Traitement du signal
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Jamila BAKKOURY

Chap3 : numérisation des signaux
SEER1-TS 2

Plan
• Introduction
• Echantillonnage
• Restitution
• Quantification
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• Échantillonnage
– Échantillonnage idéal - Théorème de Shannon
– Filtre anti-repliement
– Échantillonnage réel
• Restitution
– Restitution idéale
– Restitution réelle
• Quantification
– Pas, niveaux, erreur et bruit
– Quantification scalaire uniforme linéaire
– Quantification scalaire non uniforme, loi de compression
Chaîne de traitement numérique
du signal

Introduction
•Afin de bénéficier des nombreux avantages que présente le
traitement numérique de l'information, les grandeurs
analogiques, audio, vidéo ou mesures doivent être d'abord
numérisées (transformées en une suite de nombres binaires
par un CNA).
•Elles seront transmises ou stockées dans un format binaire ,
(généralement, après codage).
•A la réception ou a la lecture les données numériques
seront (décodées puis) converties en signaux analogiques si
nécessaire, comme les données audio/vidéo.
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Introduction
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La numérisation consiste en la succession de trois actions
sur le signal analogique de départ :
- l’échantillonnage pour rendre le signal discret
- la quantification pour associer à chaque échantillon une
valeur d’un ensemble discret de valeurs
- le codage pour associer un code à chaque valeur
quantifiée.

Introduction
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Avantages d’un traitement numérique :
• grande stabilité des paramètres,
• reproductibilité des résultats
• fonctionnalités accrues.
• …

L’échantillonnage consiste à prélever à des instants précis,
régulièrement espacées en général , les
valeurs instantanées d’un signal.
Le signal analogique x(t), continu dans le temps, est alors représenté
par un ensemble de valeur discrètes :
xe(t) = x(n.Te)
avec n : entier et Te : période d’échantillonnage.
Échantillonnage

• Échantillonnage idéal (voir chap2)
• Transformée de Fourier
xe (t) = x(t)δT (t) = x(t) δ(t − kT) = x[kT]δ(t − kT)
k=−∞
+∞
∑
k=−∞
+∞
∑
X f
T
X f f
T
X f
k
Te
T k
( ) ( )* ( ) ( )= = −
=−∞
+∞
∑
1 1
1δ
Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquence
Échantillonnage

Echantillonnage idéal
T=1/Fe
-FMAX
-FMAX FMAX
FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T
Filtre de
restitution
x(t) X(f)
xe(t) Xe(f)
t
t
f
f
0
: Périodisation en fréquenceX f
T
X f f
T
X f
k
Te
T k
( ) ( )* ( ) ( )= = −
=−∞
+∞
∑
1 1
1δ
Échantillonnage

Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon
• Si Fe> 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas
Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement
possible
• Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre
On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et
l’information est déformée
Échantillonnage

Filtre anti-repliement
• Pour éviter le repliement de spectre on élimine les
fréquences contenues dans le signal analogique
supérieures à Fe/2
• On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre anti-
repliement
• Le filtre anti-repliement définit Fmax
Échantillonnage

En pratique, l’échantillonneur est commandé par un un train
d’impulsions étroites (échantillonnage réel).
Si le signal varie rapidement, un bloqueur permet de
maintenir la valeur du signal à l’entrée de l’un échantillonneur
(échantillonnage avec blocage). (annexe cours).
Il est donc impossible d’obtenir des échantillons de durée
quasiment nulle.
Échantillonnage idéal et réalités pratiques :Échantillonnage idéal et réalités pratiques :
l’échantillonnage idéal n’est pas réaliste.l’échantillonnage idéal n’est pas réaliste.
Échantillonnage

Restitution
Restitution idéale, interpolateur idéal
-F MAX
F MAX
t
f
x(t)
X(f)
f0
-F MAX
F MAX
0 Fe-Fe Fe
Filtre de
restitutionx e
(t) X e
(f)
t
T=1/Fe

• Echantillonnage
T ×Xe ( f )×rect( f T) =
1
Fe
Xe ( f )rect(
f
Fe
) = X( f )
• Filtrage passe-bas
xe (t) = xe kT( )δ(t −kT)∑ Xe ( f ) =
1
T
X( f −
k
T
)∑;
x(t) = xe kT( ) sinc
t −kT
T





÷∑
x(t) =xe t( ) * sinc
t
T





÷= x kT( )∑ δ t −kT( ) ∗sinc
t
T





÷
Restitution

Interpolateur idéal de Shannon
x(t) = xe t( ) sinc
t −kT
T





÷∑
L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à
un filtre non causal.
Restitution

...6, 9, 12, 15,
18, 17, 13, …
Filtre passe-bas
anti-repliement
g(t), G(f)
Echantillonneur-
bloqueur et
Convertisseur
A/N
Système de
traitement
numérique
h[n],H(f)
Convertisseur
N/A
Filtre de
restitution
r(t), R(f)
x t e t g t( ) ( )* ( )=
...5, 9, 11, 16,
18, 17, 14, …
x t x kT t kTe( ) [ ] ( )= −∑ δ
X f
T
X f
n
T
X f
e( ) ( )
( )
= −∑
1
e t( )
E f( ) X f E f G f( ) ( ) ( )=
y k x k h k
y t y kT t kT
[ ] [ ]* [ ]
( ) [ ] ( )
=
= −∑ δ
Y f X f H f
Y f périodique
( ) ( ) ( )
( )
=
y t y t rect t Ta( ) ( )* ( / )=
Y f Y f T.sinc Tfa( ) ( ) ( )=
s t y t r ta( ) ( ) * ( )=
S f Y f R fa( ) ( ) ( )=
périodique
Chaîne de traitement numérique
du signal

• Filtre analogique anti-repliement
– Elimine les hautes fréquences
• Echantillonneur-bloqueur
– Maintient du signal à l’entrée du convertisseur
• Convertisseur analogique numérique (CAN)
– Convertit en binaire l’amplitude des échantillons
• Système numérique de traitement
– Effectue un traitement sur la suite de valeurs binaires
• Convertisseur numérique analogique (CNA)
– Transforme une suite de valeurs binaires en un signal analogique
• Filtre de restitution
– Elimine les fréquences indésirables à la sortie du CNA
Chaîne de traitement numérique
du signal

• Avantages des systèmes numériques
- Sensibilité réduite, Précision contrôlée
- Reproductibilité,
- Souplesse, nombre d’opérations illimité
- Systèmes non réalisables en analogique
• Inconvénients
- Limitations en haute fréquence
- CAN/CNA
- Bande passante nécessaire importante
Chaîne de traitement numérique
du signal

Quantification
Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs
niveaux de quantification
Écart entre 2 niveaux consécutifs
pas (plage) de quantification (D)

Erreur (ou bruit) de quantification
)()()( txtxt qe −=ε
( )
B
S
qBS
P
P
R =/
Le rapport signal sur bruit de quantification
PS : puissance du signal m(t)
PB : puissance du bruit de quantification
xe(t) : signal échantillonné non quantifié
xq(t) : signal échantillonné quantifié
Quantification

Types de quantification
• Quantification scalaire = échantillon par échantillon
• Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur)
• Quantification uniforme = plage constante
• Quantification non uniforme
• Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)
Quantification

Quantification scalaire uniforme linéaire
• Plage de quantification Δ = cte
• Niveau de quantification = milieu des plages
• Nombre de niveaux : Nq = dynamique du signal/Δ
• Erreur de quantification : - Δ /2 ≤ e(t) <+ Δ /2
Quantification

Quantification scalaire uniforme linéaire
Quantification

La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire :
12
).(.)(
2
2
2/
2/
22 ∆
==== ∫
∆
∆−
εσεεεε dftPB
où f(ε) désigne la densité de probabilité de ε, supposée constante : Ctef =
∆
=
1
)(ε
RS/B( )q
=
PS
PB
Nq=2N
Quantification

Bruit de quantification du CAN
• Plage d’entrée du CAN P
• Nombre de bits en sortie N
• Pas de quantification D = P/2N
( ) )(log208.106 10/
x
dBBS
P
NR
σ
++=
( ) NR dBBS 627.7/ +−=
Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio)
il faut au moins N=16 bits.
Quantification

Quantification scalaire non uniforme
Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!)
∆ dépend de l’amplitude du signal
Erreur de quantification non constante
Quantification

Les faibles amplitudes sont « amplifiées »
ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs
Loi de compression logarithmique
• Loi de compression
Compression
Quantification
uniforme
Prétraitement des valeurs et conservation
d ’un quantificateur simple
Quantification

x =
m(t)
mmax
, y =
mc(t)
mcmax
Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé. On pose :
Les valeurs de A = 87.6 et µ = 255 sont normalisées.
(RS/N)q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB
Loi de compression logarithmique
Quantification

L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion
réciproques est impossible.
Solution : Approximation par segments
1
Compression logarithmique par segment
1
Quantification

A chaque valeur échantillonnée et quantifiée est associé un code : mot de n bits
Echantillonnage MICm(t) Quantification Codage
fréquence fe q niveaux n bits
CAN (q = 2n
)
Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM)
Application- MIC

Exemple
Application- MIC