anti-repliement
– Échantillonnage réel
• Restitution
– Restitution idéale
– Restitution réelle
• Quantification
– Pas, niveaux, erreur et bruit
– Quantification scalaire uniforme linéaire
– Quantification scalaire non uniforme, loi de compression
Chaîne de traitement numérique
du signal
Introduction
•Afin de bénéficier des nombreux avantages que présente le
traitement numérique de l'information, les grandeurs
analogiques, audio, vidéo ou mesures doivent être d'abord
numérisées (transformées en une suite de nombres binaires
par un CNA).
•Elles seront transmises ou stockées dans un format binaire ,
(généralement, après codage).
•A la réception ou a la lecture les données numériques
seront (décodées puis) converties en signaux analogiques si
nécessaire, comme les données audio/vidéo.
5SEER1-TS
Introduction
6SEER1-TS
La numérisation consiste en la succession de trois actions
sur le signal analogique de départ :
- l’échantillonnage pour rendre le signal discret
- la quantification pour associer à chaque échantillon une
valeur d’un ensemble discret de valeurs
- le codage pour associer un code à chaque valeur
quantifiée.
Introduction
7SEER1-TS
Avantages d’un traitement numérique :
• grande stabilité des paramètres,
• reproductibilité des résultats
• fonctionnalités accrues.
• …
L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis,
régulièrement espacées en général , les
valeurs instantanées d’un signal.
Le signal analogique x(t), continu dans le temps, est alors représenté
par un ensemble de valeur discrètes :
xe(t) = x(n.Te)
avec n : entier et Te : période d’échantillonnage.
Échantillonnage
• Échantillonnage idéal (voir chap2)
• Transformée de Fourier
xe (t) = x(t)δT (t) = x(t) δ(t − kT) = x[kT]δ(t − kT)
k=−∞
+∞
∑
k=−∞
+∞
∑
X f
T
X f f
T
X f
k
Te
T k
( ) ( )* ( ) ( )= = −
=−∞
+∞
∑
1 1
1δ
Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence
Échantillonnage
Echantillonnage idéal
T=1/Fe
-FMAX
-FMAX FMAX
FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T
Filtre de
restitution
x(t) X(f)
xe(t) Xe(f)
t
t
f
f
0
: Périodisation en fréquenceX f
T
X f f
T
X f
k
Te
T k
( ) ( )* ( ) ( )= = −
=−∞
+∞
∑
1 1
1δ
Échantillonnage
Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon
• Si Fe> 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas
Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement
possible
• Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre
On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et
l’information est déformée
Échantillonnage
Filtre anti-repliement
• Pour éviter le repliement de spectre on élimine les
fréquences contenues dans le signal analogique
supérieures à Fe/2
• On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti-
repliement
• Le filtre anti-repliement définit Fmax
Échantillonnage
En pratique, l’échantillonneur est commandé par un un train
d’impulsions étroites (échantillonnage réel).
Si le signal varie rapidement, un bloqueur permet de
maintenir la valeur du signal à l’entrée de l’un échantillonneur
(échantillonnage avec blocage). (annexe cours).
Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée
quasiment nulle.
Échantillonnage idéal et réalités pratiques :Échantillonnage idéal et réalités pratiques :
l’échantillonnage idéal n’est pas réaliste.l’échantillonnage idéal n’est pas réaliste.
Échantillonnage
Restitution
Restitution idéale, interpolateur idéal
-F MAX
F MAX
t
f
x(t)
X(f)
f0
-F MAX
F MAX
0 Fe-Fe Fe
Filtre de
restitutionx e
(t) X e
(f)
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T=1/Fe
• Echantillonnage
T ×Xe ( f )×rect( f T) =
1
Fe
Xe ( f )rect(
f
Fe
) = X( f )
• Filtrage passe-bas
xe (t) = xe kT( )δ(t −kT)∑ Xe ( f ) =
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T
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k
T
)∑;
x(t) = xe kT( ) sinc
t −kT
T





÷∑
x(t) =xe t( ) * sinc
t
T





÷= x kT( )∑ δ t −kT( ) ∗sinc
t
T





÷
Restitution
Interpolateur idéal de Shannon
x(t) = xe t( ) sinc
t −kT
T





÷∑
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un filtre non causal.
Restitution
...6, 9, 12, 15,
18, 17, 13, …
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anti-repliement
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numérique
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N/A
Filtre de
restitution
r(t), R(f)
x t e t g t( ) ( )* ( )=
...5, 9, 11, 16,
18, 17, 14, …
x t x kT t kTe( ) [ ] ( )= −∑ δ
X f
T
X f
n
T
X f
e( ) ( )
( )
= −∑
1
e t( )
E f( ) X f E f G f( ) ( ) ( )=
y k x k h k
y t y kT t kT
[ ] [ ]* [ ]
( ) [ ] ( )
=
= −∑ δ
Y f X f H f
Y f périodique
( ) ( ) ( )
( )
=
y t y t rect t Ta( ) ( )* ( / )=
Y f Y f T.sinc Tfa( ) ( ) ( )=
s t y t r ta( ) ( ) * ( )=
S f Y f R fa( ) ( ) ( )=
périodique
Chaîne de traitement numérique
du signal
• Filtre analogique anti-repliement
– Elimine les hautes fréquences
• Echantillonneur-bloqueur
– Maintient du signal à l’entrée du convertisseur
• Convertisseur analogique numérique (CAN)
– Convertit en binaire l’amplitude des échantillons
• Système numérique de traitement
– Effectue un traitement sur la suite de valeurs binaires
• Convertisseur numérique analogique (CNA)
– Transforme une suite de valeurs binaires en un signal analogique
• Filtre de restitution
– Elimine les fréquences indésirables à la sortie du CNA
Chaîne de traitement numérique
du signal
• Avantages des systèmes numériques
- Sensibilité réduite, Précision contrôlée
- Reproductibilité,
- Souplesse, nombre d’opérations illimité
- Systèmes non réalisables en analogique
• Inconvénients
- Limitations en haute fréquence
- CAN/CNA
- Bande passante nécessaire importante
Chaîne de traitement numérique
du signal
Quantification
Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs
niveaux de quantification
Écart entre 2 niveaux consécutifs
pas (plage) de quantification (D)
Erreur (ou bruit) de quantification
)()()( txtxt qe −=ε
( )
B
S
qBS
P
P
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Le rapport signal sur bruit de quantification
PS : puissance du signal m(t)
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xq(t) : signal échantillonné quantifié
Quantification
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Quantification
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Quantification
Quantification scalaire uniforme linéaire
Quantification
La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire :
12
).(.)(
2
2
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2/
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∆
∆−
εσεεεε dftPB
où f(ε) désigne la densité de probabilité de ε, supposée constante : Ctef =
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=
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)(ε
RS/B( )q
=
PS
PB
Nq=2N
Quantification
Bruit de quantification du CAN
• Plage d’entrée du CAN P
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( ) )(log208.106 10/
x
dBBS
P
NR
σ
++=
( ) NR dBBS 627.7/ +−=
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il faut au moins N=16 bits.
Quantification
Quantification scalaire non uniforme
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Quantification
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Quantification
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chap3 numerisation_des_signaux

  • 1. Traitement du signal Page 1SEER1-TS Jamila BAKKOURY
  • 2. Chap3 : numérisation des signaux SEER1-TS 2
  • 3. Plan • Introduction • Echantillonnage • Restitution • Quantification 3SEER1-TS
  • 4. • Échantillonnage – Échantillonnage idéal - Théorème de Shannon – Filtre anti-repliement – Échantillonnage réel • Restitution – Restitution idéale – Restitution réelle • Quantification – Pas, niveaux, erreur et bruit – Quantification scalaire uniforme linéaire – Quantification scalaire non uniforme, loi de compression Chaîne de traitement numérique du signal
  • 5. Introduction •Afin de bénéficier des nombreux avantages que présente le traitement numérique de l'information, les grandeurs analogiques, audio, vidéo ou mesures doivent être d'abord numérisées (transformées en une suite de nombres binaires par un CNA). •Elles seront transmises ou stockées dans un format binaire , (généralement, après codage). •A la réception ou a la lecture les données numériques seront (décodées puis) converties en signaux analogiques si nécessaire, comme les données audio/vidéo. 5SEER1-TS
  • 6. Introduction 6SEER1-TS La numérisation consiste en la succession de trois actions sur le signal analogique de départ : - l’échantillonnage pour rendre le signal discret - la quantification pour associer à chaque échantillon une valeur d’un ensemble discret de valeurs - le codage pour associer un code à chaque valeur quantifiée.
  • 7. Introduction 7SEER1-TS Avantages d’un traitement numérique : • grande stabilité des paramètres, • reproductibilité des résultats • fonctionnalités accrues. • …
  • 8. L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis, régulièrement espacées en général , les valeurs instantanées d’un signal. Le signal analogique x(t), continu dans le temps, est alors représenté par un ensemble de valeur discrètes : xe(t) = x(n.Te) avec n : entier et Te : période d’échantillonnage. Échantillonnage
  • 9. • Échantillonnage idéal (voir chap2) • Transformée de Fourier xe (t) = x(t)δT (t) = x(t) δ(t − kT) = x[kT]δ(t − kT) k=−∞ +∞ ∑ k=−∞ +∞ ∑ X f T X f f T X f k Te T k ( ) ( )* ( ) ( )= = − =−∞ +∞ ∑ 1 1 1δ Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence Échantillonnage
  • 10. Echantillonnage idéal T=1/Fe -FMAX -FMAX FMAX FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T Filtre de restitution x(t) X(f) xe(t) Xe(f) t t f f 0 : Périodisation en fréquenceX f T X f f T X f k Te T k ( ) ( )* ( ) ( )= = − =−∞ +∞ ∑ 1 1 1δ Échantillonnage
  • 11. Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon • Si Fe> 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible • Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée Échantillonnage
  • 12. Filtre anti-repliement • Pour éviter le repliement de spectre on élimine les fréquences contenues dans le signal analogique supérieures à Fe/2 • On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti- repliement • Le filtre anti-repliement définit Fmax Échantillonnage
  • 13. En pratique, l’échantillonneur est commandé par un un train d’impulsions étroites (échantillonnage réel). Si le signal varie rapidement, un bloqueur permet de maintenir la valeur du signal à l’entrée de l’un échantillonneur (échantillonnage avec blocage). (annexe cours). Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée quasiment nulle. Échantillonnage idéal et réalités pratiques :Échantillonnage idéal et réalités pratiques : l’échantillonnage idéal n’est pas réaliste.l’échantillonnage idéal n’est pas réaliste. Échantillonnage
  • 14. Restitution Restitution idéale, interpolateur idéal -F MAX F MAX t f x(t) X(f) f0 -F MAX F MAX 0 Fe-Fe Fe Filtre de restitutionx e (t) X e (f) t T=1/Fe
  • 15. • Echantillonnage T ×Xe ( f )×rect( f T) = 1 Fe Xe ( f )rect( f Fe ) = X( f ) • Filtrage passe-bas xe (t) = xe kT( )δ(t −kT)∑ Xe ( f ) = 1 T X( f − k T )∑; x(t) = xe kT( ) sinc t −kT T      ÷∑ x(t) =xe t( ) * sinc t T      ÷= x kT( )∑ δ t −kT( ) ∗sinc t T      ÷ Restitution
  • 16. Interpolateur idéal de Shannon x(t) = xe t( ) sinc t −kT T      ÷∑ L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal. Restitution
  • 17. ...6, 9, 12, 15, 18, 17, 13, … Filtre passe-bas anti-repliement g(t), G(f) Echantillonneur- bloqueur et Convertisseur A/N Système de traitement numérique h[n],H(f) Convertisseur N/A Filtre de restitution r(t), R(f) x t e t g t( ) ( )* ( )= ...5, 9, 11, 16, 18, 17, 14, … x t x kT t kTe( ) [ ] ( )= −∑ δ X f T X f n T X f e( ) ( ) ( ) = −∑ 1 e t( ) E f( ) X f E f G f( ) ( ) ( )= y k x k h k y t y kT t kT [ ] [ ]* [ ] ( ) [ ] ( ) = = −∑ δ Y f X f H f Y f périodique ( ) ( ) ( ) ( ) = y t y t rect t Ta( ) ( )* ( / )= Y f Y f T.sinc Tfa( ) ( ) ( )= s t y t r ta( ) ( ) * ( )= S f Y f R fa( ) ( ) ( )= périodique Chaîne de traitement numérique du signal
  • 18. • Filtre analogique anti-repliement – Elimine les hautes fréquences • Echantillonneur-bloqueur – Maintient du signal à l’entrée du convertisseur • Convertisseur analogique numérique (CAN) – Convertit en binaire l’amplitude des échantillons • Système numérique de traitement – Effectue un traitement sur la suite de valeurs binaires • Convertisseur numérique analogique (CNA) – Transforme une suite de valeurs binaires en un signal analogique • Filtre de restitution – Elimine les fréquences indésirables à la sortie du CNA Chaîne de traitement numérique du signal
  • 19. • Avantages des systèmes numériques - Sensibilité réduite, Précision contrôlée - Reproductibilité, - Souplesse, nombre d’opérations illimité - Systèmes non réalisables en analogique • Inconvénients - Limitations en haute fréquence - CAN/CNA - Bande passante nécessaire importante Chaîne de traitement numérique du signal
  • 20. Quantification Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs niveaux de quantification Écart entre 2 niveaux consécutifs pas (plage) de quantification (D)
  • 21. Erreur (ou bruit) de quantification )()()( txtxt qe −=ε ( ) B S qBS P P R =/ Le rapport signal sur bruit de quantification PS : puissance du signal m(t) PB : puissance du bruit de quantification xe(t) : signal échantillonné non quantifié xq(t) : signal échantillonné quantifié Quantification
  • 22. Types de quantification • Quantification scalaire = échantillon par échantillon • Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur) • Quantification uniforme = plage constante • Quantification non uniforme • Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés) Quantification
  • 23. Quantification scalaire uniforme linéaire • Plage de quantification Δ = cte • Niveau de quantification = milieu des plages • Nombre de niveaux : Nq = dynamique du signal/Δ • Erreur de quantification : - Δ /2 ≤ e(t) <+ Δ /2 Quantification
  • 24. Quantification scalaire uniforme linéaire Quantification
  • 25. La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire : 12 ).(.)( 2 2 2/ 2/ 22 ∆ ==== ∫ ∆ ∆− εσεεεε dftPB où f(ε) désigne la densité de probabilité de ε, supposée constante : Ctef = ∆ = 1 )(ε RS/B( )q = PS PB Nq=2N Quantification
  • 26. Bruit de quantification du CAN • Plage d’entrée du CAN P • Nombre de bits en sortie N • Pas de quantification D = P/2N ( ) )(log208.106 10/ x dBBS P NR σ ++= ( ) NR dBBS 627.7/ +−= Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio) il faut au moins N=16 bits. Quantification
  • 27. Quantification scalaire non uniforme Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!) ∆ dépend de l’amplitude du signal Erreur de quantification non constante Quantification
  • 28. Les faibles amplitudes sont « amplifiées » ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs Loi de compression logarithmique • Loi de compression Compression Quantification uniforme Prétraitement des valeurs et conservation d ’un quantificateur simple Quantification
  • 29. x = m(t) mmax , y = mc(t) mcmax Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé. On pose : Les valeurs de A = 87.6 et µ = 255 sont normalisées. (RS/N)q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB Loi de compression logarithmique Quantification
  • 30. L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion réciproques est impossible. Solution : Approximation par segments 1 Compression logarithmique par segment 1 Quantification
  • 31. A chaque valeur échantillonnée et quantifiée est associé un code : mot de n bits Echantillonnage MICm(t) Quantification Codage fréquence fe q niveaux n bits CAN (q = 2n ) Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM) Application- MIC